第1章·二次函数·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第1章·二次函数·期中复习·满分压轴讲义 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深刻理解二次函数的概念，能根据定义求二次项系数中的参数，并能识别各种变形是否为二次函数 · 掌握二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质，能由图象判断a、b、c及判别式的符号 · 熟练用配方法化顶点式，能根据已知条件灵活选用一般式、顶点式、交点式求解析式 · 理解二次函数与一元二次方程、不等式的关系，能借助图象求方程根与不等式解集 · 能建立坐标系解决投球、拱桥、营销等实际问题的最值与综合压轴应用 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的概念 一般地，形如 y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，其中a、b、c分别是二次项、一次项系数和常数项 识别二次函数的关键是二次项系数a≠0：a=0时退化为一次函数或常数函数 由定义求参数：令最高次项次数等于2，同时保证二次项系数不为0，两者缺一不可 列二次函数关系式：先找等量关系，再用含自变量x的式子表示函数y，并注意自变量取值范围 概念辨析例题：已知函数 y=(m-2)xm^{2}-2+3x-1 是关于x的二次函数，求m的值 答案：m=-2 解析：由二次函数定义需同时满足：m2-2=2 且 m-2≠0。由 m2-2=2 得 m=±2；又 m-2≠0 即 m≠2，故 m=-2。 ☆ 2.二次函数的图象与性质 抛物线 y=ax2+bx+c 的开口方向由a决定：a>0向上，a<0向下；|a|越大开口越小 对称轴为直线 x=-，顶点坐标为 (-, ) a、b同号对称轴在y轴左侧，异号在右侧；c决定抛物线与y轴交点(0,c) 判别式 Δ=b2-4ac：Δ>0时与x轴有两个交点，Δ=0时一个交点，Δ<0时无交点 比较函数值大小：利用对称性把各点转化到对称轴同侧，再看增减性 概念辨析例题：已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且过点(3,0)。判断下列结论：①b2>4ac；②abc<0 答案：①正确，②需结合c判断 解析：开口向上a>0；对称轴x=1即-b/2a=1，故b=-2a<0；过(3,0)说明与x轴有交点，Δ=b2-4ac>0即b2>4ac；c的符号由图象与y轴交点位置确定。 ☆ 3.二次函数解析式的求法与平移 一般式 y=ax2+bx+c：已知图象上三个点的坐标时选用 顶点式 y=a(x-h)2+k：已知顶点坐标或对称轴与另一点时选用 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)：已知抛物线与x轴两个交点时选用 平移规律：左加右减（对h）、上加下减（对k）；平移前后a不变 配方法：提取二次项系数后，加上并减去一次项系数一半的平方 概念辨析例题：已知二次函数图象的顶点为(1,-4)，且经过点(0,-3)，求解析式 答案：y=(x-1)2-4=x2-2x-3 解析：设顶点式 y=a(x-1)2-4；代入(0,-3)得 a(0-1)2-4=-3，解得a=1；故 y=(x-1)2-4。 ☆ 4.二次函数与方程、不等式及实际应用 抛物线与x轴交点的横坐标就是方程 ax2+bx+c=0 的根 y>0对应图象在x轴上方的x范围，y<0对应下方范围 实际应用：先建立平面直角坐标系，把已知点坐标化，再求抛物线解析式 最值问题：利润最大、面积最大等，先建立函数关系式再求顶点处最值 实际问题求出最值后，必须检验结果是否在自变量的实际取值范围内 概念辨析例题：用长为20m的篱笆一面靠墙围矩形花圃，设垂直于墙的边长为x m，求最大面积 答案：当x=5 m时，最大面积为50 m2 解析：平行于墙的边长为(20-2x)m，面积 S=x(20-2x)=-2x2+20x=-2(x-5)2+50；a=-2<0，当x=5时S取最大值50 m2。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数定义 y=ax2+bx+c（a≠0） a≠0是关键 开口方向 a>0向上，a<0向下 |a|越大开口越小 对称轴 直线 x=- 顶点式中为x=h 顶点坐标 (-, ) 顶点式中为(h,k) 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0两交点、=0相切、<0无交点 解析式求法 一般式/顶点式/交点式 按已知条件灵活选用 实际应用 建坐标系求最值 注意自变量取值范围 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与识别（第1-3题） · 识别二次函数抓住a≠0：y=ax2+bx+c中二次项系数不能为0 · 由定义求参数时先令最高次项次数为2，再保证二次项系数不为0 · 列实际问题关系式先找等量关系，再用含x的式子表示y 1．（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 3．（24-25九年级上·广西防城港·期中）已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 【考点2】二次函数的图象与系数符号（第4-5题） · 开口方向由a决定，对称轴位置由a、b符号共同决定 · c决定与y轴交点(0,c)的位置，Δ决定与x轴交点个数 · 判断a、b、c及b2-4ac符号要结合开口、对称轴、与y轴和x轴交点综合分析 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【考点3】顶点式、最值与图象平移（第6-14题） · 配方法化顶点式是核心：提取二次项系数后配方 · 平移规律左加右减、上加下减，平移前后a不变 · 给定范围求最值时，先判断顶点是否在取值范围内，再比较端点 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）用配方法将二次函数化成顶点式的形式，下列正确的为（     ） A． B． C． D． 7．（2025·河北唐山·二模）已知二次函数的图象与其向下平移m个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则m的值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．28 8．（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 __； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ___． 10．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）当时，函数有最大值______． 11．（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 12．（2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系运动中，已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)图象上有两点． ①若，求的值； ②探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 13．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数． (1)直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)当时，相应函数值的取值范围是________． 14．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【考点4】二次函数与方程、不等式及交点（第15-23题） · 抛物线与x轴交点的横坐标就是方程的根 · 解不等式看图象在x轴上方或下方对应的x范围 · 利用对称性把各点转化到对称轴同侧，再看增减性比较函数值 15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知关于x的方程，它的实数解的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 17．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过与两点，关于x的方程有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程有两个整数根，则这两个整数根分别为_____． 19．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）二次函数的部分对应值如下表： 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 20．（25-26九年级上·贵州·期末）二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A． B． C． D． 21．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 22．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 23．（2026九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【考点5】待定系数法求解析式与综合（第24-30题） · 已知三点设一般式，已知顶点设顶点式，已知交点设交点式 · 待定系数法的关键是正确解方程组，代入点坐标时注意符号 · 求出解析式后要回代已知点检验是否吻合 24．（2026·陕西西安·模拟预测）在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为轴，以枝干所在直线为轴建立平面直角坐标系，两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点的坐标为．右侧叶尖距离地面，与枝干的水平距离为． (1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式； (2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取一点，过点作轴的垂线交下方轮廓于点，求的最大值． 25．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 26．（2024·上海金山·二模）已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 27．（2026·山西临汾·一模）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（    ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．图象经过第三、第四象限 D．当时，随的增大而增大 28．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 29．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知抛物线（a，b为常数，且）． (1)若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴； (2)若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． 30．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由． 【考点6】二次函数的实际应用（第31-40题） · 实际问题先建立平面直角坐标系，把已知条件转化为点的坐标 · 营销问题抓住利润=（售价-成本）×销售量，理清降价与销量的对应关系 · 投球、拱桥问题注意坐标系的选择，通常以顶点或水面为原点简化计算 31．（26-27九年级上·全国·课后作业）小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 32．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系可近似看作二次函数，图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（    ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．若，则小球的最大速度为 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 33．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 34．（2024·四川达州·一模）某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口.如图，要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求，最高点的五角星（点E）到的距离为0.5米，米，米，则点C到的距离为______米． 35．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 36．（2026·山东聊城·一模）篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______m时，水柱落点距离O点． 38．（25-26九年级上·浙江·单元复习）位于我市平远中行镇的秉虹桥，始建于明朝嘉靖年间，是赣粤盐米古道上一颗璀璨的明珠，它是形状大小相同的双孔石拱桥，每个孔内侧呈抛物线型，如图1，当一个孔的水面宽度为10米时，则拱顶离水面的高度为5米，若以一个孔的拱顶为坐标原点，桥面为x轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2，可计算出当一个孔的水面宽度为12米时，则拱顶离水面的高度为（    ）米． A．7.2 B．6.5 C．5.6 D．6 39．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（   ） A．3.7 B．4.1 C．4.5 D．5 40．（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元． (1)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数定义要抓住a≠0，求参数时先定次数再验系数 · 配方法化顶点式是核心，对称轴与顶点坐标公式要熟练 · 图象性质数形结合：开口、对称轴、顶点、最值对照图象记忆 · 解析式求法按已知条件选形式，待定系数法求出后要回代检验 · 实际应用先建坐标系列关系式，最值问题注意自变量取值范围 【作业1】．（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）四个二次函数的图象对应的函数关系式分别是①；②；③；④．则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解是（     ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 【作业4】．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）二次函数在范围内的最大值与最小值的差为______． 【作业6】．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【作业7】．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）二次函数的部分对应值如下表，则一元二次方程的解为________． 【作业8】．（2025·浙江杭州·三模）若二次函数有最大值为4，则的最小值是____． 【作业9】．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 【作业10】．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【作业11】．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)这个函数是二次函数吗？为什么？ (3)求自变量的取值范围． 【作业12】．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【作业13】．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深刻理解二次函数的概念，能根据定义求二次项系数中的参数，并能识别各种变形是否为二次函数 · 掌握二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质，能由图象判断a、b、c及判别式的符号 · 熟练用配方法化顶点式，能根据已知条件灵活选用一般式、顶点式、交点式求解析式 · 理解二次函数与一元二次方程、不等式的关系，能借助图象求方程根与不等式解集 · 能建立坐标系解决投球、拱桥、营销等实际问题的最值与综合压轴应用 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的概念 一般地，形如 y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，其中a、b、c分别是二次项、一次项系数和常数项 识别二次函数的关键是二次项系数a≠0：a=0时退化为一次函数或常数函数 由定义求参数：令最高次项次数等于2，同时保证二次项系数不为0，两者缺一不可 列二次函数关系式：先找等量关系，再用含自变量x的式子表示函数y，并注意自变量取值范围 概念辨析例题：已知函数 y=(m-2)xm^{2}-2+3x-1 是关于x的二次函数，求m的值 答案：m=-2 解析：由二次函数定义需同时满足：m2-2=2 且 m-2≠0。由 m2-2=2 得 m=±2；又 m-2≠0 即 m≠2，故 m=-2。 ☆ 2.二次函数的图象与性质 抛物线 y=ax2+bx+c 的开口方向由a决定：a>0向上，a<0向下；|a|越大开口越小 对称轴为直线 x=-，顶点坐标为 (-, ) a、b同号对称轴在y轴左侧，异号在右侧；c决定抛物线与y轴交点(0,c) 判别式 Δ=b2-4ac：Δ>0时与x轴有两个交点，Δ=0时一个交点，Δ<0时无交点 比较函数值大小：利用对称性把各点转化到对称轴同侧，再看增减性 概念辨析例题：已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且过点(3,0)。判断下列结论：①b2>4ac；②abc<0 答案：①正确，②需结合c判断 解析：开口向上a>0；对称轴x=1即-b/2a=1，故b=-2a<0；过(3,0)说明与x轴有交点，Δ=b2-4ac>0即b2>4ac；c的符号由图象与y轴交点位置确定。 ☆ 3.二次函数解析式的求法与平移 一般式 y=ax2+bx+c：已知图象上三个点的坐标时选用 顶点式 y=a(x-h)2+k：已知顶点坐标或对称轴与另一点时选用 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)：已知抛物线与x轴两个交点时选用 平移规律：左加右减（对h）、上加下减（对k）；平移前后a不变 配方法：提取二次项系数后，加上并减去一次项系数一半的平方 概念辨析例题：已知二次函数图象的顶点为(1,-4)，且经过点(0,-3)，求解析式 答案：y=(x-1)2-4=x2-2x-3 解析：设顶点式 y=a(x-1)2-4；代入(0,-3)得 a(0-1)2-4=-3，解得a=1；故 y=(x-1)2-4。 ☆ 4.二次函数与方程、不等式及实际应用 抛物线与x轴交点的横坐标就是方程 ax2+bx+c=0 的根 y>0对应图象在x轴上方的x范围，y<0对应下方范围 实际应用：先建立平面直角坐标系，把已知点坐标化，再求抛物线解析式 最值问题：利润最大、面积最大等，先建立函数关系式再求顶点处最值 实际问题求出最值后，必须检验结果是否在自变量的实际取值范围内 概念辨析例题：用长为20m的篱笆一面靠墙围矩形花圃，设垂直于墙的边长为x m，求最大面积 答案：当x=5 m时，最大面积为50 m2 解析：平行于墙的边长为(20-2x)m，面积 S=x(20-2x)=-2x2+20x=-2(x-5)2+50；a=-2<0，当x=5时S取最大值50 m2。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数定义 y=ax2+bx+c（a≠0） a≠0是关键 开口方向 a>0向上，a<0向下 |a|越大开口越小 对称轴 直线 x=- 顶点式中为x=h 顶点坐标 (-, ) 顶点式中为(h,k) 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0两交点、=0相切、<0无交点 解析式求法 一般式/顶点式/交点式 按已知条件灵活选用 实际应用 建坐标系求最值 注意自变量取值范围 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与识别（第1-3题） · 识别二次函数抓住a≠0：y=ax2+bx+c中二次项系数不能为0 · 由定义求参数时先令最高次项次数为2，再保证二次项系数不为0 · 列实际问题关系式先找等量关系，再用含x的式子表示y 1．（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【知识点】根据一次函数的定义求参数、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念，熟练掌握其概念并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）根据二次函数的概念得，且，求解即可； （2）根据一次函数的概念得且，，求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得，且， 解得 ∴时，该函数为二次函数； （2）解：依题意，当首项次数为1，且合并同类项后一次项系数不为零时， 且， 解得， 当首项系数为零时，， 解得和， 综上，，和时，该函数为一次函数． 3．（24-25九年级上·广西防城港·期中）已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1)且 (2) 【知识点】根据一次函数的定义求参数、根据二次函数的定义求参数 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据二次函数的定义即可求解； （2）根据一次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：由二次函数的概念可得 解得且； （2）解：由一次函数的概念可得 ， 解得：或，且， ∴． 【考点2】二次函数的图象与系数符号（第4-5题） · 开口方向由a决定，对称轴位置由a、b符号共同决定 · c决定与y轴交点(0,c)的位置，Δ决定与x轴交点个数 · 判断a、b、c及b2-4ac符号要结合开口、对称轴、与y轴和x轴交点综合分析 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点坐标为， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线. 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:C． 【考点3】顶点式、最值与图象平移（第6-14题） · 配方法化顶点式是核心：提取二次项系数后配方 · 平移规律左加右减、上加下减，平移前后a不变 · 给定范围求最值时，先判断顶点是否在取值范围内，再比较端点 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）用配方法将二次函数化成顶点式的形式，下列正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【详解】解：． 7．（2025·河北唐山·二模）已知二次函数的图象与其向下平移m个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则m的值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．28 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，以及函数平移规律，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．先求得抛物线与x轴的两个交点横坐标，再结合二次函数的图象向下平移m个单位后与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，得到平移后的解析式与x轴有两个交点其横坐标分别为，，利用交点式得到平移后的解析式，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：当时，解得，， 二次函数与x轴的两个交点横坐标为，， ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的距离为6， 二次函数的图象与其向下平移m个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 每相邻两点间的距离为； ∴平移后的抛物线与x轴有两个交点其横坐标分别为，， ∴平移后的抛物线解析式为 ∵平移后的解析式为， ∴， 解得， 故选：A． 8．（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 __； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ___． 【答案】 0 6或1/1或6 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】解：（1）当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0， 故答案为：0； （2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 10．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）当时，函数有最大值______． 【答案】4 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】对二次函数配方得到对称轴和顶点坐标，判断顶点横坐标在给定自变量区间内，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值． 【详解】解：先对函数配方得 ∵ 二次项系数 ∴ 二次函数图象开口向下，函数在顶点处取得最大值 ∵ 顶点横坐标为， 满足，即顶点横坐标在给定自变量范围内， ∴ 函数的最大值为． 11．（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 【答案】或 【知识点】根据一次函数增减性求参数、y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 12．（2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系运动中，已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)图象上有两点． ①若，求的值； ②探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①存在最小值为0 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查待定系数法、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①先由已知求得，再代入求得； ②由于，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由已知，二次函数的图象经过点， ∴， 解得． （2）解：①由题意，， ∴． ； ②存在最小值． 由， 得存在最小值为0． 13．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数． (1)直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)当时，相应函数值的取值范围是________． 【答案】(1)，直线 (2)所画函数图象如图所示 (3) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴； （2）先求出5个点的坐标，再描点、连线，即可得到抛物线的图象； （3）根据（2）中函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为，对称轴是直线； （2）解：由（1）得顶点坐标为， 当时，， ， ，， ∴与x轴交点为，， 当时，， ∵与关于直线对称， ∴当时，， ∴五个点为（、、、、，所画函数图象略． （3）解：当时，由图象可得：． 14．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值、根据正方形的性质求线段长 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 【考点4】二次函数与方程、不等式及交点（第15-23题） · 抛物线与x轴交点的横坐标就是方程的根 · 解不等式看图象在x轴上方或下方对应的x范围 · 利用对称性把各点转化到对称轴同侧，再看增减性比较函数值 15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知关于x的方程，它的实数解的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的交点问题，把方程的解的情况转化为二次函数，以及的交点个数问题，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 令，， 则：的解的个数，即为两个函数的交点的个数， 画出函数图象如图： 由图象可知，两个图象只有一个交点， ∴关于x的方程，只有1个实数解． 故选：B． 16．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、平行线的性质及三角形面积的计算，解题的关键是求出抛物线与坐标轴的交点，利用平行线确定点D的坐标，进而计算三角形面积． 先求抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标；由 得点D纵坐标与C相同，代入抛物线求D的横坐标，得的长；再求A到的距离，计算的面积． 【详解】解：∵抛物线， 令，则，解得或， ∴； 令，则， ∴． ∵（x轴）， ∴点D纵坐标为，代入抛物线得，解得（为点C）， ∴， 则，A到的距离为， ∴的面积 故选：B． 17．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求抛物线与y轴的交点坐标、根据交点确定不等式的解集 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过与两点，关于x的方程有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程有两个整数根，则这两个整数根分别为_____． 【答案】和2 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程的两个整数根，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数的图象经过与两点， ∴时，的两个根为和1，函数的对称轴是直线， 又∵关于x的方程有两个根，其中一个根是3， ∴方程的另一个根为， ∵关于x的方程有两个整数根， ∴抛物线与直线的交点的横坐标在与之间和1与3之间， ∴关于x的方程有两个整数根，这两个整数根是和2， 故答案为：和2． 19．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）二次函数的部分对应值如下表： 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数与x轴交点坐标求对称轴，结合开口方向比较函数值大小． 【详解】解：由表格知：二次函数与x轴交于点和，故图象对称轴为：直线， ∵当时，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴，该函数图象开口向上，函数值在对称轴两侧随距离增大而增大， ∵，，， ∴． 故答案为：． 20．（25-26九年级上·贵州·期末）二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴性质、二次函数与一元二次方程的关系及不等式的变形，熟练掌握二次函数对称轴与方程两根的对称关系是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，利用对称轴的性质得到两个根的对称关系．根据局部细节图确定较小根的取值范围．利用对称关系推导出较大根的取值范围，从而选出正确选项． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为， 设方程的两根为（）， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， 由局部图知， ∴， 即， 故选：C． 21．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 【答案】 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的性质．函数的图象和函数的图象交点的横坐标就是关于的一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 函数的图象和函数的图象一个交点的横坐标为， ∴一个交点的横坐标为， ∴关于的一元二次方程的解是． 故答案为：． 22．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据题意可得方程无实数根，再由根的判别式解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴方程无实数根， ∴且， 解得：． 23．（2026九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、折叠问题 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 【详解】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． 【考点5】待定系数法求解析式与综合（第24-30题） · 已知三点设一般式，已知顶点设顶点式，已知交点设交点式 · 待定系数法的关键是正确解方程组，代入点坐标时注意符号 · 求出解析式后要回代已知点检验是否吻合 24．（2026·陕西西安·模拟预测）在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为轴，以枝干所在直线为轴建立平面直角坐标系，两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点的坐标为．右侧叶尖距离地面，与枝干的水平距离为． (1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式； (2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取一点，过点作轴的垂线交下方轮廓于点，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，直接设顶点式；把已知点代入解析式求出系数a，即可得到抛物线表达式． （2）设两点横坐标相同，分别写出P、Q坐标；用上方点纵坐标减下方点纵坐标列出线段的二次函数关系式；对二次式配方，结合开口方向与自变量取值范围，求出最大值． 【详解】（1）解：由题意，得该抛物线的顶点坐标为．点的坐标为． 设这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点，分别在抛物线和抛物线上， ∴设点的坐标为（），点的坐标为， ． ，， ∴当时，的最大值为． 25．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 【答案】(1)，； (2)，或； (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为，进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得，解得， 把代入中得，解得； （2）解：联立，解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； （3）∵， ∴二次函数开口向上 ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． 26．（2024·上海金山·二模）已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 【答案】(1)，顶点P的坐标是 (2) ； 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）把点和点的坐标代入二次函数的解析式，用待定系数法求解即可； （2）先求直线的解析式，设Q点的坐标是，再根据抛物线平称的规律求解即可； 抛物线与y轴的交点是D（0，），分两种情况：或，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）由题意得：， ∴，抛物线的解析式为， ，顶点P的坐标是． （2）①设直线的解析式是， ∴， ∴， ∴直线的解析式是， 设Q点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是， ∵点B平移后得到的点C在x轴上， ∴抛物线向上平移了3个单位， ∴，即， ∴此时抛物线的解析式是，即． ②抛物线，与y轴的交点是D（0，）， 如果，即轴不合题意， 如果， ∵，， ∴， ∴， ∴， 作轴，则， ∴， ∵， ， ∴， 解得（不合题意，舍去）或， ∴， 此时抛物线的解析式是，即． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，二次函数的平移，二次函数与直角三角形综合，掌握二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的知识解决问题是解题的关键． 27．（2026·山西临汾·一模）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（    ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．图象经过第三、第四象限 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】先根据表格中y值相等的对应点求出二次函数对称轴，再用待定系数法求出解析式，结合二次函数性质逐一判断选项，找出错误结论． 【详解】解：∵和时，的值都为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项B结论正确，不符合要求； ∴抛物线的顶点坐标为， 设二次函数解析式为，将，代入得： ，解得， ∵， ∴图象开口向下，选项A结论正确，不符合要求； ∵二次函数解析式为，函数的最大值为，即所有点的纵坐标都小于0， ∴图象经过第三、四象限，选项C结论正确，不符合要求； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵满足， ∴当时，随的增大而减小，选项D结论错误，符合要求． 28．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 【答案】4 【知识点】新定义下的实数运算、分式加减乘除混合运算、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 29．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知抛物线（a，b为常数，且）． (1)若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴； (2)若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】（1）将点代入求得，再求解对称轴即可； （2）先求出平移之后的点，再将点和平移之后的点代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 则， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，所得点的坐标为， 将点，代入 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 30．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象与性质，正确求出二次函数解析式是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出，，求出直线的函数表达式为，设，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）作轴交BC于点E，求出直线的函数表达式为，设，求出，得，，根据的面积等于3得，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：令，解得或， ∵， ∴，， 如图1， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴ 解得， ∴直线的函数表达式为， 由（1）得抛物线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵， ∴线段有最大值为． （3）解：如图2，作轴交BC于点E， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得 ∴直线的函数表达式为， 设， 令，解得， 则， ∴， ∴的面积， ∵的面积等于3， ∴，解得或． 【考点6】二次函数的实际应用（第31-40题） · 实际问题先建立平面直角坐标系，把已知条件转化为点的坐标 · 营销问题抓住利润=（售价-成本）×销售量，理清降价与销量的对应关系 · 投球、拱桥问题注意坐标系的选择，通常以顶点或水面为原点简化计算 31．（26-27九年级上·全国·课后作业）小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 【答案】B 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入抛物线解析式，得到，则，又，则可知杯子高度． 【详解】解：， 点的坐标为，抛物线的对称轴为， ， ， 点的横坐标为：， 当时，， 点纵坐标为14， 点的纵坐标为， ， ，即杯子的高度为11． 32．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系可近似看作二次函数，图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（    ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．若，则小球的最大速度为 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】C 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可． 【详解】解：A、小球从刚开始接触弹簧速度并未开始减速，该选项错误，故不符合题意， B、由图象，抛物线的对称轴为直线， ∴的对称点为， 假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，函数值最大，最大值为， ∴若，在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为，该选项错误，不符合题意； C、由图象，可知当弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，该选项正确，符合题意； D、当弹簧的长度为时，被压缩了，即， 由图象可知，二次函数的对称轴是，则与对应的速度相等， ∴时，小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等，该选项错误，故不符合题意． 故选：C． 33．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为，根据题意得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为． 34．（2024·四川达州·一模）某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口.如图，要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求，最高点的五角星（点E）到的距离为0.5米，米，米，则点C到的距离为______米． 【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，建立如图所示平面直角坐标系，由待定系数法求函数解析式即可求解． 【详解】解：以过拱顶点E为原点，以过点E平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， ∵， ∴， ∵最高点的五角星（点 E）到的距离为0.5米， ∴，代入解析式得， ∴， ∵， ∴， 设，代入解析式得， ， ∴，即点C到的距离为米， 故答案为：． 35．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 【答案】(1)； (2)， 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）根据顶点坐标即可得到抛物线的解析式； （2）根据（1）所求求出点的坐标，再由对称性得到点的坐标，结合平行四边形的性质求解面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 顶点为， ∴对称轴为直线， 轴，交该抛物线于点和点， 关于直线对称， ， ， ∴． 36．（2026·山东聊城·一模）篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据表格数据和二次函数的性质逐项判断可得答案． 【详解】解：①根据表格数据，当时，，即发球机出球口离地面竖直高度为，故①正确； ②根据表格数据，当和时，， ∴该抛物线的对称轴为直线， 由题意，该抛物线的开口向下， ∴当时，y取得最大值， 即当篮球飞行水平距离为时，达到最大高度，故②错误； ③根据表格数据，当时，， 故当篮球飞行水平距离为时，篮球离地面竖直高度为，未落地，故③错误； ④设该抛物线的解析式为， 将时，，时，代入， 得，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴当时，，满足， 小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球，故④正确， 综上，正确的是①④，共2个． 37．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______m时，水柱落点距离O点． 【答案】 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数 在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质 是解题关键． 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设将代入解析式得出喷头高时，可设 将代入解析式得联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为将代入可求出． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得 ②； 联立可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， ∴此时的解析式为 将代入可得 解得 ， 故答案为：． 38．（25-26九年级上·浙江·单元复习）位于我市平远中行镇的秉虹桥，始建于明朝嘉靖年间，是赣粤盐米古道上一颗璀璨的明珠，它是形状大小相同的双孔石拱桥，每个孔内侧呈抛物线型，如图1，当一个孔的水面宽度为10米时，则拱顶离水面的高度为5米，若以一个孔的拱顶为坐标原点，桥面为x轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2，可计算出当一个孔的水面宽度为12米时，则拱顶离水面的高度为（    ）米． A．7.2 B．6.5 C．5.6 D．6 【答案】A 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意，设抛物线的解析式为，又由题意，抛物线过点，从而求出，可得抛物线的解析式为，再由一个孔的水面宽度为12时，可令，求出y即可得解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又由题意，抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当一个孔的水面宽度为12时，令， ∴． 故拱顶离水面的高度为7.2米． 故选：A． 39．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（   ） A．3.7 B．4.1 C．4.5 D．5 【答案】B 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键，根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，s的值，进而得到s的取值范围，从而得到答案． 【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴， ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的， ∴其最大高度为：， ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设B处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：或（舍去）， ∴该抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B的坐标为，则点的坐标为， ∵圆柱形的高为， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，， ∵筐的底面半径为，直径为， ∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，， ∴， ∴选项B中的满足条件， 故选：B． 40．（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元． (1)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 【答案】(1)每件商品售价为34元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1960元． (2)每件商品的售价定为32元时，每个月的利润恰好是1920元． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）设每件商品售价上涨元，则每个月少卖件，每月的利润为元，利用每月的利润单件的利润销售件数，列关于的二次函数，运用配方公式化简最值函数形式即可求出最大利润以及每件的售价． （2）根据第一问所求的利润代数式，将第二问的利润代入，利用因式分解解一元二次方程，再结合未知数取值范围，确定最终的商品的售价． 【详解】（1）解：设每件商品售价上涨元，则每个月少卖件，每月的利润为元， ， ， ， 每件售价不能高于35元， ， ， ， ， 时，最大利润为1960元， 售价为元时，最大利润为1960元． （2）解：利润是1920，由（1）可知，， ， ， ， ， ，， 由（1）可知，， （舍去）， ， 售价为元时，每个月的利润是1920元． 💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数定义要抓住a≠0，求参数时先定次数再验系数 · 配方法化顶点式是核心，对称轴与顶点坐标公式要熟练 · 图象性质数形结合：开口、对称轴、顶点、最值对照图象记忆 · 解析式求法按已知条件选形式，待定系数法求出后要回代检验 · 实际应用先建坐标系列关系式，最值问题注意自变量取值范围 【作业1】．（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）四个二次函数的图象对应的函数关系式分别是①；②；③；④．则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系． 【详解】抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选：． 【作业2】．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】利用二次函数值的正负变化确定方程解的区间，再对比选项判断． 【详解】解： 时，，时，， 方程的一个解在之间，选项中只有在该区间内． 故C符合题意． 【作业3】．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 【答案】③ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【详解】解：函数图象与轴有两个交点， ，故①正确； 二次函数与轴的交点为，， 是方程的一个根，故②正确； 由图可知，当时，，当或时，，故③错误，④正确． 【作业4】．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 【作业5】．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）二次函数在范围内的最大值与最小值的差为______． 【答案】36 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键． 将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算时，当时的函数值，得到函数值的范围即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0， 当时，， 当时，， 当时，最大值为36，最小值为0， 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：． 故答案为：36． 【作业6】．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 【作业7】．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）二次函数的部分对应值如下表，则一元二次方程的解为________． 【答案】 0或2/2或0 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】一元二次方程的解即为二次函数中函数值为时对应的自变量的值，先根据表格信息确定抛物线的对称轴，再利用二次函数的对称性求出满足条件的，即可得到方程的解. 【详解】解：由表格可知，时，时，两点纵坐标相同，因此两点关于抛物线对称轴对称， 可得抛物线的对称轴为直线， 由表格可知，当时，， 设纵坐标为的另一个点的横坐标为，根据二次函数的对称性，与关于直线对称， 因此，解得， 所以当时，对应的的值为和， 即一元二次方程的解为. 【作业8】．（2025·浙江杭州·三模）若二次函数有最大值为4，则的最小值是____． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键． 根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值． 【详解】解：∵二次函数有最大值为4， ∴设二次函数的顶点坐标为， ∵向左平移1个单位得到， ∴的顶点坐标为， ∵与关于轴对称， ∴的顶点坐标为，且开口向上， 此时顶点坐标为，则最小值为； 故答案为：． 【作业9】．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知两点关于原点对称求参数 【分析】根据中心对称的性质，关于原点中心对称的两个点，横纵坐标都互为相反数，先求出原二次函数的顶点坐标，得到对称后二次函数的顶点坐标，结合的顶点式即可求出的值，进而计算． 【详解】解：先对配方得， 因此的顶点坐标为. 因为两个函数图象关于原点中心对称， 所以的顶点坐标为， 又因为的顶点坐标为， 因此可得，， 所以． 【作业10】．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【答案】 解：乙的说法对，理由如下： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． 【知识点】配方法的应用、二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将配方得出，从而得出无论取何值，，结合二次函数的定义即可得解． 【详解】略 【作业11】．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)这个函数是二次函数吗？为什么？ (3)求自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)是二次函数；理由： ∵一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数， ∴是二次函数； (3) 【知识点】二次函数的识别、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是二次函数的应用，以及二次函数的定义，熟知一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． （1）根据题意，算出原来矩形的面积，再算边长增加后的面积，然后列出y与x的函数关系式； （2）结合（1）得到的函数关系式，根据所学过的函数表达式即可判断； （3）因为边长的增加量是非负数，即可写出x的取值范围． 【详解】（1）解：∵矩形的长为，宽为， ∴矩形的面积． ∵矩形的长与宽都增加， ∴增加后矩形的面积， ∴，即， 故y与x之间的函数关系式为． （2）略 （3）解：∵x为矩形增加的长与宽， ∴自变量x的取值范围为． 【作业12】．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 【作业13】．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 【答案】 4 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】将给定二次函数配方为顶点式，二次项系数小于0，开口向下，顶点横坐标即为所求引爆时间． 【详解】解：， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为18， ∴从点火升空到引爆需要的时间为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $