精品解析：江苏无锡市第一中学2026-2027学年高一上学期10月阶段性质量检测数学试题

无锡市第一中学2026-2027学年度第一学期阶段性质量检测试卷 高一数学 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 下列集合中表示同一集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，且，则实数为（ ） A. 2 B. 3 C. 0或3 D. 4. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，且，则关于的最值下列说法正确的是（ ） A. 最小值为9 B. 最大值为9 C. 最小值为1 D. 最大值为1 7. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若， D. 若，则 10. 下列函数中满足“对任意，都有”的是（ ） A. B. C. D. 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_______. 13. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是______ 14. 已知实数，且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数， （1）用定义法证明函数在区间上是增函数； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若，求关于x的不等式的解集. 18. 已知函数． （1）若为偶函数，求的值； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，记的最大值为，最小值为，当时，设函数．求的最小值． 19. 已知集合A为非空数集，定义：，. （1）若集合，直接写出集合；（不必写过程） （2）对于，我们定义为“集合A的1次自相加集合”.在此基础上，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的n次自相加集合”若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”.已知，判断集合B是否是完美自相加集合，并说明理由； （3）若集合，且，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市第一中学2026-2027学年度第一学期阶段性质量检测试卷 高一数学 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定的概念求解. 【详解】命题“”的否定是， 故选:C. 2. 下列集合中表示同一集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，为数集，为点集，则. 故选：B. 3. 已知集合，且，则实数为（ ） A. 2 B. 3 C. 0或3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 4. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得、，再由充分、必要性定义确定条件间的关系. 【详解】由，得，即， 由，得，即. 推不出，但能推出， 是的必要不充分条件. 故选：B 5. 若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 6. 若，，且，则关于的最值下列说法正确的是（ ） A. 最小值为9 B. 最大值为9 C. 最小值为1 D. 最大值为1 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式可得，令，结合一元二次不等式解法求解即可. 【详解】因为，，， 由题意可得， 所以， 令， 得，解得（舍）或， 所以， 当且仅当时，等号成立， 将代入等式成立， 所以有最小值为9. 7. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，做出草图，再分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】根据题意，画出函数示意图： 当时，，即； 当时，，即； 当时，显然成立， 综上. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若， D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的性质，逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，所以，故A正确； 令，所以，得，故B错误； 当时，，故C错误； 由，又，，所以，即，故D正确. 10. 下列函数中满足“对任意，都有”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据，都有，得到在上单调递增，然后利用函数解析式逐项判断. 【详解】因为对任意，都有，所以在上单调递增， 对A，易知在上单调递增，故A正确； 对B，在R上单调递增，故B正确； 对C，的对称轴为，在上单调递减； 在上单调递增，故C错误； 对D，，由在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，故D正确． 故选：ABD 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：. 13. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】由可知函数在定义域内单调递减，结合分段函数单调性可列不等式，进而可得解. 【详解】由，不妨设， 则，， 则函数在上单调递减， 当时，单调递减，则，即， 当时，单调递减，则， 又函数在上单调递减，则，即， 综上所述，， 故答案为：. 14. 已知实数，且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用“1”的代换结合基本不等式可求的最小值，从而可求满足条件的整数的个数. 【详解】因为，故，所以 ， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为，故，解得， 故满足条件的整数的个数是. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）应用交集及并集定义计算求解； （2）根据并集结果分和列不等式计算求解. 【小问1详解】 由，得，则. 因为，所以， 则. . 【小问2详解】 由，可得. 若，则，解得. 若，则由，可得 解得. 综上所述，的取值范围为. 16. 已知函数， （1）用定义法证明函数在区间上是增函数； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） 任取，且， 则 ， 又，则， 所以，故， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数． （2）或 【解析】 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解， （2）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数是定义在区间上的增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或 17. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若，求关于x的不等式的解集. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【小问1详解】 由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 已知函数． （1）若为偶函数，求的值； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，记的最大值为，最小值为，当时，设函数．求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数定义列方程计算求解即可； （2）将参数分离，利用基本不等式求出表达式的最小值可得结果； （3）根据二次函数性质分，，，四种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 函数定义域为，关于原点对称， 而， 若为偶函数，则， 即，化简可得， 因为不恒为，所以； 【小问2详解】 由题可知，不等式在时恒成立. 显然当时，为任意值时都满足题意； 当时，不等式可化为在时恒成立， 易知， 当且仅当，即时，等号成立； 因此，所以； 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 函数为开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增， 所以，， 此时， 因为在区间上单调递减，所以； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 由二次函数性质可知，， 此时， 因为在区间上单调递减，所以； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 由二次函数性质可知，， 此时， 因为在区间上单调递增，所以； 当时，函数在区间上单调递减， 所以，， 此时， 因为在区间上单调递增，所以； 综上：当时，函数有最小值为. 19. 已知集合A为非空数集，定义：，. （1）若集合，直接写出集合；（不必写过程） （2）对于，我们定义为“集合A的1次自相加集合”.在此基础上，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的n次自相加集合”若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”.已知，判断集合B是否是完美自相加集合，并说明理由； （3）若集合，且，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 【答案】（1）、 （2）是，理由为： 因为集合 ，所以， 由此可知集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小元素的两倍， 所以中的最小元素为， 同理，次自相加后得到的集合中的最小元素是， 依照这样的规律，对集合进行任意次自相加操作后，最小值总在变大， 故不可能有相等集合，所以是“完美自相加集合”； （3） 【解析】 【分析】（1）结合定义计算即可得； （2）由定义可知，集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小元素的两倍，计算即可得； （3）解出不等式后，设出集合，结合定义可得，，再利用交集与并集定义可得、，解出可得，再证明可取即可得. 【小问1详解】 由、、，故； 由，，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，解得， 则， 设，其中， 且， 则有， 即可得， 且有，即可得， 又，故， 又集合中最大元素为，最小元素为，则， 则有，即有，解得， 即； 下证可取： 当时，， 此时，， 故满足题意，故可取； 综上可得，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $