4.2 整式的加法与减法（高频考点培优讲义）2026-2027学年人教版七年级数学上册

4.2 整式的加法与减法 学习目标与重难点 1、理解同类项的概念，会识别同类项，掌握合并同类项法则。 2、掌握去括号法则，能正确进行去括号运算，理解其依据是乘法分配律。 3、掌握整式加减的一般步骤，能熟练进行整式的加减运算，并能解决简单的实际问题。 重点：同类项的识别与合并同类项法则；去括号法则；整式加减的运算步骤。 难点：括号前是负因数时的去括号处理，注意各项符号变化；整式加减中“先去括号、再合并同类项”的顺序把控；从实际问题中抽象数量关系并列式运算。 高频考点题型◆归纳 题型1 同类型的判断 题型2 已知同类型求指数中字母或代数式的值 题型3 合并同类型 题型4 去括号 题型5 添括号 题型6 整式的加减运算 题型7 整式的加减中化简求值 题型8 整式的加减中的无关型问题 题型9 整式的加减的应用 题型10 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型11 整式加减中含括号及括号前有系数 题型12 数字类规律探索之排列问题 题型13 数字类规律探索之末尾数字问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点一　同类项 1. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项）。 2. 几个常数项也是同类项。 3. 判断同类项需要同时满足2个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同。 4. 合并同类项：将多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项。 5. 同类项合并的计算方法：系数对应向加减，字母及指数不变。 6. 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。 【针对训练】 1．下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意； B、符合同类项的定义，故选项符合题意； C、与中字母的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意； D、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意． 2．下面不是同类项的是（     ） A．与4 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项，所有常数项都是同类项，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵ 选项A中，和4都是常数项，所有常数项都是同类项，因此A是同类项； ∵ 选项B中，与所含字母都是a、b，a的指数都是2，b的指数都是1，符合同类项定义，因此B是同类项； ∵ 选项C中，与所含字母都是x、y，x的指数都是2，y的指数都是2，符合同类项定义，因此C是同类项； ∵ 选项D中，所含字母为m，所含字母为n，所含字母不同，不符合同类项定义，因此D不是同类项． 3．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项的法则，只有同类项才能合并，合并时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，根据法则逐一判断选项即可． 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，B错误； 对选项C：，C错误； 对选项D：，D正确． 知识点二　去（添）括号 1. 去（添）括号法则： 1. 若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； 2. 若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 【注意】：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 【针对训练】 1．的相反数是（　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数定义，对原式添加负号后去括号化简，匹配得到正确选项，即可作答． 【详解】解：的相反数是． 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号与添括号的法则求解即可． 【详解】解：． 3．下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去括号法则为括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号，添括号法则为括号前是负号，添括号后括号内各项都要变号. 【详解】解：，故A变形错误； ，故 B变形错误； ，故 C变形错误； ，故D变形正确. 知识点三　整式的加减 1. 整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 2. 整式加减运算的具体步骤为：①将同类项找出，并放一起；②合并同类项。 ⚠️特别提醒 ①当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项； ②合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。 【针对训练】 1．计算的结果为_________． 【答案】/ 【详解】解：原式 ． 2．化简：． 【答案】 【分析】根据去括号的规则先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： 原式 ． 3．计算：； 【答案】 【分析】根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 知识点四　绝对值化简问题 化简含字母绝对值的整式加减时，要先结合题意、数轴判断绝对值中式子的正负，正数与0直接去掉绝对值符号，负数则整体取相反数，去掉绝对值后转化为常规整式加减运算，再通过去括号、合并同类项完成化简，做题时切记不能随意去掉绝对值，重点注意符号变化，代入数值计算负数时也要规范添加括号防止出错。 【针对训练】 1．解答下列各题． (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是不为0的有理数，求的值． 【答案】(1)，见详解 (2)或，见详解 【分析】（1）由条件可知a、b异号，根据绝对值的性质求解即可； （2）由于a，b，c的符号未知，所以分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：，a、b异号， ， ； （2）解：当a，b，c都是正数时，， 当a，b，c中有两个正数，一个负数时，不妨设a、b为正数，， 当a，b，c中有一个正数，两个负数时，不妨设b、c为负数，， 当a，b，c都是负数时，， 综上，的值为或． 2．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 【答案】 【分析】根据在数轴上的位置得：且，据此判断各绝对值内的正负号化简绝对值，合并同类项即可． 【详解】解：根据在数轴上的位置得：且， ∴，，， ∴ 3．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)填空：A和B之间的距离为______（用含a，b的式子表示），若点C表示，则点C和1之间的距离为______；将A移动5个单位长度所得点为______． (2)化简：． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据两点之间的距离得出答案； （2）先根据数轴可得，再去掉绝对值即可． 【详解】（1）解：A和B之间的距离是，点C和1之间的距离是，将点A向右移动5个单位长度为，或向左移动5个单位长度为； （2）解：∵， ∴， ∴． 高频考题典例精析 【题型1 同类型的判断】 例题：下列各组代数式中，不是同类项的是（ ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，单独的两个数字也是同类项，据此可得答案． 【详解】解：A、2与是同类项，不符合题意； B、与是同类项，不符合题意； C、与是同类项，不符合题意； D、与不是同类项，符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项； B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、相同字母的指数不相同，不是同类项； 故选：C． 【题型2 已知同类型求指数中字母或代数式的值】 例题：若与是同类项，则m的值是 ． 【答案】2 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查的是同类项的定义，熟练掌握同类项的概念是解题的关键． 根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，得出m的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴ ． 故答案为：2． 【变式训练】 1．已知单项式与的和是单项式，则 ． 【答案】2 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项．同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义直接可得到a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，则， ∴． 故答案为：2． 【题型3 合并同类型】 例题：下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，解题关键是能判断两项是否是同类项． 根据合并同类项法则，对四个式子逐一计算后作出判断． 【详解】解：，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； 中没有同类项，不能合并，故D错误， 故选：B ． 【变式训练】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键． 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此判断即可． 【详解】解：A、，写法正确，符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原写法错误，不符合题意； 故选：A． 【题型4 去括号】 例题：去括号： ． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】本题考查了去括号法则，如果括号前是正号，去掉括号和括号前面的正号，括号里面各项符号不变；如果括号前是负号，去掉括号和括号前面的负号，括号里面各项符号改变．解决本题的关键是根据去括号的法则去括号即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式训练】 1．化简： ． 【答案】/ 【知识点】去括号 【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则是解题关键．根据去括号法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型5 添括号】 例题：下列各式左右两边相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】去括号、添括号 【分析】本题考查去括号，添括号，根据去括号和添括号法则，逐一进行判断即可，注意括号外面是负号，括号内的每一项都要变号，括号外面有系数，括号内的每一项都要乘这个系数． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项正确，符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选B． 【变式训练】 1．下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号、添括号 【分析】本题主要考查了去括号和添括号，根据去括号法则和添括号法则进行分析即可． 【详解】解：，故A选项变形错误； ，故B选项变形错误； ，故C选项变形错误； ，故D选项变形正确； 故选D． 【题型6 整式的加减运算】 例题：计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式加减混合运算，掌握整式加减混合运算步骤是解题的关键． （1）进行整式加减运算，即可求解； （2）先去括号，再进行整式加减运算，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】 1．合并同类项： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】合并同类项、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （3）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型7 整式的加减中化简求值】 例题：先化简，再求值，，其中． 【答案】； 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式化简求值，涉及整式加减运算法则、去括号法则与合并同类项法则，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．根据整式加减运算法则化简，先去括号，再合并同类项，然后将代入求值即可得到答案． 【详解】解：； ； ； ； 当时，原式． 【变式训练】 1．先化简，再求代数式的值，其中，． 【答案】，8 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式加减中的化简与求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．利用整式加减的运算法则化简，再代入的值计算即可． 【详解】解： ， 代入，，原式． 【题型8 整式的加减中的无关型问题】 例题：当 时，多项式中不含有项． 【答案】/ 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式的加减，熟知不含某项，说明整理后的这项的系数之和为0是解答的关键．据此求解即可． 【详解】解： ， ∵该多项式不含项， ∴，解得， 故答案为：． 【变式训练】 1．若关于、的多项式不含项，则k的值为 ． 【答案】5 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，掌握合并同类项法则是解题关键．原式利用合并同类项法则计算，根据结果不含项，确定出k的值即可． 【详解】解：， 多项式不含项， ， ， 故答案为：． 【题型9 整式的加减的应用】 例题：如图，在一个长方形小广场上，有两块大小相同的正方形空地供人们休息（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．（单位：米） (1)用含的式子表示“T”型图形的周长并化简； (2)若，要给“T”型区域围上价格为30元/米的围栏，请计算围栏的造价． 【答案】(1)米； (2)围栏的造价是2700元． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查代数式求值，列代数式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据周长的定义求解； （2）利用（1）中结论计算即可． 【详解】（1）解：由图形可得阴影部分的周长为 （米）． （2）解：当时， （米）， （元）． 答：围栏的造价是2700元． 【变式训练】 1．如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽比长少米． (1)用含a、b的代数式表示护栏的总长度； (2)若，，每米护栏造价60元，求建此停车场所需护栏的费用． 【答案】(1)米 (2)11400元 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号法则，合并同类项法则． （1）先求出停车场的宽，然后再求出护栏的长度即可； （2）把，代入求值即可． 【详解】（1）解：停车场的宽为：米， 护栏的长度为：米． （2）当，时， （元）， 故建此停车场所需护栏的费用是11400元． 【题型10 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 例题：若单项式与是同类项，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项，熟知“所含字母相同，相同字母也相同的项，叫做同类项”是解题的关键． 根据同类项的定义可得，解答即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．若与是同类项，则 【答案】5 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了已知同类项求指数中字母或代数式的值，根据同类项的定义：含有相同的字母并且相同的字母的指数也相同，据此得，即可作答． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， 故答案为：5 【题型11 整式加减中含括号及括号前有系数】 例题：计算： 【答案】 【知识点】整式的加减运算、合并同类项、去括号 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握去括号、合并同类项是解题的关键； 根据去括号、合并同类项即可解决问题． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．化简：． 【答案】 【知识点】合并同类项、整式的加减运算、去括号 【分析】本题考查了整式的加减运算，先去括号，再合并同类项即可，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【题型12 数字类规律探索之排列问题】 例题：一列数第6项是 ，第2018项是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】观察不难发现，分子都是1，分母是以2为底数的幂，是第n项，2的指数就是，由此写出第6项和2018项即可． 本题主要考查通过分析数的变化总结归纳规律，解题的关键在于求出分母的变化规律． 【详解】解：第6项是； 第2018项是． 故答案为：；． 【变式训练】 1．观察下列一组有规律的数：，，，，，，，根据其规律可知：第个数是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据所给数得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴第个数是， 故答案为：． 【题型13 数字类规律探索之末尾数字问题】 例题：观察等式：，，，，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】6 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数字每4个数为一个循环，其个位数字依次为2，4，8，6，再根据即可得到答案． 【详解】解：，，，，，，，…， 以此类推可得，这一列数字每4个数为一个循环，其个位数字依次为2，4，8，6， ∵， ∴的个位数字是6， 故答案为：6． 【变式训练】 1．计算，，，，，…归给计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查规律，熟练掌握规律是解题的关键．根据规律进行解题即可． 【详解】解：由题意可知，个位数字以为周期按照的顺序进行循环， ， 故猜测的个位数字是． 故答案为：． 1．若与是同类项，那么（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据同类项的定义，可得，，求出、后计算． 【详解】解：与是同类项， ∴的指数相等：， 解得； 的指数相等：， 解得； ∴． 2．如果，那么的值为（     ） A．1 B． C． D．11 【答案】D 【分析】根据几个非负数的和为0，则每一个数都为0，求出，代入求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴． 3．下列说法错误的是（     ）． A．的系数是 B．是单项式 C．与是同类项 D．的次数是6 【答案】D 【分析】根据单项式的系数，次数的定义，同类项的定义逐一判断即可得出答案． 【详解】A．的系数是，原说法正确，故该选项不符合题意； B．单独一个数字或字母也是单项式，所以是单项式，原说法正确，故该选项不符合题意； C．与是同类项，原说法正确，故该选项不符合题意； D．的次数是4，原说法错误，故该选项符合题意． 4．已知，则的值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】对所求式子去括号重组，整体代入已知条件求值． 【详解】解：∵，， ∴ ． 5．要使等式成立，内应填的项是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对等式左边去括号，再调整式子形式与右边对比，即可求出内的项． 【详解】解：， 对比，得． 6．，其中M为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴． 7．不改变的值，把式子中括号前的符号变为“”，则代数式将变为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 不改变代数式的值，将括号前的“”改为“”时，括号内各项需变号． 又∵ 原括号内为， ∴ 变号后括号内为，即代数式变为． 8．若单项式与可合并，则的值是____________． 【答案】3 【详解】解：∵单项式与可合并， ∴单项式与是同类项， ∴，， ∴， ∴． 9．根据去括号法则，在下面各式中填“”或“”： （）____________； （）______． 【答案】 【分析】当括号前为正号，去括号后各项符号不变，当括号前为负号，去括号后各项改变符号，据此解答即可． 【详解】解：（）； （）． 10．若与是同类项，那么______． 【答案】 【分析】根据同类项定义，相同字母的指数对应相等，列出等式求出和的值，再计算． 【详解】解：与是同类项， 相同字母的指数对应相等，可得，， 将代入，解得， ． 11．先化简，再求值．，其中． 【答案】； 【详解】解： ； ∵，， ∴原式． 12．将数填在“○”中，位置如图所示，图中数塔的计算规则如下：将相邻两个“○”中的数相乘，得到“□”中的数，再把两个“□”中的数进行相加得到“结果”．当中间“○”中的数每增加2，且其余“○”内的数保持不变时，“结果”都会（     ） A．减少14 B．增加14 C．减少7 D．增加7 【答案】A 【分析】设中间“○”中的数为x，则左边正方形中的数为，右边正方形中的数为，计算两个数相加的结果，再计算当中间“○”中的数每增加2，此时两个数相加的结果，作差解答即可． 【详解】解：设中间“○”中的数为x，则左边“□”中的数为，右边“□”中的数为，两个数相加的结果是 ， 当中间“○”中的数每增加2，此时两个数相加的结果是， 根据题意，得 ， 所以结果减少了14． 13．表示，，三个数的点在数轴上的位置如图，则代数式 的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上点表示的数，可知，先判断绝对值里面的值的正负性，再根据负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身来进行化简． 【详解】解：由数轴可知：， ，，， ，，， ． 14．当时，代数式的值为22，则当时，代数式的值为（     ） A． B．10 C．20 D． 【答案】D 【分析】根据，求出，再把代入代数式，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：∵时，， ∴， ∴时， ． 15．如果单项式与的和是单项式，那么的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义求出m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：由题意得，与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 16．已知有理数的位置关系如图所示，且，则下列各式：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先根据数轴上的位置判断有理数的符号，再根据有理数的运算法则以及绝对值的性质判断式子的符号和大小即可． 【详解】解：①∵，， ∴；故①正确； ②∵，，且， ∴， ∴，故②错误； ③∵，， ∴， ∴，故③正确； ④∵，，且， ∴，，， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵，， ∴，，， ∴，故⑤错误； 综上，正确的有3个． 17．若，的最小值是（     ） A．1 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】先推导出，得到，，可去掉绝对值并化简，得到，继而推导出的最小值为0，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，即x为负数或0， ∴为正数或0， 即的最小值为0， ∴， 即的最小值为3． 18．如图所示的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一个数为，则这三个数之和为_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：设中间一个数为，则上面的数为，下面的数为， ∴这三个数的和为． 19．已知是荣荣做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了题上，刚好遮住了一项（阴影部分），那么被墨水遮住的一项是________． 【答案】 【分析】根据题意得出整式相加减的式子，再去括号，合并同类项即可． 【详解】解： ， 所以被墨水遮住的一项是． 20．若实数满足，，则________． 【答案】 【分析】由第一个等式可得，因此可直接去掉的绝对值符号，即可得到答案． 【详解】解：，且， ， ， 将代入第二个等式，得：． 21．阅读：我们知道，，类似的，我们也可以将看成一个整体，则，请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为 ； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据，利用整体代入法求解即可； （3）把所求式子去括号，变形为，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 当时，原式； （3）解：原式 当，，时， 原式． 22．一个二次三项式加上它的任意一项，得到一个新的多项式，称为“加系数操作”．例如：对进行“加系数操作”后可以是． 下列说法： ①对进行所有“加系数操作”后的多项式的和是； ②存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同； ③若关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零，则对进行“加系数操作”后的多项式的值也不可能为零． 其中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】①可利用所有“加系数操作”后的多项式和为4倍原多项式快速计算；②可构造实例判断；③可举反例判断． 【详解】解：①对进行所有“加系数操作”，共得到3个新多项式， 每个新多项式为原多项式加其中一项，因此总和为，故①正确； ②取二次三项式，加二次项得； 取二次三项式，加常数项得， 故两个二次三项式不同，操作后结果相同，故②正确. ③取二次三项式， ∵，， ∴， ∴该多项式的值不可能为零. 对其进行加一次项的操作，得多项式， ∵，， ∴， ∴该多项式的值可以为零，故③错误； 综上，正确的说法有2个． 23．已知整式，其中为正整数，为整数，均为非零整数，且．满足，且，下列说法中正确的个数是（     ） ①在所有满足条件的整式中，单项式只有1个； ②存在满足条件的三次四项式，使得； ③当时，所有满足条件的二次三项式的和为； ④当时，所有满足条件的整式共有6个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题中系数的限制条件和整式的概念，将，，等代入，找出符合题意的整式，接着进行判断即可． 【详解】解：当时，整式，其中，，且，为整数，为非零整数， 那么当且仅当时，整式为单项式，此时为，故①正确； 当时，， 当时，满足，且，此时整式为，为三次四项式，故②正确； 当时，， 此时当时，所有满足条件的二次三项式有， 那么所有满足条件的二次三项式的和为，故③错误； 当时，满足条件的整式有，，，，，，，共有8个，故④错误； 综上，正确的个数是2个． 24．已知是有理数，，，则（     ）． A．3 B．或 C． D．1 【答案】D 【分析】利用将原式分子替换为对应字母的相反数，结合判断，，的正负个数，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴原式， ∵， ∴，，中负数的个数为或， ∵， ∴，，不可能全为正数或全为负数， ∴，，中有个负数，个正数， ∴， ∴原式． 25．有如下结论： ①若，则；②若、为有理数，，，且则；③若对于任意有理数，则存在最小值为 ；④ 若，且，则；⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为或．其中，正确的结论是___________（填写序号）． 【答案】②③④⑤ 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，进行解答，即可． 【详解】解：①∵， ∴，错误； ②∵，，且， 由数轴可得： ∴，正确； ③表示点的距离；表示点的距离， ∴存在最小值为，正确； ∴存在最小值为 ，正确； ④ ∵，且， ∴，， ∴； ∴ ∴，正确； ⑤∵，，， ∴对，进行分类讨论如下： 当，时；； 当，时；； 当，时；； 当，时；； ∴的值为或，正确； 综上所述，正确的序号为：②③④⑤． 26．如图，数轴上，两点之间的距离为1个单位长度，，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为_______． 【答案】 3 【分析】根据题意得出的长度，将距离之和表示为，根据点运动范围确定的最大值和最小值，从而求出m，n的值． 【详解】解：∵A，B两点之间的距离为1个单位长度，B，C两点之间的距离为3个单位长度， ∴， ∵点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止， ∴点在线段上， ∴， ∴点到三点的距离之和为， 当点运动到点时，最大，最大值为， ∴， ∵当点运动到点时，最小，最小值为 0， ∴， ∴． 27．下列说法中，错误的序号有________． ①若，则； ②、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ③当取最大值时，； ④，，则的值为． 【答案】 ①②④ 【分析】根据绝对值的性质、数轴上两点间距离、有理数符号分类，逐一判断各说法的正误即可. 【详解】解：逐个判断各说法： ① 若，则是非负数，又为分母，不能为0，因此，故①错误； ② A、B、C三点相邻距离相等，分三种情况： 当A为中点时，，解得； 当B为中点时，，解得； 当C为中点时，，解得； 因此的值为或或，故②错误； ③ ，因此，当时，原式取得最大值，此时，故③正确； ④ ∵， ∴ ，，， ∵， ∴中负数的个数为1个或3个， ∵ 若全为负数，则，与矛盾， ∴中只能是1个负数，2个正数， 不妨设，，， 代入得， 因此原式的值只能为，不是，故④错误； 综上，错误的序号为①②④. 28．已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 整式的加法与减法 学习目标与重难点 1、理解同类项的概念，会识别同类项，掌握合并同类项法则。 2、掌握去括号法则，能正确进行去括号运算，理解其依据是乘法分配律。 3、掌握整式加减的一般步骤，能熟练进行整式的加减运算，并能解决简单的实际问题。 重点：同类项的识别与合并同类项法则；去括号法则；整式加减的运算步骤。 难点：括号前是负因数时的去括号处理，注意各项符号变化；整式加减中“先去括号、再合并同类项”的顺序把控；从实际问题中抽象数量关系并列式运算。 高频考点题型◆归纳 题型1 同类型的判断 题型2 已知同类型求指数中字母或代数式的值 题型3 合并同类型 题型4 去括号 题型5 添括号 题型6 整式的加减运算 题型7 整式的加减中化简求值 题型8 整式的加减中的无关型问题 题型9 整式的加减的应用 题型10 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型11 整式加减中含括号及括号前有系数 题型12 数字类规律探索之排列问题 题型13 数字类规律探索之末尾数字问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点一　同类项 1. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项）。 2. 几个常数项也是同类项。 3. 判断同类项需要同时满足2个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同。 4. 合并同类项：将多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项。 5. 同类项合并的计算方法：系数对应向加减，字母及指数不变。 6. 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。 【针对训练】 1．下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 2．下面不是同类项的是（     ） A．与4 B．与 C．与 D．与 3．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点二　去（添）括号 1. 去（添）括号法则： 1. 若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； 2. 若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 【注意】：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 【针对训练】 1．的相反数是（　  ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点三　整式的加减 1. 整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 2. 整式加减运算的具体步骤为：①将同类项找出，并放一起；②合并同类项。 ⚠️特别提醒 ①当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项； ②合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。 【针对训练】 1．计算的结果为_________． 2．化简：． 3．计算：； 知识点四　绝对值化简问题 化简含字母绝对值的整式加减时，要先结合题意、数轴判断绝对值中式子的正负，正数与0直接去掉绝对值符号，负数则整体取相反数，去掉绝对值后转化为常规整式加减运算，再通过去括号、合并同类项完成化简，做题时切记不能随意去掉绝对值，重点注意符号变化，代入数值计算负数时也要规范添加括号防止出错。 【针对训练】 1．解答下列各题． (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是不为0的有理数，求的值． 2．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 3．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)填空：A和B之间的距离为______（用含a，b的式子表示），若点C表示，则点C和1之间的距离为______；将A移动5个单位长度所得点为______． (2)化简：． 高频考题典例精析 【题型1 同类型的判断】 例题：下列各组代数式中，不是同类项的是（ ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【变式训练】 1．下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 已知同类型求指数中字母或代数式的值】 例题：若与是同类项，则m的值是 ． 【变式训练】 1．已知单项式与的和是单项式，则 ． 【题型3 合并同类型】 例题：下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 去括号】 例题：去括号： ． 【变式训练】 1．化简： ． 【题型5 添括号】 例题：下列各式左右两边相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型6 整式的加减运算】 例题：计算： (1) (2) 【变式训练】 1．合并同类项： (1)； (2)； (3)； 【题型7 整式的加减中化简求值】 例题：先化简，再求值，，其中． 【变式训练】 1．先化简，再求代数式的值，其中，． 【题型8 整式的加减中的无关型问题】 例题：当 时，多项式中不含有项． 【变式训练】 1．若关于、的多项式不含项，则k的值为 ． 【题型9 整式的加减的应用】 例题：如图，在一个长方形小广场上，有两块大小相同的正方形空地供人们休息（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．（单位：米） (1)用含的式子表示“T”型图形的周长并化简； (2)若，要给“T”型区域围上价格为30元/米的围栏，请计算围栏的造价． 【变式训练】 1．如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽比长少米． (1)用含a、b的代数式表示护栏的总长度； (2)若，，每米护栏造价60元，求建此停车场所需护栏的费用． 【题型10 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 例题：若单项式与是同类项，则的值为 ． 【变式训练】 1．若与是同类项，则 【题型11 整式加减中含括号及括号前有系数】 例题：计算： 【变式训练】 1．化简：． 【题型12 数字类规律探索之排列问题】 例题：一列数第6项是 ，第2018项是 ． 【变式训练】 1．观察下列一组有规律的数：，，，，，，，根据其规律可知：第个数是 ． 【题型13 数字类规律探索之末尾数字问题】 例题：观察等式：，，，，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ． 【变式训练】 1．计算，，，，，…归给计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是 ． 1．若与是同类项，那么（     ） A．0 B．1 C． D． 2．如果，那么的值为（     ） A．1 B． C． D．11 3．下列说法错误的是（     ）． A．的系数是 B．是单项式 C．与是同类项 D．的次数是6 4．已知，则的值为（     ） A．2 B． C．4 D． 5．要使等式成立，内应填的项是（     ） A． B． C． D． 6．，其中M为（    ） A． B． C． D． 7．不改变的值，把式子中括号前的符号变为“”，则代数式将变为（     ） A． B． C． D． 8．若单项式与可合并，则的值是____________． 9．根据去括号法则，在下面各式中填“”或“”： （）____________； （）______． 10．若与是同类项，那么______． 11．先化简，再求值．，其中． 12．将数填在“○”中，位置如图所示，图中数塔的计算规则如下：将相邻两个“○”中的数相乘，得到“□”中的数，再把两个“□”中的数进行相加得到“结果”．当中间“○”中的数每增加2，且其余“○”内的数保持不变时，“结果”都会（     ） A．减少14 B．增加14 C．减少7 D．增加7 13．表示，，三个数的点在数轴上的位置如图，则代数式 的值等于（     ） A． B． C． D． 14．当时，代数式的值为22，则当时，代数式的值为（     ） A． B．10 C．20 D． 15．如果单项式与的和是单项式，那么的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 16．已知有理数的位置关系如图所示，且，则下列各式：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．若，的最小值是（     ） A．1 B．3 C．2 D．0 18．如图所示的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一个数为，则这三个数之和为_______（用含的代数式表示）． 19．已知是荣荣做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了题上，刚好遮住了一项（阴影部分），那么被墨水遮住的一项是________． 20．若实数满足，，则________． 21．阅读：我们知道，，类似的，我们也可以将看成一个整体，则，请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为 ； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 22．一个二次三项式加上它的任意一项，得到一个新的多项式，称为“加系数操作”．例如：对进行“加系数操作”后可以是． 下列说法： ①对进行所有“加系数操作”后的多项式的和是； ②存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同； ③若关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零，则对进行“加系数操作”后的多项式的值也不可能为零． 其中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 23．已知整式，其中为正整数，为整数，均为非零整数，且．满足，且，下列说法中正确的个数是（     ） ①在所有满足条件的整式中，单项式只有1个； ②存在满足条件的三次四项式，使得； ③当时，所有满足条件的二次三项式的和为； ④当时，所有满足条件的整式共有6个． A．1 B．2 C．3 D．4 24．已知是有理数，，，则（     ）． A．3 B．或 C． D．1 25．有如下结论： ①若，则；②若、为有理数，，，且则；③若对于任意有理数，则存在最小值为 ；④ 若，且，则；⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为或．其中，正确的结论是___________（填写序号）． 26．如图，数轴上，两点之间的距离为1个单位长度，，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为_______． 27．下列说法中，错误的序号有________． ①若，则； ②、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ③当取最大值时，； ④，，则的值为． 28．已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $