第6讲圆的基本性质优等生讲义（知识梳理典例练习）2026-2027学年浙教版九年级数学上册
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精品
内容正文：
第6讲 圆的基本性质 优等生讲义
（知识梳理典例练习）2026年浙教版九年级数学上册
参考答案与试题解析
📌 思维导图
🎯 课程目标
· 掌握圆的基本概念与点圆位置关系
· 理解圆心角弧弦关系
· 熟练垂径定理应用
· 掌握圆周角定理与正多边形
· 解决圆的综合证明计算
📚 知识梳理
☆ 1.圆的基本概念与点和圆的位置关系
弦/直径/弧/半圆/等弧定义
点在圆内d<r/圆上d=r/圆外d>r
外心=三边中垂线交点
不在同一直线上三点确定一个圆
概念辨析例题：⊙O半径5，点P到O距离3，判断P位置。
答案：P在圆内。
解析：d=3<r=5，故P在圆内。
☆ 2.圆心角、弧、弦的关系
同圆或等圆中，相等圆心角对等弧对等弦
圆心角定理：圆心角=所对弧的度数
弧的度数=所对圆心角度数
注意弦与弧的区别
概念辨析例题：⊙O中∠AOB=60°，求AB弧度数。
答案：60°。
解析：弧度数=圆心角度数=60°。
☆ 3.垂径定理及其应用
垂直于弦的直径平分弦及所对弧
推论：平分非直径弦的直径垂直于弦
半径r、弦心距d、半弦长a满足r2=d2+a2
构造直角三角形用勾股定理
概念辨析例题：⊙O半径5，弦AB=8，求弦心距。
答案：3。
解析：r2=d2+42，25=d2+16，d=3。
☆ 4.圆周角定理与正多边形
圆周角=同弧所对圆心角的一半
直径所对圆周角=90°
圆内接四边形对角互补
正n边形中心角=
概念辨析例题：AB是⊙O直径，C在圆上，∠BAC=30°，求∠B。
答案：60°。
解析：∠ACB=90°，∠B=90°-30°=60°。
📋 知识总结表
核心概念
公式/性质
注意事项
点与圆位置
d<r/d=r/d>r
d为点到圆心距离
圆心角
同圆等圆对等弧对等弦
注意前提条件
垂径定理
r2=d2+a2
构造直角三角形
圆周角定理
圆周角=圆心角
同弧所对
直径性质
直径所对圆周角=90°
见直径想直角
正多边形
中心角=
n为边数
⚠️ 核心考点
【考点1】圆的基本概念与点和圆的位置关系（第1-11题）
· 熟记弦弧直径定义
· 点圆位置比d与r
· 外心位置随三角形形状
1．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知的半径是，则中最长弦长是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的基本概念辨析、求过圆内一点的最长弦
【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．利用圆的直径为圆中最长的弦求解．
【详解】解：∵的半径是，
∴中最长弦长是．
故选：C．
2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法正确的是（ ）
A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意一点
B．同一平面内，过两点A，B的圆的圆心在一条直线上
C．过三点A，B，C的圆的圆心有且只有一个
D．过四点A，B，C，D的圆不存在
【答案】B
【知识点】判断确定圆的条件
【分析】此题考查了确定圆的条件，熟练掌握确定圆的条件是解题的关键．
【详解】解：过一点的圆的圆心可以是平面上除点外的任意点，选项错误；
过两点的圆的圆心在一条直线上，在的垂直平分线上，选项正确；
过不在同一直线上三点的圆的圆心只有一个点，即三角形的外心，选项错误；
过四点的圆存在，比如正方形的外接圆，选项错误．
故选B
3．（25-26九年级下·全国·单元复习）下列语句中，不正确的有（ ）
相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；长度相等的两条弧是等弧；三点确定一个圆．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】圆的基本概念辨析、判断确定圆的条件、垂径定理的推论、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题考查了圆的相关性质，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系等知识．
①和④、没有前提；②、注意不是直径的弦；③、注意对称轴是直线；⑤注意三个点应该不共线．
【详解】解：①和④错误，应强调在同圆或等圆中；
②错误，应强调不是直径的弦；
③错误，应强调直径所在的直线才是它的对称轴；
⑤错误，应该是不在同一条直线上的三个点，确定一个圆；
故选：A．
4．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧
C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径
【答案】C
【知识点】圆的基本概念辨析
【分析】根据圆中弦、直径、圆弧的定义逐一判断：弦是圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦，所以直径属于弦，但弦不一定是直径；圆弧是圆上两点之间的曲线，不是线段；直径不仅要过圆心，两个端点还必须在圆上，由此判定只有C正确．
【详解】解：A选项，弦不一定过圆心，故弦不一定是直径，错误；
B选项，圆弧是圆上两点间的曲线部分，不是线段，故该说法错误；
C选项，直径是特殊的弦，故该说法正确；
D选项，过圆心的线段端点不一定都在圆上，故不一定是直径，错误．
5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】C
【知识点】已知外心的位置判断三角形的形状
【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可．
【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等，
如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于．
故选：C
6．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交于点，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的基本概念辨析、等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】先利用直角三角形的两锐角互余求出的度数，再利用圆的半径相等得到，从而利用等腰三角形的性质得到，最后根据三角形内角和定理求出圆心角的度数，即可得到的度数．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
的度数为．
7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，半径为4．若点A在内，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【知识点】判断点与圆的位置关系、数轴上两点之间的距离、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了点与圆的位置关系及数轴上两点的距离，根据点与圆的位置关系得出点A到圆心B的距离范围，再结合数轴上两点间的距离公式列出关于b的不等式，进而求解b的取值范围．
【详解】解：∵点A在内，
∴，
∵点A表示实数6，点B表示实数b，
∴，
∴，
∴，
由得，
由得，
∴，
故选：D．
8．（25-26九年级上·北京·期中）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在中点D处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是______．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、判断点与圆的位置关系
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，以点为圆心，长为半径画圆，再根据图形即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
取中点，连接，则，
以点为圆心，长为半径画圆，如图所示：
由图可知，点都在内，
∴这三栋楼中在该基站覆盖范围内，
故答案为：．
9．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________．
【答案】6
【知识点】求过圆内一点的最长弦
【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键．
根据直径是圆中最大的弦解答即可．
【详解】解：如图，设圆的圆心为点O，
∵直径是圆中最大的弦，
∴过P，O作圆的直径，则，，
∴，
∴圆的直径为，
故答案为：6．
10．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过________秒，点P在上
【答案】或
【知识点】利用点与圆的位置关系求半径
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分两种情况，列式计算即可得解，解题的关键是能够分类讨论．
【详解】解：当第一次点在圆上时，秒，
当第二次点在圆上时，秒，
综上所述，经过或秒，点P在上，
故答案为：或．
11．（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由．
【答案】
解：连接．
C在上；
在直角中， ，
则A在的外部；
，则E在内部；
，则在直角中，，则F在的外部．
【知识点】判断点与圆的位置关系
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．求得到圆心的距离，与圆的半径进行比较即可作出判断．
【详解】略
【考点2】圆心角、弧、弦的关系（第12-21题）
12．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③
【答案】B
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、同弧或等弧所对的圆周角相等
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【详解】解：在中，，
，故①正确；
为公共弧，
，
，，故②③④正确．
故选：B．
13．（2025·云南楚雄·三模）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由得到即可．
【详解】解：如图，连接，
点是劣弧的中点，
，
，
，
，
∵，
∴．
故选：C．
14．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边三角形的判定和性质
【分析】连接，由弧与圆心角之间的关系可得，证明都是等边三角形，可得，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴都是等边三角形，
∴，
∴．
15．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，则下列结论正确的有（ ）个．
①，②，③；④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、全等的性质和SSS综合（SSS）
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质．根据圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质逐一判断即可．
【详解】解：在中，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
观察四个结论，只有③错误，其余3个正确；
故选：B．
16．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质．首先根据可知，根据可求，根据等腰三角形的性质可求，根据，可求出的度数．
【详解】解：如下图所示，连接、，
，
，
，
是等边三角形，
，
又，
，
，
，
，
．
故选：B．
17．（23-24九年级上·天津滨海新区·期中）如图，是的直径，，，则_____．
【答案】
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】根据同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等即可求解．
【详解】∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等是解题的关键．
18．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为_______．
【答案】/82度
【知识点】等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、 求圆弧的度数
【分析】本题考查圆心角与它所对弧关系，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理．关键是由等边三角形的性质得到．
连接，由，，推出是等边三角形，得到，由B点的对应刻度为，即可求出D点的对应刻度．
【详解】解：连接，如图，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵B点的对应刻度为，
∴D点的对应刻度是．
故答案为：．
19．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，，，则的度数为________．
【答案】
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用平角的定义得到的度数，然后根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数求解．
【详解】
解：∵，
∴，
而为直径，
∴，
∴的度数为．
20．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于_____．
【答案】/54度
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用．
根据圆心角与弧的关系可求得的度数，从而即可求解．
【详解】∵
∴，
∴，
∴，
∴弧度数等于．
故答案为：．
21．（2024·江苏南京·二模）如图，，，，是上的四个点，，的延长线相交于点，，相交于点．若，，则的度数是____°．
【答案】21
【知识点】三角形的外角的定义及性质、圆周角定理
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质．根据三角形的外角性质得到，根据圆周角定理得到，再根据三角形的外角性质列方程，解方程得到答案．
【详解】解：∵是的外角，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点3】垂径定理及其应用（第22-29题）
22．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知这两个定理的用法是正确解答此题的关键．
根据垂径定理得出的长，根据勾股定理得，即可求解．
【详解】解： 的直径垂直弦于点E，且，，
，
在中，，
，
故答案为：B．
23．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，的半径为，弦，是弦上的动点，则不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】先过点作于点，连接，由垂径定理求出，再根据勾股定理求得，进而可求出的取值范围．
【详解】解：过点作于点，连接，
依题意得：，，
，
，
，
，
四个选项中只有符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理、垂线段最短，解题关键是作出辅助线，构造出直角三角形．
24．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】利用垂径定理求值
【分析】通过垂直弦这一条件想到垂径定理得到，再利用勾股定理构造方程求解即可．
【详解】解：
连接，
∵，且，
∴，
设圆的半径为R，
∵，
则在中，有即，
解得，即，
故选项D符合题意．
25．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，为的两条弦，若，则的半径为_____．（请用含m的代数式表示）
【答案】/
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、圆周角定理、利用垂径定理求值
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质和判定等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．连接，作分别垂直与和，连接，设的半径为r．可得四边形为矩形，，和中根据勾股定理可得，再根据勾股定理可得，由此可得结论．
【详解】解：连接，作分别垂直与和，连接，设的半径为r．
∵分别垂直和，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
在和中，根据勾股定理
，
∴
，
∴．
故答案为．
26．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，C为圆上一点是弧的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长为______．
【答案】2
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、垂径定理的推论
【分析】本题主要考查垂径定理的推论、勾股定理、全等三角形的性质与判定及圆周角的性质，熟练掌握垂径定理的推论、勾股定理、全等三角形的性质与判定及圆周角的性质是解题的关键；连接，交于点F，由题意易得，则有，然后可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：连接，交于点F，如图所示：
∵点D是弧的中点，是的半径，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
解得：，负值舍去，
∴．
故答案为：2．
27．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、利用垂径定理求值
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，根据勾股定理、垂径定理求出的长是解题的关键．
过O作于H，由垂径定理得到，由勾股定理求出，当C和H重合时，的最小值是，当是圆直径时，的值最大是，即可得到的取值范围．
【详解】解：过O作于H，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴当C和H重合时，的最小值是4，的最小值是，
当是圆直径时，的值最大是，
∴的取值范围是．
故答案为：．
28．（24-25九年级下·河南南阳·开学考试）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，则的长．
【答案】(1)
证明：连接，如图所示，
∵，是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、圆周角定理、利用垂径定理求值
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
（1）连接，根据垂径定理得出，证明，由圆周角定理得，即可得出结论；
（2）由垂径定理得，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，即可得出答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，是直径，
∴，，
∴，
∴，
∴．
29．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径．
【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用、利用垂径定理求值
【分析】根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
，
．
，
是等腰直角三角形，
在中，．
这个管道横截面的半径为．
【考点4】圆周角定理与正多边形（第30-41题）
30．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，正五边形内接于，为上一点（点与点、不重合），连接、，，垂足为，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理
【分析】本题考查正多边形的性质，圆周角定理等知识，连接．求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论．
【详解】解：连接．
在正五边形中，，
，
，
，
故选：B．
31．（2026·广西柳州·一模）如图，正六边形内接于，半径为，若G为的中点，连接，则的长度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、圆周角定理、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆周角定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
连接，根据正六边形的性质可得 为的直径，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而求出，根据为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接
正六边形内接于，
∴ 为的直径．
又，
是等边三角形，
．
∵是的直径，
∴,，
∴在中，，
是的中点，
，
在中，
．
故选：B．
32．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为________（用含的式子表示）．
【答案】
【知识点】切线的性质定理、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．
连接，利用切线的性质得到，根据直角三角形两锐角互余得到，即可利用圆周角定理求出的度数．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
33．（23-24九年级下·全国·课后作业）学校有一个圆形花坛，要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为下列所给图中符合设计要求的图案是___________．（将所有符合设计要求的图案序号填上）
【答案】②③④
【知识点】圆的基本概念辨析
【分析】本题考查了圆的基本性质，根据圆的旋转不变性即可解决．
【详解】解：∵要求将它三等分
∴①是不正确的；
②和③都是首先把圆三等分，
根据圆的旋转不变性，在每一部分内做了相同的图形；
④是把圆六等分，每一种占其中的2份．
∴②③④符合要求．
故答案为：②③④
34．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为___________．
【答案】
【知识点】勾股定理与网格问题、判断三角形外接圆的圆心位置
【分析】本题考查的是确定圆弧所在圆的圆心，勾股定理的应用，如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，再利用勾股定理可得答案.
【详解】解：如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，
∴为圆心，
∴半径，
故答案为：
35．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________．
【答案】G
【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点G， 则点G即为所求作的点．
【详解】解：如图，点G即为所求作的点．
故答案为：G．
36．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，内接于，，，为的直径，________ ．
【答案】
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、等边对等角、同弧或等弧所对的圆周角相等、圆周角定理
【分析】由内接于，，，可得等腰三角形中； 由直径所对的圆周角为直角，可得中；再由同弧所对的圆周角相等可得，进而得出；再由，即可求得的度数．
【详解】解：∵内接于，，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴在中，
又∵，
∴，
∵，
∴．
37．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是__________．
【答案】
【知识点】确定圆心(尺规作图)、利用垂径定理求值
【分析】本题考查了垂径定理，先利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为E点，利用垂径定理的推论可判断点E为该圆弧所在圆的圆心，连接，利用勾股定理计算出即可．
【详解】解：作和的垂直平分线，它们的交点为E点，则点E为该圆弧所在圆的圆心，
连接，
由勾股定理得，，
即圆弧所在圆的半径是，
故答案为：．
38．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平面直角坐标系中有一个．
(1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O；
(2)的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______；
(3)该圆圆心到弦的距离为______．
【答案】(1)
如图，点O即为所求；
(2)，
(3)
【知识点】勾股定理与网格问题、判断三角形外接圆的圆心位置、利用垂径定理求值
【分析】本题考查了作外接圆的圆心，网格与勾股定理，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据外接圆是垂直平分线的交点，故作出，的垂直平分线，它们的交点即为外接圆的圆心O，即可作答．
（2）观察（1）中的图，得出点O的坐标为，结合网格与勾股定理的性质，得出外接圆的半径
（3）取的中点H，连接结合垂径定理，得，得该圆圆心到弦的距离为即可作答．
【详解】（1）略
（2）解：观察（1）中的图，得出点O的坐标为，外接圆的半径
故答案为：，；
（3）解：取的中点H，连接，
，，
，
该圆圆心到弦的距离为，
故答案为：．
39．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在 5×5 的正方形网格中，点A，B，C 都在小正方形的顶点上， 一条圆弧经过A ，B ，C 三点．
(1)请你确定这条圆弧所在圆的圆心 O；连接，则的度数为 ；
(2)设最小正方形的边长为1，求的长（结果保留根号）．
【答案】(1)
图中点O即为所求．
(2)
【知识点】勾股定理与网格问题、确定圆心(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、求弧长
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、勾股定理、圆心的缺点等知识，正确确定圆心是解题的关键．
（1）线段、线段的垂直平分线的交点即为圆心O．图中点O即为所求．易知，即可推出；
（2）利用弧长公式计算即可解答．
【详解】（1）解：线段、线段的垂直平分线的交点即为圆心O．
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
故答案为：．
（2）解：在中，
∵，
∴的弧长．
40．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，C为圆上一点，的平分线交于点D．若，求的度数．
【答案】
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、三角形内角和定理的应用
【分析】先证明，求解，进一步可得答案.
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴.
41．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、、，
(1)利用网格线画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D（保留作图痕迹）；D点的坐标为________；
(2)的半径为________，的度数为________；
(3)点M是第一象限网格中的一个格点，当时，点M的坐标为________．
【答案】(1)如图，
(2)，
(3)（答案不唯一）
【知识点】圆的基本概念辨析、一次函数与几何综合、求三角形外心坐标、判断三边能否构成直角三角形
【分析】（1）如图，连接，，，作，的垂直平分线，交于点，再进一步可得答案；
（2）利用勾股定理分别求解圆的半径，再判断为直角三角形即可；
（3）分别求解直线，的解析式，再进一步解答即可．
【详解】（1）解：连接，，，作，的垂直平分线，交于点，
∴即为所求，；
（2）解：∵，，，
∴；，，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
∵，
∴设直线为，
∵，
∴，
∴，
∴直线为，
当时，，
当时，，
∴当点M是第一象限网格中的一个格点时，或（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是作三角形的外接圆的圆心，线段的垂直平分线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，一次函数的应用，坐标与图形，掌握以上基础知识是解本题的关键．
【考点5】圆的综合证明与计算（第42-52题）
42．（2025·浙江·模拟预测）如图，以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形由，，，组成是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若，则封闭图形的周长是______．
【答案】/
【知识点】等边三角形的性质、利用弧、弦、圆心角的关系求解、求弧长
【分析】连接，如图，先根据等边三角形的性质得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用画法得到，所以，所以封闭图形ABCD的周长的长，然后根据弧长公式计算即可．
本题考查了弧长的计算，弧长公式：其中n为圆心角的度数，R为圆的半径也考查了等边三角形的性质．
【详解】解：连接，如图，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
封闭图形的周长的长
故答案为：
43．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，点O为平行四边形内一点，以点O为圆心，为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为_____．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、利用垂径定理求值
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，利用勾股定理建立方程求解．
延长交于点，连接，可得，由垂径定理得到，则，设，则，再在中运用勾股定理建立方程求解．
【详解】解：延长交于点，连接，
∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴，
∴，
设，则，
∵，
，
解得，
∴的半径为，
故答案为：．
44．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为_____．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离、利用垂径定理求值
【分析】如图所示，设直线与交于，过点作于，连接，先证明当点与点重合时，最小，即此时最小，再由求出，可得，解得．
【详解】解：如图所示，设直线与交于，过点作于，连接，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴当最小时，最大.
∵，
∴当点与点重合时，最大，
∵直线关于的“圆截距”的最小值为，即，
∴，
∴.
∵，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
45．（2024·黑龙江佳木斯·三模）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为， ，垂足为，， 的半径，则圆盘离桌面最近的距离是______．
【答案】
【知识点】垂线的定义理解、用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用、根据矩形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值
【分析】如详解图：连结、，过点作于、交于、交于，由已知条件可得四边形是矩形，再根据垂径定理求出的值，进而求得的值，最后求得的值，就是圆盘离桌面最近的距离．
【详解】
解：连结、，过点作于、交于、交于，
、 ，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
．
46．（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)
证明：过O作于M，连接、，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
(2)
证明：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
．
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、利用垂径定理求值
【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键
（1）过O作于M，连接、，利用等腰三角形三线合一证明，，则问题可证；
（2）利用等腰三角形三线合一，可证明，，进行角的组合可证明，利用圆心角、弦、弧的关系，即可证．
【详解】（1）略
（2）略
47．（25-26九年级上·河北·单元复习）已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，当时，求半径的长．
【答案】(1)
证明：连接，
∵为直径
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、圆周角定理、利用垂径定理求值
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理，
对于（1），连接，根据直径所对的圆周角是直角得，
再根据同角的余角相等得，然后根据同弧所对的圆周角相等得，即可得出答案；
对于（2），连接，先说明，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出方程，求出解即可.
【详解】（1）略
（2）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
在中，，
∴，
设的半径为x，，
∵，
∴ ，
解得，
∴的半径为.
48．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知一根排水管的截面圆直径为．
(1)如图1所示，当水面宽时，求水面的最大深度；
(2)在图1的情况下，如果排水量增大，当水面上升到宽度时，求水面上升了多少厘米？
【答案】(1)
(2)或
【知识点】垂径定理的实际应用
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
（1）连接，过点作垂足为，交于．由垂径定理可得出的长，由即可得出结论；
（2）分水面在水面平行的直径下方和水面在水面平行的直径上方，两种情况结合垂径定理和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：连接，过点作垂足为，交于．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：水面的最大深度是．
（2）解：①当水面在与水面平行的直径下方．
过点作于点，
且与交于点，
∵，，
∴，，
在中，，
∴；
在中，
，
上升的距离为；
②当水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点，
同理可得：，，
∴上升的距离为：．
答：排水管水面上升了或．
49．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，是的直径，点C、D在上，，，垂足分别为E，F，且，与相等吗？为什么？
【答案】，理由如下：
，连接
∵
∴
又∵
∴
∴，
∵，
∴．
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质及圆心角、弧、弦的关系．在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．连接，欲证与相等，先证、关系，证明即可．
【详解】略．
50．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦（非直径），以A为圆心，为半径画弧，交于点C，以B为圆心，为半径画弧，交于点D，C，D位于的两侧，连接．
(1)求证：．
(2)连接，若，，求的长．（结果保留）
【答案】(1)
证明：连接，
由题可得，
∴，均为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、求弧长
【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，求弧长；
（1）连接，由作图可知，均为等边三角形，进而得到，等角对等弧，得到，进而得到，即可得证；
（2）求出，利用弧长公式进行求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
∵，即半径为5，
∴．
51．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，正方形与正方形有公共顶点，连接、、，，．
(1)求线段的长．
(2)若点是平面内一动点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】圆的基本概念辨析、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明
【分析】（1）证明，即可求出．
（2）根据则判断出点在以为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线，且在上时，最小，即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵正方形与正方形，
∴，，
，
，
，
，
∴，
．
（2）解：∵，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当三点共线，且在上时，最小，最小值．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的概念，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明三角形相似．
52．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知是的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．若点C是的中点．
(1)求的度数；
(2)若，求的值；
【答案】(1)
(2)2
【知识点】三线合一、利用弧、弦、圆心角的关系求解、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，根据三线合一得到，再根据等弧所对圆心角相等得到，推出，即可求解；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵C是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴．
💯 课后巩固
复习建议
· 圆概念要清晰
· 垂径定理常用
· 见直径想直角
· 圆周角记一半
· 综合题连半径
【作业1】．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】圆的基本概念辨析
【分析】本题考查的是对圆的认识，弦，直径，弧，半圆，等弧的概念，对每个命题进行判断，然后作出选择．
【详解】解：①直径是弦，故原说法正确；
②弦不一定是直径，故原说法错误；
③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，所以长度相等的两条弧是等弧，故原说法错误；
所以，正确的命题有①③共2个．
故选：B．
【作业2】．（2026·云南昆明·二模）已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（ ）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定
【答案】C
【知识点】判断点与圆的位置关系
【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系．
