第27章·二次函数·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第27章·二次函数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用二次函数图象性质解决多结论判断、图象变换等复杂问题，做到快速准确 · 掌握二次函数与方程、不等式、几何图形（三角形、正方形、四边形）的综合问题 · 掌握动点、存在性、最值等压轴题型的解题策略，会用分类讨论与数形结合 · 理解新定义型二次函数问题，能把新规则转化为函数模型并求解 · 提升综合解答题的规范书写能力，能够完整、严谨地表达推理与计算过程 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数图象与结论判断 判断多项结论（①②③④⑤）时，利用对称轴、特殊点（x=±1、x=2 等）代入消元转化 对称轴 x=-=1 时常用 b=-2a 代入消元，简化代数式判断 与 x 轴交点个数、开口、截距等信息结合 a、b、c 符号判断 abc 类结论 图象上多点比较：按开口方向与点到对称轴的距离比较，或直接代入计算 概念辨析例题：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图（开口向下，对称轴 x=1，过 (-1,0)），则 b2-4ac、a-b+c、2a+b 中值为0的个数是（　　） 答案：2个 解析：过 (-1,0)，故 a-b+c=0；与 x 轴两个交点，Δ=b2-4ac>0；对称轴 x=1 得 2a+b=0。故值为0的有 a-b+c 和 2a+b，共2个。 ☆ 2.二次函数与几何综合 抛物线过特殊点（原点、坐标轴上点）常可直接确定部分系数，减少未知量 几何图形（正方形、三角形）落在抛物线上：用坐标表示边长，列方程求解 线段长度、面积的最值：把目标量表示为动点横坐标的二次函数，配方求最值 存在性问题：先假设存在，设出动点坐标，按几何条件列方程，解出后检验是否符合题意 概念辨析例题：如图，抛物线 y=x2-2x-3 的顶点为 D，与 x 轴交于 A、B 两点，问在抛物线上是否存在点 P，使 △ABP 的面积为8？ 答案：存在，P(0,-3) 或 P(2,-3) 解析：A(-1,0)、B(3,0)，AB=4。设 P(m, m2-2m-3)，S=×4×|m2-2m-3|=8，即 |m2-2m-3|=4。m2-2m-3=4 得 m=1±2；m2-2m-3=-4 得 m=0 或 2。故存在满足条件的点 P。 ☆ 3.二次函数的新定义问题 新定义（特征数、序列数、开口大小、牵手二次函数等）：先逐字理解定义，把定义翻译成数学关系式 特征数 (a,b,c) 与 y=ax2+bx+c 对应，新定义实质是换一种方式给出系数或顶点信息 按定义列方程时注意讨论参数取值范围，避免产生增解 探究类问题从特殊值入手，先验证小情形，再归纳一般规律 概念辨析例题：定义：若二次函数 y=ax2+bx+c 满足 a+b+c=0，则称该函数为“和谐函数”。下列函数中是“和谐函数”的是（　　） 答案：y=x2-2x+1（因 1-2+1=0） 解析：a+b+c=0 即 x=1 时 y=0，也就是图象过点 (1,0)。判断时只需检验解析式在 x=1 处值为0。 ☆ 4.二次函数综合压轴 压轴题一般含3-4问：先求解析式，再解决几何关系或最值问题，最后一问常为存在性 动点设坐标要选好自变量（常用横坐标），把所有几何量用该变量表示 分类讨论：等腰三角形按顶点分类、直角三角形按直角顶点分类、面积按位置分类 书写时先写思路框架再填充计算，保持步骤完整、推理严谨 概念辨析例题：抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)，求抛物线的解析式并求顶点坐标。 答案：y=-x2+2x+3，顶点 (1,4) 解析：设交点式 y=a(x+1)(x-3)，代入 C(0,3) 得 3=a×1×(-3)，a=-1。故 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3。顶点 x=-=1，y=-1+2+3=4，即 (1,4)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 图象结论 特殊点代入+对称轴消元 a、b、c 符号与图象位置对应 与方程关系 Δ=b2-4ac 判交点个数 交点横坐标即方程根 几何综合 坐标化、函数化 边长、面积用坐标表示 最值问题 配方求顶点 注意自变量取值范围 存在性 假设存在→列方程→检验 分类讨论不重不漏 新定义 定义翻译为数学关系 注意参数取值范围 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与判定 · 判断一个函数是否为二次函数，关键是看能否化为 y=ax2+bx+c（a≠0）的形式，且最高次项指数为2 · 二次项系数 a 必不为0，若含参数则先令二次项系数不为0再求取值范围 · 注意区分二次函数与一次函数、反比例函数，含根号、含的分式形式一般不是二次函数 · 由二次函数定义求参数时，还需保证函数是整式，且 x2 的系数满足条件 1．（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 4．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）已知是y关于x的二次函数，那么t的值是_______． 【考点2】二次函数的图象与性质 · 抛物线 y=ax2+bx+c 的开口方向由 a 决定：a>0 开口向上，a<0 开口向下 · 对称轴为直线 x=-，顶点坐标为 (-, ) · 增减性：开口向上时，在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧增大而增大；开口向下相反 · 判断图象结论类问题，可结合对称轴、顶点、与坐标轴交点及特殊点代入综合判断 5．（22-23九年级下·宁夏银川·开学考试）对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 6．（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的负半轴交于点A，则关于x的方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）关于抛物线，下列说法中正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．图像位于第二、四象限 C．抛物线有最低点 D．抛物线在直线的左侧部分是上升的 8．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 11．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 12．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（26-27九年级·上海·暑假作业）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 14．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，抛物线（）的部分图象，其顶点坐标为，与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点3】二次函数与方程、交点 · 抛物线与 x 轴交点个数由 Δ=b2-4ac 决定：Δ>0 两个交点，Δ=0 一个交点，Δ<0 无交点 · 二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标即方程 ax2+bx+c=0 的根 · 与 y 轴交点坐标为 (0,c)，与 x 轴两交点间距离可利用根与系数的关系计算 · 由图象解不等式 ax2+bx+c>0（或<0），转化为看抛物线在 x 轴上方（或下方）的部分 15．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知抛物线，将绕它的原点旋转得抛物线，则抛物线的解析式为______． 16．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）将二次函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数图像的顶点坐标是______． 17．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数的图象向下平移m个单位与x轴只有一个交点，则______． 18．（2026·上海浦东新·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 19．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）把二次函数的图像左右平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，则平移后的二次函数表达式是______． 20．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与x轴有且只有一个交点时，则______． 【考点4】二次函数图象的平移与变换 · 平移规律：上加下减（常数项）、左加右减（自变量），抛物线形状（a）不变 · 顶点式 y=a(x-h)2+k 中，h 决定左右平移方向，k 决定上下平移方向 · 绕原点旋转180°，a 变号、顶点坐标变号；关于坐标轴对称，按对称性逐一确定顶点 · 平移、旋转后抛物线的解析式先确定新顶点坐标，再利用顶点式写出新解析式 21．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 22．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）设抛物线与轴的交点为、，那么线段的长是__________． 23．（21-22九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 24．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）如果顶点不同的两个二次函数的图像与轴有相同的两个交点，我们就把其中一个二次函数称为另一个的“牵手二次函数”．如果二次函数的图像顶点为，与轴的交点分别为、（点在点的左侧），它的一个“牵手二次函数”的顶点为，已知，，那么这个“牵手二次函数”的二次项系数是__________． 25．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， (1)求的取值范围； (2)若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 【考点5】二次函数解析式的确定 · 已知三点坐标，设一般式 y=ax2+bx+c，代入三点用待定系数法求解 · 已知顶点坐标或对称轴，设顶点式 y=a(x-h)2+k，再代一个点求 a · 已知与 x 轴两个交点，设交点式 y=a(x-x1)(x-x2)，再代第三个点求 a · 选择解析式形式时，以条件中信息最直接的形式入手，减少计算量 26．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 27．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 28．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且在对称轴右侧，若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 29．（22-23九年级上·山东泰安·阶段检测）（1）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． （2）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的表达式． 30．（专题10特殊三角形的存在性（含2024年崇明、闵行一模）-2024年中考数学高频易错重难点通关讲解练（上海专用））在平面直角坐标系中，抛物线经过和．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)已知点在第一象限，且在直线上，过作轴的垂线，垂足为点，在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形， ①当点与点重合时，如图所示，求点到这条抛物线对称轴的距离； ②如果点在这条抛物线上，求点的坐标． 31．（24-25九年级上·吉林·期中）已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)若关于x的方程（t为实数），在时无解，直接写出t的取值范围； (4)已知点，，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 32．（2024·上海徐汇·三模）如图，抛物线顶点为坐标原点、且经过点，直线经过点和点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)如果将此抛物线平移，平移后新抛物线的顶点在原抛物线上，新抛物线的对称轴与直线在原抛物线的内部相交于点，且，求新抛物线的表达式． 33．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)把抛物线向下平移m个单位（）得到抛物线，记抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，直线与x轴交于点P． ①当点P与点A重合时，求m的值； ②记点B平移后的对应点为，如果，求此时点D的坐标． 【考点6】二次函数的实际应用 · 抛物线型实际问题（喷泉、铅球、隧道、拱桥）：先建坐标系，把实际问题转化为二次函数解析式 · 最大高度、最大利润问题：转化为求二次函数顶点坐标，注意自变量的实际取值范围 · 已知函数值求自变量，转化为解一元二次方程，并根据实际意义取舍 · 解决实际问题时注意单位统一，结果需符合实际背景的合理性 34．（2025·山东菏泽·一模）科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__________． 35．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为米，足球场的面积为平方米，则关于的函数关系式（结果保留）为______． 36．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）为了参加市科技节展览，同学们制作了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架，在如图所示的设计图中，若抛物线的函数解析式为，正方形的边长和正方形的边长之比为，则正方形的边长是______． 37．（25-26九年级下·上海长宁·期中）某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 【考点7】新定义与规律探究 · 新定义题先理解定义：按定义给出的运算规则、特征数、开口大小等转化为已知模型 · 规律探究题（正方形边长、交点规律）先求前几个值，归纳通项，再用通项求第n个 · 新定义中的特殊点（倍值点等）按要求列方程求解，注意讨论存在性 · 探究题一般用特殊到一般的方法：先代入前几项，找出递推关系再推广 38．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 39．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）【实践与探究】九（9）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程： (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为_________________． (2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ (3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问题，请予解答： 如图2，过原点作一条的直线，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在线段上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 40．（2023·浙江宁波·三模）【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表： 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； (1)k的值为______， (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． (3)请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ (4)烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 【考点8】二次函数综合压轴 · 综合题先求解析式，再结合对称轴、顶点、交点逐问推进，注意数形结合 · 特殊三角形存在性问题：设动点坐标，按等腰、直角等条件列方程，检验是否满足题意 · 面积、线段最值问题：把目标量表示成关于动点横坐标的二次函数，再求最值 · 多问综合题注意每问结果可为后续服务，分类讨论要做到不重不漏 41．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求m的值； (2)若该函数是二次函数，求m的值． 42．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 43．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与直线的交点分别是、（点在点的右侧），是线段的中点，点关于轴对称的点也在该抛物线上． (1)求的值和这个抛物线的表达式； (2)平移直线． ①过点作轴的垂线，与抛物线交于点．如果平移后的直线经过点，求此时直线的表达式； ②将直线向下平移，设平移后的直线与抛物线的两个交点分别是、（点在点的右侧），是线段的中点．如果，求此时直线的表达式． 44．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知平面直角坐标系，抛物线交轴正半轴于点，将它向上平移个单位后新的抛物线交轴正半轴于点、（在左侧），交轴于点． (1)如图1，如果，求平移后抛物线的表达式； (2)如图2，连接交抛物线对称轴于点，直线交原抛物线于点，如果，求点的坐标． 💯 课后巩固 复习建议 · 结论判断类问题坚持“代入验证”，把 a、b、c 关系通过对称轴统一转化 · 动点问题先设坐标再表示几何量，遇到最值配方求顶点并核对取值范围 · 存在性问题先假设存在，解出后务必检验是否满足所有条件，防止增解 · 新定义题先翻译定义再解题，把陌生规则转化为熟悉的函数模型 · 综合压轴题分问作答，利用前问结论推进后问，书写规范完整 【作业1】．（23-24九年级上·浙江金华·阶段检测）用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： 根据以上信息，当时，的值为（　　） A．3 B． C． D． 【作业2】．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【作业3】．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【作业4】．（24-25九年级上·上海·阶段检测）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【作业5】．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）如图，抛物线的部分图象，其顶点坐标为，与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：．其中正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业6】．（2022·江西·模拟预测）已知抛物线（、、为常数，且）与轴交于，两点，且点在直线的下方，则下列说法正确的是（     ） A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上 C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧 【作业7】．（26-27九年级上·上海·阶段检测）二次函数的变量与变量的部分对应值如下表，则该二次函数图像的对称轴是________． 【作业8】．（2022·江苏无锡·模拟预测）若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 【作业9】．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）在平面直角坐标系中，点是抛物线的顶点，点Q是抛物线的顶点，如果，那么点Q的坐标是_______． 【作业10】．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“序列数”，如：的“序列数”为．有以下结论： ①二次函数的“序列数”为； ②“序列数”为的二次函数的图像与x轴恒有两个交点； ③“序列数”为的二次函数的图像与x轴的两个交点为定点； ④“序列数”为的二次函数，如果，当时，y随x的增大而增大； 以上结论正确的有______． 【作业11】．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点为，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为，平移前后的两条抛物线相交于点，若为等边三角形，则m的值为______． 【作业12】．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 【作业13】．（23-24九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【作业14】．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 【作业15】．（2026·甘肃平凉·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章·二次函数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用二次函数图象性质解决多结论判断、图象变换等复杂问题，做到快速准确 · 掌握二次函数与方程、不等式、几何图形（三角形、正方形、四边形）的综合问题 · 掌握动点、存在性、最值等压轴题型的解题策略，会用分类讨论与数形结合 · 理解新定义型二次函数问题，能把新规则转化为函数模型并求解 · 提升综合解答题的规范书写能力，能够完整、严谨地表达推理与计算过程 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数图象与结论判断 判断多项结论（①②③④⑤）时，利用对称轴、特殊点（x=±1、x=2 等）代入消元转化 对称轴 x=-=1 时常用 b=-2a 代入消元，简化代数式判断 与 x 轴交点个数、开口、截距等信息结合 a、b、c 符号判断 abc 类结论 图象上多点比较：按开口方向与点到对称轴的距离比较，或直接代入计算 概念辨析例题：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图（开口向下，对称轴 x=1，过 (-1,0)），则 b2-4ac、a-b+c、2a+b 中值为0的个数是（　　） 答案：2个 解析：过 (-1,0)，故 a-b+c=0；与 x 轴两个交点，Δ=b2-4ac>0；对称轴 x=1 得 2a+b=0。故值为0的有 a-b+c 和 2a+b，共2个。 ☆ 2.二次函数与几何综合 抛物线过特殊点（原点、坐标轴上点）常可直接确定部分系数，减少未知量 几何图形（正方形、三角形）落在抛物线上：用坐标表示边长，列方程求解 线段长度、面积的最值：把目标量表示为动点横坐标的二次函数，配方求最值 存在性问题：先假设存在，设出动点坐标，按几何条件列方程，解出后检验是否符合题意 概念辨析例题：如图，抛物线 y=x2-2x-3 的顶点为 D，与 x 轴交于 A、B 两点，问在抛物线上是否存在点 P，使 △ABP 的面积为8？ 答案：存在，P(0,-3) 或 P(2,-3) 解析：A(-1,0)、B(3,0)，AB=4。设 P(m, m2-2m-3)，S=×4×|m2-2m-3|=8，即 |m2-2m-3|=4。m2-2m-3=4 得 m=1±2；m2-2m-3=-4 得 m=0 或 2。故存在满足条件的点 P。 ☆ 3.二次函数的新定义问题 新定义（特征数、序列数、开口大小、牵手二次函数等）：先逐字理解定义，把定义翻译成数学关系式 特征数 (a,b,c) 与 y=ax2+bx+c 对应，新定义实质是换一种方式给出系数或顶点信息 按定义列方程时注意讨论参数取值范围，避免产生增解 探究类问题从特殊值入手，先验证小情形，再归纳一般规律 概念辨析例题：定义：若二次函数 y=ax2+bx+c 满足 a+b+c=0，则称该函数为“和谐函数”。下列函数中是“和谐函数”的是（　　） 答案：y=x2-2x+1（因 1-2+1=0） 解析：a+b+c=0 即 x=1 时 y=0，也就是图象过点 (1,0)。判断时只需检验解析式在 x=1 处值为0。 ☆ 4.二次函数综合压轴 压轴题一般含3-4问：先求解析式，再解决几何关系或最值问题，最后一问常为存在性 动点设坐标要选好自变量（常用横坐标），把所有几何量用该变量表示 分类讨论：等腰三角形按顶点分类、直角三角形按直角顶点分类、面积按位置分类 书写时先写思路框架再填充计算，保持步骤完整、推理严谨 概念辨析例题：抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)，求抛物线的解析式并求顶点坐标。 答案：y=-x2+2x+3，顶点 (1,4) 解析：设交点式 y=a(x+1)(x-3)，代入 C(0,3) 得 3=a×1×(-3)，a=-1。故 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3。顶点 x=-=1，y=-1+2+3=4，即 (1,4)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 图象结论 特殊点代入+对称轴消元 a、b、c 符号与图象位置对应 与方程关系 Δ=b2-4ac 判交点个数 交点横坐标即方程根 几何综合 坐标化、函数化 边长、面积用坐标表示 最值问题 配方求顶点 注意自变量取值范围 存在性 假设存在→列方程→检验 分类讨论不重不漏 新定义 定义翻译为数学关系 注意参数取值范围 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与判定 · 判断一个函数是否为二次函数，关键是看能否化为 y=ax2+bx+c（a≠0）的形式，且最高次项指数为2 · 二次项系数 a 必不为0，若含参数则先令二次项系数不为0再求取值范围 · 注意区分二次函数与一次函数、反比例函数，含根号、含的分式形式一般不是二次函数 · 由二次函数定义求参数时，还需保证函数是整式，且 x2 的系数满足条件 1．（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项为2次且二次项系数不为0，据此求解． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2．据此判断即可． 【详解】解：．，是的一次函数，故该选项不符合题意； ．，是的一次函数 ，故该选项不符合题意； ．，是的二次函数 ，故该选项符合题意； ．，是的反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 4．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）已知是y关于x的二次函数，那么t的值是_______． 【答案】8 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，且）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：8． 【考点2】二次函数的图象与性质 · 抛物线 y=ax2+bx+c 的开口方向由 a 决定：a>0 开口向上，a<0 开口向下 · 对称轴为直线 x=-，顶点坐标为 (-, ) · 增减性：开口向上时，在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧增大而增大；开口向下相反 · 判断图象结论类问题，可结合对称轴、顶点、与坐标轴交点及特殊点代入综合判断 5．（22-23九年级下·宁夏银川·开学考试）对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据顶点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误； ∵该函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确． 6．（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的负半轴交于点A，则关于x的方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的对称性，根据二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在直线和直线之间，再由二次函数与x轴交点的横坐标即为其对应的一元二次方程的解即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的横坐标在直线和直线之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在直线和直线之间， ∴关于x的方程的正数解的范围是， 故选：C． 7．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）关于抛物线，下列说法中正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．图像位于第二、四象限 C．抛物线有最低点 D．抛物线在直线的左侧部分是上升的 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】由二次项系数的符号确定抛物线开口方向，结合对称轴分析图像位置与增减性． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数， ∴抛物线开口向下，有最高点，故A、C错误； ∵对任意实数，， ∴，即图像位于第三、四象限及原点，故B错误； ∵该抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴在直线左侧，随的增大而增大，即图像是上升的，故D正确． 8．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性求出点横坐标为，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：∵关于y轴对称，线段轴， ∴线段关于y轴对称， ∵且点A在第二象限， ∴点A的横坐标为， 把代入，得， ∴点A的坐标为． 故选D． 9．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 10．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，解题的关键是运用数形结合的思想分析问题．根据二次函数的图像与系数的关键，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数图像与轴有两个交点， ∴对于方程有两个不相等的实数解，即有， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像对称轴为，且当时，有， ∴由抛物线的对称性质可知，当时，可有， ∴，故结论②不正确； ∵二次函数图像的对称轴为， ∴， 又∵当时，可有， ∴， ∴，故结论③正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴当时，取最大值，此时， 令，可有， ∴， ∴， 而本结论中没有说明，故结论④不正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴数轴上的点距离对称轴越大，函数值越小， ∵， ∴，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有①③⑤． 故选：C． 11．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握“抛物线的对称性、开口方向与的关系、函数值的变化规律”是解题的关键． 【详解】A．二次函数图像开口向上，故，A错误； B．对称轴为，图像开口向上，当​时，随增大而增大，B错误； C．抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，设，则，解得，故，C正确； D．对应时的函数值，由图像可知在对称轴左侧，此时，故，D错误． 故选：C． 12．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系． 根据二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，对各结论进行分析判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∴， ∴结论①正确； ∵抛物线对称轴为直线，且当时，， ∴时，， ∴， ∴结论②正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴结论③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且，则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴， ∴结论④正确， ∴正确结论的个数是． 故选：C． 13．（26-27九年级·上海·暑假作业）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：该函数的对称轴为， ， 当时，，故A正确，不符合题意； 由题意，当时，该函数取得最大值，故为任意实数）， 即为任意实数），故B错误，符合题意； 对称轴是直线， 当时的函数值与当时的函数值相等， 当时，， 当时，，故C正确，不符合题意； 的函数图象即为的轴下侧图象翻转到轴上方， 的根个数即为图象和直线的交点个数，根据图象可得为4个，故D正确，不符合题意． 14．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，抛物线（）的部分图象，其顶点坐标为，与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置及与y轴交点判断a，b，c的符号；利用抛物线的对称性确定时y的符号，结合判断①；利用对称轴公式判断③；利用顶点坐标公式判断④，即可解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线， ，即． ，故②错误． ， ，故③错误． 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在和之间． 当时，，即． ， ，即，故①正确． 抛物线的顶点坐标为， ． ． ，故④正确． 综上所述，正确的结论是①④，共2个． 【考点3】二次函数与方程、交点 · 抛物线与 x 轴交点个数由 Δ=b2-4ac 决定：Δ>0 两个交点，Δ=0 一个交点，Δ<0 无交点 · 二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标即方程 ax2+bx+c=0 的根 · 与 y 轴交点坐标为 (0,c)，与 x 轴两交点间距离可利用根与系数的关系计算 · 由图象解不等式 ax2+bx+c>0（或<0），转化为看抛物线在 x 轴上方（或下方）的部分 15．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知抛物线，将绕它的原点旋转得抛物线，则抛物线的解析式为______． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了抛物线的性质，关于原点对称图形的性质，根据得出开口向上，顶点坐标为，再根据中心对称的性质得出开口向下，顶点坐标为，即可解答． 【详解】解：∵， ∴开口向上，顶点坐标为， ∵绕它的原点旋转得抛物线， ∴开口向下，顶点坐标为， ∴. 故答案为：． 16．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）将二次函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数图像的顶点坐标是______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【详解】解： ， 原二次函数的顶点坐标为， 将图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 新二次函数的解析式为， 平移后二次函数的顶点坐标为． 17．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数的图象向下平移m个单位与x轴只有一个交点，则______． 【答案】4 【知识点】二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，二次函数的图象与x轴的交点问题．根据二次函数的平移规律得，结合函数图象与x轴只有一个交点，可得，即可求解． 即可求解． 【详解】解：二次函数整理得，， 向下平移m个单位后，函数解析式为， ∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴， 解得：． 故答案为：4． 18．（2026·上海浦东新·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】先根据二次函数平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令 求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 令 ，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 19．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）把二次函数的图像左右平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，则平移后的二次函数表达式是______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先对原二次函数配方得到顶点坐标，左右平移不改变顶点纵坐标，结合顶点在正比例函数上得到平移后顶点坐标，即可写出平移后的二次函数表达式． 【详解】解： ， 原二次函数的顶点坐标为， 只进行左右平移， 平移后顶点的纵坐标不变，仍为， 平移后顶点落在上，将代入得， 平移后的顶点坐标为， 平移不改变二次项系数， 平移后的二次函数表达式为． 20．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与x轴有且只有一个交点时，则______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】抛物线平移后与轴只有一个交点，说明平移后的抛物线顶点在轴上，或者对应的一元二次方程有两个相等的实数根． 【详解】解：原抛物线解析式为 配方得 即 原抛物线的顶点坐标为 将抛物线沿轴向下平移个单位 平移后的抛物线解析式为 平移后的抛物线与轴有且只有一个交点 平移后的抛物线顶点在轴上 解得． 【考点4】二次函数图象的平移与变换 · 平移规律：上加下减（常数项）、左加右减（自变量），抛物线形状（a）不变 · 顶点式 y=a(x-h)2+k 中，h 决定左右平移方向，k 决定上下平移方向 · 绕原点旋转180°，a 变号、顶点坐标变号；关于坐标轴对称，按对称性逐一确定顶点 · 平移、旋转后抛物线的解析式先确定新顶点坐标，再利用顶点式写出新解析式 21．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 【答案】28 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，得到的长度和点到轴的距离，再代入三角形面积公式计算． 【详解】解：当时，， 整理得， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， ∴， 当时，， ∴，即点到轴的距离， ∴． 22．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）设抛物线与轴的交点为、，那么线段的长是__________． 【答案】 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【详解】解：当时，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 23．（21-22九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 【答案】或 【知识点】二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题 【分析】当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点，当抛物线向下平移个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，即可求解． 【详解】解：如图，当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点， 如图，当抛物线向下平移3到4个单位（不含3和4个单位）时，抛物线与有两个交点， 当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点， 综上所述，t的取值范围是或． 24．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）如果顶点不同的两个二次函数的图像与轴有相同的两个交点，我们就把其中一个二次函数称为另一个的“牵手二次函数”．如果二次函数的图像顶点为，与轴的交点分别为、（点在点的左侧），它的一个“牵手二次函数”的顶点为，已知，，那么这个“牵手二次函数”的二次项系数是__________． 【答案】或 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、抛物线与x轴的交点问题、其他问题(二次函数综合) 【分析】将原二次函数化为顶点式，确定顶点坐标与对称轴，根据长度求函数与x轴交点坐标，最后代入交点坐标求参数a的值，再设出“牵手二次函数”的顶点式，即可求出这个“牵手二次函数”的二次项系数． 【详解】， 可得顶点A的坐标为，函数对称轴为直线． 二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称， 已知，则两个交点到对称轴的距离均为， 因此左侧交点B的横坐标为，右侧交点D的横坐标为， 即，， 将点B代入原函数解析式，此时， ，即 ， 解得． 因为“牵手二次函数” 与轴的交点分别为、（点在点的左侧）， 所以“牵手二次函数”和原抛物线与轴交点完全相同，对称轴同样为， 设它的顶点式为，则顶点， 因为两个顶点横坐标都是，在同一条竖直线上， 所以两点距离， 若，解得， 此时C的坐标为， 把交点代入， 即，解得； 若，解得， 此时C的坐标为， 把交点代入， 即，解得． 所以这个“牵手二次函数”的二次项系数是或． 25．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， (1)求的取值范围； (2)若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 【答案】(1)且. (2)或. 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）由是二次函数解析式可得，再由二次函数的图像与轴有两个交点可得，即可求出的取值范围； （2）设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（），由和根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数的图像与轴有两个交点， ∴，解得：， 综上：且． （2）解：设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（）， ∴，为（）的两个根， ∴，， ∵二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 【考点5】二次函数解析式的确定 · 已知三点坐标，设一般式 y=ax2+bx+c，代入三点用待定系数法求解 · 已知顶点坐标或对称轴，设顶点式 y=a(x-h)2+k，再代一个点求 a · 已知与 x 轴两个交点，设交点式 y=a(x-x1)(x-x2)，再代第三个点求 a · 选择解析式形式时，以条件中信息最直接的形式入手，减少计算量 26．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】点和纵坐标相同，可得抛物线的对称轴，用顶点式设抛物线方程，代入点和求出参数，再展开为一般式计算． 【详解】解：抛物线过点、，两点纵坐标相等， 对称轴为：， 设抛物线的顶点式为：． 将点，代入，得方程组： ， 化简：， 两式相减，得：，， 将代入，得： ，， 将顶点式展开：， ，，， ． 27．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解： 、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 28．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且在对称轴右侧，若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 【答案】(1) (2)2 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）把代入（1）中解析式求出x的值，然后求出抛物线的对称轴，最后结合已知写出点C的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点的纵坐标为，点在抛物线上， ∴， 解得，， ∵， ∴对称轴为直线， ∵点C在对称轴右侧， ∴ ∴点C 到 y 轴的距离2．． 29．（22-23九年级上·山东泰安·阶段检测）（1）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． （2）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式； （1）设抛物线解析式为，再把点代入其中，求出a的值，即可得到二次函数表达式； （2）设函数解析式为，把三点坐标分别代入，解方程组即可得到函数表达式． 【详解】解：（1）设抛物线解析式为， 把点代入中，得：， 得：， 即， 化为一般式为：； （2）设函数解析式为， 把、和代入中，得：， 解得：， 即． 30．（专题10特殊三角形的存在性（含2024年崇明、闵行一模）-2024年中考数学高频易错重难点通关讲解练（上海专用））在平面直角坐标系中，抛物线经过和．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)已知点在第一象限，且在直线上，过作轴的垂线，垂足为点，在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形， ①当点与点重合时，如图所示，求点到这条抛物线对称轴的距离； ②如果点在这条抛物线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①1；② 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数的对称性求函数值、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）、代入即可得抛物线的解析式为； （2）①过作于，交轴于，与重合时，，，由是等腰直角三角形，得，到抛物线对称轴的距离是； ②过作于，先求出直线为，设，则，，，将代入解得或（与重合，舍去），即可求出． 【详解】（1）解：、代入得：， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：①过作于，交轴于，如图：    当与重合时，，， 是等腰直角三角形， 和也是等腰直角三角形， ， ， 而抛物线的对称轴是轴， 到抛物线对称轴的距离是； ②过作于，如图：    设直线解析式为，将、代入得： ，解得， 直线为， 设，则， ， 当，时，， 将代入得： ， 解得或（与重合，舍去）， ，，， 当，时，， ，由可知， 此时、、重合，舍去， ． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、对称轴公式、等腰直角三角形的性质与判定、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示的坐标． 31．（24-25九年级上·吉林·期中）已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)若关于x的方程（t为实数），在时无解，直接写出t的取值范围； (4)已知点，，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3)或 (4)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将代入可求，进而可得二次函数的解析式； （2）由，可知对称轴为直线，图象开口向上，当时，；当时，；当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，则，当时函数值最小，当时函数值最大，，计算求出满足要求的解即可； （3）当时，二次函数的函数值，由关于x的方程（t为实数），在时无解，可知，在时无解，然后求解作答即可； （4）当时，可求，顶点坐标为，如图，当时，，即；由图可知，当时，交点只有一个，当时，轴，交点只有顶点一个，然后作答即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线，图象开口向上， 当时，； 当时，； ∵当时，该二次函数最大值与最小值的差是9， ∴， 当时函数值最小，当时函数值最大， ∴， 解得，，（舍去）， ∴t的值为6； （3）解：当时，二次函数的函数值， ∵关于x的方程（t为实数），在时无解， ∴，在时无解， ∴或； （4）解：当时， 解得，， 顶点坐标为， 如图， 当时，，即； 由图可知，当时，交点只有一个， 当时，轴，交点只有顶点一个， 综上所述，当该函数图象与线段只有一个公共点时，或． 32．（2024·上海徐汇·三模）如图，抛物线顶点为坐标原点、且经过点，直线经过点和点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)如果将此抛物线平移，平移后新抛物线的顶点在原抛物线上，新抛物线的对称轴与直线在原抛物线的内部相交于点，且，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线表达式为，直线的表达式为 (2)新抛物线的表达式或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）设直线与轴交于点，求出，设点的坐标为，则点的坐标为，分当点在线段上时，当点在延长线上时两种情况讨论即可； 本题考查二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线顶点为坐标原点O， ∴，， ∵点在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴抛物线表达式为， 设直线的表达式为， ∵直线经过点和点， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）设直线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 当点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点C的坐标为， ∴新拋物线的表达式， 当点在延长线上时，延长交轴于点，在的延长线上截取，连接， 如图， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（正值不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为． ∴新抛物线的表达式． 33．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)把抛物线向下平移m个单位（）得到抛物线，记抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，直线与x轴交于点P． ①当点P与点A重合时，求m的值； ②记点B平移后的对应点为，如果，求此时点D的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点D的坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①利用抛物线的平移思想，待定系数法，点重合的意义，解答即可； ②利用分类思想，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，整理解方程解答即可． 【详解】（1）解：将，分别代入解析式，得： 解得：，． ∴抛物线的解析式为：． （2）①解：由题意，得， 抛物线向下平移m个单位（）得到抛物线， 故抛物线的解析式可设为：． ∴，． 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 又∵点P与点重合， ∴， ∴． ②解：记抛物线对称轴与x轴交于点H，那么，且轴． ∵， ∴． 当点P在点B左侧时， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 同理可证，当点P在点B右侧时，仍有成立， 有：； 解得：， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，三角形相似的判定和性质，解方程，分类思想，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【考点6】二次函数的实际应用 · 抛物线型实际问题（喷泉、铅球、隧道、拱桥）：先建坐标系，把实际问题转化为二次函数解析式 · 最大高度、最大利润问题：转化为求二次函数顶点坐标，注意自变量的实际取值范围 · 已知函数值求自变量，转化为解一元二次方程，并根据实际意义取舍 · 解决实际问题时注意单位统一，结果需符合实际背景的合理性 34．（2025·山东菏泽·一模）科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__________． 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题主要考查了二次函数的应用．首先利用图标得出一组对称点，然后利用二次函数对称轴与顶点（最值）得出即可． 【详解】解：由，可知抛物线的对称轴为直线， 故当时，植物生长的温度最快． 故答案为：． 35．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为米，足球场的面积为平方米，则关于的函数关系式（结果保留）为______． 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据跑道周长公式表示出矩形的宽，再利用矩形面积公式列出函数关系式； 【详解】解：设矩形的宽为米， 跑道周长为米，由两条直道和两个半圆组成，两个半圆合为一个圆，直道的长为米， ， ， 足球场是矩形， ， ， ． 36．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）为了参加市科技节展览，同学们制作了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架，在如图所示的设计图中，若抛物线的函数解析式为，正方形的边长和正方形的边长之比为，则正方形的边长是______． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+k的图象和性质、已知二次函数的函数值求自变量的值、拱桥问题(实际问题与二次函数)、根据正方形的性质求线段长 【分析】由题目已知条件正方形的边长和正方形的边长之比为，求出正方形MNPQ的边长． 【详解】解：设点B的纵坐标为， 四边形是正方形， ． 各点坐标都关于y轴对称， 点B横坐标为． 点B坐标为． ∵正方形的边长和正方形的边长之比为， ． 各点坐标都关于y轴对称， 点F横坐标为．点F纵坐标为． 点F坐标为． 抛物线的函数解析式为， 把点B坐标，点F坐标代入函数解析式，得 且， 解得， 抛物线的解析式为， 点F坐标为． 设正方形的边长为t，则N点坐标为． 将其代入， 整理，得， 解之，得，负根舍去． 所以，正方形的边长为． 37．（25-26九年级下·上海长宁·期中）某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意可得：，把，代入即可得到与的关系式； （2）把代入，可得，根据，可得关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ，， ， 整理可得：； （2）解：， ， ， ， 解得：． 【考点7】新定义与规律探究 · 新定义题先理解定义：按定义给出的运算规则、特征数、开口大小等转化为已知模型 · 规律探究题（正方形边长、交点规律）先求前几个值，归纳通项，再用通项求第n个 · 新定义中的特殊点（倍值点等）按要求列方程求解，注意讨论存在性 · 探究题一般用特殊到一般的方法：先代入前几项，找出递推关系再推广 38．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值、根据正方形的性质求线段长 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 39．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）【实践与探究】九（9）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程： (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为_________________． (2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ (3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问题，请予解答： 如图2，过原点作一条的直线，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在线段上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)该隧道能让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶 (3)P点的坐标为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)、等腰三角形的性质和判定、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）将车宽转化为横坐标，将横坐标代入解析式求解，判断，即可解题； （3）因为三角形为等腰直角三角形，需分类讨论，再根据等腰直角三角形的性质和函数解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由图设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵车宽、高， ∴当时，， ∵，满足车顶部与隧道在竖直方向上的高度差至少为， ∴该隧道能让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶． （3）存在， ∵M为与的交点， 则有，解得，， ∴， ∵三角形为等腰直角三角形，需分类讨论， ①当，时， ∵N为直线与对称轴的交点， ∴， 取点，，则， ∴，即， ∴点Q为与抛物线的交点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q为与的交点， 则有，解得（舍），， ∴， ∴； ②当，时，因为轴，所以该情况不存在； ③当，时， ∵， ∴轴， ∵， ∴Q点的纵坐标为5，则，解得（舍），， ∴ 综上，P点的坐标为或． 【点睛】此题考查用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和数形结合思想，能够将题干条件转化为数学知识解决问题是解题的关键． 40．（2023·浙江宁波·三模）【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表： 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； (1)k的值为______， (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． (3)请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ (4)烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 【答案】(1) (2)解：所作图象如下图： (3)士兵射出的箭没有掉进圣火台里． (4)射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为． 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当与时的函数值相等，据此即可求解； （2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可； （3）先求得抛物线的解析式，再求出当时所对应的的值，再和作比较即可； （4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点的坐标和右上角的点的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解． 【详解】（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分， 根据表格数据和二次函数图象的对称的性质可得：对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，； （2）略 （3）解：设二次函数的解析式为：， 当时，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时， 解得：， ∴士兵射出的箭没有掉进圣火台里； （4）解：由（3）可知：二次函数的解析式为， ∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图象左右平移可以保证圣火被点燃， 依题意，正方形左下角的点的坐标为，右上角的点的坐标为， 设后退米，即抛物线向左平移米，当抛物线经过正方形的左下角的点时，   ∴， 解得：，（不合题意，舍去）； 设前进米，即抛物线向右平移米，当抛物线经过正方形的右上角的点时， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为． 【考点8】二次函数综合压轴 · 综合题先求解析式，再结合对称轴、顶点、交点逐问推进，注意数形结合 · 特殊三角形存在性问题：设动点坐标，按等腰、直角等条件列方程，检验是否满足题意 · 面积、线段最值问题：把目标量表示成关于动点横坐标的二次函数，再求最值 · 多问综合题注意每问结果可为后续服务，分类讨论要做到不重不漏 41．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求m的值； (2)若该函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一次函数的定义求参数、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义： （1）一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可； （2）一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】（1）解：是一次函数， 且， 解得； （2）解：是二次函数， ， 解得， 当时，，不符合题意， ． 42．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 43．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与直线的交点分别是、（点在点的右侧），是线段的中点，点关于轴对称的点也在该抛物线上． (1)求的值和这个抛物线的表达式； (2)平移直线． ①过点作轴的垂线，与抛物线交于点．如果平移后的直线经过点，求此时直线的表达式； ②将直线向下平移，设平移后的直线与抛物线的两个交点分别是、（点在点的右侧），是线段的中点．如果，求此时直线的表达式． 【答案】(1)，； (2)①，②． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合)、中点坐标 【分析】（1）利用点在直线上的条件求，再利用点关于轴对称的性质和点在抛物线上的条件建立方程组求、． （2）①先求直线与抛物线的交点、，进而求出中点的坐标；过作轴垂线求抛物线上的点；利用平移后直线比例系数不变且过点，求平移后直线表达式； ②设平移后直线为，联立抛物线方程利用韦达定理求中点的坐标；利用距离公式表示和，由建立方程求解，则解析式可求． 【详解】（1）解：由点在直线上，代入得： 则 所以直线表达式为． 点关于轴对称的点为，该点也在抛物线上． 同时点也在抛物线上， 将和的坐标分别代入抛物线方程，得， 解得， 所以抛物线表达式为： ； （2）①解：由与有交点， 则 解得： ，， 故点的坐标为． 中点的坐标： 即． 由过作轴垂线，交抛物线于点： 即． 平移后的直线比例系数不变，设表达式为． 代入点： 所以平移后的直线表达式为： ． ②解：由已知，设平移后直线为（）． 联立平移后直线与抛物线： 设、的横坐标分别为、，由一元二次方程的根与系数的关系： 中点的横坐标： ∴中点的纵坐标为： 即． 由已知，，所以： 由点，点： ， 由，得， 因为向下平移，，所以： 设平移后的直线与抛物线的两个交点分别是、， 则判别式： 代入： 判别式大于零，满足有两个交点的条件， ∴平移后直线为． 44．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知平面直角坐标系，抛物线交轴正半轴于点，将它向上平移个单位后新的抛物线交轴正半轴于点、（在左侧），交轴于点． (1)如图1，如果，求平移后抛物线的表达式； (2)如图2，连接交抛物线对称轴于点，直线交原抛物线于点，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次函数图象的平移、求抛物线与x轴的交点坐标、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用对称轴及可得两点的坐标，进而可得解析式； （2）设，直线交轴于点，可得，进而，得到的坐标，可求得直线解析式，结合原抛物线解析式即可得到点的坐标. 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∴平移后抛物线的解析式为：； （2）解：由平移可得：平移后抛物线的对称轴是直线， ∴， 设，直线交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：， ∴， ∵关于直线对称， ∴， ∴平移后抛物线解析式为：， ∵平移前抛物线解析式为：， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：， ∴解得：， 即：， 解得， 或（舍）， ∴. 💯 课后巩固 复习建议 · 结论判断类问题坚持“代入验证”，把 a、b、c 关系通过对称轴统一转化 · 动点问题先设坐标再表示几何量，遇到最值配方求顶点并核对取值范围 · 存在性问题先假设存在，解出后务必检验是否满足所有条件，防止增解 · 新定义题先翻译定义再解题，把陌生规则转化为熟悉的函数模型 · 综合压轴题分问作答，利用前问结论推进后问，书写规范完整 【作业1】．（23-24九年级上·浙江金华·阶段检测）用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： 根据以上信息，当时，的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了图表表示函数，根据图表得到和是对称点，继而得到抛物线的对称轴为，根据，判断与是对称点即可． 【详解】根据图表，得到和是对称点， 故抛物线的对称轴为， 根据， 故和是对称点， 故， 故选A． 【作业2】．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴位置判断的符号，根据与轴交点位置判断的符号，根据与轴交点个数判断的符号． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， 对称轴在 轴右侧， ， 抛物线与轴交点在轴下方， 抛物线与轴有两个不同的交点， 一元二次方程 有两个不相等的实数根， 综上所述，，，． 【作业3】．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 【作业4】．（24-25九年级上·上海·阶段检测）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质的综合应用等知识点，①依据题意，把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②依据题意，令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；③依据题意，首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④依据题意，根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】①当时，特征数为， ∴，， ∴函数图象的顶点坐标是：，故①正确； ②当时，令，有， 解得， ∴， ∴， ∴当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故②正确； ③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的右边y随x的增大而减小， ∵当时，，即对称轴在直线右边， ∴函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误； ④∵， 令， 解得或， 将代入得， 将代入得， ∴时，函数图象经过定点，，故④正确； ∴正确的有：①②④共3个， 故选：D． 【作业5】．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）如图，抛物线的部分图象，其顶点坐标为，与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：．其中正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置及与y轴交点判断a，b，c的符号；利用抛物线的对称性确定时y的符号，结合判断①；利用对称轴公式判断③；利用顶点坐标公式判断④，即可解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线， ，即． ，故②错误． ， ，故③错误． 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在和之间． 当时，，即． ， ，即，故①正确． 抛物线的顶点坐标为， ． ． ，故④正确． 综上所述，正确的结论是①④，共个． 【作业6】．（2022·江西·模拟预测）已知抛物线（、、为常数，且）与轴交于，两点，且点在直线的下方，则下列说法正确的是（     ） A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上 C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】先求出直线与x轴的交点，根据点B在直线下方得出B点横坐标的范围，进而得到抛物线对称轴的位置，再判断各选项说法即可． 【详解】解：令直线中，得， 即直线与x轴交点为． 点是抛物线与x轴的交点， 点的纵坐标为，设， 点在直线下方， ，即． 抛物线与x轴交于，两点， 抛物线对称轴为直线. ， ，即对称轴在y轴左侧， 抛物线顶点的横坐标小于， 第四象限内点的横坐标大于， 抛物线的顶点不可能在第四象限，A选项说法正确； 的正负不确定， 抛物线开口方向无法确定，B选项说法错误； 联立抛物线与直线解析式，整理得， 其判别式， 当时，的符号不确定，交点个数不确定，C选项说法错误； 抛物线对称轴在y轴左侧， 对称轴不可能在y轴右侧，D选项说法错误． 【作业7】．（26-27九年级上·上海·阶段检测）二次函数的变量与变量的部分对应值如下表，则该二次函数图像的对称轴是________． 【答案】直线 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先使用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出对称轴即可． 【详解】解：将，；，；，代入，得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线． 【作业8】．（2022·江苏无锡·模拟预测）若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 【答案】四 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】先根据二次函数的开口方向确定a的取值范围，再利用一次函数的图象与性质判断直线经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限． 【作业9】．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）在平面直角坐标系中，点是抛物线的顶点，点Q是抛物线的顶点，如果，那么点Q的坐标是_______． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，分别求出两个函数图像顶点坐标，根据勾股定理列方程求出a的值即可． 【详解】解：， ∴顶点P的坐标为； 又， ∴该抛物线顶点Q的坐标为， ∴；；， 又， ∴， ∴， 解得， 将代入得， 故答案为：． 【作业10】．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“序列数”，如：的“序列数”为．有以下结论： ①二次函数的“序列数”为； ②“序列数”为的二次函数的图像与x轴恒有两个交点； ③“序列数”为的二次函数的图像与x轴的两个交点为定点； ④“序列数”为的二次函数，如果，当时，y随x的增大而增大； 以上结论正确的有______． 【答案】①③④ 【知识点】二次函数的识别、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、其他问题(二次函数综合) 【分析】根据“序列数”新定义写出对应二次函数，结合判别式、因式分解求交点、对称轴与增减性逐个判断． 【详解】①根据序列数定义，的序列数为，①正确． ②序列数对应函数， ， 当时，图像与轴仅有一个交点，并非恒有两个交点，②错误． ③序列数对应函数， 令，解得或，交点为定点、，③正确． ④序列数对应函数，， 对称轴， ， ，对称轴． 抛物线开口向下，对称轴左侧随增大而增大， 当时，随的增大而增大，④正确． 综上正确的是①③④． 【作业11】．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点为，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为，平移前后的两条抛物线相交于点，若为等边三角形，则m的值为______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式、等边三角形的性质、利用平移的性质求解、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】先配方得到原抛物线顶点坐标，根据平移性质得到顶点坐标和平移后抛物线解析式，联立方程求出交点坐标，利用等边三角形的高与边长的关系建立方程求解即可． 【详解】解：原抛物线配方得， ∴顶点的坐标为， ∵抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到顶点， ∴顶点的坐标为，平移后抛物线解析式为， 联立两个抛物线方程， 可得， 整理得， ∵， 两边同除以得，解得， 将代入，得， ∴点坐标为， ∵，， ∴（）， 如图所示，过点作于点，则为中点，坐标为， ， ∵是等边三角形， ， ∴， 又， ∴， ∵，两边同除以得， 解得（不符合题意，舍去）． 【作业12】．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数的表达式，再把表达式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据（1）所求可得函数的增减性和对称轴，求出时的函数值，结合顶点坐标即可得到答案； （3）由对称性可得点在该函数的图象上，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， ∴， ∴该二次函数的表达式为， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得该二次函数的表达式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时，，且， ∴当时，函数的最大值小于7， ∵顶点坐标为，即当时，函数的最小值为， ∴当时，； （3）解：由（2）可知，对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可知，点在该函数的图象上， 由函数图象可知，当时，或． 【作业13】．（23-24九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， 顶点C的坐标为 (2)或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由对称轴为直线，可得抛物线解析式为，据此代入A、B坐标求解即可； （2）设点M的坐标为，则，，，再分当时， 当时， 当时，三种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴抛物线解析式为 把点，点代入得 中得， 解得 ∴抛物线解析式为， ∴顶点C的坐标为； （2）解：设点M的坐标为， ∴，，， 当时，则，解得， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或（舍去）， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或， ∴点M的坐标为或； 综上所述，点M的坐标为或或或． 【作业14】．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、角度问题(二次函数综合) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）求出点坐标，可得是等腰直角三角形，即得，得到， 过点作交抛物线于点，过点作轴于点，可得，得到是等腰直角三角形，即得，设，则，可得，，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得(不合，舍去) 或， ∴． 【作业15】．（2026·甘肃平凉·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8， (3)存在，或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）过点作轴，交于点，先利用待定系数法，求直线的解析式，设点 ，则点 ，可得，从而，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据二次函数图象平移的规律，可得，设点的坐标为，可得，，，再根据题意，分类讨论：当时，列方程求解即可；当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为8，此时点的坐标为； （3）解： 在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下： ，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ， 设点的坐标为， 点，点， ，， 是以为直角边的直角三角形， 或， 当时，， 解得或5，此时点或； 当时，， 解得或，此时点 或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，符合条件的点的坐标为或或或． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $