4.1 平面直角坐标系 -4.2 用方向和距离确定物体的位置课堂同步分层训练卷 2026～2027 学年浙教版八年级上册数学

【4.1 平面直角坐标系 - 4.2 用方向和距离确定物体的位置】 课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年浙教版八年级上册数学 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 8 小题（46 分） 本卷覆盖小节：4.1 平面直角坐标系　4.2 用方向和距离确定物体的位置 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．下列各点中，位于第四象限的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 第四象限内的点，横坐标为正、纵坐标为负。 A：横坐标为负，在第二象限；B：横坐标为 ，在 轴的负半轴上，不属于任何象限； C：横坐标 ，纵坐标 ，在第四象限；D：横、纵坐标都为负，在第三象限。 所以选 C。 2．下列说法中，正确的是（　　） A．点 在 轴上　B．点 在 轴上 C．点 在第四象限　D．点 在第一象限 【答案】C 坐标轴上的点不属于任何象限： 轴上的点纵坐标为 ， 轴上的点横坐标为 。 A：点 的横坐标为 ，在 轴上，A 错；B：点 的纵坐标为 ，在 轴上，B 错； C：，，在第四象限，C 正确；D： 横、纵坐标都为负，在第三象限，D 错。 3．在平面直角坐标系中，点 到 轴的距离是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 点到 轴的距离等于纵坐标的绝对值，即 。 A 是到 轴的距离；C 把纵坐标直接当距离，距离不能为负；D 是点 到原点的距离。 所以点 到 轴的距离是 ，选 B。 4．若点 在第二象限，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 第二象限内的点，横坐标为负、纵坐标为正，于是 ，得 ；，得 。 两个条件要同时满足，取公共部分得 ，选 A。 注意两个不等式是「且」的关系，不是取并集；把 误当答案的，就是漏了第一个条件。 5．若点 在第二、四象限的角平分线上，则 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 第二、四象限的角平分线是横、纵坐标互为相反数的点的集合，即横坐标＋纵坐标 。 所以 ，即 ，解得 。 检验： 时 ，，横、纵坐标互为相反数，点 在第二象限，符合题意。 若误把「第一、三象限的角平分线」的条件（横、纵坐标相等）用上，就会算成 。 6．如图，在正方形网格中，点 、 的坐标分别为 、，则点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 先由已知点反过来找原点：点 的纵坐标为 ，说明 在 轴上，从 向右数 格就是原点 （因为横坐标是 ）。 以 建系后，点 在 右边 格、上边 格，正好是 ，说明建系正确。 点 在 右边 格、下边 格，所以 的坐标是 ，选 A。 7．已知 地在 地的北偏东 35° 方向，则 地在 地的（　　） A．南偏西 35° 方向　B．南偏东 35° 方向 C．北偏西 35° 方向　D．南偏西 55° 方向 【答案】A 用方向和距离描述位置，观测点互换时，方向正好相反（北与南、东与西对调），偏离的角度不变。 在 的北偏东 35° 方向，反过来看， 就在 的南偏西 35° 方向。 D 的 55° 是把「与正北的夹角」错算成「与正南的夹角」的结果，方向是南偏西，但角度不对。 8．如图，目标 在观测点 的北偏西 45° 方向上，且 km。以正东方向为 轴正方向、正北方向为 轴正方向， km 为 个单位长度建立平面直角坐标系，则点 的坐标是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 北偏西 45° 说明 与正北、正西各成 45°，即 与 轴负方向成 45°。 过 作 轴、 轴的垂线，得到等腰直角三角形，斜边 ，两直角边都等于 。 又因为 在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，所以 ，选 A。 D 是把斜边长度直接当成坐标写进去了。 9．已知点 、，点 在 轴上。若 是等腰三角形，则点 的坐标是（　　） A．　B． C． 或 　D． 或 或 【答案】C 「等腰三角形」没有指明哪两条边相等，要按边分类讨论。设 ，则 ，。 ① 若 ，则 ，，得 或 ，此时三角形确实存在； ② 若 ，则 ，，点 与点 重合，三角形不存在； ③ 若 ，则 ，得 ，不可能。 所以满足条件的点 有两个，选 C。D 中的 不在 轴上。 10．如图，、 两处目标到观测点 的距离都是 km，其中 在 的北偏东 45° 方向上， 在 的南偏东 45° 方向上。以正东、正北方向为 轴、 轴正方向建立平面直角坐标系（ km 为 个单位长度），则下列结论中错误的是（　　） A．点 的坐标为 　B．° C．、 两点之间的距离为 km　D．点 到直线 的距离为 km 【答案】C 先把方位化成坐标：北偏东 45° 且距离 ，两直角边都是 ，所以 ，A 正确； 同理 在南偏东 45° 方向上，横坐标为正、纵坐标为负，。 与正北成 45°， 与正南成 45°，所以 °，B 正确； 、 的横坐标相同， 垂直于 轴，（km），所以 C 错误； 所在直线是 ，点 到它的距离是 km，D 正确。故选 C。 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．若点 在第二象限，且 ，，则点 的坐标是 　　　　　。 【答案】 第二象限内横坐标为负、纵坐标为正。 由 得 ，取负值 ；由 得 ，取正值 。 所以点 的坐标是 。 只写 或 都是漏了「第二象限」这个条件。 12．已知点 、。若线段 轴，则 　　　　　，线段 的长为 　　　　　。 【答案】； 线段平行于 轴，说明两个端点的纵坐标相同，所以 。 此时 、，两点在同一条水平线上。 横坐标之差为 ，所以 。 横坐标之差的绝对值 也一样，别写成 。 13．一艘轮船在 处测得灯塔 在北偏东 50° 方向上，且与 相距 km；同时测得灯塔 在南偏东 40° 方向上，且与 相距 km。则 、 两灯塔之间的距离为 　　　　　 km。 【答案】 正北与正南成 ° 角。 与正北成 50°， 与正南成 40°， 所以 °。 在直角三角形 中，由勾股定理得 （km）。 两个方位角一个从正北量、一个从正南量，要先统一到「同一个 ° 的平角」里再作差。 14．若点 在第三象限，则点 在第 　　　　　 象限。 【答案】四 点 在第三象限，所以 ，。 于是 ；又 ，所以 。 点 的横坐标为正、纵坐标为负，落在第四象限。 15．定义：在平面直角坐标系中，对于点 ，把点 叫做点 的「平移对应点」。若点 的平移对应点 落在第二象限，则 的取值范围是 　　　　　。 【答案】 先把 的坐标代进定义： 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 。 在第二象限，所以横坐标为负、纵坐标为正： 得 ； 得 。 两个条件同时满足，得 。 纵坐标是 而不是 ，把 漏加常数的会算成错误的端点。 16．如图，一艘轮船在 处测得灯塔 在北偏东 60° 方向上，此时 km。轮船沿正东方向航行，当它与灯塔 的距离最短时，轮船航行了 　　　　　 km，这个最短距离是 　　　　　 km。 【答案】航行 km；最短距离 km 点到直线的最短距离就是垂线段的长度。过 作 航线（正东方向）于点 ，则轮船到达 处时与灯塔的距离最短。 因为 与正北成 60°，所以 与正东方向成 °，即 °， 是含 ° 角的直角三角形。 于是 （km），（km）。 所以轮船航行了 km，最短距离是 km。 两个空别填反：垂足到 的那一段是航行距离，垂线段才是最短距离。 三、解答题（本题有 8 小题，共 46 分） 17．（4 分）如图，在已给出的平面直角坐标系中，格点三角形 的三个顶点都在网格线的交点上。 (1) 写出点 、、 的坐标； (2) 指出点 所在的象限。 【答案】(1) ，，；(2) 第一象限 (1) 读坐标时先看横坐标（点向 轴作垂线，垂足处的数），再看纵坐标（点向 轴作垂线，垂足处的数）。 在 轴左边 格、 轴上方 格，所以 ；；。 (2) 点 的横坐标 ，纵坐标 ，所以点 在第一象限。 18．（5 分）长方形 中，，。 (1) 以点 为原点， 所在直线为 轴、 所在直线为 轴，且 、 的方向分别为 轴、 轴的正方向建立平面直角坐标系，求点 、、 的坐标； (2) 若改以点 为原点， 轴、 轴的正方向都不变，求点 、、 的坐标。 【答案】(1) ，，；(2) ，， (1) 以 为原点时， 在 轴上距 为 ，得 ； 在 轴上距 为 ，得 ； 在 的正上方 处（也可看成在 的正右方 处），得 。 (2) 原点从 换成 ，坐标轴方向没变，相当于把每个点都向「左 、下 」平移。 所以 由 变为 ， 由 变为 ， 由 变为 。 同一个点在不同坐标系里坐标不同，坐标是由「原点＋方向＋单位长度」共同决定的。 19．（5 分）已知点 。 (1) 若点 在 轴上，求 的值及点 的坐标； (2) 若点 在第二象限，求 的取值范围。 【答案】(1) ，；(2) (1) 点 在 轴上，纵坐标为 ：，得 。 此时横坐标 ，所以 。 (2) 点 在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正： 得 ； 得 。 同时满足，得 。 第 (1) 问容易只答 而漏写点的坐标，题目问了两样就要答两样。 20．（6 分）如图， 地在 地的正东方向，且 km； 地在 地的北偏东 45° 方向上，且 km。 (1) 用方向和距离描述 地相对于 地的位置； (2) 求 、 两地之间的距离； (3) 用方向和距离描述 地相对于 地的位置。 【答案】(1) 在 的南偏西 45° 方向、距 地 km 处；(2) km；(3) 在 的正南方向、距 地 km 处 (1) 在 的北偏东 45° 方向，反过来 就在 的南偏西 45° 方向，距离不变，仍是 km。 (2) 以 为原点、正东为 轴正方向、正北为 轴正方向建系。 与正东方向成 °，斜边 ，两直角边都是 ，所以 ；又 在 的正东 km 处，所以 。 、 的横坐标相同， 垂直于 轴，（km）。 (3) 由上可知 在 的正南方向，距离 km。 第 (2) 问也可以直接看出 °，用勾股定理算 ，结论相同。 21．（6 分）如图，某海岛 附近有三个观测点 、、，图中每个小正方形的边长代表 km。 (1) 直接写出 、、 三点的坐标； (2) 用方向和距离描述点 相对于点 的位置； (3) 点 在点 的南偏东 45° 方向 km 处，在图中画出点 ，并写出点 的坐标。 【答案】(1) ，，；(2) 在 的正东方向、距 地 km 处；(3) 图见解析， (1) 按刻度直接读： 在 轴右边 格、 轴上方 格，故 ；；。 (2) 、 的纵坐标相同，都在 轴上方 格处， 在 的正东方向，距离 （km）。 (3) 南偏东 45° 且距离 ，相当于从 向右 格、向下 格，所以 ，在图上是第四象限里与 关于 轴对称的那个格点。 22．（6 分）如图， 的三个顶点分别为 、、。 (1) 求 的面积； (2) 若点 在 轴上，且 的面积等于 的面积，求点 的坐标。 【答案】(1) ；(2) 或 (1) 、 的纵坐标相同， 平行于 轴，。 点 到 的距离就是纵坐标之差：。 所以 。 (2) 设 。 所在直线是 ，点 到它的距离是 。 由 得 ，所以 或 ， 解得 或 ，即 或 。 距离是绝对值，去掉绝对值时有两个方向，只写一个就会漏解。 23．（7 分）如图，动点从原点 出发：第 次沿 轴正方向前进 个单位长度到达 ，第 次沿 轴正方向前进 个单位长度到达 ，第 次沿 轴负方向前进 个单位长度到达 ，第 次沿 轴负方向前进 个单位长度到达 ，第 次沿 轴正方向前进 个单位长度到达 ，…… 按此规律继续运动：前进方向依次为「正 、正 、负 、负 」循环，前进的距离依次为 。 (1) 写出点 、 的坐标； (2) 求点 的坐标。 【答案】(1) ，；(2) (1) 接着往下走：由 沿 轴正方向前进 ，得 ； 再由 沿 轴负方向前进 ，得 ；沿 轴负方向前进 ，得 。 (2) 每 步为一个周期，一个周期里前进的距离成对出现（ 各用两次）。 按周期分组：，，，。 核对： 时得 、、、，与题设一致。 因为 ，所以 属于 这类，取 ，得 。 24．（7 分）如图，海上观测站 测得：渔船 在北偏东 30° 方向上、与 相距 km；渔船 在南偏东 60° 方向上、与 相距 km。 (1) 求 的度数，并求 、 两船之间的距离； (2) 求 的面积； (3) 求观测站 到直线 的距离（结果精确到 km）。 【答案】(1) °， km；(2) 平方千米；(3) 约 km (1) 正北与正南成 ° 角， 与正北成 30°， 与正南成 60°， 所以 °。 在直角三角形 中，由勾股定理得 （km）。 (2) （平方千米）。 (3) 设点 到直线 的距离为 ，则同样有 。 把 、 代入，得 ，解得 （km）。 同一个三角形的面积用两种「底×高」表示，就能把不好直接量的高求出来，这是常用的面积法。 学科网（北京）股份有限公司 $ 【4.1 平面直角坐标系 - 4.2 用方向和距离确定物体的位置】 课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年浙教版八年级上册数学 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 8 小题（46 分） 本卷覆盖小节：4.1 平面直角坐标系　4.2 用方向和距离确定物体的位置 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．下列各点中，位于第四象限的是（　　） A．　B．　C．　D． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．点 在 轴上　B．点 在 轴上 C．点 在第四象限　D．点 在第一象限 3．在平面直角坐标系中，点 到 轴的距离是（　　） A．　B．　C．　D． 4．若点 在第二象限，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 5．若点 在第二、四象限的角平分线上，则 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 6．如图，在正方形网格中，点 、 的坐标分别为 、，则点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 7．已知 地在 地的北偏东 35° 方向，则 地在 地的（　　） A．南偏西 35° 方向　B．南偏东 35° 方向 C．北偏西 35° 方向　D．南偏西 55° 方向 8．如图，目标 在观测点 的北偏西 45° 方向上，且 km。以正东方向为 轴正方向、正北方向为 轴正方向， km 为 个单位长度建立平面直角坐标系，则点 的坐标是（　　） A．　B．　C．　D． 9．已知点 、，点 在 轴上。若 是等腰三角形，则点 的坐标是（　　） A．　B． C． 或 　D． 或 或 10．如图，、 两处目标到观测点 的距离都是 km，其中 在 的北偏东 45° 方向上， 在 的南偏东 45° 方向上。以正东、正北方向为 轴、 轴正方向建立平面直角坐标系（ km 为 个单位长度），则下列结论中错误的是（　　） A．点 的坐标为 　B．° C．、 两点之间的距离为 km　D．点 到直线 的距离为 km 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．若点 在第二象限，且 ，，则点 的坐标是 　　　　　。 12．已知点 、。若线段 轴，则 　　　　　，线段 的长为 　　　　　。 13．一艘轮船在 处测得灯塔 在北偏东 50° 方向上，且与 相距 km；同时测得灯塔 在南偏东 40° 方向上，且与 相距 km。则 、 两灯塔之间的距离为 　　　　　 km。 14．若点 在第三象限，则点 在第 　　　　　 象限。 15．定义：在平面直角坐标系中，对于点 ，把点 叫做点 的「平移对应点」。若点 的平移对应点 落在第二象限，则 的取值范围是 　　　　　。 16．如图，一艘轮船在 处测得灯塔 在北偏东 60° 方向上，此时 km。轮船沿正东方向航行，当它与灯塔 的距离最短时，轮船航行了 　　　　　 km，这个最短距离是 　　　　　 km。 三、解答题（本题有 8 小题，共 46 分） 17．（4 分）如图，在已给出的平面直角坐标系中，格点三角形 的三个顶点都在网格线的交点上。 (1) 写出点 、、 的坐标； (2) 指出点 所在的象限。 18．（5 分）长方形 中，，。 (1) 以点 为原点， 所在直线为 轴、 所在直线为 轴，且 、 的方向分别为 轴、 轴的正方向建立平面直角坐标系，求点 、、 的坐标； (2) 若改以点 为原点， 轴、 轴的正方向都不变，求点 、、 的坐标。 19．（5 分）已知点 。 (1) 若点 在 轴上，求 的值及点 的坐标； (2) 若点 在第二象限，求 的取值范围。 20．（6 分）如图， 地在 地的正东方向，且 km； 地在 地的北偏东 45° 方向上，且 km。 (1) 用方向和距离描述 地相对于 地的位置； (2) 求 、 两地之间的距离； (3) 用方向和距离描述 地相对于 地的位置。 21．（6 分）如图，某海岛 附近有三个观测点 、、，图中每个小正方形的边长代表 km。 (1) 直接写出 、、 三点的坐标； (2) 用方向和距离描述点 相对于点 的位置； (3) 点 在点 的南偏东 45° 方向 km 处，在图中画出点 ，并写出点 的坐标。 22．（6 分）如图， 的三个顶点分别为 、、。 (1) 求 的面积； (2) 若点 在 轴上，且 的面积等于 的面积，求点 的坐标。 23．（7 分）如图，动点从原点 出发：第 次沿 轴正方向前进 个单位长度到达 ，第 次沿 轴正方向前进 个单位长度到达 ，第 次沿 轴负方向前进 个单位长度到达 ，第 次沿 轴负方向前进 个单位长度到达 ，第 次沿 轴正方向前进 个单位长度到达 ，…… 按此规律继续运动：前进方向依次为「正 、正 、负 、负 」循环，前进的距离依次为 。 (1) 写出点 、 的坐标； (2) 求点 的坐标。 24．（7 分）如图，海上观测站 测得：渔船 在北偏东 30° 方向上、与 相距 km；渔船 在南偏东 60° 方向上、与 相距 km。 (1) 求 的度数，并求 、 两船之间的距离； (2) 求 的面积； (3) 求观测站 到直线 的距离（结果精确到 km）。 学科网（北京）股份有限公司 $