【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且，
∴点A在外．
【作业3】．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的弦所对的弧相等
B．圆心角相等，其所对的弦相等
C．在同圆或等圆中，圆心角不等（除和为外），所对的弦不相等
D．弦相等，它所对的圆心角相等
【答案】C
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、判断命题真假
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．
圆心角、弧、弦的关系必须在同圆或等圆中才成立；选项C明确指定前提，是真命题．
【详解】解：∵在同圆或等圆中，圆心角不等（除和为外），所对的弦不相等，选项C正确，符合题意；
∵A、B、D均缺乏“在同圆或等圆中”的前提，∴可能不成立，均不符合题意；
故选：C．
【作业4】．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，已知点，，，都在上，，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理、利用垂径定理求解其他问题
【分析】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角与弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解： ，
，故A正确；
，
，
，
，故B正确；
，
，故C错误；
，，
，故D正确；
故选：C．
【作业5】．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段检测）点、、是上不同的三点，已知，则____度．
【答案】140或60
【知识点】圆周角定理
【分析】分两种情况：当点在优弧上时，当点在劣弧上时，然后分别进行计算即可解答．
【详解】根据圆周角定理，可知一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此得
解：分两种情况：
如图，当点在优弧上时，
∵，，
∴ ，
∴；
如图，当点在劣弧上时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述：的度数为或．
【作业6】．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有_______．（填序号）
【答案】①③④
【知识点】圆的基本概念辨析
【分析】本题考查了圆的认识．利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故原说法错误；
②半圆是弧，说法正确；
③过圆心的弦是直径，故原说法错误；
④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故原说法错误．
故答案为：①③④．
【作业7】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”）
【答案】内
【知识点】判断点与圆的位置关系
【分析】比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据点与圆的位置关系判断点的位置即可．
【详解】解：∵的半径为，
∴的半径，
∵点到圆心的距离，
∴，
∴点在内．
【作业8】．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为____________．
【答案】/60度
【知识点】圆心角概念辨析及简单运算、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质， 连接、，证明为等边三角形得到即可，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接、，
直径为，
，
而，
，
为等边三角形，
，
即弦所对的圆心角是．
故答案为：．
【作业9】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______．
【答案】
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，关键是掌握圆心角和它所对的弧的度数相等．
连接，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，得到的度数．
【详解】解：连接，
∵，
，
，
，
，
∴的度数，
故答案为：
【作业10】．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，弦的长为，圆心O到的垂线段长为，则半径的长为 ______．
【答案】5
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧．熟练掌握垂径定理是解题关键．根据垂径定理得出，利用勾股定理求出的长即可得答案．
【详解】解：∵弦的长为，圆心到的垂线段长为，
∴，
∴．
故答案为：．
【作业11】．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图， 四边形内接于，，若的半径是3，，则的长为__________．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用垂径定理求值
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，弦，弧，圆心角的关系，勾股定理的应用，过作交于，交于，证明，，，，再进一步求解即可．
【详解】解：过作交于，交于，而，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的半径是3，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【作业12】．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，弦垂直平分半径．
(1)求的度数；
(2)若的半径为，求弦的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、利用垂径定理求解其他问题
【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
（【作业12】）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果；
（【作业12】）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：弦垂直平分半径．
，，
，
，
，
是等边三角形，
；
（2）解：的半径为，
垂直平分半径，
，，
在中，，
即，
解得：或（舍去），
弦的长为．
【作业13】．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：．
【答案】
证明：如图：连接．
∵于M，于N．
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理的推论
【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
连接．由垂径定理结合可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】略．
【作业14】．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，点，，，在在中，若，求证：．
【答案】
证明：
，
，
，
．
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证
【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系，根据同圆中，等弧所对的弦相等，反之亦然，先证明，进而证明，则．
【详解】略
【作业15】．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，已知．求证：．
【答案】
证明：如图，连接，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【知识点】等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求证、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握相等的圆心角所对的弦相等是解题关键．
连接、，证得，得，根据相等的圆心角所对的弦相等即可得证．
【详解】略
【作业16】．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）如图是的直径，弦于点，连接，若，．
(1)求弦的长．
(2)连接、，若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、圆周角定理、利用垂径定理求值
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
（1）根据垂径定理得到，根据题意得到，在中，由勾股定理即可得到答案；
（2）由圆周角定理可得，由直径所对的圆周角是直角可得，即可得解．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
，
，
在中，，
；
（2）解：如图，连接、，
，
，
是的直径，
，
．
【作业17】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点A，B，C，D在上，，求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证
【分析】根据两个等弧同时加上同一段弧后两弧仍然相等，再通过同弧所对的弦相等，即可证明．
【详解】略
【作业18】．（25-26九年级上·浙江·课后作业）弦把分成，连接、，过的中点A作，交于B，求的度数．
【答案】
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用垂径定理求值、 求圆弧的度数
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，垂直平分线的性质，借助辅助线构造等边三角形是解题关键．
连接、、，延长交于点C，利用弦把分成1:3，可计算出，由于，所以，由于点A为的中点，可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可判断为等边三角形，则，根据，可求的度数．
【详解】解：如图，连接、、，
∵弦把分成，
∴，
∵，
∴，
∵点A为的中点，
∴点C为的中点，
即垂直平分，
∴，
而，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的度数为．
答：的度数为．
1
2
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第6讲 圆的基本性质 优等生讲义
（知识梳理典例练习）2026年浙教版九年级数学上册
📌 思维导图
🎯 课程目标
· 掌握圆的基本概念与点圆位置关系
· 理解圆心角弧弦关系
· 熟练垂径定理应用
· 掌握圆周角定理与正多边形
· 解决圆的综合证明计算
📚 知识梳理
☆ 1.圆的基本概念与点和圆的位置关系
弦/直径/弧/半圆/等弧定义
点在圆内d<r/圆上d=r/圆外d>r
外心=三边中垂线交点
不在同一直线上三点确定一个圆
概念辨析例题：⊙O半径5，点P到O距离3，判断P位置。
答案：P在圆内。
解析：d=3<r=5，故P在圆内。
☆ 2.圆心角、弧、弦的关系
同圆或等圆中，相等圆心角对等弧对等弦
圆心角定理：圆心角=所对弧的度数
弧的度数=所对圆心角度数
注意弦与弧的区别
概念辨析例题：⊙O中∠AOB=60°，求AB弧度数。
答案：60°。
解析：弧度数=圆心角度数=60°。
☆ 3.垂径定理及其应用
垂直于弦的直径平分弦及所对弧
推论：平分非直径弦的直径垂直于弦
半径r、弦心距d、半弦长a满足r2=d2+a2
构造直角三角形用勾股定理
概念辨析例题：⊙O半径5，弦AB=8，求弦心距。
答案：3。
解析：r2=d2+42，25=d2+16，d=3。
☆ 4.圆周角定理与正多边形
圆周角=同弧所对圆心角的一半
直径所对圆周角=90°
圆内接四边形对角互补
正n边形中心角=
概念辨析例题：AB是⊙O直径，C在圆上，∠BAC=30°，求∠B。
答案：60°。
解析：∠ACB=90°，∠B=90°-30°=60°。
📋 知识总结表
核心概念
公式/性质
注意事项
点与圆位置
d<r/d=r/d>r
d为点到圆心距离
圆心角
同圆等圆对等弧对等弦
注意前提条件
垂径定理
r2=d2+a2
构造直角三角形
圆周角定理
圆周角=圆心角
同弧所对
直径性质
直径所对圆周角=90°
见直径想直角
正多边形
中心角=
n为边数
⚠️ 核心考点
【考点1】圆的基本概念与点和圆的位置关系（第1-11题）
· 熟记弦弧直径定义
· 点圆位置比d与r
· 外心位置随三角形形状
1．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知的半径是，则中最长弦长是 （ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法正确的是（ ）
A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意一点
B．同一平面内，过两点A，B的圆的圆心在一条直线上
C．过三点A，B，C的圆的圆心有且只有一个
D．过四点A，B，C，D的圆不存在
3．（25-26九年级下·全国·单元复习）下列语句中，不正确的有（ ）
相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；长度相等的两条弧是等弧；三点确定一个圆．
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧
C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径
5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
6．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交于点，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，半径为4．若点A在内，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
8．（25-26九年级上·北京·期中）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在中点D处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是______．
9．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________．
10．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过________秒，点P在上
11．（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由．
【考点2】圆心角、弧、弦的关系（第12-21题）
12．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③
13．（2025·云南楚雄·三模）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
14．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
15．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，则下列结论正确的有（ ）个．
①，②，③；④
A．4 B．3 C．2 D．1
16．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
17．（23-24九年级上·天津滨海新区·期中）如图，是的直径，，，则_____．
18．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为_______．
19．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，，，则的度数为________．
20．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于_____．
21．（2024·江苏南京·二模）如图，，，，是上的四个点，，的延长线相交于点，，相交于点．若，，则的度数是____°．
【考点3】垂径定理及其应用（第22-29题）
22．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，的半径为，弦，是弦上的动点，则不可能为（ ）
A． B． C． D．
24．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
25．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，为的两条弦，若，则的半径为_____．（请用含m的代数式表示）
26．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，C为圆上一点是弧的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长为______．
27．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______．
28．（24-25九年级下·河南南阳·开学考试）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，则的长．
∵，是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
29．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径．
【考点4】圆周角定理与正多边形（第30-41题）
30．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，正五边形内接于，为上一点（点与点、不重合），连接、，，垂足为，的度数为（ ）
A． B． C． D．
31．（2026·广西柳州·一模）如图，正六边形内接于，半径为，若G为的中点，连接，则的长度为（ ）．
A． B． C． D．
32．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为________（用含的式子表示）．
33．（23-24九年级下·全国·课后作业）学校有一个圆形花坛，要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为下列所给图中符合设计要求的图案是___________．（将所有符合设计要求的图案序号填上）
34．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为___________．
35．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________．
36．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，内接于，，，为的直径，________ ．
37．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是__________．
38．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平面直角坐标系中有一个．
(1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O；
(2)的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______；
(3)该圆圆心到弦的距离为______．
39．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在 5×5 的正方形网格中，点A，B，C 都在小正方形的顶点上， 一条圆弧经过A ，B ，C 三点．
(1)请你确定这条圆弧所在圆的圆心 O；连接，则的度数为 ；
(2)设最小正方形的边长为1，求的长（结果保留根号）．
40．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，C为圆上一点，的平分线交于点D．若，求的度数．
41．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、、，
(1)利用网格线画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D（保留作图痕迹）；D点的坐标为________；
(2)的半径为________，的度数为________；
(3)点M是第一象限网格中的一个格点，当时，点M的坐标为________．
【考点5】圆的综合证明与计算（第42-52题）
42．（2025·浙江·模拟预测）如图，以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形由，，，组成是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若，则封闭图形的周长是______．
43．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，点O为平行四边形内一点，以点O为圆心，为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为_____．
44．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为_____．
45．（2024·黑龙江佳木斯·三模）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为， ，垂足为，， 的半径，则圆盘离桌面最近的距离是______．
46．（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
47．（25-26九年级上·河北·单元复习）已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，当时，求半径的长．
48．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知一根排水管的截面圆直径为．
(1)如图1所示，当水面宽时，求水面的最大深度；
(2)在图1的情况下，如果排水量增大，当水面上升到宽度时，求水面上升了多少厘米？
49．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，是的直径，点C、D在上，，，垂足分别为E，F，且，与相等吗？为什么？
50．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦（非直径），以A为圆心，为半径画弧，交于点C，以B为圆心，为半径画弧，交于点D，C，D位于的两侧，连接．
(1)求证：．
(2)连接，若，，求的长．（结果保留）
51．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，正方形与正方形有公共顶点，连接、、，，．
(1)求线段的长．
(2)若点是平面内一动点，求的最小值．
52．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知是的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．若点C是的中点．
(1)求的度数；
(2)若，求的值；
💯 课后巩固
复习建议
· 圆概念要清晰
· 垂径定理常用
· 见直径想直角
· 圆周角记一半
· 综合题连半径
【作业1】．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【作业2】．（2026·云南昆明·二模）已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（ ）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定
【作业3】．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的弦所对的弧相等
B．圆心角相等，其所对的弦相等
C．在同圆或等圆中，圆心角不等（除和为外），所对的弦不相等
D．弦相等，它所对的圆心角相等
【作业4】．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，已知点，，，都在上，，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【作业5】．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段检测）点、、是上不同的三点，已知，则____度．
【作业6】．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有_______．（填序号）
【作业7】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”）
【作业8】．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为____________．
【作业9】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______．
【作业10】．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，弦的长为，圆心O到的垂线段长为，则半径的长为 ______．
【作业11】．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图， 四边形内接于，，若的半径是3，，则的长为__________．
【作业12】．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，弦垂直平分半径．
(1)求的度数；
(2)若的半径为，求弦的长．
【作业13】．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：．
【作业14】．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，点，，，在在中，若，求证：．
【作业15】．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，已知．求证：．
【作业16】．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）如图是的直径，弦于点，连接，若，．
(1)求弦的长．
(2)连接、，若，求的度数．
【作业17】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点A，B，C，D在上，，求证：．
【作业18】．（25-26九年级上·浙江·课后作业）弦把分成，连接、，过的中点A作，交于B，求的度数．
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