精品解析：河南师范大学附属中学2026-2027学年上学期10月月考高二数学试卷

河师大附中高二年级2026-2027学年上学期10月月考 数学试卷 一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线过、两点，则该直线的斜率为（     ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在中，角、、所对的边分别是、、.若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球的球面上，且该“鳖臑”的高为，底面是腰长为的等腰直角三角形．则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，两条直线的交点为 D. 若直线不过第二象限时，有 11. 如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（ ） A. B. C. D. 向量在方向上的投影向量为 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 直线与直线垂直，且它在轴上的截距为4，则直线的方程为_______. 13. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是____________. 14. 如图，已知正方体的棱长为，为棱的中点，则点到直线的距离为__________． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知直线，，且直线与垂直. （1）求的值； （2）若直线过直线与的交点，且原点到该直线的距离为3，求直线的方程. 16. 如图，为正方体． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 17. 某工厂对生产的一批零件的尺寸进行测量，共计测量20000个，测量所得数据如下频率分布直方图所示： （1）求图中的值以及尺寸在内的零件数量； （2）求这批零件尺寸的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中间值代替，结果精确到0.1）； （3）现采用分层抽样的方法，从尺寸在和内的零件中随机抽取6个，再从这6个零件中任取2个，求至少有1个零件的尺寸在内的概率． 18. 若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围 19. 如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河师大附中高二年级2026-2027学年上学期10月月考 数学试卷 一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解中二次不等式，再求解交集即可. 【详解】由得，解得，所以. 故选：C. 2. 已知直线过、两点，则该直线的斜率为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点连线的斜率公式可求得该直线的斜率. 【详解】由题意可知，直线的斜率为. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直求得，进而求得. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，可得， 由诱导公式得：， 所以. 5. 已知直线，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由直线平行的判断方法分析“”和“”的关系，结合充分必要条件的定义分析可得答案. 【详解】若直线与平行， 则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 6. 在中，角、、所对的边分别是、、.若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合余弦定理求得，由此求得三角形的面积. 【详解】依题意， 由余弦定理得， 所以， 所以三角形的面积为. 故选：A 7. 已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量夹角公式先求出的范围，然后排除两向量共线的情况，即可求得结果. 【详解】因为向量，的夹角为钝角， 所以，由于，所以. 所以，即，解得. 若两向量与共线，则存在使得，即， 可得方程组，解得. 当时，两向量共线，此时夹角为，不符合夹角为钝角的条件，所以要排除. 所以实数的取值范围为. 8. 我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球的球面上，且该“鳖臑”的高为，底面是腰长为的等腰直角三角形．则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，设在三棱锥中，平面，且，，证明出该三棱锥的四个面均为直角三角形，求出该三棱锥的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果. 【详解】如下图所示： 在三棱锥中，平面，且，， 因为平面，、、平面，则，，， ，，平面，平面，， 所以，三棱锥的四个面都是直角三角形，且， ， 设线段的中点为，则， 所以，点为三棱锥的外接球球心， 设球的半径为，则，因此，球的表面积为. 故选：A. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】当直线的斜率不存在时不满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等列方程求解即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 由已知得， 所以或， 所以直线的方程为或. 故选：AC. 10. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，两条直线的交点为 D. 若直线不过第二象限时，有 【答案】BC 【解析】 【分析】由得出重合判断A；由垂直关系判断B；求出交点判断C；由判断D. 【详解】对于A：当时，直线，重合，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：当时，由，解得，即两条直线的交点为，故C正确； 对于D：当时，直线不过第二象限，故D错误； 故选：BC 11. 如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（ ） A. B. C. D. 向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量线性运算，空间向量数量积的运算性质，空间向量模的求解公式以及投影向量的定义逐项分析即可. 【详解】选项A，由点在线段上，且，所以， 所以，即，所以， 由点，分别是边和的中点，连接，如图所示： 所以， 所以，故A正确； 选项B，由题意知，且向量两两夹角为， 所以， 由， 所以 ， 所以，故B错误； 选项C，由，故C正确， 选项D，向量在方向上的投影向量为：，故D错误. 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 直线与直线垂直，且它在轴上的截距为4，则直线的方程为_______. 【答案】 【解析】 【详解】设直线的方程为，又它在轴上的截距为4， ∴， ∴直线的方程为 故答案为 13. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数定义，利用一次函数和指数函数单调性，限定端点处的取值列出不等式组即可解出的取值范围. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以得不等式组：，解得. 故答案为：. 14. 如图，已知正方体的棱长为，为棱的中点，则点到直线的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，然后利用向量夹角的余弦公式求出，进而求出的值，最后即可求出结果. 【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则. 所以， 所以. 所以. 所以点到直线的距离为. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知直线，，且直线与垂直. （1）求的值； （2）若直线过直线与的交点，且原点到该直线的距离为3，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）代入两直线垂直公式列式求解即可； （2）联立方程求出交点坐标，分类讨论，根据点到直线的距离公式列式计算即可. 【小问1详解】 由直线与垂直，得，即，解得. 【小问2详解】 由（1）得，直线的方程为，即， 解，得，即点坐标为， ①当直线的斜率不存在时，其直线方程为，满足题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为原点到该直线的距离为3，所以，所以， 则直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 16. 如图，为正方体． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则 因为 ， 且， 所以 ， 又，平面， 所以 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量垂直证明； （2）利用向量法，线面角的求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，为平面AB1C的一个法向量， 又， 所以 所以直线B1C1与平面AB1C所成角的正弦值为， 故直线B1C1与平面AB1C所成角的余弦值为 17. 某工厂对生产的一批零件的尺寸进行测量，共计测量20000个，测量所得数据如下频率分布直方图所示： （1）求图中的值以及尺寸在内的零件数量； （2）求这批零件尺寸的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中间值代替，结果精确到0.1）； （3）现采用分层抽样的方法，从尺寸在和内的零件中随机抽取6个，再从这6个零件中任取2个，求至少有1个零件的尺寸在内的概率． 【答案】（1）； （2）平均数为，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程求得，进而求得尺寸在内的零件数量； （2）根据频率分布直方图的平均数和中位数的计算公式，即可求解； （3）根据题意，得到尺寸在内的有2个，记为，尺寸在内的有4个，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图的性质，可得： ，解得， 所以尺寸在内的零件数量为． 【小问2详解】 解：由题意得，这批产品尺寸的平均数为： ， 由频率分布直方图，可得前三个小矩形的面积和为， 前四个小矩形的面积之和为， 所以数据的中位数为． 【小问3详解】 解：由题意得，尺寸在内的有2个，记为，尺寸在内的有4个， 记为，任选2个， 所有的情况为，，共15种， 其中满足条件的为，共9种， 根据古典摡型的概率计算公式，可得所求概率． 18. 若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可将化简为，再次化简得，从而求得，从而可求解. （2）由的外接圆半径为，从而得，从而可得，由为锐角三角形可得，再构造函数，结合对勾函数的性质从而可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 即，由正弦定理得， 显然，，所以，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 因为外接圆的半径为，所以，所以，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，即，即． 令，，根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减， 在上单调递增，且，，， 所以，即， 所以，即的取值范围为. 19. 如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：取PB的中点D，连接CD； 因为，D为PB的中点， 故； 因为平面平面，且交于PB， 故平面； 因为平面，故； 又因为，且，平面， 故平面； （2）； （3）存在一点，使得二面角的正切值为；． 【解析】 【分析】(1)根据面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直，结合已有的线线垂直，根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直； (2)根据第一问的结论，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，写出法向量，代入点到平面的距离公式计算距离； (3)假设存在，根据向量的共线定理设出点的坐标，根据已知条件计算参数，能求出满足题意的值说明存在，否则不存在． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取BC的中点O，AC的中点F，连接OF，PO； 因为O，F为BC，AC的中点，故； 由(1)可知，平面，故平面； 故，； 又因为为等边三角形，故； 故以O为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为，， 故，，； 故，，，， ，，； 设为平面的法向量，则 ，故，令，则； 则点到平面的距离为； 【小问3详解】 设存在点E，使得，； 则； 设为平面的法向量； 为平面的法向量； 则，故， 令，则； 设二面角为， 则，故； 因为， 整理化简可得： 即，化简得：，解得：； 故，则； 综上，存在一点，使得二面角的正切值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $