第33讲_三角恒等变换：辅助角与降幂讲义-2027届高三数学一轮复习

第33讲 三角恒等变换：辅助角与降幂 asinx+bcosx 合一·降幂公式·角的拼凑·化简求值解答 一、辅助角合一:asinx+bcosx 1. 辅助角公式. ,其中 ,。常用三组:,,. 2. 先化简后算账. 见到 、、,先降幂合一,化成 型,再谈周期、单调、最值——化简到 A 型是三角解答题的第一站. 3. 常数项跟着走. 合一后 :最值是 ;题目给”最小值为 2”这类条件,先反解常数,再回代算别的. 【通法】 一把合,相位认 . 【通法】先化简到 A 型,再谈性质. 【通法】最值 ,常数先反解再回代. 例1（解答·★★★★☆） 设函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当时，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值． 【切入点】降幂合一: (Ⅰ) ;递增:,解得 (Ⅱ) 时 :正弦在区间左端点 取最小 ,在内部 取最大 。故 ,即 ;最大值 此时 ,即 。 【关键】闭区间最值先写 的范围再认峰谷:本题谷不在区间内,最小值落在左端点;由 反解 ,再把 代回最大值——先求参、再回代,两步各写各的. 【答案】（Ⅰ）,递增区间 ();（Ⅱ）最大值 ,此时 变式1（解答·★★★★☆） 已知函数的最小正周期为．（1）求及；（2）若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域． 【切入点】(1) ,周期 给 ; (2) 右移 :。 时 :最小 (端点),最大 (内部峰),值域 【关键】合一、周期定 、求值一条线;变换后求值域,先写 的范围,再认峰谷与端点——次序反了就会把端点值当最值. 【答案】（1）,;（2） 变式2（单选·★★★☆☆） 已知函数，图像的对称中心到相邻的对称轴之间的距离为，则在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】降幂: 对称中心到相邻对称轴距离 ,故 ,。 时 : 的谷 不在区间内,最小值在左端点 , 选 A。 【关键】 的相位是 :辅助角公式里 配 、 配 ,——系数对号入座,相位才不会张冠李戴;谷不在区间里,端点接管最值. 【答案】A 二、降幂与配方:二倍角的另一半 1. 降幂公式. ,——见平方,降一次;反向用就是升幂:. 2. 化简的标准终点. ;“积加平方”如 ,逐项降幂后必合并成 . 3. 半角目标式先降幂. 见 :先写 ,把目标角翻成已知角的”邻居”,再拼角. 【通法】见平方降幂,见乘积升角. 【通法】化简终点 . 【通法】半角先降幂,再认邻居角. 例2（解答·★★★★☆） 已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为.（1）求的值；（2）将函数的图象向左平移个单位长度后，在纵坐标不变的情况下，再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，求的函数解析式与对称中心. 【切入点】(1) 降幂: 相邻对称轴相距 ,故 ,。 (2) 左移 :;横坐标缩短为原来的 ( 换 ): 对称中心:,即 【关键】常数对自动消平: 留下 ,与 恰配成振幅 的正弦——降幂时常数项写全再合并,不跳步;变换链照题面次序逐个代入. 【答案】（1）;（2）,对称中心 () 变式3（解答·★★★☆☆） 已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若函数为偶函数，其中，求的最小值. 【切入点】(1) ,故 。 (2) 为偶函数,正弦型函数偶 相位为 : 时最小值 【关键】“平移后偶函数”就是相位凑 ;解出无穷多 后用 挑最小——参数题的最后一问常是解方程加挑解. 【答案】（1）;（2） 的最小值为 变式4（多选·★★★☆☆） 函数，则下列关于的说法中正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. 最大值是2 C. 是区间上的增函数 D. 图象关于点中心对称 【切入点】。 A:,真; B:最大值 ,选项写 ,假; C: 时 ,含于 ,递增,真; D:,且对称中心纵坐标应为常数项 ,假。故 AC。 【关键】带常数 后,对称中心从 轴抬到 :中心的纵坐标就是常数项;D 项的 横纵两处都不对. 【答案】AC 变式5（单选·★★★☆☆） 已知，则＝（ ） A. B. C. D. 【切入点】目标式降幂: 已知角 与目标角 相差 : 故 选 A。 【关键】半角降幂加移角:降幂把目标翻成 ,它与已知的 恰差 ,余弦翻正弦——拼角先算两角的差,差是特殊角就一步搬家. 【答案】A 变式6（单选·★★★☆☆） 已知函数，在区间上单调递增，为它的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（ ） A. B. C. D. 【切入点】降幂合一: 是对称轴:,即 ; 时 给 ,含于递增区间,取 ( 时相位段 整段落进正弦的递减段 ,与递增不合; 时相位段更宽,必跨过峰或谷,亦舍)。故 。 方程 :当 时左边为 ,无解;当 时即 。故方程的根就是 的根: 即 或 。在 内前者有 ,后者有 ,共 根,和为 选 C。 【关键】 先按 的符号拆:负半边恒等 ,方程只剩正半轴的 ;根按”每 一对”清点——绝对值方程先分正负,数根先看周期. 【答案】C 三、给值求值:角的拼凑 1. 拼凑的原则. 目标角写成已知角的加减:,,;公式照用,只是把”角”换成”角的组合”. 2. 公式要会倒着认. 合起来就是 ——长式子先认”它是哪条公式的展开”,再代值. 3. 两式加减造积. 和角展开 与差角展开只差一个符号:两个条件加减,就能把 与 分家. 【通法】目标角等于已知角的加减,先拆再代. 【通法】长式先认公式,再代值. 【通法】两式加减,积式分家. 例3（填空·★★★☆☆） 已知，，则 = ________． 【切入点】记 ,。由 ,即 ;又 联立 与 ,得 ,。而 【关键】把 与 当成两个未知量 :和角与差角的展开式里它们一减一加,题给两条件恰好一比一差,线性方程组当场解完——设元是拼角题的卸力动作. 【答案】 变式7（单选·★★★☆☆） 已知锐角满足，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】左边认公式: 为锐角给 ,平方: 选 C。 【关键】“和角公式倒着认”是第一眼功夫:两乘积相加是正弦公式,相减是余弦公式;认出 后,到 只隔一个平方开方,锐角保正. 【答案】C 变式8（单选·★★★☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】两条已知都翻到倍角:;第二条降幂: 两式相除: 代回 检验: 为奇数时要求 ,与 不能同时成立,舍;故 偶,, 选 A。 【关键】条件是 与 的”弦”,目标是 的”切”——降幂把平方拆成倍角,倍角相除出正切;正切周期是 ,解出 后必须回代原式验 的奇偶,不然差一个符号. 【答案】A 变式9（多选·★★★☆☆） 已知，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】由 : A:选项写 ,符号错,假; B:,真; C:,真; D:,选项写 ,假。故 BC。 【关键】和角公式一展开, 与 就是全部基本量:和角、差角、正切比、二倍角之积全由它们拼出——基本量在手,逐项是搬运. 【答案】BC 变式10（单选·★★☆☆☆） 已知锐角满足，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】( 锐角)给 ,;又 。 均锐角给 ,正切为负落在第二象限: 选 D。 【关键】知弦求切、换切合角:两条已知各翻成 ,正切和角公式一次收口;范围负责收尾—— 内正切为负只有第二象限,挑出 . 【答案】D 四、解答压轴:合一—降幂—再回代 1. 解答三拍. 第一拍化简(降幂、合一,终点 );第二拍读性质(周期、单调、最值、对称);第三拍回代(给值求值、解不等式、证等式)——每一拍都从上一拍的解析式出发. 2. 证明题先翻译. “证 ”先翻成 :切化弦后,条件里的乘积式与目标对上号,证明只剩代入与相除. 3. 换元 . ,;含 与 的方程,换元后成为对绝对值函数的清点. 【通法】化简—性质—回代,三拍连走. 【通法】证切先化弦,条件对乘积. 【通法】换元 ,范围 先行. 例4（解答·★★★★☆） 已知函数（）的图象过点.（1）求的单调递增区间；（2）当，且时，证明：. 【切入点】(1) 过点 :,即 ,,;结合 得 ,。递增:, (2) 条件翻译:,即 。由 : 两式相除( 与 都非零,分母 ): 证毕。 【关键】证明题先”翻译”: 的相位 与自变量 恰好拼成 ——相位是配好的零件;目标 化弦后正是两个乘积之比,一个条件给第一个乘积,和角公式减一减就出第二个. 【答案】（1）递增区间 ();（2）证明见解析 变式11（解答·★★★★☆） 已知函数的最大值为1.（1）求常数的值；（2）求使成立的的取值集合. 【切入点】(1) 前两项展开相加, 互相抵消: 最大值 ,得 。 (2) 即 : 故 的取值集合为所有区间 的并集。 【关键】“和角与余弦平方”的标准合演: 展开相加, 自动抵消;解 在常数回代后就是”正弦不低于 “——解集按 成串写出,别只写一段. 【答案】（1）;（2）() 变式12（填空·★★★★☆） 若对于任意的，关于x的方程在上始终有解，则m的取值范围为__________. 【切入点】合一换元:记 ,且 ,方程左端即 为偶函数: 时 ,最小值 (在 处); 时 随 递增,最大值在 : 关键在看清”任意长为 的区间”里 的账: 的点列 与 的点列 都是每 一个,故任何闭区间 必各含两类点至少一个—— 在其上取到最小 与最大 ,又 全局介于两者之间,由介值性, 在每个这样的区间上的取值集合恰为 。“对任意 恒有解”即 落进这个值域,故 【关键】双绝对值方程先合一换元压成 ;“任意区间有解”翻成” 落进每段上的值域”,方向别反成” 压过最大值”—— 与 两族点各自每 一个,保证任何长 的闭区间两头都抓到,值域恰为 ,全程不必讨论 . 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 第33讲 三角恒等变换：辅助角与降幂 asinx+bcosx 合一·降幂公式·角的拼凑·化简求值解答 一、辅助角合一:asinx+bcosx 1. 辅助角公式. ,其中 ,。常用三组:,,. 2. 先化简后算账. 见到 、、,先降幂合一,化成 型,再谈周期、单调、最值——化简到 A 型是三角解答题的第一站. 3. 常数项跟着走. 合一后 :最值是 ;题目给”最小值为 2”这类条件,先反解常数,再回代算别的. 例1（解答·★★★★☆） 设函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当时，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值． 变式1（解答·★★★★☆） 已知函数的最小正周期为．（1）求及；（2）若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域． 变式2（单选·★★★☆☆） 已知函数，图像的对称中心到相邻的对称轴之间的距离为，则在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、降幂与配方:二倍角的另一半 1. 降幂公式. ,——见平方,降一次;反向用就是升幂:. 2. 化简的标准终点. ;“积加平方”如 ,逐项降幂后必合并成 . 3. 半角目标式先降幂. 见 :先写 ,把目标角翻成已知角的”邻居”,再拼角. 例2（解答·★★★★☆） 已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为.（1）求的值；（2）将函数的图象向左平移个单位长度后，在纵坐标不变的情况下，再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，求的函数解析式与对称中心. 变式3（解答·★★★☆☆） 已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若函数为偶函数，其中，求的最小值. 变式4（多选·★★★☆☆） 函数，则下列关于的说法中正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. 最大值是2 C. 是区间上的增函数 D. 图象关于点中心对称 变式5（单选·★★★☆☆） 已知，则＝（ ） A. B. C. D. 变式6（单选·★★★☆☆） 已知函数，在区间上单调递增，为它的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（ ） A. B. C. D. 三、给值求值:角的拼凑 1. 拼凑的原则. 目标角写成已知角的加减:,,;公式照用,只是把”角”换成”角的组合”. 2. 公式要会倒着认. 合起来就是 ——长式子先认”它是哪条公式的展开”,再代值. 3. 两式加减造积. 和角展开 与差角展开只差一个符号:两个条件加减,就能把 与 分家. 例3（填空·★★★☆☆） 已知，，则 = ________． 变式7（单选·★★★☆☆） 已知锐角满足，则 = （ ） A. B. C. D. 变式8（单选·★★★☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式9（多选·★★★☆☆） 已知，则（ ） A. B. C. D. 变式10（单选·★★☆☆☆） 已知锐角满足，则 = （ ） A. B. C. D. 四、解答压轴:合一—降幂—再回代 1. 解答三拍. 第一拍化简(降幂、合一,终点 );第二拍读性质(周期、单调、最值、对称);第三拍回代(给值求值、解不等式、证等式)——每一拍都从上一拍的解析式出发. 2. 证明题先翻译. “证 ”先翻成 :切化弦后,条件里的乘积式与目标对上号,证明只剩代入与相除. 3. 换元 . ,;含 与 的方程,换元后成为对绝对值函数的清点. 例4（解答·★★★★☆） 已知函数（）的图象过点.（1）求的单调递增区间；（2）当，且时，证明：. 变式11（解答·★★★★☆） 已知函数的最大值为1.（1）求常数的值；（2）求使成立的的取值集合. 变式12（填空·★★★★☆） 若对于任意的，关于x的方程在上始终有解，则m的取值范围为__________. 学科网（北京）股份有限公司 $