专题05等腰三角形期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题05等腰三角形期中复习讲义 1.掌握等腰三角形、等边三角形的定义，熟记等腰三角形 “等边对等角”“三线合一” 性质，能利用性质进行角度、线段的计算。 2.掌握等腰三角形的判定方法 “等角对等边”，会结合已知条件证明一个三角形是等腰三角形。 3.掌握等边三角形的性质与判定，理解含 30° 角的直角三角形的边角结论，并能简单运用。 4.能区分等腰三角形性质与判定，理清二者逻辑关系，规范几何证明书写步骤。 5.会处理等腰三角形分类讨论问题：已知边或角未指明是底边 / 腰、顶角 / 底角时，进行多情况分析，排除不符合三角形三边关系的情况。 6.能结合轴对称、线段垂直平分线知识，解决等腰三角形综合几何题，识别等腰基础模型。 7.规避易错点：忽略三角形三边关系、漏写分类讨论、混淆等腰三角形性质与判定。 题型 考察方向 难度 题型一 等边对等角 ★★ 题型二 三线合一 ★★ 题型三 根据等角对等边证明等腰三角形 ★★ 题型四 根据等角对等边证明边相等 ★★ 题型五 根据等角对等边求边长 ★★ 题型六 含 30 度角的直角三角形 ★★ 题型七 格点图中画等腰三角形 ★★ 题型八 找出图中的等腰三角形 ★★ 题型九 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 ★★★★ 题型十 等腰三角形的性质和判定 ★★★ 题型十一 等边三角形的性质 ★★ 题型十二 等边三角形的判定 ★★ 题型十三 等边三角形的判定和性质 ★★★ 题型十四 大（小）边对大（小）角定理 ★★ 题型十五 最短路径问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:等腰三角形核心知识速查表 知识点02:等腰三角形基础概念 1. 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两条边：腰；第三条边：底边 两腰的夹角：顶角；腰与底边的夹角：底角 对称性：轴对称图形，1 条对称轴，为顶角平分线所在直线。 2. 特殊等腰三角形 —— 等边三角形 三条边全部相等的三角形是等边三角形，属于特殊的等腰三角形。 有3 条对称轴。 知识点03.等腰三角形的重要性质（必背） 性质 内容 几何语言 图示 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点04:等腰三角形的核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 知识点05:含 30° 角的直角三角形重要推论 1.内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2.几何语言： CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中线 ⇒ CD = AB 3.逆推论（判定）：直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对锐角为30。 Rt△ABC 中，∠C=30° ⇒ AB= BC。 知识点06:高频易错点汇总 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 三线合一滥用 腰上的高也套用三线合一 三线合一仅针对底边、顶角 看清是底边还是腰再使用 分类讨论遗漏 已知边长 / 角度只算一种情况 锐角需分顶角、底角；边长分腰、底 题干无图默认双解，钝角只有一解 等边三角形判定 只说等腰三角形就是等边 必须附加一个 60° 角才是等边三角形 判定条件缺一不可 30° 直角三角形 分不清哪条边是斜边 30° 角对的直角边 = 斜边一半，直角对斜边最长 做题标记直角与 30° 角 概念混淆 认为等腰三角形只有 1 条对称轴 等边三角形是特殊等腰，有 3 条对称轴 普通等腰 1 条，等边 3 条 题型一：等边对等角 1．新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形等边对等角求出顶角度数，结合三线合一性质计算即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，为的中点， 平分， ． 2．如图，，经过点A，，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先根据全等三角形的性质得到，再由等边对等角得到，则由三角形内角和定理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，是三条角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，点，均在的内部，，则的度数为（     ） A．121° B．122° C．123° D．124° 【答案】A 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出，可得，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理得到，由此即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点是这个三角形三边垂直平分线的交点， ， ，，， ，， ， ， ． ， ． 平分，平分， ，． ， ． 题型二：三线合一 4．如图，在中，是的中线，，则的度数为_______． 【答案】/40度 【分析】根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴，即， ∵， ∴ 5．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 6．如图，在中，，是边上的中线，点E在边上，且，连结，若，则的大小为_______ 度． 【答案】30 【分析】根据等腰三角形的性质得到，结合题意利用三角形内角和定理求出的度数，再根据等边对等角，三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：，是边上的中线， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型三：根据等角对等边证明等腰三角形 7．如图，若，，平分，则图中共有______个等腰三角形． 【答案】/三 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理的应用，根据题意分别求得，进而根据等角对等边判断等腰三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴，即是等腰三角形， 又∵ ∴，即是等腰三角形． 综上所述，共有个等腰三角形， 故答案为：． 8．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，连结AD，若∠B＝58°，则∠1的度数是 ____． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，根据角的和差解答即可． 【详解】解：∵Rt△ABC≌Rt△DEC， ∴AC=CD，∠CDE=∠BAC， ∵∠B=58°，∠ACB=90°， ∴∠BAC=32°， ∴∠CDE=32°， ∵AC=CD， ∴∠CAD=∠ADC=45°， ∴∠1=∠ADC-∠CDE=13°， 故答案为：13°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 9．在中，已知，，分别是，，的对边，则下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（      ） A．，， B． C．， D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是等腰三角形； B、∵ ∴， ∴不是等腰三角形； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； D、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 故选：B． 题型四：根据等角对等边证明边相等 10．如图，，平分，，则的长为_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边证明边相等． 由可以证明，再由平分，得到，等量代换即可求出． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 故答案为：2． 11．如图，沿对角线折叠长方形，点的对应点为，与相交于点，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查长方形的性质，折叠的性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用这些性质找出线段之间的关系． 先根据长方形的性质和折叠的性质得到相等的角，从而得出，再在含角的直角三角形中求出的长度，进而得到，最后根据求解即可． 【详解】四边形是长方形， ，， ， 由折叠可知， ，则， 在中， ， ， 又， ， 故答案为：． 12．如图，，点A、B、C分别与D、E、F对应，且点E在上，点B、F、C、D在同一直线上，若，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，，则，由于，则，则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选∶B． 题型五：根据等角对等边求边长 13．如图，已知交于点，且，若，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键． 根据全等三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， 故答案为：8． 14．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为_______． 【答案】 【分析】延长，交延长线于点，先证出，得出，，进而可得，再得出，据此得出即可． 【详解】解：如图，延长，交延长线于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在中，点、分别是、的中点，点在上，连接、，，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据点、分别是、的中点，知是的中位线，根据三角形中位线定理，再结合，等角对等边，即可求出． 【详解】解：点、分别是、的中点， ，， ， ， ， ． 题型六：含 30 度角的直角三角形 16．如图，在直角三角形中，．若，则______． 【答案】3 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，再根据即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：3． 17．如图，在中，，，D是AC边的中点，过点D作于点E，若，则AE的长为______． 【答案】18 【分析】如图：连接，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得、、，再利用含30度直角三角形的性质以及线段的和差求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵在中，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18．如图，在中，，，分别是边上的两个动点，连接．若当与的和最小时，的长为1，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】考查了轴对称-最短路径问题，等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质，如图，作点B关于直线的对称点，交于点D，过点作于点Q，交于点P，连接，此时，，，即与的和最小，，根据等腰三角形三线合一的性质得，根据含30度角的直角三角形的性质分别求出、即可求得的长． 【详解】解：如图，作点B关于直线的对称点，交于点D，过点作于点Q，交于点P，连接， 此时，，，即与的和最小， ∵在中，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 题型七：格点图中画等腰三角形 19．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点都在格点上，在网格中确定一个格点，使为等腰三角形，符合条件的格点有_____个． 【答案】9 【分析】本题考查网格中作等腰三角形，根据等腰三角形的定义，在网格中作出符合条件的等腰三角形即可． 【详解】解：如图， 符合条件的格点共有9个； 故答案为：9． 20．如图，在的正方形网格中，点，都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点也在格点处，则点所处的位置个数为_____． 【答案】6 【分析】根据网格结构，分别以、为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点，即可得到点的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有6个． 21．我们称网格线的交点为格点．如图，在6行列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰． 【详解】如图：分情况讨论： ①为等腰直角底边时，符合条件的格点C点有2个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个． 故共有5个点， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 题型八：找出图中的等腰三角形 22．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 23．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 24．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定定理得到△ABD与△BAC是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠C＝72°，推出△ADE和△BCE是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到AE＝BE，得到△ABE是等腰三角形． 【详解】解：∵AB＝AC＝BD， ∴△ABD与△BAC是等腰三角形， 在△ABD与△BAC中， ， ∴△ABD≌△BAC（SSS）， ∴∠D＝∠C＝72°， ∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°， ∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°， ∴∠DAE＝∠CBE＝36°， ∴∠AED＝∠BEC＝72°， ∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC， ∴△ADE和△BCE是等腰三角形， ∵∠AED＝∠BEC， ∴△ADE≌△BCE（AAS）， ∴AE＝BE， ∴△ABE是等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 题型九：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 25．已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 【答案】B 【分析】分类讨论①②③时，求出点P的个数． 【详解】因为为等腰三角形， 所以可分三类讨论： ①(有一个)．此时只要以A为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P； ②(有两个)．此时只要以O为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择； ③(一个)．作的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择． 综上所述，共有4个． 故选B.    【点睛】本题考查等腰三角形的判定、坐标与图形性质，解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知点，在轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有_________个． 【答案】4 【分析】以B为圆心，AB长为半径画圆可得与y轴有两个交点，再以A为圆心，AB长为半径画圆可得与y轴有1个交点，然后再作AB的垂直平分线可得与y轴有1个交点． 【详解】解：如图所示， 共4个点， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏． 27．如图，，两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点应该有（     ）个 A．7 B．8 C．9 D．1 【答案】B 【分析】分为等腰三角形的底边和为等腰三角形的一条腰两种情况讨论即可． 【详解】解：如图所示： ①为等腰三角形的底边，符合条件的点C有个； ②为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有个； 故符合条件的点C共有个． 题型十：等腰三角形的性质和判定 28．如图，在中，，，，则（    ） A．45 B．65 C．67.5 D．68.5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，先根据等腰直角三角形的性质求出的度数，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形，即， 又∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 29．如图，在中，，，点在内，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形性质求底角，结合已知角相等进行等量代换得到，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 30．如图，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为_________时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 【答案】或 【分析】先求出，，的长，以及，再分六种情况：①，②，③，④，⑤，⑥，分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ①当时， ∴，， ∴， 解得， ∴此时点的运动速度为； ②当时， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴此时点的运动速度为； ③当时， ∴，，， ∴，， ∴解得，， ∴， ∴此时点的运动速度为； ④当时， ∴，，， ∴，， 解得，， ∴， ∴此时点的运动速度为； ⑤当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴此时点的运动速度为； ⑥当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴此时点的运动速度为； 综上，当点的运动速度为或时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 题型十一：等边三角形的性质 31．如图，是等边三角形，若，，，则度数是___________． 【答案】/132度 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形内角和及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，三角形内角和及等边三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 32．如图，在等边中，F是的中点，于E，如果的边长是8，则_______． 【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质及，可推出，得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． 33．如图，是等边三角形，，，则的度数为______． 【答案】/75度 【分析】根据等边三角形的性质得出，，然后证得是等腰三角形，求得，然后根据三角形外角的性质求得即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十二：等边三角形的判定 34．小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上__________填上一个适当的条件． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的定义及等边三角形与等腰三角形的关系．根据等边三角形的判定定理填空即可． 【详解】解：有一个角是的等腰三角形是等边三角形， 若，则为等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 35．下列推理中，不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D．，且 【答案】D 【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断． 【详解】A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意； B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意； C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意； D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 36．如图，点，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称的性质和两点之间选段最短．作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，利用两点之间，线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， ∴，，，，， ∵点为的中点，， ∴ ， ， ， ， 为等边三角形， ∴ ， 的最大值为， 故答案为：． 题型十三：等边三角形的判定和性质 37．如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且，若的长度为，则此时两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据等边三角形的性质可得到结论． 本题考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 38．如图，在四边形中，，，，点E在边上，，连接，交于点F．若，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，等角对等边，先证是等边三角形，得，，由得 ，证是等边三角形即可解答． 【详解】解：如图所示，连接交于点G， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 39．如图，等边与正方形重叠，其中D、E两点分别在、上，且，若，，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质以及线段间的关系求出的长，然后根据正方形性质以及角度关系得到，利用“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质计算求出中边上的高，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：如图，过点F作于Q， 则，即是直角三角形． ∵是等边三角形，， ∴，． ∵，， ∴是等边三角形，且边长为1， ∴，， ∴． ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型十四：大（小）边对大（小）角定理 40．在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 41．如图，中，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是（    ） A．10 B．14 C．15 D．19 【答案】B 【分析】连接PC，由题意易得，进而可得要使周长为最小，则需满足为最小，即为最小，然后根据三角形边角不等关系可得当点A、P、C三点共线时满足题意，最后问题可求解． 【详解】解：连接PC，如图所示： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴的周长为， 若使周长为最小，则需满足为最小，即为最小， ∵， ∴当点A、P、C三点共线时，为最小，即为AC的长， ∴的周长最小值为； 故选B． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系是解题的关键． 42．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称、三角形的边角关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先利用轴对称的性质、三角形的边角关系可得点与点重合，再根据轴对称的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是上一点， ∴点关于直线的对称点在上， 设点关于直线的对称点为点， 如图1，假设点在（不含点）上，连接， 由轴对称的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，这与不符， ∴假设不成立，即点不在（不含点）上； 如图2，假设点在（不含点）上，连接， 同理可得：点不在（不含点）上； ∴点与点重合， ∴与关于直线对称，点的对应点是点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 题型十五：最短路径问题 43．如图，在等边中，是边上的高，为上一动点，若，为边上一点，则的最小值为_______． 【答案】7 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径的计算，点到直线垂线段最短，掌握等边三角形的性质，垂线段最短的知识是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得点关于的对称点为点，连接，，则，则有，由点到直线垂线段最短可得，当时，的值最小，则的值最小，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴点关于的对称点为点， ∴连接，，则，如图所示， ∴，当时，的值最小，则的值最小， ∵是等边三角形，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 44．如图，中，，，，为边的垂直平分线上一个动点，则的周长最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，垂直平分线的性质以及直角三角形的性质，正确确定点的位置是解题的关键．因为边的垂直平分线为，所以点和点关于直线对称，所以当点和点重合时，的周长最小，再结合题目中的已知条件求出的长即可解答． 【详解】解：为边的垂直平分线上一个动点， 点和点关于直线对称， 当点和点重合时，的周长最小， 在中，，，， ， ， 的周长最小值， 故答案为：． 45．如图，在等边中，于点，，点是上一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值是（    ） A．12 B．14 C．18 D．24 【答案】A 【分析】连接，，由等边三角形的性质，可得，，，可得，从而可得当点为与的交点时，取得最小值，最小值为，由的面积可得，即可得的最小值． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形， ∴， 又∵于点， ∴， ∵点是上一个动点， ∴， ∴， 当点为与的交点时，取得最小值，最小值为， ∵在等边中，是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值是． 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，最短路径，与三角形的高相关的计算，找到取最小值的位置是解答的关键． 解答题 46．如图，AD是的高，，，，求的度数． 【答案】 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，从而得到，由“”证明得到． 【详解】解：是的高，且， ， 又， ， 在与中， ， ， ． 47．已知，在中，，于点H． (1)求证：； (2)点D为外一点，，若平分，求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， (2)证明：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先证明，进而证明； （2）先证明，再证明，得出，则，即可得出结论； 【详解】（1）略 （2）略 48．如图，在中，，点为内部一点，连接、，且，过点作交的延长线于点，，求证：． 【答案】， ， ，， ， 又∵， ， ， ． 【分析】由等角对等边得到，然后证明，得到，即可证明． 【详解】略 49．如图，在中，，，，交于点． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理可得，再根据垂直可得，然后根据角的和差求解即可得； （2）先根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，，， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∴． 50．如图，是等边三角形内一点，是外一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形？（直接写出答案） 【答案】(1)证明：是等边三角形， ， ， ，， ， 即， 是等边三角形． (2)是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是直角三角形． (3)当或或时，是等腰三角形 【分析】（1）根据全等三角形的性质，有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明； （2）根据全等三角形的性质得到，结合（1）中的结论可得为，得到所求三角形的形状； （3）根据题中所给的全等及的度数可得的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 为等腰三角形，分三种情况： ①当，则， ∴， ∴； ②当，则， ∴， ∴； ③当，则， ∴， ∴， 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 51．已知，中，，，点，分别在，边上， ． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 ． 类比思考： (2)如图2，若，且点是边上的任意一点，小颖发现的度数为定值．求的度数； 联系拓广： (3)如图3，将问题情境中的“点，分别在，边上”改为“点，分别在、的延长线上”，其余条件不变．直接写出的度数 （用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得，，再根据角之间的数量关系，计算即可求解； （2）根据等腰三角形的性质，可得，再根据外角的性质和角之间的数量关系，可得； （3）根据等腰三角形的性质，可得，再根据角之间的数量关系和三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：， 是等腰三角形， 平分，， ，，即， ， ， ； （2）解：，， ， ，， ， 则的度数为； （3）解：，， ， ， ， 则的度数为． 52．数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他所走路程的和最短？ 作法是：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2：如图③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠，使得到村庄的距离最短．可过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力． (1)示例1中所包含的数学原理是（   ）；示例2中所包含的数学原理是（   ）． A．两点之间，线段最短    B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图④，在等边三角形中，是的中线． (2)直接写出与的数量关系________． (3)若，为边的中点，为上一点．当的值最小时，在图④上标注点的位置，并求出的最小值． 【活动三】迁移拓展，综合应用 (4)如图（5），在中，，，点在斜边上，且，是的角平分线，，分别为，上一点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)A；B (2) (3)如图①，点即为所求． 的最小值为4 (4)的最小值为 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”求解即可； （2）根据三线合一得到，，即可得到； （3）连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； （4）在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：示例1中所包含的数学原理是两点之间，线段最短；示例2中所包含的数学原理是垂线段最短． （2）解：∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接交于点F，连接， ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴ （4）解：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质，轴对称的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05等腰三角形期中复习讲义 1.掌握等腰三角形、等边三角形的定义，熟记等腰三角形 “等边对等角”“三线合一” 性质，能利用性质进行角度、线段的计算。 2.掌握等腰三角形的判定方法 “等角对等边”，会结合已知条件证明一个三角形是等腰三角形。 3.掌握等边三角形的性质与判定，理解含 30° 角的直角三角形的边角结论，并能简单运用。 4.能区分等腰三角形性质与判定，理清二者逻辑关系，规范几何证明书写步骤。 5.会处理等腰三角形分类讨论问题：已知边或角未指明是底边 / 腰、顶角 / 底角时，进行多情况分析，排除不符合三角形三边关系的情况。 6.能结合轴对称、线段垂直平分线知识，解决等腰三角形综合几何题，识别等腰基础模型。 7.规避易错点：忽略三角形三边关系、漏写分类讨论、混淆等腰三角形性质与判定。 题型 考察方向 难度 题型一 等边对等角 ★★ 题型二 三线合一 ★★ 题型三 根据等角对等边证明等腰三角形 ★★ 题型四 根据等角对等边证明边相等 ★★ 题型五 根据等角对等边求边长 ★★ 题型六 含 30 度角的直角三角形 ★★ 题型七 格点图中画等腰三角形 ★★ 题型八 找出图中的等腰三角形 ★★ 题型九 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 ★★★★ 题型十 等腰三角形的性质和判定 ★★★ 题型十一 等边三角形的性质 ★★ 题型十二 等边三角形的判定 ★★ 题型十三 等边三角形的判定和性质 ★★★ 题型十四 大（小）边对大（小）角定理 ★★ 题型十五 最短路径问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:等腰三角形核心知识速查表 知识点02:等腰三角形基础概念 1. 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两条边：腰；第三条边：底边 两腰的夹角：顶角；腰与底边的夹角：底角 对称性：轴对称图形，1 条对称轴，为顶角平分线所在直线。 2. 特殊等腰三角形 —— 等边三角形 三条边全部相等的三角形是等边三角形，属于特殊的等腰三角形。 有3 条对称轴。 知识点03.等腰三角形的重要性质（必背） 性质 内容 几何语言 图示 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点04:等腰三角形的核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 知识点05:含 30° 角的直角三角形重要推论 1.内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2.几何语言： CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中线 ⇒ CD = AB 3.逆推论（判定）：直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对锐角为30。 Rt△ABC 中，∠C=30° ⇒ AB= BC。 知识点06:高频易错点汇总 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 三线合一滥用 腰上的高也套用三线合一 三线合一仅针对底边、顶角 看清是底边还是腰再使用 分类讨论遗漏 已知边长 / 角度只算一种情况 锐角需分顶角、底角；边长分腰、底 题干无图默认双解，钝角只有一解 等边三角形判定 只说等腰三角形就是等边 必须附加一个 60° 角才是等边三角形 判定条件缺一不可 30° 直角三角形 分不清哪条边是斜边 30° 角对的直角边 = 斜边一半，直角对斜边最长 做题标记直角与 30° 角 概念混淆 认为等腰三角形只有 1 条对称轴 等边三角形是特殊等腰，有 3 条对称轴 普通等腰 1 条，等边 3 条 题型一：等边对等角 1．新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，，经过点A，，则的度数为_____________． 3．如图，在中，是三条角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，点，均在的内部，，则的度数为（     ） A．121° B．122° C．123° D．124° 题型二：三线合一 4．如图，在中，是的中线，，则的度数为_______． 5．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 6．如图，在中，，是边上的中线，点E在边上，且，连结，若，则的大小为_______ 度． 题型三：根据等角对等边证明等腰三角形 7．如图，若，，平分，则图中共有______个等腰三角形． 8．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，连结AD，若∠B＝58°，则∠1的度数是 ____． 9．在中，已知，，分别是，，的对边，则下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（      ） A．，， B． C．， D． 题型四：根据等角对等边证明边相等 10．如图，，平分，，则的长为_______． 11．如图，沿对角线折叠长方形，点的对应点为，与相交于点，，，则的长为______． 12．如图，，点A、B、C分别与D、E、F对应，且点E在上，点B、F、C、D在同一直线上，若，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型五：根据等角对等边求边长 13．如图，已知交于点，且，若，，则的长为______． 14．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为_______． 15．如图，在中，点、分别是、的中点，点在上，连接、，，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型六：含 30 度角的直角三角形 16．如图，在直角三角形中，．若，则______． 17．如图，在中，，，D是AC边的中点，过点D作于点E，若，则AE的长为______． 18．如图，在中，，，分别是边上的两个动点，连接．若当与的和最小时，的长为1，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 题型七：格点图中画等腰三角形 19．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点都在格点上，在网格中确定一个格点，使为等腰三角形，符合条件的格点有_____个． 20．如图，在的正方形网格中，点，都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点也在格点处，则点所处的位置个数为_____． 21．我们称网格线的交点为格点．如图，在6行列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型八：找出图中的等腰三角形 22．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 23．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 24．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 题型九：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 25．已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 26．如图，在平面直角坐标系中，已知点，在轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有_________个． 27．如图，，两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点应该有（     ）个 A．7 B．8 C．9 D．1 题型十：等腰三角形的性质和判定 28．如图，在中，，，，则（    ） A．45 B．65 C．67.5 D．68.5 29．如图，在中，，，点在内，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 30．如图，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为_________时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 题型十一：等边三角形的性质 31．如图，是等边三角形，若，，，则度数是___________． 32．如图，在等边中，F是的中点，于E，如果的边长是8，则_______． 33．如图，是等边三角形，，，则的度数为______． 题型十二：等边三角形的判定 34．小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上__________填上一个适当的条件． 35．下列推理中，不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D．，且 36．如图，点，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是______． 题型十三：等边三角形的判定和性质 37．如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且，若的长度为，则此时两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 38．如图，在四边形中，，，，点E在边上，，连接，交于点F．若，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 39．如图，等边与正方形重叠，其中D、E两点分别在、上，且，若，，则的面积为________． 题型十四：大（小）边对大（小）角定理 40．在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 41．如图，中，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是（    ） A．10 B．14 C．15 D．19 42．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 题型十五：最短路径问题 43．如图，在等边中，是边上的高，为上一动点，若，为边上一点，则的最小值为_______． 44．如图，中，，，，为边的垂直平分线上一个动点，则的周长最小值为_____． 45．如图，在等边中，于点，，点是上一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值是（    ） A．12 B．14 C．18 D．24 解答题 46．如图，AD是的高，，，，求的度数． 47．已知，在中，，于点H． (1)求证：； (2)点D为外一点，，若平分，求证：． 48．如图，在中，，点为内部一点，连接、，且，过点作交的延长线于点，，求证：． 49．如图，在中，，，，交于点． (1)求的值； (2)若，求的长． 50．如图，是等边三角形内一点，是外一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形？（直接写出答案） 51．已知，中，，，点，分别在，边上， ． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 ． 类比思考： (2)如图2，若，且点是边上的任意一点，小颖发现的度数为定值．求的度数； 联系拓广： (3)如图3，将问题情境中的“点，分别在，边上”改为“点，分别在、的延长线上”，其余条件不变．直接写出的度数 （用含的式子表示）． 52．数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他所走路程的和最短？ 作法是：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2：如图③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠，使得到村庄的距离最短．可过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力． (1)示例1中所包含的数学原理是（   ）；示例2中所包含的数学原理是（   ）． A．两点之间，线段最短    B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图④，在等边三角形中，是的中线． (2)直接写出与的数量关系________． (3)若，为边的中点，为上一点．当的值最小时，在图④上标注点的位置，并求出的最小值． 【活动三】迁移拓展，综合应用 (4)如图（5），在中，，，点在斜边上，且，是的角平分线，，分别为，上一点，请直接写出的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $