河南省新乡市河南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

河南师大附中本部高二年级上期10月月考数学试卷 【答案】 1.D 2.A 3.C 4.C 5.B 6.B7.B 8.A 9.ACD 10.AB 11.BD 12名132914语 15.解：(1)根据题意，圆01：(x-1)2+y-2)2=4,圆心为(1,2)，半径r=2, 若弦AB的长为23，则圆心到直线x-y+4=0的距离d=√2-(W3)2=1, 又由圆心为(1,2)，直线ax-y+4=0, 则有d=a=1,解得a=-是 Va2+1 (2)根据题意，分2种情况讨论： 当切线斜率不存在时，其方程为x=3,与圆相切，符合条件， 当切线斜率存在时，设其方程为y-1=k(x-3), 圆心到它的距离2是=2，解得k=圣切线方程为3x-4-5=0, √k2+1 所以过点M的圆01的切线方程为x=3或3x-4y-5=0. 16,解：()由题意可得2c=6,则c-3,因为e-日=是 则a=4, 则b=√a2-c2=√7， 所以椭圈C的方程为：荒+号=1， (2)当直线l与x轴重合时，O、M、N三点重合，不符合题意， 易知点F2(3,0),设直线的方程为x=my+3,设点M(x1,y1)、N(x2,y2), 装0-1比 可得(7m2+16)y2+42my-49=0, 则4=422m2+4×49(7m2+16)=196×16(m2+1)>0, 由韦达定理可得y1+y2=一7m+16 42m 49 y1y2=-7m2+161 所以，S=0F2y1-y2l 1 =2×3×√01+2P-42 第1页，共4页 42m )2 4×49 7m2+16 + 7m2+16 84Wm2+1 84 7(m2+1)+9 7m2+1+ 9 Vm2+1 2Wm7三-器-2V7, 84 √n2+1 当且仅当7Vm2+=2即m2=时，等号成立， 综上可知S的最大值为2√7. 17.解：(1)把圆C2:x2+y2-2x-8y+12=0化为标准方程为 (x-1)2+0-42=5,得圆心C2(1,4,kc2N=- 则直线C2W:y-3=-2x-3),即x+2y-9=0. (2)方法一：设圆C1的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 则g-a2+1-2=,2 (3-a)2+(3-b)2=r2 两式相减得8-4b=0,则b=2,又因为a+2b-9=0, 所以a=5,故所求圆C1的方程为(x-5)2+(y-2)2=5: 方法二：圆心C1线段MN的中垂线方程为y=2, 则圆心C1在直线y=2上， 也在直线C2N:x+2y-9=0上， 解得圆心C1(5,2), 圆C1的半径r=IC1M=V5, 圆C1的标准方程x-5)2+y-2)2=5. 18.解：(1)设椭圆的焦距为2c, 由已知可得号-号 又a2=b2+c2,|AB=Va2+b2=V13, 解得a=3,b=2, 椭圆的方程为：号+号-1， (2)设点P(x1,y1),M(x2,y2),(x2>x1>0),则Q(-x1-y1) △BPM的面积是△BPQ面积的2倍， PM|=21PQl,从而x2-x1=2[x1-（-x1)], ..x2=5x1, 第2页，共4页 易知直线AB的方程为：2x+3y=6. 白化-6，可得=>0， 由29=36，可得1=7总 6 ly=kx V9k2+4=5(3k+2)182+25k+8=0,解得k=-号或k=-克 6 由x2=3牛2>0， 可得k>子故k=-是 19.解：(1)证明： 因为在Rt△ABC中，∠C=90°，DE/BC,且BC1CD, 所以DE⊥CD,DE⊥AD, 则折叠后，DE1A1D, 又A1DnCD=D,A1D,CDC平面A1CD, 所以DE⊥平面A1CD,A1CC平面A1CD, 所以DE⊥A1C, 又己知A1C⊥CD,CD∩DE=D且都在面BCDE内， 所以A1CI平面BCDE: (2)由(1)知，以CD为x轴，CB为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz, ZA M B 方 E 因为AD=2CD,故DE=号BC=2, 由几何关系可知， CD=2,A1D=4,A1C=2N3, 故C(0,0,0),D(2,0,0),E(2,2,0), B(0,3,0),A1(0,0,2V3,M(1,0,V3, CM=(1,0,V3,A1B=(0,3,-2W3): A1E=(2,2,-2V3, 设平面A1BE的法向量为元=(x,y,z), 则·A正=0，即3y-232=0 元.A1E=0'即{2x+2y-2W3z=0' 第3页，共4页 不妨令y=2,则z=√3，x=1, 故平面A1BE的一个法向量为元=(1,2，V3, 设CM与平面A1BE所成角的大小为6， 则有sin6-lcos(C☑，l= 1C☑ ICMI 4 2 =2x2W2=2 所以6=景 即CM与平面A1BE所成角的大小为好： (3)假设在线段A1C上存在点N, 使平面CBM与平面BMN成角余弦值为， 在空间直角坐标系中， BM=(1,-3,V3),CM=(1,0,V3),CA1=(0,0,2V3), 设CN=1CA1,则cN=(0,0,23),BN=BC+C=(0,-3,0)+(0,0,2V3)=(0,-3,2W3), 设平面BMN的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则有@·B测=0即2-3+32，=0 n2·BN=0'气-3y2+23z2=01 不妨令z2=√3，则y2=21,x2=61-3, 故平面BMN的一个法向量为2=(61-3,22，V3, 设平面CBM的法向量为n=(x3,y3,Z3), e0吧，0 (x3+V3z3=0 不妨令z3=V3,则x3=-3,y3=0, 所以平面CBM的一个法向量为 =（-3,0,V3), 若平面CBM与平面BMN成角余弦值为， 则满足esl=哥需 1918+3到=3， 2W3×9(22-1)2442+34 化简得22-31+1=0， 解得A=1或2即CN=CA1或CN=CA,故在线段A1C上存在这样的点N, 使平面GBM与平面BMN成角余弦值为学 此时CN的长度为v3或2√3. 第4页，共4页绝密★启用前 河南师大附中本部高二年级上期10月月考数学试卷 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线V3x+3y+1=0的倾斜角是() A若 B c D陪 2.已知直线l1:mx+2y-2=0与直线L2:5x+(m+3)y-5=0,若l1//儿2，则m=() A.-5 B.2 C.2或-5 D.5 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA1=V√3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为() A B号 e晋 D号 4实数x,y满足x2-4x+y2-6y+9=0,则的取值范围是() [- B. 3+ 5.仇九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的 鳖臑A-BCD中，AB1平面BCD,∠BDC=90°，BD=2AB=2CD=2,E是BC 的中点，H是△ABD内的动点（含边界），且EH//平面ACD,则CA·E的取值范 D 围是() A0,3]B.[23]C[2] D.3] 6.空间直角坐标系0-xyz中，经过点P(xo,yo,zo)且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为A(x-xo)+B(y yo)+C(2-z0)=0,经过点P(xo,yo,z0)且一个方向向量为元=(4，心，w)ww≠0)的直线的方程为二0= y-0=-0,阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x-5y+z-7=0,经过(0,0,0)的 直线的方程为=立=气则直线与平面α所成角的正弦值为() A需 B.V1o 35 C:0 5 D 7.已知椭圆C兰+发=1(a>b>0)的左、有焦点分别为P1,F2,0为坐标原点，以F2为圆心，F5,为半径 的圆与椭圆C交于M,N两点，若1OM=IMF1,则椭圆C的离心率为() A.V2-1 B.2-V2 C.3-1 D.2-V3 第1页，共4页 8.x-1=√2y-y2表示的曲线为() A.两个半圆 B.一个圆 C.半个圆 D.两个圆 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是() A.若直线的一个方向向量为(2,3)，则该直线的斜率为k= B.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件 C.当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时，m的值为-1 D.己知直线过定点P(1,0)且与以A(2,-3),B(-3,-2)为端点的线段有交点，则直线的斜率k的取值范围是 (-∞，-3JuB,+∞) 10.己知圆C:(x-1)2+y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R),则() A.直线恒过定点(3,1) B.直线被圆C截得的最长弦长为10 C.当m=2时，直线被圆C截得的弦长最短 D.当m=0时，圆C上恰有3个点到直线的距离等于4 11.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=2,点P在线段B1C上（不含端点），则() A B B A.不存在点P,使得AB1⊥BP B.△ABP面积的最小值为V四 C.PA+PB的最小值为有2V7+6 D.三棱锥B1-PAB与三棱锥C1-PAC的体积之和为定值 第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=写，AB=1,AD=AA1=2,则异面 直线BD1与CC1所成角的余弦值为一， 13.己知元=(1，-1,1)是平面a的一个法向量，点A(1,1,0)在平面a内，则点P(2,2,2)到平面a的距离为 14.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为AA1的中点，M在侧面AA1B1B上，若D1M1CP,则△BCM 面积的最小值为 D A D B 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 己知点M(3,1),圆01：(x-1)2+y-2)2=4. (1)若直线ax-y+4=0与圆01相交于A,B两点，且弦AB的长为2W3,求a的值； (2)求过点M的圆01的切线方程， 16.(本小题15分) 已知椭圆C爱+茶=1(a>b>0)的焦距为6，离心率为 (1)求曲线C的方程； (2)过椭圆右焦点F2作直线l交椭圆C于M、N两个不同的点，记△OMN的面积为S,求S的最大值， 17.(本小题15分) 在平面直角坐标系中，圆C1经过点M(3,1),且与圆C2:x2+y2-2x-8y+12=0相切于点N(3,3) (1)求直线C2N的方程； (2)求圆C1的标准方程. 第3页，共4页 18.(本小题17分) 导+三=1(a>b>0)的右顾点为A,上顶点为8.已知椭圆的离心率为汽481=VB 设椭圆 (1)求椭圆的方程： (2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点，直线l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值， 19.(本小题17分) 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，满足DE//BC且DE经过aABC的重 心，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1CICD,M是A1D的中点，如图所示. D M (1)求证：A1C1平面BCDE: (2)求CM与平面A1BE所成角的大小： (3)在线段A1C上是否存在点N,使平面CBM与平面BMN成角余弦值为？若存在，求出CN的长度：若不存 4 在，请说明理由. 第4页，共4页河南师大附中本部高二年级上期10月月考数学试卷 【答案】 1.D 2.A 3.c 4.C5.B 16.B 7.B 8.A 9.ACD 10.AB 11.BD 128 13.23 3 14得 15.解：(1)根据题意，圆01：(x-1)2+y-2)2=4,圆心为(1,2)，半径r=2, 若弦AB的长为2√3，则圆心到直线ax-y+4=0的距离d=√22-(W3)2=1, 又由圆心为(1,2)，直线ax-y+4=0, 则有d=品=1，解得a=-景 √a2+1 (2)根据题意，分2种情况讨论： 当切线斜率不存在时，其方程为x=3,与圆相切，符合条件， 当切线斜率存在时，设其方程为y-1=k(x-3), 圆心到它的距离2+是=2，解得k=子切线方程为3x-4y-5=0, √k2+1 所以过点M的圆01的切线方程为x=3或3x-4y-5=0. 16解：（①由题意可得2c=6,则c=3,因为e=- 则a=4, 则b=Va2-c2=√7， 所以椭圆C的方程为：云+号-=1： (2)当直线l与x轴重合时，O、M、N三点重合，不符合题意， 易知点F2(3,0),设直线的方程为x=my+3,设点M(x1,y1)、V(x2,y2), 联6-12 可得(7m2+16)y2+42my-49=0, 第1页，共16页 则4=422m2+4×49(7m2+16)=196×16(m2+1)>0, 42m 由韦达定理可得y1+y2=一7m2+16 49 y1y2=-7m2+16 所以，S=0F2y1-y2 1 =2×3×√0M1+y22-4y2 3 42m 2 4×49 -7m2+16 7m2+16 84Vm2+1 84 7(m2+1)+9 7m2+1+ 9 Vm2+1 84 84 27Wm24i9 67=2W7, √m2+1 当且仅当7Nm2+=品m2-到，等号成立， 综上可知S的最大值为2√7. 17.解：(1)把圆C2:x2+y2-2x-8y+12=0化为标准方程为 c-1)2+0-42=5,得圆心C2(1,4,kcN=- 则直线C2N:y-3=-2x-3),即x+2y-9=0. (2)方法一：设圆C1的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 则8-89-6= 两式相减得8-4b=0,则b=2,又因为a+2b-9=0, 所以a=5,故所求圆C1的方程为(x-5)2+(y-2)2=5: 方法二：圆心C1线段MN的中垂线方程为y=2, 则圆心C1在直线y=2上， 也在直线C2N:x+2y-9=0上， 解得圆心C1(5,2), 圆C1的半径r=IC1M=V5, 圆C1的标准方程(x-5)2+y-2)2=5。 第2页，共16页 18.解：(1)设椭圆的焦距为2c, 由已知可得哈- a2=b2+c2,ABI=va2+b2=v13, 解得a=3,b=2, 椭圆的方程为：号+兰-1， (2)设点P(x1,y1),M(x2,y2),(x2>x1>0),则Q(-x1,-y1) △BPM的面积是△BPQ面积的2倍， |PM|=2PQ,从而x2-x1=2[x1-（-x1)], X2=5X1, 易知直线AB的方程为：2x+3y=6, 此+-6 ,可得x2=3张+2>0. 6 白9y=0,可得=g 6 V9k2+4=5(3k+2)→18k2+25k+8=0,解得k=-8或k=-号 6 由x2=3欢+2>0， 可得k>-子故k=-是 19.解：(1)证明： 因为在Rt△ABC中，∠C=90°，DE/BC,且BC⊥CD, 所以DE⊥CD,DE⊥AD, 则折叠后，DE1AD, 又A1D∩CD=D,A1D,CDC平面A1CD, 所以DE1平面A1CD,A1CC平面A1CD, 所以DE⊥A1C, 又己知A1C⊥CD,CD∩DE=D且都在面BCDE内， 所以A1C1平面BCDE: (2)由(1)知，以CD为x轴，CB为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz, 第3页，共16页 M B D 因为AD=2CD,故DE=号BC=2, 由几何关系可知， CD=2,A1D=4,A1C=2V3, 故C(0,0,0),D(2,0,0),E(2,2,0) B(0,3,0)A1(0,0,23,M(1,0,√3， CM=(1,0,V3,A1B=(0,3,-2W3 A1E=(2,2,-2W3: 设平面A1BE的法向量为7=(x,y,), 8叫-。 不妨令y=2,则z=V3,x=1, 故平面A1BE的一个法向量为元=(1,2，√3： 设CM与平面A1BE所成角的大小为8， 则有sim0=1cos(C成，=高 CM 4= 2x2W7=2, 所以9=异 即CM与平面A1BE所成角的大小为好 (3)假设在线段A1C上存在点N, 使平面CBM与平面BMN成角余弦值为， 在空间直角坐标系中， BM=(1,-3,V3),cM=(1,0,V3),cA=(0,0,2√3)， 设C=λCA1,则CN=(0,0,2W3),B=BC+CN=(0,-3,0)+(0,0,2W3)=(0,-3,23), 第4页，共16页 设平面BMW的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则有位·丽=0即3y2+32:=0 (n2·BN=0’ (-3y2+2V3z2=0 不妨令z2=V3,则y2=21,x2=61-3, 故平面BMN的一个法向量为2=(61-3,2)，√3 设平面CBM的法向量为=(x3,y3,23), 则有匹W=0即-3+V52,=0 店·cM=0'即x3tV32=0 不妨令z3=V3,则x3=-3,y3=0, 所以平面CBM的一个法向量为 3=(-3,0,V3; 若平面CBM与平面BMN成角余弦值为， 则满足|cos(位2，= 。n231 19-18λ+31 3 2W3×9(21-1)2+42+3 4 化简得22-31+1=0， 解得入=1或2 即CN=CA或CN=CA, 故在线段A1C上存在这样的点N, 使平面CBM与平面BMN成角余弦值为3 此时cN的长度为v√3或2√3. 【解析】 1.【分析】 本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 求出直线的斜率，即可求出直线的倾斜角. 【解答】 解：直线V3x+3y+1=0的斜率是-号，倾斜角是 1 故选：D, 2.【分析】 第5页，共16页 本题考查直线的平行，属于基础题利用两条直线平行的性质列式计算即可. 【解答】 解：若l1//儿2，则m(m+3)-2×5=m2+3m-10=(m-2)(m+5)=0,所以m=2或m=-5. 当m=2时，l1,l2重合；当m=-5时，符合题意. 3.【分析】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，属于基础题. 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线AD1与DB1 所成角的余弦值. 【解答】 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， DI C D以 B 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA1=V3, A(1,0,0),D10,0,V3),D(0,0,0),B1(1,1,V3) AD1=(-1,0,V3),DB1=(1,1,V3) 设异面直线AD1与DB1所成角为0， 则cos6=|cos<AD,DB1>= ADI DBI 2=5 AD1DB-2W万=5， 异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为5 5 故选C. 4.【分析】 本题主要考查直线与圆的位置关系中的最值问题，直线斜率公式的应用，属于中档题 表示圆上的点M,)与定点A(-1,1)连线的斜率，利用直线与圆相切的性质求解。 第6页，共16页 【解答】 解：实数x,y满足x2-4x+y2-6y+9=0, 即(x-2)2+0y-3)2=4, 表示以C(2,3)为圆心，半径等于2的圆， 则号表示圆上的点M化，)与定点A(-1,1)连线的斜率， 如图， 3 12 A -3-2-10 234x 当切线位于AB这个位置时，k最大， 当切线位于AE这个位置时，k最小， 设过A与圆C相切的切线方程为y一1=k(x+1), 即kx-y+k+1=0, 可得2k3+k+1=2, Vk2+1 求得k=0或k=号 故的取值范围是[0，号1 故选：C. 5.【分析】 本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量的数量积的运算，属于中档题， 由面面平行的判定定理，求出点H的轨迹，然后结合平面向量的线性运算及平面向量的数量积的运算求解即 可 第7页，共16页 【解答】 解： E 设F,G分别为AB,BD的中点，连接FG,EF,EG, 易得FG//AD,EF//AC, 因为FG,EFC平面EFG,AD,ACC平面ACD,FG∩EF=F,ADnAC=A, 所以平面EFG//平面ACD, 因为EH//平面ACD,所以H为线段FG上的点， 又CD 1 BD,CD L AB, 则CDI平面ABD: 因为EG/CD, 所以EG⊥平面ABD, 所以EG⊥FG, 在直角三角形FEG中有cos∠EFG-华 因为BD=2AB=2CD=2, 所以FG=AD=EF-3AC=罗 则CA,B丽=2厭.（厭+F历=2F+2厭，F丽=2F-21E·Fc0s4BFG=2×()2-2×9× FH=3-√5FH, 又因为FHeD,1, 所以cA·丽∈[2,3]. 故选：B. 6.【分析】 本题考查空间中线面角的求法，理解直线的方向向量与平面的法向量的概念是解题的关键. 由题可知，平面a的一个法向量m和直线的一个方向向量元，设直线l与平面a所成角为B,由sin6=|cos<m, 元>=两高即可得解。 第8页，共16页 【解答】 解：平面的方程为3x-5y+z-7=0, 平面的一个法向量为元=(3，-5,1)， 经过(0,0,0)的直线的方程为号=名=号1 ∴直线的一个方向向量为n=(3,2,-1), 设直线与平面所成角为0， 则stn0=los<元，元>=1高 9-10-1 了9+25+xW94/0 35 直线与平面α所成角的正弦值为 35 故选：B. 7.【分析】 本题考查椭圆的离心率，方程思想，化归转化思想，属中档题 由题意表示圆方程，且x=一为圆和椭圆交点的横坐标，由此求解. 【解答】 解：由题意得圆F2:(x-c)2+y2=4c2, (x-c)2+y2=4c2 联侣+器=1 ,消y得： 4c2-c-02=b2(1-) 因为OM=IMF, 所以x=一为方程的解， 即4c2-￥=(a2-c2(1-) 即7a2c2=4a4-5a2c2+c4, 整理得e4-12e2+4=0, 因为0<e<1, 解得e2=6-4v2, e=2-V2, 8.【分析】 第9页，共16页 本题的考点是曲线与方程，主要考查了曲线与方程的关系，属于拔高题 方程两边平方后可整理出方程，由于引x>1,从而可推断出方程表示的曲线为两个相离的半圆. 【解答】 解：由题意，首先x>1,平方整理得0x-1)2+(y-1)2=1, 若x>1,则是以(1,1)为圆心，以1为半径的右半圆， 若x<-1,则是以(-1,1)为圆心，以1为半径的左半圆， 总之，方程表示的曲线是以(1,1)为圆心，以1为半径的右半圆与以（一1,1）为圆心，以1为半径的左半圆合 起来的图形， 故选A, 9.解：对于4，(2,3)是直线的一个方向向量得(1，)也是直线的方向向量， 因为(1，)是直线的方向向量，所以k=三，选项A正确： 对于B,由两直线互相垂直得，a2×1+(-1)×(-a)=0,解得a=-1或a=0, 可知“a=-1”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误； 对JC,将直线方程变形为me-2)+1-y=0,后-子84化=子 直线mx-y+1-2m=0过定点Q(2,1),斜率为m, 当直线mx-y+1-2m=0与PQ垂直时，点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大， 因为kn-器=1，kgm=-1,所以m=品=-1，选项C正确： 对于D, YA B 如图，k=名9-3k8=号-是 由图可知，当k≥或k≤-3时，直线与线段AB有交点，选项D正确。 故选：ACD 10.【分析】 第10页，共16页