精品解析：江苏无锡市江阴市南闸实验学校2026-2027学年九年级上学期10月练习数学试题

2026—2027第一学期初三数学学科练习 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 直径是一个圆中最长的弦 C. 两个相等的圆心角所对的弧一定相等 D. 长度相等的两条弧是等弧 6. 已知的半径为5，点到圆心的距离为4，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 7. 正方形内接于，若半径为2，则正方形边长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 如图，是地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，，点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，点E在边上，扇形与边相切于点F，点M，N分别在，边上，是的内切圆．若，，，则的半径为（ ） A. 2 B. 1 C. 0.7 D. 0.5 10. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论： ①方程是“特根方程”； ②若关于x的一元二次方程是“特根方程”，且方程的两根、满足，则k的值为2或； ③若关于x的一元二次方程是“特根方程”，则m有且只有一个整数解． 这三个结论中判断正确的是（　　） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知方程的一个根为，则的值为__________． 12. 如图，点，，，，则_______°． 13. 如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为________． 14. 已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为____________cm2． 15. 已知，，、的长分别是一元二次方程的两根，则外接圆的半径为__________． 16. 如图，切于点A、B，，切于点E，交于C、D两点，则的周长是___________． 17. 如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形的中心，轴，点E在双曲线（k为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为________． 18. 如图，函数：与函数的图象交于，两点，点在以为圆心，1为半径的圆上，是的中点，则长的最小值为__________ 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 21. 如图，平面直角坐标系中有一个． （1）利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； （2）的外接圆的圆心坐标是________；外接圆半径为________； （3）该圆圆心到弦的距离为________．的长度为________． 22. 如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为______； （3）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 24. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，过O点作交于点E，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 25. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 26. 在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（p是常数，且），则称点A，B是“p瞬移点”． （1）下列各组点中，是“2瞬移点”的有________．（填序号） ①点与； ②点与； ③点与． （2）如图1，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点A，B是“瞬移点”． ①k的值为________；②若的面积为4，求m的值． （3）如图2，已知，D为反比例函数上一点．若且，E为平面内一点，若四边形为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027第一学期初三数学学科练习 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．是不等式，不是方程，故A不符合要求． B．分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求． C．整理后为，未知数最高次数为2，是一元二次方程，故C符合要求． D．含有两个未知数，是二元一次方程，故D不符合要求． 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：C． 3. 已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵反比例函数中， ∴反比例函数图象在第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴点、在第四象限的图象上， ∴． 4. 如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，即可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 直径是一个圆中最长的弦 C. 两个相等的圆心角所对的弧一定相等 D. 长度相等的两条弧是等弧 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，垂径定理，根据圆的定义和性质，逐一判断各选项的正确性． 【详解】A．∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但弦可能是直径，此时不一定垂直，∴A错误； B．∵直径是通过圆心的弦，且是圆中最长的弦，∴B正确； C．∵只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，∴C错误； D．∵等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定等弧，∴D错误． 故选：B． 6. 已知的半径为5，点到圆心的距离为4，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外则；点在圆上则；点在圆内则． 直接根据圆的半径以及点到圆心的距离，求解即可． 【详解】解：由题意可得，的半径为5，点到圆心的距离为4， ∵， ∴点在内， 故选B． 7. 正方形内接于，若半径为2，则正方形边长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵半径为2， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 正方形的边长是． 8. 如图，是地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，，点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质和直角三角形两锐角互余求出的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：由切线的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴． 9. 如图，在矩形中，点E在边上，扇形与边相切于点F，点M，N分别在，边上，是的内切圆．若，，，则的半径为（ ） A. 2 B. 1 C. 0.7 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得到，进而得到四边形是矩形，则，再证明，得到，则，设，，则，，根据完全平方公式求出，再根据三角形的内切圆半径公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形， ∴， ∵扇形与边相切于点F， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵是的内切圆， ∴的半径． 10. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论： ①方程是“特根方程”； ②若关于x的一元二次方程是“特根方程”，且方程的两根、满足，则k的值为2或； ③若关于x的一元二次方程是“特根方程”，则m有且只有一个整数解． 这三个结论中判断正确的是（　　） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据“特根方程”的定义，需满足两个实数根均负且比值在3到4之间．结论①直接计算验证；结论②通过根与系数关系求k，但需检验是否满足定义；结论③通过分析m的取值范围，确定整数解个数． 【详解】解：对于结论①：解方程得：， 满足，且，符合；∴①正确． 对于结论②：由一元二次方程可得：， 由得，解得． 当时，方程，解得，满足定义； 当时，方程，解得，则有，不满足定义，∴②错误． 对于结论③：方程，判别式， 由题意可知需且根均负，故． 解方程得（时）或（）． 比值，当时，，需，解得，无整数m； 当时，，需，解得，则有整数m仅为，∴③正确． 综上，①③正确； 故选C． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知方程的一个根为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ 将代入原方程得 计算整理得 解得． 12. 如图，点，，，，则_______°． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理，先根据圆周角定理求出，结合圆内接四边形对角互补，得出，即可作答． 【详解】解：∵为弧所对的圆周角， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 故答案为： 13. 如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到，进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，记与轴的交点为， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为____________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积＝×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】∵圆锥的底面半径长为4cm，母线长为5cm， ∴圆锥的侧面积＝×4×5＝20cm2， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键． 15. 已知，，、的长分别是一元二次方程的两根，则外接圆的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到两条直角边的长度，再用勾股定理求出斜边长，根据直角三角形外接圆直径等于斜边长求半径． 【详解】解：∵和的长分别是一元二次方程的两根， 对方程因式分解得， 解得或， 不妨设，， ∵ 中，， ∴ 由勾股定理得， ∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴ 外接圆的半径为． 16. 如图，切于点A、B，，切于点E，交于C、D两点，则的周长是___________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．根据切线长定理可得，，，据此即可作答． 【详解】解：∵、切于点A、B，切于点E， ∴，，， ∴的周长 ． 故答案为：20． 17. 如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形的中心，轴，点E在双曲线（k为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、反比例函数与几何综合，作轴与，连接，证明是等边三角形，得出，设，则，，得出，，根据平移的性质可得点在双曲线上，代入计算即可得解． 【详解】解：如图，作轴与，连接， ∵原点O为正六边形的中心， ∴，, ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上， ∴点在双曲线上， ∵点也在双曲线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 18. 如图，函数：与函数的图象交于，两点，点在以为圆心，1为半径的圆上，是的中点，则长的最小值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】联立函数解析式求出交点，的坐标，根据中心对称性得出为中点，是的中点，利用三角形中位线定理得出，将求最小值转化为求最小值，当三点共线时最小，利用勾股定理求出长，结合圆的半径即可求解． 【详解】解：联立，解得，， ， 连接， ∵点和点关于原点对称， 为中点， 是的中点， 是的中位线， ， 要使最小，则需最小． ∵点在以为圆心，半径的圆上， ∴当三点共线时最小，最小值为． 过点作轴于点，连接． ，， ． 在中，， 的最小值为， 则长的最小值为． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， ． （2）， ． 【解析】 【分析】（1）先计算，然后利用公式法直接代入即可； （2）先进行移项，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解： ． ， ． 【小问2详解】 解： 则或 解得，． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 21. 如图，平面直角坐标系中有一个． （1）利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； （2）的外接圆的圆心坐标是________；外接圆半径为________； （3）该圆圆心到弦的距离为________．的长度为________． 【答案】（1）如图，点O即为所求； （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）各边垂直平分线的交点即为外接圆的圆心； （2）根据点的位置判断即可，利用勾股定理求出半径； （3）取的中点H，连接，由勾股定理求出；由勾股定理逆定理证明是等腰直角三角形，，再由弧长公式求出的长度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点O的坐标为，外接圆的半径； 【小问3详解】 解：取的中点H，连接， ∵，， ∴， ∴该圆圆心到弦的距离为； ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ． 22. 如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为______； （3）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先将点B的纵坐标代入直线中，得到点B的完整坐标；其次将点B坐标代入反比例函数中，推出k的值，得到反比例函数解析式；最后联立两个函数的方程，求出交点A的坐标． （2）首先明确不等式的几何意义，对应图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，然后结合两个交点确定解集． （3）首先根据直线与x轴交点求出点C坐标，得到的长度，即两个三角形的底边均为的长；然后结合点A纵坐标计算出，从而得到；设出点P坐标，根据反推出点P纵坐标，代入反比例函数解析式，即可得到点P坐标． 【小问1详解】 解：将点B的坐标代入中，得 解得，即点． 将代入到中，得 解得 ∴反比例函数的解析式为． 联立， 得 解得，． 当时，代入，得 ∴点A的坐标为． 【小问2详解】 解:不等式表示一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 两个函数的交点为和，反比例函数自变量取值范围为，观察图象可得：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值， 因此不等式的解集为或． 【小问3详解】 解:将代入直线中，得，即点，． ∵点A纵坐标为2， ∴， ∴． 设点，则，得． 当时，代入反比例函数得，解得； 当时，点P与点B重合，为． ∴点P的坐标为或． 24. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，过O点作交于点E，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）与相切， 理由：连接交于点，连接，则， 是的直径， ， ， ， 垂直平分， ， ，， ， 是的半径，且， 与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，得，根据，则，由，，推导出，即可证明与相切． （2）求得，，，推出，求得，即可求得阴影部分面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、平行线的性质、垂径定理、切线的判定、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 25. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低元 【解析】 【分析】（1）根据9月、11月销售量及月平均增长率相同的条件，列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取对应解． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， ∵9月份销售量为500件，月平均增长率为， ∴11月份销售量为件， 可得方程， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则降价后每件利润为元， ∵原每天销售20件，售价每降低1元每天多售出2件， ∴降价后每天销售量为件， ∵每天获利1200元， ∴可得， 解得， ∵要尽量减少库存，即销售量尽可能大， ∴取较大值20， 答：售价应降低20元． 26. 在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（p是常数，且），则称点A，B是“p瞬移点”． （1）下列各组点中，是“2瞬移点”的有________．（填序号） ①点与； ②点与； ③点与． （2）如图1，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点A，B是“瞬移点”． ①k的值为________；②若的面积为4，求m的值． （3）如图2，已知，D为反比例函数上一点．若且，E为平面内一点，若四边形为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出m的值． 【答案】（1）②③ （2）①；② （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据新定义逐个验证，即可求解． （2）①设，根据，在直线上得出，根据，是“瞬移点”得出，即可得出； ②联立，根据根与系数的关系可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，得出，即可建立方程求解． （3）根据新定义求得，根据正方形的性质以及全等三角形的性质得出的坐标，进而求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ①，②，③， ∴是“2瞬移点”的有②③； 【小问2详解】 解：①设， ∵，在直线上， ∴ ∴， ∵，是“瞬移点”， ∴， ∴， ②联立 消去y得，， ，， ， ∵有两个交点A，B， ∴，即， 又∵B在A的右侧，则， ， 如图所示，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D， ∵A，B在第一象限，则， ， ； 所以， ， 经检验是原方程的解， ∴m的值为3； 【小问3详解】 解：存在， ∵，， ①当时，解得：，满足， 此时， 当在第三象限时，如图所示， 过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在第四象限时， 设，则与关于对称， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②当时，解得：，满足，结论同①， ∵不能为对角线，且，不存在其他情形， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $