29.2.3 课时2 圆内接四边形 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十九章 圆 29.2.3 圆周角 课时2 圆内接四边形 ▌课时目标 1. 理解圆内接四边形与圆内接多边形的概念，能识别对角、外角与内对角。 2. 掌握圆内接四边形对角互补的性质及外角等于内对角的结论，会进行角度计算。 3. 能综合运用圆内接四边形性质与圆周角定理解决问题，初步体会四点共圆的构造。 ▌课时目录 知识点01：圆内接四边形与圆内接多边形的概念 知识点02：圆内接四边形的性质（对角互补） 知识点03：圆内接四边形的外角等于它的内对角 知识点04：圆内接四边形性质在角度计算中的应用 知识点05：圆周角定理证明中的分类讨论（圆心在角的一边上、内部、外部） 知识点06：四点共圆的初步认识与构造辅助圆 ▌知识点01：圆内接四边形与圆内接多边形的概念 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。 四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上时，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 注意：任意三角形都有外接圆，但并非任意四边形都有外接圆。 1．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在圆内接四边形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∴， 解得， ∴， ∴． 2．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）四边形内接于，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 3．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴. 4．（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． ▌知识点02：圆内接四边形的性质（对角互补） 性质定理：圆内接四边形的对角互补。 符号表述：四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°。 依据：对角所对的两条弧合起来是整个圆（360°），圆周角为对应弧度数的一半，故两角之和为180°。 5．（2026·贵州黔东南·三模）如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再结合题目已知进行列方程组求解即可． 【详解】解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 6．（25-26九年级下·江苏盐城·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 【答案】/100度 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴． 7．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 8．（2026·宁夏银川·三模）如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，则的度数为_____． 【答案】/110度 【分析】平行线的性质求出的度数，圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，求出的度数即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴ ∴. ▌知识点03：圆内接四边形的外角等于它的内对角 结论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角（与它相邻内角的对角）。 符号表述：延长AB到E，则外角∠CBE＝∠D。 推导：∠CBE＝180°−∠ABC＝∠D（邻补角与对角互补的综合运用）。 9．（2026·新疆昌吉·模拟预测）如图，四边形内接于，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆内接四边形的外角等于内对角求出的度数，再利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：∵四边形内接于，是四边形的外角， ， ∵， ∴， ∵ 与是同弧所对的圆周角和圆心角， ∴． 10．（2026·广东肇庆·二模）如图，四边形是的内接四边形，是直径，延长与相交于点E，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角是圆心角的一半即可得，根据是直径可知，，根据等腰直角三角形可知，，进而根据角度关系即可求解． 【详解】， ． 是的直径， ， ， ， ． ∵四边形是的内接四边形， ∴ ． 11．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，四边形内接于为的延长线上的一点．若，则的度数是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，为四边形的外接圆，E为延长线上一点．若，则的度数为________． 【答案】/80度 【详解】解：∵为四边形的外接圆， ∴， ∵， ∴． ▌知识点04：圆内接四边形性质在角度计算中的应用 知一角求对角：用180°减去已知角即可；知一角求相邻外角的内对角时可直接相等。 常见题型：设某角为x，用对角互补列方程，如x＋(x＋30°)＝180°。 注意区分“对角”与“邻角”：邻角不一定互补，只有对角才互补。 13．（2026·重庆·二模）如图，点A，B，C在上，点B在劣弧上，连接，，，作射线，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出所对的圆周角，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，在优弧上取一点E，连接，， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， 又， ． 14．（2026·贵州遵义·一模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆内接四边形的性质得出，求出，由圆周角定理得出． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，，若，则的度数为________． 【答案】/60度 【分析】根据圆内接三角形的性质得到，由圆周角定理得到，据此求解即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， 解得：． 16．（2026·安徽阜阳·二模）如图，是的直径，弦于点E，G为上一点，延长交于点F，连接和． (1)若，，求的半径； (2)求证：． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】（1）由垂径定理可得，如图：连接，设圆的半径为r，则，再利用勾股定理构造方程求解即可； （2）如图：连接AC，易得，即，再利用圆的内接四边形的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：∵是的直径，弦于点E，， ∴， 如图：连接，设圆的半径为r，则， ∴，即，解得：， ∴的半径为5． （2）证明：如图：连接， ，是的直径， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ． ▌知识点05：圆周角定理证明中的分类讨论（圆心在角的一边上、内部、外部） 综合思路：先用圆周角定理或推论实现角的转移，再用对角互补沟通四边形中的角。 按圆心O与圆周角∠ACB的位置关系分三种情形证明： 1. 圆心在角的一边上； 2. 圆心在角的内部； 3. 圆心在角的外部。 情形①利用等腰三角形和三角形外角性质直接得证； 情形②③通过作直径转化为情形①的和或差。 体会分类讨论与化归思想。 17．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在圆中，一条弦的长等于其半径长，则这条弦所对的圆周角的度数为________ 【答案】或 【分析】首先根据题意画出图形，由某个圆的弦长等于它的半径，是等边三角形，即可求得的度数，又由圆周角定理与圆的内接四边形的性质，求得答案． 【详解】解：如图，设这条弦为， 根据题意得：， 是等边三角形， ， ， ， 即这条弦所对的圆周角的度数为：或． 18．（26-27九年级上·全国·课后作业）若的半径为，弦的长为，则弦所对的圆周角为_______________． 【答案】或 【分析】连接，，由三边长度判断为等边三角形，得到圆心角度数，再分圆周角顶点在优弧和劣弧两种情况计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵的半径，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 弦所对的圆周角分两种情况： 当圆周角顶点在所对的优弧上时，根据圆周角定理，圆周角度数为； 当圆周角顶点在所对的劣弧上时，根据圆内接四边形对角互补，圆周角度数为； ∴弦所对的圆周角为或． 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，若圆心角是上一点，则等于______． 【答案】或 【分析】根据点C在圆上的不同位置分情况讨论，用圆周角定理和圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论：当点C在优弧上时， ∵， ∴根据圆周角定理，； 当点C在劣弧上时，在优弧上取点D， 连接，， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 综上，等于或． 20．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三点，那么弦所对的圆周角的度数是___________． 【答案】或 【分析】连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心．分别求出，根据勾股定理的逆定理得出，进而即可求解． 【详解】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，设是优弧上一点，    由图可得：，， ∴， 故， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴弦所对的圆周角的度数是或． ▌知识点06：四点共圆的初步认识与构造辅助圆 初步认识：若四边形的一组对角互补，则它的四个顶点在同一个圆上（四点共圆）。 构造辅助圆：当问题中出现直角（如两个直角三角形共斜边）或对角互补时，可构造辅助圆，把直线形问题转化为圆的问题。 例：∠ABC＝∠ADC＝90°，则A、B、C、D四点共圆，AC为直径，可用圆的性质求角。 21．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径所对的圆周角为90度，可知，结合同弧所对的圆周角相等，可得，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：是的直径， ， ∵， ， ． 22．（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∴， ∴． 23．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，， 则（依据） ∵， ∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据） ∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】 圆内接四边形对角互补； 对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据：_；依据：_．（从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为_； 【拓展探究】 （）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，．求证：，，，四点共圆； 【答案】（），； （）； （）证明：∵， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆； ． 【分析】（）根据圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆作答即可； （）根据同弧所对的圆周角相等即可求解； （）根据（）中的结论证明即可得证； 【详解】（）解：如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补） ∵， ∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点，在点，，所确定的上（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆） ∴点，，，四点在同一个圆上， 故答案为：，； （）解：∵在线段同侧有两点，，， ∴，，，四点共圆， ∵， ∴， 故答案为：； （）略 24．（2024·河南安阳·三模）数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动． 模型感知： 小明同学善于观察思考，如图，在和中，，他发现当两个直角三角形共斜边时，取斜边中点，根据斜边中线等于斜边的一半，易知，由圆的定义可知，四点共圆，则有，其依据是______． 操作判断： 小明同学把等腰直角三角板的直角顶点绕着直角三角板的斜边中点旋转，其中，直线与相交于点，边与相交于点． （）如图，当时，线段与的数量关系是______． 深入探究： （）将图中的旋转到图所示的位置，请判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由． 【答案】模型感知：同弧所对的圆周角相等； （1）； （2）与的数量不会发生变化，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴四点共圆， ∴， ∵点是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即； 【分析】模型感知：根据圆周角定理即可求解； （）连接，可得四边形是矩形，得到，由直角三角形的性质可得，即得，又由得到，即可得到； （）与的数量不会发生变化．如图，连接，由，，可得四点共圆，即得，进而可得，利用直角三角形的性质即可求证； 【详解】解：模型感知：由题意可知，其依据是同弧所对的圆周角相等， 故答案为：同弧所对的圆周角相等； （）如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点为斜边的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （）略 ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·重庆巴南·模拟预测）如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的内接四边形的性质求出，根据圆周角定理即可计算出答案． 【详解】解：四边形内接于， ， 由圆周角定理可得：． 2．（2026·重庆·二模）如图，四边形为的内接四边形，，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的内接四边形对角互补求解即可． 【详解】∵四边形为的内接四边形， ∴ ∵ ∴． 3．（2026·浙江温州·三模）如图，已知四边形内接于，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 与是同弧所对的圆心角与圆周角， ． 4．（2026·山西阳泉·三模）如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用圆内接四边形的性质和的度数求得的度数，然后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴． 二、填空题 5．（2026·山西大同·一模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径．点是上一点，若，则的度数为___________． 【答案】120 【分析】连接，根据圆周角定理得到，进而求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，求出的度数即可. 【详解】解：连接，则， ∵是的直径， ∴ ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴. 6．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，若，则______°． 【答案】30 【分析】连接．由圆内接四边形求出，再根据是直径得，根据角的和差即可求解． 【详解】解：连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵是直径， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 【答案】30° 【分析】由“圆内接四边形对角互补”得到，由“直径所对的圆周角等于”得到，最后． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ，（圆内接四边形对角互补） 又， ． 是的直径， ， ． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，点M是弦的中点，连接．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，根据圆的内接四边形的性质，圆心角与圆周角关系，垂径定理推论，求解即可． 【详解】解：如图，在优弧上任取点F，连接， 则四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ∵点M是弦的中点，， ． 三、解答题 9．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则______，______； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； 【答案】(1)， (2)证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）略 10．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是半的直径，点C，D在半上． (1)若，求的度数． (2)若的半径为6，，求圆心O到弦的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，中位线定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据圆内接四边形对角互补，可求得的度数，再根据直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理即可求得的度数； （2）过作交于，连接，易得为中点，再根据勾股定理可求 ． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ， ∵是半圆O的直径， ∴， ， （2）过作交于，连接， 由题可知， 又∵， 为中点， ， ， 所以圆心O到弦的距离． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训川练 第二十九章圆 29.2.3圆周角 课时2圆内接四边形 课时目标 理解圆内接四边形与圆内接多边形的概念，能识别对角、外角与内对角。 2. 掌握圆内接四边形对角互补的性质及外角等于内对角的结论，会进行角度计算。 3. 能综合运用圆内接四边形性质与圆周角定理解决问题，初步体会四，点共圆的构造。 课时目录 知识点01：圆内接四边形与圆内接多边形的概念 知识点02：圆内接四边形的性质（对角互补) 知识点03：圆内接四边形的外角等于它的内对角 知识点04：圆内接四边形性质在角度计算中的应用 知识点05：圆周角定理证明中的分类讨论（圆心在角的一边上、内部、外部） 知识点06：四点共圆的初步认识与构造辅助圆 知识点O1：圆内接四边形与圆内接多边形的概念 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边 形，这个圆叫做多边形的外接圆。 1/13 四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上时，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 注意：任意三角形都有外接圆，但并非任意四边形都有外接圆。 B D C 1,(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨阶段检测)在圆内接四边形ABCD中，若∠A:∠B:∠C=12:5,则 ∠D的度数是() A.30° B.60° C.90 D.120° 2.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)四边形ABCD内接于⊙0，若∠B=60°，则∠D=() A.60° B.90° C.120° D.150° 3.(26-27九年级上：浙江宁波开学考试)如图，四边形ABDE是⊙0的内接四边形，CE是⊙0的直径， 连接BC,DC.若∠BDC=20°.则∠A的度数为() E D A.90° B.100 C.110 D.120° 4(2026河北中考真题)如图，在0 中，AC 所对的圆心角为150°，点D在4C上.若2CB0=m 则∠ADC=() 2/13 A.90°+n° B.180°-n° C.195°-n° D.2n° 知识点02：圆内接四边形的性质（对角互补） 性质定理：圆内接四边形的对角互补。 符号表述：四边形ABCD内接于⊙0，则∠A十∠C=180°，∠B十∠D=180°. 依据：对角所对的两条弧合起来是整个圆(360)，圆周角为对应弧度数的一半，故两角 之和为180°。 A B ● D 5.(2026贵州黔东南三模)如图，点A、B、C、D在⊙0上，若∠1+∠2=110°，则∠B的度数为 () D B A.55° B.60° C.65 D.70° 6.(25-26九年级下·江苏盐城期末)如图，四边形ABCD内接于⊙0，若∠C=130°，则∠B0D的度数 为 3/13 D 7.(2026江苏扬州中考真题)如图，C是以4B为直径的O0上一点，点D在BC上.∠1BC=20°，则 ∠CDB=°. C B 8.(2026宁夏银川三模)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，连接AO,OC,∠OCD=40°， AO∥CD,则∠ADC的度数为一· B 知识点03：圆内接四边形的外角等于它的内对鱼 结论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角（与它相邻内角的对角）。 符号表述：延长AB到E,则外角∠CBE=∠D。 推导：∠CBE=180°-∠ABC=∠D(邻补角与对角互补的综合运用)。 4/13 A B E D C 9.(2026新疆昌吉模拟预测)如图，四边形ABCD内接于⊙0，∠DCE=60°，则∠BOD=() A B E A.120° B.130° C.140° D.150° 10.(2026广东肇庆二模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是直径，延长AD与BC相交 于点E,连接OD,若AB=BC,∠COD=42°，则∠DCE的度数为() E D B A.42 B.45° C.66° D.72° 11.(26-27九年级上江苏无锡阶段检测)如图，四边形ABCD内接于⊙0，E为BC的延长线上的一点. 若∠BOD=130°，则∠DCE的度数是 0 5/13 12.(24-25九年级上山西朔州期中)如图，⊙0为四边形ABCD的外接圆，E为CB延长线上一点.若 ∠D=80°，则∠ABE的度数为- 知识点04：圆内接四边形件质在角度计算中的应用 知一角求对角：用180°减去己知角即可：知一角求相邻外角的内对角时可直接相等。 常见题型：设某角为x,用对角互补列方程，如x十(x十30)=180°。 注意区分“对角”与“邻角”：邻角不一定互补，只有对角才互补。 13.(2026重庆·二模)如图，点A,B,C在⊙0上，点B在劣弧AC上，连接OA,OC,CB,作射线 AB,已知∠AOC=106°，则∠CBD的度数是() 0 A.53° B.106° C.74° D.70° 14.(2026贵州遵义·一模)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，若∠ABC=100°，则∠AOC的度 数是() D A.40° B.80° C.100° D.160° 15.(2026陕西咸阳模拟预测)如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接OA,OC,若∠AOC=∠ADC, 则∠ABC的度数为 6/13 B 16.(2026安徽阜阳·二模)如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,G为AD上一点，延长 AG,CD交于点F,连接CG和DG. (1)若BE=1,CD=6,求⊙0的半径： (2)求证：∠AGC=∠DGF 知识点05：圆周角定理证明中的分类讨论（圆心在角的一边上。内部、外部） 综合思路：先用圆周角定理或推论实现角的转移，再用对角互补沟通四边形中的角。 按圆心O与圆周角∠ACB的位置关系分三种情形证明： 圆心在角的一边上： 圆心在角的内部； 圆心在角的外部。 情形①利用等腰三角形和三角形外角性质直接得证： 情形②③通过作直径转化为情形①的和或差。 体会分类讨论与化归思想。 17.(26-27九年级上·江苏苏州阶段检测)在圆中，一条弦的长等于其半径长，则这条弦所对的圆周角的 度数为 18.(26-27九年级上全国课后作业)若⊙0的半径为1，弦AB的长为1，则弦AB所对的圆周角为 7/13 19.(2627九年级上全国课后作业)在⊙0中，若圆心角∠40B=100°，C是⊙0上一点，则∠ACB等于 20.(26-27九年级上江苏无锡阶段检测)如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点， 那么弦AC所对的圆周角的度数是 B 知识点06：四点共圆的初步认识与构造铺助圆 初步认识：若四边形的一组对角互补，则它的四个项点在同一个圆上（四点共圆）。 构造辅助圆：当问题中出现直角（如两个直角三角形共斜边）或对角互补时，可构造辅助 圆，把直线形问题转化为圆的问题。 例：∠ABC=∠ADC=90°，则A、B、C、D四点共圆，AC为直径，可用圆的性质求角。 21.(25-26九年级下湖南长沙期中)如图，A,B,C,D四点共圆，AC是⊙0的直径.若 ∠BAC=28°，则∠ADB的度数等于() ○ D A.28° B.52° C.56 D.62° 22.(25-26八年级下山东滨州期末)如图，A,B,C,D四点共圆，BD是⊙0的直径.若 ∠ABD=55°，则∠ACB的度数等于() 8/13 B A.35° B.40° C.45 D.50° 23.(24-25九年级上浙江杭州期中)探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得 出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究， 【提出问题】如图1，在线段AC同侧有两点B,D,连接AD,AB,BC,CD,如果∠B=∠D, 那么A,B,C,D四点在同一个圆上 【探究展示】如图2，作经过点A,C,D的⊙0，在劣弧AC上取一点E(不与A,C重合)，连 接AE,CE, 则∠AEC+∠D=180°（依据1） ,∠B=∠D, .∠AEC+∠B=180°， ∴点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） .点B,D都在点A,C,E所确定的⊙O上（依据2） 点A,B,C,E四点在同一个圆上： 【反思归纳】 ① 圆内接四边形对角互补： ② 对角互补的四边形四个顶点共圆； ③ 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆： ④ 同圆中，同弧所对的圆周角相等： (1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：一；依据2：-.（从框内选 一个选项，直接填序号) (2)如图3，在四边形ABCD中，∠1=∠2=70°，∠3=45°，则∠4的度数为-： 【拓展探究】 9/13 (3)如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,点D在BC上（不与BC的中点重合），连接 AD.作点C关于AD的对称点E,连接EB并延长交AD的延长线于F,连接AE,DE.求证：A, D,B,E四点共圆； D D B D E B E 图1 图2 图3 图4 24.(2024河南安阳·三模)数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活 动 模型感知： 小明同学善于观察思考，如图1，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，他发现当两个直角三角形共 斜边时，取斜边中点O,根据斜边中线等于斜边的一半，易知OA=OB=OC=OD,由圆的定义可知， A,B,C,D四点共圆，则有∠CAD=∠CBD,其依据是 操作判断： 小明同学把等腰直角三角板ABC的直角顶点C绕着直角三角板DEF的斜边中点旋转，其中∠E=30°， 直线AC与DF相交于点G,边BC与DE相交于点H. D GD C 图1 图2 图3 (1)如图2，当BC⊥DE时，线段GH与CH的数量关系是 深入探究： (2)将图2中的△ABC旋转到图3所示的位置，请判断GH与CH的数量关系是否发生变化，并说明 理由， 课时训练 10113 一、选择题 1.(2026重庆巴南模拟预测)如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接OB、OD.若∠BCD=110°，则 ∠BOD的度数是() A 0 B A.70° B.110° C.120° D.140° 2.(2026重庆·二模)如图，四边形ABCD为⊙0的内接四边形，∠B=75°，∠D的度数是() D O· B A.75 B.85o C.95 D.105 3.(2026浙江温州三模)如图，已知四边形ABCD内接于⊙0，连接OA,OC,若∠ADC=122°，则 ∠AOC的度数是() B A.106° B.116% C.122° D.136° 4.(2026山西阳泉·三模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB=AD,连接BD.若∠C=100°，则 ∠ABD的度数为() 11/13 D A.550 B.50° C.45° D.40° 二、填空题 5。(2026山西大同一模)如图，四边形1BC 是O0的内接四边形，D是O0的直径.点E是 上一 点，若∠AEB=30°，则∠C的度数为 B 6.(2026浙江杭州模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠ABD=60°，则∠BCD= B D 7.(25-26九年级上陕西安康阶段检测)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径， 连接AE.若∠BCD=120°，则∠DAE的度数是 B 12113 8.(2026陕西西安模拟预测)如图，△ABC内接于⊙O,点M是弦AB的中点，连接OM.若 ∠ACB=124°，则∠MOB的度数为 M 三、解答题 9.(26-27九年级上：河南安阳阶段检测)我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”· A A D 0 B D B C C 图1 图2 I)如图1，“等对角四边形”ABCD内接于⊙0，∠A=60°，则∠B=°，∠C=°： 2)如图2，“等对角四边形”ABCD内接于⊙O,且CB=CD,∠ABC<90°，点E在AD的延长线上， 连接AC,BD,CE,∠ACE=90°，请证明：四边形BCED是“等对角四边形”； 10.(25-26九年级上陕西安康期中)如图，AB是半⊙0的直径，点C,D在半O0上. (1)若∠BDC=130°，求∠ABC的度数. (2)若⊙O的半径为6，BC=8,求圆心O到弦BC的距离. 13/13