第6讲 万有引力（模型与方法）物理人教版必修第二册

第6讲 万有引力 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.开普勒三大定律 模型02.万有引力与重力 模型03.中心天体质量与密度计算 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.开普勒三大定律 模型构建：开普勒第一定律：行星绕太阳轨道为椭圆，太阳在椭圆一个焦点上。第二定律：行星与太阳连线，相等时间扫过相等面积，近地点速率大，远地点速率小。第三定律：绕同一中心天体，轨道半长轴三次方与公转周期平方比值恒定，，k 只由中心天体质量决定，与环绕天体无关 模型剖析： 1.开普勒第一定律（轨道定律.） 解决了行星运动的轨道问题： 行星绕太阳运行的轨道都是椭圆（接近圆），不同行星绕太阳运动的椭圆轨道不同，是、太阳为所有轨道的共同焦点----开普勒第一定律 2.开普勒第二定律（面积定律） 比较了某个行星在椭圆轨道上不同位置的速度大小问题： 在相等的时间内，行星与太阳连线在相等时间内，扫过的面面积SA＝SB. 说明离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大----开普勒第二定律 说明：同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小.从A-B做减速运动，B-A做加速运动。 应用：单位时间内，可将两个扇形近似看作三角形 满足：vA rA= vB rB 3.开普勒第三定律（周期定律） 比较了不同行星周期的长短问题： 行星轨道的半长轴的三次方，与公转周期的平方之比为定：＝k= ----开普勒三定律 K值大小推导： 环绕体绕中心天体做匀速圆周运动由＝mr化简得k=＝M 说明： 1.该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动 2.k值大小由中心天体质量决定. 【例1】如图所示，某卫星绕一行星沿椭圆轨道逆时针运动。图示中bd为长轴，S1、S2两个面积大小相等，b、d到行星中心距离分别为r1、r2。则在一个运行周期内（     ） A．行星不在椭圆的焦点上 B．从b点到d点，卫星的动能先减小后增大 C．卫星在b、d两点的速度大小之比为 D．卫星从d点到a点的运行时间等于从b点到c点的运行时间 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第一定律该行星一定在卫星椭圆轨道的焦点上，故A错误； B．从b到d卫星速度一直是减小，所以动能一直减小，故B错误； C．由开普勒第二定律可得 整理得，故C错误； D．根据开普勒第二定律，相等时间内卫星与行星的连线扫过的面积相等，题干已知、面积大小相等，因此卫星扫过两个面积的时间相等，即从a点到b点的运行时间等于从c点到d点的运行时间，又因为bd为长轴，则卫星从d点到a点的运行时间等于从b点到c点的运行时间，故D正确。 故选D。 【变式1-1】2024年10月3日凌晨，摄影爱好者拍摄到万年一遇的天外来客——紫金山－阿特拉斯彗星，其运行周期长达6万年，最早由我国紫金山天文台盱眙观测站发现。这颗彗星的椭圆轨道非常扁，用我们已有的天体运动知识可以估测这颗彗星的椭圆轨道的半长轴，用表示彗星周期（单位为年），表示地球公转轨道半径，则这颗彗星的椭圆轨道半长轴为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设彗星椭圆轨道的半长轴为，地球公转周期为，由于彗星和地球均绕太阳运动，根据开普勒第三定律有 解得 故 故选B。 【变式1-2】如图所示，我国北斗三号卫星系统有三颗为地球赤道上方的同步卫星，人送外号“吉星”，另有三颗运动轨道平面与地球赤道平面夹角为55°的卫星，人送外号“爱星”，“吉星”和“爱星”协同工作，提升重点服务区域的导航精度。已知“爱星”运动的轨道为椭圆，该轨道的近地点和远地点距地球表面的高度分别为和，地球的半径为，两种卫星的周期相同，则“吉星”绕地球做圆周运动的轨道半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据开普勒第三定律，有 根据题意知，则“吉星”绕地球做圆周运动的轨道半径为。 故选D。 模型02.万有引力与重力 模型构建：地球对物体的万有引力，可分解为两个分力：重力与物体随地球自转所需向心力。赤道处自转向心力最大，重力最小；两极自转向心力为零，重力等于万有引力。忽略自转影响时，万有引力近似等于重力，即，得到黄金代换，常用于天体估算 模型剖析： 一.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果： ①一是重力mg ②二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 在赤道上：G＝mg1＋mω2R 在两极上：G＝mg2 在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量之和。 结论：越靠近南北极、两极g越大，越靠近赤道g越小， 由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力。 若不考虑地球自转影响：GM=gR2----黄金代换式 二.各种重力加速度的求解 1.地球表面重力加速度求解（不考虑自转影响） 重力等于万有引力：mg＝G 得：g＝= 2.在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′ mg′＝ 得：g′＝ 利用黄金代换式： g′＝g 3.某深度处重力加速度的计算 两个重要推论： 一.在均匀的球壳内任意位置处，质点受到球壳的万有引力合力为0. 二.在均匀球体内部距离球心r处，质点受到的万有引力等于半径为r的球体对质点的引力。 4.其他星球重力加速度求解 利用黄金代换GM=gR2 : g1== g 2.割补法求万有引力 计算非对称物体间的万有引力，可以通过填补后构成对称物体，使其满足万有引力定律， 再列式求解。 【例2】．有一质量为m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球体左端为2R的地方有一质量为的质点。现从该球体中挖去半径为的小球体，如图所示，引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设挖去小球的质量为。两球密度相同，由球体体积公式可得 由题图，质点、球心和依次共线，小球与大球内切。设质点到两球心的距离分别为和。质点到大球球心的距离为 质点到小球球心的距离为 均匀球体对球外质点的引力，可按球体质量集中于球心计算。由万有引力定律，完整球体对质点的引力大小为 挖去的小球若仍在原位置，对质点的引力大小为 两引力方向均向右。根据引力的叠加关系，完整球体的引力等于剩余部分与挖去小球引力的合力，故剩余部分对质点的万有引力大小为 故选A。 【变式2-1】在2026深空探测国际会议上，我国正式启动国际地月立方星座大科学计划，立体组网开展月球资源勘探等工作。已知月球的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在月球表面与在地球表面受到的引力的比值约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据万有引力定律表达式，则同一物体在月球表面与在地球表面受到的万有引力的比值为 故选B。 【变式2-2】如图甲所示，某小行星可视为密度为、半径为R的均匀球体。已知引力常量为G，均匀球壳对位于壳内的质点的万有引力为零。忽略小行星自转的影响。 (1)求小行星表面的重力加速度大小； (2)若小行星内有一质点，其与球心O相距，求该质点所在处的重力加速度大小； (3)如图乙所示，若在该小行星内部挖去一个球形空腔，空腔半径为r，空腔球心与小行星球心O的距离为d，且。求空腔内的重力加速度的大小与方向（大小用、d、G表示）。 【答案】(1) (2) (3)，方向沿 【详解】（1）设小行星的质量为，由均匀密度得 小行星表面处可把整颗小行星的引力视为质量集中在球心处产生，由万有引力定律和牛顿第二定律，分别有， 联立上式并代入质量，得 （2）取小行星内距球心为的质点。由均匀球壳对壳内质点的引力为零，只需考虑半径为的内球体，其质量为 该内球体对质点的引力等效于质量集中在处产生，由万有引力定律和牛顿第二定律，分别有， 联立上式并代入内球体质量，得 方向指向球心。 （3）取空腔内任意一点，设，，并令 先把挖去的球形部分补回。完整均匀球在处产生的引力加速度大小为，补回的球形部分在处产生的引力加速度大小为，挖去该部分后，处的实际加速度等于完整均匀球的加速度与上述加速度反向叠加。两加速度分别沿指向O和由指向，可知合加速度方向沿，且若其大小为，则 所以空腔内的重力加速度大小为 模型03.中心天体质量与密度计算 模型构建：通过地表重力或者卫星环绕运动求中心天体质量，密度等于质量除以球体体积，分清轨道半径与天体半径 模型剖析： 1.基本公式法（借助外援法：借助环绕天体运行参量） 利用已知参量结合公式求解： F＝ma＝G＝m＝mrω2＝mr2 ①若已知r与T： ②若已知r与w： ③若已知r与v： ④若已知R=r： 2.黄金代换法（自力更生法：借助本身g、R） 若忽略星球自转影响时利用黄金代换求解： =mg GM=gR2 【例3】嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样之旅。如图，假设嫦娥六号在环月椭圆轨道上沿图中箭头方向运动，只受到月球的引力，ab为椭圆轨道长轴，cd为椭圆轨道短轴。已知嫦娥六号绕月球运动周期为T，其近月点a到月球中心的距离为，远月点b到月球中心的距离为，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．某时刻嫦娥六号位于c点，则再经过半个周期它将位于轨道的d点 B．嫦娥六号在近月点a和远月点b的速度之比为 C．嫦娥六号在近月点a和远月点b的加速度之比为 D．月球的质量为 【答案】C 【详解】A．根据开普勒第二定律，从 过 到 速度逐渐减小，从 过 到 速度逐渐增大，故 经 到 所用时间大于半个周期，即再经过半个周期嫦娥六号尚未到达 点，A错误； B．根据开普勒第二定律可得 ，可得嫦娥六号在近月点和远月点的速度之比 ，故B错误； C．根据牛顿第二定律可得 ，可得在近月点和远月点的加速度之比 ，故C正确； D．椭圆轨道的半长轴为 。假设一圆轨道半径等于椭圆轨道的半长轴，即有 ，则有 ，可得 ，故D错误。 故选C。 【变式3-1】（多选）距离地球17光年处有一颗具有和地球相同自转特征的“超级地球”。如图所示，该星球可以视为均匀圆球，绕AB轴自转，O点为其球心，半径OE与赤道平面的夹角为。已知该星球的半径为R，北极点A处的重力加速度大小为，赤道上D处的重力加速度大小为，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．E处重力加速度方向沿着EO方向 B．星球的质量为 C．星球自转角速度为 D．E处的自转线速度为 【答案】BC 【详解】A．E点处万有引力指向球心，充当合力，其一分量沿过E点的纬线指向垂直OA方向提供向心力，另一分量为重力，故E处重力加速度方向过E点偏向EO下方，A错误； B．在北极点A处有，，B正确； C．在赤道上D处有，结合上式联立解得，该星球自转的角速度，C正确； D．E处的自转线速度大小，D错误。 故选BC。 【变式3-2】“嫦娥工程”设想送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备。设想宇航员随登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A．计时表一只；B．弹簧秤一支；C．已知质量为m的物体一个；D．天平一台（附砝码一盒）。 宇航员先测量飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用时间为t，飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，利用上述两次测量的物理量可推导出月球的半径和质量，已知万有引力常量为G。问： (1)机器人如何进行第二次测量？ (2)用上述测量的物理量表示月球半径和质量。 【答案】(1)机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出示数F，即为物体在月球上所受重力的大小。 (2)， 【详解】（1）机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出示数F，即为物体在月球上所受重力的大小。 （2）在月球上有 飞船在月球表面运行时，由万有引力提供物体做圆周运动的向心力 可得月球半径 月球质量 1. （多选）如图（a）所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是（     ） A．周期为2t1-t0 B．半径为 C．角速度的大小为 D．加速度的大小为 【答案】BD 【详解】A．图像中相邻两次亮度最低的时刻为和，相邻两次最低点之间的时间间隔为，而是从到第三个最低点的时刻坐标，不是一个周期，故A错误； B．设行星的质量为、轨道半径为、公转周期为。由图像读得 取行星为研究对象，恒星的万有引力提供向心力，结合线速度等于圆周长除以周期，有 整理得 所以，故B正确； CD．根据角速度等于一周转过的角度除以周期，得 该结果比选项C大一倍。由线速度等于圆周长除以周期，结合前述半径式得 向心加速度等于角速度与线速度的乘积，代入得，故C错误，D正确。 故选BD。 【基础夯实】 2. “地心说”最早由古希腊学者欧多克斯提出，后经亚里士多德、托勒密进一步研究而建立和完善；“日心说”是由波兰天文学家哥白尼提出的，该学说有力地打破了长期以来居于统治地位的“地心说”，实现了天文学的根本变革。日心说的示意图如图所示，下列说法正确的是（　　） A．水星的公转周期最短 B．水星的线速度最小 C．土星的角速度最大 D．土星的向心加速度最大 【答案】A 【详解】A．按题图将行星轨道视为圆轨道，设轨道半径（近似为半长轴）为。由图可知水星的轨道半径最小。开普勒第三定律指出，行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比，即。由此得，所以轨道半径越小，公转周期越短，水星的公转周期最短，故A正确； B．行星绕太阳做圆周运动时，线速度满足。由前述关系可得，所以轨道半径越小，线速度越大，水星的线速度最大，故B错误； C．行星角速度满足。由开普勒第三定律，轨道半径越大，公转周期越长；土星的轨道半径最大，周期最长，角速度最小，故C错误； D．设太阳质量为，行星质量为。取行星为研究对象，太阳对行星的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得，解得 因此向心加速度随轨道半径增大而减小，土星的向心加速度最小，故D错误。 故选A。 3. 已知某卫星绕地球做椭圆运动，观测到其近地点到地心的距离为，其在远地点的速度大小只有近地点速度大小的一半。地面附近的重力加速度大小为，地球半径为，忽略地球自转，则该卫星的运动周期为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设卫星在近、远地点到地心的距离分别为和，速度大小分别为和。两点的速度均与地心连线垂直，由开普勒第二定律，等时间扫过的面积相等，得 近地点地心距为，远地点速率是近地点的一半，代入上式得 椭圆轨道的半长轴为 设绕地球做近地圆周运动的卫星周期为。忽略地球自转，近地重力提供向心力，有 解得 椭圆轨道与近地圆轨道绕同一地球，开普勒第三定律给出周期平方之比等于半长轴立方之比。代入两轨道半长轴和近地圆轨道的周期，得到卫星的运动周期 故选B。 4. 德国天文学家开普勒用了20年的时间研究了丹麦天文学家第谷的行星观测记录，提出了开普勒行星运动定律。下列说法中正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在地球轨道的中心 B．由开普勒第二定律可知，行星离太阳比较近的时候，运行速度比较快 C．相同时间内，金星与太阳连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积 D．由开普勒第三定律可知，，k与环绕太阳运行的行星质量有关 【答案】B 【详解】A．根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，而非轨道中心，故A错误； B．根据开普勒第二定律，同一行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，行星离太阳较近时，相同时间内走过的弧长更长，因此运行速度更快，故B正确； C．开普勒第二定律的面积相等规律仅适用于同一环绕天体，金星和地球是不同行星，相同时间内二者与太阳连线扫过的面积不相等，故C错误； D．开普勒第三定律中的值仅与中心天体（太阳）的质量有关，与环绕行星的质量无关，故D错误。 故选B。 5. 如图所示，虚线为金星绕日运行的椭圆形轨道，a、c为椭圆轨道长轴端点，b、d为椭圆轨道短轴端点。金星沿图中箭头方向运行。某时刻金星位于a点，再经过四分之一周期，金星位于轨道的（　　） A．ab之间 B．cd之间 C．bc之间 D．da之间 【答案】C 【详解】设金星的周期为T，根据开普勒第二定律可知，金星从a到c连线扫过面积正好是半个椭圆面积，则所用时间为。金星从a到b与中心天体连线扫过面积小于椭圆面积的四分之一，则所用时间小于，则经过，金星位于轨道bc之间。 故选C。 6. 如图所示，地球绕太阳沿椭圆轨道运动，地球与太阳的连线在三段相同时间内扫过的面积S如图中阴影所示，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。题目明确说明、、是地球与太阳的连线在三段相同时间内扫过的面积，因此三者面积大小相等，即。 故选C。 7. （多选）地质学家常通过测量地表重力加速度的微小变化来探测地下矿藏。假设地球是一个密度为的均匀球体，半径为R。现探测到某地区地表正下方存在一个半径为r的球形空腔（空腔中心距地表深度为h，且），空腔内无物质。已知万有引力常量为G。若没有该空腔，该地区地表的正常重力加速度为。存在该空腔时地表的重力加速度反常（即），忽略地球自转，下列关于该地区的说法正确的是（　　 ） A．的方向竖直向上 B．的大小为 C．在深度一定时，的大小与空腔半径r的三次方成正比 D．若空腔内充满密度为的高密度矿石，则该地区的不变 【答案】AC 【详解】A．根据题意可知，填满该空腔的质量为 重力加速度反常在数值上就等于“填补空腔的质量”在该地表处产生的引力加速度。由于空腔的存在导致引力“缺失”，所以的方向竖直向上，故A正确； BC．由A选项分析可知，重力加速度反常 可知在深度一定时，的大小与r的三次方成正比，故B错误，C正确； D．若没有该空腔，该地区地表的正常重力加速度为，则有 解得（其方向竖直向下指向地心） 若空腔内充满密度为的高密度矿石，可视为空腔内充满2倍密度为的高密度矿石，则 解得（其方向竖直向下指向地心） 因为重力加速度反常 联立解得 可知则该地区的大小不变，但方向竖直向下发生了改变，故D错误。 故选AC。 8. 发射一颗探月卫星，其先后在两个轨道上分别经过M、N两点，如图所示，关于卫星在M、N两点的情况，下列说法正确的是（     ） A．在点所受地球引力比月球引力大 B．在点所受地球引力和月球引力相等 C．在点所受月球引力比地球引力大 D．在点所受地球引力比月球引力大 【答案】D 【详解】根据万有引力公式 ，结合位置和轨道性质分析： M点分析：M点距离地球更近、距离月球更远，且地球质量远大于月球质量，因此卫星在M点受到的地球引力大于月球引力； N点分析：N点距离月球更近、距离地球更远，轨道向月球一侧弯曲，说明合力指向月球，即卫星在N点受到的月球引力大于地球引力。 故选D。 9. 假设月球内部有一沿直径方向贯通的光滑细通道，现已测得月球表面重力加速度大小为g，月球半径为R，月球质量分布均匀。若一航天员将一质量为m的可视为质点的小球从月面通道口由静止释放，已知质量分布均匀的球壳对内部任一质点的万有引力为零，不计细通道对月球质量分布的影响，下列说法中正确的是（     ） A．小球向月心做匀加速运动 B．在运动至与月心间距离为处时，小球的加速度大小为2g C．小球运动到月心时，速度为 D．小球在月心所受万有引力无穷大 【答案】C 【详解】A．小球运动至与月心间距离为r处时，所受万有引力为 其中 M为月球质量，所以有 小球在月球表面时，有 联立解得 可知随小球与月心间距离越近，其加速度越小，故A错误； B．由A项分析可知，当时，小球的加速度，故B错误； C．由 可知加速度a随r线性减小，结合 可知，图像与坐标轴围成的面积表示速度平方变化量的一半，所以 解得小球运动到月心的速度 故C正确； D．由 可知，小球运动至月心时，所受万有引力为零，故D错误。 故选C。 【培优拔高】 10. 如图所示为发射卫星的轨道简化示意图，先将卫星发射到半径为的圆轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，在A点时使卫星变轨进入椭圆轨道Ⅱ上，卫星运动到椭圆轨道的远地点B点时，再次变轨，进入半径为的圆轨道Ⅲ上做匀速圆周运动。已知卫星的质量为m，地球的质量为M，引力常量为G，则（     ） A．卫星在轨道Ⅰ上A点的加速度小于在轨道Ⅱ（稳定运行）上A点的加速度 B．卫星在轨道Ⅲ上B点的加速度大于在轨道Ⅱ（稳定运行）上B点的加速度 C．在轨道Ⅰ上卫星与地球球心的连线单位时间内扫过的面积和在轨道Ⅲ上的相等 D．卫星在椭圆轨道上运行的周期与在半径为的圆轨道上运行周期的比值 【答案】D 【详解】A B．卫星在A、B点受到地球的万有引力作用，根据牛顿第二定律有 解得 可知卫星加速度与该点距地心的距离有关，则卫星在轨道Ⅰ上A点的加速度等于在轨道Ⅱ（稳定运行）上A点的加速度，卫星在轨道Ⅲ上B点的加速度等于在轨道Ⅱ（稳定运行）上B点的加速度，故AB错误； C．设卫星在任意圆轨道上运行的速率为，轨道半径为，根据万有引力提供向心力有 解得 卫星与地球球心的连线在单位时间内扫过的面积为 联立解得 由表达式可知，圆轨道半径越大，单位时间内扫过的面积越大，由于轨道Ⅰ的半径小于轨道Ⅲ的半径，可知在轨道Ⅰ上扫过的面积比在轨道Ⅲ上的小，故C错误； D．根据几何关系可知椭圆轨道的半长轴为 代入数据解得 根据开普勒第三定律有 解得，故D正确。 故选D。 11. 天王星是太阳系由内向外的第七颗行星。已知天王星质量约为地球质量的14.5倍，天王星的直径约为地球直径的4倍，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的19倍。则天王星表面与地球表面的重力加速度大小之比和天王星与地球公转周期之比分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】忽略行星自转的影响，行星表面物体的重力等于万有引力，则 整理得行星表面的重力加速度通式为 已知天王星质量， 天王星直径是地球的4倍，因此半径，可得 已知天王星公转轨道半径，由开普勒第三定律可得 解得 故选A。 12. 假设地球可视为质量分布均匀的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为，已知地球自转的周期为，引力常量为，则地球的质量为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在两极处，万有引力全部提供重力，则 可得 在赤道处，万有引力减去向心力等于重力，故 可得 则地球半径 代入解得 故选A。 13. 2026年5月25日，神舟二十三号载人飞船成功对接天和空间站核心舱。已知地球半径为，空间站绕地球做圆周运动的轨道半径为，周期为，引力常量为。下列说法正确的是（     ） A．地球的质量为 B．地球的平均密度为 C．空间站的线速度大小为 D．空间站所在高度处的重力加速度为 【答案】C 【详解】A．以空间站为研究对象，万有引力提供其做圆周运动所需的向心力。由万有引力定律和向心力关系得 解得地球质量为，故A错误； B．地球体积为 由密度定义得可得，故B错误； C．由线速度定义得 其中轨道半径，代入上式得，故C正确； D．空间站轨道处的重力加速度等于其向心加速度。由向心加速度关系得 整理得，故D错误。 故选C。 14. 2026年我国将要发射“嫦娥七号”探测器，对月球南极开展环境与资源勘查。探测器由轨道器、着陆器等组成。如图所示，若测得轨道器绕月球做匀速圆周运动的周期为T和月球相对轨道器的张角θ。已知万有引力常量为G，忽略月球自转，则月球的密度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设月球质量为，半径为，轨道器质量为，轨道半径为。 根据万有引力提供向心力有 解得月球质量 由几何关系可知，轨道器看月球的张角为，则 月球的体积为 月球的密度为 解得 故选A。 15. 已知嫦娥六号在环月圆轨道上运行的周期为，轨道半径与月球半径之比为，万有引力常量为，则月球的平均密度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设月球半径为，由题意可知嫦娥六号的环月轨道半径 嫦娥六号绕月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 将代入上式，消去后解得月球质量 月球体积 根据密度定义，将、代入，约去后可得月球的平均密度为 故选A。 16. 已知某行星自转周期为T，某物体在赤道处的重力是两极处的80%，万有引力常量为G。 (1)求该行星的密度ρ； (2)设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘浮”起来，求此时该行星的自转周期T′（结果用自转周期T表示）。 (3)若已知该行星的质量为M0，求该行星的同步卫星的轨道半径r。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设行星质量为，半径为，物体质量为，物体在两极处所受重力等于万有引力，有 物体在赤道处所受重力为，依题意有 在赤道处，物体随行星自转做圆周运动，万有引力与重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得 根据密度公式有 联立解得 （2）在“赤道”上的物体会“飘浮”起来，说明此时物体与地面间的作用力为零，万有引力完全提供向心力，设此时行星自转周期为T'，根据牛顿第二定律有 由第一问推导可知 联立两式解得 （3）同步卫星的公转周期等于行星的自转周期，设卫星质量为，根据万有引力提供向心力有 解得 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 万有引力 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.开普勒三大定律 模型02.万有引力与重力 模型03.中心天体质量与密度计算 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.开普勒三大定律 模型构建：开普勒第一定律：行星绕太阳轨道为椭圆，太阳在椭圆一个焦点上。第二定律：行星与太阳连线，相等时间扫过相等面积，近地点速率大，远地点速率小。第三定律：绕同一中心天体，轨道半长轴三次方与公转周期平方比值恒定，，k 只由中心天体质量决定，与环绕天体无关 模型剖析： 1.开普勒第一定律（轨道定律.） 解决了行星运动的轨道问题： 行星绕太阳运行的轨道都是椭圆（接近圆），不同行星绕太阳运动的椭圆轨道不同，是、太阳为所有轨道的共同焦点----开普勒第一定律 2.开普勒第二定律（面积定律） 比较了某个行星在椭圆轨道上不同位置的速度大小问题： 在相等的时间内，行星与太阳连线在相等时间内，扫过的面面积SA＝SB. 说明离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大----开普勒第二定律 说明：同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小.从A-B做减速运动，B-A做加速运动。 应用：单位时间内，可将两个扇形近似看作三角形 满足：vA rA= vB rB 3.开普勒第三定律（周期定律） 比较了不同行星周期的长短问题： 行星轨道的半长轴的三次方，与公转周期的平方之比为定：＝k= ----开普勒三定律 K值大小推导： 环绕体绕中心天体做匀速圆周运动由＝mr化简得k=＝M 说明： 1.该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动 2.k值大小由中心天体质量决定. 【例1】如图所示，某卫星绕一行星沿椭圆轨道逆时针运动。图示中bd为长轴，S1、S2两个面积大小相等，b、d到行星中心距离分别为r1、r2。则在一个运行周期内（     ） A．行星不在椭圆的焦点上 B．从b点到d点，卫星的动能先减小后增大 C．卫星在b、d两点的速度大小之比为 D．卫星从d点到a点的运行时间等于从b点到c点的运行时间 【变式1-1】2024年10月3日凌晨，摄影爱好者拍摄到万年一遇的天外来客——紫金山－阿特拉斯彗星，其运行周期长达6万年，最早由我国紫金山天文台盱眙观测站发现。这颗彗星的椭圆轨道非常扁，用我们已有的天体运动知识可以估测这颗彗星的椭圆轨道的半长轴，用表示彗星周期（单位为年），表示地球公转轨道半径，则这颗彗星的椭圆轨道半长轴为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图所示，我国北斗三号卫星系统有三颗为地球赤道上方的同步卫星，人送外号“吉星”，另有三颗运动轨道平面与地球赤道平面夹角为55°的卫星，人送外号“爱星”，“吉星”和“爱星”协同工作，提升重点服务区域的导航精度。已知“爱星”运动的轨道为椭圆，该轨道的近地点和远地点距地球表面的高度分别为和，地球的半径为，两种卫星的周期相同，则“吉星”绕地球做圆周运动的轨道半径为（     ） A． B． C． D． 模型02.万有引力与重力 模型构建：地球对物体的万有引力，可分解为两个分力：重力与物体随地球自转所需向心力。赤道处自转向心力最大，重力最小；两极自转向心力为零，重力等于万有引力。忽略自转影响时，万有引力近似等于重力，即，得到黄金代换，常用于天体估算 模型剖析： 一.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果： ①一是重力mg ②二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 在赤道上：G＝mg1＋mω2R 在两极上：G＝mg2 在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量之和。 结论：越靠近南北极、两极g越大，越靠近赤道g越小， 由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力。 若不考虑地球自转影响：GM=gR2----黄金代换式 二.各种重力加速度的求解 1.地球表面重力加速度求解（不考虑自转影响） 重力等于万有引力：mg＝G 得：g＝= 2.在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′ mg′＝ 得：g′＝ 利用黄金代换式： g′＝g 3.某深度处重力加速度的计算 两个重要推论： 一.在均匀的球壳内任意位置处，质点受到球壳的万有引力合力为0. 二.在均匀球体内部距离球心r处，质点受到的万有引力等于半径为r的球体对质点的引力。 4.其他星球重力加速度求解 利用黄金代换GM=gR2 : g1== g 2.割补法求万有引力 计算非对称物体间的万有引力，可以通过填补后构成对称物体，使其满足万有引力定律， 再列式求解。 【例2】．有一质量为m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球体左端为2R的地方有一质量为的质点。现从该球体中挖去半径为的小球体，如图所示，引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力大小为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】在2026深空探测国际会议上，我国正式启动国际地月立方星座大科学计划，立体组网开展月球资源勘探等工作。已知月球的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在月球表面与在地球表面受到的引力的比值约为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图甲所示，某小行星可视为密度为、半径为R的均匀球体。已知引力常量为G，均匀球壳对位于壳内的质点的万有引力为零。忽略小行星自转的影响。 (1)求小行星表面的重力加速度大小； (2)若小行星内有一质点，其与球心O相距，求该质点所在处的重力加速度大小； (3)如图乙所示，若在该小行星内部挖去一个球形空腔，空腔半径为r，空腔球心与小行星球心O的距离为d，且。求空腔内的重力加速度的大小与方向（大小用、d、G表示）。 模型03.中心天体质量与密度计算 模型构建：通过地表重力或者卫星环绕运动求中心天体质量，密度等于质量除以球体体积，分清轨道半径与天体半径 模型剖析： 1.基本公式法（借助外援法：借助环绕天体运行参量） 利用已知参量结合公式求解： F＝ma＝G＝m＝mrω2＝mr2 ①若已知r与T： ②若已知r与w： ③若已知r与v： ④若已知R=r： 2.黄金代换法（自力更生法：借助本身g、R） 若忽略星球自转影响时利用黄金代换求解： =mg GM=gR2 【例3】嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样之旅。如图，假设嫦娥六号在环月椭圆轨道上沿图中箭头方向运动，只受到月球的引力，ab为椭圆轨道长轴，cd为椭圆轨道短轴。已知嫦娥六号绕月球运动周期为T，其近月点a到月球中心的距离为，远月点b到月球中心的距离为，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．某时刻嫦娥六号位于c点，则再经过半个周期它将位于轨道的d点 B．嫦娥六号在近月点a和远月点b的速度之比为 C．嫦娥六号在近月点a和远月点b的加速度之比为 D．月球的质量为 【变式3-1】（多选）距离地球17光年处有一颗具有和地球相同自转特征的“超级地球”。如图所示，该星球可以视为均匀圆球，绕AB轴自转，O点为其球心，半径OE与赤道平面的夹角为。已知该星球的半径为R，北极点A处的重力加速度大小为，赤道上D处的重力加速度大小为，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．E处重力加速度方向沿着EO方向 B．星球的质量为 C．星球自转角速度为 D．E处的自转线速度为 【变式3-2】“嫦娥工程”设想送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备。设想宇航员随登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A．计时表一只；B．弹簧秤一支；C．已知质量为m的物体一个；D．天平一台（附砝码一盒）。 宇航员先测量飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用时间为t，飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，利用上述两次测量的物理量可推导出月球的半径和质量，已知万有引力常量为G。问： (1)机器人如何进行第二次测量？ (2)用上述测量的物理量表示月球半径和质量。 1. （多选）如图（a）所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是（     ） A．周期为2t1-t0 B．半径为 C．角速度的大小为 D．加速度的大小为 【基础夯实】 2. “地心说”最早由古希腊学者欧多克斯提出，后经亚里士多德、托勒密进一步研究而建立和完善；“日心说”是由波兰天文学家哥白尼提出的，该学说有力地打破了长期以来居于统治地位的“地心说”，实现了天文学的根本变革。日心说的示意图如图所示，下列说法正确的是（　　） A．水星的公转周期最短 B．水星的线速度最小 C．土星的角速度最大 D．土星的向心加速度最大 3. 已知某卫星绕地球做椭圆运动，观测到其近地点到地心的距离为，其在远地点的速度大小只有近地点速度大小的一半。地面附近的重力加速度大小为，地球半径为，忽略地球自转，则该卫星的运动周期为（     ） A． B． C． D． 4. 德国天文学家开普勒用了20年的时间研究了丹麦天文学家第谷的行星观测记录，提出了开普勒行星运动定律。下列说法中正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在地球轨道的中心 B．由开普勒第二定律可知，行星离太阳比较近的时候，运行速度比较快 C．相同时间内，金星与太阳连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积 D．由开普勒第三定律可知，，k与环绕太阳运行的行星质量有关 5. 如图所示，虚线为金星绕日运行的椭圆形轨道，a、c为椭圆轨道长轴端点，b、d为椭圆轨道短轴端点。金星沿图中箭头方向运行。某时刻金星位于a点，再经过四分之一周期，金星位于轨道的（　　） A．ab之间 B．cd之间 C．bc之间 D．da之间 6. 如图所示，地球绕太阳沿椭圆轨道运动，地球与太阳的连线在三段相同时间内扫过的面积S如图中阴影所示，则（　　） A． B． C． D． 7. （多选）地质学家常通过测量地表重力加速度的微小变化来探测地下矿藏。假设地球是一个密度为的均匀球体，半径为R。现探测到某地区地表正下方存在一个半径为r的球形空腔（空腔中心距地表深度为h，且），空腔内无物质。已知万有引力常量为G。若没有该空腔，该地区地表的正常重力加速度为。存在该空腔时地表的重力加速度反常（即），忽略地球自转，下列关于该地区的说法正确的是（　　 ） A．的方向竖直向上 B．的大小为 C．在深度一定时，的大小与空腔半径r的三次方成正比 D．若空腔内充满密度为的高密度矿石，则该地区的不变 8. 发射一颗探月卫星，其先后在两个轨道上分别经过M、N两点，如图所示，关于卫星在M、N两点的情况，下列说法正确的是（     ） A．在点所受地球引力比月球引力大 B．在点所受地球引力和月球引力相等 C．在点所受月球引力比地球引力大 D．在点所受地球引力比月球引力大 9. 假设月球内部有一沿直径方向贯通的光滑细通道，现已测得月球表面重力加速度大小为g，月球半径为R，月球质量分布均匀。若一航天员将一质量为m的可视为质点的小球从月面通道口由静止释放，已知质量分布均匀的球壳对内部任一质点的万有引力为零，不计细通道对月球质量分布的影响，下列说法中正确的是（     ） A．小球向月心做匀加速运动 B．在运动至与月心间距离为处时，小球的加速度大小为2g C．小球运动到月心时，速度为 D．小球在月心所受万有引力无穷大 【培优拔高】 10. 如图所示为发射卫星的轨道简化示意图，先将卫星发射到半径为的圆轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，在A点时使卫星变轨进入椭圆轨道Ⅱ上，卫星运动到椭圆轨道的远地点B点时，再次变轨，进入半径为的圆轨道Ⅲ上做匀速圆周运动。已知卫星的质量为m，地球的质量为M，引力常量为G，则（     ） A．卫星在轨道Ⅰ上A点的加速度小于在轨道Ⅱ（稳定运行）上A点的加速度 B．卫星在轨道Ⅲ上B点的加速度大于在轨道Ⅱ（稳定运行）上B点的加速度 C．在轨道Ⅰ上卫星与地球球心的连线单位时间内扫过的面积和在轨道Ⅲ上的相等 D．卫星在椭圆轨道上运行的周期与在半径为的圆轨道上运行周期的比值 11. 天王星是太阳系由内向外的第七颗行星。已知天王星质量约为地球质量的14.5倍，天王星的直径约为地球直径的4倍，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的19倍。则天王星表面与地球表面的重力加速度大小之比和天王星与地球公转周期之比分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 12. 假设地球可视为质量分布均匀的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为，已知地球自转的周期为，引力常量为，则地球的质量为（     ） A． B． C． D． 13. 2026年5月25日，神舟二十三号载人飞船成功对接天和空间站核心舱。已知地球半径为，空间站绕地球做圆周运动的轨道半径为，周期为，引力常量为。下列说法正确的是（     ） A．地球的质量为 B．地球的平均密度为 C．空间站的线速度大小为 D．空间站所在高度处的重力加速度为 14. 2026年我国将要发射“嫦娥七号”探测器，对月球南极开展环境与资源勘查。探测器由轨道器、着陆器等组成。如图所示，若测得轨道器绕月球做匀速圆周运动的周期为T和月球相对轨道器的张角θ。已知万有引力常量为G，忽略月球自转，则月球的密度为（     ） A． B． C． D． 15. 已知嫦娥六号在环月圆轨道上运行的周期为，轨道半径与月球半径之比为，万有引力常量为，则月球的平均密度为（     ） A． B． C． D． 16. 已知某行星自转周期为T，某物体在赤道处的重力是两极处的80%，万有引力常量为G。 (1)求该行星的密度ρ； (2)设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘浮”起来，求此时该行星的自转周期T′（结果用自转周期T表示）。 (3)若已知该行星的质量为M0，求该行星的同步卫星的轨道半径r。 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $