广东广州市执信中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．若、是方程的两个实数根，则（ ） A．， B．， C．， D．， 3．关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．抛物线开口向下 B．当时，有最小值为3 C．顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小 4．如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到，点刚好落在边上．则（ ） A． B． C． D． 5．如图，为直径，点，在上，如果，那么的度数为（ ） A． B． C． D． 6．已知点，，均在抛物线上，下列说法中正确的是（ ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，点坐标，以为圆心，4个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（ ） A．原点在内 B．原点在上 C．与轴相切 D．与轴相切 8．已知线段，则经过，两点且半径为的圆有（ ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无数个 9．如图，以为直径作半圆，是半圆的中点，是弧上一点，若，，则长为（ ） A． B． C． D． 10．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论： ①； ②； ③； ④若方程有两个根和，且，则； ⑤若方程有四个根，则这四个根的和为． 其中正确的结论有（ ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点与点关于原点对称，则点的坐标为______． 12．如图，是的半径，弦于点，连接，若的半径为，的长为，则的长是__________． 13．抛物线的部分图象如图所示，当时，自变量的取值范围为______． 14．如图，是的直径，是的切线，切点为，直线与的延长线交于点，若，，则的长度为________． 15．如图，平面直角坐标系在边长为1的小正方形组成的网格中，正方形的边在轴正半轴上边在第一象限，且，，将正方形绕点顺时针旋转（），若点的对应点恰好落在坐标轴上，则点的对应点的坐标为________． 16．如图，在中，，，，线段绕点旋转到，连接，为的中点，连接，则的最大值是______． 三、计算题：本大题共1小题，共4分． 17．解方程： 四、解答题：本题共8小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点关于原点的对称点； （2）连接，得，将绕点逆时针旋转得，画出旋转后的； （3）在（2）的条件下，点的坐标是______． 19．如图，平分交于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． （1）求证：直线为的切线； （2）若，，求的半径． 20．如图，将绕点逆时针旋转至的位置，此时、、三点共线． （1）求的大小； （2）若，，求的长． 21．如图，为的直径，为的弦，，． （1）尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下， ①求______（直接填空）； ②求的长． 22．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于68元，经市场调查，每天的销售量（千克）与每千克售价分数据如表： 售价（元/千克） 50 60 65 销售量（千克） 100 80 70 （1）求与之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式（利润=收入-成本）；并求出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 23．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）当点在线段上运动时，求面积的最大值及取得最大值时点的坐标； （3）当点在线段上运动时，若是等腰三角形时，直接写出的值为______． 24． （1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、，，请你探究线段、与之间的数量关系（直接写出答案）：______ （2）如图2，在正方形中，点，在对角线上，且，请你猜想线段，，之间的数量关系，并证明． （3）如图3，正方形的边长为，点为边上一点，于，为中点，连接并延长交于点，且，请求出的长． 25．已知二次函数，点． （1）若点在二次函数的图象上，求的值； （2）当点所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点时，求点的坐标； （3）已知，为抛物线对称轴上一点，以为边作矩形，使点为矩形的对称中心，若抛物线与矩形的边恰有两个公共点时，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．C 2．A 3．B 4．D 5．A 6．B 7．C 8．B 9．D 10．C 11． 12．2 13．或 14． 15．或 16． 17．， 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键．利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 18．（1）见解析 （2）见解析 （3） 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）由图可得答案． 本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）如图，即为所求． （3）由图可得，点的坐标是．故答案为：． 19．（1）证明见解析 （2）的半径为1.5 【分析】此题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）连接，，由角平分线定义得，由得，由此得，则，再根据于点，得直线，然后根据切线的判定即可得出结论； （2）设的半径为，则，，证明和相似，再利用相似三角形的性质求出即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示： 平分交于点，，为的直径，，，， 直线，直线，又是的半径，∴直线为的切线； （2）解：设的半径为，为的直径，，，，，由（1）可知：直线为的切线，，是直径，，，，，则，又， ，，解得：．的半径为1.5． 20．（1） （2） 【分析】本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，熟知旋转前后对应边相等，对应角相等是解题的关键． （1）由旋转可知，，，根据、、三点共线，结合等边对等角即可求解； （2）由旋转可知，，，，得，再结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由旋转可知，，，、、三点共线，，即：； （2）由旋转可知，，，，则，由勾股定理可得：，． 21．（1）见解析 （2）①45；② 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）①是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求解； ②解直角三角形求出，再利用等腰直角三角形的性质求解． 本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）①平分，，，，是直径，，．故答案为：45； ②是直径，，，，，． 22．（1） （2）售价为68元时，获得最大利润，这时最大利润为1792元 【分析】本题考查二元一次方程组及二次函数的应用，属于中档题． （1）设，根据题意列出方程组求解即可； （2）根据利润=收入-成本列出函数关系式即可，将结果化为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设，由题意，得，解得，∴所求函数表达式为； （2）解：根据题意得：，其中，，∴当时，随的增大而增大；故当售价为68元时，获得最大利润，这时最大利润为1792元． 23．（1）， （2），的坐标为 （3）1或2 【分析】本题考查二次函数和一次函数混合运用以及坐标法的应用，属于难题． （1）代入、求抛物线解析式，求与轴交点得，再求直线解析式； （2）设点横坐标得、坐标，表出并配方求最值，进而得坐标与最大面积； （3）分、、三种情况列方程，求解并舍去不合题意值． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线，得，解得，抛物线解析式为，令，则，解得，，故点，设直线解析式为，将代入得，解得，直线解析式为； （2）解：由题意，点，则，，其中，，配方得，当时，最大值为，，∴当最大时，最大，最大值为，将代入，得，故的坐标为； （3）解：由（2）知，点，点，点，，，当时，，解得（舍）；当时，，解得不合题意舍），当，，解得（舍去），综上或2． 24．（1）；（2）；证明见解析；（3） 【分析】（1）将绕点顺时针旋转，得到，从而，只要证明，即可得到答案； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，只要证明即可解决问题； （3）连接，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，设，，则，再由勾股定理构建方程即可得到答案． 【详解】解：（1）将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，，，，，，，，在和中，，，，，， （2）； 证明：如图2，将绕点顺时针旋转得到，连接，∵四边形是正方形，，，，，，在和中，，，，，，，，，； （3）连接，，∵四边形是正方形，，，，，为的中点，，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，为等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，∵正方形的边长为，，，设，，则，，解得：，，． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 25．（1） （2） （3）或． 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和特殊四边形等知识，分情况讨论和数形结合是关键． （1）把点的坐标代入二次函数解析式即可求出答案； （2）由题意可得点所在的直线为，与抛物线解析式联立得到，由点所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点得到，即可求出答案； （3）根据抛物线解析式得到点在抛物线的对称轴上，轴，设，则，轴，轴，得到，，分两种情况：①，②，画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上，，解得； （2）∵点．∴点所在的直线为，联立得到，则，∵点所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点，，解得； （3），∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，∴点在抛物线的对称轴上，为抛物线对称轴上一点，轴，设，为矩形的对称中心，，轴，轴，，， ①当时，如图①，∵抛物线与矩形的边恰有两个公共点，∴抛物线与轴的交点在点的上方即可，在中，当时，，，即 解得或（不合题意，舍去）， ②当时，如图②，同理可知，抛物线与轴的交点在点的上方即可，，即，解得或（不合题意，舍去），综上可知，或． 学科网（北京）股份有限公司 $