河南信阳高级中学北湖校区2026-2027学年高二上学期9月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2026-2027学年高二上期09月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D．或 3．在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，（），（），则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（    ） A． B． C． D． 5．给出下列命题，其中正确的是（    ） A．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 B．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为2 D．向量在向量上的投影向量的模长为 6．已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．设直线系，对于下列四个命题，正确的是（   ） A．M中所有直线均经过一个定点 B．不存在定点P不在M中的任一条直线上 C．对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 8．当变化时，不在直线上的点构成区域G，是区域G内的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 10．下列命题中，正确的是（     ） A．若事件，互斥，则 B．若事件，相互独立，则 C．若事件，，两两互斥，则 D．若事件，，两两独立，则 11．已知直线：，圆：，以下说法正确的是（    ） A．过圆内的定点 B．圆心到的最大距离为 C．当与圆相交时， D．当时，圆上有两个点到的距离为1 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知点，点，则点到直线的距离为________. 13．一个圆柱的体积和底面周长均为，若该圆柱能够被整体放入一个球内，则该球的最小体积为___________. 14．已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）设函数，其中．已知． (1)求； (2)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． (3)若存在，使等式成立，求实数的取值范围； 16．（15分）如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点． (1)求证：平面； (2)试在上找一点，使得平面平面，并给出你的证明． 17．（15分）某学校举办读书节活动，该校有2000名学生，现随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，分组绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组的中点值作代表）. (1)求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间； (3)若样本数据在与内的方差分别为，，求样本数据在内的方差. 18．（19分）在平面上，给定非零向量．对任意向量，定义． (1)若，，求； (2)已知．若点在直线：上，设，按上述定义得到，记点坐标为． （i）证明：点也在某一条直线上； （ii）是否存在直线，使得对于上任意一点，经过上述定义变换后的点仍在上？若存在，求出所有这样的直线的方程；若不存在，说明理由． 19．（19分）如图所示，在四棱锥中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，二面角的平面角为. （ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值； （ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2026-2027学年高二上期09月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A C B D A C C BC ABC BD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14．12 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两角差的正弦公式展开 ，合并同类项后通过辅助角公式化简为 ，代入 建立方程，结合 的范围确定 . （2）先根据三角函数图像的横坐标伸缩变换、向左平移变换规则逐步推导，得到 ；再由 的范围求出内层角的取值区间，结合正弦函数的值域求出 的最小值. （3）通过换元 ，将原方程转化为关于 的一元二次方程，分离参数得到 ；结合 的取值范围，利用对勾函数的单调性求出 的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以 , 由题设知，所以，． 故，，又， 所以． （2）由（1）得，所以． 因为，所以， 当即时，取得最小值． （3）由（2）知令， 当时，，则， 即存在，使成立， 即存在，成立， 而函数在单调递减，单调递增， 当，函数在单调递增， ，所以实数m的取值范围为． 16．(1)证明：连接， 正方体底面是正方形，是底面中心， 故是中点，是中点， 是的中位线，， 又平面，平面， 由线面平行判定定理得平面． (2)取中点，连接，是中点，是中点， 故是中位线，， 平面，平面， 平面． 由（1）知，平面， 平面平面， 故平面平面， 故是线段的中点． 【分析】（1）找平面内一条直线与平行，连接，利用中位线得到线线平行，再用线面平行判定定理证明； （2）需要在平面内找到两条相交直线都平行于平面，已知平面，再在上取中点 F，证明平面，，由面面平行判定定理证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 17．(1)，估计该校达标的人数为人； (2)分钟； (3). 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出，再计算达标频率并估计总人数； （2）利用各组中点值乘以对应频率求和得到平均数； （3）利用分层抽样方差公式，结合两组数据的频率、平均数和方差计算合并后的方差. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，组距为， 则， 解得. 每周课外阅读时间在分钟以上（含分钟）的频率为： . 故估计该校达标的人数为（人）. （2）该校学生每周课外阅读的平均时间为： （分钟）. （3）样本数据在内的频率为，平均数为，方差； 样本数据在内的频率为，平均数为，方差. 设样本数据在内的平均数为，方差为. 则. 由分层方差公式可得： . 故样本数据在内的方差为. 18．(1) (2)（i）当时，，变换公式为， 即由上式解出：，． 代入直线方程，得． 若且，则，与、不全为零矛盾， 故上式是关于的一次方程，表示一条直线．所以点在某一条直线上． （ii）存在，，（）． 设不动直线为：（，不全为零）．对上任意点，要求也在上： ， 即对上任意点成立，故该直线与表示同一直线． 若（不过原点）：两方程对应系数成比例，且常数项之比为， 故，，均等价于，即（）． 此时：，． 若（过原点）：直线为，变换后为． 两过原点直线表示同一直线，当且仅当对应系数成比例（看，的情形）： ． 若，即，则：，即上面的情形； 若，即（），则：． 当时：，变换后为，不是同一直线； 当时：，变换后为，也不是同一直线，均排除． 综上，满足条件的直线为，（）． 【分析】（1）直接代入定义：先求数量积和模方，再按公式计算即可， （2）（i）由定义写出时的坐标变换，反解出用表示，代入原直线方程，得到关于的一次方程，系数不全为零，故在一条直线上，（ii）设不动直线，将变换式代入，要求所得直线与原直线重合，分与讨论，比较系数得或，即与. 【详解】（1），，则，， 故． （2）（i）略 （ii）略 19．(1)如图（1）所示，连接，取的中点为，因为，所以， 又因为，所以，所以B，O，D三点共线， 即，所以； 又因为，为中点，所以，，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； (2)（ⅰ）（ⅱ）， 【分析】（1）先证明平面，得到平面平面； （2）（ⅰ）建立空间坐标系，得到法向量,,根据二面角向量公式：,计算可得； （ii）根据确定球心位置为，点到平面距离的最大值转化为半径与点到平面距离的和，得到平面，根据点到平面的距离的向量公式计算可得. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）因为，，则即为二面角的平面角，即. 因为，，为中点，所以，又因为，在中，由余弦定理得：，所以，即，因为，所以. 因为，，，所以， 又因为，则. 又因为，，，所以，即. 记过点且与平面垂直的直线为轴，因为平面平面，所以轴在平面内.再以，为，轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示. 则，，，，，. 设平面的一个法向量为，，， 由，令，则，则； 设平面的一个法向量为，，， 由，令，则，，则. 设平面与平面的夹角为，则， 则，即平面与平面的夹角的正弦值为； （ii）由上分析可知，，所以点为四棱锥外接球的球心，且外接球半径为2. 因为，平面的一个法向量为， 则点到平面的距离， 所以点到平面距离的最大值为：，并且此时平面. 设，所以有，且，则有①，②， 令，即，，， 代入①得：，即，所以或. 所以或. 当时，， 此时点到平面的距离为：，所以不符合题意，舍； 当，， 此时点到平面的距离为：，所以符合题意， 所以点的坐标为. $