专题01三角形的概念、与三角形有关的线段期中复习讲义（核心知识点+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题01三角形的概念、与三角形有关的线段期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解三角形的概念，掌握三角形的表示方法，能对三角形正确分类。 2.掌握三角形三边关系，会判断线段能否构成三角形、求解第三边的取值范围。 3.理解三角形的高、中线、角平分线的定义与交点特征，能规范作图、简单计算。 4.掌握三角形的稳定性，能运用本节知识解决基础计算与辨析类问题。 ✵高频题型梳理 题型1. 三角形的识别与有关概念 题型2. 三角形的个数问题 题型3. 三角形的分类 题型4. 等腰三角形的定义 题型5. 构成三角形的条件 题型6. 确定第三边的取值范围 题型7. 三角形三边关系的应用 题型8. 三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 题型9. 根据三角形中线求长度、面积 题型10. 三角形角平分线的定义 题型11. 画三角形的高 题型12. 与三角形的高有关的计算问题 ✵核心知识梳理 知识点一、三角形的有关概念 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 组成元素：顶点：相邻两边的公共端点； 边：构成三角形的三条线段； 内角：相邻两边组成的角，简称三角形的角。 表示方法：顶点为A,B,C的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”。 要点：构成三角形需同时满足：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接。 知识点二 、三角形的分类 按角分类： 直角三角形：三角形中有一个角是直角。 锐角三角形：三角形中三个角都是锐角。 钝角三角形：三角形中有一个角是钝角。 按边分类：分为三边都不相等的三角形、等腰三角形；等腰三角形包含腰与底边不相等的等腰三角形和等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点三、三角形的稳定性 三角形三边长度确定，三角形的形状、大小就唯一确定，这就是三角形的稳定性。 性质对比：三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 实际应用：桥梁、起重机、人字形屋顶等建筑与器械，都会利用三角形的稳定性。 知识点四 三角形三边关系 定理：三角形两边的和大于第三边。 几何语言：在△ABC中， AB+BC>AC，AB+AC>BC，BC+AC>AB。 推论：三角形两边的差小于第三边。 几何语言：在△ ABC中， |AB-BC|<AC，|AB-AC|<BC，|BC-AC|<AB。 简便判定：判断三条线段能否组成三角形，只需验证较短两条线段的和大于最长线段。 知识点五、三角形三边关系基础应用 1.已知三角形两边长a,b，则第三边c的取值范围：|a-b|<c<a+b 2.等腰三角形计算：分情况讨论腰长与底边长，求出边长后，必须用三边关系检验，舍去不能构成三角形的解。 知识点六、三角形的中线、角平分线、高 中线：连接顶点与对边中点的线段。性质：①平分对边；②将三角形分成面积相等的两部分。 角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点和交点间的线段，平分该内角。 高：从三角形的顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段。 锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高；钝角三角形有两条高在三角形外部。 交点特征：三条中线交于重心；三条角平分线交于内心；三条高所在直线交于垂心。 中线周长差模型：AD为△ABC的中线，则BD=DC，△ABD与△ACD的周长之差等于AB、AC两边的差。 ✵易错提醒 1.等腰三角形边长问题必须分类讨论，求出结果后，用三边关系检验。 2.三角形的高、中线、角平分线均为线段，注意区分直线、射线、线段。 3.钝角三角形两条高在外部，作高时需要延长对应边。 4.中线平分三角形面积，但不一定平分三角形的周长。 5.三角形按边分类时，等边三角形属于等腰三角形，不可将二者并列。 ✵典例精讲 题型1. 三角形的识别与有关概念 1．如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的组成元素，关键是掌握对边是指这个角对面的那条边． 【详解】解：在中，的对边是． 故选C． 2．在中，已知，那么_______（大小比较）． 【答案】 【分析】本题考查比较三角形的内角度数的大小关系，根据大边对大角，比较角度之间的关系即可． 【详解】解：∵分别为的对边，且， ∴； 故答案为：． 3．如图，在中，D，E分别是边上的点，连接，． (1)图中共有多少个三角形？把它们表示出来． (2)以线段为边的三角形有哪些？ (3)分别是，，中哪条边的对角． (4)是哪些三角形的内角，是哪些三角形的内角． 【答案】(1)共有6个，分别是，，，，， (2)，， (3)分别是，，中边，，的对角 (4)是，，的内角，是，的内角 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 题型2. 三角形的个数问题 1．如图，在中，，于，点在线段上，图中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各（     ） A．，，个 B．，，个 C．，，个 D．，，个 【答案】D 【分析】先列出图中全部三角形，再根据锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的定义，逐一识别图中的所有三角形即可． 【详解】解：首先列出图中全部三角形，分别为，，，，，，再进行分类统计：锐角三角形只有，共个；直角三角形有，，，，共个；钝角三角形只有，共个． 2．仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【答案】35 【分析】按照一定的规律，寻找三角形，可以找全不遗漏． 【详解】解：如图， 图中有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 共计有个三角形． 3．如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． (1)全部用符号表示出图中以为边的三角形； (2)除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ (3)以为内角的三角形共有__________个． 【答案】(1)，，， (2)、 (3)2 【详解】（1）解：以为边的三角形有：，，，． （2）解：除外，以点为顶点的三角形还有：、． （3）解：以为内角的三角形有：，，共个． 题型3. 三角形的分类 1．下列关于三角形按边分类的集合中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据三角形按边分类情况：等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项C错误，不符合题意； 分类正确，故选项D正确，符合题意． 2．如图，，，______，三角形按角分是______三角形，按边分是______三角形． 【答案】 锐角 等边 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的分类，根据等边三角形的定义和三角形的分类解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ②三角形按角分是锐角三角形， ③按边分是等边三角形， 故答案为：，锐角，等边． 3．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)图中共有__________个三角形，其中包含__________个直角三角形； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________； (3)直接写出以为边的三角形． 【答案】(1)6；3 (2)； (3)，， 【分析】（1）根据三角形和直角三角形的定义可得答案； （2）依据“角的对边是角对面的边”可得答案； （3）根据三角形的定义可得答案． 【详解】（1）解：图中的三角形有，共6个三角形， ∵， ∴， ∴都是直角三角形，即直角三角形有3个； （2）解：由题意得，在中，的对边是； 在中，的对边是； （3） 解：以为边的三角形有． 题型4. 等腰三角形的定义 1．已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性、三角形形状的判定，解题的关键是利用非负性求出边的关系． 根据绝对值和平方数的非负性，由已知等式得出，进而判断三角形形状． 【详解】解：绝对值和平方数均具有非负性，即， 且，即， ， 由于是的两边长，因此有两边相等，是等腰三角形． 故选：B． 2．某等腰三角形的腰长为4，底边长为3，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】 11 【分析】已知等腰三角形的腰长和底边长，根据等腰三角形两腰相等得到三边长，相加即可得到周长. 【详解】解：∵等腰三角形腰长为4，底边长为3， ∴等腰三角形的三边长分别为4，4，3， ∴该等腰三角形的周长为. 3．一个三角形的周长为18，其中两边长分别为5和6，求第三边的长，并判断这个三角形是否为等腰三角形． 【答案】7，不是 【详解】解：三角形的第三边长：， 三边长：5，6，7，三边都不相等， 则不是等腰三角形． 题型5. 构成三角形的条件 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．2，3，4 B．1，2，3 C．2，2，4 D．3，4，8 【答案】A 【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【详解】解：A、∵，∴能组成三角形，符合题意； B、∵，∴不能组成三角形，不符合题意； C、∵，∴不能组成三角形，不符合题意； D、∵，∴不能组成三角形，不符合题意． 2．一个等腰三角形的两条边长分别是和，这个三角形的周长是______． 【答案】 【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”判断能否构成三角形，舍去不成立的情况，再计算周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当腰长为，底边长为时： ∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴ 这种情况不能构成三角形，舍去； 当腰长为，底边长为时： ∵ ，，满足三角形三边关系， ∴这种情况能构成三角形 ∴ 三角形的周长为； 综上所述，这个三角形的周长是． 3．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形， (1)如果腰长是底边的倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长为的等腰三角形吗？若可以，求出三条边长． 【答案】(1)，， (2)能围成有一边的长为的等腰三角形，，，． 【分析】（1）设底边长为，则腰长为，根据周长为列方程求解即可； （2）分情况根据等腰三角形的定义及三角形三边关系作答即可. 【详解】（1）解：设底边长为，则腰长为， ， 解得，， ， ∴各边长为：，，； （2）解：①当为底时，腰长； ②当为腰时，底边， ， ∴不能构成三角形，故舍去； ∴能构成有一边长为的等腰三角形，三条边长分别为，，． 题型6. 确定第三边的取值范围 1．如图，将一个三角形的某两个顶点断开并伸直以后得到一条线段，根据图中各线段的长度，的值可能是（     ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系可得，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，即， 观察各选项，只有4符合． 2．已知一个三角形的两边长分别为6和9，第三边长为x，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系，代入已知边长计算即可得到第三边的取值范围. 【详解】解：∵三角形的两边长为和，第三边为， ∴， ∴. 3．按要求解答下列问题： (1)若等腰三角形的两边长分别为x，y，满足，求的周长； (2)三边长分别为a，b，c，若，且为整数，求的周长的最大值． 【答案】(1)的周长为13或14 (2)19 【分析】（1）根据非负数的性质求出x、y的值，再讨论腰长，结合构成三角形的条件求解即可； （2）根据三角形三边的关系求出c的取值范围，确定c的最大值即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴， ． 当腰为4时，，能构成三角形，的周长为． 当腰为5时，，能构成三角形，的周长为． 综上所述，的周长为13或14． （2）解：， ，即． 为整数， 的最大值为9， 的周长的最大值为． 题型7. 三角形三边关系的应用 1．如图，为了估计池塘岸边，之间的距离，在池塘外选取一点，测得米，米，则，间的距离不可能是（     ） A．10米 B．70米 C．110米 D．115米 【答案】A 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，解答即可． 【详解】解：连接， 米，米， ， ， 选项A错误． 2．有4厘米、8厘米、10厘米的小棒各2根，选其中的3根围成一个三角形，周长最短的是________厘米． 【答案】 【分析】要得到最短周长，优先选用长度较小的小棒组合，根据三角形三边关系判断组合是否可行，即可得到结果． 【详解】解：要围成周长最短的三角形，优先尝试长度较小的组合，逐一验证： 对于组合厘米、厘米、厘米， ，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴该组合不能围成三角形； 对于组合厘米、厘米、厘米， ，不满足三角形三边关系， ∴该组合不能围成三角形； 对于组合厘米、厘米、厘米， ，满足三角形三边关系， ∴该组合可以围成三角形； 计算周长得，该组合是所有可行组合中周长最小的，因此周长最短为厘米． 3．已知等腰三角形的周长为20，其中一边的长为6． (1)若 是底边的长，求另外两边的长； (2)若 是腰的长，求另外两边的长． 【答案】(1)另外两边的长均为 (2)另外两边的长分别为 和 【详解】（1）解：腰长 ，即另外两边的长均为 ．（，能构成三角形） （2）解：另一腰长为 ，底边长为 ， 即另外两边的长分别为 和 ．（，能构成三角形） 题型8. 三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 1．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【详解】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性． 2．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，解答关键是分析能否在同一平面内构成三角形． 根据三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，对四个例子逐一分析，再作判断． 【详解】解：人能直立在地面上，不是运用了三角形稳定性，故A不符合； 校门口的自动伸缩栅栏门是运用了四边形的不稳定性，故B不符合； 古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故C符合； 自行车能在地面上运动而不会倒，不是运用了三角形稳定性，故D不符合． 故选：C． 3．小明用根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上根木条，请在图中画出你的三种做法．    【答案】 解：如图所示（答案不唯一）．    【分析】本题考查三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，利用这一特性即可解决问题．解题的关键是将七边形分成五个三角形． 【详解】略 题型9. 根据三角形中线求长度、面积 1．在中，是边上的中线．已知，，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴. 2．如图，D，F分别是的边，的中点，连接，交于点G，的面积为6，设的面积为，的面积为，则______． 【答案】2 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积，可知，，由此可判断出，，根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：，F分别是，的中点，的面积为6， ， ，， ，① ，② ①+②，得， 即． 3．如图，在中，是中线，是高，． (1)__________； (2)求的长． 【答案】(1)3 (2)3 【分析】（1）根据中线平分三角形的面积计算即可； （2）根据三角形的面积求出边长，根据中线求出线段长即可． 【详解】（1）解：∵是中线，． ∴ （2）解：是高， 又是中线， 题型10. 三角形角平分线的定义 1．下列说法正确的是（     ） ①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线； ②三角形的中线，角平分线都是线段，而高是直线； ③每个三角形都有三条中线，高和角平分线； ④三角形的重心是三角形三条中线的交点． A．③④ B．③ C．②③ D．①④ 【答案】A 【分析】抓住三角形的角平分线、中线、高均为线段这一核心，结合重心定义判断各说法正误． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，并非射线，故①错误． ②三角形的中线，角平分线都是线段，三角形的高也是线段，并非直线，故②错误． ③每个三角形都有三条中线、高和角平分线，故③正确． ④三角形的重心是三条中线的交点，故④正确． 综上可知，正确的是③④． 2．如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是________． 【答案】/5度 【分析】首先利用角平分线求出，然后利用角的和差求解． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在中，是的角平分线，交于点，交于点．求证：平分． 【答案】 证明：∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分． 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，即可得出，进而根据平行线的性质可得，即可得出，即平分． 【详解】略 题型11. 画三角形的高 1．在如图中，正确画出边上高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形高线的定义，即可求解． 【详解】解：由题可得，过点B作的垂线段，垂足为E，则是的边上的高，四个选项中，只有C选项正确． 2．如图，在中，，则边上的高是___________． 【答案】 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边对应的高，即可解答． 【详解】 解：已知中，可得， 顶点到边的垂线就是线段， 因此边上的高是． 3．图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，即为所求． 【分析】（1）根据网格特征，找出中点，连接即可； （2）根据网格特征，在上找出格点，连接，使即可； 【详解】（1）解：略 （2） 解：略 题型12. 与三角形的高有关的计算问题 1．如图所示，分别延长的三边、、至、、，使得、、．若，则（   ） A．18 B．19 C．24 D．27 【答案】B 【分析】连接，，，利用已知条件求出，同理可得，然后由即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵，， ∴． 又∵ ∴， 同理可得： ∴． 【点睛】解答此题的关键是连接，，，利用两三角形同高这一特点，求出． 2．如图，在中，，，，，为边上的高，则的长为__________． 【答案】 【分析】利用直角三角形面积的两种计算公式（等面积法），即面积等于两直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上高的乘积的一半，建立等式求解． 【详解】解：在中，，，，， ∴， ∵为边上的高，， ∴， ∴． 3．如图，、分别为的边上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用中线性质求的长，再利用三角形面积公式求出面积即可； （2）利用三角形面积公式求出的长即可． 【详解】（1）∵是的中线，， ∴， ∴， ∵是上的高线， ∴． （2）解：∵为边上的高线， ∴， ． ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，在中，，分别是边上的中线和高，，．则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的面积，再根据中线的性质求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，，， ∴， 又∵是边上的中线， ∴． 2．如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：由三角形三边关系可得， ∵， ∴， ∴折叠凳的宽可能为． 3．某校组织研学活动需要每个班准备一面三角形的班旗，下面是八年级4个班设计班旗的数据（三边长），其中不能实现三角形班旗制作的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．若存在两边之和等于或小于第三边，则无法构成三角形；逐一验证各选项是否满足三角形三边关系即可． 【详解】解：三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，实际判断时，只需检验两短边之和大于最长边． A．，满足三边关系，可以制作三角形班旗，故本选项不符合题意； B．，两边之和等于第三边，三条线段在同一直线上，无法围成三角形，不能制作，故本选项符合题意； C．，满足三边关系，可以制作三角形班旗，故本选项不符合题意； D．，满足三边关系，可以制作三角形班旗，故本选项不符合题意． 4．如图，的角平分线、中线相交于点O，则①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④，其中结论正确的有（     ） A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角平分线和中线的定义及性质逐条判断即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴，在上，在上， ∴， ∴是的角平分线，结论①正确； ∵是的中线， ∴是的中点， ∵是与的交点， ∴的端点不在上， ∴不是的中线，结论②错误； ∵是的中线， ∴， ∴是的中线，结论③正确； ∵是的中线， ∴，结论④正确， ∴正确的结论有个． 二、填空题 5．的周长为，，当_________时，是等腰三角形． 【答案】或或 【分析】按等腰三角形腰的不同位置分类讨论，验证三边关系即可得到结果． 【详解】解：分三种情况讨论： 当时，，此时第三边长为，满足三角形三边关系，符合要求； 当时，，此时，满足三角形三边关系，符合要求； 当时，，满足三角形三边关系，符合要求； 综上，的值为或或． 6．（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 【答案】 【分析】本题考查三角形具有稳定性，解题的关键是找对角线的条数；根据三角形具有稳定性，把四边形、五边形、六边形分成三角形，然后根据从同一个顶点出发可以作出的对角线的条数解答． 【详解】解：(1)四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (2)五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (3)六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (4) 边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上根木条， 故答案为：， ，， 7．如图，中，线段，点A到射线的距离是2，在射线上取一点E，连接，设的长为d． ①当时，能作出________个； ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是________． 【答案】 2/两 或 【分析】此题考查了点到直线的距离、三角形的定义等知识．根据垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：①∵点A到射线的距离是2，设的长为d． ∴当时，， ∴能作出2个； 故答案为：2 ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是或， 故答案为：或 8．如图，在中，为边上的中线，于点，于点，，，，则__________． 【答案】 【分析】根据三角形中线的性质可知与面积相等，利用三角形面积公式分别表示出两个三角形的面积，建立等量关系即可求解． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵于点，于点， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 三、解答题 9．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)的周长为． (2)化简结果为． 【分析】（1）由三角形三边关系确定的取值范围，结合为奇数的条件求出的值，进而计算周长； （2）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项得到化简结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即， ∵为整数且为奇数， ∴， ∴的周长为； （2）解：∵，，是的三边长， ∴，，， ∴，， ∴ ． 10．如图，在中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，把的周长分成相等的两部分？ (2)当t为何值时，把的面积分成相等的两部分？ (3)当t为何值时，的面积为？ 【答案】(1)6 (2)6.5 (3)或秒 【分析】（1）先求出的周长为，所以当把的周长分成相等的两部分时，点P在上，此时，再根据“时间路程速度”即可求解； （2）根据中线的性质可知，点在中点时，把的面积分成相等的两部分，进而求解即可； （3）分两种情况：①在上；②在上． 【详解】（1）解：在中，∵， ∴的周长， ∴当把的周长分成相等的两部分时，点在上， 此时， ， 解得． （2）解：当点在中点时，把的面积分成相等的两部分， 此时， ， 解得． （3）解：分两种情况：①当在上时， ∵的面积， ， ， ， 解得：； ②当在上时， ∵， ∴的面积， ∴， ， 解得：； 故或秒时，的面积为． 11．如下图所示，在中，． (1)请作出的高AE和CD． (2)已知，求的面积． (3)在（2）的条件下，已知，求AE的长． 【答案】(1) 如图，AE，CD即为所求作的高． (2)30 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的高、三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据三角形的高的定义，分别画出和即可； （2）利用三角形面积公式列式计算，即可求得； （3）根据三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）略 （2）是的高， ． （3）是的高，且， ， ． 12．如图，在中，，边上的中线把三角形的周长分为和的两部分，求的长． 【答案】 【分析】先根据中线性质得出，再结合，设，分两种情况根据周长列出方程组求解，最后验证三边能否构成三角形． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ， ， 设， 分两种情况： 当时，即， 解得：， ∴，， ∵， ∴该三角形不存在，故舍去； 当时，即， 解得：， ∴，，经检验，符合题意， ∴的边长为， 综上所述：的长为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形的概念、与三角形有关的线段期中复习讲义 ✵复习目标 · 1.理解三角形的概念，掌握三角形的表示方法，能对三角形正确分类。 · 2.掌握三角形三边关系，会判断线段能否构成三角形、求解第三边的取值范围。 · 3.理解三角形的高、中线、角平分线的定义与交点特征，能规范作图、简单计算。 · 4.掌握三角形的稳定性，能运用本节知识解决基础计算与辨析类问题。 ✵高频题型梳理 题型1. 三角形的识别与有关概念 题型2. 三角形的个数问题 题型3. 三角形的分类 题型4. 等腰三角形的定义 题型5. 构成三角形的条件 题型6. 确定第三边的取值范围 题型7. 三角形三边关系的应用 题型8. 三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 题型9. 根据三角形中线求长度、面积 题型10. 三角形角平分线的定义 题型11. 画三角形的高 题型12. 与三角形的高有关的计算问题 ✵核心知识梳理 知识点一、三角形的有关概念 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 组成元素：顶点：相邻两边的公共端点； 边：构成三角形的三条线段； 内角：相邻两边组成的角，简称三角形的角。 表示方法：顶点为A,B,C的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”。 要点：构成三角形需同时满足：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接。 知识点二 、三角形的分类 按角分类： 直角三角形：三角形中有一个角是直角。 锐角三角形：三角形中三个角都是锐角。 钝角三角形：三角形中有一个角是钝角。 按边分类：分为三边都不相等的三角形、等腰三角形；等腰三角形包含腰与底边不相等的等腰三角形和等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点三、三角形的稳定性 三角形三边长度确定，三角形的形状、大小就唯一确定，这就是三角形的稳定性。 性质对比：三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 实际应用：桥梁、起重机、人字形屋顶等建筑与器械，都会利用三角形的稳定性。 知识点四 三角形三边关系 定理：三角形两边的和大于第三边。 几何语言：在△ABC中， AB+BC>AC，AB+AC>BC，BC+AC>AB。 推论：三角形两边的差小于第三边。 几何语言：在△ ABC中， |AB-BC|<AC，|AB-AC|<BC，|BC-AC|<AB。 简便判定：判断三条线段能否组成三角形，只需验证较短两条线段的和大于最长线段。 知识点五、三角形三边关系基础应用 1.已知三角形两边长a,b，则第三边c的取值范围：|a-b|<c<a+b 2.等腰三角形计算：分情况讨论腰长与底边长，求出边长后，必须用三边关系检验，舍去不能构成三角形的解。 知识点六、三角形的中线、角平分线、高 中线：连接顶点与对边中点的线段。性质：①平分对边；②将三角形分成面积相等的两部分。 角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点和交点间的线段，平分该内角。 高：从三角形的顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段。 锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高；钝角三角形有两条高在三角形外部。 交点特征：三条中线交于重心；三条角平分线交于内心；三条高所在直线交于垂心。 中线周长差模型：AD为△ABC的中线，则BD=DC，△ABD与△ACD的周长之差等于AB、AC两边的差。 ✵易错提醒 1.等腰三角形边长问题必须分类讨论，求出结果后，用三边关系检验。 2.三角形的高、中线、角平分线均为线段，注意区分直线、射线、线段。 3.钝角三角形两条高在外部，作高时需要延长对应边。 4.中线平分三角形面积，但不一定平分三角形的周长。 5.三角形按边分类时，等边三角形属于等腰三角形，不可将二者并列。 ✵典例精讲 题型1. 三角形的识别与有关概念 1．如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 2．在中，已知，那么_______（大小比较）． 3．如图，在中，D，E分别是边上的点，连接，． (1)图中共有多少个三角形？把它们表示出来． (2)以线段为边的三角形有哪些？ (3)分别是，，中哪条边的对角． (4)是哪些三角形的内角，是哪些三角形的内角． 题型2. 三角形的个数问题 1．如图，在中，，于，点在线段上，图中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各（     ） A．，，个 B．，，个 C．，，个 D．，，个 2．仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 3．如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． (1)全部用符号表示出图中以为边的三角形； (2)除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ (3)以为内角的三角形共有__________个． 题型3. 三角形的分类 1．下列关于三角形按边分类的集合中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，______，三角形按角分是______三角形，按边分是______三角形． 3．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)图中共有__________个三角形，其中包含__________个直角三角形； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________； (3)直接写出以为边的三角形． 题型4. 等腰三角形的定义 1．已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．某等腰三角形的腰长为4，底边长为3，则这个等腰三角形的周长为______． 3．一个三角形的周长为18，其中两边长分别为5和6，求第三边的长，并判断这个三角形是否为等腰三角形． 题型5. 构成三角形的条件 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．2，3，4 B．1，2，3 C．2，2，4 D．3，4，8 2．一个等腰三角形的两条边长分别是和，这个三角形的周长是______． 3．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形， (1)如果腰长是底边的倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长为的等腰三角形吗？若可以，求出三条边长． 题型6. 确定第三边的取值范围 1．如图，将一个三角形的某两个顶点断开并伸直以后得到一条线段，根据图中各线段的长度，的值可能是（     ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．已知一个三角形的两边长分别为6和9，第三边长为x，则x的取值范围是_________． 3．按要求解答下列问题： (1)若等腰三角形的两边长分别为x，y，满足，求的周长； (2)三边长分别为a，b，c，若，且为整数，求的周长的最大值． 题型7. 三角形三边关系的应用 1．如图，为了估计池塘岸边，之间的距离，在池塘外选取一点，测得米，米，则，间的距离不可能是（     ） A．10米 B．70米 C．110米 D．115米 2．有4厘米、8厘米、10厘米的小棒各2根，选其中的3根围成一个三角形，周长最短的是________厘米． 3．已知等腰三角形的周长为20，其中一边的长为6． (1)若 是底边的长，求另外两边的长； (2)若 是腰的长，求另外两边的长． 题型8. 三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 1．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 2．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 3．小明用根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上根木条，请在图中画出你的三种做法．    题型9. 根据三角形中线求长度、面积 1．在中，是边上的中线．已知，，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，D，F分别是的边，的中点，连接，交于点G，的面积为6，设的面积为，的面积为，则______． 3．如图，在中，是中线，是高，． (1)__________； (2)求的长． 题型10. 三角形角平分线的定义 1．下列说法正确的是（     ） ①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线； ②三角形的中线，角平分线都是线段，而高是直线； ③每个三角形都有三条中线，高和角平分线； ④三角形的重心是三角形三条中线的交点． A．③④ B．③ C．②③ D．①④ 2．如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是________． 3．如图，在中，是的角平分线，交于点，交于点．求证：平分． 题型11. 画三角形的高 1．在如图中，正确画出边上高的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，则边上的高是___________． 3．图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 题型12. 与三角形的高有关的计算问题 1．如图所示，分别延长的三边、、至、、，使得、、．若，则（   ） A．18 B．19 C．24 D．27 2．如图，在中，，，，，为边上的高，则的长为__________． 3．如图，、分别为的边上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，在中，，分别是边上的中线和高，，．则的面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（     ） A． B． C． D． 3．某校组织研学活动需要每个班准备一面三角形的班旗，下面是八年级4个班设计班旗的数据（三边长），其中不能实现三角形班旗制作的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图，的角平分线、中线相交于点O，则①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④，其中结论正确的有（     ） A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 二、填空题 5．的周长为，，当_________时，是等腰三角形． 6．（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 7．如图，中，线段，点A到射线的距离是2，在射线上取一点E，连接，设的长为d． ①当时，能作出________个； ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是________． 8．如图，在中，为边上的中线，于点，于点，，，，则__________． 三、解答题 9．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 10．如图，在中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，把的周长分成相等的两部分？ (2)当t为何值时，把的面积分成相等的两部分？ (3)当t为何值时，的面积为？ 11．如下图所示，在中，． (1)请作出的高AE和CD． (2)已知，求的面积． (3)在（2）的条件下，已知，求AE的长． 12．如图，在中，，边上的中线把三角形的周长分为和的两部分，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $