5.2导数的运算教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习
5.2 导数的运算
教材结论与考点深挖
（1）教材出处
选择性必修第二册 第五章 5.2.1 基本初等函数的导数 正文的导数公式表；同节例2（物价上涨问题）；课后习题中由公式直接求导、由导数求切线的基本题。
（2）教材结论/公式/性质
结论类型：正文定理公式。
基本初等函数的导数公式表：
原函数 | 导函数 | 成立条件 |
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常用特例：
，
，
，
。
（3）推导证明
常数函数：
，故 
。
幂函数（以正整数指数为例）：由二项式定理，
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两边除以 
，再令 
，除第一项外其余各项都含 ，故 
。对 
与 
，同样按定义作差、通分或有理化，可得 ，，与公式表一致。
指数函数：
由标准极限 
，得 
；取 
得 
。
对数函数：
令 
，由 
及换底公式，得 
；取 得 
。
正弦、余弦函数：由和差化积与标准极限 
，可得 
，
。教材直接列出这两个公式，推导思路与上述各例相同。
（4）适用条件与易错提醒
- 公式中的
必须在定义域内：对数函数要求 
；负整数指数幂要求 
；一般实数指数幂要求 。 - 三角函数求导必须使用弧度制；若角用角度制， 不成立。
- 与
不能混：前者底数固定、指数变，后者指数固定、底数变。 - ，，后者分母多一个
，不要漏写。 - 常数的导数为
：
，
，不能把 
当成 
求导。 - 公式表只适用于基本初等函数；
、
等复合函数不能直接套表，要用链式法则。 - 求导前先化为幂的形式：
，
，再套幂函数公式。
（5）考点定位与命题角度
选填题高频，主要考“由公式直接求导”“求曲线在一点处的切线方程”“由切线斜率反求参数”；解答题中常作第一问的基础运算。难度基础到中档。近年真题如 2024 新课标Ⅰ卷·13（由公切线求参数）、2021 新高考Ⅰ卷·7（过定点作两条切线）都以基本初等函数的导数为起点。
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（6）方法归纳
- 第一步 识别函数类型：常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数，或它们的组合。
- 第二步 化为标准形式：根式写成分数指数幂，分式写成负指数幂，三角式先化简。
- 第三步 逐项套公式，注意系数、符号与 ；复合结构先分解再求导。
- 第四步 回验定义域与特殊点，检查切线斜率、参数范围是否符合题意。
（7）典型例题
假设某地在 20 年间的年均通货膨胀率为 
，物价 
（单位：元）与时间 
（单位：年）之间的关系为 
。若某种商品的 
，求在第 10 个年头该商品价格上涨的速度（精确到 
元/年）。
解析
由 
，得
当 
时，
故在第 10 个年头，该商品价格约以 
元/年的速度上涨。
求下列函数的导数：
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
。
解析
（1）
。
（2）
，故 
。
（3）
。
（4）
。
（8）变式训练
若曲线 
在点 
处的切线也是曲线 
的切线，求 
的值。
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