重难点03 全等三角形的概念性质判定综合（单元复习、期中复习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点3 全等三角形概念、性质及判定综合 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一：全等三角形的概念 2 知识点二：全等三角形的性质与判定（贯穿整个几何部分） 3 知识点三、角平分线的性质和判定 4 知识点四、角平分线模型 4 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 5 【题型 1 图形全等与全等三角形概念辨析】 5 【题型 2 全等三角形对应元素识别（对应顶点、边、角）】 7 【题型 3 全等三角形性质：求线段长度】 9 【题型 4 全等三角形性质：求角度大小】 12 【题型 5 全等三角形性质：推理证明与边角综合】 14 【题型 6 SAS 证明全等及 SAS 综合应用】 17 【题型 7 ASA/AAS 证明全等及 ASA/AAS 综合应用】 21 【题型 8 SSS 证明全等及 SSS 综合应用】 25 【题型9 HL 证明直角三角形全等及 HL 综合应用】 28 【题型10 补充条件使三角形全等】 31 【题型11 灵活选择判定方法（全等性质 + 判定综合大题）】 33 【题型12 作角平分线（尺规作图）】 35 【题型13 角平分线的性质与判定】 38 【题型14 角平分线的性质的综合应用】 40 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 47 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 70 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・全等图形定义：能够完全重合的图形，形状、大小不变。 ・全等三角形定义，根据全等表达式确定对应顶点、对应边、对应角。 ・全等三角形性质：对应边相等，对应角相等；周长相等、面积相等。 ・借助全等性质进行线段长度计算。 ・借助全等性质进行角度计算。 ・利用全等性质完成简单几何推理证明。 ・全等三角形线段、角度综合推理应用。 基础层面：选择填空考查全等概念辨析、对应边角识别，基础线段、角度计算。 ・能力层面：依托全等符号顺序定位对应元素，训练等量代换逻辑。 ・综合层面：结合线段、角度，进行一步或多步几何推理证明。 ・趋势特征：重点考察识图能力，易错点为脱离全等符号乱找对应边角；重视几何证明的步骤规范。 考情解码： ・分值定位：全等三角形的概念与性质是全等判定的前置基础，小题高频考查，是几何证明大题必备基础工具。 ・学生高频失分点：①不按全等表达式找对应边角；②误认为面积相等的三角形一定全等；③证明跳步，缺少理论依据。 ・备考提示：掌握 “按字母顺序找对应” 的方法；分清全等的必要条件；强化几何证明书写，做到步步有据。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一：全等三角形的概念 全等图形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【补充】 1）全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2）形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”. 【补充】书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换. 常见的全等变换：平移变换、翻折变换、旋转变换，即过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形. 知识点二：全等三角形的性质与判定（贯穿整个几何部分） 全等三角形的性质：1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 全等三角形的判定： 1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 【易错】 ①只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等； 例: ②在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上. 3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5）斜边、直角边：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【总结】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 知识点三、角平分线的性质和判定 角平分线 解释 示例 性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，若射线OC是的角平分线，则． 判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，若，则OC是的角平分线． 知识点四、角平分线模型 模型I：角平分线加平行线必出等腰三角形． 模型II：角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 模型III：角平分线的中心思想是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种． 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型 1 图形全等与全等三角形概念辨析】 【例 1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 【答案】A 【分析】此题考查了全等图形，根据图示可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形，进而利用全等图形的性质解答即可，解题的关键是根据三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形， ∴，， ∴图中阴影部分小于余下白色部分的面积， 故选：． 【变式 1‑1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 【变式 1‑2】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第个图中可有对全等三角形，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 【变式 1‑3】（23-24八年级上·山西临汾·期中）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：    以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 【题型 2 全等三角形对应元素识别（对应顶点、边、角）】 【例 2】（26-27八年级上·江西赣州·阶段检测）如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形外角的性质求出的度数，则由角平分线的定义得到的度数，再由全等三角形的性质得到的度数，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴． 【变式 2‑1】（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）已知下图是两个全等三角形，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得到与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，再根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵这两个三角形全等， ∴与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，即边之间的夹角， 即． 【变式 2‑2】（八年级上·四川德阳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【分析】首先得到点P到达点B的时间为，，然后分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，点P到达点B的时间为，， 当时，，， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为1或． 【变式 2‑3】（25-26八年级下·河北唐山·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，，若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全等三角形的性质得出对应边相等，结合点A坐标求出线段、的长，进而求出、的长及点C的坐标． 【详解】解：由图可知轴，轴， ∵点的坐标是， ，， ∵， ∴， ∵点在轴正半轴，点在轴负半轴， ∴， ∴点的坐标是， ∵轴，，点在第二象限， ∴点的坐标是． 【题型 3 全等三角形性质：求线段长度】 【例 3】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，，，，，则的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由得，即得，进而得到，即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式 3‑1】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，，，，，四点在同一直线上，若，，，则的长为（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，根据线段的和差关系求出，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式 3‑2】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，若，点B、E、C、F在同一直线上，，则的长是（   ）． A．7 B．5 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，然后根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选D． 【变式 3‑3】（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，P、Q两点分别在边和过点A且垂直于的射线上运动，且．若以A、P、Q为顶点的三角形与全等，则的长为（    ) A．3 B．8 C．3或8 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质即可得解，熟练掌握全等三角形的性质结合分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：，，以，，三点为顶点的三角形与全等， 或， ，， 或8． 故选：C． 【题型 4 全等三角形性质：求角度大小】 【例 4】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，已知，点在AB上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质，得到，即可． 【详解】解：在中， ∵ ∴， ∵， ∴； 故选B． 【变式 4‑1】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，，若，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理，得到，根据全等三角形的性质，，利用角的和差计算解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【变式 4‑2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）三个全等三角形按如图的形式摆放，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案． 【详解】解：如图所示，， ∵三个三角形是全等三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵ ∴ 故选：B 【变式 4‑3】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，，点在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的性质和平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据，得，再根据全等三角形的性质可得，进而有则可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 【题型 5 全等三角形性质：推理证明与边角综合】 【例 5】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）．若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的速度是（   ）厘米每秒时，能够使与全等． A．或2 B．1或3 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 由题可得：厘米，厘米，厘米，厘米，则与全等可分两种情况讨论，即 或，再根据对应边相等列方程求解． 【详解】解：由题可得：厘米，厘米，厘米，厘米， ∵与全等，， ∴或， 当时，则，， 即，解得， 此时； 当时，此时， 即，解得， 根据即，解得， ∴当点Q的运动速度a为或2厘米每秒时，能够使与全等． 故选：A． 【变式 5‑1】（25-26八年级上·北京海淀·期中）【双剑合璧】两位侠客施展“全等剑阵”，则剑光总长为六尺，剑光重叠处长四尺．问独属一位侠客的剑光长几何？（    ） A．3尺 B．2尺 C．1尺 D．0.5尺 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，进而得到，再根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵尺，尺，尺， ∴尺． 故选C． 【变式 5‑2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，动点P，Q分别按照和的路线同时开始运动，点到达终点时点也随之停止运动．直线经过原点，且，过P，Q分别作的垂线段，垂足分别为E，F．若点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，运动时间为秒，当与全等（与不重合）时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的性质、一元一次方程的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质建立方程．根据全等三角形的性质推出，再利用线段的和差表示出，的长，进而建立一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵过P，Q分别作的垂线段，垂足分别为E，F， ∴， ∴、分别是、的斜边， 当与全等时，， ∵与不重合， ∴点P在上，点Q在上， 由题意得，，， ∴，， ∴， 解得或(舍，此时重合)， 故选：A． 【变式 5‑3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如果的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为5，，，若这两个三角形全等，则的值是（   ） A．8 B．或5 C．6 D．或5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 由于与全等，且△DEF中有一条边为5，而的边为3、5、7，因此的边5必须对应的边5．其余两边对应3和7，分两种情况讨论即可． 【详解】解：∵，且的边5对应的边5， ∴ 其余两边对应相等，有两种情况： ① 若且， 则， ∴； ② 若且， 则， ∴． 综上，的值为或5． 故选B． 【题型 6 SAS 证明全等及 SAS 综合应用】 【例 6】（八年级下·贵州毕节·期中）如图，在正方形中，点 分别在上，且，将绕点顺时针旋转 90°，使点落在点处，则下列判断不正确的是（        ） A．是等腰直角三角形 B．垂直平分 C． D．是等腰三角形 【答案】D 【分析】由旋转的性质得到，于是得到是等腰直角三角形，故A不符合题意；由旋转的性质得到，由正方形的性质得到∠DAB=90°，推出，证明于是得到AF垂直平分EE'，故B不符合题意；证明，故C不符合题意；由于，但不一定等于DF，于是得到不一定是等腰三角形，故D符合题意． 【详解】解：∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处， ∴， ∴是等腰直角三角形，故A不符合题意； 如图，连接FE， ∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB=90°， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴+∠FAD=45°， ∴， ∵，AF=AF，    ∴AF垂直平分EE'，故B不符合题意； ∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处， 故C不符合题意； ∵，但不一定等于DF， 不一定相等， ∴不一定是等腰三角形，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定，正确的识别图形是解题的关键． 【变式 6‑1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图， 已知，，则图中全等三角形共有（   ） 对． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，证明得出，，进而证明，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， 在中， ∴ 在中， ∴ 综上所述，图中全等三角形共有对 故选：C． 【变式 6‑2】（26-27八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，，是边上的中线，则长的取值范围是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】延长至点，使得，连接，证明，得到，再结合三角形三边关系得到，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得，连接， 是边上的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ， 整理得． 【变式 6‑3】（25-26七年级下·重庆·期中）某公园准备在活动区安装一个跷跷板，如图，A和D为跷跷板两个座位到达最高点的位置，B和C为落地点，M为跷跷板的支撑点，为确保，工作人员只需要测量A、B两点到M的距离，距离相等便可说明．其中的依据是全等三角形的判定条件（   ） A．SSS B．AAS C．SAS D．ASA 【答案】C 【分析】根据“边角边”证明，可得． 【详解】解：根据题意，得，则， ∵， ∴， ∴． 【题型 7 ASA/AAS 证明全等及 ASA/AAS 综合应用】 【例 7】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得的长为那么，河的宽度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，将题目中的实际问题转化为数学问题，是本题求解的关键． 首先根据已知条件，证明和全等，得到，进而得到答案． 【详解】解：由题意知，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴河的宽度是米． 故选：B． 【变式 7‑1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，要使，则需要再添加的一组条件不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：添加， 那么， ∴， ∵，， ∴，故A不符合题意； 添加， ∵，，， ∴，故B不符合题意； 添加， ∵，，， ∴，故D不符合题意； 添加，不能证明； 故选：C． 【变式 7‑2】（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．平分 C． D．过线段的中点 【答案】D 【分析】证明，利用全等三角形的性质可得到答案． 【详解】解：∵平分，，， ∴，， 又， ∴， ∴，，，平分， 故选项A、B、C中结论成立，不符合题意， ∵现有条件和图形不能证明过线段的中点， 故选项D中结论不成立，符合题意． 【变式 7‑3】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】过点作，利用角平分线的性质，证得和，根据等量代换进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得． 【题型 8 SSS 证明全等及 SSS 综合应用】 【例 8】（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据画图的步骤判断每一步得到的结果，最终确定答案． 【详解】解：由作图可知，， ∴． 【变式 8‑1】（八年级上·广东广州·期中）如图，点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，连接交于M，交于N，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接， 根据对称性质，得，，，继而得到，结合，根据，得到，同理可证，，结合计算即可． 【详解】连接， 根据对称性质，得，， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， 故选B． 【变式 8‑2】（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，已知点P在直线l外，利用如下方法也可以作出过点P与直线l平行的直线：在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交直线l于点B；以点P为圆心，以的长为半径作弧；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C；作直线，则．请说明这种作平行线方法的道理（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上答案均不对 【答案】A 【分析】根据作图过程可得，再根据“边边边”证明，可得，则此题可解． 【详解】解：根据作图的过程可知, ∴， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 【变式 8‑3】（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，下面是利用尺规作图的方式过直线外一点作已知直线平行线的方法：在直线上任取一点，过点，作直线；以为圆心，适当长度为半径画弧，交直线、直线于点，，再以为圆心，相同长度为半径画弧，交直线于点；以为圆心，截取长度为半径画弧，与弧交于点，过点，作直线，即为所求的直线．在这一过程中，证明时用到的三角形全等的判定方法是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，由作图可知，，，则，所以，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 【详解】解：如图，连接，， 由作图可知，，， ∴， ∴， 故选：． 【题型9 HL 证明直角三角形全等及 HL 综合应用】 【例9】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充，可得：， 在和中， ， ∴． 【点睛】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 【变式9-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（   ） A．小海作图判定的依据是 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【分析】本题考查了用圆规作图，全等三角形的判定，根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法逐选项进行判断，即可求解，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：、小海作图判定的依据是，该选项正确，不符合题意； 、小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，该选项正确，不符合题意； 、小华作图判定的依据是，该选项正确，不符合题意； 、小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，该选项错误，符合题意； 故选：． 【变式9-2】（25-26七年级上·全国·期中）为测量一个池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案． 方案Ⅰ：如图，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，并使，，连接，最后测出的长即可；    方案Ⅱ：如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． A．Ⅰ，Ⅱ都不可行 B．Ⅰ，Ⅱ都可行 C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．根据全等三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：方案Ⅰ： 在和中， ， ， ∴， 即测出的长即可， 故方案Ⅰ可行； 方案Ⅱ： ， ． 在和中， ， ， ， 即测量的长即可， 故方案Ⅱ可行． 综上，方案Ⅰ，Ⅱ都可行． 故选：B． 【变式9-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； ⑤有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等． 其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理，逐个判断命题的真假．①直角三角形有两边相等未明确是哪两条边，故①不一定成立；②等腰直角三角形腰相等则全等；③不一定成立；④等腰三角形顶角和底边对应相等则全等；⑤当高分别在三角形的内部和外部时，它们不全等． 【详解】解：①有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，不一定成立，原命题是假命题； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题． ⑤ 两边和其中一边上的高对应相等，当高分别在三角形的内部和外部时，它们不全等，是假命题． 其中真命题的个数是2个； 故选：B． 【题型10 补充条件使三角形全等】 【例10】（26-27八年级上·新疆·期中）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定与性质进行求解即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，同理可得，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，不可利用证明，即无法证明，故此选项符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，同理可得，故此选项不符合题意； 【变式10-1】（26-27八年级上·四川·期中）如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、∵，，， ∴不能证明，故该选项是符合题意的； B、∵，，， ∴能证明，故该选项是不符合题意的； C、∵，，， ∴能证明，故该选项是不符合题意的； D、∵，，， ∴能证明，故该选项是不符合题意的． 【变式10-2】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在和中，，添加下列条件仍不能判定的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知及公共边，根据全等三角形判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．在和中， ， ∴，故本选项不符合题意； B．在和中， ∴，故本选项不符合题意； C．在和中， ∴，故本选项不符合题意； D．，此时满足，无法证得，故本选项符合题意． 【变式10-3】（26-27八年级上·全国·阶段检测）如图，已知 ，添加下列条件不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ，， ∴， 故A能判定，不符合题意； ∵， ， ∴， 故B能判定，不符合题意； ∵， ∴， 又∵ ， ∴， 故D能判定，不符合题意； 不能判定的是． 【题型11 灵活选择判定方法（全等性质 + 判定综合大题）】 【例11】（26-27七年级上·山东·单元测试）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定以及三角形三边关系，逐个选项判断即可． 【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，本选项不符合题意． B、边边角，三角形不能唯一确定，本选项不符合题意． C、角角边，三角形唯一确定，本选项符合题意． D、一边一角无法确定三角形，本选项不符合题意． 【变式11-1】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【详解】解：根据题意得：拿①②或②④可以根据“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 【变式11-2】（25-26七年级下·山东泰安·期中）下列推理正确的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 C．因为，所以与是对顶角 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【详解】解：选项A，∵只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，本选项缺少两直线平行的前提，∴A错误； 选项B，∵两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等，不是全等三角形的判定方法，∴B错误； 选项C，∵只能说明与互余，互余和对顶角的定义无关，∴C错误； 选项D，根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线平行，∴D正确． 【变式11-3】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得，根据得，进一步推出，再根据即可得证．掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】略 【题型12 作角平分线（尺规作图）】 【例12】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图；， (1)尺规作图：仅用无刻度直尺和圆规作中的角平分线，交于点，保留作图痕迹． (2)在（1）的条件下，若，，则__________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）过点作，，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作，， 平分， ， ，， ， ． 【变式12-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，请你用尺规作图法在的边上求作一点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，则是的平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点到的距离等于，点即为所求． 【详解】略 【变式12-2】（26-27八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，已知中，是的高． (1)尺规作图：求作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为 【分析】（1）根据角的平分线的基本作图解答即可． （2）根据角的平分线，高线，三角形内角和定理解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，图略； （2）解：是的高 ， ， 平分， ， ，设， ， ， ， 解得： ，， 答：的度数为． 【变式12-3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点是延长线上一点，请用尺规作图的方法在内作射线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】用角平分线的尺规画法画出射线即可． 【详解】解：如图，作的角平分线， 根据题图可知，， ， ． 【题型13 角平分线的性质与判定】 【例13】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．15 B．18 C．30 D．36 【答案】A 【分析】作于点，作于点，连接，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点，作于点，连接， ∵在中，点是，的平分线的交点，， ∴，， ∴ ． 【变式13-1】（26-27八年级上·全国·期中）如图，的三边，，的长分别是4，6，8，是三条角平分线的交点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，于点，于点，根据角平分线的性质定理可知再由三角形的面积公式计算，再作比即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点， 点是三条角平分线的交点， ， ， ， ， ∴． 【变式13-2】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，的三边、、长分别是60、70、80，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（     ） A．8：7：6 B． C． D． 【答案】D 【分析】过O点分别作、、的垂线、、，利用角平分线性质可以得到，即这三个三角形的高都相等，所以面积比等于它们的底边比，从而得出答案． 【详解】解：如图，过O点分别作、、的垂线、、， ∵是的角平分线， ∴， 同理， ∴， ∴． 【变式13-3】（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（     ） A．10 B．13 C．16 D．19 【答案】B 【分析】先根据角平分线的判定得出，根据证明，得出，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵点D 到边，的距离相等， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴的周长等于． 【题型14 角平分线的性质的综合应用】 【例14】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个，据此即可求解，掌握叫佛系的性质是解题的关键． 【详解】解：∵加油站要到三条公路的距离都相等， ∴加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个， ∴加油站可供选址的地方有个， 故选：． 【变式14-1】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】C 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，可得三角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个． 【详解】解： ∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工， ∴内角平分线的交点不满足条件； 如图：点P是两条外角平分线的交点， 过点P作，，， ∴，， ∴， ∴点P到的三边的距离相等， ∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有3个． ∴可供选择的地址有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解． 【变式14-2】（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）如图，和都是等边三角形，且点在一条直线上，连接和，交、于点．和相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． (3)求证：平分 【答案】(1) 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． (2)为等边三角形， 理由如下： 由（1）得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． (3) 证明：过点分别作于点，于点， 由（1）知，根据全等三角形的性质，全等三角形对应边上的高相等， ∴， ∵，，， ∴点在的平分线上， ∴平分． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和角平分线的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则； （2）由（1）得：，即，证明，则，进而可证是等边三角形． （3）过点分别作于点，于点，由全等三角形对应边上的高相等得，根据角平分线的性质证明平分． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式14-3】（24-25八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，，理由如下： ① 证明如下：如图2 ， 即 在和中 ② 证明如下：如图2 （已证） 在四边形中， 又， ， ． (3) 【分析】本题考查了三角形有关的内容，利用全等三角形性质解题． （1）可证，得，由对顶角相等得，可得． （2）可证，得，，在四边形中， ，又因为，得出 ，可得． （3）可证，得，易证，则，过点作，由，可知全等三角形面积相等则对应高相等，可得，由角平分线的判定定理，知点在的角平分线上，则，所以． 【详解】（1）解：，设与交于点O． ． ， 即． 在和中 ， ． ， ． （2）解：略； （3）解：． 如图3，过点作．设与交于， 则． ， ． 即 在和中 ，． 又， ， ， ，． 又 ． ． ， 平分． ． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．（26-27八年级上·海南·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由全等三角形的性质得到，，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴． 3．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应角相等求出的度数，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，，则对于结论，，，， 其中正确结论的个数是（    ） A．1   个 B．2  个 C．3  个 D．4    个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，两个全等三角形，它们的对应边相等，对应角相等，据此逐项判断即可． 【详解】解：， ，，， ， ， 正确， 而不是对应角，不一定相等， 故选：C． 5．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 6．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，已知，若不添加辅助线，则不能证明的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于选项A：满足边角边的判定定理，能证明，故A不符合题意； 对于选项B：属于边边角的情况，不能证明，故B符合题意； 对应选项C：满足角角边的判定定理，能证明，故C不符合题意； 对应选项D：满足角边角的判定定理，能证明，故D不符合题意． 7．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在一条直线上，，要说明，添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， 、当添加时，对应条件为，不能证明，该选项不合题意； 、当添加时，，能证明，符合题意； 、当添加时，不能证明，该选项不符合题意； 、当添加时，不能证明，该选项不符合题意． 8．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知直线和直线外一点，利用尺规作图操作如下： ①在直线上取一点，经过点和点，作直线； ②作，并使得与是一对同位角； ③反向延长射线，得到直线． 根据以上操作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图步骤得出是解题的关键． 【详解】解：由作图步骤②可知，， ，即， ， 点、、在同一直线上， ， ． 9．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）已知在和中，，，补充下面一个条件，不能说明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知，，根据全等三角形的判定规则逐一判断选项，不能判定三角形全等． 【详解】解：∵已知在和中，，； 若添加，可根据判定，故A不符合要求； 若添加，不能判定，故B符合要求； 若添加，可根据判定，故C不符合要求； 若添加，可根据判定，故D不符合要求． 10．（26-27八年级上·全国·期中）如图，在中，是边上的中线，，，延长至点E，使得，连接，则的长的取值范围是___________ ． 【答案】 【分析】根据证明，得，由三角形三边关系可得结论． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴， ∴． 11．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在和中，与交于点E，已知．若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】先证明，，然后根据全等三角形的性质得到，再结合周角求出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 12．（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到如图所示的位置时，，，线段的长为________． 【答案】3 【分析】证明，由全等三角形的性质得出，，最后由线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 13．（26-27八年级上·黑龙江·期中）如图，已知，请添加一个条件使与全等的是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要使，已知，，具备了两组边相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可，答案不唯一． 【详解】解：添加条件是， 在和中， ∵， ∴． 14．（26-27八年级上·青海·期中）如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到________位置时，才能使与全等． 【答案】中点或点C 【分析】由题意可得，分两种情况：当时，当时，分别利用全等三角形的判定定理证明即可得解． 【详解】解：由题意可得：， 当时，此时P点运动到中点， 在和中， ， ∴， 当时，此时点运动到点C位置， 在和中， ， ∴， 综上所述，P点运动到中点或点C位置时，才能使与全等. 15．（26-27八年级上·天津·期中）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】先由三角形内角和得出，再通过证明,进而得出． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 16．（26-27八年级上·北京·期中）如图，在中，点在边上，且，，的延长线交于点．求证：． 【答案】证明：， ， 在和中， ， ． 【分析】根据平行线的性质可得，进而可证明，即可得到结论． 【详解】见答案处． 17．（26-27八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在中，，是边上的一点，，过作交于点，连接、，交于点． (1)求证：； (2)若点为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴与都是直角三角形． 在与中 ∴ ∴ (2) 【分析】（1）直接证明，即可解决问题． （2）首先证明，进而证明，即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴． ∵点D为的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵∠， ∴． 18．（26-27八年级上·山东临沂·期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是（     ） A．      B．      C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ． 【解后反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，，分别为中边上的中线与高，且，，求的面积； (3)拓展延伸：如图，在（2）的条件下，延长交于点，请直接写出的长度． 【答案】(1)①A；② (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件即可判断；根据三角形的三边关系即可求得； （2）如小问2详解图，延长中线到，使，先证出，再证出，然后根据，可得，进而求得答案； （3）如小问3详解图，分别过点作，由已知条件证出，再证出，最后可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ． （2） 解：如图，延长中线到，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ∵， ， ， ， ． （3） 解：分别过点作， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 19．（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在和中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴． 【分析】先证明，再根据“”证明即可． 【详解】略 20．（26-27八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)∵是的平分线，（即），． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． (2)2 【分析】（1）的突破口为角平分线的性质，因为是角平分线且，所以可得，再结合，通过定理证明和全等，即可得． （2）的突破口是先证明和全等，因为为公共边，，且两个三角形均为直角三角形，所以用可证全等，得到．先根据的长度计算的长度，结合（1）中的结论，即可求出的长． 【详解】（1）略． （2）在和中： ， ∴， ∴． 设， 由（1）的结论， ∴ 代入， 得， 解得． 即的长为2． 21．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图1，已知平分，定点在射线上，于点，于点，． (1)求的长 (2)如图2，当点在射线上，点在射线上，且与不垂直，其它条件不变，求出与之间的数量关系． (3)如图3，当点在射线的反向延长线上时，，其它条件不变，则（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与新的数量关系式． 【答案】(1) (2) (3)不成立，新的结论是： 【分析】（1）根据平分得，根据于点，于点得，由此依据“”判定，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点C作于点E，于点F，证明得，，证明，进而依据“”判定得，继而得，，据此即可得出答案； （3）过点C作于点K，于点T，依题意得，证明和全等得，，再证明和全等得，进而得，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：证明： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点C作于点E，于点F，如图2所示： ∴， 依题意得：， ∵平分， ∴, 在和中， ， ∴ ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：不成立，新的结论是：，理由如下： 过点C作于点K，于点T，如图3所示： ∴， 依题意得：， 同理可证明：， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（21-22八年级下·贵州贵阳·期中）如图，两个等腰直角三角形与，连接，相交于点H．求证： (1)； (2)； (3)连接，求证平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证明即可； （2）设的交点为，证明，结合，，可得； （3）作于于J．证明，，可得，结合角平分线的判定可得结论． 【详解】（1）证明：∵两个等腰直角三角形与， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：如图，设的交点为， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：作于于J，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． 23（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 证明：过E点作于M点，于N点，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， 即平分； (3)18 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． （1）先根据三角形外角性质计算出，然后计算即可； （2）过E点作于M点，于N点，如图，先计算出得到平分，根据角平分线的性质得到，，所以，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论； （3）根据三角形面积公式得到，则可计算出，所以，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 24．（八年级上·福建福州·开学考试）在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； (2) 证明：如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行证明即可； （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 71 页 第 1 页 共 71 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点3 全等三角形概念、性质及判定综合 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一：全等三角形的概念 2 知识点二：全等三角形的性质与判定（贯穿整个几何部分） 3 知识点三、角平分线的性质和判定 4 知识点四、角平分线模型 4 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 5 【题型 1 图形全等与全等三角形概念辨析】 5 【题型 2 全等三角形对应元素识别（对应顶点、边、角）】 6 【题型 3 全等三角形性质：求线段长度】 7 【题型 4 全等三角形性质：求角度大小】 8 【题型 5 全等三角形性质：推理证明与边角综合】 9 【题型 6 SAS 证明全等及 SAS 综合应用】 10 【题型 7 ASA/AAS 证明全等及 ASA/AAS 综合应用】 11 【题型 8 SSS 证明全等及 SSS 综合应用】 12 【题型9 HL 证明直角三角形全等及 HL 综合应用】 13 【题型10 补充条件使三角形全等】 15 【题型11 灵活选择判定方法（全等性质 + 判定综合大题）】 16 【题型12 作角平分线（尺规作图）】 16 【题型13 角平分线的性质与判定】 18 【题型14 角平分线的性质的综合应用】 19 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 21 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 29 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・全等图形定义：能够完全重合的图形，形状、大小不变。 ・全等三角形定义，根据全等表达式确定对应顶点、对应边、对应角。 ・全等三角形性质：对应边相等，对应角相等；周长相等、面积相等。 ・借助全等性质进行线段长度计算。 ・借助全等性质进行角度计算。 ・利用全等性质完成简单几何推理证明。 ・全等三角形线段、角度综合推理应用。 基础层面：选择填空考查全等概念辨析、对应边角识别，基础线段、角度计算。 ・能力层面：依托全等符号顺序定位对应元素，训练等量代换逻辑。 ・综合层面：结合线段、角度，进行一步或多步几何推理证明。 ・趋势特征：重点考察识图能力，易错点为脱离全等符号乱找对应边角；重视几何证明的步骤规范。 考情解码： ・分值定位：全等三角形的概念与性质是全等判定的前置基础，小题高频考查，是几何证明大题必备基础工具。 ・学生高频失分点：①不按全等表达式找对应边角；②误认为面积相等的三角形一定全等；③证明跳步，缺少理论依据。 ・备考提示：掌握 “按字母顺序找对应” 的方法；分清全等的必要条件；强化几何证明书写，做到步步有据。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一：全等三角形的概念 全等图形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【补充】 1）全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2）形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”. 【补充】书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换. 常见的全等变换：平移变换、翻折变换、旋转变换，即过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形. 知识点二：全等三角形的性质与判定（贯穿整个几何部分） 全等三角形的性质：1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 全等三角形的判定： 1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 【易错】 ①只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等； 例: ②在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上. 3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5）斜边、直角边：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【总结】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 知识点三、角平分线的性质和判定 角平分线 解释 示例 性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，若射线OC是的角平分线，则． 判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，若，则OC是的角平分线． 知识点四、角平分线模型 模型I：角平分线加平行线必出等腰三角形． 模型II：角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 模型III：角平分线的中心思想是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种． 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型 1 图形全等与全等三角形概念辨析】 【例 1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 【变式 1‑1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【变式 1‑2】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【变式 1‑3】（23-24八年级上·山西临汾·期中）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【题型 2 全等三角形对应元素识别（对应顶点、边、角）】 【例 2】（26-27八年级上·江西赣州·阶段检测）如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式 2‑1】（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）已知下图是两个全等三角形，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【变式 2‑2】（八年级上·四川德阳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 【变式 2‑3】（25-26八年级下·河北唐山·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，，若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型 3 全等三角形性质：求线段长度】 【例 3】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，，，，，则的长度等于（    ） A． B． C． D． 【变式 3‑1】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，，，，，四点在同一直线上，若，，，则的长为（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【变式 3‑2】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，若，点B、E、C、F在同一直线上，，则的长是（   ）． A．7 B．5 C．2 D．3 【变式 3‑3】（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，P、Q两点分别在边和过点A且垂直于的射线上运动，且．若以A、P、Q为顶点的三角形与全等，则的长为（    ) A．3 B．8 C．3或8 D．以上都不正确 【题型 4 全等三角形性质：求角度大小】 【例 4】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，已知，点在AB上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式 4‑1】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，，若，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式 4‑2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）三个全等三角形按如图的形式摆放，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式 4‑3】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，，点在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型 5 全等三角形性质：推理证明与边角综合】 【例 5】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）．若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的速度是（   ）厘米每秒时，能够使与全等． A．或2 B．1或3 C．3 D． 【变式 5‑1】（25-26八年级上·北京海淀·期中）【双剑合璧】两位侠客施展“全等剑阵”，则剑光总长为六尺，剑光重叠处长四尺．问独属一位侠客的剑光长几何？（    ） A．3尺 B．2尺 C．1尺 D．0.5尺 【变式 5‑2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，动点P，Q分别按照和的路线同时开始运动，点到达终点时点也随之停止运动．直线经过原点，且，过P，Q分别作的垂线段，垂足分别为E，F．若点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，运动时间为秒，当与全等（与不重合）时，的值为（   ） A． B． C． D． 【变式 5‑3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如果的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为5，，，若这两个三角形全等，则的值是（   ） A．8 B．或5 C．6 D．或5 【题型 6 SAS 证明全等及 SAS 综合应用】 【例 6】（八年级下·贵州毕节·期中）如图，在正方形中，点 分别在上，且，将绕点顺时针旋转 90°，使点落在点处，则下列判断不正确的是（        ） A．是等腰直角三角形 B．垂直平分 C． D．是等腰三角形 【变式 6‑1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图， 已知，，则图中全等三角形共有（   ） 对． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式 6‑2】（26-27八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，，是边上的中线，则长的取值范围是（     ） A． B． C． D．不能确定 【变式 6‑3】（25-26七年级下·重庆·期中）某公园准备在活动区安装一个跷跷板，如图，A和D为跷跷板两个座位到达最高点的位置，B和C为落地点，M为跷跷板的支撑点，为确保，工作人员只需要测量A、B两点到M的距离，距离相等便可说明．其中的依据是全等三角形的判定条件（   ） A．SSS B．AAS C．SAS D．ASA 【题型 7 ASA/AAS 证明全等及 ASA/AAS 综合应用】 【例 7】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得的长为那么，河的宽度是（   ） A． B． C． D． 【变式 7‑1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，要使，则需要再添加的一组条件不可以是（    ） A． B． C． D． 【变式 7‑2】（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．平分 C． D．过线段的中点 【变式 7‑3】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【题型 8 SSS 证明全等及 SSS 综合应用】 【例 8】（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式 8‑1】（八年级上·广东广州·期中）如图，点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，连接交于M，交于N，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式 8‑2】（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，已知点P在直线l外，利用如下方法也可以作出过点P与直线l平行的直线：在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交直线l于点B；以点P为圆心，以的长为半径作弧；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C；作直线，则．请说明这种作平行线方法的道理（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上答案均不对 【变式 8‑3】（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，下面是利用尺规作图的方式过直线外一点作已知直线平行线的方法：在直线上任取一点，过点，作直线；以为圆心，适当长度为半径画弧，交直线、直线于点，，再以为圆心，相同长度为半径画弧，交直线于点；以为圆心，截取长度为半径画弧，与弧交于点，过点，作直线，即为所求的直线．在这一过程中，证明时用到的三角形全等的判定方法是（　　） A． B． C． D． 【题型9 HL 证明直角三角形全等及 HL 综合应用】 【例9】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（   ） A．小海作图判定的依据是 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【变式9-2】（25-26七年级上·全国·期中）为测量一个池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案． 方案Ⅰ：如图，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，并使，，连接，最后测出的长即可；    方案Ⅱ：如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． A．Ⅰ，Ⅱ都不可行 B．Ⅰ，Ⅱ都可行 C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 【变式9-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； ⑤有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等． 其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型10 补充条件使三角形全等】 【例10】（26-27八年级上·新疆·期中）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（26-27八年级上·四川·期中）如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在和中，，添加下列条件仍不能判定的是（） A． B． C． D． 【变式10-3】（26-27八年级上·全国·阶段检测）如图，已知 ，添加下列条件不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【题型11 灵活选择判定方法（全等性质 + 判定综合大题）】 【例11】（26-27七年级上·山东·单元测试）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【变式11-2】（25-26七年级下·山东泰安·期中）下列推理正确的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 C．因为，所以与是对顶角 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【变式11-3】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【题型12 作角平分线（尺规作图）】 【例12】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图；， (1)尺规作图：仅用无刻度直尺和圆规作中的角平分线，交于点，保留作图痕迹． (2)在（1）的条件下，若，，则__________． 【变式12-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，请你用尺规作图法在的边上求作一点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式12-2】（26-27八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，已知中，是的高． (1)尺规作图：求作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的度数． 【变式12-3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点是延长线上一点，请用尺规作图的方法在内作射线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型13 角平分线的性质与判定】 【例13】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．15 B．18 C．30 D．36 【变式13-1】（26-27八年级上·全国·期中）如图，的三边，，的长分别是4，6，8，是三条角平分线的交点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，的三边、、长分别是60、70、80，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（     ） A．8：7：6 B． C． D． 【变式13-3】（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（     ） A．10 B．13 C．16 D．19 【题型14 角平分线的性质的综合应用】 【例14】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式14-1】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【变式14-2】（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）如图，和都是等边三角形，且点在一条直线上，连接和，交、于点．和相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． (3)求证：平分 【变式14-3】（24-25八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．（26-27八年级上·海南·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，，则对于结论，，，， 其中正确结论的个数是（    ） A．1   个 B．2  个 C．3  个 D．4    个 5．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 6．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，已知，若不添加辅助线，则不能证明的条件是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在一条直线上，，要说明，添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知直线和直线外一点，利用尺规作图操作如下： ①在直线上取一点，经过点和点，作直线； ②作，并使得与是一对同位角； ③反向延长射线，得到直线． 根据以上操作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）已知在和中，，，补充下面一个条件，不能说明的是（    ） A． B． C． D． 10．（26-27八年级上·全国·期中）如图，在中，是边上的中线，，，延长至点E，使得，连接，则的长的取值范围是___________ ． 11．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在和中，与交于点E，已知．若，则的度数为______． 12．（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到如图所示的位置时，，，线段的长为________． 13．（26-27八年级上·黑龙江·期中）如图，已知，请添加一个条件使与全等的是__________． 14．（26-27八年级上·青海·期中）如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到________位置时，才能使与全等． 15．（26-27八年级上·天津·期中）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知，，，，求的度数． 16．（26-27八年级上·北京·期中）如图，在中，点在边上，且，，的延长线交于点．求证：． 17．（26-27八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在中，，是边上的一点，，过作交于点，连接、，交于点． (1)求证：； (2)若点为的中点，求的度数． 18．（26-27八年级上·山东临沂·期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是（     ） A．      B．      C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ． 【解后反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，，分别为中边上的中线与高，且，，求的面积； (3)拓展延伸：如图，在（2）的条件下，延长交于点，请直接写出的长度． 19．（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在和中，，，．求证：． 20．（26-27八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图1，已知平分，定点在射线上，于点，于点，． (1)求的长 (2)如图2，当点在射线上，点在射线上，且与不垂直，其它条件不变，求出与之间的数量关系． (3)如图3，当点在射线的反向延长线上时，，其它条件不变，则（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与新的数量关系式． 22．（21-22八年级下·贵州贵阳·期中）如图，两个等腰直角三角形与，连接，相交于点H．求证： (1)； (2)； (3)连接，求证平分． 23（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 24．（八年级上·福建福州·开学考试）在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 71 页 第 1 页 共 71 页 学科网（北京）股份有限公司 $