第5讲 带电粒子在组合场中的运动（模型与方法）物理人教版选择性必修第二册

第6讲 带电粒子在叠加场中的运动 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.组合场 模型02.电场+磁场组合 模型03.交变场 模型04.质谱仪 模型05.回旋加速器 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.组合场 模型构建：组合场是电场、磁场分区拼接，各区域场独立，边界分明。粒子在电场中做匀变速或类平抛；进入磁场做匀速圆周运动。只在边界处速度连续，场区域内受力不变。解题关键：找准进入下一区域的速度大小方向，结合几何找轨迹圆心半径；分段处理，电场用动力学或动能定理，磁场用圆周规律 模型剖析： 组合场：指重力场、电场、磁场组合而成的复合场，实际是由几个典型运动过程的组合，解决此类问题需要分段处理，找出各段之间的衔接点和相关物理量，列式联立求解. 1.带电粒子在各场中的受力情况 1.重力 宏观粒子：(如电子、质子、粒子、离子等)，一般不考虑重力. 微观粒子：（如液滴、油滴、小球、尘埃等），一般需要考虑重力. 2.电场力 ①带电粒子在电场中一定受电场力，在匀强电场中，电场力F=qE。 ②电场力做功与路径无关，只与初末位的置电势差有关。 3.洛伦兹力 ①带电粒子在磁场中不一定受到洛伦兹力，洛伦兹力的大小为F=qvBsinθ， ②洛伦兹力始终与速度方向垂直，洛伦兹力不做功，只v改变方向，不改变大小。 2.电偏转与磁偏转 “电偏转”与“磁偏转”是分别利用电场和磁场对运动电荷施加作用力，从而改变运动方向。 偏转 项目　　 垂直进入磁场 垂直进入电场 情景图 受力 FB＝qv0B，大小不变，方向指向圆心 FE＝qE，FE大小、方向不变 运动轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动性质 匀速圆周运动 类平抛运动 运动时间 t＝T＝ t＝ 动能 不变 增大 3.解题思路 (1)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键． (2)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图． (3)分段列方程：各过程运动、功能方程，求出衔接点临界速度，结合题意联立公式求解。 【例1】如图所示，直角坐标系xOy平面内，第二象限内有平行x轴向右的匀强电场，第一象限内有垂直xOy平面向外的匀强磁场，质量为m、带电量为q（q＞0）的粒子从P1（-3d，0）点以初速度v0向y轴正方向射入电场后，从P2（0，8d）点进入磁场，且通过P3（7d，9d）点。粒子的重力忽略不计，求： (1)匀强电场电场强度的大小； (2)匀强磁场磁感应强度的大小。 【变式1-1】如图所示，虚线左侧存在竖直向上、宽度为的匀强电场，虚线右侧存在宽度为、足够长的水平匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。质量为、电荷量为的带负电粒子以大小为的初速度水平向右垂直射入电场，从上某点射出后进入磁场，不计粒子重力，粒子始终在纸面内运动，下列说法正确的是（　　） A．粒子在电场中运动的偏转角正切值与成反比 B．粒子一定能从磁场的右边界射出磁场区域 C．若仅增大匀强电场的电场强度，则粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角可能减小 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 【变式1-2】现代科学仪器中常利用电、磁场控制带电粒子的运动，如图所示，纸面内轴上方存在一个平行板电容器，两平行板金属板CD之间的距离为，D极板中间有一个空隙且离轴的距离为，轴下方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有一质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）从极板C的中点M由静止释放，经过匀强电场加速后，穿过D极板的空隙，从P点进入匀强磁场，恰好能经过y轴上距离O点为的N点，P、O两点的距离为。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子从极板中点M运动到N点的时间； (3)若在磁场区域增加沿y轴正方向的匀强电场，大小与平行板电容器的电场强度E相同，重新让粒子从C板中间静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点A（图中未标出），不计粒子重力，粒子经过A点时速度大小和A点离x轴的距离y。 模型02.电场+磁场组合 模型构建：同一区域同时存在电场与磁场，粒子受电场力和洛伦兹力；速度选择器二力平衡，只有特定速度粒子直线穿过 模型剖析： 1.加速电场+磁场 2.偏转电场+磁场 【例2】（多选）如图所示，质量为m、带电荷量为＋q的带电粒子，从坐标原点O以初速度v0射入第一象限内的电、磁场区域，在0<y<y0、0<x<x0（x0、y0为已知量）区域内有竖直向上的匀强电场，在x>x0区域内有垂直于纸面向里、大小为B的匀强磁场，控制电场强度E（E值有多种可能）可让粒子从NP射入磁场后偏转打到足够长的接收器MN上，不计重力，则（     ） A．粒子从NP中点射入磁场，电场强度E＝ B．粒子从NP中点射入磁场时的速度v＝v0 C．粒子在磁场中做圆周运动的圆心到MN的距离为 D．粒子在磁场中运动的轨迹半径的最大值是 【变式2-1】圆筒的横截面如图所示，其圆心为O，筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。圆筒下面有相距为d的平行金属板M、N，其中M板带正电荷，N板带等量负电荷。质量为m、电荷量为q的带正电粒子自M板边缘的P处由静止释放，经N板的小孔S以速度v沿半径SO方向射入磁场中，粒子与圆筒发生3次碰撞后仍从S孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，不计重力。 (1)求M、N间电场强度E的大小； (2)求圆筒的半径R； (3)欲使粒子仍从M板边缘的P处由静止释放，进入圆筒后与圆筒碰撞2次后从S孔射出，在保持M、N间电场强度E不变的情况下，应如何平移M板？ 【变式2-2】如图所示，一比荷为的一价正离子，经电场强度方向与水平夹角为、电压为7200V的匀强电场由静止加速后，从A点垂直磁场方向射入矩形磁场区域ABCD，矩形匀强磁场的磁场方向垂直纸面向外，AB边水平，长度为0.55m，离子经磁场偏转后从AB射出，沿直线运动到水平放置的电容器左侧中点N，电容器内的电场强度方向竖直向上，上极板与矩形磁场下边界AB平齐，N点与BC两点共线。已知电容器极板长度为0.45m，两极板间距为0.40m。若不计离子重力及边缘效应，取，。求： (1)当时，匀强磁场的磁感应强度大小； (2)当时，能保证离子到达电容器下极板的电场强度范围； (3)若电容器极板长度足够长，电场强度为。调整加速电场方向和矩形磁场的磁感应强度大小，使离子仍从A点进入磁场，且从N点进入平行板电容器，当离子到达上极板时，距离B点的最远距离。 模型03.交变场 模型构建：场强周期性变化，分段处理，每个周期内看成恒定场；场突变时刻粒子速度保持不变 模型剖析： 由于交变场的特点，带电粒子的运动往往表现为多过程问题，具有周期性、对称性、多解性。 交变形式一般有两种，E、B随时间出现交替变化，关键在于分析核心子过程，及衔接物理量。 1.交变场特点 参考电场部分，交变场。 2.常见的交变磁场（若：） 【例3】如图甲，竖直面中存在竖直向上的匀强电场。一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水平初速度v0沿PQ向右做直线运动。若小球刚经过D点时（此时开始计时t＝0），在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时速度方向如图所示，与PQ连线成60°角，且以后能多次经过D点做周期性运动。图乙中，B0、t1、t2均为未知量，且t1、t2均小于小球在磁场中做圆周运动的周期。忽略磁场变化造成的影响，重力加速度为g。求： (1)电场强度E的大小； (2)t1与t2的比值； (3)小球做周期性运动的周期（用t1、t2表示）。 【变式3-1】（多选）如图甲所示，y轴左侧有两块长为L、间距为的带电水平金属板，x轴在两平行金属板的中轴线上，金属板间的匀强电场的电场强度大小为E。y轴与竖直虚线间有交替变化的匀强磁场，磁场区域的宽度为。磁场的磁感应强度随时间变化的图像如图乙所示，以垂直于纸面向里的方向为正方向，B0、T均未知。带电粒子（不计重力）以沿x轴正方向、大小为v0的初速度从金属板左端中心进入金属板间，恰好能从金属板下边缘P点飞出并进入磁场。以粒子进入磁场为0时刻，粒子恰在T时刻从虚线与x轴的交点M处飞出磁场。下列说法正确的是（　　） A．粒子的比荷为 B．粒子经过P点的速度大小为 C． D． 【变式3-2】在芯片制造工艺中，离子注入机利用电场和磁场对带电粒子进行速度筛选及轨迹偏转，以确保粒子束以特定角度精准地注入晶圆靶区。某科技小组仿照芯片生产中“电场-磁场-目标靶”环节构建了如图甲所示的复合场，在三维直角坐标系中，轴正半轴上的分界面、接收屏均与平面平行，分界面将接收屏与平面之间的空间分为Ⅰ、Ⅱ两区域，分界面与点的距离为。区域Ⅰ内存在沿轴正方向的匀强电场，电场强度大小未知。如图乙，区域Ⅱ内存在沿轴方向的交变磁场（沿轴正方向为磁场的正方向），磁场变化周期为且，磁感应强度大小恒为。一电荷量为，质量为的带正电粒子从点以初速度沿轴正方向射入区域Ⅰ，到达分界面上的点时速度方向与轴正方向成角，此时开始计时，粒子在交变磁场周期整数倍时刻打在接收屏上某点。粒子的重力忽略不计，求： (1)区域Ⅰ电场强度的大小及点到轴的距离； (2)，粒子在区域Ⅱ的运动轨迹在面上投影圆弧的半径； (3)分界面与接收屏间距离的可能值及粒子打在接收屏上位置的坐标和坐标。 模型04.质谱仪 模型构建：电场加速、速度选择器选速，磁场中圆周偏转；轨道半径与粒子质量相关，用来测比荷、区分同位素 模型剖析： 应用：通过粒子打的轨迹半径r，可以算出粒子比荷，从而测定带电粒子的质量和分析同位素。 结构：主要构件有粒子源、加速电场、选择电场、偏转磁场和照相底片组成。 工作原理： 粒子源产生电荷之后，经加速电场加速，不同带电粒子加速后，由于q、m不同，故速度不同。 再经选择电场，选出待分析带电粒子的特征速度，进入偏转电场。 ①加速电场：qU＝mv2； ②选择电场： q＝qvB. ③偏转磁场：qvB＝，l＝2r； 由①②可得：U1=vBd 由①③可得：r＝ ， m＝，＝ (用来分析核质比) 【例4】某一具有速度选择器的质谱仪原理如图所示。A为粒子加速器，加速电压为U1；B为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为B1两板间距离为d；C为偏转分离器，磁感应强度为B2。今有一质量为m、电荷量为q的正粒子、由静止释放（不计重力），经A加速后，该粒子恰好匀速通过速度选择器，粒子进入分离器后做匀速圆周运动。最终打在质谱仪荧光屏上的点。求： (1)粒子进入速度选择器的速度v： (2)速度选择器两板间电压U2： (3)粒子打在质谱仪上的D点到刚进入磁场B2的位置的距离。 【变式4-1】（多选）如图所示为一种质谱仪的原理图。离子室产生电荷量为e=1.6×10-19 C、质量为m=3.2×10-26 kg的正离子，初速度可忽略。离子经加速电压U加速后，进入速度选择器，速度选择器的极板间电场强度E=4.0×104 V/m，方向竖直向下，匀强磁场的磁感应强度为B1=0.2 T，方向垂直纸面向里。只有直线通过速度选择器的离子才能从狭缝O′射出，随后进入一个磁感应强度为B2=0.5 T的匀强磁场，方向垂直纸面向外，离子在磁场中做匀速圆周运动，最终打在照相底片上，落点P到O′距离为L。已知离子在离开速度选择器后，进入B2磁场分析区时，由于真空度不佳，该区域残留少量中性气体分子，质量为离子质量的2倍。不计离子的重力及离子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．该速度选择器允许通过的速度为v0=2.0×105 m/s B．若加速电压U为800 V，则离子通过该加速电压加速后可以从狭缝O′射出 C．若不考虑中性气体分子的影响，能从狭缝O′射出的离子落点距离L=16.0 cm D．若在B2区域内，离子与静止的中性气体分子发生完全非弹性碰撞（二者粘在一起，电荷量不变），碰撞后继续偏转，新落点距离O′更近 【变式4-2】如图为生物质谱仪，其工作流程为：分子电离后进入速度选择器，筛选出的粒子垂直进入匀强磁场，发生偏转最终撞击到照相底片上。若速度选择器中电场强度为E、磁感应强度为B，不计重力，则（     ） A．筛选出的粒子速度大小 B．筛选出的粒子动能相同 C．比荷越小的粒子，偏转半径越小 D．比荷越小的粒子，偏转周期越大 模型05.回旋加速器 模型构建：磁场回旋，缝隙电场加速；粒子圆周周期不变，最大动能受 D 形盒半径限制，和加速电压大小无关。 模型剖析： 应用：给带电粒子持续加速，每个周期加速2次，经过多次加速，得到较大速度的带电粒子。 构造：由两个D形盒置于匀强磁场中，其中间狭缝中加有周期性变化的交变电压。 工作原理： 在狭缝中由电场加速，随后再D形盒中做匀速圆周运动后再次加速。 1.电场特点及作用 特点：交变电场周期等于，粒子做圆周运动的周期：T＝ 作用：对带电粒子加速，每次加速，粒子的动能增大：ΔEk＝ qU 2.磁场作用 作用：改变粒子的运动方向． 特点：粒子做匀速圆周运动 ，洛伦兹力提供向心力：qvB＝m，r＝∝v 3.最大速度、最大动能 均取决于D形盒半径R，及磁感应强度B，与加速打压无关。 由：qvmB＝、Ekm＝mvm2 联立解得：Vm= Ekm＝； 4.运动时间 加速次数的计算：粒子在回旋加速器中被加速的次数n＝，一个周期加速两次。 ①.在D形盒中运动时间：t1＝T＝＝ (n被加速次数，达到最大速度时间t3=T) ②. 在狭缝中运动时间：t2＝＝＝ 因为t1≪t2，一般认为在盒内的时间近似等于t2。 a.若考虑在狭缝电场中加速时间：t＝ t1+t2＝+ b.若不考虑在狭缝电场中加速时间：t＝ t1＝ C.带电粒子运动时间与q、m无关 【例4】（多选）回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电极相连接的两个D形盒，两盒间的狭缝中有周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两个形盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图所示，下列说法正确的是（     ） A．仅增大狭缝间的加速电压，则同一粒子射出加速器时的动能增大 B．仅减小磁场的磁感应强度且使电场变化周期与粒子做圆周运动周期相同，则同一粒子射出加速器时的动能减小 C．仅增大形金属盒的半径，则同一粒子射出加速器时的速度增大 D．比荷不同的粒子也可用同一加速器进行加速 【变式4-1】（多选）医用质子治疗仪利用回旋加速器产生高能质子束轰击肿瘤细胞。为缩小设备体积，科研人员采用紧凑型超导回旋加速器。其结构如图所示：D形盒半径，磁感应强度，两D形盒间隙，加速电压。质子质量，电荷量，忽略相对论效应及狭缝中的运动时间。已知运行中磁场发生缓慢线性衰减，变化规律为（为衰减系数）。若高频电源的频率始终实时调整为该时刻质子回旋频率，以保证质子每次经过狭缝均恰好加速，忽略粒子在磁场中运动时磁场的变化。下列说法正确的是（     ） A．质子最终可获得的最大动能约为 B．质子从静止加速到最大能量需要被加速约4000次 C．仅增大回旋加速器的狭缝宽度，质子从静止加速到最大能量的次数将不变 D．当磁场随时间衰减时，高频电源频率随时间变化的关系式为 【变式4-2】（多选）回旋加速器的基本结构如图，置于真空中的两形金属盒间的狭缝很小，带电粒子穿过狭缝的时间可以忽略不计。匀强磁场与盒面垂直，处粒子源产生的粒子（不计初速度）在加速器中被加速，狭缝间的加速电压为，加速过程中忽略相对论效应和重力的影响，下列说法正确的是（     ） A．粒子在磁场中做圆周运动的周期不断增大 B．仅增大加速电压，粒子在形盒中运动的总时间变短 C．仅增大加速电压，粒子离开回旋加速器的速度变大 D．粒子第1次和第2次经过两形盒间狭缝后轨道半径之比为 如图为实验室筛选带电粒子的装置示意图：左端加速电极M、N间的电压为。中间速度选择器中存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强磁场的场强，两板电压，两板间的距离。选择器右端是一个半径的圆筒，可以围绕竖直中心轴顺时针转动，筒壁的一个水平圆周上均匀分布着8个小孔至。圆筒内部有竖直向下的匀强磁场。一电荷量为、质量为的带电的粒子，从静止开始经过加速电场后以的速度匀速穿过速度选择器。圆筒不转时，粒子恰好从小孔射入，从小孔射出，粒子进入圆筒的速度方向与连线平行，若粒子碰到圆筒就被圆筒吸收。求： (1)加速器两端的电压的大小并判断粒子带正电还是负电； (2)速度选择器中的磁场和圆筒内匀强磁场的大小； (3)要使粒子从一个小孔射入圆筒后能从正对面的小孔射出（如从进从出），则圆筒匀速转动的角速度多大？ 【基础夯实】 1. 利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在x轴上方空间中存在沿y轴负方向的匀强电场，在x轴下方空间中，存在垂直xOy平面向外的匀强磁场。一个电荷量为q、质量为m的带正电粒子，以速率从y轴上点沿x轴正方向射入第一象限，通过x轴上的点时粒子速度方向与x轴正方向成角，随后恰好垂直y轴射出第四象限，再经磁场、电场后回到点。不计粒子重力，求： (1)O、之间的距离； (2)匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁感应强度大小之比； (3)粒子相邻两次经过点的时间间隔。 2. 如图所示，粒子发射源S向外释放质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子的初速度为零，经电压为U的加速电场加速后，垂直于磁场方向射入磁感应强度大小、宽度为d的匀强磁场中，不计粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。 (1)求粒子射入磁场时的速度大小v； (2)求粒子穿出磁场时，速度方向相对于射入方向的偏转角； (3)若在磁场区域再施加一匀强电场，使粒子进入该区域后能做匀速直线运动，求该匀强电场的电场强度E的大小和方向。 3. 某空间科研人员设计了一个“太空粒子探测器”，装置如图所示，由径向电场、偏转磁场、金属板三部分组成。径向电场两电极AB间的电势差为U，大小可调，电场强度方向均指向点，电极A上可以收集到来自宇宙空间的带电粒子和。离子从静止状态经径向电场加速后均从点飞入磁场。磁场边界为半圆形，圆心为O，半径为R，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，；半圆形金属板CD与磁场上边界重合，CD连线与磁场下边界重合，和电阻R串联后接地，离子到达金属板后电荷会经过导线流入大地。已知电子的电荷量为e，不考虑粒子间相互作用和离子的重力。（，） (1)当时，P点收集到的粒子可以打到金属板的D点，求粒子的比荷； (2)当时，P点收集到的粒子在磁场中偏转后可以打到金属板的Q点，求OQ与OD的夹角； (3)现将径向电场沿水平方向向右移动，使得与磁场圆心O重合，若电极A上均匀地收集到粒子和，经径向电场加速后从O点沿各方向均匀进入磁场，单位时间内分别有N个和粒子从O点进入磁场，当两极间电势差时，求通过电阻R的电流I。 4. 如图所示，在平面直角坐标系xOy所在平面内，第四象限存在沿y轴正方向的匀强电场，第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，在P处有一质量为m、电荷量为（）的带电粒子，以初速度沿着x轴正方向射入匀强电场，粒子从x轴上的Q点进入第一象限的匀强磁场，此后每次从第一象限回到第四象限经过x轴的位置记为点（第一次为点，第二次为点，……，第n次为点，图中没有画出）。已知P点坐标为，Q点坐标为，忽略粒子所受重力的大小，不计空气阻力。求： (1)匀强电场的电场强度大小E； (2)粒子刚进入第一象限磁场时速度v的大小以及速度方向与x轴正方向的夹角； (3)粒子在第一象限磁场中运动的轨道半径R； (4)点的横坐标。 【培优拔高】 5. 如图所示，在坐标平面内的第一、二象限有沿轴正方向、电场强度大小为的匀强电场，第三、四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。平面内轴上的处有一粒子发射源，能向第三象限发射不同速率的带负电的相同粒子，速度方向与轴正方向的夹角均为，其中发射速度大小为的粒子恰好没有进入电场；已知粒子质量为，电荷量大小为。不计粒子的重力及其相互之间的影响。 (1)求粒子发射源的位置坐标； (2)若另一粒子恰好自坐标原点进入电场，求粒子的发射速度大小； (3)求粒子通过轴从电场进入磁场的坐标。 6. 如图甲所示的正方形平面内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为、所带电荷量为的粒子（不计重力）在时刻沿边从点射入磁场。已知正方形边长为，磁感应强度的大小为，带电粒子在磁场中运动的直径小于边长，规定磁场垂直于纸面向外的方向为正方向。若要使带电粒子不能从边界射出磁场，磁感应强度的变化周期的最大值为（    ） A． B． C． D． 7. （多选）如图1所示，一质量为、带电量为的正粒子在时刻以初速度沿直径进入一圆形磁场区域，已知磁场的磁感应强度随时间的变化关系如图2所示（取磁场方向垂直纸面向外时磁感应强度为正值，图示为一个周期内的变化情况），若带电粒子最终又从点沿直径方向离开圆形磁场区域，不计带电粒子的重力，则下列说法正确的是（    ） A．带电粒子在磁场中运动的时间可能为 B．带电粒子磁场中运动的过程中，距离直径的最远距离为 C．带电粒子在磁场中运动的过程中，只能处于直径的右下方 D．圆形磁场区域的最小面积为 8. 图a所示，平面直角坐标系xOy中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形OBC区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标，BC边与x轴正方向的夹角大小为。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为v，方向与BC边平行的初速度进入电场，经偏转后从A点垂直OB边进入磁场。已知匀强电场场强，不计粒子重力。求： (1)A点的坐标； (2)若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从BC边射出，匀强磁场磁感应强度的大小； (3)若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，交变磁场的磁感应强度和周期的大小。 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 带电粒子在叠加场中的运动 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.组合场 模型02.电场+磁场组合 模型03.交变场 模型04.质谱仪 模型05.回旋加速器 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.组合场 模型构建：组合场是电场、磁场分区拼接，各区域场独立，边界分明。粒子在电场中做匀变速或类平抛；进入磁场做匀速圆周运动。只在边界处速度连续，场区域内受力不变。解题关键：找准进入下一区域的速度大小方向，结合几何找轨迹圆心半径；分段处理，电场用动力学或动能定理，磁场用圆周规律 模型剖析： 组合场：指重力场、电场、磁场组合而成的复合场，实际是由几个典型运动过程的组合，解决此类问题需要分段处理，找出各段之间的衔接点和相关物理量，列式联立求解. 1.带电粒子在各场中的受力情况 1.重力 宏观粒子：(如电子、质子、粒子、离子等)，一般不考虑重力. 微观粒子：（如液滴、油滴、小球、尘埃等），一般需要考虑重力. 2.电场力 ①带电粒子在电场中一定受电场力，在匀强电场中，电场力F=qE。 ②电场力做功与路径无关，只与初末位的置电势差有关。 3.洛伦兹力 ①带电粒子在磁场中不一定受到洛伦兹力，洛伦兹力的大小为F=qvBsinθ， ②洛伦兹力始终与速度方向垂直，洛伦兹力不做功，只v改变方向，不改变大小。 2.电偏转与磁偏转 “电偏转”与“磁偏转”是分别利用电场和磁场对运动电荷施加作用力，从而改变运动方向。 偏转 项目　　 垂直进入磁场 垂直进入电场 情景图 受力 FB＝qv0B，大小不变，方向指向圆心 FE＝qE，FE大小、方向不变 运动轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动性质 匀速圆周运动 类平抛运动 运动时间 t＝T＝ t＝ 动能 不变 增大 3.解题思路 (1)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键． (2)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图． (3)分段列方程：各过程运动、功能方程，求出衔接点临界速度，结合题意联立公式求解。 【例1】如图所示，直角坐标系xOy平面内，第二象限内有平行x轴向右的匀强电场，第一象限内有垂直xOy平面向外的匀强磁场，质量为m、带电量为q（q＞0）的粒子从P1（-3d，0）点以初速度v0向y轴正方向射入电场后，从P2（0，8d）点进入磁场，且通过P3（7d，9d）点。粒子的重力忽略不计，求： (1)匀强电场电场强度的大小； (2)匀强磁场磁感应强度的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）从P1到P2，粒子做类平抛运动，运动轨迹如图所示 由牛顿第二定律得 解得加速度 粒子在电场中的运动时间 由匀变速直线运动位移与时间的关系，粒子在水平方向的位移 联立解得 （2）粒子到达P2时，竖直和水平方向的速度大小分别为， 设速度偏转角为，可得 粒子到达P2时的速度 粒子在磁场中运动轨迹如上图所示，设粒子通过P3点时速度与水平方向成角，由几何关系可得， 解得 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 【变式1-1】如图所示，虚线左侧存在竖直向上、宽度为的匀强电场，虚线右侧存在宽度为、足够长的水平匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。质量为、电荷量为的带负电粒子以大小为的初速度水平向右垂直射入电场，从上某点射出后进入磁场，不计粒子重力，粒子始终在纸面内运动，下列说法正确的是（　　） A．粒子在电场中运动的偏转角正切值与成反比 B．粒子一定能从磁场的右边界射出磁场区域 C．若仅增大匀强电场的电场强度，则粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角可能减小 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】C 【详解】A．粒子在电场中做类平抛运动：水平方向匀速运动，可得 竖直方向加速度 出电场时竖直分速度 速度偏转角正切值 可见与成反比，故A错误； B．粒子进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 得轨迹半径 若粒子速度很小，轨迹半径较小，如图所示 粒子会在磁场中向左偏转，从PQ边界（磁场左边界）射出，无法从磁场右边界射出，故B错误； C．若从磁场左边界离开磁场，由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为，则仅增大匀强电场的电场强度，由A分析可知会增大，可得磁场中轨迹对应的圆心角会减小，故C正确； D．粒子在磁场中做圆周运动的周期 粒子从磁场左边界离开磁场才可能取得最长时间，在磁场中运动的时间为 若电场强度很小，则很小，运动时间只能趋近，不能取到，故D错误。 故选C。 【变式1-2】现代科学仪器中常利用电、磁场控制带电粒子的运动，如图所示，纸面内轴上方存在一个平行板电容器，两平行板金属板CD之间的距离为，D极板中间有一个空隙且离轴的距离为，轴下方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有一质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）从极板C的中点M由静止释放，经过匀强电场加速后，穿过D极板的空隙，从P点进入匀强磁场，恰好能经过y轴上距离O点为的N点，P、O两点的距离为。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子从极板中点M运动到N点的时间； (3)若在磁场区域增加沿y轴正方向的匀强电场，大小与平行板电容器的电场强度E相同，重新让粒子从C板中间静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点A（图中未标出），不计粒子重力，粒子经过A点时速度大小和A点离x轴的距离y。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）设粒子圆周运动的轨道半径为，则有 解得    洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 解得粒子进入磁场中的速度 根据动能定理则有     解得     （2）粒子在平行板电容器中匀加速运动的时间     粒子在极板到轴的匀速运动时间     由几何知识可知，圆弧对应的圆心角 解得     粒子在磁场中从到运动的时间，其中     故粒子从点运动到点的时间为总时间     （3）将粒子从到的过程中某时刻的速度分解为水平向右和竖直向下的分速度，分别为、，设粒子在最低点的速度大小为，点离轴的距离为，以向右为正方向，水平方向上由动量定理可得 可得     由动能定理可得     解得     A点离x轴的距离 模型02.电场+磁场组合 模型构建：同一区域同时存在电场与磁场，粒子受电场力和洛伦兹力；速度选择器二力平衡，只有特定速度粒子直线穿过 模型剖析： 1.加速电场+磁场 2.偏转电场+磁场 【例2】（多选）如图所示，质量为m、带电荷量为＋q的带电粒子，从坐标原点O以初速度v0射入第一象限内的电、磁场区域，在0<y<y0、0<x<x0（x0、y0为已知量）区域内有竖直向上的匀强电场，在x>x0区域内有垂直于纸面向里、大小为B的匀强磁场，控制电场强度E（E值有多种可能）可让粒子从NP射入磁场后偏转打到足够长的接收器MN上，不计重力，则（     ） A．粒子从NP中点射入磁场，电场强度E＝ B．粒子从NP中点射入磁场时的速度v＝v0 C．粒子在磁场中做圆周运动的圆心到MN的距离为 D．粒子在磁场中运动的轨迹半径的最大值是 【答案】AD 【详解】A．若粒子从NP中点射入磁场，在电场中，水平方向有 竖直方向有 联立解得，故A正确； B．粒子在电场中运动，由动能定理有 联立解得，故B错误； C．粒子在电场中的运动过程，竖直方向有 粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力有 设粒子从电场中射出时的速度方向与y轴正方向的夹角为θ，根据几何关系可知，圆心到MN的距离为s＝R cos θ 联立解得，故C错误； D．由上述分析可知，粒子从N点进入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径最大，在电场中运动时，水平方向有 竖直方向有 由动能定理有 粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力有 联立解得，故D正确。 故选AD。 【变式2-1】圆筒的横截面如图所示，其圆心为O，筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。圆筒下面有相距为d的平行金属板M、N，其中M板带正电荷，N板带等量负电荷。质量为m、电荷量为q的带正电粒子自M板边缘的P处由静止释放，经N板的小孔S以速度v沿半径SO方向射入磁场中，粒子与圆筒发生3次碰撞后仍从S孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，不计重力。 (1)求M、N间电场强度E的大小； (2)求圆筒的半径R； (3)欲使粒子仍从M板边缘的P处由静止释放，进入圆筒后与圆筒碰撞2次后从S孔射出，在保持M、N间电场强度E不变的情况下，应如何平移M板？ 【答案】(1) (2) (3)向下平移2d 【详解】（1）设两板间的电压为U，由动能定理得 由匀强电场中电势差与电场强度的关系得 联立解得M、N间电场强度E的大小 （2）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设圆半径为r，由几何知识可知，粒子转过的圆心角为，由几何关系得r＝R 粒子运动过程中洛伦兹力充当向心力，得 联立解得圆筒的半径 （3）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示： 由几何知识可知，粒子转过的圆心角为， 粒子运动过程中洛伦兹力充当向心力，则有 解得 由动能定理得 解得 则M板向下平移的距离 【变式2-2】如图所示，一比荷为的一价正离子，经电场强度方向与水平夹角为、电压为7200V的匀强电场由静止加速后，从A点垂直磁场方向射入矩形磁场区域ABCD，矩形匀强磁场的磁场方向垂直纸面向外，AB边水平，长度为0.55m，离子经磁场偏转后从AB射出，沿直线运动到水平放置的电容器左侧中点N，电容器内的电场强度方向竖直向上，上极板与矩形磁场下边界AB平齐，N点与BC两点共线。已知电容器极板长度为0.45m，两极板间距为0.40m。若不计离子重力及边缘效应，取，。求： (1)当时，匀强磁场的磁感应强度大小； (2)当时，能保证离子到达电容器下极板的电场强度范围； (3)若电容器极板长度足够长，电场强度为。调整加速电场方向和矩形磁场的磁感应强度大小，使离子仍从A点进入磁场，且从N点进入平行板电容器，当离子到达上极板时，距离B点的最远距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）离子在加速电场中运动，由动能定理，则 代入数据解得 由几何关系可得轨迹半径满足 解得 洛伦兹力提供向心力 匀强磁场的磁感应强度 （2）离子进入极板时速度沿与极板成角斜向右下方,设离子在极板间运动的时间为，水平方向 竖直方向 其中 代入数据可得 可测定范围为 （3）离子在电容器中竖直方向 其中，， 即离子在电场中做类斜抛运动，最终打在电容器上极板，没离子在极板间运动的时间为，水平方向 沿离子进入电场速度方向和竖直方向分解运动，设离子到达上极板时速度方向v与水平方向夹角为，根据速度矢量三角形有 离子在电场中，由动能定理有 联立以上公式有 当时，有最大值为 模型03.交变场 模型构建：场强周期性变化，分段处理，每个周期内看成恒定场；场突变时刻粒子速度保持不变 模型剖析： 由于交变场的特点，带电粒子的运动往往表现为多过程问题，具有周期性、对称性、多解性。 交变形式一般有两种，E、B随时间出现交替变化，关键在于分析核心子过程，及衔接物理量。 1.交变场特点 参考电场部分，交变场。 2.常见的交变磁场（若：） 【例3】如图甲，竖直面中存在竖直向上的匀强电场。一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水平初速度v0沿PQ向右做直线运动。若小球刚经过D点时（此时开始计时t＝0），在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时速度方向如图所示，与PQ连线成60°角，且以后能多次经过D点做周期性运动。图乙中，B0、t1、t2均为未知量，且t1、t2均小于小球在磁场中做圆周运动的周期。忽略磁场变化造成的影响，重力加速度为g。求： (1)电场强度E的大小； (2)t1与t2的比值； (3)小球做周期性运动的周期（用t1、t2表示）。 【答案】(1) (2) (3)6t1＋3t2 【详解】（1）根据题意，在只有重力场与电场的复合场中带电小球做直线运动，说明受力平衡，满足 解得 （2）根据乙图以及左手定则可知，在时间内，小球做匀速直线运动，在时间内小球在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，然后继续做直线运动回到D点，轨迹如图1所示 粒子在0~t1时间内做直线运动的位移x＝v0t1 加入磁场后，根据几何关系可得小球做圆周运动的半径 小球做圆周运动转过的角度为240°，所以可求得 可解得 （3）小球在空间中做周期性运动的轨迹应如图2所示 所以 【变式3-1】（多选）如图甲所示，y轴左侧有两块长为L、间距为的带电水平金属板，x轴在两平行金属板的中轴线上，金属板间的匀强电场的电场强度大小为E。y轴与竖直虚线间有交替变化的匀强磁场，磁场区域的宽度为。磁场的磁感应强度随时间变化的图像如图乙所示，以垂直于纸面向里的方向为正方向，B0、T均未知。带电粒子（不计重力）以沿x轴正方向、大小为v0的初速度从金属板左端中心进入金属板间，恰好能从金属板下边缘P点飞出并进入磁场。以粒子进入磁场为0时刻，粒子恰在T时刻从虚线与x轴的交点M处飞出磁场。下列说法正确的是（　　） A．粒子的比荷为 B．粒子经过P点的速度大小为 C． D． 【答案】AC 【详解】A．粒子在电场中做类平抛运动，方向匀速运动，有 得运动时间 方向做匀加速运动，总板间距，故方向位移 由牛顿第二定律，得加速度 由匀变速直线运动位移与时间的关系，得 联立可得 整理得比荷，故A正确； B．出电场时，由匀变速直线运动速度与时间的关系，得方向分速度 合速度大小，故B错误； C．合速度与轴夹角满足 解得 已知，，则由与轴夹角满足 解得 因此合速度方向与垂直，由几何关系，可得 粒子恰在T时刻从点M处飞出磁场。由磁场和匀速圆周运动的对称性可知，粒子做匀速圆周运动的半径 由洛伦兹力提供向心力，有 得圆周运动半径 代入​​、，，得 整理得，故C正确； D．粒子做匀速圆周运动的周期为 粒子在磁场中恰好运动了一个周期，因此，故D错误。 故选AC。 【变式3-2】在芯片制造工艺中，离子注入机利用电场和磁场对带电粒子进行速度筛选及轨迹偏转，以确保粒子束以特定角度精准地注入晶圆靶区。某科技小组仿照芯片生产中“电场-磁场-目标靶”环节构建了如图甲所示的复合场，在三维直角坐标系中，轴正半轴上的分界面、接收屏均与平面平行，分界面将接收屏与平面之间的空间分为Ⅰ、Ⅱ两区域，分界面与点的距离为。区域Ⅰ内存在沿轴正方向的匀强电场，电场强度大小未知。如图乙，区域Ⅱ内存在沿轴方向的交变磁场（沿轴正方向为磁场的正方向），磁场变化周期为且，磁感应强度大小恒为。一电荷量为，质量为的带正电粒子从点以初速度沿轴正方向射入区域Ⅰ，到达分界面上的点时速度方向与轴正方向成角，此时开始计时，粒子在交变磁场周期整数倍时刻打在接收屏上某点。粒子的重力忽略不计，求： (1)区域Ⅰ电场强度的大小及点到轴的距离； (2)，粒子在区域Ⅱ的运动轨迹在面上投影圆弧的半径； (3)分界面与接收屏间距离的可能值及粒子打在接收屏上位置的坐标和坐标。 【答案】(1)， (2) (3)，，（n=1，2，3，…） 【详解】（1）设带正电粒子在区域Ⅰ运动时间为t，在x轴方向上做匀速直线运动， 又 解得 粒子在y轴方向上做匀加速直线运动，有， 解得 点到x轴的距离 解得 （2）根据运动独立性，粒子在区域Ⅱ平行于x轴方向保持做匀速直线运动，垂直x轴方向上做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有 垂直x轴分速度 解得 （3）粒子圆周运动的周期 磁场变化周期，单段磁场时长为 单段圆弧圆心角，由于， 由于粒子在交变磁场n倍周期时刻打在接收屏Q上，，n=1，2，3，… x轴方向匀速位移 解得，n=1，2，3，… 单个磁场变化周期内偏移量 所以n个磁场变化周期内，打在接收屏Q上的坐标， 所以，，n=1，2，3，… 模型04.质谱仪 模型构建：电场加速、速度选择器选速，磁场中圆周偏转；轨道半径与粒子质量相关，用来测比荷、区分同位素 模型剖析： 应用：通过粒子打的轨迹半径r，可以算出粒子比荷，从而测定带电粒子的质量和分析同位素。 结构：主要构件有粒子源、加速电场、选择电场、偏转磁场和照相底片组成。 工作原理： 粒子源产生电荷之后，经加速电场加速，不同带电粒子加速后，由于q、m不同，故速度不同。 再经选择电场，选出待分析带电粒子的特征速度，进入偏转电场。 ①加速电场：qU＝mv2； ②选择电场： q＝qvB. ③偏转磁场：qvB＝，l＝2r； 由①②可得：U1=vBd 由①③可得：r＝ ， m＝，＝ (用来分析核质比) 【例4】某一具有速度选择器的质谱仪原理如图所示。A为粒子加速器，加速电压为U1；B为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为B1两板间距离为d；C为偏转分离器，磁感应强度为B2。今有一质量为m、电荷量为q的正粒子、由静止释放（不计重力），经A加速后，该粒子恰好匀速通过速度选择器，粒子进入分离器后做匀速圆周运动。最终打在质谱仪荧光屏上的点。求： (1)粒子进入速度选择器的速度v： (2)速度选择器两板间电压U2： (3)粒子打在质谱仪上的D点到刚进入磁场B2的位置的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在加速器中由静止加速，忽略重力，只有电场力做功。由动能定理 解得 （2）设速度选择器内的电场强度大小为。题图中正粒子向下运动，磁场垂直纸面向里，故洛伦兹力向右，电场力向左。粒子恰好匀速通过速度选择器，两力平衡，有 平行板间为匀强电场，有，代入上式并结合第（1）问的结果得 （3）粒子在速度选择器中匀速运动，进入偏转分离器时速度大小仍为。设圆周运动的半径为，洛伦兹力不做功，只改变速度方向，并提供向心力，有 解得 由图可知，粒子垂直荧光屏进入磁场，沿半圆轨迹回到荧光屏，所求距离等于轨迹直径。记所求距离为，代入第（1）问的速度得 【变式4-1】（多选）如图所示为一种质谱仪的原理图。离子室产生电荷量为e=1.6×10-19 C、质量为m=3.2×10-26 kg的正离子，初速度可忽略。离子经加速电压U加速后，进入速度选择器，速度选择器的极板间电场强度E=4.0×104 V/m，方向竖直向下，匀强磁场的磁感应强度为B1=0.2 T，方向垂直纸面向里。只有直线通过速度选择器的离子才能从狭缝O′射出，随后进入一个磁感应强度为B2=0.5 T的匀强磁场，方向垂直纸面向外，离子在磁场中做匀速圆周运动，最终打在照相底片上，落点P到O′距离为L。已知离子在离开速度选择器后，进入B2磁场分析区时，由于真空度不佳，该区域残留少量中性气体分子，质量为离子质量的2倍。不计离子的重力及离子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．该速度选择器允许通过的速度为v0=2.0×105 m/s B．若加速电压U为800 V，则离子通过该加速电压加速后可以从狭缝O′射出 C．若不考虑中性气体分子的影响，能从狭缝O′射出的离子落点距离L=16.0 cm D．若在B2区域内，离子与静止的中性气体分子发生完全非弹性碰撞（二者粘在一起，电荷量不变），碰撞后继续偏转，新落点距离O′更近 【答案】AC 【详解】A．正离子在速度选择器中向右做直线运动时，电场力竖直向下，洛伦兹力竖直向上，二力平衡，有 解得，故A正确； B．离子由静止经加速电压加速，由动能定理得 解得 加速所得速度小于速度选择器允许通过的速度，离子不能从狭缝射出，故B错误； C．离子进入磁场后，洛伦兹力提供向心力，有 又因离子运动半周后打在照相底片上，所以 解得，故C正确； D．设碰撞后离子与中性气体分子的共同速度为。碰撞时间极短，离子与中性气体分子组成的系统动量守恒，有 碰撞后的复合粒子在磁场中仍由洛伦兹力提供向心力，有 解得 碰撞后速度方向仍沿原轨迹的切线，轨道半径也不变，因此碰撞后的轨迹与原轨迹重合，落点不变，故D错误。 故选AC。 【变式4-2】如图为生物质谱仪，其工作流程为：分子电离后进入速度选择器，筛选出的粒子垂直进入匀强磁场，发生偏转最终撞击到照相底片上。若速度选择器中电场强度为E、磁感应强度为B，不计重力，则（     ） A．筛选出的粒子速度大小 B．筛选出的粒子动能相同 C．比荷越小的粒子，偏转半径越小 D．比荷越小的粒子，偏转周期越大 【答案】D 【详解】AB．速度选择器中，能沿直线通过的粒子受力平衡，电场力与洛伦兹力大小相等，有 解得 因此通过速度选择器的粒子速度相同，但动能为，还与粒子质量有关，故AB错误； CD．粒子垂直进入匀强磁场后，洛伦兹力提供向心力，有 解得 所以比荷越小，偏转半径越大。带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由周期定义，代入半径表达式得 比荷越小，周期越大，故C错误，D正确。 故选D。 模型05.回旋加速器 模型构建：磁场回旋，缝隙电场加速；粒子圆周周期不变，最大动能受 D 形盒半径限制，和加速电压大小无关。 模型剖析： 应用：给带电粒子持续加速，每个周期加速2次，经过多次加速，得到较大速度的带电粒子。 构造：由两个D形盒置于匀强磁场中，其中间狭缝中加有周期性变化的交变电压。 工作原理： 在狭缝中由电场加速，随后再D形盒中做匀速圆周运动后再次加速。 1.电场特点及作用 特点：交变电场周期等于，粒子做圆周运动的周期：T＝ 作用：对带电粒子加速，每次加速，粒子的动能增大：ΔEk＝ qU 2.磁场作用 作用：改变粒子的运动方向． 特点：粒子做匀速圆周运动 ，洛伦兹力提供向心力：qvB＝m，r＝∝v 3.最大速度、最大动能 均取决于D形盒半径R，及磁感应强度B，与加速打压无关。 由：qvmB＝、Ekm＝mvm2 联立解得：Vm= Ekm＝； 4.运动时间 加速次数的计算：粒子在回旋加速器中被加速的次数n＝，一个周期加速两次。 ①.在D形盒中运动时间：t1＝T＝＝ (n被加速次数，达到最大速度时间t3=T) ②. 在狭缝中运动时间：t2＝＝＝ 因为t1≪t2，一般认为在盒内的时间近似等于t2。 a.若考虑在狭缝电场中加速时间：t＝ t1+t2＝+ b.若不考虑在狭缝电场中加速时间：t＝ t1＝ C.带电粒子运动时间与q、m无关 【例4】（多选）回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电极相连接的两个D形盒，两盒间的狭缝中有周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两个形盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图所示，下列说法正确的是（     ） A．仅增大狭缝间的加速电压，则同一粒子射出加速器时的动能增大 B．仅减小磁场的磁感应强度且使电场变化周期与粒子做圆周运动周期相同，则同一粒子射出加速器时的动能减小 C．仅增大形金属盒的半径，则同一粒子射出加速器时的速度增大 D．比荷不同的粒子也可用同一加速器进行加速 【答案】BC 【详解】回旋加速器中，洛伦兹力充当向心力有 可得同一粒子射出加速器时的动能 A．同一粒子射出加速器时的动能与加速电压无关，故A错误； B．减小磁场的磁感应强度，同一粒子射出加速器时的动能减小，故B正确； C．仅增大D形金属盒的半径，则同一粒子射出加速器时的速度增大，故C正确； D．粒子比荷不同，在同一磁场中做圆周运动的周期不同，加速器需不同的电场变化周期，故D错误。 故选BC。 【变式4-1】（多选）医用质子治疗仪利用回旋加速器产生高能质子束轰击肿瘤细胞。为缩小设备体积，科研人员采用紧凑型超导回旋加速器。其结构如图所示：D形盒半径，磁感应强度，两D形盒间隙，加速电压。质子质量，电荷量，忽略相对论效应及狭缝中的运动时间。已知运行中磁场发生缓慢线性衰减，变化规律为（为衰减系数）。若高频电源的频率始终实时调整为该时刻质子回旋频率，以保证质子每次经过狭缝均恰好加速，忽略粒子在磁场中运动时磁场的变化。下列说法正确的是（     ） A．质子最终可获得的最大动能约为 B．质子从静止加速到最大能量需要被加速约4000次 C．仅增大回旋加速器的狭缝宽度，质子从静止加速到最大能量的次数将不变 D．当磁场随时间衰减时，高频电源频率随时间变化的关系式为 【答案】CD 【详解】A．由，得 最大动能 代入数值得，A错误； B．设加速次数为n，每次加速获得能量qU，总动能 则加速次数，B错误； C．最大动能，只和有关，和狭缝宽度d无关，所以仅增大回旋加速器的狭缝宽度，加速次数不变，C正确； D．磁场，回旋频率，代入B得高频电源频率随时间变化的关系式为 D正确。 故选CD。 【变式4-2】（多选）回旋加速器的基本结构如图，置于真空中的两形金属盒间的狭缝很小，带电粒子穿过狭缝的时间可以忽略不计。匀强磁场与盒面垂直，处粒子源产生的粒子（不计初速度）在加速器中被加速，狭缝间的加速电压为，加速过程中忽略相对论效应和重力的影响，下列说法正确的是（     ） A．粒子在磁场中做圆周运动的周期不断增大 B．仅增大加速电压，粒子在形盒中运动的总时间变短 C．仅增大加速电压，粒子离开回旋加速器的速度变大 D．粒子第1次和第2次经过两形盒间狭缝后轨道半径之比为 【答案】BD 【详解】A．粒子在磁场中做圆周运动的周期 由于粒子的比荷不变、磁场恒定，因此粒子的运动周期是固定值，不会随速度增大而变化，故A错误； BC．设形盒的最大半径为，由洛伦兹力提供向心力可知 故粒子离开形盒时的最大动能 因此粒子最终的最大动能由形盒半径和磁场决定，与加速电压无关；粒子每经过一次狭缝获得的能量，总加速次数 粒子每加速2次对应在磁场中运动一个周期，总运动时间 因此，仅增大加速电压，粒子在形盒中运动的总时间变短，故B正确，C错误； D．粒子第1次经过两形盒间狭缝后的动能 由洛伦兹力提供向心力可知 解得 同理，粒子第2次经过两形盒间狭缝后轨道半径 故粒子第1次和第2次经过两形盒间狭缝后轨道半径之比为，故D正确。 故选BD。 如图为实验室筛选带电粒子的装置示意图：左端加速电极M、N间的电压为。中间速度选择器中存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强磁场的场强，两板电压，两板间的距离。选择器右端是一个半径的圆筒，可以围绕竖直中心轴顺时针转动，筒壁的一个水平圆周上均匀分布着8个小孔至。圆筒内部有竖直向下的匀强磁场。一电荷量为、质量为的带电的粒子，从静止开始经过加速电场后以的速度匀速穿过速度选择器。圆筒不转时，粒子恰好从小孔射入，从小孔射出，粒子进入圆筒的速度方向与连线平行，若粒子碰到圆筒就被圆筒吸收。求： (1)加速器两端的电压的大小并判断粒子带正电还是负电； (2)速度选择器中的磁场和圆筒内匀强磁场的大小； (3)要使粒子从一个小孔射入圆筒后能从正对面的小孔射出（如从进从出），则圆筒匀速转动的角速度多大？ 【答案】(1)，粒子带负电 (2)， (3) 【详解】（1）粒子经过电场加速的过程中，运用动能定理有： 代入数值解得加速器两端的电压大小为 粒子恰好从小孔射入，从小孔射出，且速度方向与连线平行，圆筒内部有竖直向下的匀强磁场，根据左手定则可知，粒子带负电。 （2）速度选择器中电场强度大小为 粒子匀速穿过速度选择器，根据力的平衡条件有 代入数值解得速度选择器中的磁场大小为 粒子在圆筒中受到洛伦兹力做匀速圆周运动，轨迹如下图所示 根据几何关系可得，粒子圆周运动的半径为 洛伦兹力提供向心力，则有： 则圆筒内匀强磁场大小为 （3）根据以上分析可知，粒子从一个孔射入到另一个孔射出的运动轨迹的圆心角为 对应的轨迹长度为 粒子运动的时间为 要使粒子从一个小孔射入圆筒后能从正对面的小孔射出，则对面的孔转过的角度为（…） 则圆筒匀速转动的角速度为（…）。 【基础夯实】 1. 利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在x轴上方空间中存在沿y轴负方向的匀强电场，在x轴下方空间中，存在垂直xOy平面向外的匀强磁场。一个电荷量为q、质量为m的带正电粒子，以速率从y轴上点沿x轴正方向射入第一象限，通过x轴上的点时粒子速度方向与x轴正方向成角，随后恰好垂直y轴射出第四象限，再经磁场、电场后回到点。不计粒子重力，求： (1)O、之间的距离； (2)匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁感应强度大小之比； (3)粒子相邻两次经过点的时间间隔。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在电场中向下的加速度为a。粒子在第一象限做类平抛运动，到时速度与x轴成，所以竖直分速度大小等于水平分速度 竖直方向由静止加速到，位移为L， 因此 水平方向匀速 （2）竖直加速度 又 所以 粒子进入磁场时速度大小 磁场中做匀速圆周运动 半径 粒子垂直y轴射出第四象限，由几何关系得 解得 因此 （3）粒子在磁场中转过的圆心角为，即个圆周。 磁场周期 磁场中时间 粒子从处回到，水平位移为2L，水平速度仍为，所以返回电场时间 粒子相邻两次经过点的时间间隔 2. 如图所示，粒子发射源S向外释放质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子的初速度为零，经电压为U的加速电场加速后，垂直于磁场方向射入磁感应强度大小、宽度为d的匀强磁场中，不计粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。 (1)求粒子射入磁场时的速度大小v； (2)求粒子穿出磁场时，速度方向相对于射入方向的偏转角； (3)若在磁场区域再施加一匀强电场，使粒子进入该区域后能做匀速直线运动，求该匀强电场的电场强度E的大小和方向。 【答案】(1) (2) (3)，方向平行磁场边界向左 【详解】（1）粒子在加速电场中，根据动能定理有 解得 （2）粒子在磁场中偏转的过程中，轨迹如图所示 粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 解得 由几何关系得 解得 （3）若粒子做匀速直线运动，增加电场后粒子受力平衡，根据平衡条件可得 解得 其方向平行磁场边界向左。 3. 某空间科研人员设计了一个“太空粒子探测器”，装置如图所示，由径向电场、偏转磁场、金属板三部分组成。径向电场两电极AB间的电势差为U，大小可调，电场强度方向均指向点，电极A上可以收集到来自宇宙空间的带电粒子和。离子从静止状态经径向电场加速后均从点飞入磁场。磁场边界为半圆形，圆心为O，半径为R，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，；半圆形金属板CD与磁场上边界重合，CD连线与磁场下边界重合，和电阻R串联后接地，离子到达金属板后电荷会经过导线流入大地。已知电子的电荷量为e，不考虑粒子间相互作用和离子的重力。（，） (1)当时，P点收集到的粒子可以打到金属板的D点，求粒子的比荷； (2)当时，P点收集到的粒子在磁场中偏转后可以打到金属板的Q点，求OQ与OD的夹角； (3)现将径向电场沿水平方向向右移动，使得与磁场圆心O重合，若电极A上均匀地收集到粒子和，经径向电场加速后从O点沿各方向均匀进入磁场，单位时间内分别有N个和粒子从O点进入磁场，当两极间电势差时，求通过电阻R的电流I。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在径向电场中由动能定理有 粒子恰打在D点，由几何关系粒子做匀速圆周运动的半径为 洛伦兹力提供向心力有 联立可得 （2）在电场中加速，有 根据洛伦兹力提供向心力有    结合题意解得 轨迹圆的圆心，由几何关系可知，， 由余弦定理 可得 （3）若将径向电场沿水平方向向右移动，使得点与磁场圆心O重合，当两板间的电压为时，进入电场加速后的速度由动能定理可求出从O点进入磁场的速度 进入磁场的半径 由几何关系得与水平向右方向成到刚好打到金属板上。 粒子单位时间内打到金属板的粒子数为 同理粒子进入电场后在磁场中的半径由几何关系得与水平方向成到刚好打到金属板上 粒子单位时间内打到金属板的粒子数为 总电荷量为    根据电流的定义式有 则通过电阻R上的电流 4. 如图所示，在平面直角坐标系xOy所在平面内，第四象限存在沿y轴正方向的匀强电场，第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，在P处有一质量为m、电荷量为（）的带电粒子，以初速度沿着x轴正方向射入匀强电场，粒子从x轴上的Q点进入第一象限的匀强磁场，此后每次从第一象限回到第四象限经过x轴的位置记为点（第一次为点，第二次为点，……，第n次为点，图中没有画出）。已知P点坐标为，Q点坐标为，忽略粒子所受重力的大小，不计空气阻力。求： (1)匀强电场的电场强度大小E； (2)粒子刚进入第一象限磁场时速度v的大小以及速度方向与x轴正方向的夹角； (3)粒子在第一象限磁场中运动的轨道半径R； (4)点的横坐标。 【答案】(1) (2)； (3) (4) 【详解】（1）粒子带正电，电场力沿轴正方向。沿方向的运动满足 粒子在水平方向做匀速直线运动，运动时间满足 粒子由到沿轴正方向上升，故满足 联立前两式并消去加速度，可得 （2）到达时，水平方向无加速度，所以 竖直方向速度满足 代入第（1）问得到的加速度和运动时间，可得 速度大小为 速度方向与轴正方向的夹角满足 所以 （3）粒子在磁场中速率不变，洛伦兹力提供向心力，满足 代入题给磁感应强度以及第二问的速度结果，得 （4）粒子在磁场中的轨迹及两次电场运动的水平位移如图所示。 在处，速度方向与轴正方向的夹角为，半径方向与轴的夹角为。因此，粒子在磁场中每次偏转时沿轴正方向的位移满足 粒子从磁场回到电场时，速度方向变为与轴正方向夹角，其竖直速度分量为。由于电场中水平方向速度仍为，且竖直方向为匀变速运动，从到下一次到达轴的时间是从到时间的2倍，因此有 这段电场运动沿轴正方向的位移满足 所以 【培优拔高】 5. 如图所示，在坐标平面内的第一、二象限有沿轴正方向、电场强度大小为的匀强电场，第三、四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。平面内轴上的处有一粒子发射源，能向第三象限发射不同速率的带负电的相同粒子，速度方向与轴正方向的夹角均为，其中发射速度大小为的粒子恰好没有进入电场；已知粒子质量为，电荷量大小为。不计粒子的重力及其相互之间的影响。 (1)求粒子发射源的位置坐标； (2)若另一粒子恰好自坐标原点进入电场，求粒子的发射速度大小； (3)求粒子通过轴从电场进入磁场的坐标。 【答案】(1) (2) (3)（n=0，1，2，3，…） 【详解】（1）粒子a在洛伦兹力的作用下做圆周运动，则有 解得 如图所示 根据几何关系有 代入相关数据，解得 因此粒子发射源的坐标为 （2）粒子b自坐标原点O进入电场，设其在磁场内圆周运动的半径为，如图所示 根据几何关系有 设粒子b的速度为，由第一问可知 代入相关数据，解得 （3）根据牛顿第二定律，其在y轴方向上的加速度大小 由于粒子带负电，加速度方向平行于y轴向下，运动时间 则水平位移为 代入相关数据，解得 在磁场中向左的水平位移为 粒子b通过x轴从电场进入磁场的坐标 解得（n=0，1，2，3，…） 6. 如图甲所示的正方形平面内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为、所带电荷量为的粒子（不计重力）在时刻沿边从点射入磁场。已知正方形边长为，磁感应强度的大小为，带电粒子在磁场中运动的直径小于边长，规定磁场垂直于纸面向外的方向为正方向。若要使带电粒子不能从边界射出磁场，磁感应强度的变化周期的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，可得 粒子在磁场中做圆周运动的周期 联立解得 若带电粒子不能从边界射出磁场，临界情况下粒子的运动轨迹如图 则有 解得 在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转角，运动时间为 可知磁场使粒子每次变向的最长时间是，带电粒子不能从边界射出，则有 磁感应强度的变化周期的最大值 故选A。 7. （多选）如图1所示，一质量为、带电量为的正粒子在时刻以初速度沿直径进入一圆形磁场区域，已知磁场的磁感应强度随时间的变化关系如图2所示（取磁场方向垂直纸面向外时磁感应强度为正值，图示为一个周期内的变化情况），若带电粒子最终又从点沿直径方向离开圆形磁场区域，不计带电粒子的重力，则下列说法正确的是（    ） A．带电粒子在磁场中运动的时间可能为 B．带电粒子磁场中运动的过程中，距离直径的最远距离为 C．带电粒子在磁场中运动的过程中，只能处于直径的右下方 D．圆形磁场区域的最小面积为 【答案】BD 【详解】AC．变化的1个周期恰好是粒子运动的2个周期，满足条件的粒子在磁场中运动情况如图所示 可知只有当粒子在磁场中的运动时间等于粒子做圆周运动周期的整数倍时，粒子才可能沿直径方向射出磁场，即，故AC错误； B．根据几何关系，可得粒子在磁场中运动的过程中距离直径的最远距离，故B正确； D．根据几何关系，可得圆形磁场区域的最小半径 故最小面积，故D正确。 故选BD。 8. 图a所示，平面直角坐标系xOy中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形OBC区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标，BC边与x轴正方向的夹角大小为。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为v，方向与BC边平行的初速度进入电场，经偏转后从A点垂直OB边进入磁场。已知匀强电场场强，不计粒子重力。求： (1)A点的坐标； (2)若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从BC边射出，匀强磁场磁感应强度的大小； (3)若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，交变磁场的磁感应强度和周期的大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）沿电场线反方向，粒子做匀减速直线运动，则有， 根据牛顿第二定律则有 联立解得 对A点 解得 A点的坐标为 （2）粒子进入的磁场中，则有 由牛顿第二定律 由几何关系得， 联立解得 （3）粒子进入的磁场中，由牛顿第二定律 设粒子在的时间内，轨迹的圆心角为。由几何关系得，平行x轴方向 平行y轴方向 联立解得，， 交变磁场每经过的时间，粒子在磁场中轨迹的圆心角为 则 解得 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $