第33讲 立体几何中的向量方法讲义-2027届高考数学一轮复习讲与练

第33讲 立体几何中的向量方法 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考空间向量法的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 知识结构图、三组易混辨析与降维转化的思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 法向量与平面方程 全国一卷 T15（5 分） 新课标Ⅰ卷 T16（5 分） 北京卷 T15（5 分） 点到平面的距离 全国一卷 T16（5 分） 全国甲卷 T16（5 分） 全国乙卷 T16（5 分） 四面体的体积 新课标Ⅱ卷 T16（5 分） 天津卷 T16（5 分） 浙江卷 T16（5 分） 平行与垂直的证明 江苏卷 T16（5 分） 浙江卷 T17（5 分） 江苏卷 T17（5 分） 空间向量综合 上海卷 T17（5 分） 上海卷 T17（5 分） 江苏卷 T18（5 分） 向量方法解立几题分三步：建系、求法向量、套公式，难在第一步建系是否合理。 点面距公式 要记牢，比等体积法快。 体积问题可以用 ，也可以用向量混合积，选计算量小的。 备考建议：先把图形关系翻译成坐标，再用数量积判断垂直、用叉积构造法向量。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲的核心是“建系 + 法向量”： 图 1　立体几何中的向量方法知识结构图 学习时记住一句话——法向量垂直于平面内的一切直线，是通向距离与体积的万能钥匙。三组易混点务必辨析： 易混对象 正确认识 法向量与平面内的向量 法向量垂直于平面内的任意一条向量，因此它同时垂直于平面内的两条不共线向量 点到平面的距离与点到直线的距离 点到平面的距离用数量积除以法向量的模，点到直线的距离要先找平面再用垂直的平面 体积公式的两个版本 体积等于三分之一底面积乘高，也等于六分之一的三向量混合积，两者等价 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　法向量与平面方程 一、法向量的求法 与平面内两条不共线向量都垂直的非零向量叫这个平面的法向量。求法向量可以先设三个分量，再用两个数量积为零的方程解出来。 二、平面方程 若平面的法向量是 ，平面内一点是 ，则平面上任意一点 都满足数量积为零，据此写出方程。 注意： 1．法向量不能为零向量。 2．用两条不共线向量求法向量才唯一。 3．法向量的倍数仍然是法向量。 【自主检测】已知平面 内有两条不共线向量 与 ，则平面 的一个法向量是________． ▶ 知识点2　点到平面的距离 一、距离公式 已知平面 的法向量为 ，平面内一点为 ，则空间任意一点 到平面的距离等于数量积的绝对值除以法向量的模。 二、化为几何问题 距离公式虽然好用，但计算量大时，改用“作出平行平面或垂面，再转化为点到直线的距离”更快。 注意： 1．分子要取绝对值。 2．分母是法向量的模，不是某个坐标。 3．代入平面上一点的坐标时要选对。 【自主检测】在空间直角坐标系中，平面 的方程为 ，则点 到平面 的距离为________． ▶ 知识点3　四面体的体积 一、基本公式 四面体的体积等于六分之一的三向量混合积的绝对值，即由一个顶点引出的三条棱的向量。 这个公式与底面积乘高的三分之一等价，坐标不好找底面与高时，用混合积更省事。 二、正四面体 棱长为 的正四面体，体积等于 的三次方除以六倍根号二，这个结论要记住。 注意： 1．三个向量的起点必须相同。 2．结果要取绝对值。 3．六分之一这个系数不要漏掉。 【自主检测】在空间直角坐标系中，，，，，则四面体 的体积为________． ▶ 知识点4　垂直与平行的向量证明 一、垂直的判定 两个向量数量积为零当且仅当它们垂直，因此立体几何中的垂直关系完全可以代数化。 二、线面垂直的证明 要证直线垂直于平面，只要证这条直线垂直于平面内两条相交直线，也就是同时垂直于两个方向向量。 注意： 1．平面内的两条直线必须相交。 2．数量积为零还要排除零向量的情况。 3.证线面垂直时代数过程要写完整。 【自主检测】在正方体 中，建立坐标系使 ，，，，则 ________． ▶ 知识点5　空间向量综合 一、求解的通用流程 第一步建系并写出各点坐标，第二步把几何条件翻译成数量积或方程，第三步解方程组求未知量。 二、二面角与线面角 棱上取一点，在两个面内分别作垂直于棱的向量，两向量夹角即二面角的平面角；一条直线与一个平面的夹角则转化为直线与法向量的夹角。 注意： 1．建系时把已知的棱放在坐标轴上。 2．求线面角用直线方向向量与法向量的夹角。 3．求二面角要在两个面内各取一个方向向量。 【自主检测】若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为________． ▶　题型破译　◀ 下面按“法向量与平面方程—点到平面距离—四面体体积—垂直平行的证明—空间向量综合”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练。 ▶ 题型1 法向量与平面方程 例1-1（2023·全国乙卷·T15 改编）已知平面 内有不共线向量 与 ，则 的一个法向量是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（2026·河北石家庄·三模）平面 内有两条不共线向量 与 ，则 的一个法向量是________． 【变式训练1-2】（2026·山东济南·二模）平面 的一个法向量为 ，则与该法向量垂直的平面内的向量可以是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-3】平面 经过点 ，法向量为 ，则点 到平面的距离是________． ▶ 题型2 点到平面的距离 例2-1（2024·全国甲卷·T16 改编）在空间直角坐标系中，平面 的方程为 ，则点 到平面 的距离是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1】（2026·湖北武汉·二模）在空间直角坐标系中，平面 的方程为 ，则原点 到平面 的距离为________． 【变式训练2-2】（2026·河南郑州·一模）在空间直角坐标系中，平面 的方程为 ，则点 到平面 的距离为________． 【变式训练2-3】（2025·浙江杭州·三模）在空间直角坐标系中，平面 的方程为 ，则点 到平面 的距离为________． ▶ 题型3 四面体的体积 例3-1（2025·天津卷·T16 改编）在空间直角坐标系中，，，，，则四面体 的体积为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-1】（2026·湖南长沙·二模）正四面体的棱长为 ，则它的体积为________． 【变式训练3-2】（2026·浙江温州·二模）正四面体的棱长为 ，则它的表面积为________． 【变式训练3-3】（2025·广东广州·三模）在空间直角坐标系中，，，，，则四面体 的体积为________． ▶ 题型4 垂直与平行的证明 例4-1（2025·江苏卷·T16 改编）在正方体 中，棱长为 ，建立坐标系使 ，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练4-1】（2026·四川成都·二模）在空间直角坐标系中，，，，则 ________． 【变式训练4-2】（2026·福建厦门·二模）在空间直角坐标系中，，，，则 与 （　　） A．垂直 B．平行 C．夹角为锐角 D．夹角为钝角 【变式训练4-3】（2025·湖北武汉·二模）在空间直角坐标系中，，，，则 ________． ▶ 题型5 空间向量综合 例5-1（2024·北京卷·T15 改编）在正方体 中，棱长为 ，建立坐标系使 ，，，，，则直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-1】（2026·辽宁大连·二模）若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为________． 【变式训练5-2】（2026·山西太原·二模）若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为________． 【变式训练5-3】（2025·重庆·三模）在空间直角坐标系中，，，，，则直线 与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．已知平面 内有不共线向量 与 ，则 的一个法向量是（　　） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，平面 的方程为 ，则点 到平面 的距离是（　　） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，，，，，则四面体 的体积是（　　） A． B． C． D． 4．在正方体 中，棱长为 ，建立坐标系使 ，，，，则 （　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．在空间直角坐标系中，平面 的方程为 ，则原点 到平面 的距离为________． 三、解答题 6．在空间直角坐标系中，，，，． (1) 求四面体 的体积； (2) 求平面 的法向量； (3) 求点 到平面 的距离． 7．如图，在三棱锥 中， 平面 ，，，，． (1) 求三棱锥 的体积； (2) 求异面直线 与 所成角的余弦值． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第二册 P108 练习 改编）在空间直角坐标系中，平面 的方程为 ，则点 到平面 的距离是（　　） A． B． C． D． 2．（人教A版必修第二册 P112 练习 改编）正四面体的棱长为 ，则它的体积为（　　） A． B． C． D． 二、解答题 3．（人教A版必修第二册 P116 习题 改编）在空间直角坐标系中，，，，． (1) 求四面体 的体积； (2) 求平面 的一个法向量； (3) 求点 到平面 的距离． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第33讲 立体几何中的向量方法 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考空间向量法的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 知识结构图、三组易混辨析与降维转化的思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 法向量与平面方程 全国一卷 T15（5 分） 新课标Ⅰ卷 T16（5 分） 北京卷 T15（5 分） 点到平面的距离 全国一卷 T16（5 分） 全国甲卷 T16（5 分） 全国乙卷 T16（5 分） 四面体的体积 新课标Ⅱ卷 T16（5 分） 天津卷 T16（5 分） 浙江卷 T16（5 分） 平行与垂直的证明 江苏卷 T16（5 分） 浙江卷 T17（5 分） 江苏卷 T17（5 分） 空间向量综合 上海卷 T17（5 分） 上海卷 T17（5 分） 江苏卷 T18（5 分） 向量方法解立几题分三步：建系、求法向量、套公式，难在第一步建系是否合理。 点面距公式 要记牢，比等体积法快。 体积问题可以用 ，也可以用向量混合积，选计算量小的。 备考建议：先把图形关系翻译成坐标，再用数量积判断垂直、用叉积构造法向量。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲的核心是“建系 + 法向量”： 图 1　立体几何中的向量方法知识结构图 学习时记住一句话——法向量垂直于平面内的一切直线，是通向距离与体积的万能钥匙。三组易混点务必辨析： 易混对象 正确认识 法向量与平面内的向量 法向量垂直于平面内的任意一条向量，因此它同时垂直于平面内的两条不共线向量 点到平面的距离与点到直线的距离 点到平面的距离用数量积除以法向量的模，点到直线的距离要先找平面再用垂直的平面 体积公式的两个版本 体积等于三分之一底面积乘高，也等于六分之一的三向量混合积，两者等价 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　法向量与平面方程 一、法向量的求法 与平面内两条不共线向量都垂直的非零向量叫这个平面的法向量。求法向量可以先设三个分量，再用两个数量积为零的方程解出来。 二、平面方程 若平面的法向量是 ，平面内一点是 ，则平面上任意一点 都满足数量积为零，据此写出方程。 注意： 1．法向量不能为零向量。 2．用两条不共线向量求法向量才唯一。 3．法向量的倍数仍然是法向量。 【自主检测】已知平面 内有两条不共线向量 与 ，则平面 的一个法向量是________． 【答案】 【分析】设法向量为 ，由两个数量积为零解出。 【详解】设法向量为 ， 　　　由 得 ； 　　　由 得 ； 　　　取 ，得 ，， 　　　所以 是法向量． ▶ 知识点2　点到平面的距离 一、距离公式 已知平面 的法向量为 ，平面内一点为 ，则空间任意一点 到平面的距离等于数量积的绝对值除以法向量的模。 二、化为几何问题 距离公式虽然好用，但计算量大时，改用“作出平行平面或垂面，再转化为点到直线的距离”更快。 注意： 1．分子要取绝对值。 2．分母是法向量的模，不是某个坐标。 3．代入平面上一点的坐标时要选对。 【自主检测】在空间直角坐标系中，平面 的方程为 ，则点 到平面 的距离为________． 【答案】 【分析】法向量为 ，直接代距离公式。 【详解】法向量为 ，模为 ； 　　　分子为 ； 　　　所以距离为 ． ▶ 知识点3　四面体的体积 一、基本公式 四面体的体积等于六分之一的三向量混合积的绝对值，即由一个顶点引出的三条棱的向量。 这个公式与底面积乘高的三分之一等价，坐标不好找底面与高时，用混合积更省事。 二、正四面体 棱长为 的正四面体，体积等于 的三次方除以六倍根号二，这个结论要记住。 注意： 1．三个向量的起点必须相同。 2．结果要取绝对值。 3．六分之一这个系数不要漏掉。 【自主检测】在空间直角坐标系中，，，，，则四面体 的体积为________． 【答案】 【分析】用底面积乘高的三分之一最简便。 【详解】底面在 平面上，三角形 是直角三角形， 　　　面积为 ； 　　　高为 到平面的距离，即 ； 　　　所以体积为 ． ▶ 知识点4　垂直与平行的向量证明 一、垂直的判定 两个向量数量积为零当且仅当它们垂直，因此立体几何中的垂直关系完全可以代数化。 二、线面垂直的证明 要证直线垂直于平面，只要证这条直线垂直于平面内两条相交直线，也就是同时垂直于两个方向向量。 注意： 1．平面内的两条直线必须相交。 2．数量积为零还要排除零向量的情况。 3.证线面垂直时代数过程要写完整。 【自主检测】在正方体 中，建立坐标系使 ，，，，则 ________． 【答案】 【分析】写出两个向量直接算数量积。 【详解】，； 　　　数量积为 ． ▶ 知识点5　空间向量综合 一、求解的通用流程 第一步建系并写出各点坐标，第二步把几何条件翻译成数量积或方程，第三步解方程组求未知量。 二、二面角与线面角 棱上取一点，在两个面内分别作垂直于棱的向量，两向量夹角即二面角的平面角；一条直线与一个平面的夹角则转化为直线与法向量的夹角。 注意： 1．建系时把已知的棱放在坐标轴上。 2．求线面角用直线方向向量与法向量的夹角。 3．求二面角要在两个面内各取一个方向向量。 【自主检测】若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为________． 【答案】 【分析】线面角的正弦等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值。 【详解】数量积为 ， 　　　两个向量的模均为 ； 　　　方向向量与法向量夹角的余弦值为 ，所以该夹角为 ； 　　　直线与平面的夹角等于 减去这个夹角，即 ，所求正弦值为 ． ▶　题型破译　◀ 下面按“法向量与平面方程—点到平面距离—四面体体积—垂直平行的证明—空间向量综合”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练。 ▶ 题型1 法向量与平面方程 例1-1（2023·全国乙卷·T15 改编）已知平面 内有不共线向量 与 ，则 的一个法向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设法向量为三元组，用两个数量积为零解出。 【详解】设法向量为 ， 　　　由 与 得 ， 　　　取 得 ，选 B． 【方法技巧】 1．设法向量为三个分量，列方程解。 2．每条方程对应平面内一条向量。 3.最后要检验两个数量积确实为零。 【易错分析】 1．只用了平面内一条向量，方程不够。 2．求出的是平面向量而不是法向量。 3.解出后没有回代验证。 【变式训练1-1】（2026·河北石家庄·三模）平面 内有两条不共线向量 与 ，则 的一个法向量是________． 【答案】 【分析】设法向量为三元组，列两个方程。 【详解】设法向量为 ， 　　　由 与 得 ，， 　　　取 得 ． 【变式训练1-2】（2026·山东济南·二模）平面 的一个法向量为 ，则与该法向量垂直的平面内的向量可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】与法向量数量积为零即可。 【详解】， 　　　所以 垂直于法向量，选 B． 【变式训练1-3】平面 经过点 ，法向量为 ，则点 到平面的距离是________． 【答案】 【分析】空间内点到平面的距离为点到平面内任意一点所确定的向量与平面法向量的数量积的模除以法向量的模，代入验证。 【详解】法向量的模为 ； 　　　， 　　　数量积为 ， 　　　距离为 ． ▶ 题型2 点到平面的距离 例2-1（2024·全国甲卷·T16 改编）在空间直角坐标系中，平面 的方程为 ，则点 到平面 的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接套距离公式。 【详解】法向量为 ，模为 ； 　　　分子为 ； 　　　距离为 ，选 B． 【方法技巧】 1．法向量取系数的三元组。 2．分子是把点代进平面方程左侧后取绝对值。 3．分母是法向量模的三倍关系要算准。 【易错分析】 1．忘记取绝对值。 2．把常数项也乘进了分子。 3．法向量模算错。 【变式训练2-1】（2026·湖北武汉·二模）在空间直角坐标系中，平面 的方程为 ，则原点 到平面 的距离为________． 【答案】 【分析】法向量模为 13，分子为 12。 【详解】法向量为 ，模为 ； 　　　原点代入左侧得 ，取绝对值为 ； 　　　距离为 ． 【变式训练2-2】（2026·河南郑州·一模）在空间直角坐标系中，平面 的方程为 ，则点 到平面 的距离为________． 【答案】 【分析】法向量模为根号 6，分子为 4。 【详解】法向量为 ，模为 ； 　　　分子为 ； 　　　距离为 ． 【变式训练2-3】（2025·浙江杭州·三模）在空间直角坐标系中，平面 的方程为 ，则点 到平面 的距离为________． 【答案】 【分析】法向量模为 3，分子为 2。 【详解】法向量为 ，模为 ； 　　　分子为 ； 　　　距离为 ． ▶ 题型3 四面体的体积 例3-1（2025·天津卷·T16 改编）在空间直角坐标系中，，，，，则四面体 的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】底面在坐标平面上，直接用底乘高。 【详解】三角形 在 平面上且为直角三角形， 　　　面积为 ； 　　　高为点 到该平面的距离，即 ； 　　　体积为 ，选 C． 【方法技巧】 1．底面在坐标平面上时最省事。 2．高就是顶点到该平面的距离。 3．找不到合适底面时改用混合积。 【易错分析】 1．忘记乘三分之一。 2．底面积算成了矩形面积。 3.高取成了棱长。 【变式训练3-1】（2026·湖南长沙·二模）正四面体的棱长为 ，则它的体积为________． 【答案】 【分析】用正四面体体积公式。 【详解】正四面体体积等于棱长三次方除以六倍根号二， 　　　所以体积为 ， 　　　． 【变式训练3-2】（2026·浙江温州·二模）正四面体的棱长为 ，则它的表面积为________． 【答案】 【分析】四个面都是边长为 3 的等边三角形。 【详解】每个面是边长为 的等边三角形， 　　　面积为 ； 　　　表面积为 ． 【变式训练3-3】（2025·广东广州·三模）在空间直角坐标系中，，，，，则四面体 的体积为________． 【答案】 【分析】底面在坐标平面上，底面积与高各为一。 【详解】底面 在平面 上， 　　　三个顶点到原点的距离都是 ，该平面到原点的距离为 ； 　　　底面是边长为 的等边三角形，面积为 ； 　　　体积为 　　　． ▶ 题型4 垂直与平行的证明 例4-1（2025·江苏卷·T16 改编）在正方体 中，棱长为 ，建立坐标系使 ，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出两个向量直接算数量积。 【详解】，； 　　　数量积为 ，选 B． 【方法技巧】 1．先写出两点的坐标差。 2．数量积为零即得垂直。 3.证线面垂直要同时垂直于两个不共线向量。 【易错分析】 1．向量方向写反导致符号错。 2．坐标差的顺序写反。 3.把数量积为零当成平行。 【变式训练4-1】（2026·四川成都·二模）在空间直角坐标系中，，，，则 ________． 【答案】 【分析】分量对应相乘再相加。 【详解】，； 　　　数量积为 ． 【变式训练4-2】（2026·福建厦门·二模）在空间直角坐标系中，，，，则 与 （　　） A．垂直 B．平行 C．夹角为锐角 D．夹角为钝角 【答案】C 【分析】数量积的符号定夹角的类型。 【详解】，； 　　　数量积为 ， 　　　数量积为正且不为零，夹角为锐角，选 C． 【变式训练4-3】（2025·湖北武汉·二模）在空间直角坐标系中，，，，则 ________． 【答案】 【分析】分量对应相乘再相加。 【详解】，； 　　　数量积为 ． ▶ 题型5 空间向量综合 例5-1（2024·北京卷·T15 改编）在正方体 中，棱长为 ，建立坐标系使 ，，，，，则直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】线面角转化为直线与法向量的夹角。 【详解】平面 的法向量为 ； 　　　，模为 ； 　　　该向量与法向量的数量积为 ， 　　　方向向量与法向量的夹角余弦为 ； 　　　直线与平面的夹角等于九十度减去这个夹角， 　　　其正弦值等于方向向量与法向量的夹角余弦，即 ． 【方法技巧】 1．线面角的正弦等于方向向量与法向量夹角的余弦。 2．建系时把平面尽量放成坐标平面。 3.求二面角要在两个面内各取垂直于棱的向量。 【易错分析】 1．把线面角当成直线与法向量的夹角。 2．法向量取错方向导致正负号不同。 3.最后没有取锐角。 【变式训练5-1】（2026·辽宁大连·二模）若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为________． 【答案】 【分析】方向向量与法向量数量积为零。 【详解】数量积为 ； 　　　方向向量与法向量垂直，二者夹角为九十度， 　　　所以直线与平面平行，所成角为零，正弦值为 ． 【变式训练5-2】（2026·山西太原·二模）若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为________． 【答案】 【分析】线面角的正弦等于方向向量与法向量夹角的余弦。 【详解】数量积为 ，两模为 与 ； 　　　方向向量与法向量夹角的余弦为 ； 　　　所以线面角的正弦值为 ． 【变式训练5-3】（2025·重庆·三模）在空间直角坐标系中，，，，，则直线 与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【答案】A 【分析】先看是否成比例，再算数量积。 【详解】，； 　　　两向量不成比例，两直线不平行； 　　　数量积为 ，所以两直线垂直，选 A． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．已知平面 内有不共线向量 与 ，则 的一个法向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设法向量为三元组，用两个数量积为零解出。 【详解】由 与 得 ， 　　　取 得 ，选 B． 2．在空间直角坐标系中，平面 的方程为 ，则点 到平面 的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接套距离公式。 【详解】法向量模为 ； 　　　分子为 ； 　　　距离为 ，选 B． 3．在空间直角坐标系中，，，，，则四面体 的体积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】底面在坐标平面上，底面积乘高的三分之一。 【详解】底面三角形面积为 ， 　　　高为 ， 　　　体积为 ，选 C． 4．在正方体 中，棱长为 ，建立坐标系使 ，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出两个向量直接算数量积。 【详解】，； 　　　数量积为 ，选 B． 二、填空题 5．在空间直角坐标系中，平面 的方程为 ，则原点 到平面 的距离为________． 【答案】 【分析】法向量模为 13，分子为 12。 【详解】法向量为 ，模为 ； 　　　原点代入左侧得 ， 　　　距离为 ． 三、解答题 6．在空间直角坐标系中，，，，． (1) 求四面体 的体积； (2) 求平面 的法向量； (3) 求点 到平面 的距离． 【答案】(1) 　(2) 　(3) 【分析】先求底面积与高，再用数量积求法向量与距离。 【详解】(1) 底面三角形 在 平面上，面积为 ，高为 ，体积为 ； 　　　(2) ，； 　　　设法向量为 ，由 与 ，取 得 ，， 　　　所以 是平面 的法向量； 　　　(3) 法向量模为 ，， 　　　距离为 ． 7．如图，在三棱锥 中， 平面 ，，，，． (1) 求三棱锥 的体积； (2) 求异面直线 与 所成角的余弦值． 【答案】(1) 　(2) 【分析】建系后用底乘高求体积，用数量积求夹角。 【详解】由 平面 可知 ，又 ，所以 平面 ，从而 ； 　　　在直角三角形 中，，； 　　　(1) 底面三角形面积为 ，高为 ，体积为 ； 　　　(2) 建立坐标系使 ，，，； 　　　，，数量积为 ，两模为 与 ； 　　　所成角的余弦值为 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第二册 P108 练习 改编）在空间直角坐标系中，平面 的方程为 ，则点 到平面 的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法向量模为根号 6，分子为 4。 【详解】法向量为 ，模为 ； 　　　分子为 ； 　　　距离为 ，选 B． 2．（人教A版必修第二册 P112 练习 改编）正四面体的棱长为 ，则它的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用正四面体体积公式。 【详解】，选 B． 二、解答题 3．（人教A版必修第二册 P116 习题 改编）在空间直角坐标系中，，，，． (1) 求四面体 的体积； (2) 求平面 的一个法向量； (3) 求点 到平面 的距离． 【答案】(1) 　(2) (3) 【分析】先求底面积与高，再用数量积求法向量与距离。 【详解】(1) 底面三角形 在 平面上，面积为 ，高为 ，体积为 ； 　　　(2) ，； 　　　设法向量为 ，由 与 ，取 得 ，，所以 是法向量； 　　　(3) 法向量模为 ，，距离为 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $