精品解析：江苏靖江市靖城中学2026-2027学年九年级上学期第一次阶段质量检测数学试卷

2026-2027靖江市靖城中学九年级第一学期阶段质量检测 数学试卷 （满分150分 考试时间120 分钟） 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 下列哪个方程是一元二次方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需同时满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐个分析选项即可． 【详解】解：A、方程含有2个未知数，是二元一次方程，不符合一元二次方程定义，∴ A错误； B、方程含有2个未知数，是二元二次方程，不符合一元二次方程定义，∴ B错误； C、方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，∴ C错误； D、方程整理为，只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义，∴ D正确． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查成比例线段．根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断． 【详解】解：A、，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意； C、，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、，所以四条线段成比例，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 下列各点，不在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，横纵坐标的乘积为的点才在该反比例函数的图象上，且横坐标不为0，据此逐个验证选项即可． 【详解】解：由题意得，反比例函数图象上的任意点满足，且． A选项：，满足条件，点在图象上． B选项：，满足条件，点在图象上． C选项：，满足条件，点在图象上． D选项：，此时函数无意义，且，不满足条件，点不在图象上． 4. 如图，，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平行线分线段成比例定理进行求解即可：三条平行线截两条直线，对应线段成比例．． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 根据“平行线分线段成比例定理”不能推出， ∴四个选项中，只有C选项符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键． 5. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及连续增长问题．四月份到六月份间隔两个月，每月增长率为x，六月份的投入为四月份投入连续两次增长后的结果．根据题意列出方程即可． 【详解】解：四月份投入25万元，每月增长率为x，则五月份投入为万元，六月份在五月份基础上再增长，投入为万元， 根据题意，六月份投入48万元，因此方程为， 故选：C． 6. 将个数、、、排成行、列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做阶行列式．，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，完全平方公式，解一元一次方程，理解新定义运算是解题的关键．根据新定义，列出方程，利用完全平方公式化简得到一元一次方程，进行求解得到的值，代入到所求代数式中即可得解． 【详解】解：由题意得，， 整理得，即 ， 解得， ． 故选：D ． 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 7. 填空：（1）方程的解是________________； （2）方程的解是________________． 【答案】 ①. ②. ， 【解析】 【分析】（1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴； （2）， ， 或， ∴，． 8. 在一张比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则两地的实际距离为______ m． 【答案】1800 【解析】 【分析】此题考查了比例线段的应用， 将实际问题转化为数学模型是解题的关键 ．即可解答 ． 【详解】解： 设两地间的实际距离为，根据题意列方程得， ， 解得， ， 两地间的实际距离为． 故答案为： 1800 ． 9. 一元二次方程的两根为和，则________． 【答案】2025 【解析】 【分析】由题意可知-3+1=0,则=3-1,则+3+2017=3-1+3+2017=3(+)-1+2017,根据一元二次方程根与系数的关系,可得结果. 【详解】由题意-3+1=0, 则=3-1. 原式=3-1+3+2017 =3(+)-1+2017 =-1+2017 =2025 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,将转化为3-1是解决本题目的关键. 10. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 的取值范围是且 故答案为：且 11. 如图，在一块长，宽为的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为，则小路宽为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，根据题意设小路宽为，则种植花草部分的面积等同于长，宽的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关系于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等同于长，宽的矩形的面积， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 故答案为：2． 12. 如图，在中，，点D是边上的一点，，点E是边上的一点．若与相似，则边的长为_____． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据或对应边成比例，分类讨论即可解答． 【详解】解：∵与相似， ∴或， ∴，或， ∵， ∴或， 解得：或． 故答案为：2或． 13. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据各点纵坐标的符号确定点所在象限，最后结合反比例函数的增减性比较，，的大小． 【详解】解：在反比例函数中，比例系数. ∵， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， ∵， ∴点与点在第四象限，点在第二象限， ∴，，， 又∵反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴， 综上，． 14. 若关于x的一元二次方程的两个根为，，则关于x的一元二次方程的解为_______． 【答案】， 【解析】 【分析】令，代入，根据题意可得或，即可求解． 【详解】解：令，代入， 则， 则由题意得，或， ∴或， 解得或， ∴一元二次方程的解为，． 15. 如图，点A、B在反比例函数（k为常数，，）的图象上，轴于点D，轴于点C，，连接，若，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．根据题意可得，，再利用得到点坐标，继而求出值即可． 【详解】解：轴于点，轴于点，， ，， ， ， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：． 16. 如图，点，，…在反比例函数（）的图象上，点，，，…，在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，…，则的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，由题意容易得到是等腰直角三角形，想办法求出，，,…，探究规律， 利用规律解决问题即可得出结论. 【详解】解：联立， 解得， ∴，， 由题意可知， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过作交轴于， 同理可证为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴， 同理可得， 则， 即， ∴. 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 开平方，得， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 配方，得， ， 开方，得， ∴，； 【小问3详解】 解：， 整理得， 移项，得， 左边因式分解，得， 即， ∴或， ∴，． 18. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，解一元二次方程，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x是方程的根求出x的值，把x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ∵x是方程的根， ∴解得：，， ∵x不能取， ∴当时，原式． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1）证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算，通过判断证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根之和，联立已知条件求出两根，再根据两根之积得到关于的方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，， 又， 可得方程组， 解得， 将，代入，得，即， 解得． 20. 如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴； （2） 证明：∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）证明，即可； （2）根据平行得到，再根据，即可得证． 掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 证明：略． 21. 某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． （1）若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； （2）为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1），，围成这样的矩形养殖区符合题意 （2）面积不能达到，理由 设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【小问1详解】 解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； 【小问2详解】 略 22. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）若点P是y轴上的一点，的面积是12，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图像． （1）先求出，再代入计算即可； （2）直接根据图像作答即可； （3）设直线与y轴交于点C，求出，即，根据或1即可作答． 【小问1详解】 解：将点代入一次函数，则， ∴， 将代入，则， ∴反比例函数表达式是； 【小问2详解】 解：由图可知，当时，或； 【小问3详解】 解：设直线与y轴交于点C， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴或1， ∴点P或． 23. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是． （1）求材料煅烧和锻造时与的函数关系式； （2）根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 【答案】（1）材料加热时，与的函数关系式为；停止加热进行锻造时与的函数关系式为： （2） 【解析】 【分析】考查了反比例函数和一次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）根据题意，材料煅烧时，温度与时间成一次函数关系，煅烧结束时，温度与时间成反比例函数关系，将题中数据代入，用待定系数法可得两个函数的关系式； （2）把代入中，求解，进而得出答案即可． 【小问1详解】 解：停止加热时，设， 由题意得， 解得：， 当时，， 解得， ∴点B的坐标为； 材料加热时，设， 由题意得， 解得． ∴材料加热时，与的函数关系式为：， 停止加热进行锻造时与的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：把代入中， 得， ． 答：锻造的操作时间为． 24. 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． （1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； （2）从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据题干条件列出一元二次方程，取符合题意的值即可； （2）设该款徽章降价元，根据5月销售利润达8400元，列出一元二次方程，取符合题意的值即可． 【小问1详解】 设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，可得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 设该款徽章降价元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，5月销售利润达8400元． 25. 我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 （1）求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； （3）若是它的互补对，求的值． 【答案】（1）， ∵ ∴ ， 所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）列式计算得出方程的判别式，再进行分析，即可作答． （2）结合对称根方程以及对称中心值的定义进行列式计算，即可作答． （3）分别整理得出，，再结合这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，得，最后解得或，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的对称中心值为，该方程的根记为， 根据韦达定理得到， ∵该方程又是对称根方程，且对称中心值为， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设的对称中心值为，该方程的根记为， ∴，， ∴ ∴对称中心值， 设的对称中心值为，该方程的根记为 ∴， ∴ ∴对称中心值， ∵这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值 ∴， ∴或 ∴或． 26. 综合与实践． （1）【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． （2）【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． （3）【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【答案】（1）该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）由题意可得，作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，在中，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是 【小问3详解】 解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027靖江市靖城中学九年级第一学期阶段质量检测 数学试卷 （满分150分 考试时间120 分钟） 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 下列哪个方程是一元二次方程（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 3. 下列各点，不在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（ ） A. B. C. D. 6. 将个数、、、排成行、列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做阶行列式．，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 7. 填空：（1）方程的解是________________； （2）方程的解是________________． 8. 在一张比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则两地的实际距离为______ m． 9. 一元二次方程的两根为和，则________． 10. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____． 11. 如图，在一块长，宽为的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为，则小路宽为______． 12. 如图，在中，，点D是边上的一点，，点E是边上的一点．若与相似，则边的长为_____． 13. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 14. 若关于x的一元二次方程的两个根为，，则关于x的一元二次方程的解为_______． 15. 如图，点A、B在反比例函数（k为常数，，）的图象上，轴于点D，轴于点C，，连接，若，则k的值为______． 16. 如图，点，，…在反比例函数（）的图象上，点，，，…，在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，…，则的坐标是______． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 18. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 20. 如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： （1）； （2）． 21. 某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． （1）若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； （2）为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）若点P是y轴上的一点，的面积是12，求点P的坐标． 23. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是． （1）求材料煅烧和锻造时与的函数关系式； （2）根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 24. 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． （1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； （2）从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 25. 我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 （1）求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； （3）若是它的互补对，求的值． 26. 综合与实践． （1）【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． （2）【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． （3）【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $