2026-2027学年人教版九年级数学上学期期中自编模拟卷（广东省广州市适用）

2026-2027学年九年级数学上学期期中自编模拟卷 广东省广州市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列现象中是旋转的是（　　） A．雪橇在雪地上滑行 B．抽屉来回运动 C．电梯的上下移动 D．汽车方向盘的转动 2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则n的最小整数解是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 3．如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 5．将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，所得图象的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 6．作为中国动画的文化名片之一，《哪吒之魔童降世》的续作承载着让中国故事走向世界的期望．2025年8月22日，其经过精心译制的英文版在北美正式上映．上映首日，它取得了69.5万美元的票房，但此后两日的票房均按相同的比率递减，最终首周末三天共收获140万美元．若设每日票房的减少率为，则可列方程为：（   ） A． B． C． D． 7．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为4，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．如图，在中，，将绕点逆时针旋转到，当点落在边上时，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．如图是二次函数的图像，下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③； ④方程的根是，； ⑤； 其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．点关于原点对称的点的坐标是__________． 12．如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于x的不等式的解集是______． 13．设分别为一元二次方程的两个实数根，则__________． 14．如图，是等腰直角三角形，是斜边，为内一点，将绕点逆时针旋转后与重合，如果，那么线段的长等于 ___________． 15．如图，在x轴的正半轴依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，，，并设其面积分别为，以此类推，则的值为______． 16．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M．若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为 ___________________． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）解下列方程： (1) (2) 18．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕点顺时针旋转后的； 19．（8分）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 20．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： (1)若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求a和b的值； (2)结合图象，直接写出中x的取值范围； (3)在x轴上取点P，使取得最大值，求点P的坐标． 22．（10分）根据以下素材，探索完成任务． 综合与实践 驱动任务：跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动，不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力，单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈，学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计． 研究步骤： 数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如图2所示）． 实践操作： 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且两人相距； 第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高米的小华同学从乙持绳手的左侧距离乙处进入游戏，恰好通过； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 问题解决 任务1：（1）求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标． 任务2：（2）现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安全，要求人与人之间距离至少，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由． 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/ 23．（12分）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程 的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系： 材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m、n，求 的值． 解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根， ∴，． 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程 的两个实数根为，，则_______，_______ (2)类比：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足 且，求的值 24．（14分）（1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、，，请你探究线段、与之间的数量关系直接写出答案：______ （2）如图2，在正方形中，点，在对角线上，且，请你猜想线段，，之间的数量关系，并证明． （3）如图3，正方形的边长为，点为边上一点，于，为中点，连接并延长交于点，且，请求出的长． 25．（14分）如图1所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标； (3)如图2，将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中自编模拟卷 广东省广州市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列现象中是旋转的是（　　） A．雪橇在雪地上滑行 B．抽屉来回运动 C．电梯的上下移动 D．汽车方向盘的转动 【答案】D 【分析】根据旋转的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、雪橇在雪地上滑行不是旋转，故此选项不符合题意； B、抽屉来回运动是平移，故此选项不符合题意； C、电梯的上下移动是平移，故此选项不符合题意； D、汽车方向盘的转动是旋转，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查生活中的旋转现象．熟练掌握旋转的三要素，是解题的关键． 2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则n的最小整数解是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出n的范围，确定出最小整数解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 则n的最小整数解为． 故选：B． 【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键． 3．如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的旋转问题．根据旋转的性质可得，，再由三角形内角和定理可得的度数，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴． 故选：A 4．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质判断选项即可． 【详解】解：二次函数中，，开口向上，A正确； 对称轴为，B正确； ，且对称轴，当时，y随x的增大而减小，C正确； 顶点坐标为，而非，D不正确． 故选：D． 5．将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，所得图象的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用“上加下减，左加右减”的平移规律是关键．依据题意，由抛物线为，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线为， 又根据“上加下减，左加右减”的平移规律， ∴向右平移1个单位，再向上平移4个单位后可得，新抛物线为，即． 故选：B． 6．作为中国动画的文化名片之一，《哪吒之魔童降世》的续作承载着让中国故事走向世界的期望．2025年8月22日，其经过精心译制的英文版在北美正式上映．上映首日，它取得了69.5万美元的票房，但此后两日的票房均按相同的比率递减，最终首周末三天共收获140万美元．若设每日票房的减少率为，则可列方程为：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．票房每日按相同减少率x递减，总票房为三天之和，因此方程应表示首日、第二日、第三日票房相加等于140万美元． 【详解】解：∵首日票房为69.5万美元，每日票房减少率为， ∴ 第二日票房为， 第三日票房为， ∵总票房为140万美元， ∴． 故选：D． 7．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为4，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．首先求出点的横坐标为，然后根据图象求解即可． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4， 点的横坐标为． 根据函数图象可知：当时，的取值范围是或． 故选：B． 8．如图，在中，，将绕点逆时针旋转到，当点落在边上时，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用旋转性质得到边与角的等量关系，结合平行线性质找到角的联系，最后依据三角形内角和定理求解的度数．本题考查旋转的性质（对应边、角相等）、平行线的性质（内错角相等）及三角形内角和定理，熟练运用这些知识，通过角的等量代换与方程思想求解是关键 ． 【详解】解：设 ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 设 ∵， ∴， ∴ ． 在中，，即 ． 化简得，解得， ∴ ． 故选： ． 9．如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出反比例函数的解析式为，设的解析式为，由经过，得出的解析式为，设，由平行四边形的性质得，，根据平行四边形的面积可得，则，推出，最后代入直线求出，即可得出结果． 【详解】解：在反比例函数上， ， 解得， 反比例函数解析式为， 设直线表达式为， 将点坐标代入得， 解得， 直线表达式为， 设， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形的面积是， ， ， ， ， ， 点在直线上， ， 解得（负值已舍去）， ， 故选：B． 10．如图是二次函数的图像，下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③； ④方程的根是，； ⑤； 其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数和x轴交点问题，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 根据二次函数的图像可知，，即可判定①；根据二次函数的对称轴，即可判定②和③；根据当时，可判定④． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向上，故；与y轴交于负半轴，故， ∴，故①正确； ∵二次函数的图像对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，故②错误； ∵二次函数的图像对称轴为直线， ∴，即，故③正确； ∵二次函数的图像与x轴交于， ∴二次函数的图像与x轴的另一个交点坐标为， ∴方程的根是，，故④正确； 由图像可得，当时，，故⑤正确； 综上，正确的说法有4个． 故选：C． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，掌握关于原点对称点坐标的性质是解题关键．根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12．如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】抛物线在直线上方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：由图可知，当时，抛物线在直线上方， 因此不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据二次函数与一次函数图象的交点求不等式的解集，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 13．设分别为一元二次方程的两个实数根，则__________． 【答案】7 【分析】本题考查代数式求值，涉及到一元二次方程根与系数关系、方程解的概念，根据所求代数式，准确将已知条件恒等变形求值是解决问题的关键． 根据一元二次方程根与系数关系与方程解的概念得到，，根据所求通过恒等变形求解即可． 【详解】解：∵分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：7 14．如图，是等腰直角三角形，是斜边，为内一点，将绕点逆时针旋转后与重合，如果，那么线段的长等于 ___________．      【答案】 【分析】根据旋转的性质可知：旋转角度是，根据旋转的性质得出，即是等腰直角三角形，用勾股定理求出斜边的长即可． 【详解】解：绕点逆时针旋转后与重合， ， 即线段旋转后到， ∴旋转角为， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质和直角三角形的性质．关键是找出旋转角：每一对对应点与旋转中心连线所构成的角；及旋转性质：旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等． 15．如图，在x轴的正半轴依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，，，并设其面积分别为，以此类推，则的值为______． 【答案】 【分析】连接，，，根据题意可得，又，则有，，，，从而可得． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于轴， ∴， ∵， ∴，，， ， ∴． 16．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M．若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为 ___________________． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、求一次函数自变量值，二次函数，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意，可以先求出点的坐标，从而可以得到直线的解析式，再根据，点在抛物线上，可以写出点的坐标和对应的直线的解析式，再根据题意，可以得到点横坐标的最大值，从而可以得到点经过的路程． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴当时，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为，则 解得， ∴直线的函数解析式为， 设点的坐标为， ∵，点在抛物线上且在第一象限， ∴可设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当直线与二次函数只有一个交点时， ∴方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 此时直线的解析式为，当时，， ∴点横坐标最大值是， ∴点经过的路程为：， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) ， 【分析】本题考查一元二次方程的求解；掌握求解方法是解题的关键． （1）根据公式法求解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴． （2）解：， ， ，或， ∴，． 18．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕点顺时针旋转后的； 【答案】(1) 所作如图所示： (2) 所作如图所示： 【分析】本题考查旋转作图，中心对称作图，解题的关键是作出对应点的位置． （1）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 19．（8分）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1) 证明：是等边三角形， ， 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ， ， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据旋转的性质得出 ，求出，证即可； （2）求出，进而求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ， 为等边三角形， ， 又， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的性质等知识点，能灵活运用性质定理进行推理是解此题的关键． 20．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： (1)若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 【答案】(1)每件衬衫应降价元 (2)每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，销售问题(实际问题与二次函数)， 的最值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设每件衬衫应降价元，用表示出每天多销售的件数，再根据题中的等量关系列出一元二次方程求解； （2）设商场每天的盈利为元，列出二次函数，转化为顶点式，求出最值． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，由题意，得 ， 解得：，． 要扩大销售，减少库存， 每件衬衫应降价元． （2）设商场每天的盈利为元，由题意，得 ， 时，最大元． 答：每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求a和b的值； (2)结合图象，直接写出中x的取值范围； (3)在x轴上取点P，使取得最大值，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义，可得到反比例函数的解析式，即可求解； （2）直接观察函数函数图象，即可求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则，当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，且轴，的面积为4， ∴， ∴， 即反比例函数的解析式为， 把点和点代入得：， ∴； （2）解：由（1）得：点和点， 观察图象得：当或时，函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴中x的取值范围为或； （3）解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则， 当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值， ∵点， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， 此时点P的坐标为． 22．（10分）根据以下素材，探索完成任务． 综合与实践 驱动任务：跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动，不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力，单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈，学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计． 研究步骤： 数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如图2所示）． 实践操作： 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且两人相距； 第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高米的小华同学从乙持绳手的左侧距离乙处进入游戏，恰好通过； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 问题解决 任务1：（1）求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标． 任务2：（2）现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安全，要求人与人之间距离至少，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由． 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/ 【答案】；顶点坐标为；（2）：能；距离两侧持绳手处分别为1、4号；距离两侧持绳手处分别为2、5号；距离两侧持绳手处分别为7、8号；距离两侧持绳手处分别为3、6号；最中间的是9号（方案不唯一） 【分析】（1）绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为，用待定系数法求解即可； （2）由自变量的值求出函数值，再比较便可． 【详解】（1）解：绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为， 根据题意，抛物线经过点，且过点即，把三个点代入表达式得： ， 解得， 绳子所对应的抛物线解析式为：， ∵， ∴抛物线顶点坐标为． （2）解：有9位同学采取一路纵队并排的方式同时起跳，人与人之间距离至少，则首尾两位同学的距离是， 最理想状态是最中间的同学站在对称轴的位置，此时首尾两位同学距离对称轴距离恰好是， 当时，， 将代入得，， 将代入得，， 将代入得，， 将代入得，， 此时绳子能顺利地甩过所有队员的头顶； 队列安排方案可以为：距离两侧持绳手处分别为1、4号；距离两侧持绳手处分别为2、5号；距离两侧持绳手处分别为7、8号；距离两侧持绳手处分别为3、6号；最中间的是9号（方案不唯一）． 【点睛】本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标和应用二次函数解析式解决实际问题． 23．（12分）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程 的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系： 材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m、n，求 的值． 解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根， ∴，． 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程 的两个实数根为，，则_______，_______ (2)类比：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足 且，求的值 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解即可． （2）直接利用根与系数的关系得出，，然后利用完全平方公式求解即可． （3）根据题意可看成s，t是方程的两个不同的实数根，利用根与系数的关系得出，，然后再求分式的值即可． 【详解】（1）解：一元二次方程 的两个实数根为，， ∴，． （2）解：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n， ∴，， ∴． （3）解：已知实数s，t满足 且， 可看成s，t是方程的两个不同的实数根， ∴，， ∴． 24．（14分）（1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、，，请你探究线段、与之间的数量关系直接写出答案：______ （2）如图2，在正方形中，点，在对角线上，且，请你猜想线段，，之间的数量关系，并证明． （3）如图3，正方形的边长为，点为边上一点，于，为中点，连接并延长交于点，且，请求出的长． 【答案】（1） ； （2）； 证明：如图2，将绕点顺时针旋转得到，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3） 【分析】（1）将绕点顺时针旋转，得到，从而，只要证明，即可得到答案； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，只要证明即可解决问题； （3）连接，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，设，，则，再由勾股定理构建方程即可得到答案． 【详解】解：（1）将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， （2） 略 （3）连接，， 四边形是正方形， ，， ， ， 为的中点， ， ，， ， ， 将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正方形的边长为， ， ， 设，，则， ， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 25．（14分）如图1所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标； (3)如图2，将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)①点的坐标为；②的最大值为． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）连接，则四边形为平行四边形，求得直线的解析式，联立，计算即可求解； （3）①当四边形是菱形时，是线段的垂直平分线，求得直线的解析式，联立计算即可求解； ②作轴交于点，由①知是等腰直角三角形，由对称的性质得，设，则，求得关于的关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接，则四边形为平行四边形， ∴， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：①∵点关于的对应点为点， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴是线段的垂直平分线， 如图标注点，作轴于点， 对于直线， 当时，；当时，； ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴也是等腰直角三角形， 联立，解得或， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得（舍去负值），， ∴点的坐标为； ②作轴交于点，由①知是等腰直角三角形，，由对称的性质得，当有最大值时，就有最大值， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、解一元二次方程、轴对称的性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $