第11讲 交变电流的描述（模型与方法）物理人教版选择性必修第二册

第11讲 交变电流的描述 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.交变电流 模型02.交变电流的有效值 四值 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.交变电流 模型构建：正弦交流电由线圈旋转产生，区分瞬时值、最大值、有效值；电热电表用有效值，电容器耐压看峰值 模型剖析： 交变电流的产生及变化规律 1.产生：线圈绕　垂直　于磁场方向的轴匀速转动。 2.两个特殊位置的特点 （1）中性面：S⊥B，Φ　最大　，＝0，e＝　0　，i＝　0　，电流方向发生改变。 （2）与中性面垂直：S∥B，Φ＝0，最　大　，e最　大　，i最　大　，电流方向不改变。 3.电流方向的改变：一个周期内线圈中电流的方向改变　两　次。 4.图像：用以描述交变电流随时间变化的规律，如果线圈从经过中性面位置开始计时，则其图像为　正弦　曲线，如图所示。 5.变化规律（线圈从经过中性面位置开始计时） 瞬时表达式推导 （1）电动势e随时间变化的规律：e＝　Emsin ωt　。 （2）路端电压u随时间变化的规律：u＝Umsin ωt＝　·sin ωt　。 （3）电流i随时间变化的规律：i＝Imsin ωt＝　·sin ωt　，其中Em＝　NBSω　。 正弦式交变电流的产生和描述 1.正弦式交变电流产生过程中的两个特殊位置 图 示 特 点 B⊥S B∥S Φ＝BS，最大 Φ＝0，最小 e＝n＝0，最小 e＝n＝nBSω，最大 电流为零，方向改变 电流最大，方向不变 2.交变电流瞬时值表达式 （1）确定正弦式交变电流的峰值，根据已知图像读出或由公式Em＝nBSω求出相应峰值。 （2）明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式。 ①线圈在中性面位置开始计时，则i-t图像为正弦函数图像，函数表达式为i＝Imsin ωt。 ②线圈在垂直于中性面的位置开始计时，则i-t图像为余弦函数图像，函数表达式为i＝Imcos ωt。 【例1】图甲是某一交流发电机的示意图，两磁极N、S间存在可视为水平向右的匀强磁场，A为理想电流表，电阻，线圈内阻。线圈绕垂直于磁场的水平轴沿逆时针方向匀速转动，从图示位置开始计时，产生的电动势随时间变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．电流表的示数为 B．时，线圈所在平面垂直于中性面 C．一个周期内，电阻产生的焦耳热为 D．线圈产生的电动势表达式为 【变式1-1】（多选）如图是“共生型心脏起搏器”的电磁感应式能量收集装置的原理示意图。固定在心室壁上的微型线圈（匝数N=200匝，横截面积S=2.5×10-5m2，电阻r=1Ω）与起搏器内部电路相连，常态下起搏器等效为R=9Ω的电阻；一块小永磁体固定于心尖处，可随心脏跳动沿线圈轴线方向往复运动，使穿过线圈的磁感应强度发生周期性变化。假设线圈处磁感应强度B随时间t的变化规律可简化为B=B0sinωt，其中，该起搏器植入者心率每分钟72次。下列说法正确的是（     ） A．该装置产生交变电流的周期为1.2 s B．线圈中产生的感应电动势最大值为2.4×10-3 V C．常态下起搏器每分钟消耗的电能约为1.6×10-4 J D．0~时间内，通过线圈截面的电荷量为 【变式1-2】如图所示，竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中，边长为、总电阻为的单匝正方形线框先后绕过边和边的轴以相同大小的角速度按图示方向匀速转动。下列说法正确的是（     ） A．当绕过边的轴转动时，线框中产生正弦交变电流 B．当绕过边的轴转动时，边的电势差始终为0 C．当绕过边的轴转动时，线框中产生恒定电流 D．当绕过边的轴转动时，在图示位置线框中的电流大小为 模型02.交变电流的有效值 四值 模型构建：瞬时值看时刻，最大值看耐压；有效值用于电热电表；平均值用来求电荷量，不能混用 模型剖析： 1.有效值的定义 让交变电流与恒定电流分别通过大小相同的电阻，如果在交变电流的一个周期内它们产生的热量相等，则这个恒定电流的电流I、电压U，叫做交变电流的---有效值。 定义有效值时，要注意“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量” 2.实际中的有效值 ①交流电流表、交流电压表的示数. ②电气设备“铭牌”上所标的值(如额定电压、额定电流等) ③计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热、保险丝的熔断电流等) ④没有特别加以说明的指有效值 3.有效值的计算 1.正弦式交流电的有效值计算：I＝，U＝，E＝. 2.非正弦交流电的有效值计算 ①：计算交变电流在一个周期内产生的热量Q(可分段计算)； ②：将热量Q用相应的物理量的有效值表示Q＝I2RT或Q＝T； ③：代入数值，求解有效值。 注意：若部分图像是正弦(或余弦)式交变电流，其周期和周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I＝、U＝求解． 4.常见的非正弦式有效值计算 电流名称 电流图线 有效值 正弦式交变电流 I＝ 正弦半波电流 I＝ 正弦单向脉冲电流 I＝ 矩形脉冲电流 I＝Im 非对称性交变电流 I＝ 5.含二极管的有效值计算 二极管具有单向导电性，对交变电流而言，电流只有半个周期其作用，其有效值需要结合其单向导电性，利用一个周期内产生的焦耳热进行计算。 其有效值大小通常为正常有效值的倍. 6.交变电流的四值比较 名称 物理含义 重要关系 适用情况 瞬时值 某一时刻的大小 e＝Emsinωt、i＝Imsinωt 分析交变电流某时刻的情况 最大值 最大的瞬时值 Em＝nBSω、Im＝ 确定用电器的耐压值 有效值 热效应的等效恒定值 E＝ U＝ I＝ （1）计算与电流热效应相关的量（如功率、热量） （2）交流电表的测量值 （3）电气设备标注的额定电压、额定电流 （4）保险丝的熔断电流 平均值 电流图像中图线与时间轴所围城面积与时间的比值 ＝、＝ 计算通过电路横截面的电量q＝Δt＝·Δt＝n 【例2】（多选）匝数为N匝总电阻为R的矩形金属线圈abcd，绕垂直于匀强磁场并位于线圈平面内的轴匀速转动，线圈中产生的感应电动势e随时间t的变化关系如图所示。下列说法中正确的是（　　） A．时刻线圈位于中性面 B．时刻穿过线圈的磁通量为 C．时间内通过线圈横截面的电荷量为 D．时间内外力至少做功为 【变式2-1】如图甲所示为某小型水电站的发电机示意图，已知正方形线圈边长，匝数匝，线圈电阻不计，；线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的转轴匀速转动，转速；已知电动势最大值。 (1)从线圈在图甲所示位置开始计时，写出感应电动势随时间变化的函数表达式； (2)线框匀速转动后，从图甲所示位置转过90°的过程中，求通过电阻R的电荷量. (3)线框匀速转动后，在转动一周过程中，求电流通过电阻R产生的热量。 (4)讨论发电机在某次转动时水流越来越慢直到停止，其中磁感应强度大小保持不变，感应电动势随之变化。为方便计算，做以下假定：线框转动第一周的转速为n，第二周的转速为，第三周的转速为，依次减半，直到线框停止转动。求整个过程中电阻R产生的热量。 【变式2-2】如图甲所示，一固定的矩形导体线圈水平放置，线圈的两端接一只小灯泡，在线圈所在空间内存在着与线圈平面垂直的均匀分布的磁场。已知线圈的匝数：匝，电阻，所围成的矩形面积，小灯泡的电阻，磁场的磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示，线圈中产生的感应电动势瞬时值的表达式为，其中为磁感应强度的最大值，为磁场变化的周期。不计灯丝电阻值随温度的变化，求： (1)线圈中产生感应电动势的最大值； (2)小灯泡消耗的电功率； (3)在磁感应强度变化的时间内，通过小灯泡的电荷量。 一单匝矩形线圈ABCD垂直于纸面处于水平向右的匀强磁场中，当线圈位于中性面位置时，线圈刚好有一半的面积处于磁场中，线圈绕轴逆时针匀速转动。已知匀强磁场的磁感应强度大小为，线圈电阻为，线圈转动角速度为，和的长度为，和的长度为。线圈从中性面开始经过时间到达图示位置，求： (1)时刻线圈中的感应电动势； (2)时刻边所受安培力的大小和方向； (3)线圈从中性面位置转过90°的过程中，通过导线横截面的电量和产生的焦耳热。 【基础夯实】 1. 如图所示为某兴趣小组制作的手摇式发电机示意图，一半径为的单匝半圆形金属线圈处在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场中。通过摇动把手，使金属线圈绕水平轴匀速转动，角速度为，电阻为的灯泡正常发光。电路中除灯泡电阻外，其余部分电阻忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．线圈转动到图中位置时，灯泡中有向右的电流 B．线圈由图中位置再转过时，通过线圈的电荷量为 C．线圈由图中位置再转过时，点电势高于点电势 D．如果把小灯泡换成理想交流电压表，其显示的电压示数为 2. 如图（a）所示，为100匝的正方形闭合金属线圈，边长为，线圈整体处于磁感应强度大小为的匀强磁场中，绕着与磁场垂直且与线圈共面的轴匀速转动。图（b）是在匀速转动过程中穿过该线圈的磁通量随时间按正弦规律变化的图像，则下列说法正确的是（     ） A．线圈从与中性面垂直的位置开始转动 B．若线圈边长，则磁感应强度大小为 C．线圈产生的最大电动势为 D．时线圈中的电流改变方向 3. 电阻、与交流电源按照图甲方式连接，，。闭合开关S后，通过电阻的正弦式交变电流i随时间t变化的情况如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．通过的电流有效值是12 A B．两端的电压有效值是6 V C．通过的电流最大值是 D．两端的电压有效值是 4. 发电机的形式很多，但其工作原理都是法拉第电磁感应定律。如图所示，图线a是线圈在匀强磁场中匀速转动时产生的正弦式电流的图像，当调整线圈转速后，所产生的正弦式电流的图像如图线b所示。下列关于这两个正弦式电流的说法正确的是（     ） A．线圈先后两次转速之比为1∶2 B．交流a的电压瞬时值表达式 C．交流b的最大值为 D．在图中时刻穿过线圈的磁通量变化率最大 5. 图甲是一风电场，风电机组与蓝天白云相映成景，美如画卷。图乙为风力发电的简易模型，在风力作用下，风叶带动与杆连接的永磁体转动，磁体下方的线圈与电压传感器相连。在某一风速下，电压传感器的示数u随时间t的变化规律（正弦曲线）如图丙所示，则（     ） A．永磁体的转速为5 r/s B．交流电压的表达式为u=12cos 5πt（V） C．t=0.2 s时，穿过磁体下方线圈的磁通量最大 D．若将该交流电压直接加在击穿电压为11 V的电容器上，电容器不会被击穿 6. 电阻、与交流电源按照如图甲所示方式连接，。闭合开关S，通过电阻的正弦式交变电流i随时间t变化的情况如图乙所示，则（　　） A．通过的电流有效值是 B．通过的电流有效值是1.2A C．两端的电压最大值是 D．两端的电压有效值是6V 7. （多选）如图甲所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以不同的转速，绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图像如图乙中曲线、所示，则（     ） A．两次时刻线圈平面均与中性面重合 B．曲线、对应的线圈转速之比为 C．曲线对应时刻，穿过线圈磁通量最大 D．曲线表示的交变电动势最大值为 【培优拔高】 8. （多选）如图甲（侧视图），轻质金属圆柱笼侧面上等间距地固定四根相同的金属丝、、和，每根金属丝的电阻为，长为，上下底面为半径为的圆形导线，与四根金属丝的两端连接，导线阻值不计。如图乙（俯视图），在圆柱笼的一侧，有一个垂直于圆柱轴线指向轴心且圆心角为45°的辐射状磁场区域，圆柱笼侧面处的磁感应强度大小为。时，金属丝刚好在磁场区域边缘，圆柱笼绕轴以角速度逆时针匀速转动，每次金属丝经过磁场区域都产生一个电压脉冲，下列说法正确的是（     ） A．单根金属丝切割磁感线时产生的感应电动势大小为 B．金属丝切割磁感线过程中，该金属丝两端的电压为 C．圆柱笼匀速转动一周，电路中产生的总焦耳热量为 D．相邻两次开始出现电压脉冲的时间间隔为 9. 如图所示，OO′轴右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，面积为S的U形金属线框在磁场中绕OO′轴以角速度ω匀速转动，通过导线给阻值为R的电阻供电，其余电阻不计，则理想交流电流表的示数为（     ） A． B． C． D．BSmR 10. 某物理兴趣小组依据风力发电原理（图甲）制作了小型发电机模型，其核心结构如下：风轮机叶片转动时通过升速齿轮箱（图乙）带动发电机线圈在匀强磁场中转动。已知风轮机叶片的转速为（单位，升速齿轮箱的输入与输出转速比为，与升速齿轮箱相连的发电原理图如图丙所示，线圈匝数为，面积为，内部匀强磁场的磁感应强度大小为，在一段时间内叶片稳定转动，忽略其他因素的影响，线圈电阻不计，则下列说法正确的是（　　） A．图丙中的线圈处于中性面状态，此时感应电动势最大 B．线圈位于图丙所示位置时，交流电流表的示数为零 C．负载的电阻为时，1s内产生的焦耳热为 D．若将负载电阻更换为，则线圈产生的交变电压的最大值会变为原来的 11. 某款发电机示意图如图所示，有一矩形线框abcd，匝数为N，面积为S，ab边长为L，线框总电阻为，矩形线框置于水平向右的磁感应强度为B的匀强磁场中，中心轴与磁场垂直，时刻，线圈平面与磁场平行，E、F端分别接在相互绝缘的两个半圆环上，让半圆环和线框一起以角速度顺时针匀速转动，两个半圆环在转动过程中先后分别和两个固定电刷C、D接触，电刷C、D之间接有一阻值为R的电阻，其余部分电阻不计，电阻R中通过如图乙的电流，电流最大值为I。求： (1)线框转动的角速度； (2)线框转动一周通过电阻R的电荷量q； (3)当从图示位置转过时，线框ab边所受的安培力的大小。 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 交变电流的描述 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.交变电流 模型02.交变电流的有效值 四值 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.交变电流 模型构建：正弦交流电由线圈旋转产生，区分瞬时值、最大值、有效值；电热电表用有效值，电容器耐压看峰值 模型剖析： 交变电流的产生及变化规律 1.产生：线圈绕　垂直　于磁场方向的轴匀速转动。 2.两个特殊位置的特点 （1）中性面：S⊥B，Φ　最大　，＝0，e＝　0　，i＝　0　，电流方向发生改变。 （2）与中性面垂直：S∥B，Φ＝0，最　大　，e最　大　，i最　大　，电流方向不改变。 3.电流方向的改变：一个周期内线圈中电流的方向改变　两　次。 4.图像：用以描述交变电流随时间变化的规律，如果线圈从经过中性面位置开始计时，则其图像为　正弦　曲线，如图所示。 5.变化规律（线圈从经过中性面位置开始计时） 瞬时表达式推导 （1）电动势e随时间变化的规律：e＝　Emsin ωt　。 （2）路端电压u随时间变化的规律：u＝Umsin ωt＝　·sin ωt　。 （3）电流i随时间变化的规律：i＝Imsin ωt＝　·sin ωt　，其中Em＝　NBSω　。 正弦式交变电流的产生和描述 1.正弦式交变电流产生过程中的两个特殊位置 图 示 特 点 B⊥S B∥S Φ＝BS，最大 Φ＝0，最小 e＝n＝0，最小 e＝n＝nBSω，最大 电流为零，方向改变 电流最大，方向不变 2.交变电流瞬时值表达式 （1）确定正弦式交变电流的峰值，根据已知图像读出或由公式Em＝nBSω求出相应峰值。 （2）明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式。 ①线圈在中性面位置开始计时，则i-t图像为正弦函数图像，函数表达式为i＝Imsin ωt。 ②线圈在垂直于中性面的位置开始计时，则i-t图像为余弦函数图像，函数表达式为i＝Imcos ωt。 【例1】图甲是某一交流发电机的示意图，两磁极N、S间存在可视为水平向右的匀强磁场，A为理想电流表，电阻，线圈内阻。线圈绕垂直于磁场的水平轴沿逆时针方向匀速转动，从图示位置开始计时，产生的电动势随时间变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．电流表的示数为 B．时，线圈所在平面垂直于中性面 C．一个周期内，电阻产生的焦耳热为 D．线圈产生的电动势表达式为 【答案】C 【详解】A．由图乙可知，感应电动势最大值，周期，因此电动势有效值，角频率 理想电流表测量电流的有效值，根据闭合电路欧姆定律，电路电流有效值，A错误； B．时感应电动势，说明此时线圈磁通量最大，恰好处于中性面位置，B错误； C．一个周期内电阻产生的焦耳热，C正确； D．时感应电动势为0，电动势表达式为正弦形式，代入数值应为，D错误。 故选C。 【变式1-1】（多选）如图是“共生型心脏起搏器”的电磁感应式能量收集装置的原理示意图。固定在心室壁上的微型线圈（匝数N=200匝，横截面积S=2.5×10-5m2，电阻r=1Ω）与起搏器内部电路相连，常态下起搏器等效为R=9Ω的电阻；一块小永磁体固定于心尖处，可随心脏跳动沿线圈轴线方向往复运动，使穿过线圈的磁感应强度发生周期性变化。假设线圈处磁感应强度B随时间t的变化规律可简化为B=B0sinωt，其中，该起搏器植入者心率每分钟72次。下列说法正确的是（     ） A．该装置产生交变电流的周期为1.2 s B．线圈中产生的感应电动势最大值为2.4×10-3 V C．常态下起搏器每分钟消耗的电能约为1.6×10-4 J D．0~时间内，通过线圈截面的电荷量为 【答案】BD 【详解】A．心率每分钟72次，心脏跳动周期为 即磁感应强度变化周期为，故A错误； B．磁感应强度B随时间t的变化的角频率为 感应电动势最大值为 代入数据解得，故B正确； C．电动势有效值 起搏器每分钟消耗的电能为 联立解得，故C错误； D．线圈处磁感应强度B随时间t的变化规律为 磁通量变化量为 则平均感应电动势 通过线圈截面的电荷量 联立解得，故D正确。 故选BD。 【变式1-2】如图所示，竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中，边长为、总电阻为的单匝正方形线框先后绕过边和边的轴以相同大小的角速度按图示方向匀速转动。下列说法正确的是（     ） A．当绕过边的轴转动时，线框中产生正弦交变电流 B．当绕过边的轴转动时，边的电势差始终为0 C．当绕过边的轴转动时，线框中产生恒定电流 D．当绕过边的轴转动时，在图示位置线框中的电流大小为 【答案】D 【详解】A．磁场方向竖直向上，绕过ab边（竖直边）的轴转动时，线框平面始终与竖直磁场平行，穿过线框的磁通量始终为0，磁通量没有发生变化，因此线框中无感应电流，更不会产生正弦交变电流，故A错误； B．当线框绕过ab边的轴转动时，由右手定则可知a点的电势低于d点的电势，ad边产生的电动势大小为，则a、d两点间的电势差，故B错误； C．绕过bc边的水平轴转动时，线框的竖直边ad的速度方向不断变化，ad边垂直于磁场方向的分速度随转动角度按正弦规律变化，产生的感应电动势是交变的，因此线框中产生的是交变电流，不是恒定电流，故C错误； D．图示位置中，ad边的速度方向垂直于线框平面、同时垂直于竖直向上的磁场B，此时ad边的动生电动势大小为，线框总电阻为R，因此感应电流大小为，故D正确。 故选D 。 模型02.交变电流的有效值 四值 模型构建：瞬时值看时刻，最大值看耐压；有效值用于电热电表；平均值用来求电荷量，不能混用 模型剖析： 1.有效值的定义 让交变电流与恒定电流分别通过大小相同的电阻，如果在交变电流的一个周期内它们产生的热量相等，则这个恒定电流的电流I、电压U，叫做交变电流的---有效值。 定义有效值时，要注意“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量” 2.实际中的有效值 ①交流电流表、交流电压表的示数. ②电气设备“铭牌”上所标的值(如额定电压、额定电流等) ③计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热、保险丝的熔断电流等) ④没有特别加以说明的指有效值 3.有效值的计算 1.正弦式交流电的有效值计算：I＝，U＝，E＝. 2.非正弦交流电的有效值计算 ①：计算交变电流在一个周期内产生的热量Q(可分段计算)； ②：将热量Q用相应的物理量的有效值表示Q＝I2RT或Q＝T； ③：代入数值，求解有效值。 注意：若部分图像是正弦(或余弦)式交变电流，其周期和周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I＝、U＝求解． 4.常见的非正弦式有效值计算 电流名称 电流图线 有效值 正弦式交变电流 I＝ 正弦半波电流 I＝ 正弦单向脉冲电流 I＝ 矩形脉冲电流 I＝Im 非对称性交变电流 I＝ 5.含二极管的有效值计算 二极管具有单向导电性，对交变电流而言，电流只有半个周期其作用，其有效值需要结合其单向导电性，利用一个周期内产生的焦耳热进行计算。 其有效值大小通常为正常有效值的倍. 6.交变电流的四值比较 名称 物理含义 重要关系 适用情况 瞬时值 某一时刻的大小 e＝Emsinωt、i＝Imsinωt 分析交变电流某时刻的情况 最大值 最大的瞬时值 Em＝nBSω、Im＝ 确定用电器的耐压值 有效值 热效应的等效恒定值 E＝ U＝ I＝ （1）计算与电流热效应相关的量（如功率、热量） （2）交流电表的测量值 （3）电气设备标注的额定电压、额定电流 （4）保险丝的熔断电流 平均值 电流图像中图线与时间轴所围城面积与时间的比值 ＝、＝ 计算通过电路横截面的电量q＝Δt＝·Δt＝n 【例2】（多选）匝数为N匝总电阻为R的矩形金属线圈abcd，绕垂直于匀强磁场并位于线圈平面内的轴匀速转动，线圈中产生的感应电动势e随时间t的变化关系如图所示。下列说法中正确的是（　　） A．时刻线圈位于中性面 B．时刻穿过线圈的磁通量为 C．时间内通过线圈横截面的电荷量为 D．时间内外力至少做功为 【答案】AC 【详解】A．时刻感应电动势为零，线圈位于中性面，磁通量最大，线圈平面和磁场方向垂直，故A正确； B．时刻，感应电动势为最大值，通过线圈的磁通量为零，故B错误； C．根据法拉第电磁感应定律得 时间内通过线圈横截面的电荷量为 其中，，， 联立，解得，故C正确； D．电动势的有效值为 时间内外力至少做功为，故D错误。 故选AC。 【变式2-1】如图甲所示为某小型水电站的发电机示意图，已知正方形线圈边长，匝数匝，线圈电阻不计，；线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的转轴匀速转动，转速；已知电动势最大值。 (1)从线圈在图甲所示位置开始计时，写出感应电动势随时间变化的函数表达式； (2)线框匀速转动后，从图甲所示位置转过90°的过程中，求通过电阻R的电荷量. (3)线框匀速转动后，在转动一周过程中，求电流通过电阻R产生的热量。 (4)讨论发电机在某次转动时水流越来越慢直到停止，其中磁感应强度大小保持不变，感应电动势随之变化。为方便计算，做以下假定：线框转动第一周的转速为n，第二周的转速为，第三周的转速为，依次减半，直到线框停止转动。求整个过程中电阻R产生的热量。 【答案】(1) (2) (3)250J (4)500J 【详解】（1）图示位置时，线圈平面与磁场方向平行，穿过线圈的磁通量为零，感应电动势最大。线圈转动角速度为 从图示位置开始计时，感应电动势可写为 （2）电荷量 平均电流 平均电动势 转过磁通量变化 又因为电动势最大值满足 联立解得 （3）有效值为 转动周期 电流通过电阻R产生的热量 （4）设第k周转速，对应角速度，对应电动势有效值 对应周期 单周电流通过电阻R产生的热量 总热量为首项、公比的无穷等比数列求和 【变式2-2】如图甲所示，一固定的矩形导体线圈水平放置，线圈的两端接一只小灯泡，在线圈所在空间内存在着与线圈平面垂直的均匀分布的磁场。已知线圈的匝数：匝，电阻，所围成的矩形面积，小灯泡的电阻，磁场的磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示，线圈中产生的感应电动势瞬时值的表达式为，其中为磁感应强度的最大值，为磁场变化的周期。不计灯丝电阻值随温度的变化，求： (1)线圈中产生感应电动势的最大值； (2)小灯泡消耗的电功率； (3)在磁感应强度变化的时间内，通过小灯泡的电荷量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）从题图乙可得：磁感应强度最大值 ，变化周期 已知感应电动势最大值公式为 代入已知数据可得 （2）正弦交变电流的电动势有效值 电路中电流有效值为 灯泡功率 代入 、，可得 （3）电荷量 平均感应电动势 平均电流 整理得 时， 因此 ，代入得 一单匝矩形线圈ABCD垂直于纸面处于水平向右的匀强磁场中，当线圈位于中性面位置时，线圈刚好有一半的面积处于磁场中，线圈绕轴逆时针匀速转动。已知匀强磁场的磁感应强度大小为，线圈电阻为，线圈转动角速度为，和的长度为，和的长度为。线圈从中性面开始经过时间到达图示位置，求： (1)时刻线圈中的感应电动势； (2)时刻边所受安培力的大小和方向； (3)线圈从中性面位置转过90°的过程中，通过导线横截面的电量和产生的焦耳热。 【答案】(1) (2)，方向平行于中性面向上 (3)， 【详解】（1）在时刻，AB边做圆周运动，其线速度大小为，该速度方向与磁场方向的夹角为，根据法拉第电磁感应定律有 联立解得时刻线圈中的感应电动势为 （2）根据闭合电路欧姆定律和安培力公式分别有， 联立解得时刻AB边所受安培力大小为 根据右手定则可判定AB边产生的感应电流方向垂直纸面向外，再根据左手定则可知，AB边所受安培力的方向为平行于中性面向上。 （3）线圈从中性面转过的过程中，只有AB边在磁场中，初始时刻穿过线圈的磁通量为，末时刻磁通量为，磁通量的变化量大小为 根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律和电荷量公式分别有，， 联立解得通过导线横截面的电量为 该过程中产生正弦式交变电流，根据电动势公式有 根据有效值与最大值的关系及运动学公式分别有， 根据焦耳定律有 联立解得产生的焦耳热为 【基础夯实】 1. 如图所示为某兴趣小组制作的手摇式发电机示意图，一半径为的单匝半圆形金属线圈处在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场中。通过摇动把手，使金属线圈绕水平轴匀速转动，角速度为，电阻为的灯泡正常发光。电路中除灯泡电阻外，其余部分电阻忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．线圈转动到图中位置时，灯泡中有向右的电流 B．线圈由图中位置再转过时，通过线圈的电荷量为 C．线圈由图中位置再转过时，点电势高于点电势 D．如果把小灯泡换成理想交流电压表，其显示的电压示数为 【答案】B 【详解】A．图示位置，线圈的线速度方向与磁场方向平行，线圈没有切割磁感线，可知，此时通过灯泡的电流为0，故A错误； B．线圈由图中位置再转过时，通过线圈的电荷量为，故B正确； C．线圈由图中位置再转过时，根据安培定则可知a点电势低于b点电势，故C错误； D．根据正弦式交流电的产生原理，当转动角速度为ω时，产生的感应电动势最大值为 交流电压表测量的是有效值，可知电压表示数为，故D错误。 故选B。 2. 如图（a）所示，为100匝的正方形闭合金属线圈，边长为，线圈整体处于磁感应强度大小为的匀强磁场中，绕着与磁场垂直且与线圈共面的轴匀速转动。图（b）是在匀速转动过程中穿过该线圈的磁通量随时间按正弦规律变化的图像，则下列说法正确的是（     ） A．线圈从与中性面垂直的位置开始转动 B．若线圈边长，则磁感应强度大小为 C．线圈产生的最大电动势为 D．时线圈中的电流改变方向 【答案】A 【详解】A．因t=0时线圈中的磁通量为零，可知线圈从与中性面垂直的位置开始转动，A正确； B．若线圈边长，则根据，可得磁感应强度大小为，B错误； C．线圈产生的最大电动势为，C错误； D．时线圈经过与中性面垂直的位置，此时线圈中的电流不改变方向，D错误。 故选A。 3. 电阻、与交流电源按照图甲方式连接，，。闭合开关S后，通过电阻的正弦式交变电流i随时间t变化的情况如图乙所示。下列说法正确的是（     ） A．通过的电流有效值是12 A B．两端的电压有效值是6 V C．通过的电流最大值是 D．两端的电压有效值是 【答案】B 【详解】AB．由图可知，电流的最大值 所以有效值 因为与串联，则通过的电流有效值是6A，两端的电压有效值， 故A错误，B正确； CD．通过的电流最大值是 两端的电压最大值是 两端的电压有效值，故CD错误。 故选B。 4. 发电机的形式很多，但其工作原理都是法拉第电磁感应定律。如图所示，图线a是线圈在匀强磁场中匀速转动时产生的正弦式电流的图像，当调整线圈转速后，所产生的正弦式电流的图像如图线b所示。下列关于这两个正弦式电流的说法正确的是（     ） A．线圈先后两次转速之比为1∶2 B．交流a的电压瞬时值表达式 C．交流b的最大值为 D．在图中时刻穿过线圈的磁通量变化率最大 【答案】C 【详解】A．由图可知，交流，的周期分别为，。线圈转速与周期成反比，故，故A错误。 B．由角速度与周期的关系得 故交流的电压瞬时值表达式为，故B错误； C．线圈匀速转动时，单匝线圈的磁通量可表示为 由法拉第电磁感应定律可知，正弦式交变电压的瞬时值为 所以最大值为 两次转动中，，均不变，故 解得，故C正确； D．在时，题图中交变电压。由法拉第电磁感应定律 可知，此时穿过线圈的磁通量变化率为零，故D错误。 故选C。 5. 图甲是一风电场，风电机组与蓝天白云相映成景，美如画卷。图乙为风力发电的简易模型，在风力作用下，风叶带动与杆连接的永磁体转动，磁体下方的线圈与电压传感器相连。在某一风速下，电压传感器的示数u随时间t的变化规律（正弦曲线）如图丙所示，则（     ） A．永磁体的转速为5 r/s B．交流电压的表达式为u=12cos 5πt（V） C．t=0.2 s时，穿过磁体下方线圈的磁通量最大 D．若将该交流电压直接加在击穿电压为11 V的电容器上，电容器不会被击穿 【答案】C 【详解】A．根据图丙可知，交流电压的周期T=0.4s 则可知磁体的转速n==r/s=2.5r/s，故A错误； B．通过图丙可知电压的最大值为12V，根据周期与角速度之间的关系可得ω==rad/s=5π rad/s 则交流电压的表达式为u=12sin 5πt（V），故B错误； C．t=0.2 s时，电压的瞬时值为0，此时穿过磁体下方线圈的磁通量最大，故C正确； D．电容器是否会被击穿应参考交流电压的最大值，因此将该交流电压直接加在击穿电压为11V的电容器上，电容器会被击穿，故D错误。 故选C。 6. 电阻、与交流电源按照如图甲所示方式连接，。闭合开关S，通过电阻的正弦式交变电流i随时间t变化的情况如图乙所示，则（　　） A．通过的电流有效值是 B．通过的电流有效值是1.2A C．两端的电压最大值是 D．两端的电压有效值是6V 【答案】C 【详解】A．通过的电流有效值是，故A错误； B．因为是串联关系，电流相等，故通过的电流有效值也为0.6A，故B错误； C．两端的电压最大值是，故C正确； D．两端的电压有效值是，故D错误。 故选C。 7. （多选）如图甲所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以不同的转速，绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图像如图乙中曲线、所示，则（     ） A．两次时刻线圈平面均与中性面重合 B．曲线、对应的线圈转速之比为 C．曲线对应时刻，穿过线圈磁通量最大 D．曲线表示的交变电动势最大值为 【答案】AD 【详解】A．时刻，两次产生的交变电流的电动势瞬时值均为零，因此线圈平面均与中性面重合，故A正确； B．图中、对应的周期之比为，因此线圈转速之比，故B错误； C．曲线对应时刻电动势最大，磁通量为零，故C错误； D．曲线对应线圈相应的电动势的最大值 由图像知 曲线对应线圈相应的电动势的最大值 因此，故D正确。 故选AD。 【培优拔高】 8. （多选）如图甲（侧视图），轻质金属圆柱笼侧面上等间距地固定四根相同的金属丝、、和，每根金属丝的电阻为，长为，上下底面为半径为的圆形导线，与四根金属丝的两端连接，导线阻值不计。如图乙（俯视图），在圆柱笼的一侧，有一个垂直于圆柱轴线指向轴心且圆心角为45°的辐射状磁场区域，圆柱笼侧面处的磁感应强度大小为。时，金属丝刚好在磁场区域边缘，圆柱笼绕轴以角速度逆时针匀速转动，每次金属丝经过磁场区域都产生一个电压脉冲，下列说法正确的是（     ） A．单根金属丝切割磁感线时产生的感应电动势大小为 B．金属丝切割磁感线过程中，该金属丝两端的电压为 C．圆柱笼匀速转动一周，电路中产生的总焦耳热量为 D．相邻两次开始出现电压脉冲的时间间隔为 【答案】AC 【详解】A．磁场为径向辐射磁场，金属丝转动的线速度方向始终与磁感线垂直，金属丝线速度 动生电动势，故A正确； B．切割磁感线的金属丝为电源，内阻为R，其余三根金属丝并联构成外电路，外电路总电阻 电路总电阻 金属丝两端电压为路端电压，故B错误； C．电路工作电流 单根金属丝通过磁场的圆心角 单次通电时间 圆柱笼转动一周，四根金属丝依次切割磁场，共产生4次电压脉冲，由焦耳定律，总热量 所以，故C正确； D．四根金属丝等间距分布在圆柱侧面，相邻两根金属丝的圆心夹角 相邻两次开始出现电压脉冲的时间间隔，故D错误。 故选AC。 9. 如图所示，OO′轴右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，面积为S的U形金属线框在磁场中绕OO′轴以角速度ω匀速转动，通过导线给阻值为R的电阻供电，其余电阻不计，则理想交流电流表的示数为（     ） A． B． C． D．BSmR 【答案】C 【详解】由题意可知线框在一个周期内，只有半个周期的过程中磁通量发生变化、产生感应电动势，另外半个周期线框转出磁场区域后，穿过线框的磁通量始终为0，无感应电动势产生。 单匝线框在磁场中转动时，感应电动势的峰值，设该交变电动势的有效值为，取一个完整周期，根据题意，该电流一个周期内在电阻上产生的热量等于半个周期通正弦式交变电流加上半个周期电流为0的总热量，即 将代入化简得 约去后可得 理想交流电流表的示数为 故选C。 10. 某物理兴趣小组依据风力发电原理（图甲）制作了小型发电机模型，其核心结构如下：风轮机叶片转动时通过升速齿轮箱（图乙）带动发电机线圈在匀强磁场中转动。已知风轮机叶片的转速为（单位，升速齿轮箱的输入与输出转速比为，与升速齿轮箱相连的发电原理图如图丙所示，线圈匝数为，面积为，内部匀强磁场的磁感应强度大小为，在一段时间内叶片稳定转动，忽略其他因素的影响，线圈电阻不计，则下列说法正确的是（　　） A．图丙中的线圈处于中性面状态，此时感应电动势最大 B．线圈位于图丙所示位置时，交流电流表的示数为零 C．负载的电阻为时，1s内产生的焦耳热为 D．若将负载电阻更换为，则线圈产生的交变电压的最大值会变为原来的 【答案】C 【详解】A．图丙位置线圈处于中性面状态，此时磁通量最大，感应电动势最小，故A错误； B．当线圈位于图丙所示位置时，感应电流的瞬时值为零，但电流表测量的是有效值，示数不为零，故B错误； C．因为升速比为，传动齿轮转速为，线圈的转速与传动齿轮转速相同，所以为，线圈角速度与转速的关系为 由于正弦式交流电的感应电动势的最大值 代入，所以 由于线圈电阻不计，路端电压等于电动势，根据有效值与最大值的关系 焦耳热的公式为 已知，代入 代入得，故C正确； D．线圈产生的交变电压的最大值，由线圈匝数、磁场磁感应强度、线圈面积和转速决定，与负载电阻无关，故D错误。 故选C。 11. 某款发电机示意图如图所示，有一矩形线框abcd，匝数为N，面积为S，ab边长为L，线框总电阻为，矩形线框置于水平向右的磁感应强度为B的匀强磁场中，中心轴与磁场垂直，时刻，线圈平面与磁场平行，E、F端分别接在相互绝缘的两个半圆环上，让半圆环和线框一起以角速度顺时针匀速转动，两个半圆环在转动过程中先后分别和两个固定电刷C、D接触，电刷C、D之间接有一阻值为R的电阻，其余部分电阻不计，电阻R中通过如图乙的电流，电流最大值为I。求： (1)线框转动的角速度； (2)线框转动一周通过电阻R的电荷量q； (3)当从图示位置转过时，线框ab边所受的安培力的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律，最大感应电动势为 根据闭合电路欧姆定律，电流最大值 满足 联立解得角速度 （2）可以将一周分为四个阶段，每个阶段磁通量变化量的大小为 。 根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，每个周期内通过的电荷量为 转动一周包含四个这样的过程，且电流方向相同，故总电荷量为 （3）当线圈从图示位置转过 时，线圈平面与磁场方向夹角为 ，根据 可知，此时瞬时感应电动势 为 此时瞬时电流 为 线框 边始终与磁场垂直，所受安培力大小为 解得 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $