第3讲 带电粒子在有界磁场中的运动（模型与方法）物理人教版选择性必修第二册

第3讲 带电粒子在有界磁场中的运动 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.带电粒子在直线边界磁场中的运动 模型02.带电粒子在平行边界磁场的运动 模型03.带电粒子在圆形磁场中的运动 模型04.带电粒子在磁场中运动的多解问题 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.带电粒子在直线边界磁场中的运动 模型构建：直线边界磁场满足轨迹对称；入射夹角等于出射夹角，相切是关键临界，依靠几何关系求解 模型剖析： 图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ 【例1】如图所示，在直角坐标系的 y 轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为 B ，磁场的宽度为d ，磁场方向垂直于xOy 平面向里。一个质量为 m 、 电荷量为－q（q>0）的带电粒子，从原点 O 射入磁场，速度方向与 x 轴正方向成 30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从 y 轴上的某点离开磁场。忽略粒子重力，关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是（     ） A．它的轨道半径为d B．它进入磁场时的速度为 C．它在磁场中运动的时间为 D．它的运动轨迹与 y 轴交点的纵坐标为3d 【答案】B 【详解】粒子运动轨迹如图所示 A．由几何知识得，可得粒子运动轨道半径为，故A错误； B．由，可得粒子进入磁场时的速度为，故B正确； C．带电粒子在磁场中运动周期 由几何关系知粒子在磁场中运动的时间，可得粒子在磁场中运动的时间为，故C错误； D．粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为，故D错误。 故选B。 【变式1-1】如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场。一带电粒子从轴上的点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角=60°。粒子经过磁场偏转后在点（图中未画出）垂直穿过x轴。已知，粒子电荷量为，质量为，重力不计，则（　　） A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为 C．粒子在磁场中的轨道半径为a D．粒子从M到N的时间为 【答案】D 【详解】A．粒子在磁场里做圆周运动，向右偏转，由左手定则可知，电荷带正电。故A错误； C．粒子在磁场里做圆周运动，由几何关系得 解得，故C错误； B．由洛伦兹力提供向心力得，代入数据得。故B错误； D．粒子在磁场中运动的周期为 粒子从M到N转过的圆心角为120°，则运动时间为。故D正确。 故选D。 【变式1-2】 如图所示，纸面内有直角坐标系。匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度的大小为。现有一个位于点的放射源，能从点向纸面内各个方向射出速度大小均为的带正电粒子。若在与轴距离为处放一足够长且平行于轴的感光棒，粒子打在上面即被吸收。已知粒子的比荷，则下列说法中正确的是（     ） A．粒子击中感光棒的最小圆心角为 B．粒子在轴上方区域击中感光棒的最远点坐标为 C．粒子在轴下方区域击中感光棒的最远点所用时间为 D．粒子击中感光棒的长度为 【答案】B 【详解】粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力提供匀速圆周运动的向心力，有 解得运动半径为 从点向纸面内各个方向射出速度大小一样的带正电粒子，构成动态圆中的旋转圆模型，作图如图所示 A．由图可知，粒子击中感光棒的交点为C点时，弦长最短构成劣弧，其圆心角最小圆心为，其中，，由几何三角形可知 解得，故A错误； B．粒子在轴上方区域击中感光棒的最远时是圆与PQ线相切于D点，圆心为，而 即D点的坐标为，故B正确； C．粒子在轴下方区域击中感光棒的最远点时构成直径，圆心为，其圆心角为，而粒子的周期为 则所用时间为，故C错误； D．由图可知粒子击中感光棒的下端点为点，上端点为D点，而 则总长度为，故D错误。 故选B。 模型02.带电粒子在平行边界磁场的运动 模型构建：平行边界，重点判断粒子能否穿出；相切为临界，进出磁场速度对称，用几何关系求半径、圆心角、时间 模型剖析： 平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间t＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝ 图d中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ 【例2】如图所示，真空区域有边界为MN、PQ的匀强磁场，磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里，MN、PQ的间距为。粒子和氢核先后从点沿着与MN夹角为 的方向射入磁场中，都刚好没能从PQ边界射出磁场。不计粒子重力，粒子在磁场中运动的时间和速度大小分别为和，氢核在磁场中运动的时间和速度大小分别为和，则（     ） A．， B．， C．粒子在磁场中运动的半径为 D．粒子在磁场中运动的半径为 【答案】D 【详解】CD．作出粒子运动的轨迹图，如图 根据几何关系可知R+Rcosθ=l 解得，故C错误，D正确； AB．根据洛伦兹力提供向心力有 解得 周期为 运动时间为 由图可知圆心角相等，从而解得t1：t2=2：1，v1：v2=1：2，故AB错误。 故选D。 【变式2-1】（多选）如图所示，在直角坐标系中，有一个边长为的正方形区域，点在原点，点和点分别在轴和轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，一带正电的粒子质量为，电荷量为，以速度从点沿轴正方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是（     ） A．若粒子恰好从点射出磁场，则粒子的速度 B．若粒子从cb边射出磁场，则粒子的速度 C．若粒子的速度，则粒子出射时速度方向与轴正方向夹角的正弦值为 D．若粒子从边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间范围是 【答案】BC 【详解】A．若粒子恰好从c点射出磁场，根据几何关系可知，粒子圆周运动半径为 根据洛伦兹力提供向心力，有 解得，故A错误； B．若粒子从cb边射出磁场，则 则粒子的速度，故B正确； C．若粒子的速度 则轨迹圆半径 则粒子从cd边射出，设粒子射出磁场时速度方向与y轴正方向夹角为，则，故C正确； D．根据， 解得 若粒子从d点射出，可知圆心角为180°，时间最长，最长时间 若粒子从c点射出，可知圆心角为90°，时间最短，最短时间 若粒子从边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间范围是，故D错误。 故选BC。 【变式2-2】（多选）在真空区域内存在一宽度为d、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，AD、BC为磁场的两条平行边界。质量为m、电荷量为q的带负电粒子以与AD边界成37°的夹角射入磁场，粒子从磁场右边界射出时，速度方向与边界的夹角为53°。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计粒子重力，下列说法正确的是（     ） A．粒子在磁场中的轨迹半径为5d B．粒子在磁场中运动的过程中，速度偏转了90° C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中的运动时间为 【答案】AD 【详解】A．粒子从磁场右边缘射出时，轨迹如图 则由几何关系rcos37°-rsin37°=d 解得r=5d，故A正确； B．粒子在磁场中运动的过程中，速度偏转了53°-37°=16°，B错误； C．根据 可得，故C错误； D．粒子在磁场中做匀速圆周运动转过的圆心角可能为θ=53°-37°=16° 根据 粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间为，故D正确。 故选AD。 模型03.带电粒子在圆形磁场中的运动 模型构建：双圆心构建几何三角形；沿半径入射必沿半径出射；轨迹半径和磁场圆半径大小决定粒子偏转角 模型剖析： 一 圆形边界磁场 沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示) 粒子做圆周运动的半径r＝ 粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ θ＋α＝90° 二 圆形有界磁场问题（1） 正对圆心射入圆形磁场区域 正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。 速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。 三 圆形有界磁场问题（2） 不对圆心射入圆形磁场区域 两个等腰三角形，一个共同的底边 若r=R，构成菱形 四 环形磁约束 临界圆 临界半径 勾股定理(R2-r)2=R12+r2 解得：r= 【例3】如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ON为圆的半径，大小为R，，现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速度先后从A点沿AO方向和B点沿BO方向射入磁场，并均从N点射出磁场，不计粒子的重力。则a、b两粒子进入磁场时的速度之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出a、b粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 由几何关系可知， 根据，可得 两粒子的比荷相同，则 故选B。 【变式3-1】2023年4月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装置创造了新的世界纪录。其中磁约束的简化原理如图所示：在半径为R1和R2的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，R2＝2R1。假设氘核12H沿内环切线向左进入磁场，氚核H沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则H和H的速度之比为（     ） A．1∶2 B．2∶1 C．1∶3 D．3∶1 【答案】A 【详解】两种粒子均带正电，速度方向与磁场方向垂直，在环形匀强磁场中做匀速圆周运动。由左手定则，氘核向下偏转，氚核向上偏转。设氘核、氚核的速度、质量、电荷量和轨道半径分别为和。两者均带一个元电荷，因此；按质量数，。 由几何关系，氘核轨道的最低点恰在外环上，有 所以 氚核轨道的最高点恰在外环上，有 所以 从而 下图辅助表示两种粒子的偏转方向、圆周轨迹及其与外环相切的临界位置。 由洛伦兹力提供向心力，有，因此对两种粒子分别有和 所以 故两者速度之比为 故选A。 【变式3-2】两个比荷相等的带电粒子、，以不同的速率、对准圆心沿着方向射入圆形匀强磁场区域，两粒子射出磁场时的速度偏转角分别为、，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，则下列说法正确的是（     ） A．粒子带正电，粒子带负电 B．粒子射入磁场中的速率 C．粒子在磁场中的运动时间 D．若将磁感应强度变为原来的倍，粒子在磁场中运动的时间将变为原来的 【答案】C 【详解】A．由图可知磁场方向垂直纸面向里，粒子向右射入。根据左手定则，向上偏转的b粒子洛伦兹力向上，带正电；向下偏转的a粒子洛伦兹力向下，带负电，故A错误； B．作出a、b粒子运动的轨迹半径，如下图所示 设圆形磁场区域半径为，粒子偏转角为，由几何关系得粒子轨迹半径 偏转角 ，得 偏转角 ，得 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 得， 两粒子比荷相等，因此 ，则 ，故B错误； C．粒子运动周期 两粒子比荷相等，相同，因此相同。运动时间 时间与偏转角成正比，则 ，故C正确； D．入射速率不变， ，新轨迹半径 由，解得新偏转角 由 ，可得时间比，故D错误。 故选C。 模型04.带电粒子在磁场中运动的多解问题 模型构建：电性、磁场方向、速度方向不确定会带来多解；分类画出全部可能轨迹，不能漏掉任意一种情况 模型剖析： 1.造成多解问题的原因： 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由于某些不确定因素，会使运动具有多种可能性。 2.主要有五个因素： 电性不确定、磁场方向不确定、速度大小不确定、临界状态不唯一、圆周运动的周期性。 3.多解问题的解题思路 (1)找出多解的原因． (2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况． (3)若周期性重复的多解问题，寻找通项式；注意每种解的出现条件。 4.电性和磁场的方向不确定 电性和磁场方向不确定，会导致洛伦兹力方向不确定，进而出现2中偏转情况。 5.速度大小（r）不确定、临界不唯一 6.多解和周期性 【例3】（多选）平面OM和平面ON之间的夹角为35°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，大小为B，方向垂直于纸面向外。一质量为m，电荷量绝对值为q、电性未知的带电粒子从OM上的某点向左上方射入磁场，速度与OM成20°角，运动一会儿后从OM上另一点射出磁场。不计重力。则下列几种情形可能出现的是（   ） A．粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点，在磁场中运动的时间是 B．粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点，在磁场中运动的时间是 C．粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点，在磁场中运动的时间是 D．粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点，在磁场中运动的时间是 【答案】ABD 【详解】带电粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 ， 得到 ， AC．若粒子带负电，将做逆时针方向的匀速圆周运动，粒子回到OM直线时，由圆周运动的对称性，速度方向必与OM成20°，但由于35° > 20°，则粒子轨迹与ON只可能有一个交点，故粒子偏转角只可能为40°，运动时间 A正确、C错误。 BD．若粒子带正电，将做顺时针方向的匀速圆周运动，无论轨迹与ON有几个交点，粒子回到OM直线时，由圆周运动的对称性，速度方向必与OM成20°，粒子偏转角为 360°－40° = 320° 则粒子运动时间为 BD正确。 故选ABD。 【变式3-1】如图所示，L1和L2为两条平行的虚线，L1上方和L2下方都是范围足够大，且磁感应强度相同的匀强磁场，A、B两点都在L2上。带电粒子从A点以初速度v0与L2成角斜向右上方射出，经过偏转后正好过B点，经过B点时速度方向也斜向上，不计重力，下列说法正确的是（　　） A．若将带电粒子在A点时的初速度变大（方向不变），它仍能经过B点 B．带电粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度大小相同 C．若将带电粒子在A点时的初速度方向改为与L2成角斜向右上方，它将不能经过B点 D．此带电粒子既可以是正电荷，也可以是负电荷 【答案】ABD 【详解】画出带电粒子运动的可能轨迹，B点的位置可能有如图四种 A．根据轨迹，粒子经过边界L1时入射点与出射点间的距离与经过边界L2时入射点与出射点间的距离相同，与速度无关．所以当初速度大小稍微增大一点，但保持方向不变，它仍有可能经过B点，故A错误； B．如图，粒子B的位置在B1、B4，由于洛伦兹力对粒子不做功，则速度跟在A点时的速度大小相等，但方向不同，故B正确； C．如图，设L1与L2之间的距离为d，则A到B2的距离为 x= 所以，若将带电粒子在A点时初速度方向改为与L2成角斜向上，则每次经过一个周期前进的距离为 则经过三个周期后经过B点。故C错误； D．由图可知，分别是正负电荷的轨迹，正负电荷都可能，故D正确。 故选ABD。 【变式3-2】如图甲所示，矩形区域内部有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小，、分别为、边中点。现在从点平行方向以某一初速度射入一个质量为，电荷量为的正电粒子，发现该粒子刚好从点离开磁场区域，已知磁场区域的边长，边长为，，该粒子的比荷，不计粒子重力。 (1)求该粒子射入磁场时的速度大小； (2)若取垂直纸面向外为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，时刻，粒子同样从点平行射入，发现粒子恰好能从点离开，已知，求该粒子射入磁场的速度可能的取值以及粒子运动的时间。 【答案】(1) (2)（、2、3…），（、2、3…） 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图1所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可知 代入数据，解得 由洛伦兹力提供向心力 代入数据，解得粒子射入磁场时的速度大小 （2）因为，而粒子圆周运动周期为 粒子的轨迹如图2所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可得 由 联立上述方程可解得（、2、3…） 粒子运动时间 由于周期性，粒子转过的角度为（、2、3…） 代入上述公式，可解得（、2、3…） 代入数据解得（、2、3…） 1. （多选）如图所示，等腰直角三角形内有一垂直纸面向里的匀强磁场（边界无磁场），边长为，磁场磁感应强度大小为边中点的粒子源垂直以不同速率向磁场内发射带负电的粒子，粒子质量为，电荷量为，不计粒子重力及粒子间相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子可能从点飞出磁场 B．粒子可能从点飞出磁场 C．能从边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为 D．能从边界飞出的粒子在磁场中运动的最小速度为 【答案】ACD 【详解】粒子可能的轨迹如图所示 A．如图所示，若粒子沿轨迹1运动，由几何关系可知，此时的半径为，故A正确； B．与边相切的粒子，如图中轨迹2，由几何关系可知，半径为 由几何关系可知，切点到的距离也为 所以切点在点上侧，故粒子不可能过点，故B错误； CD．当粒子与边相切时飞出磁场，粒子的速度最小，运动时间最长，如图中轨迹2，由几何关系可知，此时的圆心角为，根据牛顿第二定律可知 解得 周期为 运动的时间为，故CD正确。 故选ACD。 【基础夯实】 2. 如图所示，空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界，一束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子，不计重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹不一定相同 C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹不一定相同 D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越小 【答案】C 【详解】A．粒子在磁场中匀速圆周运动，则有 解得 周期为 可知入射速度不同的粒子，若它们入射速度方向相同，又两种粒子的比荷相同，则入射的半径不相等，周期相等，若两个粒子都从磁场的左边界射出，则圆心角都为，则运动的时间为 可知时间相同；若两粒子在磁场中的圆心角不相等，根据 可知粒子在磁场中运动的时间不相同，故入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间可能相同，故A错误； B．粒子在磁场中匀速圆周运动，则有 解得 入射速度相同的粒子，且比荷相同，故轨道半径一定相同，所以轨迹也一定相同，故B错误； C．根据 可知在磁场中运动时间相同的粒子，其运动对应的圆心角相同，但运动轨迹不一定相同，例如两个粒子都从磁场的左边界射出，则圆心角都为，故C正确； D．根据 可知在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定大，故D错误。 故选C。 3. 如图，真空中有垂直纸面向外。磁感应强度为的匀强磁场，其外边界为边长为的正方形，内边界为圆形，正方形与圆形中心均为点。一质量为、电荷量为的带电粒子从点沿方向以速度射入磁场，恰从点射出。不计粒子重力，下列说法正确的是（     ） A．粒子带负电 B．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 C．粒子在磁场中的运动时间为 D．磁场内边界圆形的半径为 【答案】C 【详解】A．粒子从 A 点沿 AB 方向（水平向右）射入，要从 C 点（右下方）射出，粒子必须向下偏转。磁场方向垂直纸面向外，根据左手定则，洛伦兹力向下时，粒子应带正电，故A错误； BD．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 正方形中心 O 到顶点的距离为，由题可知内圆半径应小于正方形边长的一半，故BD错误； C．粒子的运动轨迹如图 粒子在 C 点射出时速度应竖直向下。 粒子在无磁场区域（圆形区域内）做匀速直线运动，速度方向不变。 因此粒子在磁场中运动的总圆心角为 ，粒子在磁场中的运动时间，故C正确。 故选C。 4. Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】粒子从O点到P点的运动轨迹如图所示，粒子在磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力有 可得粒子做匀速圆周运动的半径 根据几何关系可得，P点至O点的距离 故选C。 5. （多选）如图所示，在x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于平面向里的匀强磁场。x轴上放置一无限长挡板，挡板上M、N两点的坐标分别为和，坐标为的P点存在一粒子源，可以在xOy平面内向各个方向均匀发射速率为v、比荷为的带正电粒子，不计粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是（     ） A．带电粒子在磁场中顺时针运动 B．若v＝，则打在挡板上的粒子数占总数的 C．若v＝，则挡板上有粒子打到的线段长度为 D．若v＝，则挡板上MN之间各处均有粒子打在上面 【答案】BC 【详解】A．根据左手定则，可知带电粒子在磁场中逆时针运动，A错误； B．由洛伦兹力提供向心力，有，若 得带电粒子做圆周运动的半径，如图甲所示，能够打在挡板上的粒子的两个临界轨迹分别为①和② 可知向y轴左侧发射的粒子均能打在挡板上，向y轴右侧发射的粒子均不能打在挡板上，则打在挡板上的粒子数占总数的，B正确； C．由图甲，粒子打在挡板上最左侧和最右侧的轨迹分别为③和② 对轨迹③，设左端点J与O点的距离为，根据几何知识，有 得 对轨迹②，设右端点K与O点的距离为，根据几何知识，有，则挡板上有粒子打到的线段长度 得，C正确； D．若，知粒子的轨迹半径为，如图乙所示，打在挡板上最左侧和最右侧的轨迹分别为图乙中④和⑤ 对轨迹④，根据几何知识可知，轨迹④与轴的交点到点的距离为，即交点恰为点 对轨迹⑤，根据几何知识，有 得，依题意，可知之间没有粒子打在上面，D错误。 故选BC。 【培优拔高】 6. （多选）如图所示，在，的空间中有磁感应强度大小为B且方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场。现有一质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电粒子，从x轴上的P点沿着与x轴正方向成的方向射入磁场。已知OP间距为d，不计重力的影响，则下列说法正确的是（    ） A．只要粒子的速率合适，粒子就能通过坐标原点 B．无论粒子速率多大，粒子在磁场中运动所经历的时间不可能为 C．若粒子以速率入射，则粒子返回x轴的位置横坐标为 D．若粒子以速率入射，则粒子将垂直于y轴射出磁场 【答案】BCD 【详解】A．若轴上方均存在磁场，根据单直线边界磁场对称性可知，若粒子能过原点，粒子轨迹如图 由图可知，这种情况下，粒子会在到达点前，从轴上射出磁场，不可能经过原点，故A错误； B．根据 可知，粒子在磁场中扫过的圆心角越小，越短，分析可知，若粒子从轴边界射出，仅P 在坐标原点处时，圆心角是，故，若粒子从轴边界射出，圆心角更大，为，经历的时间更长，故B正确； C．若粒子以速率入射，根据   解得   粒子轨迹如图 则粒子返回轴的位置横坐标为     故C正确； D．若粒子垂直于轴射出磁场，则粒子轨迹圆圆心在轴上，如图所示 由几何关系可知 根据 联立解得   故D正确。 故选BCD。 7. （多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）    A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况    带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得 根据线速度和周期的关系，可得 联立解得 由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为 故选AD。 8. （多选）如图甲所示，边长为L的正方形MNPQ区域内存在方向垂直于MNPQ平面的磁场，磁感应强度大小为B0，方向周期性变化，且磁场变化周期T可调。以垂直于MNPQ平面向外为磁感应强度的正方向，B-t图像如图乙所示。现有一电子在t=0时刻由M点沿MN方向射入磁场区域，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，PN边界上有一点E，且，若使电子满足下列条件时，说法错误的是（　　） A．电子沿NP方向经过P点，则电子的速度大小一定是 B．电子沿NP方向经过P点，则电子的速度大小可能小于 C．电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期一定是 D．电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期可能小于 【答案】AD 【详解】AB．电子沿NP方向经过P点，根据几何关系，电子运动的半径满足 根据洛伦兹力提供向心力有 可得电子的速度大小 当时，则电子的速度小于，A错误，B正确； CD．设垂直NP边过E点时，磁场变化周期一定是在磁场中运动半径最大的粒子的运动时间的两倍，否则无法从垂直NP边过E点射出，设最大半径为R，则 电子偏转的角度 解得 磁场变化周期，C正确，D错误。 电子偏转的角度由决定，要满足电子垂直于NP边过E点，必须为，因此一定为，C正确，D错误。 故选AD。 9. 如图甲所示，平面直角坐标系xOy第一、四象限内存在垂直于坐标平面的匀强磁场（未画出），规定垂直于纸面向外为磁场的正方向，磁场的磁感应强度随时间t的变化规律如图乙所示，B0为已知量；第二象限内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E（未知）的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，由点A（−L，0）处以大小为v0的初速度射入电场区域，其方向平行于xOy平面且与x轴正方向成θ=60°的夹角。t=0时刻粒子经y轴上的P点沿x轴正方向射入磁场区域。不考虑磁场变化的影响，忽略粒子的重力。求： (1)匀强电场的电场强度E； (2)从t=0至时间内，粒子动量变化量的大小； (3)粒子在时刻的x坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在P点的速度 设粒子由A至P运动的时间为t0，则 在沿y轴正方向上，根据动量定理，有 联立解得 （2）t=0时刻，粒子在P点，其速度为 设粒子在磁感应强度大小分别为B0、2B0，磁场中做圆周运动的周期分别为T1、T2，则周期分别为， 其中横轴1份时间单位 为3份时间单位 粒子运动轨迹如图所示 可知当时刻，粒子速度恰好沿x轴正方向，大小为 此段时间内，粒子动量变化量大小为 （3）设粒子在磁感应强度大小分别为B0、2B0磁场中运动的半径分别为r1、r2，根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 同理有 为4份时间单位 粒子运动轨迹如图所示 可知当时，粒子在x轴上的坐标为 可得 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3讲带电粒子在有界磁场中的运动 内容导航 模型破解规范思维路径，强化科学遵辑 模型01.带电粒子在直线边界磁场中的运动 模型02.带电粒子在平行边界磁场的运动 模型03.带电粒子在圆形磁场中的运动 模型04.带电粒子在磁场中运动的多解问题 真题演练熟悉考试形式，提升实战能力 模型破解 模型01.带电粒子在直线边界磁场中的运动 模型构建：直线边界磁场满足轨迹对称：入射夹角等于出射夹角，相切是关键临界，依靠几 何关系求解 模型剖析： a b 图a中粒子在磁场中运动的时间t== 图b中粒子在磁场中运动的时间t=(1一)T=(1一)= 图c中粒子在磁场中运动的时间t=T= 第1页共18页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例1】如图所示，在直角坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽 度为d,磁场方向垂直于xOy平面向里。一个质量为m、电荷量为一q(>0)的带电粒子，从原点 O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的 某点离开磁场。忽略粒子重力，关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是() 30°× A.它的轨道半径为d B.它进入磁场时的速度为2qBd 3m c.它在磁场中运动的时间为3B ,27m D.它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为3d 【变式1-1】如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁 场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角=60°。粒子经过磁场偏转后在 N点（图中未画出）垂直穿过x轴。已知OM=V3a,粒子电荷量为q,质量为m,重力不计，则 () 0 A.粒子带负电荷 B.粒子速度大小为 3 gBa m C.粒子在磁场中的轨道半径为a 第2页共18页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.粒子从M到N的时间为3qB 2πm 【变式1-2】 如图所示，纸面内有直角坐标系XOy。匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度的大小为1T。现有一个位于 O点的放射源，能从O点向纸面内各个方向射出速度大小均为v=5.0×10°m/s的带正电粒子。若在与y 轴距离为12Cm处放一足够长且平行于y轴的感光棒PQ,粒子打在上面即被吸收。己知粒子的比荷 =5.0×10C/kg,则下列说法中正确的是() m y/cm P ×× ××× ××× Ox x 12 xlcm + X Q A.粒子击中感光棒PQ的最小圆心角为106° B.粒子在x轴上方区域击中感光棒PQ的最远点坐标为(12cm,4V6cm) C,粒子在x轴下方区域击中感光样PQ的最远点所用时间为CB一 D.粒子击中感光棒PQ的长度为86cm 模型02.带电粒子在平行边界磁场的运动 模型构建：平行边界，重点判断粒子能否穿出：相切为临界，进出磁场速度对称，用几何关 系求半径、圆心角、时间 模型剖析： 第3页共18页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 d 、R R×为 R d3 XX × d=R (1-cos 0) d d d=2R2 d=Rsin d=R(1+cos 0)d=R(1-cos 0) a 6 平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间t=,b== 图b中粒子在磁场中运动的时间t= 图c中粒子在磁场中运动的时间t=(1一)T=(1一)= 图d中粒子在磁场中运动的时间t=T= 【例2】如图所示，真空区域有边界为MN、PQ的匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里， xPO的间距为1°a粒子口He和氢核口H先后从A点沿着与MN夹角g为30。的方向射入磁场中， 都刚好没能从PQ边界射出磁场。不计粒子重力，粒子在磁场中运动的时间和速度大小分别为t1和V1, 氢核在磁场中运动的时间和速度大小分别为，利V,则(） 十 A.t1t2=1:2,V1:v2=2:1 B.t1t2=2:1,V1:V2=2:1 C.粒子在磁场中运动的半径为 31 D.粒子在磁场中运动的半径为(4-2V3)l 第4页共18页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式21】（多选）如图所示，在直角坐标系Oy中，有一个边长为L的正方形区域，Q点在原点，b点 和d点分别在X轴和y轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B,一带正电的 粒子质量为，电荷量为q,以速度Vo从a点沿x轴正方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是 () + XX a vo A.若粒子恰好从c点射出磁场，则粒子的速度V,=2qBL m B.若粒子从b边射出磁场，则粒子的速度V,≥9BL m C.若粒子的速度v。=3gBL 4m 射时速度方向与y抽正方向夹角的正 D.若粒子从cd边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间范围是m。≤t<m 4qB 2gB 【变式22】（多选)在真空区域内存在一宽度为d磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸 面向里，AD、BC为磁场的两条平行边界。质量为、电荷量为q的带负电粒子以与AD边界成37°的夹 角射入磁场，粒子从磁场右边界射出时，速度方向与边界的夹角为53°。已知si37°=0.6，cos37=0.8,不 计粒子重力，下列说法正确的是() D + + 53 × + 37o 人 + + X×B A.粒子在磁场中的轨迹半径为5d B.粒子在磁场中运动的过程中，速度偏转了90° 第5页共18页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.粒子射入磁场的速度大小为 5 Bqd 2m D.粒子在磁场中的运动时间为4πm 45Bq 模型03.带电粒子在圆形磁场中的运动 模型构建：双圆心构建几何三角形：沿半径入射必沿半径出射；轨迹半径和磁场圆半径大小 决定粒子偏转角 模型剖析： 一圆形边界磁场 沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性（如图所示） XU XO' 粒子做圆周运动的半径r= 粒子在磁场中运动的时间t=T= 0十a=909 二圆形有界磁场问题(1) 正对圆心射入圆形磁场区域 1 十 XR 三圆形有界磁场问题(2) 第6页共18页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R oR r= 正对圆心射出，两圆心和出（入)射点构成直角三角形，有tn →磁偏转半径 tan 0, 根据半 2 .om oR 径公式= 求解：时间 Bq Bq vo 速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若R,构成正方形。 三圆形有界磁场问题(2) 不对圆心射入圆形磁场区域 多子 × 、2 yN 两个等腰三角形，一个共同的底边 若=R,构成菱形 四环形磁约束 临 X 界 XX 圆 +XR 十 临 勾股定理(R2-)2=R12+r2 界 R1+R2 R1-R2 r= R2-R 2 2 解得：1一2R2 径 【例3】如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B,ON为圆的半径，大小为R,∠AON=74°，现有比荷相等的两个带电粒子a、b,以不同的速度先后 从A点沿AO方向和B点沿BO方向射入磁场，并均从N点射出磁场，不计粒子的重力。则α、b两粒子 第7页共18页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 进入磁场时的速度之比为() N 0 H● B a A.34 B.916 c.3:3 D.13 【变式31】2023年4月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装置创造了新的世界纪录。其 中磁约束的简化原理如图所示：在半径为R1和R2的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场， 磁场方向垂直于纸面向里，凡=2R。假设氘核H沿内环切线向左进入磁场，氚核缸沿内环切线向右进 入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则舡和缸的速度之比为() X B R X 兴 十 H A.1:2 B.2:1 C.1:3 D.3:1 【变式32】两个比荷相等的带电粒子a、b,以不同的速率Va、V6对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强 磁场区域，两粒子射出磁场时的速度偏转角分别为120°、60°，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力， 则下列说法正确的是() 609 A.a粒子带正电，b粒子带负电 第8页共18页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.粒子射入磁场中的速率V。V。=3:1 C.粒子在磁场中的运动时间t。:t,=2:1 D。若将磁感应强度变为原来的3倍，b粒子在磁场中运动的时间将变为原来的 2 模型04.带电粒子在磁场中运动的多解问题 模型构建：电性、磁场方向、速度方向不确定会带来多解；分类画出全部可能轨迹，不能漏 掉任意一种情况 模型剖析： 1.造成多解问题的原因： 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由于某些不确定因素，会使运动具有多种可能性。 2.主要有五个因素： 电性不确定、磁场方向不确定、速度大小不确定、临界状态不唯一、圆周运动的周期性。 3.多解问题的解题思路 (1)找出多解的原因. (2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。 (3)若周期性重复的多解问题，寻找通项式；注意每种解的出现条件。 4.电性和磁场的方向不确定 电性和磁场方向不确定，会导致洛伦兹力方向不确定，进而出现2中偏转情况。 ⊕ 5.速度大小(r)不确定、临界不唯一 第9页共18页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.多解和周期性 单边界磁场 T=226m+（2m-20)/m qB/2/ ⊙ 2 T=2Tm」 πm T=2(m+20)m+(元-20)m gB qB/2 gB gB/2 2B T=26m+26m T=(2m-20）m+(2m-20)m T=Tm 不0 92B gB q2B gB q2B 第10页共18页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 多边界磁场 X 圆边界磁场 碰撞反弹 X 这 第11页共18页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例3】（多选）平面OM和平面ON之间的夹角为35°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM上方存 在匀强磁场，大小为B,方向垂直于纸面向外。一质量为，电荷量绝对值为q、电性未知的带电粒子从 OM上的某点向左上方射入磁场，速度与OM成20°角，运动一会儿后从OM上另一点射出磁场。不计重 力。则下列几种情形可能出现的是() ● ● ● ●0 B ● 35·50M A.粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点，在磁场中运动的时间是严 9gB B.粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点，在磁场中运动的时间是16m 9gB C.粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点，在磁场中运动的时间是m 9gB D.粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点，在磁场中运动的时间是16m 9gB 【变式31】如图所示，L1和L2为两条平行的虚线，L1上方和L2下方都是范围足够大，且磁感应强度相同 的匀强磁场，A、B两点都在2上。带电粒子从A点以初速度与L2成30角斜向右上方射出，经过偏转 后正好过B点，经过B点时速度方向也斜向上，不计重力，下列说法正确的是() ×××××××× ××××××X× --D Vo A130°B 230…●L2 ×××××××× ××X××××× A.若将带电粒子在A点时的初速度变大（方向不变），它仍能经过B点 B,带电粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度大小相同 C.若将带电粒子在A点时的初速度方向改为与L2成60角斜向右上方，它将不能经过B点 第12页共18页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.此带电粒子既可以是正电荷，也可以是负电荷 【变式32】如图甲所示，矩形区域ABCD内部有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.2T, M、N分别为AD、BC边中点。现在从M点平行AB方向以某一初速度Vo射入一个质量为m,电荷量为q 的正电粒子，发现该粒子刚好从B点离开磁场区域，已知磁场区域的AD边长2L,AB边长为3L, L=0.2m,该粒子的比荷9=5×10C/kg,不计粒子重力。 B/T D C 0.2 M :1o 3江T 14 -0.2 甲 (1)求该粒子射入磁场时的速度大小Vo: (2)若取垂直纸面向外为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，t=0时刻，粒子同样从M点平行 4 AB射入，发现粒子恰好能从N点离开，已知T。=号π×10？s,求该粒子射入磁场的速度v可能的取值以 3 及粒子运动的时间。 真题演练 1.(多选)如图所示，等腰直角三角形abc内有一垂直纸面向里的匀强磁场(aC边界无磁场)，ab边长为L, 磁场磁感应强度大小为B。ab边中点的粒子源P垂直ab以不同速率向磁场内发射带负电的粒子，粒子质 量为m,电荷量为9，不计粒子重力及粒子间相互作用。下列说法正确的是（) 第13页共18页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.粒子可能从b点飞出磁场 B.粒子可能从C点飞出磁场 C.能从ac边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为m 4qB D.能从QC边界飞出的粒子在磁场中运动的最小速度为 2+1qBL 2m 分层练测 【基础夯实】 2.如图所示，空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界，一束由两种粒子组成的 粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比 荷相同，且都包含不同速率的粒子，不计重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是() ×××× ×××× 1×××× A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹不一定相同 C.在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹不一定相同 D.在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越小 3.如图，真空中有垂直纸面向外。磁感应强度为B的匀强磁场，其外边界为边长为L的正方形ABCD,内边 界为圆形，正方形与圆形中心均为O点。一质量为m、电荷量为q的带电粒子从A点沿AB方向以速度 v=2qBL射入磁场，恰从C点射出。不计粒子重力，下列说法正确的是〔） 2m 第14页共18页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 1●● ●●●●●●●● A.粒子带负电 B.粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为L C.粒子在磁场中的运动时间为2B 2 D.磁场内边界圆形的半径为 4.Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。质量为、电 荷量为十q的粒子，以初速度ⅴ从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交 点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为() XXX B ××× mv B. 3mv A. Bq Bq C. (1+V2)mY D. (1+2)m Bq 2 Bq 5.(多选)如图所示，在x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于平面向里的匀强磁场。x轴上放置 一无限长挡板，挡板上M、N两点的坐标分别为 坐标为。31的P点存在一 0, 2 粒子源，可以在x0平面内向各个方向均匀发射速率为W、比荷为的带正电粒子，不计粒子重力及粒子 间相互作用，下列说法正确的是() 第15页共18页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M N A.带电粒子在磁场中顺时针运动 B.若v= 939Bl 2m 则打在挡板上的轮子数占急数的号 V3qBl 3+V3l C.若v= 则挡板上有粒子打到的线段长度为 2m D.若=9B 则挡板上MN之间各处均有粒子打在上面 2m 【培优拔高】 6.（多选)如图所示，在x≥0，y≥0的空间中有磁感应强度大小为B且方向垂直于xOy平面向里的匀强磁 场。现有一质量为电荷量为4、可视为质点的带正电粒子，从x轴上的P点沿着与x轴正方向成30° 的方向射入磁场。已知OP间距为d,不计重力的影响，则下列说法正确的是() 个y ×。× X××v× ××30以，x P A.只要粒子的速率合适，粒子就能通过坐标原点 B.无论粒子速率多大，粒子在磁场中运动所经历的时间不可能为四 3gB C。若粒子以速率v=2入射，则粒了返日x精的位置横坐标为号 3m D.若粒子以速率y,=2daB入射，则粒子将垂直于y轴射出磁场 m 7.(多选)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面向里，是它的下边界。现有质量为 m、电荷量为g的带电粒子与N成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为() 第16页共18页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ×××××××××××× ××××××××××B×× ×××××××××××× ×××××××××××× ×××××08××× M N Tπm 2nm A.3qB B. 3gB 4πm C.3qB D.3qB 57m 8.(多选)如图甲所示，边长为L的正方形NPQ区域内存在方向垂直于MNPQ平面的磁场，磁感应强度 大小为B,方向周期性变化，且磁场变化周期T可调。以垂直于NPQ平面向外为磁感应强度的正方向， B-t图像如图乙所示。现有一电子在=0时刻由M点沿N方向射入磁场区域，已知电子的质量为，电 荷量大小为e,PN边界上有一点E,且lwE= 3 3 L,若使电子满足下列条件时，说法错误的是() 本B B E 3T -Bo M 甲 A.电子沿P方向经过P点，则电子的速度大小一定是eB,L m BoL B.电子沿P方向经过P点，则电子的速度大小可能小于 m 2nm C.电子垂直于P边过E点，则磁场变化周期一定是3eB, 2nm D.电子垂直于WP边过E点，则磁场变化周期可能小于3eB。 9.如图甲所示，平面直角坐标系xO第一、四象限内存在垂直于坐标平面的匀强磁场（未画出），规定垂 直于纸面向外为磁场的正方向，磁场的磁感应强度随时间t的变化规律如图乙所示，B,为已知量；第二象 限内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E(未知)的匀强电场。一质量为、电荷量为q的带正电粒子， 由点A(-L,0)处以大小为的初速度射入电场区域，其方向平行于xOy平面且与x轴正方向成=60° 的夹角。0时刻粒子经y轴上的P点沿x轴正方向射入磁场区域。不考虑磁场变化的影响，忽略粒子的 第17页共18页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重力。求： B个 P E 23 πm A 2B4 2B0 甲 乙 (1)匀强电场的电场强度； 37m (2)从0至t= 2Boq 时间内，粒子动量变化量的大小： (3)粒子在t= 27m Boq 时刻的x坐标。 第18页共18页