13.3三角形的内角与外角 同步讲义（知识点+题型精讲+过关检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦三角形内角与外角核心知识，系统梳理内角和定理、直角三角形性质与判定、外角概念及性质、外角和等内容，构建“定义-证明-性质-应用”的学习支架，衔接内角和与外角性质的逻辑关联。 资料通过折叠、平行线、角平分线等多样题型设计，结合作辅助线转化角、设元法等解题技巧，培养学生几何直观与推理能力。典例与变式题搭配，课中助力分层教学，课后帮助学生巩固知识，提升用数学语言解决角度问题的应用意识。

13.3三角形的内角与外角 目录 知识点1 三角形内角和定理 2 知识点2 直角三角形的性质与判定 2 知识点3 三角形的外角 2 知识点4 三角形的外角和 3 题型1 三角形内角和定理的证明 3 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 4 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 6 题型4 三角形折叠中的角度问题 7 题型5 三角形内角和定理的应用 9 题型6 直角三角形的两个锐角互余 10 题型7 锐角互余的三角形是直角三角形 12 题型8 三角形的外角的定义及性质 13 1. 掌握三角形内角和定理，理解其证明方法。 2. 掌握直角三角形两锐角互余的性质及判定。 3. 理解三角形外角的概念，掌握外角的性质。 4. 能运用内角和与外角性质解决角度计算和证明问题。 知识点1 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。即在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°。 证明思路：通过作平行线，将三个内角转化为一个平角。 应用：已知两角求第三角；已知角度关系列方程求各角。 知识点2 直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。即在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°。 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。即在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则∠C＝90°，△ABC是直角三角形。 性质与判定是互逆关系。 知识点3 三角形的外角 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 每个顶点处有两个外角（互为对顶角），通常取一个。 知识点4 三角形的外角和 在三角形的每个顶点处取一个外角，这三个外角的和叫做三角形的外角和。三角形的外角和等于360°。 推导：每个外角与相邻内角互补（和为180°），三个外角加三个内角＝540°，减去内角和180°，得外角和360°。 题型1 三角形内角和定理的证明 【解题技巧】 ① 核心思路：作平行线，将三角形的三个内角转化为一个平角（180°）。 ② 常用证法（过顶点作平行线）：过△ABC的顶点A作直线DE∥BC，则∠DAB＝∠B（内错角相等），∠EAC＝∠C（内错角相等）。因为∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°（平角），所以∠B＋∠BAC＋∠C＝180°。 ③ 其他证法：在边上取点作两边的平行线；延长一边并作平行线等，本质都是利用平行线的性质转化角。 ④ 证明关键：找准平行线带来的等角关系（同位角、内错角相等），将三个内角集中到同一直线上形成平角。 ⑤ 书写规范：先写辅助线作法（过点X作XX∥XX），再利用平行线性质推导角相等，最后利用平角定义得出结论。 ⑥ 易错点：辅助线叙述不规范；角的对应关系搞错；漏掉"平角等于180°"这一步。 【常见考法】写出内角和定理的证明过程；补充证明中的缺失步骤；判断证明方法是否正确；用不同方法证明。 【典例1】．李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．在探究三角形内角和定理时，我们通过剪拼将一个三角形的三个内角拼成一个平角，这一过程运用的数学思想主要是（     ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．方程思想 D．整体思想 【变式2】．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【变式3】．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 【解题技巧】 ① 识别平行线：题目中出现"∥"符号或"平行"字样，先找出平行线和截线。 ② 利用平行线性质：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，将三角形的内角与其他角建立联系。 ③ 结合内角和：在三角形中利用∠A+∠B+∠C=180°，与平行线得到的等角关系联立求解。 ④ 常见模型：三角形的一边在平行线上；三角形的顶点在平行线上；三角形内有平行线穿过等。 ⑤ 解题步骤：找出平行线 → 确定截线 → 写出等角或互补关系 → 在三角形中用内角和 → 联立求解。 ⑥ 技巧：平行线+三角形的组合题，通常需要通过"转化角"将未知角用已知角表示，再代入内角和公式。 ⑦ 易错点：同位角和内错角找错；同旁内角互补用错；忘记三角形内角和180°。 【常见考法】平行线与三角形结合求角度；利用平行线性质证明角相等；复杂图形中多次利用平行线转化角。 【典例2】．如图，直线，，．若，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．已知，将含有的直角三角板按如图方式摆放，其中，，与的角平分线交于点G，则__________． 【变式3】．如图，直线，则的度数是_______． 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 【解题技巧】 ① 角平分线性质：角平分线将角分成两个相等的角，每个等于原角的一半。 ② 设元法：设角平分线分得的角为x，则原角为2x，利用内角和列方程求解。 ③ 重要公式（两内角平分线夹角）：在△ABC中，若BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，则∠BOC＝90°＋(1/2)∠A。 ④ 推导：∠OBC＝(1/2)∠ABC，∠OCB＝(1/2)∠ACB，∠BOC＝180°－(∠OBC+∠OCB)＝180°－(1/2)(∠ABC+∠ACB)＝180°－(1/2)(180°－∠A)＝90°＋(1/2)∠A。 ⑤ 一内角一外角平分线夹角：若BO平分∠ABC，CO平分外角∠ACD，则∠BOC＝(1/2)∠A。 ⑥ 解题步骤：标出角平分线分得的等角 → 设未知数或用公式 → 利用内角和或外角性质列方程 → 求解。 ⑦ 易错点：角平分线只分一个角（不是两个角都分）；公式记错（内角平分线夹角是90°+1/2∠A，不是90°-1/2∠A）。 【常见考法】已知一角和角平分线求其他角；两内角平分线夹角计算；利用角平分线列方程求角度；推导角平分线夹角公式。 【典例3】．如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，中，、分别是、的平分线，，则等于（     ）． A． B． C． D． 【变式2】．如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 【变式3】．如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定正确的结论有____________（填序号）． 题型4 三角形折叠中的角度问题 【解题技巧】 ① 折叠的性质：折叠前后对应角相等，对应边相等。折叠是轴对称变换，折痕是对称轴。 ② 找对应角：折叠后重合的角相等。如将△ABC沿DE折叠，使点A落在A'处，则∠A＝∠A'，∠ADE＝∠A'DE，∠AED＝∠A'ED。 ③ 利用平角：折叠点处，折叠前后的角与中间角组成平角（180°）。如∠ADA'＝2∠ADE，且∠ADA'＋∠A'DB＝180°。 ④ 常用关系：若折叠后∠1和∠2是折痕两侧的角，则∠1＋∠2＝2∠A（顶点角的两倍）。 ⑤ 解题步骤：标出折叠前后的对应角（相等）→ 利用平角或三角形内角和建立等式 → 设未知数列方程 → 求解。 ⑥ 技巧：折叠问题的关键是"抓对应角"和"用平角"，将折叠产生的角的关系找全。 ⑦ 易错点：漏掉折叠产生的等角；对应角找错；忘记利用平角180°。 【常见考法】三角形沿某线折叠求角度；折叠后已知部分角求其他角；多次折叠的角度计算；折叠与角平分线结合。 【典例4】．将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，点，分别在的边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上处，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 【变式3】．如图，在三角形纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为．则___________． 题型5 三角形内角和定理的应用 【解题技巧】 ① 基本应用：已知两角求第三角。∠C＝180°－∠A－∠B。 ② 角度关系型：已知三个角的比（如∠A:∠B:∠C＝1:2:3）或和差关系，设未知数利用内角和列方程。 ③ 设元技巧：设最小角为x，其他角用x表示，代入∠A+∠B+∠C=180°求解。 ④ 判断三角形类型：求出各角后，看最大角是锐角、直角还是钝角，判断三角形类型。 ⑤ 含外角的综合题：利用外角等于不相邻两内角和，结合内角和求解。 ⑥ 解题步骤：分析已知角和未知角的关系 → 设未知数 → 利用内角和（或外角性质）列方程 → 解方程 → 检验并作答。 ⑦ 易错点：角度关系转化错误；方程列错；求出角后忘记判断三角形类型（题目要求时）。 【常见考法】已知两角求第三角；已知角度比求各角；已知角的和差关系求角度；判断三角形类型；综合外角求角度。 【典例5】．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，撕掉的角的度数是（     ） A．10° B．40° C．50° D．80° 【变式1】．一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，沿着的方向，平移至，，，求_______． 【变式3】．已知直线，将的直角三角板（其中，）的顶点M，N分别放在上，交于点Q，且，现将三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周，当三角形的一条直角边与平行时，则运动的时间为______秒． 题型6 直角三角形的两个锐角互余 【解题技巧】 ① 性质内容：直角三角形的两个锐角互余，即和为90°。在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°。 ② 基本应用：已知直角三角形一个锐角，求另一个锐角。∠B＝90°－∠A。 ③ 与内角和的关系：直角三角形内角和仍为180°，减去直角90°，剩余两锐角和为90°，即互余。 ④ 角度计算：在直角三角形中，若已知一锐角的度数或关系，利用互余直接求另一锐角，不必再用180°。 ⑤ 常见模型：直角三角形被斜边上的高分成两个小直角三角形，其中有多个互余的锐角对（同角的余角相等）。 ⑥ 解题步骤：确认是直角三角形（有一个角为90°）→ 找出两个锐角 → 利用互余（和为90°）列式求解。 ⑦ 易错点：非直角三角形误用互余；把直角也算入互余的两个角中；互余和互补混淆（互余是90°，互补是180°）。 【常见考法】已知一锐角求另一锐角；直角三角形中角度关系计算；利用互余证明角相等；斜边上高的模型中角度推导。 【典例6】．如图所示，工地地面的钢架直线与轨道直线形成的夹角．为了加固钢架，施工队需要在支点处焊接一根支撑柱连接轨道，为节省钢材，要让支撑柱用料最短，则支撑柱与钢架形成的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 【变式3】．中，，，则______． 题型7 锐角互余的三角形是直角三角形 【解题技巧】 ① 判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。即在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则∠C＝90°，△ABC是直角三角形。 ② 与性质的关系：性质（直角三角形→两锐角互余）与判定（两锐角互余→直角三角形）是互逆定理。 ③ 证明直角三角形的方法：证明三角形中有两个角的和为90°，则第三个角必为90°。 ④ 常见应用：已知三角形两角的关系（和为90°或一个角是另一个角的余角），判断是否为直角三角形。 ⑤ 与内角和结合：若∠A+∠B=90°，由内角和∠A+∠B+∠C=180°，得∠C=90°。 ⑥ 解题步骤：找出三角形中的两个角 → 计算或证明它们的和为90° → 由内角和推出第三角为90° → 得出直角三角形结论。 ⑦ 易错点：只有一个角为45°不能判定（需要两个角互余）；把"两角互余"和"两角相等"混淆；性质与判定用反。 【常见考法】判断三角形是否为直角三角形；证明三角形是直角三角形；已知两角关系判定类型；性质与判定的综合应用。 【典例7】．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．下列命题为真命题的是（     ） ①若，则；②相等的角是对顶角；③有两个角互余的三角形是直角三角形；④如果直线，，那么直线；⑤同位角相等． A．①②⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③ 【变式2】．如图，平分，，，，则是____三角形． 【变式3】．在中，，则___________，是___________三角形． 题型8 三角形的外角的定义及性质 【解题技巧】 ① 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。外角的顶点在三角形的顶点上，一边是三角形的边，另一边是另一边的延长线。 ② 性质1（核心）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。即∠ACD＝∠A＋∠B（∠ACD是顶点C处的外角）。 ③ 性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。即∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B。 ④ 外角与相邻内角互补：外角与相邻的内角和为180°（平角）。 ⑤ 外角和：三角形三个外角（每个顶点取一个）的和为360°。 ⑥ 解题技巧：求角度时，若出现外角，优先考虑"外角=不相邻两内角和"，比用内角和更快捷；比较角的大小时用性质2。 ⑦ 常见模型：飞镖模型（凹四边形）、"8"字模型等，都可以用外角性质快速推导角度关系。 ⑧ 易错点：外角等于"不相邻"的两个内角和，不是任意两个内角；外角与相邻内角互补而非相等；一个顶点有两个外角（对顶角相等）。 【常见考法】利用外角性质求角度；比较角的大小；证明角度关系；外角和计算；飞镖模型、"8"字模型中的角度推导。 【典例8】．如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 【变式1】．如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【变式2】．如图，已知，则，，的数量关系为_____． 【变式3】．如图，，，，分别平分，，．有以下结论：①；②；③；④．其中，正确的有_______．（填序号） 1．如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，直线，将等腰的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 6．小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．下列命题中，是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．相等的角是对顶角 C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．两点之间，直线最短 9．如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 10．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 已知：如图，． 求证：． 证明：延长交于点， 则（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 又，得． 故（相等，两直线平行）． 则回答正确的是（     ） A．代表 B．代表同位角 C．代表 D．※代表 11．如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是______． 12．如图所示，在中，，，，则的度数是________． 13．如图，，被直线所截，，将线段沿着直线平移得到线段，连接．在平移过程中，当时，的度数是_______． 14．如图，长方形纸片中，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在点的位置，点落在点的位置（点在点右侧）．若，则__________． 15．如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为_____． 16．如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为，则的面积_______； (2)当，时，求的度数． (3)若，的周长比的周长少，求的长度． 17．在中，已知，，求的度数． 18．如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 19．已知，如图，在中，，平分，平分，求的度数． 20．如图，中，，是边上的高，为垂足，平分，交于点，，，求的度数． 21．问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？    思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝试思考 请过三角形的顶点A添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和等于．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．    逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（不与点、重合）．如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．    (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长至点，过点作___________、利用平行线的性质得到即可求解． 方法二：如图3，过点作，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．    (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4画出图形，写出证明过程）    22．综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． (3)如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 23．中，为的平分线，为边上的高． (1)如图1，若，，请求的度数； (2)如图2（），试说明，，的数量关系； (3)如图3，延长到点，和的平分线交于点，请直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3三角形的内角与外角 目录 知识点1 三角形内角和定理 2 知识点2 直角三角形的性质与判定 2 知识点3 三角形的外角 2 知识点4 三角形的外角和 3 题型1 三角形内角和定理的证明 3 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 6 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 11 题型4 三角形折叠中的角度问题 15 题型5 三角形内角和定理的应用 18 题型6 直角三角形的两个锐角互余 21 题型7 锐角互余的三角形是直角三角形 24 题型8 三角形的外角的定义及性质 27 1. 掌握三角形内角和定理，理解其证明方法。 2. 掌握直角三角形两锐角互余的性质及判定。 3. 理解三角形外角的概念，掌握外角的性质。 4. 能运用内角和与外角性质解决角度计算和证明问题。 知识点1 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。即在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°。 证明思路：通过作平行线，将三个内角转化为一个平角。 应用：已知两角求第三角；已知角度关系列方程求各角。 知识点2 直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。即在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°。 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。即在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则∠C＝90°，△ABC是直角三角形。 性质与判定是互逆关系。 知识点3 三角形的外角 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 每个顶点处有两个外角（互为对顶角），通常取一个。 知识点4 三角形的外角和 在三角形的每个顶点处取一个外角，这三个外角的和叫做三角形的外角和。三角形的外角和等于360°。 推导：每个外角与相邻内角互补（和为180°），三个外角加三个内角＝540°，减去内角和180°，得外角和360°。 题型1 三角形内角和定理的证明 【解题技巧】 ① 核心思路：作平行线，将三角形的三个内角转化为一个平角（180°）。 ② 常用证法（过顶点作平行线）：过△ABC的顶点A作直线DE∥BC，则∠DAB＝∠B（内错角相等），∠EAC＝∠C（内错角相等）。因为∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°（平角），所以∠B＋∠BAC＋∠C＝180°。 ③ 其他证法：在边上取点作两边的平行线；延长一边并作平行线等，本质都是利用平行线的性质转化角。 ④ 证明关键：找准平行线带来的等角关系（同位角、内错角相等），将三个内角集中到同一直线上形成平角。 ⑤ 书写规范：先写辅助线作法（过点X作XX∥XX），再利用平行线性质推导角相等，最后利用平角定义得出结论。 ⑥ 易错点：辅助线叙述不规范；角的对应关系搞错；漏掉"平角等于180°"这一步。 【常见考法】写出内角和定理的证明过程；补充证明中的缺失步骤；判断证明方法是否正确；用不同方法证明。 【典例1】．李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三角形三个内角拼在一起，若顶点重合、相邻边重合且组成平角，则验证了内角和为． 【详解】解：验证三角形内角和，需将三个内角拼在一起组成平角， ∵平角等于， ∴ 正确的拼法应使三个角的顶点重合，相邻边重合，且三个角之和构成平角， A选项拼法中角未紧密拼接，错误，该选项不符合题意； B选项拼法中边未重合，错误，该选项不符合题意； C选项拼法中角未构成平角，错误，该选项不符合题意； D选项拼法中三个角顶点重合，相邻边重合，构成平角，正确，该选项符合题意． 【变式1】．在探究三角形内角和定理时，我们通过剪拼将一个三角形的三个内角拼成一个平角，这一过程运用的数学思想主要是（     ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．方程思想 D．整体思想 【答案】A 【分析】本题考查常见数学思想的识别，解题关键是理解剪拼验证三角形内角和过程的本质. 【详解】解：∵剪拼过程中，将三角形内角和未知问题转化为已知的平角（）推导，把陌生问题转化为熟悉已知问题解决，符合转化思想的特征，符合题意； 分类讨论思想需要分多种情况讨论，方程思想是通过建立方程求解，整体思想是将部分看作整体研究，均不符合该过程. 【变式2】．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 【变式3】．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 【解题技巧】 ① 识别平行线：题目中出现"∥"符号或"平行"字样，先找出平行线和截线。 ② 利用平行线性质：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，将三角形的内角与其他角建立联系。 ③ 结合内角和：在三角形中利用∠A+∠B+∠C=180°，与平行线得到的等角关系联立求解。 ④ 常见模型：三角形的一边在平行线上；三角形的顶点在平行线上；三角形内有平行线穿过等。 ⑤ 解题步骤：找出平行线 → 确定截线 → 写出等角或互补关系 → 在三角形中用内角和 → 联立求解。 ⑥ 技巧：平行线+三角形的组合题，通常需要通过"转化角"将未知角用已知角表示，再代入内角和公式。 ⑦ 易错点：同位角和内错角找错；同旁内角互补用错；忘记三角形内角和180°。 【常见考法】平行线与三角形结合求角度；利用平行线性质证明角相等；复杂图形中多次利用平行线转化角。 【典例2】．如图，直线，，．若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作，利用平行线的判定和性质，求解即可； 【详解】解：过点B作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵，． ∴， ， ∴； 【变式1】．如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质及垂直定义可得，结合及平行线性质求出，进而判断①②；利用角平分线及三角形内角和定理求出，即可判断③；通过已证结论即可判断④． 【详解】解：，， ，即，故①正确； ， ， ， ， ， ，即，， ， ， ，故②正确； 平分， ， 在中，，故③正确； ∵，若平分，则需， 但根据已知条件不能推出，因此不能推出平分，结论④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 【变式2】．已知，将含有的直角三角板按如图方式摆放，其中，，与的角平分线交于点G，则__________． 【答案】75 【分析】分别过点、作的平行线、，设，首先利用三角形内角和定理求出的度数，进而用含的代数式表示出，接着根据平分将用表示出来，利用“平行于同一条直线的两条直线平行”构建起平行关系网，随后利用平行线的性质及的条件，逐步推导出与关于的表达式，最后结合角平分线的性质求出目标角． 【详解】解：如图，分别过点，点作的平行线，， ， 设 ， 平分 ， ， 平分 ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理与角平分线的定义，解决此类问题的通法是“过拐点作平行线”，这一辅助线能将分散在不同位置的角联系起来，“设而不求”（设）则是处理此类角度计算题的高效技巧． 【变式3】．如图，直线，则的度数是_______． 【答案】39° 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，求出是解题的关键. 【详解】解：， . 在中, , , , =. 故答案为： ． 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 【解题技巧】 ① 角平分线性质：角平分线将角分成两个相等的角，每个等于原角的一半。 ② 设元法：设角平分线分得的角为x，则原角为2x，利用内角和列方程求解。 ③ 重要公式（两内角平分线夹角）：在△ABC中，若BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，则∠BOC＝90°＋(1/2)∠A。 ④ 推导：∠OBC＝(1/2)∠ABC，∠OCB＝(1/2)∠ACB，∠BOC＝180°－(∠OBC+∠OCB)＝180°－(1/2)(∠ABC+∠ACB)＝180°－(1/2)(180°－∠A)＝90°＋(1/2)∠A。 ⑤ 一内角一外角平分线夹角：若BO平分∠ABC，CO平分外角∠ACD，则∠BOC＝(1/2)∠A。 ⑥ 解题步骤：标出角平分线分得的等角 → 设未知数或用公式 → 利用内角和或外角性质列方程 → 求解。 ⑦ 易错点：角平分线只分一个角（不是两个角都分）；公式记错（内角平分线夹角是90°+1/2∠A，不是90°-1/2∠A）。 【常见考法】已知一角和角平分线求其他角；两内角平分线夹角计算；利用角平分线列方程求角度；推导角平分线夹角公式。 【典例3】．如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义可求出的度数，再根据三角形内角和定理和垂线的定义求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．如图，中，、分别是、的平分线，，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∴． 【变式2】．如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义、平角的定义、三角形内角和定理． 根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理求出的度数；根据角平分线的定义得到，，继而得到，再利用平角的定义得到，进而根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵点在延长线上， ∴， ∴， ∴， ∵，在射线上， ∴， ∴． 【变式3】．如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定正确的结论有____________（填序号）． 【答案】②③⑤ 【分析】根据三角形的中线的性质判断④和⑤；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断①和③，根据三角形的面积公式判断⑥． 【详解】解：是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； ，， ，故③正确； 由已知条件不能确定， 不能得出，故④错误； F不一定是的中点， 不能得出，故错误； 不能得出， 不能得出， 不能得出，即不能得出， 故⑥错误； ，， ， ，故⑤正确； 综上可知，正确的有②③⑤． 题型4 三角形折叠中的角度问题 【解题技巧】 ① 折叠的性质：折叠前后对应角相等，对应边相等。折叠是轴对称变换，折痕是对称轴。 ② 找对应角：折叠后重合的角相等。如将△ABC沿DE折叠，使点A落在A'处，则∠A＝∠A'，∠ADE＝∠A'DE，∠AED＝∠A'ED。 ③ 利用平角：折叠点处，折叠前后的角与中间角组成平角（180°）。如∠ADA'＝2∠ADE，且∠ADA'＋∠A'DB＝180°。 ④ 常用关系：若折叠后∠1和∠2是折痕两侧的角，则∠1＋∠2＝2∠A（顶点角的两倍）。 ⑤ 解题步骤：标出折叠前后的对应角（相等）→ 利用平角或三角形内角和建立等式 → 设未知数列方程 → 求解。 ⑥ 技巧：折叠问题的关键是"抓对应角"和"用平角"，将折叠产生的角的关系找全。 ⑦ 易错点：漏掉折叠产生的等角；对应角找错；忘记利用平角180°。 【常见考法】三角形沿某线折叠求角度；折叠后已知部分角求其他角；多次折叠的角度计算；折叠与角平分线结合。 【典例4】．将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用平行线性质和折叠性质证得，结合直角三角形两锐角互余构建方程求解． 【详解】解：设． ， ． 由折叠性质知，． ． ． ． ， ． 在中，， ，即， 解得． ，故C正确． ，故B错误．． ． ，故D错误． ，故A错误． 【变式1】．如图，点，分别在的边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上处，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可以求出，根据折叠的性质可以求出，利用三角形的内角和定理即可求出． 【详解】解：， ， 由折叠可知，， ， 在中， ． 【变式2】．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得对应角相等，利用三角形内角和定理求出 的度数，再结合平角的定义计算即可． 【详解】解： 由 翻折得到，， ，， ， ． 【变式3】．如图，在三角形纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为．则___________． 【答案】/度 【分析】根据折叠的性质得出，从而得到对应角相等，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 由折叠的性质可知，，． ∴在中，． 题型5 三角形内角和定理的应用 【解题技巧】 ① 基本应用：已知两角求第三角。∠C＝180°－∠A－∠B。 ② 角度关系型：已知三个角的比（如∠A:∠B:∠C＝1:2:3）或和差关系，设未知数利用内角和列方程。 ③ 设元技巧：设最小角为x，其他角用x表示，代入∠A+∠B+∠C=180°求解。 ④ 判断三角形类型：求出各角后，看最大角是锐角、直角还是钝角，判断三角形类型。 ⑤ 含外角的综合题：利用外角等于不相邻两内角和，结合内角和求解。 ⑥ 解题步骤：分析已知角和未知角的关系 → 设未知数 → 利用内角和（或外角性质）列方程 → 解方程 → 检验并作答。 ⑦ 易错点：角度关系转化错误；方程列错；求出角后忘记判断三角形类型（题目要求时）。 【常见考法】已知两角求第三角；已知角度比求各角；已知角的和差关系求角度；判断三角形类型；综合外角求角度。 【典例5】．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，撕掉的角的度数是（     ） A．10° B．40° C．50° D．80° 【答案】C 【分析】本题目考查三角形内角和定理，根据三角形内角和为即可求出撕掉的角的度数． 【详解】根据三角形内角和定理，三角形撕掉的角的度数是：． 【变式1】．一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角板的特点得出、，根据平行线的性质求出，结合平角定义和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， ． 【变式2】．如图，沿着的方向，平移至，，，求_______． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理可得，再利用平移的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵沿着的方向，平移至， ∴． 【变式3】．已知直线，将的直角三角板（其中，）的顶点M，N分别放在上，交于点Q，且，现将三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周，当三角形的一条直角边与平行时，则运动的时间为______秒． 【答案】或或或 【分析】根据题意得出，，然后分四种情况分析：分别作出相应图象，然后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图所示： ∴， ∵三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周， ∴时间为：秒； 当时，如图所示： ∴， ∴， ∵三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周， ∴时间为：秒； 当时，如图所示： ∴， ∴， ∴旋转角为：， ∴时间为：秒； 当时，如图所示： ∴， ∴旋转角为：， ∵三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周， ∴时间为：秒； 综上可得：运动的时间为或或或秒． 题型6 直角三角形的两个锐角互余 【解题技巧】 ① 性质内容：直角三角形的两个锐角互余，即和为90°。在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°。 ② 基本应用：已知直角三角形一个锐角，求另一个锐角。∠B＝90°－∠A。 ③ 与内角和的关系：直角三角形内角和仍为180°，减去直角90°，剩余两锐角和为90°，即互余。 ④ 角度计算：在直角三角形中，若已知一锐角的度数或关系，利用互余直接求另一锐角，不必再用180°。 ⑤ 常见模型：直角三角形被斜边上的高分成两个小直角三角形，其中有多个互余的锐角对（同角的余角相等）。 ⑥ 解题步骤：确认是直角三角形（有一个角为90°）→ 找出两个锐角 → 利用互余（和为90°）列式求解。 ⑦ 易错点：非直角三角形误用互余；把直角也算入互余的两个角中；互余和互补混淆（互余是90°，互补是180°）。 【常见考法】已知一锐角求另一锐角；直角三角形中角度关系计算；利用互余证明角相等；斜边上高的模型中角度推导。 【典例6】．如图所示，工地地面的钢架直线与轨道直线形成的夹角．为了加固钢架，施工队需要在支点处焊接一根支撑柱连接轨道，为节省钢材，要让支撑柱用料最短，则支撑柱与钢架形成的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短和直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：要让支撑柱用料最短，那么支撑柱应垂直于轨道直线， ∴， ∵， ∴． 【变式1】．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， 根据三角板的度数可知：，， ． 【变式2】．如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 【答案】 【分析】由直角三角形两个锐角互余得出，，得到，由角平分线的定义得出，最后由三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【变式3】．中，，，则______． 【答案】60 【分析】直角三角形两锐角互余，即，结合条件，通过等量代换建立方程即可求出． 【详解】解：是直角三角形，， ， 又，即， 将代入得：， 解得：． 题型7 锐角互余的三角形是直角三角形 【解题技巧】 ① 判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。即在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则∠C＝90°，△ABC是直角三角形。 ② 与性质的关系：性质（直角三角形→两锐角互余）与判定（两锐角互余→直角三角形）是互逆定理。 ③ 证明直角三角形的方法：证明三角形中有两个角的和为90°，则第三个角必为90°。 ④ 常见应用：已知三角形两角的关系（和为90°或一个角是另一个角的余角），判断是否为直角三角形。 ⑤ 与内角和结合：若∠A+∠B=90°，由内角和∠A+∠B+∠C=180°，得∠C=90°。 ⑥ 解题步骤：找出三角形中的两个角 → 计算或证明它们的和为90° → 由内角和推出第三角为90° → 得出直角三角形结论。 ⑦ 易错点：只有一个角为45°不能判定（需要两个角互余）；把"两角互余"和"两角相等"混淆；性质与判定用反。 【常见考法】判断三角形是否为直角三角形；证明三角形是直角三角形；已知两角关系判定类型；性质与判定的综合应用。 【典例7】．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用三角形内角和为，计算各选项中三角形的内角度数，判断是否存在直角，即可得出结论． 【详解】解：三角形的三个内角满足， A ， ，得， 是直角三角形，不符合题意； B ， ， 是直角三角形，不符合题意； C ， ， 是直角三角形，不符合题意； D ， ， 解得，三角形中不存在的角， 不是直角三角形，符合题意． 【变式1】．下列命题为真命题的是（     ） ①若，则；②相等的角是对顶角；③有两个角互余的三角形是直角三角形；④如果直线，，那么直线；⑤同位角相等． A．①②⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③ 【答案】B 【分析】根据平方的性质，对顶角的定义，直角三角形的判定，平行公理的推论，平行线的性质，逐个判断命题真假即可得到答案． 【详解】解：①若，可得或，例如满足但，因此①是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，例如两平行线被截所得的同位角相等，但不是对顶角，因此②是假命题； ③三角形内角和为，若三角形有两个角互余，则两个角和为，第三个角为，因此该三角形是直角三角形，③是真命题； ④根据平行公理的推论，平行于同一直线的两条直线互相平行，因此若，，则，④是真命题； ⑤只有两直线平行时，同位角才相等，没有条件的情况下同位角不一定相等，因此⑤是假命题； 综上，真命题为③④． 【变式2】．如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 【变式3】．在中，，则___________，是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：，直角． 题型8 三角形的外角的定义及性质 【解题技巧】 ① 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。外角的顶点在三角形的顶点上，一边是三角形的边，另一边是另一边的延长线。 ② 性质1（核心）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。即∠ACD＝∠A＋∠B（∠ACD是顶点C处的外角）。 ③ 性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。即∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B。 ④ 外角与相邻内角互补：外角与相邻的内角和为180°（平角）。 ⑤ 外角和：三角形三个外角（每个顶点取一个）的和为360°。 ⑥ 解题技巧：求角度时，若出现外角，优先考虑"外角=不相邻两内角和"，比用内角和更快捷；比较角的大小时用性质2。 ⑦ 常见模型：飞镖模型（凹四边形）、"8"字模型等，都可以用外角性质快速推导角度关系。 ⑧ 易错点：外角等于"不相邻"的两个内角和，不是任意两个内角；外角与相邻内角互补而非相等；一个顶点有两个外角（对顶角相等）。 【常见考法】利用外角性质求角度；比较角的大小；证明角度关系；外角和计算；飞镖模型、"8"字模型中的角度推导。 【典例8】．如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 【答案】D 【分析】甲利用三角形外角定理，乙利用平行线的性质和三角形内角和定理，丙利用三角形内角和定理分别求证即可解答． 【详解】解：甲：是的外角， ， 是的外角， ， ； 乙：， ， ，， ，， ； 丙：在中，， 在中，， ． 综上所述，甲、乙、丙都能求出． 【变式1】．如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【答案】A 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角性质求出，最后根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ． 【变式2】．如图，已知，则，，的数量关系为_____． 【答案】 【分析】延长交于点，利用平行线的性质得出内错角相等，再结合三角形外角的性质即可得出三个角之间的数量关系. 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ， 是的外角， ， . 【变式3】．如图，，，，分别平分，，．有以下结论：①；②；③；④．其中，正确的有_______．（填序号） 【答案】 ①③④ 【分析】根据三角形外角的性质及角平分线的定义，结合，可推导角之间的数量关系；利用平行线的判定定理判断与的位置关系；利用平行线的性质及角平分线定义推导与的关系；利用三角形外角性质推导与、的关系即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，故②错误，③正确； ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的结论有①③④． 1．如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和性质列式，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，直线，将等腰的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作，得出，确定，，结合图形即可求出结果 【详解】解：过点A作， ∵， ∴， ∴， ∵等腰， ∴， ∴， ∴ 3．如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，最后根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ． 4．如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义得出，最后代入计算即可． 【详解】解：在中，， ， ，， ，， ， ． 5．如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】分时和时两种情况，再结合平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和性质，列式计算即可． 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：， ， 则 当时，如图，则， 由折叠性质得：，， ∴ ∵ ∴ 当时，如图，则， ， ∴ 综上，的度数为或或 6．小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设分别交、于点H，点Q，先根据三角形的内角和定理和对顶角相等得到，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，设分别交、于点H，点Q， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7．如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， 又 ∵是的角平分线， ， ． 8．下列命题中，是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．相等的角是对顶角 C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．两点之间，直线最短 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的判定、线段的性质．根据平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的判定、线段的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行直线同时被第三条直线所截，同旁内角互补，故原说法错误，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意； C、有两个角互余的三角形是直角三角形，故原说法正确，符合题意； D、两点之间，线段最短，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 9．如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 10．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 已知：如图，． 求证：． 证明：延长交于点， 则（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 又，得． 故（相等，两直线平行）． 则回答正确的是（     ） A．代表 B．代表同位角 C．代表 D．※代表 【答案】C 【分析】根据三角形的外角性质、平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：延长交于F， 则， 又，得， 故（内错角相等，两直线平行）． 代表，代表，代表，代表内错角， 选项说法正确，符合题意． 11．如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是______． 【答案】①②③④ 【分析】根据平行线的判定与性质、三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义判断求解即可． 【详解】解：如图，交于点， ， ， ， ， ， ， ， 故①符合题意； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②符合题意； ，， ， ， ， ， ， 平分， 故③符合题意； ，， ， 故④符合题意， ∴符合题意的有①②③④． 12．如图所示，在中，，，，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】先根据三角形内角和定理求出，根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 13．如图，，被直线所截，，将线段沿着直线平移得到线段，连接．在平移过程中，当时，的度数是_______． 【答案】/度 【分析】两直线平行，同位角相等，得出的度数，利用平角得出的度数，根据三角形内角和为即可求出的度数． 【详解】解：线段和线段交于点D， ∵ 线段平移后得到线段， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得． 14．如图，长方形纸片中，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在点的位置，点落在点的位置（点在点右侧）．若，则__________． 【答案】/度 【分析】设，，用两种方法表示，求出的值，进而解题． 【详解】解：设，， 则，， ∵， ∴，， ∵， ， ∴， 化简得， ∴． 15．如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为_____． 【答案】/68度 【分析】延长交于M， 设，则，根据三角形外角的性质可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于M， ∵平分，平分， ∴， 可设，则， ∵， ∴，， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为，则的面积_______； (2)当，时，求的度数． (3)若，的周长比的周长少，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据是的中线，的面积为，即可求出的面积； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质以及三角形的高进行求解即可； （3）根据是的中线，得到，由的周长比的周长少，推出，即可求解． 【详解】（1）解：是的中线，的面积为， ； （2）解：，， ， 平分， ， 是的高， ， ， ； （3）解：是的中线， ， 的周长比的周长少， ， 则， ， ． 17．在中，已知，，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：在中，，， 又， 所以 解得． 18．如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理求得 ，，再根据平角定义即可求解； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的高线， ． ， ． 同理， ． （2）解：，是的两条高， ，， ， ． 19．已知，如图，在中，，平分，平分，求的度数． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解： ， 平分，CP平分， ， ， ． 20．如图，中，，是边上的高，为垂足，平分，交于点，，，求的度数． 【答案】 【分析】因为，所以在中，可利用直角三角形两锐角互余，求出的度数，因为是边上的高，所以，结合和的度数，可求出和的度数，从而得到的度数，因为平分，所以可得到的度数，再利用三角形内角和为，即可求出的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 在中， ， ∵ 是 边上的高，即 ， ∴， 在中， ， 在中，， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， 在中， ． 21．问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？    思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝试思考 请过三角形的顶点A添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和等于．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．    逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（不与点、重合）．如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．    (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长至点，过点作___________、利用平行线的性质得到即可求解． 方法二：如图3，过点作，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．    (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4画出图形，写出证明过程）    【答案】(1)． ，内角和为． (2)选择图2，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； 选择图3，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； (3)证明：过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴ 即内角和为． 【分析】（1）方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，即可求解． 方法二：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； （2）根据平行线的性质进行证明即可； （3）过点作交于点，过点作交于点，由两直线平行，同位角相等，内错角相等易证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 22．综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． (3)如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：结论：；理由如下： ∵平分外角，平分外角， ，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，即可得出答案； （3）根据三角形外角的性质和角平分线的定义，求出，，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵、分别平分和， ∴，（角平分线的定义）， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）略 23．中，为的平分线，为边上的高． (1)如图1，若，，请求的度数； (2)如图2（），试说明，，的数量关系； (3)如图3，延长到点，和的平分线交于点，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得的度数，利用三角形的高线可求的度数，进而求解即可得出结论； （2）根据（1）的推理方法可求解，，的数量关系； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：∵和的角平分线交于点G， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $