8.1 功 功率 重难突破系列讲义-2026-2027学年高一下学期物理人教版必修第二册

专题讲义 人教版高中物理必修第二册 人教版·高中物理必修第二册 8.1　功 功率【单元复习】 （解析版） 人教版高中物理必修第二册　|　第八章《机械能守恒定律》　|　单元复习提优　|　建议用时 45 分钟　|　难度：★★★☆☆ ▎学习目标 1．理解功的概念：做功的两个必要因素是作用在物体上的力和物体在力的方向上发生的位移；功是标量，恒力做功 W＝Flcosα（α 为力 F 与位移 l 的夹角），单位为焦耳（J＝N·m）。会根据 α 判断正功（动力）、负功（阻力，即“克服某力做功”）和不做功（α＝90°）。 2．掌握合力功与变力功：合力对物体做的总功等于各力做功的代数和 W合＝W₁＋W₂＋…＝F合·l·cosα；会用 F-x 图像中图线与 x 轴围成的面积求变力的功，初步体会微元法（把整段位移分成许多小段，每段近似恒力做功再求和）。 3．理解功率：平均功率 P＝W/t，描述做功的平均快慢；瞬时功率 P＝Fvcosα（当 F 与 v 同方向时 P＝Fv）；知道额定功率是发动机长时间正常工作的最大功率、实际功率可小于额定功率，并能进行相关计算。 4．掌握机车启动问题：恒定功率启动时 P 不变，v 增大则牵引力 F＝P/v 减小、加速度减小，当 F＝f 时速度达到最大值 vmax＝P/f；恒定加速度启动先匀加速（F 恒定、P＝Fv 逐渐增大至额定功率），再转入恒定功率阶段。了解复兴号高铁、新能源汽车等牵引功率的工程前沿。 【思维导图】 功 与 功率 功与正负功 两要素＝力＋力方向位移 W＝Flcosα　单位 J＝N·m 锐角正功·直角不做功·钝角负功 功 与 功率 合力与变力功 合力功＝各力功代数和 F-x 图面积＝变力功 微元法思想 功 与 功率 功率公式 平均功率 P＝W/t 瞬时功率 P＝Fvcosα 额定功率与实际功率 功 与 功率 机车启动与前沿 恒定功率启动 vmax＝P/f 匀加速启动先匀后恒功率 高铁·新能源汽车牵引功率 考点一　功的理解、恒力做功、正负功、合力功与变力功 1．功的概念与两要素：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。做功的两个必要因素是：作用在物体上的力，以及物体在力的方向上的位移，二者缺一不可。功是标量，只有大小、没有方向。 2．恒力做功的公式：设恒力 F 作用在物体上，物体沿力的方向发生位移 l，当力 F 与位移 l 的夹角为 α 时（如图1），这个力对物体所做的功为 W＝Flcosα。功的国际单位是焦耳，简称焦，符号 J，1 J＝1 N·m。 图1　恒力做功 W＝Flcosα：F 与位移 l 夹角为 α，只有 Fcosα 这一分力才对物体做功 3．正功、负功与不做功：由 W＝Flcosα 可知：当 0≤α＜90° 时 cosα＞0，力做正功，该力是动力；当 α＝90° 时 cosα＝0，力不做功（如匀速圆周运动的向心力、沿水平位移时的重力）；当 90°＜α≤180° 时 cosα＜0，力做负功，该力是阻力，常说成“物体克服某力做功”。功的正负既不表示方向，也不表示大小，只表示是动力做功还是阻力做功；比较功的大小时看绝对值。 4．合力的功：功是标量，当物体同时受到几个力作用时，合力对物体做的总功等于各个力分别对物体所做功的代数和，即 W合＝W₁＋W₂＋…；也可先求合力再用 W合＝F合·l·cosα 计算。例如两个互相垂直的力 F₁、F₂ 对物体分别做功 3 J、4 J（如图2），合力做功就是 7 J，而不是 5 J。 图2　两个互相垂直的力 F₁、F₂ 做功：功是标量，总功等于各力功的代数和，不能用勾股定理求功 5．变力的功：当力的大小（或方向）随位移变化时，不能直接用 W＝Flcosα。常用方法是 F-x 图像法：在 F-x 图像中，图线与 x 轴所围成的面积就表示力在这段位移上所做的功（如图3，梯形面积即变力 F 做的功）。其本质是微元法——把整段位移分成许多很小的小段，每一小段内力可近似看作恒力，求出各小段功再累加。 图3　变力做功：F 随位移 x 线性变化时（甲），F-x 图线与 x 轴围成的梯形面积就等于力做的功（乙） ▎重难诠释 ①判断力做正功还是负功，只看力与位移（速度）方向的夹角：锐角正功、直角不做功、钝角负功，与力本身是“动力”还是“阻力”一致； ②功的正负不表示大小：-10 J 的功比-8 J 的功“大”（绝对值更大），但二者都表示阻力做功； ③合力功既可“先求各力功再代数相加”，也可“先求合力再求功”，结果相同；切勿把功当矢量用平行四边形合成； ④F-x 图像面积是求变力功的核心工具：恒力对应矩形面积，线性变力对应梯形（或三角形）面积。 考点二　功率、额定功率与机车启动问题 1．功率的定义：功率是描述力对物体做功快慢的物理量。功 W 与完成这些功所用时间 t 的比值叫做平均功率，P＝W/t；在某一时刻附近取极短时间，对应的功率就是瞬时功率。功率的国际单位是瓦特，简称瓦，符号 W，1 W＝1 J/s，常用单位还有 kW（1 kW＝10³ W）。 2．瞬时功率与 P＝Fv：由 P＝W/t 和 W＝Flcosα 可得瞬时功率 P＝Fvcosα，其中 v 为瞬时速度、α 为力 F 与速度 v 方向的夹角。当 F 与 v 方向在同一直线上时 α＝0，P＝Fv。计算时要注意：P＝W/t 求得的是平均功率，P＝Fv 中 v 取平均速度得平均功率、取瞬时速度得瞬时功率。 3．额定功率与实际功率：发动机正常工作时长时间允许输出的最大功率叫做额定功率，它是发动机的铭牌指标；发动机实际运行时输出的功率叫做实际功率，实际功率可以小于（偶尔也可短时间略大于）额定功率。汽车上坡、加速时往往需要较大牵引力，由 P＝Fv 可知在功率一定时 F 与 v 此消彼长。 4．机车的两种启动方式：（1）恒定功率启动：发动机以额定功率 P 行驶，由 P＝Fv 知 v 增大时牵引力 F＝P/v 减小，由 a＝(F－f)/m 知加速度减小，机车做加速度逐渐减小的加速运动；当 F＝f 时 a＝0，速度达到最大值 vmax＝P/f，此后匀速。其 v-t 图线是一条先弯曲上升、最后趋于水平的曲线（如图4）。 图4　机车启动的 v-t 图像：先匀加速（斜直线），后以恒定功率做加速度减小的加速（曲线变平），最后匀速（水平段） （2）恒定加速度启动：开始阶段牵引力 F 恒定（由 F－f＝ma，a 不变），机车做匀加速直线运动，速度 v 增大、P＝Fv 随之增大；当功率增大到额定功率后，机车转入恒定功率阶段，此后 v 继续增大、F 减小、a 减小，直到 F＝f 时达到最大速度 vmax＝P/f。两种启动方式的最大速度都由 vmax＝P/f 决定。 5．前沿实例：牵引功率与电动化：我国复兴号动车组单列牵引功率可达一万多千瓦（数十兆瓦），在阻力 f 近似恒定时以额定功率行驶，最高运营速度 vmax＝P/f，正是“功率一定时速度与阻力此消彼长”的工程体现（如图5）；行驶在高原河谷大桥上的复兴号内电双源动车组，同样靠大功率牵引电机在复杂线路上保持足够牵引力（如图6）。新能源汽车用驱动电机替代发动机，电机可在很宽转速范围内输出大扭矩，起重机、盾构机、四足机器人等装备也都以 P＝Fv 为选型依据（如图7）。 图5　前沿实例：复兴号 CR400AF 型电力动车组，列车牵引电机总功率上万千瓦（数十 MW）。启动时牵引力大，速度增大后牵引力随 P＝Fv 减小，阻力与牵引力平衡时达到最高运行速度 vmax＝P/f，正是机车功率规律的工程体现 图6　前沿实例：行驶在拉林铁路雅鲁藏布江大桥上的复兴号高原内电双源动车组。大功率牵引电机在长距离、大坡度的复杂线路上仍需保证足够牵引力，启动与爬坡时 P＝Fv 关系尤为突出 图7　电动机功率实例：四足仿生机器人靠多条电动执行器（电机＋减速器）驱动每条腿。每条腿的瞬时发力与瞬时速度满足 P＝Fv，电机的峰值功率决定了它奔跑、跳跃时的负载能力 ▎重难诠释 ①P＝W/t 是功率的定义式，适用于任何情况求平均功率；P＝Fvcosα 是推导式，v 为平均速度时得平均功率、v 为瞬时速度时得瞬时功率； ②机车启动问题抓两条线：恒定功率启动时 P 不变、v↑→F＝P/v↓→a↓；恒定加速度启动时 a 不变、F 不变、P＝Fv↑直至额定功率； ③无论哪种启动，最大速度都满足 vmax＝P/f（牵引力等于阻力时），与启动方式无关； ④计算“重力的功率”时要留心角：重力竖直向下，PG＝mgvy＝mgvsinθ（θ 为速度方向与水平方向的夹角），不能直接用 mgv。 考向一　功的理解与正功、负功判断（两要素·W＝Flcosα·锐角正功/直角不做功/钝角负功） 1．关于做功，下列叙述正确的是（　　） A．人肩上扛重物，沿斜坡上行，重力对重物做负功 B．物体在水平面做匀速圆周运动时，向心力对物体可能做功 C．物体在竖直面做圆周运动时，任何一段时间内重力对物体均不做功 D．在行星自近日点移至远日点的过程中，太阳引力对行星不做功 【答案】A 【详解】 A．人肩上扛重物，沿斜坡上行，重力与位移夹角为钝角，W＝Fxcosθ＜0，重力对重物做负功，故A正确； B．物体在水平面做匀速圆周运动时，向心力与物体的速度方向始终垂直，W＝Fxcos90°＝0，向心力对物体不做功，故B错误； C．物体在竖直面做圆周运动时，物体上升时重力做负功，下降时重力做正功，故C错误； D．在行星自近日点移至远日点的过程中，太阳引力与位移夹角为钝角，W＝Fxcosθ＜0，太阳引力对行星做负功，故D错误。 故选：A。 2．如图所示，物体沿着固定粗糙斜面向下匀速滑动一段距离，此过程中，下列说法正确的是（　　） A．重力对物体做负功 B．支持力对物体做正功 C．摩擦力对物体做正功 D．合力对物体不做功 【答案】D 【详解】 A、根据题意分析可知，物体沿斜面向下运动，高度下降，重力方向与位移方向夹角为锐角，根据功的定义WG＝mgh，可知重力做正功，故A错误； B、根据题意分析可知，支持力方向垂直于斜面向上，与位移方向垂直，根据功的公式 WN＝FNlcos90°＝0，支持力不做功，故B错误； C、根据题意分析可知，物体沿斜面向下滑动，滑动摩擦力方向沿斜面向上，与位移方向相反（夹角为 180°），根据功的公式 Wf＝flcos180°＝-fl，摩擦力做负功，故C错误； D、根据题意分析可知，物体匀速下滑，处于平衡状态，所受合外力为零（F合＝0），故合力对物体不做功，故D正确。 故选：D。 3．如图为某超市两种扶梯，甲是倾斜板面式扶梯，乙是水平台阶式扶梯。两扶梯倾角相同，质量相同的两名乘客分别站在两扶梯上，两扶梯以相同速率匀速斜向上运动。下列判断正确的是（　　） A．甲扶梯对人的支持力做正功 B．乙扶梯对人的支持力做负功 C．甲扶梯对人的静摩擦力做正功 D．相等时间内两乘客重力势能增加量不相等 【答案】C 【详解】 AC、甲扶梯是倾斜板面式扶梯，乘客随扶梯匀速斜向上运动，受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力和沿斜面向上的静摩擦力，速度方向沿斜面向上，支持力方向与速度方向垂直，支持力不做功；静摩擦力方向与速度方向相同，静摩擦力做正功，故A错误，C正确； B、乙扶梯是水平台阶式扶梯，乘客随扶梯匀速斜向上运动，处于平衡状态，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，水平方向不受摩擦力，支持力方向竖直向上，与速度方向成锐角，所以支持力做正功，故B错误 D、两乘客以相同速率v沿相同倾角匀速斜向上运动，质量m相同，则在相等时间t内上升的高度h相等，重力做功相同，重力势能增加量相等，故D错误。 故选：C。 4．下列关于功和功率的说法正确的是（　　） A．-12J的功比10J的功小 B．提着水桶沿水平方向匀速运动，消耗了体力，所以人对水桶做了功 C．作用力做正功，反作用力一定做负功 D．功率是描述做功快慢的物理量 【答案】D 【详解】 A、功是标量，功的正负表示动力做功还是阻力做功，不表示大小，功的大小比较看绝对值，|-12J|＞10J，故-12 J的功更大，故A错误； B、做功的两个必要因素：作用在物体上的力；物体在力的方向上有位移，二者缺一不可。人对水桶的拉力竖直向上，水桶位移沿水平方向，力与位移垂直，根据功的公式W＝Flcosθ，θ＝90°时cos90°＝0，得W＝0，故人对水桶不做功，故B错误； C、作用力与反作用力作用在不同物体上，两个物体的位移无必然关联。例如两个相互排斥的带电小球由静止释放，二者间的库仑斥力互为作用力与反作用力，均对各自作用的小球做正功，故反作用力不一定做负功，故C错误； D、功率的物理意义就是描述做功快慢的物理量，故D正确。 故选：D。 5．工人利用斜面可以既省力又方便地将货物装上汽车，如图所示。若将同一货物由地面搬上汽车，则下列说法正确的是（　　） A．货物沿斜面上移过程，重力做正功 B．货物沿斜面上移过程，摩擦力对货物做正功 C．斜面倾角越小，货物沿斜面上移过程克服重力做功越少 D．无论斜面倾角如何，货物沿斜面上移过程克服重力做功相同 【答案】D 【详解】 A．货物沿斜面向上移动的过程中，重力方向竖直向下，竖直方向的位移向上，重力做负功，即货物克服重力做功，故A错误； B．货物沿斜面向上移动的过程中，摩擦力方向沿斜面向下，位移方向沿斜面向上，摩擦力对货物做负功，故B错误； CD．由重力做功公式WG＝-mgh可知，重力做功仅与物体的初末位置的高度差有关，与路径及斜面的倾角无关。故无论斜面倾角如何，同一货物由地面搬上汽车，高度差h相同，货物沿斜面上移过程克服重力做功都相同，故C错误，D正确。 故选：D。 考向二　恒力·合力·变力功计算（W＝Flcosα·合力功代数和·F-x 图像面积） 6．如图所示，倾角θ＝37°的光滑固定斜面上，质量m＝1kg的物块，受沿斜面向上，大小为10N的恒力F，从静止开始沿斜面上滑4m，重力加速度g取10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则在此过程中，力对物块的做功情况，下列说法正确的是（　　） A．重力做功24J B．拉力做功32J C．支持力做功32J D．合力做功16J 【答案】D 【详解】 A.由重力做功的计算公式可知，重力对物块做的功为： WG＝-mgh＝-mg•xsin37°＝-1×10×4×0.6J＝-24J，故A错误； BC.由恒力做功的计算公式可知，拉力做功及支持力做功分别为： WF＝F•xcos0°＝10×4×1J＝40J， WN＝N•xcos90°＝mgcos37°•xcos90°＝1×10×0.8×4×0J＝0J，故BC错误； D.结合前面分析可知，合力做功为： W合＝WG+WF+WN＝-24J+40J+0J＝16J，故D正确。 故选：D。 7．如图所示，两个互相垂直的力F1与F2作用在同一物体上，使物体通过一段位移的过程中，力F1对物体做功3J，力F2对物体做功4J，则力F1与F2的合力对物体做功为（　　） A．7J B．5J C．1J D．12J 【答案】A 【详解】 功是标量，多个力对物体做功时，合力对物体做的总功等于各个分力做功的代数和 两个互相垂直的力F1、F2共同作用于同一物体，已知F1做功W1＝3J，F2做功W2＝4J 因此总功W＝W1+W2＝3J+4J＝7J，故A正确，BCD错误。 故选：A。 8．如图为一物体在水平力F作用下沿水平面运动位移15m的F-x图像，则该水平力在这段位移内对物体所做的功的大小为（　　） A．800J B．1600J C．1800J D．无法计算 【答案】C 【详解】 在F-x图像中，图线与x轴围成的面积表示力F对物体做的功，则该水平力在这段位移内对物体所做的功的大小等于梯形面积大小，为W=((F₁+F₂))/(2)⋅x=((80+160))/(2)×15J=1800J，故ABD错误，C正确。 故选：C。 9．如图甲所示，质量为5kg的物体在斜向下、与水平方向成37°角的力F作用下，沿光滑水平面开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，x＝6m时撤去力F，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则从开始到撤去力F过程力F所做的功为（　　） A．80 J B．96 J C．120 J D．150 J 【答案】B 【详解】 由题图乙可知推力F的大小随位移x线性变化，对应图像的面积代表F做的功，有W=⋅xcos37°，代入数据解得W＝96J，故B正确，ACD错误。 故选：B。 10．如图，一劲度系数k＝100N/m的轻弹簧竖直放置，将一质量为2kg的物块置于弹簧上端，系统处于静止状态，这时给物块施加一个竖直向上的拉力F，使物块以0.1m/s²的加速度向上做匀加速直线运动，重力加速度取g＝10m/s²。在物块向上运动10cm的过程中，拉力F所做的功为（　　） A．0.52J B．1.52J C．2J D．2.02J 【答案】A 【详解】 根据题意分析可知，物块静止在弹簧上端时，弹簧的压缩量为Δx=，代入数据解得Δx＝20cm 施加拉力后向上运动10cm的过程中，弹簧一直处于压缩状态，对物块受力分析，根据牛顿第二定律可得F+kx-mg＝ma 化简得F＝20.2N-100x x从0.2m变到0.1m，故W=⋅Δx=×0.1J＝0.52J，故A正确，BCD错误。 故选：A。 考向三　平均功率与瞬时功率（P＝W/t·P＝Fvcosα·重力功率留心角） 11．一质量m＝1kg的小球从静止开始自由下落，取g＝10m/s²，并认为小球下落高度足够大。下列说法正确的是（　　） A．5s末重力的瞬时功率为50W B．0～5s内重力的平均功率为250W C．0～5s内重力的平均功率和5～10s内重力的平均功率相等 D．第5s末重力的瞬时功率小于第6s初重力的瞬时功率 【答案】B 【详解】 A．5s末小球的速度v＝gt＝10×5m/s＝50m/s，5s末时重力的瞬时功率P＝mgv＝1×10×50W＝500W，故A错误； B．0～5s内的位移h=gt²=×10×5²m＝125m，重力的平均功率P===W=250W，故B正确； C．5～10s内的位移Δh=gt₁₀²-gt₅²=×10×10²m-×10×5²m＝375m，5～10s内的平均功率P==W＝750W，故C错误； D．第5s末和第6s初是同一个时刻，所以第5s末重力的瞬时功率等于第6s初重力的瞬时功率，故D错误。 故选：B。 12．有一质量为1kg的小物块，从光滑固定斜面顶端由静止释放下滑至底端。斜面长度为10m、倾角为30°，重力加速度g取10m/s²。则小物块（　　） A．下滑过程中，斜面对小物块的支持力做功为50J B．下滑过程中，小物块的重力做功为100J C．下滑过程中，重力的平均功率为25W D．滑至斜面底端时，重力的瞬时功率为50W 【答案】D 【详解】 A、支持力方向垂直斜面向上，物块位移沿斜面向下，则支持力与位移的夹角为90°，根据功的公式W＝Fscosα，其中cos90°＝0，则支持力做功为0，故A错误； B、重力做功仅与竖直下落高度有关，下落高度h＝Lsin30°＝10×0.5m＝5m，则重力做功WG＝mgh＝1×10×5J＝50J，故B错误； C、斜面光滑，物块下滑加速度为a＝gsin30°＝10×0.5m/s²＝5m/s²，由L=at²得下滑时间t＝2s，则重力的平均功率P==W＝25W，故C错误； D、物块滑至斜面底端时速度大小v＝at＝5×2m/s＝10m/s，重力的瞬时功率等于重力乘以竖直方向分速度，则物块滑至斜面底端时，重力的瞬时功率为P＝mgvy＝mgvsin30°＝1×10×10×0.5W＝50W，故D正确。 故选：D。 13．跳台滑雪是冬奥会比赛项目之一，如图所示为雪道的部分示意图。假设一位比赛运动员的质量为60kg（包含所有装备的总质量）从助滑道上滑下后，从起跳平台A点以20m/s的速度沿水平方向飞出，在斜坡B点处着陆。已知斜坡可视为倾角30°的斜面，g取10m/s²，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员从A点飞出到落到B点所用的时间为4s B．运动员从A点到B点的过程中重力做的功为4000 J C．运动员从A点到B点的过程中重力的平均功率12000W D．运动员落到B点时重力的瞬时功率为8000 W 【答案】D 【详解】 A．根据平抛运动位移规律有x＝v0t，y=gt²，又tan30°=，解得运动时间t=s，故A错误； B．竖直下落高度y=gt²，代入数据解得y=m，重力做功W＝mgy＝60×10×J＝16000J，故B错误； C．根据功率的公式，有重力的平均功率为P=，得P=4000W，故C错误； D．落到B点时竖直速度vy＝gt，得vy=m/s，重力瞬时功率为P＝mgvy，解得P=8000W，故D正确。 故选：D。 14．茂名是广东重要的水果产区，果农用水平推力推着装满三华李的手推车在水平道路上匀速前进，手推车和三华李总质量为100kg，受到的摩擦力为重力的0.2倍，推车速度恒为1m/s，g＝10m/s²。下列说法正确的是（　　） A．重力对手推车做正功 B．推力的瞬时功率为2000W C．10s内推力做功为2000J D．若要推动手推车前进，则果农对车的力必须大于车对果农的力 【答案】C 【详解】 A、由于重力方向竖直向下，手推车水平位移，重力与位移垂直，则重力对手推车不做功，故A错误； B、由题意可知，手推车受到摩擦力的大小为：f＝0.2mg＝0.2×100×10N＝200N，匀速时推力F＝f＝200N，则推力瞬时功率为：P＝Fv＝200×1W＝200W，故B错误； C、10s内手推车的位移的大小为：x＝vt＝1×10m＝10m，则推力所做的功为：W＝Fx＝200×10J＝2000J，故C正确； D、果农对车的力和车对果农的力是一对相互作用力，大小始终相等，与能否推动无关，故D错误。 故选：C。 15．一辆质量为m的汽车以速度v0匀速行驶在平直路面上，发动机驱动功率为P0。汽车防撞系统发现前方有障碍物，系统立即撤去驱动力，施加制动力使汽车减速，制动力功率为2P0，不计传动过程中能量损失，当汽车速度为时汽车的加速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 根据题意分析可知，由功率的公式有 P0＝Fv0＝fv0 根据牛顿第二定律，有 F制动+f＝ma 又有 P制动=2P₀=F制动 联立可得当汽车速度为时汽车的加速度为 a=，故A正确，BCD错误。 故选：A。 考向四　机车启动与综合（恒定功率/匀加速启动·vmax＝P/f·额定与实际功率） 16．如图所示为修建高层建筑时常用的塔式起重机。起重机将质量m＝5000kg的重物沿竖直方向吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，速度达到v＝1m/s时，起重机输出功率达到其允许的最大值，此后保持该功率直到重物以速度vmax＝1.02m/s做匀速直线运动。重力加速度g取10m/s²，不计一切摩擦阻力。则该起重机允许的最大输出功率是（　　） A．5.0×10⁴W B．5.1×10⁴W C．5.0×10³W D．5.1×10³W 【答案】B 【详解】 根据题意分析可知，当重物速度最大时，所受牵引力等于重力，即F＝mg 则P额＝mgvmax 代入数据解得P额＝5.1×10⁴W，故B正确，ACD错误。 故选：B。 17．电动方程式（FormulaE）是国际汽联电动方程式赛车世界锦标赛。某赛车在水平赛道上由静止开始启动，前2s内做匀加速直线运动，第2s末电动机达到额定功率，此后以额定功率继续行驶，其v-t图像如图所示。已知赛车的质量m＝1×10³kg，赛车行驶过程中受到的阻力恒为车重的0.2倍，重力加速度g＝10m/s²，下列说法正确的是（　　） A．该赛车的额定功率为320kW B．该赛车在匀加速阶段的平均功率为80kW C．该赛车的最大速度为60m/s D．当速度v＝40m/s时，其加速度为4m/s² 【答案】B 【详解】 A、根据题意分析可知，0～2s时间内，对赛车，根据牛顿第二定律有F-f＝F-0.2mg＝ma v-t图像斜率表示加速度，由题图可知，0～2s时间内，赛车加速度大小为a==m/s²=8m/s² 联立解得F＝1×10⁴N 则该赛车的额定功率为P=Fv₁=(1×10⁴×16)W=160kW，故A错误； B、根据题意分析可知，该赛车在匀加速阶段位移为x₁=t₁=(×2)m=16m 该赛车在匀加速阶段的平均功率为P==W=80kW，故B正确； C、根据题意分析可知，该赛车速度最大时，其合力为0，则有0.2mg=F牵= 联立解得vm＝80m/s，故C错误； D、根据题意分析可知，当速度v＝40 m/s时，对赛车，根据牛顿第二定律有-0.2mg=ma₁ 联立解得a₁=2m/s²，故D错误。 故选：B。 18．在平直公路上，一质量m＝2×10⁴kg的汽车以速度v0＝72km/h匀速行驶，此时发动机的功率P＝100kW，在某时刻驾驶员加大油门，发动机的功率立即增大为1.5P，并保持该功率继续行驶。假设汽车行驶过程中所受的阻力大小始终不变，重力加速度g取10m/s²，下列说法正确的是（　　） A．汽车行驶过程中所受的阻力大小为5×10⁴N B．汽车在增大功率瞬间牵引力大小为1×10⁴N C．功率增为1.5P瞬间汽车的加速度为0.125m/s² D．汽车最终匀速行驶的速度大小为25m/s 【答案】C 【详解】 A、汽车以速度v0＝72km/h匀速行驶时，有P＝F1v0 设汽车受到的阻力大小为Ff，有F1＝Ff 代入数据可得Ff=5×10³N，故A错误； B、设汽车在增大功率瞬间牵引力大小为F2，有1.5P＝F2v0 代入数据可得F₂=7.5×10³N，故B错误； C、由牛顿第二定律可知F2-Ff＝ma2 代入数据可得a₂=0.125m/s²，故C正确； D、汽车最终匀速行驶时牵引力等于阻力，有1.5P＝Ffvm 代入数据可得vm＝30m/s，故D错误。 故选：C。 19．图为某型号新能源汽车在某次行驶测试时的加速度a和速度倒数的关系图像。若汽车的质量为2500 kg，汽车由静止开始沿平直公路行驶，假设汽车行驶过程中阻力恒定，最终以最大速度匀速行驶，由图像可知，下列说法正确的是（　　） A．汽车匀加速运动的时间为2.5s B．汽车的额定功率为6×10⁵W C．汽车所受阻力大小为2×10³N D．汽车的加速度大小为2m/s²时，速度大小为25m/s 【答案】B 【详解】 由图可知，汽车以a＝4m/s²的加速度匀加速启动，匀加速运动结束时的速度为v1＝20m/s，最终以vm＝30m/s做匀速运动。 A、汽车匀加速时，有v1＝at1，解得汽车匀加速运动的时间为t₁==s=5s，故A错误； BC、匀加速运动时，由牛顿第二定律可知F-f＝ma， 匀加速运动结束时，有P额＝Fv1， 汽车做匀速运动时，有P额＝fvm， 代入数据可得f＝2×10⁴N，P额=6×10⁵W，故B正确，C错误； D、当汽车加速度为a′＝2m/s²时，由牛顿第二定律可知F′-f＝ma′，解得此时牵引力为F′＝2.5×10⁴N， 则此时速度为v′==m/s=24m/s，故D错误。 故选：B。 20．汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到一定值后立即关闭发动机，汽车继续滑行直到停止。汽车v-t图像如图所示，设在汽车行驶的整个过程中，汽车的牵引力F和所受的阻力f都是恒定的，牵引力做功W1，克服阻力做功W2，则（　　） A．F：f＝5：1 B．F：f＝6：1 C．W1：W2＝1：6 D．W1：W2＝1：5 【答案】B 【详解】 AB．0～10s内，根据v-t图像的斜率表示加速度，可知加速度大小为a₁=m/s²=2m/s² 由牛顿第二定律可得F-f＝ma1 10～60s内，根据v-t图像的斜率表示加速度，可知加速度大小a₂=||m/s²=0.4m/s² 由牛顿第二定律可知f＝ma2 联立解得F：f＝6：1，故A错误，B正确； CD．由v-t图像与横轴围成的面积表示位移，可知0～10s内的位移为x₁=×10×20m=100m 10～60s内的位移为x₂=×(60-10)×20m=500m 牵引力做功为W1＝Fx1 克服阻力做功为W2＝f（x1+x2） 联立可得W1：W2＝1：1，故CD错误。 故选：B。 ★ 重难题型专练（15题）★ （精选高频重难题，覆盖正负功判断、恒力/合力/变力功与 F-x 图像、平均与瞬时功率、机车两种启动及高铁/新能源汽车前沿综合） 21．2024年7月20日，内蒙古赤峰市巴林左旗首届旅游那达慕胜利召开，其中射箭项目是那达慕大会的活动内容之一。“神射手”在草原上享有很高的荣誉，在“神射手”射箭的过程中，下列说法正确的是（　　） A．“神射手”拉弓时，人对弓和箭组成的系统做正功 B．“神射手”拉弓时，人对弓和箭组成的系统做负功 C．“神射手”松开拉紧的弓弦后，人对弓和箭组成的系统做正功 D．“神射手”松开拉紧的弓弦后，人对弓和箭组成的系统做负功 【答案】A 【详解】 AB．“神射手”拉弓时，人对弓的力有位移且方向与位移方向相同，根据做功的条件可知该力做功，但人对箭的作用力方向与箭的位移方向相同，所以人对弓和箭组成的系统做正功，故A正确，B错误； CD．“神射手”松开拉紧的弓弦后，根据做功的条件可知，人对弓和箭组成的系统不做功，故CD错误。 故选：A。 22．如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面体以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动过程中物体m与斜面体保持相对静止。则下列关于斜面体对物体的支持力和摩擦力的说法中正确的是（　　） A．物块所受重力对其做正功 B．物块所受支持力对其做正功 C．物块所受摩擦力对其做负功 D．物块所受合外力对其做功为零 【答案】B 【详解】 A．由于重力方向与物体运动方向始终垂直，故重力对物体不做功，故A错误； B．支持力方向垂直斜面向上，与运动方向夹角为锐角，小于90°，则支持力一定做正功，故B正确； C．若摩擦力恰好为零，物体只受重力和支持力，如图所示 由牛顿第二定律可得mgtanθ＝ma 解得此时加速度a＝gtanθ 所以当a＝gtanθ时，摩擦力不存在，不做功，当a＞gtanθ时，摩擦力沿斜面向下，与运动方向夹角小于90°，做正功，当a＜gtanθ时，摩擦力沿斜面向上，与运动方向夹角大于90°，做负功，故C错误； D．由于物体一直在加速运动，动能增加，所以物块所受合外力做正功，故D错误。 故选：B。 23．如图所示，餐桌上的水平转盘可绕其中心轴转动，现在转盘上放材料相同的水杯（装水量各不相同），水杯可看作质点，水杯与转盘间动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现使转盘转动，各水杯均与转盘保持相对静止，则下列说法正确的是（　　） A．每个水杯均受重力、支持力、静摩擦力、向心力四个力作用 B．若转盘转速保持不变，水杯受到的摩擦力也保持不变 C．若缓慢增大转盘转速，静摩擦力对水杯做正功 D．若缓慢增大转盘转速，到中心轴距离相同的空水杯比有水的水杯相对转盘先滑动 【答案】C 【详解】 A、根据题意分析可知，水杯实际受到重力、转盘的支持力和静摩擦力，向心力是水杯做圆周运动所需的指向圆心的合力，不是另一个独立的力，故A错误； B、根据题意分析可知，转速保持不变时，水杯做匀速圆周运动，静摩擦力大小mω²r，不变，但其方向始终指向圆心并随水杯位置改变，故B错误； C、根据题意分析可知，缓慢增大转速时，水杯除有向心加速度外还有切向加速度，静摩擦力有沿运动方向的切向分量，该分量对水杯做正功，故C正确； D、根据题意分析可知，水杯将要相对转盘滑动时有μmg＝mω²r 解得ω=，临界角速度与水杯质量无关，所以同半径处的空杯和有水的水杯同时达到临界状态，故D错误。 故选：C。 24．关于功和功率，下列说法正确的是（　　） A．-8J的功大于-10J的功 B．根据P=可知，功率与时间成反比 C．功率是描述力对物体做功多少的物理量 D．发动机的额定功率与实际功率可能相等，也可能不相等 【答案】D 【详解】 A、功是标量，正负仅表示做功的性质（动力做功或阻力做功），大小比较看绝对值，|-8J|＜|-10J|，即-8J的功小于-10J的功，故A错误； B、P=是功率的定义式，功率由做功的快慢本身决定，与W、t无关系，故B错误； C、功率是描述力对物体做功快慢的物理量，故C错误； D、实际功率是发动机实际工作时的输出功率，额定功率是发动机正常工作时允许的最大输出功率，实际功率可小于或等于额定功率，二者可能相等也可能不等，故D正确。 故选：D。 25．如图所示，一质量为m的物块在恒力F的作用下沿水平桌面向右做直线运动。恒力F与水平方向夹角为α（0＜α＜），滑动摩擦力大小为f，重力加速度为g。在物块向右移动s的过程中（　　） A．重力做的功为mgs B．支持力做的功为（mg-Fsinα）s C．滑动摩擦力做的功为fs D．恒力F做的功为Fscosα 【答案】D 【详解】 AB．重力的方向和支持力的方向都是与运动方向垂直的，所以重力和支持力做功都为0，故AB错误； C．滑动摩擦力方向与物体的运动方向相反，则滑动摩擦力做的功为Wf＝-fs，故C错误； D．恒力F做的功为WF＝Fscosα，故D正确。 故选：D。 26．如图所示，物块放置在倾角为θ的固定斜面上，水平向左、大小为F的恒力作用在物块上，物块由静止开始沿斜面向上运动。在物块沿斜面向上运动了距离x的过程中，恒力对物块做的功为（　　） A．0 B．Fx C．Fxcosθ D．Fxsinθ 【答案】C 【详解】 已知恒力大小为F，力的方向与位移方向之间的夹角为θ，位移大小为x，可得W＝Fxcosθ。故C正确，ABD错误。 故选：C。 27．三个小球（均视为质点）静置于光滑水平桌面上，分别用两根长为L且不可伸长的轻质细绳连接，细绳恰好伸直，小球A、B的质量均为m，小球C的质量为2m；作用在C球上的水平恒定拉力F以垂直细绳方向沿水平桌面拉动小球，如图所示。在A、B两球开始运动到两球即将发生碰撞的过程中，两球的位移大小均为kL（k为大于1的常数），则在此过程中水平拉力F做的功为（　　） A．FL(+1) B．FL(-1) C．FL(+1) D．FL(-1) 【答案】C 【详解】 根据几何关系可知，在A、B两球开始运动到两球即将发生碰撞的过程中小球C的位移大小为x=+L=L(+1) 所以水平拉力做的功为WF=Fx=FL(+1)，故C正确，ABD错误。 故选：C。 28．如图所示为某游乐场的一部直道滑梯，滑梯的倾角为θ，质量为m的小朋友在长为L的滑梯顶端从静止开始沿滑梯下滑，经过时间t到达滑梯底端。若小朋友的运动可视为匀加速直线运动，重力加速度为g。小朋友滑到斜面底端时重力的功率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由匀变速直线运动规律可知L=t， 小朋友到达斜面底端时重力的功率P＝mgvsinθ， 代入数据可得P=，故B正确，ACD错误。 故选：B。 29．一质量为2kg的物体从离地20m高处由静止开始自由下落，不计空气阻力，取g＝10m/s²。物体落地前瞬间，重力的瞬时功率为（　　） A．100W B．200W C．400W D．500W 【答案】C 【详解】 不计空气阻力，物体做自由落体运动，落地前瞬间的速度v==m/s＝20m/s 落地前瞬间重力的瞬时功率为P＝Fv＝2×10×20W＝400W，故ABD错误，C正确。 故选：C。 30．如图所示，一轻绳绕过光滑的小定滑轮O与拖车相连，另一端与河中的小船连接，定滑轮与拖车之间的绳保持水平，某一时刻，轻绳与水平面的夹角为θ，船的速度大小为v，车对绳的拉力大小为F，则以下说法正确的是（　　） A．车拉绳的速度为vcosθ B．车拉绳的速度为vsinθ C．车拉绳的速度为v D．车对绳的拉力功率为Fv 【答案】A 【详解】 ABC．小船的实际运动为合运动，沿着绳子方向和垂直绳子方向的是分运动，如图： 根据平行四边形定则，有：v车＝vcosθ，故A正确，BC错误； D．拉力的功率等于拉力乘以沿拉力方向（即沿绳方向）的速度，因此拉力功率P＝Fv车＝Fvcosθ≠Fv，故D错误。 故选：A。 31．一质量为m的汽车在平直公路上由静止启动，0～t0时间内的位移与时间平方的关系图像如图所示。已知0～t0时间内牵引力是阻力的2倍，则在0～t0时间内，下列说法中正确的是（　　） A．汽车以恒定的功率启动 B．汽车的加速度为 C．汽车受到的阻力大小为 D．t0时刻，牵引力的功率为 【答案】D 【详解】 AB、0～t0时间内牵引力是阻力的2倍，汽车做匀加速直线运动，由图可知x=t²，则加速度a=，故AB错误； CD、设阻力大小为f，则牵引力大小为2f，由牛顿第二定律可知2f-f＝ma，代入数据可得f=， t0时刻，汽车速度v＝at0，引力的功率为P＝2fv，代入数据可得P=，故C错误，D正确。 故选：D。 32．空中轨道列车（简称空轨）是一种悬挂式单轨交通系统，具有建设成本低、工程建设快、占地面积小、环保低噪节能、适应复杂地形等优点。如图所示，假定空轨的质量为M，在平直轨道从静止开始匀加速直线行驶，经过时间t0前进距离L0，发动机输出功率恰好达到额定功率P，空轨所受阻力恒定，则（　　） A．空轨能达到的最大速度为 B．空轨运行过程所受阻力为- C．匀加速行驶过程空轨的发动机所做的功为Pt0 D．空轨以的功率匀速运动的速度为 【答案】B 【详解】 B、根据题意分析可知，匀加速行驶过程中F-f＝Ma，L₀=at₀² 速度v0＝at0 功率P＝Fv0 解得f=-，故B正确； C、根据题意分析可知，匀加速行驶过程中，牵引力恒定，匀加速过程发动机最大功率为P，故匀加速行驶过程中，空轨发动机所做的功小于Pt0，故C错误； A、根据题意分析可知，空轨能达到的最大速度为vm==，故A错误； D、根据题意分析可知，空轨以的功率匀速运动时，牵引力F′＝f 最大速度v′== 联立可得v′==，故D错误。 故选：B。 33．当前我国新能源汽车事业发展迅猛，某国产新能源汽车的质量为m，在水平路面上由静止开始启动，其v-t图像如图所示，已知0∼t1时间内为过原点的直线，t1时达到额定功率，此后保持功率不变，在t2时刻达到最大速度后做匀速运动。汽车运动中阻力f大小恒定，下列说法正确的是（　　） A．t1至t2时间内，汽车的加速度和速度都增大 B．汽车的额定功率为fv1 C．汽车牵引力的最大值为 D．汽车的最大速度为v₁+ 【答案】D 【详解】 A、t1至t2时间内，汽车保持额定功率不变，根据P＝Fv，可知速度v增大时，牵引力F减小，根据牛顿第二定律得F-f＝ma，可知汽车的加速度逐渐减小，故A错误； BC、0∼t1内汽车做匀加速直线运动，加速度为a= 根据牛顿第二定律得F-f＝ma 可得牵引力的最大值为F=f+ t1时达到额定功率，则汽车的额定功率P=Fv₁=(f+)v₁＞fv₁，故BC错误； D、汽车达到最大速度时，牵引力与阻力大小相等，则有P＝Fvm＝fvm，联立解得最大速度为vm==v₁+，故D正确。 故选：D。 34．在国际机车赛事夺冠、屡获行业奖项的张雪机车，凭借低能耗、低污染的优势备受关注。某次机车测试中，车手驾车从静止开始以额定功率行驶，阻力恒定，最终匀速前进。下列关于机车的速度v、加速度a、牵引力F、发动机功率P随时间t的变化规律，说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 A、机车以额定功率P启动，根据功率公式P＝Fv可知，牵引力F=，机车做加速运动，v增大牵引力F减小，对机车，根据牛顿第二定律得F-f＝ma，解得加速度a==，随着v增大，F减小，加速度a减小，机车做加速度减小的加速运动，当F＝f时，a＝0，速度达到最大，此后做匀速直线运动，v-t图像的斜率表示加速度。由于机车做加速度减小的加速运动，图像斜率应逐渐减小，而图中0～t1段斜率不变（匀加速），故A错误； B、机车最终匀速前进，加速度a应减小至0，图中t1后加速度不为0且恒定，故B错误； C、根据功率公式P＝Fv可知，牵引力F=可知，随着v增大，F减小；当匀速时F＝f保持不变，图中F先减小后恒定，符合规律，故C正确； D、题目已知机车以额定功率行驶，功率P应保持不变，图中P随时间增加，故D错误。 故选：C。 35．如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面abcd，其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是（　　） A．汽车的输出功率始终保持不变 B．汽车在ab段的输出功率比bc段的大 C．在cd段汽车的输出功率逐渐减小 D．汽车在cd段的输出功率比bc段的大 【答案】B 【详解】 AB、根据题意分析可知，保持汽车的速率不变，不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。 在ab段，根据平衡条件可知，汽车牵引力F1＝mgsinθ+f 在ab段汽车的输出功率为P1＝F1v 在bc段汽车牵引力F2＝f 在bc段的输出功率为P2＝F2v 根据F1＞F2，可得P1＞P2，故A错误，B正确； CD、根据题意分析可知，在cd段汽车牵引力F3＝-mgsinθ+f 在cd段的输出功率为P3＝F3v 根据F3＜F2，可得在cd段汽车的输出功率不变，且小于bc段，故CD错误。 故选：B。 重难突破系列　|　人教版高中物理必修二　|　8.1 功 功率 — — 学科网（北京）股份有限公司 $专题讲义 人教版高中物理必修第二册 人教版·高中物理必修第二册 8.1　功 功率【单元复习】 （原卷版） 人教版高中物理必修第二册　|　第八章《机械能守恒定律》　|　单元复习提优　|　建议用时 45 分钟　|　难度：★★★☆☆ ▎学习目标 1．理解功的概念：做功的两个必要因素是作用在物体上的力和物体在力的方向上发生的位移；功是标量，恒力做功 W＝Flcosα（α 为力 F 与位移 l 的夹角），单位为焦耳（J＝N·m）。会根据 α 判断正功（动力）、负功（阻力，即“克服某力做功”）和不做功（α＝90°）。 2．掌握合力功与变力功：合力对物体做的总功等于各力做功的代数和 W合＝W₁＋W₂＋…＝F合·l·cosα；会用 F-x 图像中图线与 x 轴围成的面积求变力的功，初步体会微元法（把整段位移分成许多小段，每段近似恒力做功再求和）。 3．理解功率：平均功率 P＝W/t，描述做功的平均快慢；瞬时功率 P＝Fvcosα（当 F 与 v 同方向时 P＝Fv）；知道额定功率是发动机长时间正常工作的最大功率、实际功率可小于额定功率，并能进行相关计算。 4．掌握机车启动问题：恒定功率启动时 P 不变，v 增大则牵引力 F＝P/v 减小、加速度减小，当 F＝f 时速度达到最大值 vmax＝P/f；恒定加速度启动先匀加速（F 恒定、P＝Fv 逐渐增大至额定功率），再转入恒定功率阶段。了解复兴号高铁、新能源汽车等牵引功率的工程前沿。 【思维导图】 功 与 功率 功与正负功 两要素＝力＋力方向位移 W＝Flcosα　单位 J＝N·m 锐角正功·直角不做功·钝角负功 功 与 功率 合力与变力功 合力功＝各力功代数和 F-x 图面积＝变力功 微元法思想 功 与 功率 功率公式 平均功率 P＝W/t 瞬时功率 P＝Fvcosα 额定功率与实际功率 功 与 功率 机车启动与前沿 恒定功率启动 vmax＝P/f 匀加速启动先匀后恒功率 高铁·新能源汽车牵引功率 考点一　功的理解、恒力做功、正负功、合力功与变力功 1．功的概念与两要素：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。做功的两个必要因素是：作用在物体上的力，以及物体在力的方向上的位移，二者缺一不可。功是标量，只有大小、没有方向。 2．恒力做功的公式：设恒力 F 作用在物体上，物体沿力的方向发生位移 l，当力 F 与位移 l 的夹角为 α 时（如图1），这个力对物体所做的功为 W＝Flcosα。功的国际单位是焦耳，简称焦，符号 J，1 J＝1 N·m。 图1　恒力做功 W＝Flcosα：F 与位移 l 夹角为 α，只有 Fcosα 这一分力才对物体做功 3．正功、负功与不做功：由 W＝Flcosα 可知：当 0≤α＜90° 时 cosα＞0，力做正功，该力是动力；当 α＝90° 时 cosα＝0，力不做功（如匀速圆周运动的向心力、沿水平位移时的重力）；当 90°＜α≤180° 时 cosα＜0，力做负功，该力是阻力，常说成“物体克服某力做功”。功的正负既不表示方向，也不表示大小，只表示是动力做功还是阻力做功；比较功的大小时看绝对值。 4．合力的功：功是标量，当物体同时受到几个力作用时，合力对物体做的总功等于各个力分别对物体所做功的代数和，即 W合＝W₁＋W₂＋…；也可先求合力再用 W合＝F合·l·cosα 计算。例如两个互相垂直的力 F₁、F₂ 对物体分别做功 3 J、4 J（如图2），合力做功就是 7 J，而不是 5 J。 图2　两个互相垂直的力 F₁、F₂ 做功：功是标量，总功等于各力功的代数和，不能用勾股定理求功 5．变力的功：当力的大小（或方向）随位移变化时，不能直接用 W＝Flcosα。常用方法是 F-x 图像法：在 F-x 图像中，图线与 x 轴所围成的面积就表示力在这段位移上所做的功（如图3，梯形面积即变力 F 做的功）。其本质是微元法——把整段位移分成许多很小的小段，每一小段内力可近似看作恒力，求出各小段功再累加。 图3　变力做功：F 随位移 x 线性变化时（甲），F-x 图线与 x 轴围成的梯形面积就等于力做的功（乙） ▎重难诠释 ①判断力做正功还是负功，只看力与位移（速度）方向的夹角：锐角正功、直角不做功、钝角负功，与力本身是“动力”还是“阻力”一致； ②功的正负不表示大小：-10 J 的功比-8 J 的功“大”（绝对值更大），但二者都表示阻力做功； ③合力功既可“先求各力功再代数相加”，也可“先求合力再求功”，结果相同；切勿把功当矢量用平行四边形合成； ④F-x 图像面积是求变力功的核心工具：恒力对应矩形面积，线性变力对应梯形（或三角形）面积。 考点二　功率、额定功率与机车启动问题 1．功率的定义：功率是描述力对物体做功快慢的物理量。功 W 与完成这些功所用时间 t 的比值叫做平均功率，P＝W/t；在某一时刻附近取极短时间，对应的功率就是瞬时功率。功率的国际单位是瓦特，简称瓦，符号 W，1 W＝1 J/s，常用单位还有 kW（1 kW＝10³ W）。 2．瞬时功率与 P＝Fv：由 P＝W/t 和 W＝Flcosα 可得瞬时功率 P＝Fvcosα，其中 v 为瞬时速度、α 为力 F 与速度 v 方向的夹角。当 F 与 v 方向在同一直线上时 α＝0，P＝Fv。计算时要注意：P＝W/t 求得的是平均功率，P＝Fv 中 v 取平均速度得平均功率、取瞬时速度得瞬时功率。 3．额定功率与实际功率：发动机正常工作时长时间允许输出的最大功率叫做额定功率，它是发动机的铭牌指标；发动机实际运行时输出的功率叫做实际功率，实际功率可以小于（偶尔也可短时间略大于）额定功率。汽车上坡、加速时往往需要较大牵引力，由 P＝Fv 可知在功率一定时 F 与 v 此消彼长。 4．机车的两种启动方式：（1）恒定功率启动：发动机以额定功率 P 行驶，由 P＝Fv 知 v 增大时牵引力 F＝P/v 减小，由 a＝(F－f)/m 知加速度减小，机车做加速度逐渐减小的加速运动；当 F＝f 时 a＝0，速度达到最大值 vmax＝P/f，此后匀速。其 v-t 图线是一条先弯曲上升、最后趋于水平的曲线（如图4）。 图4　机车启动的 v-t 图像：先匀加速（斜直线），后以恒定功率做加速度减小的加速（曲线变平），最后匀速（水平段） （2）恒定加速度启动：开始阶段牵引力 F 恒定（由 F－f＝ma，a 不变），机车做匀加速直线运动，速度 v 增大、P＝Fv 随之增大；当功率增大到额定功率后，机车转入恒定功率阶段，此后 v 继续增大、F 减小、a 减小，直到 F＝f 时达到最大速度 vmax＝P/f。两种启动方式的最大速度都由 vmax＝P/f 决定。 5．前沿实例：牵引功率与电动化：我国复兴号动车组单列牵引功率可达一万多千瓦（数十兆瓦），在阻力 f 近似恒定时以额定功率行驶，最高运营速度 vmax＝P/f，正是“功率一定时速度与阻力此消彼长”的工程体现（如图5）；行驶在高原河谷大桥上的复兴号内电双源动车组，同样靠大功率牵引电机在复杂线路上保持足够牵引力（如图6）。新能源汽车用驱动电机替代发动机，电机可在很宽转速范围内输出大扭矩，起重机、盾构机、四足机器人等装备也都以 P＝Fv 为选型依据（如图7）。 图5　前沿实例：复兴号 CR400AF 型电力动车组，列车牵引电机总功率上万千瓦（数十 MW）。启动时牵引力大，速度增大后牵引力随 P＝Fv 减小，阻力与牵引力平衡时达到最高运行速度 vmax＝P/f，正是机车功率规律的工程体现 图6　前沿实例：行驶在拉林铁路雅鲁藏布江大桥上的复兴号高原内电双源动车组。大功率牵引电机在长距离、大坡度的复杂线路上仍需保证足够牵引力，启动与爬坡时 P＝Fv 关系尤为突出 图7　电动机功率实例：四足仿生机器人靠多条电动执行器（电机＋减速器）驱动每条腿。每条腿的瞬时发力与瞬时速度满足 P＝Fv，电机的峰值功率决定了它奔跑、跳跃时的负载能力 ▎重难诠释 ①P＝W/t 是功率的定义式，适用于任何情况求平均功率；P＝Fvcosα 是推导式，v 为平均速度时得平均功率、v 为瞬时速度时得瞬时功率； ②机车启动问题抓两条线：恒定功率启动时 P 不变、v↑→F＝P/v↓→a↓；恒定加速度启动时 a 不变、F 不变、P＝Fv↑直至额定功率； ③无论哪种启动，最大速度都满足 vmax＝P/f（牵引力等于阻力时），与启动方式无关； ④计算“重力的功率”时要留心角：重力竖直向下，PG＝mgvy＝mgvsinθ（θ 为速度方向与水平方向的夹角），不能直接用 mgv。 考向一　功的理解与正功、负功判断（两要素·W＝Flcosα·锐角正功/直角不做功/钝角负功） 1．关于做功，下列叙述正确的是（　　） A．人肩上扛重物，沿斜坡上行，重力对重物做负功 B．物体在水平面做匀速圆周运动时，向心力对物体可能做功 C．物体在竖直面做圆周运动时，任何一段时间内重力对物体均不做功 D．在行星自近日点移至远日点的过程中，太阳引力对行星不做功 2．如图所示，物体沿着固定粗糙斜面向下匀速滑动一段距离，此过程中，下列说法正确的是（　　） A．重力对物体做负功 B．支持力对物体做正功 C．摩擦力对物体做正功 D．合力对物体不做功 3．如图为某超市两种扶梯，甲是倾斜板面式扶梯，乙是水平台阶式扶梯。两扶梯倾角相同，质量相同的两名乘客分别站在两扶梯上，两扶梯以相同速率匀速斜向上运动。下列判断正确的是（　　） A．甲扶梯对人的支持力做正功 B．乙扶梯对人的支持力做负功 C．甲扶梯对人的静摩擦力做正功 D．相等时间内两乘客重力势能增加量不相等 4．下列关于功和功率的说法正确的是（　　） A．-12J的功比10J的功小 B．提着水桶沿水平方向匀速运动，消耗了体力，所以人对水桶做了功 C．作用力做正功，反作用力一定做负功 D．功率是描述做功快慢的物理量 5．工人利用斜面可以既省力又方便地将货物装上汽车，如图所示。若将同一货物由地面搬上汽车，则下列说法正确的是（　　） A．货物沿斜面上移过程，重力做正功 B．货物沿斜面上移过程，摩擦力对货物做正功 C．斜面倾角越小，货物沿斜面上移过程克服重力做功越少 D．无论斜面倾角如何，货物沿斜面上移过程克服重力做功相同 考向二　恒力·合力·变力功计算（W＝Flcosα·合力功代数和·F-x 图像面积） 6．如图所示，倾角θ＝37°的光滑固定斜面上，质量m＝1kg的物块，受沿斜面向上，大小为10N的恒力F，从静止开始沿斜面上滑4m，重力加速度g取10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则在此过程中，力对物块的做功情况，下列说法正确的是（　　） A．重力做功24J B．拉力做功32J C．支持力做功32J D．合力做功16J 7．如图所示，两个互相垂直的力F1与F2作用在同一物体上，使物体通过一段位移的过程中，力F1对物体做功3J，力F2对物体做功4J，则力F1与F2的合力对物体做功为（　　） A．7J B．5J C．1J D．12J 8．如图为一物体在水平力F作用下沿水平面运动位移15m的F-x图像，则该水平力在这段位移内对物体所做的功的大小为（　　） A．800J B．1600J C．1800J D．无法计算 9．如图甲所示，质量为5kg的物体在斜向下、与水平方向成37°角的力F作用下，沿光滑水平面开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，x＝6m时撤去力F，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则从开始到撤去力F过程力F所做的功为（　　） A．80 J B．96 J C．120 J D．150 J 10．如图，一劲度系数k＝100N/m的轻弹簧竖直放置，将一质量为2kg的物块置于弹簧上端，系统处于静止状态，这时给物块施加一个竖直向上的拉力F，使物块以0.1m/s²的加速度向上做匀加速直线运动，重力加速度取g＝10m/s²。在物块向上运动10cm的过程中，拉力F所做的功为（　　） A．0.52J B．1.52J C．2J D．2.02J 考向三　平均功率与瞬时功率（P＝W/t·P＝Fvcosα·重力功率留心角） 11．一质量m＝1kg的小球从静止开始自由下落，取g＝10m/s²，并认为小球下落高度足够大。下列说法正确的是（　　） A．5s末重力的瞬时功率为50W B．0～5s内重力的平均功率为250W C．0～5s内重力的平均功率和5～10s内重力的平均功率相等 D．第5s末重力的瞬时功率小于第6s初重力的瞬时功率 12．有一质量为1kg的小物块，从光滑固定斜面顶端由静止释放下滑至底端。斜面长度为10m、倾角为30°，重力加速度g取10m/s²。则小物块（　　） A．下滑过程中，斜面对小物块的支持力做功为50J B．下滑过程中，小物块的重力做功为100J C．下滑过程中，重力的平均功率为25W D．滑至斜面底端时，重力的瞬时功率为50W 13．跳台滑雪是冬奥会比赛项目之一，如图所示为雪道的部分示意图。假设一位比赛运动员的质量为60kg（包含所有装备的总质量）从助滑道上滑下后，从起跳平台A点以20m/s的速度沿水平方向飞出，在斜坡B点处着陆。已知斜坡可视为倾角30°的斜面，g取10m/s²，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员从A点飞出到落到B点所用的时间为4s B．运动员从A点到B点的过程中重力做的功为4000 J C．运动员从A点到B点的过程中重力的平均功率12000W D．运动员落到B点时重力的瞬时功率为8000 W 14．茂名是广东重要的水果产区，果农用水平推力推着装满三华李的手推车在水平道路上匀速前进，手推车和三华李总质量为100kg，受到的摩擦力为重力的0.2倍，推车速度恒为1m/s，g＝10m/s²。下列说法正确的是（　　） A．重力对手推车做正功 B．推力的瞬时功率为2000W C．10s内推力做功为2000J D．若要推动手推车前进，则果农对车的力必须大于车对果农的力 15．一辆质量为m的汽车以速度v0匀速行驶在平直路面上，发动机驱动功率为P0。汽车防撞系统发现前方有障碍物，系统立即撤去驱动力，施加制动力使汽车减速，制动力功率为2P0，不计传动过程中能量损失，当汽车速度为时汽车的加速度为（　　） A． B． C． D． 考向四　机车启动与综合（恒定功率/匀加速启动·vmax＝P/f·额定与实际功率） 16．如图所示为修建高层建筑时常用的塔式起重机。起重机将质量m＝5000kg的重物沿竖直方向吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，速度达到v＝1m/s时，起重机输出功率达到其允许的最大值，此后保持该功率直到重物以速度vmax＝1.02m/s做匀速直线运动。重力加速度g取10m/s²，不计一切摩擦阻力。则该起重机允许的最大输出功率是（　　） A．5.0×10⁴W B．5.1×10⁴W C．5.0×10³W D．5.1×10³W 17．电动方程式（FormulaE）是国际汽联电动方程式赛车世界锦标赛。某赛车在水平赛道上由静止开始启动，前2s内做匀加速直线运动，第2s末电动机达到额定功率，此后以额定功率继续行驶，其v-t图像如图所示。已知赛车的质量m＝1×10³kg，赛车行驶过程中受到的阻力恒为车重的0.2倍，重力加速度g＝10m/s²，下列说法正确的是（　　） A．该赛车的额定功率为320kW B．该赛车在匀加速阶段的平均功率为80kW C．该赛车的最大速度为60m/s D．当速度v＝40m/s时，其加速度为4m/s² 18．在平直公路上，一质量m＝2×10⁴kg的汽车以速度v0＝72km/h匀速行驶，此时发动机的功率P＝100kW，在某时刻驾驶员加大油门，发动机的功率立即增大为1.5P，并保持该功率继续行驶。假设汽车行驶过程中所受的阻力大小始终不变，重力加速度g取10m/s²，下列说法正确的是（　　） A．汽车行驶过程中所受的阻力大小为5×10⁴N B．汽车在增大功率瞬间牵引力大小为1×10⁴N C．功率增为1.5P瞬间汽车的加速度为0.125m/s² D．汽车最终匀速行驶的速度大小为25m/s 19．图为某型号新能源汽车在某次行驶测试时的加速度a和速度倒数的关系图像。若汽车的质量为2500 kg，汽车由静止开始沿平直公路行驶，假设汽车行驶过程中阻力恒定，最终以最大速度匀速行驶，由图像可知，下列说法正确的是（　　） A．汽车匀加速运动的时间为2.5s B．汽车的额定功率为6×10⁵W C．汽车所受阻力大小为2×10³N D．汽车的加速度大小为2m/s²时，速度大小为25m/s 20．汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到一定值后立即关闭发动机，汽车继续滑行直到停止。汽车v-t图像如图所示，设在汽车行驶的整个过程中，汽车的牵引力F和所受的阻力f都是恒定的，牵引力做功W1，克服阻力做功W2，则（　　） A．F：f＝5：1 B．F：f＝6：1 C．W1：W2＝1：6 D．W1：W2＝1：5 ★ 重难题型专练（15题）★ （精选高频重难题，覆盖正负功判断、恒力/合力/变力功与 F-x 图像、平均与瞬时功率、机车两种启动及高铁/新能源汽车前沿综合） 21．2024年7月20日，内蒙古赤峰市巴林左旗首届旅游那达慕胜利召开，其中射箭项目是那达慕大会的活动内容之一。“神射手”在草原上享有很高的荣誉，在“神射手”射箭的过程中，下列说法正确的是（　　） A．“神射手”拉弓时，人对弓和箭组成的系统做正功 B．“神射手”拉弓时，人对弓和箭组成的系统做负功 C．“神射手”松开拉紧的弓弦后，人对弓和箭组成的系统做正功 D．“神射手”松开拉紧的弓弦后，人对弓和箭组成的系统做负功 22．如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面体以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动过程中物体m与斜面体保持相对静止。则下列关于斜面体对物体的支持力和摩擦力的说法中正确的是（　　） A．物块所受重力对其做正功 B．物块所受支持力对其做正功 C．物块所受摩擦力对其做负功 D．物块所受合外力对其做功为零 23．如图所示，餐桌上的水平转盘可绕其中心轴转动，现在转盘上放材料相同的水杯（装水量各不相同），水杯可看作质点，水杯与转盘间动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现使转盘转动，各水杯均与转盘保持相对静止，则下列说法正确的是（　　） A．每个水杯均受重力、支持力、静摩擦力、向心力四个力作用 B．若转盘转速保持不变，水杯受到的摩擦力也保持不变 C．若缓慢增大转盘转速，静摩擦力对水杯做正功 D．若缓慢增大转盘转速，到中心轴距离相同的空水杯比有水的水杯相对转盘先滑动 24．关于功和功率，下列说法正确的是（　　） A．-8J的功大于-10J的功 B．根据P=可知，功率与时间成反比 C．功率是描述力对物体做功多少的物理量 D．发动机的额定功率与实际功率可能相等，也可能不相等 25．如图所示，一质量为m的物块在恒力F的作用下沿水平桌面向右做直线运动。恒力F与水平方向夹角为α（0＜α＜），滑动摩擦力大小为f，重力加速度为g。在物块向右移动s的过程中（　　） A．重力做的功为mgs B．支持力做的功为（mg-Fsinα）s C．滑动摩擦力做的功为fs D．恒力F做的功为Fscosα 26．如图所示，物块放置在倾角为θ的固定斜面上，水平向左、大小为F的恒力作用在物块上，物块由静止开始沿斜面向上运动。在物块沿斜面向上运动了距离x的过程中，恒力对物块做的功为（　　） A．0 B．Fx C．Fxcosθ D．Fxsinθ 27．三个小球（均视为质点）静置于光滑水平桌面上，分别用两根长为L且不可伸长的轻质细绳连接，细绳恰好伸直，小球A、B的质量均为m，小球C的质量为2m；作用在C球上的水平恒定拉力F以垂直细绳方向沿水平桌面拉动小球，如图所示。在A、B两球开始运动到两球即将发生碰撞的过程中，两球的位移大小均为kL（k为大于1的常数），则在此过程中水平拉力F做的功为（　　） A．FL(+1) B．FL(-1) C．FL(+1) D．FL(-1) 28．如图所示为某游乐场的一部直道滑梯，滑梯的倾角为θ，质量为m的小朋友在长为L的滑梯顶端从静止开始沿滑梯下滑，经过时间t到达滑梯底端。若小朋友的运动可视为匀加速直线运动，重力加速度为g。小朋友滑到斜面底端时重力的功率为（　　） A． B． C． D． 29．一质量为2kg的物体从离地20m高处由静止开始自由下落，不计空气阻力，取g＝10m/s²。物体落地前瞬间，重力的瞬时功率为（　　） A．100W B．200W C．400W D．500W 30．如图所示，一轻绳绕过光滑的小定滑轮O与拖车相连，另一端与河中的小船连接，定滑轮与拖车之间的绳保持水平，某一时刻，轻绳与水平面的夹角为θ，船的速度大小为v，车对绳的拉力大小为F，则以下说法正确的是（　　） A．车拉绳的速度为vcosθ B．车拉绳的速度为vsinθ C．车拉绳的速度为v D．车对绳的拉力功率为Fv 31．一质量为m的汽车在平直公路上由静止启动，0～t0时间内的位移与时间平方的关系图像如图所示。已知0～t0时间内牵引力是阻力的2倍，则在0～t0时间内，下列说法中正确的是（　　） A．汽车以恒定的功率启动 B．汽车的加速度为 C．汽车受到的阻力大小为 D．t0时刻，牵引力的功率为 32．空中轨道列车（简称空轨）是一种悬挂式单轨交通系统，具有建设成本低、工程建设快、占地面积小、环保低噪节能、适应复杂地形等优点。如图所示，假定空轨的质量为M，在平直轨道从静止开始匀加速直线行驶，经过时间t0前进距离L0，发动机输出功率恰好达到额定功率P，空轨所受阻力恒定，则（　　） A．空轨能达到的最大速度为 B．空轨运行过程所受阻力为- C．匀加速行驶过程空轨的发动机所做的功为Pt0 D．空轨以的功率匀速运动的速度为 33．当前我国新能源汽车事业发展迅猛，某国产新能源汽车的质量为m，在水平路面上由静止开始启动，其v-t图像如图所示，已知0∼t1时间内为过原点的直线，t1时达到额定功率，此后保持功率不变，在t2时刻达到最大速度后做匀速运动。汽车运动中阻力f大小恒定，下列说法正确的是（　　） A．t1至t2时间内，汽车的加速度和速度都增大 B．汽车的额定功率为fv1 C．汽车牵引力的最大值为 D．汽车的最大速度为v₁+ 34．在国际机车赛事夺冠、屡获行业奖项的张雪机车，凭借低能耗、低污染的优势备受关注。某次机车测试中，车手驾车从静止开始以额定功率行驶，阻力恒定，最终匀速前进。下列关于机车的速度v、加速度a、牵引力F、发动机功率P随时间t的变化规律，说法正确的是（　　） A． B． C． D． 35．如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面abcd，其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是（　　） A．汽车的输出功率始终保持不变 B．汽车在ab段的输出功率比bc段的大 C．在cd段汽车的输出功率逐渐减小 D．汽车在cd段的输出功率比bc段的大 重难突破系列　|　人教版高中物理必修二　|　8.1 功 功率 — — 学科网（北京）股份有限公司 $