第28章·相似三角形·期中复习·培优提升讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第28章·相似三角形·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握相似三角形的三种判定方法，能结合图形综合判断相似并求线段长 · 灵活运用平行线分线段成比例定理解决较复杂的比例线段问题 · 掌握相似三角形性质的综合应用（面积比、周长比、对应高），解决多条件问题 · 掌握黄金分割、比例中项、比例尺等概念的实际应用 · 能运用相似知识解决与平行四边形、梯形、矩形等图形综合的问题 📚 知识梳理 ☆ 1.比例线段与比例性质 四条线段成比例：= 等价于 ad=bc 合比性质：= 时 = 等比性质：==...= 时 = 比例中项：b2=ac，线段比例中项取正值 概念辨析例题：已知 =，则 的值为（　　） 答案： 解析：由合比性质，==。 ☆ 2.相似三角形的判定 两角对应相等（AA）是应用最广的判定方法，常与平行线、垂直、公共角结合 两边成比例且夹角相等（SAS）注意必须是夹角 三边成比例（SSS）适用于已知三边长度的情况 图形中常出现多组相似三角形，注意选择目标三角形 概念辨析例题：如图，在 △ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，且 DE∥BC，AD:DB=1:2，则 AE:AC 等于（　　） 答案：1:3 解析：由 DE∥BC 得 △ADE∽△ABC，对应边成比例：===，即 1:3。 ☆ 3.相似三角形的性质应用 面积比等于相似比的平方，求面积先求相似比 周长比等于相似比，可用来求周长或边长 对应高、中线、角平分线比等于相似比，可结合面积公式使用 多个相似三角形串联时注意相似比的传递 概念辨析例题：两个相似三角形面积比为 4:9，较大三角形的周长为 18，则较小三角形的周长为（　　） 答案：12 解析：面积比 4:9，相似比 ，周长比也为 。设较小三角形周长为 x，=，x=12。 ☆ 4.黄金分割与位似 黄金分割点分线段为两部分，较长部分与全长之比 ≈0.618 黄金分割计算：较长线段 = ×全长，较短线段 = ×全长 位似图形对应点连线交于位似中心，位似比等于对应边的比 以原点为位似中心，位似变换后坐标 = 原坐标×位似比 概念辨析例题：已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC>BC），AB=10，则 AC 的长为（　　） 答案：AC=5≈6.18 解析：AC=×AB=×10=5≈6.18。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 合比性质 =→= 分子分母对应相加 等比性质 各分子和:各分母和=原比 分母之和不为0 相似比与面积 面积比=k2 求 k 要开平方 对应线段 对应高、中线、角平分线比=k 与相似比一致 黄金分割 ≈0.618 较长部分为全长的0.618倍 位似 对应点连线交于位似中心 坐标乘位似比 ⚠️ 核心考点 【考点1】相似图形与相似多边形 · 形状相同的图形是相似形，相似形只要求形状相同，与大小、位置无关 · 相似多边形对应角相等、对应边成比例，对应边的比叫做相似比 · 判断多边形相似：逐一检验对应角相等与对应边成比例两个条件 · 放大镜、放缩等变换保持形状不变，属于相似变换 1．（23-24九年级上·上海闵行·期中）将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（   ） A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数 【答案】D 【知识点】相似图形 【分析】根据相似图形的性质解答． 【详解】解：将图形甲通过放大得到图形乙没有被放大的是角的度数， 故选：． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，正确理解图形的相似是解题的关键． 2．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知两个矩形相似，其中一个矩形相邻两边的长分别为1和2，另一矩形相邻两边的长分别为3和，那么的值可能是：①4；②6；③；④．这四个结论中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了图形的相似；根据图形相似的性质，分两种情况考虑：与，即可求得x的值． 【详解】解：由于两个矩形相似， 则有或， 解得：或； 故选：B． 3．（22-23九年级上·上海·开学考试）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个等腰直角三角形 【答案】D 【知识点】相似多边形、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了多边形的相似，熟练掌握定义是解题的关键．根据对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，判定解答即可． 【详解】解：A．两个菱形，满足对应边成比例，但对应角不一定相等，不符合题意； B．两个矩形，满足对应角相等，但对应边不一定成比例，不符合题意； C．两个等腰梯形，对应角不应定相等，对应边不一定成比例，不符合题意；     D．两个等腰直角三角形，满足对应角相等，对应边成比例，符合题意； 故选：D． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知两个矩形相似，其中一个矩形的相邻两边的长分别为3和2，另一个矩形的相邻两边的长分别为1.5和，则的值为_____． 【答案】1或2.25 【知识点】相似多边形的性质 【分析】利用相似多边形的性质直接求解即可. 【详解】解：①当边长分别是3，1.5的边是对应边时， 两矩形相似， ，解得； ②当边长分别是，的边是对应边时， 两矩形相似， ，解得． 综上所述，的值为1或2.25． 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是分类讨论思想. 5．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是_________． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 根据相似多边形的性质：对应线段的比等于相似比列式求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴． 故答案为：． 6．（2023·海南海口·模拟预测）有一张矩形纸片，、分别是，的中点，现沿线段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为______． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 设，，则，由所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，可得矩形和矩形相似，则，即，可求，进而可求的值． 【详解】解：∵矩形， 设，，则， ∴四边形是矩形， ∵所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似， ∴矩形和矩形相似， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】此题考查了相似多边形的性质，设，，则，，根据相似多边形的性质得到，然后代入求解即可．解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等． 【详解】设，，则，， 由相似图形的性质得：，即， 解得或（不符题意，舍去）， 则． 【考点2】比例线段 · 四条线段 a、b、c、d 成比例记为 a:b=c:d，等价于 ad=bc（比例的基本性质） · 比例尺：图上距离与实际距离的比；由比例尺求实际距离时注意单位换算 · 比例中项：若 a:b=b:c，则 b 是 a、c 的比例中项，b2=ac · 合比、等比性质：= 时 = 等可灵活使用 8．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【知识点】比例的性质 【分析】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积． 比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案． 【详解】解：A．，则，故此选项正确，符合题意； B．，则，故此选项错误，不符合题意； C．，，则，故此选项错误，不符合题意； D．∵， ∴有无数组解，，只是其中一组解，故此选项错误，不符合题意； 故选：A． 9．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；设，，再根据比例的性质求解即可． 【详解】解：， 设，， ． 由比例的性质得到，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 10．（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 11．（23-24九年级上·上海松江·阶段检测）已知，那么__________________． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．利用设法进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 设，则， ， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，则__________． 【答案】 【知识点】分式的求值、比例的性质 【分析】根据已知比例关系，将，，分别用，，表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵，且，，作为分母不为， ∴，，， 将其代入所求分式得： ． 13．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 【答案】3 【知识点】成比例线段 【分析】根据比例中项的定义，若是，的比例中项，即．即可求解．本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负． 【详解】解：若是、的比例中项， 即． ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 14．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如果，那么代数式的值是______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、比例的性质 【分析】本题考查比例关系和代数式的求值，通过比例关系变形代数式后代入求值，即可解题． 【详解】解：由 ，得 ． 所以 ． 故答案为 ． 15．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段检测）已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)8 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件得出，，，再代入，然后进行整理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，且， ∴，，， ∵， 则， ∴的值为8． 【考点3】平行线分线段成比例 · 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 · 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 · 由比例式求线段长：先找出对应关系，设未知数列方程求解 · 注意对应线段要找准对应关系，不能错配比例式 16．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）如图所示，已知直线，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】 ， ，故A选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，故C选项不正确，不符合题意； ，故D选项正确，不符合题意； 故选：D． 17．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，已知，则的长为（   ） A．8 B． C． D．12 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线之间分线段成比例的关系，熟练掌握相关概念是解题关键． 直接利用平行线之间分线段成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故选B． 18．（25-26九年级上·上海松江·期中）以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 命题甲：矩形与矩形相似． 命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项． 关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A．命题甲是真命题，命题乙是假命题 B．命题甲是假命题，命题乙是真命题 C．命题甲、命题乙都是真命题 D．命题甲、命题乙都是假命题 【答案】C 【知识点】矩形性质理解、相似图形、相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似图形的判定与性质、矩形的性质等知识点，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键 根据矩形的性质以及题干结论得出矩形与矩形对应边成比例，从而得到两个矩形相似；假设的值，根据相似三角形的性质，列出，，的数量关系，从而得到，与的数量关系，然后根据比例中项的定义求解即可． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ∵， 四边形为矩形， ， ， ， 矩形矩形， 命题甲为真命题； 设， ，， ，， ，， ，， ， ，， ，， ， 是和的比例中项， 命题乙也是真命题． 故选：C． 19．（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 【答案】2 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 20．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，，如果，，那么___________． 【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由可得，，又因为两组对顶角相等，得和，再根据相似三角形对应线段成比例即可求解． 【详解】 解： ∵， ∴，， 又∵， ∴； ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∵， ∴，， 又∵， ∴； ∴， ∴， ∴， 即． 【考点4】相似三角形的判定 · 两角分别相等的两个三角形相似（AA） · 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） · 三边成比例的两个三角形相似（SSS） · 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 21．若，如下图： 则 解得： 2 ．若，如下图： 则 解得： 综上所述：符合要求的的值为或． 22．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，中，点、分别是边、上的点，且，下列结论不一定能得出的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据平行线分线段成比例定理可判断A、B选项正确，根据得出，根据相似三角形的性质可判断C选项正确，D选项不一定能得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，故B选项正确，不符合题意； ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，，故C选项正确，不符合题意； ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定能得出，故D选项符合题意． 23．（25-26九年级上·上海·阶段检测）中，点、分别在、上，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应线段是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理作答即可． 【详解】解：如图， 假设， ∴，，，选项C缺少角的条件 故选项C错误， 故选：C． 24．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，、相交于点O，点E、F分别在、上，且，如果，那么下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用平行线分线段成比例与相似三角形的判定与性质逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，而， ∴，故A不符合题意； ∵，而， ∴，故B符合题意； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； ∴，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键． 25．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（    ）个 ①与        ②与 ③与        ④与 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用平行四边形性质，可以得到，用两角分别相等的两个三角形相似得到；利用，，，得到，用两边对应成比例，且夹角相等证明；用得到，两直线平行，内错角相等得到，用两角分别相等的两个三角形相似得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ； ，，， ， ，， ， 又， ； ， 即， ， ， 又， ． 26．（2026·上海虹口·一模）如图，、分别是边、上的点，且，． (1)求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，把数值代入进行计算，即可作答． （2）结合，证明，又因为，故，把数值代入，得（负值已舍去），即，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 由（1）得，， ∴， 则， ∴， ∴ ∴（负值舍去）， ∴ 解得． 27．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【详解】解：略 【考点5】相似三角形的性质 · 相似三角形对应角相等、对应边成比例，相似比为 k · 周长比等于相似比 k；面积比等于相似比的平方 k2 · 对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 · 由面积比求相似比时注意开平方，两个相似比互为倒数关系 28．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如果两个相似三角形面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为___________． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键． 相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似之比为， ∴这两个三角形的周长之比为． 故答案为： 29．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段检测）已知点D、E分别在的边上，且，若，则________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 先证明，再把数值代入进行计算，即可求解． 【详解】解：∵， ， ，即， ， 故答案为：． 30．（2024·海南·中考真题）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为________． 【答案】80 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．过点B作交的延长线于N，求得，得到，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：过点B作交的延长线于N，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴另一端B离地面的高度为． 故答案为：80． 31．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，于D，如果和的面积比为，，那么的长是_______． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．证明，根据相似的性质求出即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， 和的面积比为， ， ， ， ． 故答案为：． 32．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，在中，边，高，四边形是内接矩形，交于，设，则矩形的面积与的函数关系式______． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，通过证明，得出，掌握相似三角形高的比等于相似比，以及矩形对边平行且相等，是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是内接矩形，， ∴，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得：， ∴， 即． 33．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由平行四边形的性质可得，，于是可证得，然后由相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴． 34．（25-26九年级上·上海·期中）如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且点是的黄金分割点（）,联结．如果，那么的长是______． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割点、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 由黄金分割点的定义可得，再结合黄金分割角的定义可得，则可得，再证明可得，然后将代入即可解答． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， 在中，，是黄金角， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 35．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）如图，已知，，如果，，那么的长是______． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【详解】解：如下图所示，延长，交于一点， ， ，， ，． ， 设，， ，，代入得， 解得， ，，代入得， 解得． 【考点6】黄金分割 · 点 C 把线段 AB 分成两段，若 =≈0.618，则 C 是黄金分割点 · 黄金比约为0.618，较长线段 = ×全长 · 黄金分割点有两个，计算时注意取较短或较长线段 · 舞台站位、构图等实际问题常转化为黄金分割计算 36．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为x米），则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 点P是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点P是的黄金分割点，且，，则， ， ， ． 故选：A． 37．（2023·上海杨浦·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是掌握黄金分割点的性质． 【详解】解：如图， ∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， 故选：A． 38．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 【答案】 / 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割的定义得到与的关系，先求出的长度，再计算的长. 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 把代入得：， 解得， . 39．（24-25九年级上·上海·期中）点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【答案】/ 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割的定义求出的长度，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 40．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知线段是线段的黄金分割点，则_________． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要是考查了黄金分割点的概念，根据黄金分割点的概念解答即可，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系是解题的关键． 【详解】根据黄金分割点的概念，可知， 则， 故答案为：． 【考点7】位似 · 位似图形对应点连线交于位似中心，位似比即对应边的比 · 以原点为位似中心，坐标为原坐标乘以位似比（同侧正、异侧负） · 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形 · 位似与坐标计算结合，注意点所在象限 41．（2026·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求位似图形的对应坐标 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是 ， ∴，即 ， 由图可知，点与点在位似中心的同侧 ， ∴点的横、纵坐标均为点横、纵坐标的2倍 ， ∵， ∴点的坐标为，即． 42．（23-24九年级下·北京·阶段检测）如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为______．    【答案】 【知识点】相似多边形的性质、位似图形的识别 【分析】本题考查位似变换，相似多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接．利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出边长，再求出可得结论． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形正方形，， 又∵正方形的面积为4， ∴正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的外接圆的半径为， 故答案为：． 43．（2023·广东深圳·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为______． 【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】分关于原点的位似图形与在原点同侧和异侧两种情况求解即可． 【详解】解：当关于原点的位似图形与在原点同侧时，点A的对应点的坐标为，即； 当关于原点的位似图形与在原点异侧时，点A的对应点的坐标为，即； 综上所述，点A的对应点的坐标为或． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 44．（24-25七年级下·西藏日喀则·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，两点的坐标分别为、 (1)图中内一点，经平移后对应点为，将作同样的平移得到，点，，的对应点分别为点，，．写出点、、的坐标并在直角坐标系中画出． (2)求的面积； 【答案】(1) 在平面直角坐标系中的图如图所示． ，，； (2)10． 【知识点】平移(作图)、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、坐标与图形综合 【分析】本题考查了三角形的面积公式，平移的性质，坐标与图形的性质； （1）由平移的性质可得出答案； （2）利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 45．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，在的正方形网格中，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________；与的位似中心的坐标为___________；与的位似比为___________； (2)以点为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为； (3)在图上标出与的位似中心，写出点的坐标为___________． 【答案】(1)，， (2)如图所示： (3) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求两个位似图形的相似比、在坐标系中画位似图形、在坐标系中画位似中心 【分析】（1）利用点和的坐标画出直角坐标系，然后写出点坐标，连接，，其交点即为位似中心，由计算位似比； （2）分别取中点为，中点为，连接即可； （3）求出直线，的交点即为点． 【详解】（1）解：如图建立直角坐标系，连接，， 由图可知，点的坐标为， ，交于原点，则与的位似中心的坐标为， 已知，， 故与的位似比为． （2）略 （3）解：如图，连接，，与交于点， 已知点的坐标为，的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 则直线的解析式为 直线为直线， 当，， 故点的坐标为． 【考点8】相似综合解答 · 证明题先找目标三角形，再选择判定定理（优先找相等角） · 结合平行四边形、梯形、菱形等图形性质寻找相等角与成比例线段 · 求线段长时设未知数，利用相似列比例方程，注意检验结果合理性 · 多图形综合题注意中间结论的传递使用，书写证明过程要完整严谨 46．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图是圆桌正上方的灯泡（看作一点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）示意图，已知桌面的直径为，桌面距地面，若灯泡距地面，则地面上的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似多边形的性质、中心投影 【分析】本题考查了相似图形的性质，圆的周长，掌握相似的性质是关键． 根据题意相似的性质得到，即可求解． 【详解】解：桌面距地面，若灯泡距地面， ∴灯泡距离桌面， 设桌面阴影的半径为， ∴， 解得，， ∴地面上的阴影部分的面积为， 故选：A ． 47．（2026·上海普陀·二模）如图1，在矩形中，，．正方形的顶点E在的延长线上，，点G在边上，O为正方形的中心，如果过点O的一条直线平分这个组合图形的面积，且这条直线分别交、于点M、N，那么线段的长为（   ） A． B． C． D．13 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】连接，交于点，过点和点的直线平分该组合图形的面积，交于，取中点，取中点，连接，，过点作于，由三角形中位线定理可求，，，，，，由平行线分线段成比例可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点，过点和点的直线平分该组合图形的面积，交于，取中点，取中点，连接，，过点作于， 四边形是矩形， ， 是中点， ，，， 四边形是正方形，， ， 同理可求，，， ，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 48．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、利用两角对应相等判定相似 【分析】根据可得，再由相似三角形的性质得到即可求解的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 49．（2025·四川内江·一模）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 【答案】(1) 证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理． （1）证明，可得，即可求证； （2）连接交于点O，根据菱形的性质以及勾股定理可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点O， ∵四边形为菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 50．（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1) 证明： (2) 证明： ， ， 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识： （1）由，证明， 得，所以，则； （2）由相似三角形的性质得，推导出，由， ，得，则 ， ，而，所以，则，所以，则 【详解】（1）略 （2）略 51．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为． (1)求过点的直线的函数表达式； (2)过点作直线，使，与轴相交于点，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果点、分别是线段和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式等知识． （1）待定系数法求一次函数解析式即可． （2）过点作交轴于，则，再证明，由相似三角形的性质得出，进而求出的值，再根据数轴求出，进而可求出点D的坐标． （3）根据相似三角形的性质，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 直线的解析式为； （2）解：过点作交轴于， ， ∵， ∴， ∴， 即． ∵，， ， ． 点的坐标为 （3）解：， ． 52．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，，在坐标轴上求点，使是等腰三角形． 【答案】或或或或或或或 【知识点】利用平方根解方程、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义、坐标与图形综合 【分析】本题考查了两点之间的距离公式、等腰三角形的定义、利用平方根解方程、点的坐标，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．分两种情况：①当点在轴上时，②当点在轴上时，先分别求出，，的长，再根据等腰三角形的定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：①当点在轴上时， 设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， （Ⅰ）当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为或； （Ⅱ）当时，是等腰三角形， 则，即， 整理得：， ， 解得或（舍去）， 此时点的坐标为； （Ⅲ）当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； ②当点在轴上时， 设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， （Ⅰ）当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为或； （Ⅱ）当时，是等腰三角形， 则，即， 整理得：， ， 解得或（舍去）， 此时点的坐标为； （Ⅲ）当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或或或或或． 💯 课后巩固 复习建议 · 比例性质（合比、等比）灵活运用可简化计算，但要注意使用前提 · 判定相似优先找等角：公共角、对顶角、平行线同位角、垂直产生的等角 · 面积问题先求相似比再平方，周长问题直接用相似比 · 黄金分割计算记住较长线段为全长的0.618倍，避免选错线段 · 综合题把相似放在四边形、梯形背景中，先分离出目标三角形 【作业1】．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知点是平行四边形的边上一点，连接和相交于点F，如果，那么为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．先画出图形，根据平行四边形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 即， 故选：C． 【作业2】．（23-24九年级上·上海虹口·阶段检测）下列说法中，正确的个数是（    ） ①相似三角形的周长比等于相似比； ②如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边； ③有一边及这边上的高对应成比例的两个三角形相似； ④两条直线被三条直线所截，若截得的线段对应成比例，则这三条直线一定平行； ⑤邻边相等的两个矩形一定相似 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】成比例线段、相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据相似多边形，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例判定即可． 【详解】解：相似三角形的周长比等于相似比，故①正确； 如图：    直线截的延长线于D、E， 由题意得：，即， 但与不平行，故②错误； 若是直角三角形，有一边及这边上的高对应成比例，则两个三角形相似；一般的三角形不一定，故③错误； 两条直线被三条直线所截，若截得的线段对应成比例，则这三条直线一定平行，故④正确； 邻边相等的矩形是正方形，一定相似，故⑤正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似多边形，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，解题的关键是熟悉相似图形的判定和性质． 【作业3】．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）在比例尺为的地图上，相当于实际_________ 【答案】20 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了两条线段的比．设两地的实际距离为，根据比例尺的定义得到，利用比例的性质易求得x的值，注意单位统一． 【详解】解：设两地的实际距离为， ∵比例尺为， ∴， ∴． 故答案为：20． 【作业4】．（24-25九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，点、分别在边、上，，，那么___．    【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，正确的掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据题目已知条件可以得出，从而得出，因为和高相同，所以面积之比等于底边之比即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业5】．（25-26九年级上·上海闵行·期中）点是在线段上，且，如果，那么的长为______． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查黄金分割的应用，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据题意得到点是线段的黄金分割点，得到，即可得到答案． 【详解】解：点是在线段上，且， 点是线段的黄金分割点， ， 故答案为：． 【作业6】．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于______． 【答案】15或35 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，分在边和上，以及在边和的延长线上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当在边和上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在边和的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15或35． 【作业7】．（21-22九年级·上海黄浦·自主招生）从这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数组，使b为a，c的比例中项，则不同的有序实数组共有________组． 【答案】22 【知识点】成比例线段 【分析】根据比例中项的概念，依此找出不同的有序实数组共有多少组． 【详解】解：当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组， 当时，不同的有序实数组有6组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组，一共22组． 【作业8】．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知，且，求的值． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则可根据已知条件式列出方程求出k，进而求出与k的关系，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴． 【作业9】．（2026·浙江温州·二模）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点，分别在，上，连结交于点． 【数学理解】 (1)这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似即可判断； （2）根据菱形的性质和已知可得，，结合（1）中，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵在菱形中，， ∴， （2）解：∵， ∴，， 又∵在菱形中，， ∴， ， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． 【作业10】．（23-24九年级上·广西崇左·期中）若，且，求的值． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查比例的性质，令，得到，由求出即可，利用设表示出是解题的关键． 【详解】解：令， 解得 ． 【作业11】．（23-24九年级上·云南文山·期末）如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 【作业12】．（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图1，在矩形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图2，在中，，，，E为边上一点(点E不与点A、B重合)，连接，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？ 【答案】（1）①证明：由题意得， ∴， ∴， ∴． ②；（2）或2． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题关键． （1）①根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可；②利用相似三角形对应边成比例求解即可； （2）由等腰直角三角形的性质，得到，证明，得到，由为等腰三角形且，可分别两种情况讨论：和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）①略 ②解：∵， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且， 若，则 ∴； 若，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或2． 【作业13】．（2025·上海宝山·一模）学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． 【答案】探究：证明：连接，如图所示： ∵四边形 与四边形相似， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 运用： 【知识点】利用矩形的性质证明、相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质是解题的关键． 【探究】连接，证明，得出，，则可得出答案；【运用】由矩形的性质得出，证出，由结论“四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似”证明四边形四边形，则可得出答案． 【详解】【探究】略 【运用】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形四边形， ∴． 【作业14】．（2025·上海静安·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，连接并延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)点在边上，连接．求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； (2) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据菱形性质得，则，再根据点F是的中点，得四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形性质得，则，再根据矩形性质得，，证明，进而得和相似，再利用相似三角形的性质即可求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， ∵四边形是矩形； ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：． 【作业15】．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）请解决以下问题： (1)如图①，在矩形中，点E为边的中点，，点P，Q分别在矩形的边、上，连接交于点M． 求证：． (2)如图②，在（1）的基础上，点R在边上（不与点Q重合） ①若，则线段的长为______； ②当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，，，连接，则周长最小值为______． (3)如图④，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，求的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ， ， ， ， 为中点， ， ； (2)8；18 (3) 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理证明即可； （2）①根据矩形的性质得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形中位线定理即可得到结论； ②连接，根据矩形的性质和平行线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，当三点共线时，的值最小，的最小值的长，根据勾股定理得到，于是得到结论． （3）取的中点，连接，先由三角形中位线定理证明，再由平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵四边形是矩形， ， ， ， ， 为中点， ， ， 是的中位线， ， ， ； ②连接，    ∵四边形是矩形， ，， ， ， ， 为中点， 垂直平分， ， ， ∴当三点共线时，的最小值的长， ∵在中， ， 周长的最小值为； （3）解：取的中点，连接， ∵D为边上的中点， ∴， ∵，设，则，， ∵点是的中点， ∴， ∴ ∵ ∴． 【作业16】．（2025·上海松江·一模）如图，在中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明： 如图所示， ，， ， ， ， ， ， (2) 证明：设与交于点， ， ，， ， ，， ∴，， ， 又， ， ， ，， ， ， 即， ， ． 【知识点】三线合一、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可求解； （2）设与交于点，可证，得到，再证，得到，则有，由，代入计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【作业17】．（2025·上海金山·二模）如图，已知在等腰梯形中，，，，联结、交于点，为上一点，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1) 证明：， ，， 又， ， ， (2) ，，， ， ， ， ． 在等腰梯形中，，， 又， ， ， ， ， ， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰梯形的性质定理 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，得到；由相似三角形性质可得，进而得出结论． （2）先证明，得到；再证明，得到，等量代换即可． 【详解】（1）略 （2）略 【作业18】．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，D是的边上的中点，，的延长线交于点E，求的值． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】过点F作交于点G，根据平行线分线段成比例可知，由D是边上的中点即可求，进而求解． 【详解】解：过点F作交于点G， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28章·相似三角形·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握相似三角形的三种判定方法，能结合图形综合判断相似并求线段长 · 灵活运用平行线分线段成比例定理解决较复杂的比例线段问题 · 掌握相似三角形性质的综合应用（面积比、周长比、对应高），解决多条件问题 · 掌握黄金分割、比例中项、比例尺等概念的实际应用 · 能运用相似知识解决与平行四边形、梯形、矩形等图形综合的问题 📚 知识梳理 ☆ 1.比例线段与比例性质 四条线段成比例：= 等价于 ad=bc 合比性质：= 时 = 等比性质：==...= 时 = 比例中项：b2=ac，线段比例中项取正值 概念辨析例题：已知 =，则 的值为（　　） 答案： 解析：由合比性质，==。 ☆ 2.相似三角形的判定 两角对应相等（AA）是应用最广的判定方法，常与平行线、垂直、公共角结合 两边成比例且夹角相等（SAS）注意必须是夹角 三边成比例（SSS）适用于已知三边长度的情况 图形中常出现多组相似三角形，注意选择目标三角形 概念辨析例题：如图，在 △ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，且 DE∥BC，AD:DB=1:2，则 AE:AC 等于（　　） 答案：1:3 解析：由 DE∥BC 得 △ADE∽△ABC，对应边成比例：===，即 1:3。 ☆ 3.相似三角形的性质应用 面积比等于相似比的平方，求面积先求相似比 周长比等于相似比，可用来求周长或边长 对应高、中线、角平分线比等于相似比，可结合面积公式使用 多个相似三角形串联时注意相似比的传递 概念辨析例题：两个相似三角形面积比为 4:9，较大三角形的周长为 18，则较小三角形的周长为（　　） 答案：12 解析：面积比 4:9，相似比 ，周长比也为 。设较小三角形周长为 x，=，x=12。 ☆ 4.黄金分割与位似 黄金分割点分线段为两部分，较长部分与全长之比 ≈0.618 黄金分割计算：较长线段 = ×全长，较短线段 = ×全长 位似图形对应点连线交于位似中心，位似比等于对应边的比 以原点为位似中心，位似变换后坐标 = 原坐标×位似比 概念辨析例题：已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC>BC），AB=10，则 AC 的长为（　　） 答案：AC=5≈6.18 解析：AC=×AB=×10=5≈6.18。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 合比性质 =→= 分子分母对应相加 等比性质 各分子和:各分母和=原比 分母之和不为0 相似比与面积 面积比=k2 求 k 要开平方 对应线段 对应高、中线、角平分线比=k 与相似比一致 黄金分割 ≈0.618 较长部分为全长的0.618倍 位似 对应点连线交于位似中心 坐标乘位似比 ⚠️ 核心考点 【考点1】相似图形与相似多边形 · 形状相同的图形是相似形，相似形只要求形状相同，与大小、位置无关 · 相似多边形对应角相等、对应边成比例，对应边的比叫做相似比 · 判断多边形相似：逐一检验对应角相等与对应边成比例两个条件 · 放大镜、放缩等变换保持形状不变，属于相似变换 1．（23-24九年级上·上海闵行·期中）将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（   ） A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数 2．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知两个矩形相似，其中一个矩形相邻两边的长分别为1和2，另一矩形相邻两边的长分别为3和，那么的值可能是：①4；②6；③；④．这四个结论中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23九年级上·上海·开学考试）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个等腰直角三角形 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知两个矩形相似，其中一个矩形的相邻两边的长分别为3和2，另一个矩形的相邻两边的长分别为1.5和，则的值为_____． 5．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是_________． 6．（2023·海南海口·模拟预测）有一张矩形纸片，、分别是，的中点，现沿线段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为______． 7．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      【考点2】比例线段 · 四条线段 a、b、c、d 成比例记为 a:b=c:d，等价于 ad=bc（比例的基本性质） · 比例尺：图上距离与实际距离的比；由比例尺求实际距离时注意单位换算 · 比例中项：若 a:b=b:c，则 b 是 a、c 的比例中项，b2=ac · 合比、等比性质：= 时 = 等可灵活使用 8．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C．， D．， 9．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 11．（23-24九年级上·上海松江·阶段检测）已知，那么__________________． 12．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，则__________． 13．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 14．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如果，那么代数式的值是______． 15．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段检测）已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 【考点3】平行线分线段成比例 · 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 · 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 · 由比例式求线段长：先找出对应关系，设未知数列方程求解 · 注意对应线段要找准对应关系，不能错配比例式 16．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）如图所示，已知直线，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，已知，则的长为（   ） A．8 B． C． D．12 18．（25-26九年级上·上海松江·期中）以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 命题甲：矩形与矩形相似． 命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项． 关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A．命题甲是真命题，命题乙是假命题 B．命题甲是假命题，命题乙是真命题 C．命题甲、命题乙都是真命题 D．命题甲、命题乙都是假命题 19．（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 20．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，，如果，，那么___________． 【考点4】相似三角形的判定 · 两角分别相等的两个三角形相似（AA） · 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） · 三边成比例的两个三角形相似（SSS） · 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 21．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 22．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，中，点、分别是边、上的点，且，下列结论不一定能得出的是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·上海·阶段检测）中，点、分别在、上，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 24．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，、相交于点O，点E、F分别在、上，且，如果，那么下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 25．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（    ）个 ①与        ②与 ③与        ④与 A．1 B．2 C．3 D．4 26．（2026·上海虹口·一模）如图，、分别是边、上的点，且，． (1)求的长； (2)如果，求的长． 27．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【考点5】相似三角形的性质 · 相似三角形对应角相等、对应边成比例，相似比为 k · 周长比等于相似比 k；面积比等于相似比的平方 k2 · 对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 · 由面积比求相似比时注意开平方，两个相似比互为倒数关系 28．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如果两个相似三角形面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为___________． 29．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段检测）已知点D、E分别在的边上，且，若，则________． 30．（2024·海南·中考真题）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为________． 31．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，于D，如果和的面积比为，，那么的长是_______． 32．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，在中，边，高，四边形是内接矩形，交于，设，则矩形的面积与的函数关系式______． 33．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 34．（25-26九年级上·上海·期中）如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且点是的黄金分割点（）,联结．如果，那么的长是______． 35．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）如图，已知，，如果，，那么的长是______． 【考点6】黄金分割 · 点 C 把线段 AB 分成两段，若 =≈0.618，则 C 是黄金分割点 · 黄金比约为0.618，较长线段 = ×全长 · 黄金分割点有两个，计算时注意取较短或较长线段 · 舞台站位、构图等实际问题常转化为黄金分割计算 36．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为x米），则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 37．（2023·上海杨浦·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 38．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 39．（24-25九年级上·上海·期中）点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 40．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知线段是线段的黄金分割点，则_________． 【考点7】位似 · 位似图形对应点连线交于位似中心，位似比即对应边的比 · 以原点为位似中心，坐标为原坐标乘以位似比（同侧正、异侧负） · 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形 · 位似与坐标计算结合，注意点所在象限 41．（2026·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 42．（23-24九年级下·北京·阶段检测）如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为______．    43．（2023·广东深圳·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为______． 44．（24-25七年级下·西藏日喀则·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，两点的坐标分别为、 (1)图中内一点，经平移后对应点为，将作同样的平移得到，点，，的对应点分别为点，，．写出点、、的坐标并在直角坐标系中画出． (2)求的面积； 45．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，在的正方形网格中，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________；与的位似中心的坐标为___________；与的位似比为___________； (2)以点为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为； (3)在图上标出与的位似中心，写出点的坐标为___________． 【考点8】相似综合解答 · 证明题先找目标三角形，再选择判定定理（优先找相等角） · 结合平行四边形、梯形、菱形等图形性质寻找相等角与成比例线段 · 求线段长时设未知数，利用相似列比例方程，注意检验结果合理性 · 多图形综合题注意中间结论的传递使用，书写证明过程要完整严谨 46．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图是圆桌正上方的灯泡（看作一点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）示意图，已知桌面的直径为，桌面距地面，若灯泡距地面，则地面上的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 47．（2026·上海普陀·二模）如图1，在矩形中，，．正方形的顶点E在的延长线上，，点G在边上，O为正方形的中心，如果过点O的一条直线平分这个组合图形的面积，且这条直线分别交、于点M、N，那么线段的长为（   ） A． B． C． D．13 48．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 49．（2025·四川内江·一模）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 50．（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 51．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为． (1)求过点的直线的函数表达式； (2)过点作直线，使，与轴相交于点，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果点、分别是线段和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 52．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，，在坐标轴上求点，使是等腰三角形． 💯 课后巩固 复习建议 · 比例性质（合比、等比）灵活运用可简化计算，但要注意使用前提 · 判定相似优先找等角：公共角、对顶角、平行线同位角、垂直产生的等角 · 面积问题先求相似比再平方，周长问题直接用相似比 · 黄金分割计算记住较长线段为全长的0.618倍，避免选错线段 · 综合题把相似放在四边形、梯形背景中，先分离出目标三角形 【作业1】．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知点是平行四边形的边上一点，连接和相交于点F，如果，那么为(   ) A． B． C． D． 【作业2】．（23-24九年级上·上海虹口·阶段检测）下列说法中，正确的个数是（    ） ①相似三角形的周长比等于相似比； ②如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边； ③有一边及这边上的高对应成比例的两个三角形相似； ④两条直线被三条直线所截，若截得的线段对应成比例，则这三条直线一定平行； ⑤邻边相等的两个矩形一定相似 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业3】．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）在比例尺为的地图上，相当于实际_________ 【作业4】．（24-25九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，点、分别在边、上，，，那么___．    【作业5】．（25-26九年级上·上海闵行·期中）点是在线段上，且，如果，那么的长为______． 【作业6】．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于______． 【作业7】．（21-22九年级·上海黄浦·自主招生）从这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数组，使b为a，c的比例中项，则不同的有序实数组共有________组． 【作业8】．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知，且，求的值． 【作业9】．（2026·浙江温州·二模）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点，分别在，上，连结交于点． 【数学理解】 (1)这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程． (2)若，，求的长． 【作业10】．（23-24九年级上·广西崇左·期中）若，且，求的值． 【作业11】．（23-24九年级上·云南文山·期末）如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【作业12】．（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图1，在矩形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图2，在中，，，，E为边上一点(点E不与点A、B重合)，连接，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？ 【作业13】．（2025·上海宝山·一模）学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． ∵四边形 与四边形相似， 【作业14】．（2025·上海静安·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，连接并延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)点在边上，连接．求的长． 【作业15】．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）请解决以下问题： (1)如图①，在矩形中，点E为边的中点，，点P，Q分别在矩形的边、上，连接交于点M． 求证：． (2)如图②，在（1）的基础上，点R在边上（不与点Q重合） ①若，则线段的长为______； ②当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，，，连接，则周长最小值为______． (3)如图④，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，求的值． 【作业16】．（2025·上海松江·一模）如图，在中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【作业17】．（2025·上海金山·二模）如图，已知在等腰梯形中，，，，联结、交于点，为上一点，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【作业18】．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，D是的边上的中点，，的延长线交于点E，求的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $