第11讲 功能关系 能量守恒定律（模型与方法）物理人教版必修第二册

第11讲 功能关系 能量守恒定律 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.功能关系 模型02.板块模型 模型03.传送带模型 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.功能关系 模型构建：不同力的做功对应不同能量变化，滑动摩擦力乘以相对位移等于产生的内能，功是能量转化的量度 模型剖析： 1.功和能的关系 功是能量转化的量度，做功的过程是能量转化的过程，做了多少功就转化了多少能量。 功是过程量---一般说物体做了多少功。 能是状态量---一般说物体具有多少能量。 2.能量守恒定律 能量不会凭空产生也不会凭空消失，他只能从一种形式，转化为另一种形式。从一个物体转移到另一个物体。 表达式：E初=E末 3.几种常见的功能关系及其表达式 力做功 能的变化 定量关系 合力做功 动能 变化 （1）合力做正功，动能增加； （2）合力做负功，动能减少； （3）W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力做功 重力势 能变化 （1）重力做正功，重力势能减少； （2）重力做负功，重力势能增加； （3）WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹 力做功 弹性势 能变化 （1）弹力做正功，弹性势能减少； （2）弹力做负功，弹性势能增加； （3）WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 除重力和 系统内弹力之外的其他力做功　　　 机械能 变化 （1）其他力做正功，机械能增加； （2）其他力做负功，机械能减少； （3）W＝ΔE机 【例1】将一小球从地面上方某一高度处由静止释放，小球与地面发生碰撞后原速率反弹（碰撞过程极短），小球在空中运动过程中所受空气阻力大小与速率成正比。如图为其由释放到第一次反弹至最高点过程的图像，图中两阴影部分面积分别为S1、S2。下列说法正确的是（　　） A．t2=2t1 B．S1=S2 C．小球上升与下降至同一高度时速度大小相同 D．图像A、B两点处切线斜率一定不相同 【答案】D 【详解】A．下落阶段（0∼ ）：小球受重力向下，阻力向上。 根据牛顿第二定律，加速度（方向向下），随着速度增大，加速度逐渐减小。 上升阶段（ ∼）：小球受重力向下，阻力向下。 加速度大小（方向向下），随着速度减小，加速度大小也逐渐减小。在速率 相同时，上升时的加速度大小大于下落时的加速度大小，碰撞前后原速率反弹，即初速度大小（落地速度）相同。上升过程是从最大速度减速到 0，下落过程是从 0 加速到最大速度。 由于上升时“刹车”更急（加速度大），完成相同大小的速度变化量所需时间更短，即上升时间小于下落时间。 所以，即，故A错误； B．根据图像与横轴围成的面积表示位移大小，由于小球的机械能减小，所以小球上升的高度小于下降的高度，则S1大于S2，故B错误； C．空气阻力一直对小球做负功，机械能一直在减小。下降时的总机械能大于上升反弹时的总机械能。 同一高度重力势能相同，所以同一高度处下降时的动能大于上升时的动能，即下降速度大小大于上升速度大小，故C错误； D．A点： B点：，此图像A、B两点处切线斜率不可能相同，故D正确。 故选D。 【变式1-1】（多选）从地面竖直上抛一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为h。重力加速度大小为g，设上升和下降过程中空气阻力大小恒定为。下列说法正确的是（     ） A．小球上升的过程中动能减少了 B．小球上升和下降的整个过程中机械能减少了 C．小球上升的过程中重力势能增加了 D．小球上升和下降的整个过程中动能减少了 【答案】AC 【详解】AC．上升过程中，重力和空气阻力均向下，重力和空气阻力所做的功分别为， 由动能定理得 故动能减少量为，由重力势能变化与重力做功的关系得，故AC正确； BD．上升、下降的总路程为，空气阻力全程做功为 全过程初、末位置均在地面，重力势能变化为零；由功能关系和动能定理可知，机械能和动能的减少量均为，故BD错误。 故选AC。 【变式1-2】如图甲所示，一粗糙斜面固定在水平地面上。滑块以一定的初速度从斜面底端开始上滑。若斜面足够长，上滑过程中滑块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示，则（     ） A．滑块受到的摩擦力大小为 B．滑块上滑过程中，重力势能增加了 C．滑块的重力大小为 D．滑块不能够返回斜面底端 【答案】A 【详解】A．由功能关系，摩擦力做功等于滑块机械能的变化量，机械能满足 其中为摩擦力大小。由图线①可知，在处 代入上式得，故A正确； BCD．由图线②可知，在处；由图线①可知，此处 取斜面底端为重力势能零点。由机械能定义 可得重力势能的增加量为，由重力势能变化与重力做功的关系得 整理得 其中为斜面倾角。重力大小为 还与斜面倾角有关。最高点处，重力沿斜面向下的分力为 大于滑动摩擦力 滑块将沿斜面下滑。由动能定理，滑块从最高点下滑至斜面底端时 故可返回斜面底端，故BCD错误。 故选A。 模型02.板块模型 模型构建：滑块（视为质点）置于木板上，滑块和木板均相对地面运动，且滑块和木板在摩擦力的作用下或者还有外力作用下发生相对滑动。 模型剖析： （1）隔离法的应用：对滑块和木板分别进行受力分析和运动过程分析。 （2）对滑块和木板分别列动力学方程和运动学方程。 （3）明确滑块和木板间的位移关系 如图所示，滑块由木板一端运动到另一端的过程中，滑块和木板同向运动时，位移之差Δx＝x1－x2＝L（板长）；滑块和木板反向运动时，位移之和Δx＝x2＋x1＝L。 例、质量为M的木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了L，而木板前进了l，如图所示。若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少？这一对摩擦力做功的代数和为多大？ 滑块所受摩擦力Ff＝μmg，位移为(l＋L)，且摩擦力与位移方向相反，故摩擦力对滑块做的功为：W1＝－μmg(l＋L) 木板所受的摩擦力Ff′＝μmg，方向与其位移l方向相同，故摩擦力对木板做的功W2＝μmgl 这一对摩擦力做功的代数和W＝W1＋W2＝－μmgL 拓展：试根据上题中的模型推导摩擦热公式 解析：设木块质量为m1，木板质量为m2，水平桌面光滑，木块初速度v10大于木板初速度v20，经过时间t时,木块对地位移为x1，速度为v1；木板对地位移为x2，速度为v2；木块相对木板位移为Δx，则根据动能定理有： 对木块: 对木板: ①+②+＝)= 【例2】（多选）如图所示，一块足够大的方木板平放在光滑水平面上，一个质量为2 kg的小圆盘放在木板上。小圆盘与方木板之间的动摩擦因数为0.2。水平面内的外力、（图中未画出）分别作用在小圆盘和方木板上，小圆盘和方木板都做匀速运动，小圆盘速度，方木板速度，和相互垂直。重力加速度，下列说法正确的是（　　 ） A．的大小为 B．的功率为 C．的功率为 D．摩擦发热功率为 【答案】CD 【详解】AB．设小圆盘的质量为，动摩擦因数为，木板对圆盘的支持力为，滑动摩擦力大小为。圆盘在竖直方向平衡，有 根据滑动摩擦力公式，摩擦力大小为 设圆盘相对木板的速度大小为。在水平面的俯视图中，取方向为向右、方向为向下。圆盘相对木板的速度沿方向及反方向的分量大小分别为和，由速度合成得 这两个分量等大且垂直，故相对速度方向与成。圆盘所受摩擦力与相对速度反向；圆盘做匀速运动，水平合力为零，有 所以，其方向与相对速度相同，与成。下图左侧表示相对速度的合成，右侧表示两外力与各自速度的方向关系 设的功率为，根据力的瞬时功率公式，有 代入得，故AB错误； C．由牛顿第三定律，圆盘对木板的摩擦力与木板对圆盘的摩擦力等大反向。木板做匀速运动，水平合力为零，有 所以，方向与相反，与木板速度成。设的功率为，根据力的瞬时功率公式，有 代入得，故C正确； D．在时间内，圆盘与木板的相对滑动路程为 滑动摩擦产生的热量等于摩擦力大小与相对滑动路程的乘积，故 设摩擦发热功率为，由功率的定义及前述计算得，故D正确。 故选CD。 【变式2-1】（多选）如图所示，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上。质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动。物块和小车之间的摩擦力为f。物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为s。在这个过程中，以下结论正确的是（     ） A．物块到达小车最右端时具有的动能为F（l＋s） B．物块到达小车最右端时，小车具有的动能为fs C．物块和小车系统增加的内能为fl D．物块和小车系统增加的机械能为F（l＋s） 【答案】BC 【详解】A．物块相对于地面的位移为l＋s，对物块受力分析，根据动能定理可知，物块到达小车最右端时具有的动能Ek物＝(F－f)(l＋s)，故A错误； B．小车水平方向仅受摩擦力f，小车的位移为s，根据动能定理可知，物块到达小车的最右端时，小车具有的动能Ek车＝fs，故B正确； C．物块与小车之间的相对位移为l，因滑动摩擦力做功使系统增加的内能为Q＝fl，故C正确； D．外力F对系统做的功为WF＝F(l＋s) 根据功能关系和能量守恒定律可知，外力做的功等于系统增加的机械能与增加的内能之和，即F(l＋s)＝ΔE机械＋Q 因此系统增加的机械能为ΔE机械＝F(l＋s)－fl，故D错误。 故选BC。 【变式2-2】（多选）如图所示，质量为、长为的木板放在光滑的水平面上，可视为质点的质量为的物块P放在木板的最左端。时刻给物块水平向右的初速度，当物块P滑到木板的最右端时，木板的位移为。则下列说法正确的是（     ） A．P、所受的摩擦力之比为 B．摩擦力对P、所做的功的绝对值之比为 C．P减小的动能与P、间因摩擦而产生的热量之比为 D．增加的动能与系统损失的机械能之比为 【答案】BD 【详解】A．P、Q间的摩擦力是一对相互作用力，大小相等，方向相反，因此P、Q所受的摩擦力之比为1∶1，A错误； B．摩擦力对P所做的功 摩擦力对Q所做的功 可得摩擦力对P、Q所做的功的绝对值之比为，故B正确； CD．对P由动能定理可得，P减小的动能 对Q由动能定理可得，Q增加的动能 P、Q间因摩擦而产生的热量 P减小的动能与P、间因摩擦而产生的热量之比为 由能量守恒定律可得，系统损失的机械能等于P、间因摩擦而产生的热量，则增加的动能与系统损失的机械能之比为，故C错误，D正确。 故选BD。 模型03.传送带模型 模型构建：物体依靠滑动摩擦力加速，达到传送带速度后摩擦力可能突变；热量由物体与传送带的相对位移计算。 模型剖析： 1.传送带模型能量分析 1.传送带克服摩擦力做的功：W＝fx传（x传为传送带对地的位移） 2.系统产生的内能：Q＝fx相对（x相对为总的相对路程）． 2. 求解电动机由于传送物体而多消耗的电能一般有两种思路 ①运用能量守恒 以倾斜传送带为例，多消耗的电能为E电，则：E电＝ΔEk＋ΔEp＋Q. ②运用功能关系 传送带多消耗的电能等于传送带克服阻力做的功E电=fx传 (特别注意：如果物体在倾斜传送带上的运动分匀变速和匀速两个运动过程，这两个过程中传送带都要克服摩擦力做功，匀变速运动过程中两者间的摩擦力是滑动摩擦力，匀速运动过程中两者间的摩擦力是静摩擦力) 例：v₀与v同向(顺带走) (1)当 时，物体先匀加速再匀速，受力图和v-t图如图所示. 相对位移(划痕) 因摩擦产生的热量： 电机因放上物体而多做的功 (2)当 时，物体先匀减速再匀速，受力图和v-t图如图6-3、图6-4所示. 相对位移(划痕) 因摩擦产生的热量： 【例3】（多选）618购物狂欢节后，快递物流就迎来了高峰期，由于包裹数量庞大，传送带在分拣的时候就代替了大量的劳动力。如图甲所示，倾斜传送带与水平方向间的夹角为30°，在电动机的带动下顺时针匀速转动。现将一质量m=1 kg的货物无初速地放在传送带底端的A点，货物从A到B的运动过程中机械能E随高度h变化的图像如图乙所示，设A点所在平面为零势能面。可认为货物与传送带间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．传送带匀速转动的速度v=5 m/s B．货物与传送带间动摩擦因数 C．货物与传送带间的摩擦生热Q=36.5 J D．货物从A到B，留下的划痕长度为5 m 【答案】AD 【详解】A．由图可知时，货物与传送带共速，且 解得传送带速度，故A正确； B. 机械能的变化量对应的是除重力以外的其他力做功，即共速前 则第一段的斜率 解得，故B错误； C. 由牛顿第二定律 得第一段货物的加速度 货物和传送带达到共速的时间 传送带位移，货物沿斜面的位移 则摩擦生热 共速后货物与传送带一起匀速，无摩擦生热，故C错误； D.共速前货物与传送带的相对位移即为划痕长度，，故D正确。 故选AD。 【变式3-1】如图所示，甲、乙两传送带与水平面的夹角相同，都以恒定速率向上运动。现将一质量为的小物体（视为质点）轻轻放在处，小物体在甲传送带上到达处时恰好达到传送带的速率；在乙传送带上到达离处竖直高度为的处时达到传送带的速率，已知处离地面的高度均为。则在小物体从到的过程中（     ） A．两传送带消耗的电能相等 B．两传送带对小物体做功不相等 C．小物体与乙传送带间的动摩擦因数较小 D．图乙中因摩擦产生的热量为 【答案】D 【详解】C．对小物体的加速过程由牛顿第二定律可得 即加速度 甲传送带中，小物体由静止加速到的加速位移等于传送带总长度，即 乙传送带中，小物体到达C点时加速至，C对应的竖直高度为，乙加速位移 可见 由运动学公式 ，末速度相同，加速位移越小，加速度越大，故 结合加速度表达式可推出 即甲传送带和物体的动摩擦因数更小， 故C不符合题意； B．传送带对小物体的作用力为摩擦力与支持力的合力，支持力不做功，传送带对物体做功等于摩擦力做的总功。 根据动能定理，合外力做功等于物体动能变化，即 整理得传送带对小物体做功 两个过程中小物体的初动能都是0，末动能都是，上升高度均为，因此两传送带对小物体的做功相等，故B不符合题意； A．传送带消耗的电能等于传送带克服滑动摩擦力所做的功，即 是加速阶段传送带对地的位移。 设加速时间为，小物体加速阶段平均速度 物体对地位移，传送带对地位移 可得 甲的加速位移，甲消耗电能 乙的加速位移，乙消耗电能 滑动摩擦力。 联立运动学公式 与加速度 可得 为定值。 将电能表达式变形后可以看出，电能大小只由物体加速位移 决定，越大，传送带消耗电能越多。 由于，可推得，两传送带消耗电能不相等， 故A不符合题意； D．摩擦生热等于滑动摩擦力乘以物体与传送带的相对位移，即 其中相对位移 对乙传送带，取A到C的加速过程列动能定理，即 其中（C点离地面高度为），代入整理得 所以 故D符合题意。 故选D。 1. 【变式3-2】（多选）如图甲所示，向飞机上装货时，通常用到可移动式皮带输送机。如图乙所示，皮带输送机倾角为，顺时针匀速转动，每隔2s在输送带下端A点无初速度放入一件货物（货物足够多）。每件货物从下端A点运动到上端B点的过程中，其机械能E与位移s的关系图像（以A位置为零势能参考面）如图丙所示。已知货物均可视为质点，质量均为，重力加速度取。则（     ） A．输送带A、B两端点间的距离为4.9m B．货物与输送带间的动摩擦因数为 C．每件货物从下端A点运动到上端B点的时间为10s D．机舱接到第一件货物后，皮带输送机每分钟因运送货物而多消耗的能量为15300J 【答案】CD 【详解】A．由题中图像可知，物块沿传送带向上运动后与传送带相对静止，此后物块的动能不变，重力势能增加，则 解得 则输送带A、B两端点间的距离为，故A错误； B．由图像可知，开始运动到与传送带相对静止，则 解得，故B错误； C．加速阶段的加速度 传送带的速度 则加速的时间 匀速的时间 共用时间，故C正确； D．每一个货件从底端到顶端要消耗的能量 每分钟共有30个货件能到达顶端，则第一件货物后，皮带输送机每分钟因运送货物而多消耗的能量为，故D正确。 故选CD。 1. 如图所示，一质量为、长度为的均匀长木板放在倾角为的光滑斜面上，斜面下端内嵌一条倾角相同的足够长的传送带，其与木板间的动摩擦因数，传送带左侧与光滑斜面平滑连接，初始时传送带静止。长木板右端位于光滑斜面与传送带的临界点，左端系一轻质细线通过光滑定滑轮后连接一质量为的重物。某时刻长木板和重物均由静止释放，已知g=10m/s2。 (1)求释放瞬间长木板的加速度大小； (2)求长木板速度最大时长木板的位移； (3)若初始时传送带以恒定速率（足够大）逆时针转动，设长木板与传送带接触的长度为x，求长木板和重物的加速度a与x的关系； (4)若初始时传送带以恒定速率顺时针转动，求长木板由静止释放到全部进入传送带时，传送带对木板施加的摩擦力所做的功。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）设释放瞬间绳子的拉力为，对重物运用牛顿第二定律有 沿斜面方向对长木板运用牛顿第二定律有 联立以上两式可得释放瞬间长木板的加速度大小为。 （2）长木板速度最大时加速度为零，对整体合力为0得 则长木板接触传送带的质量为 长木板速度最大时长木板的位移为。 （3）当长木板与传送带接触的长度为时，长木板与传送带接触的质量为 将长木板和重物视为一个整体，对整体运用牛顿第二定律，可得长木板和重物的加速度大小为 联立以上两式并代入数值可得。 （4）设长木板与传送带速度相同（）时的位移为，此过程中对长木板和重物这个整体运用动能定理有 代入数值解得 此过程中摩擦力做的功为 长木板与传送带速度相同时，长木板加速度为0，对整体列牛顿第二定律得 解得静摩擦力为（负号表示方向沿斜面向上） 到长木板全部进入传送带过程中，静摩擦力做的功为 则传送带对长木板施加的摩擦力所做的功为。 【基础夯实】 2. 2025年5月29日，箭元科技的元行者一号验证型火箭在东万机大港进行自由回收试验，试验中火箭顺利完成点火起飞、自由下降滑行，减速至海面悬停、海面软着陆等8个工作阶段。如图为火箭通过尾部竖直向下喷气在海上降平台减速降落的情景。假设降落过程中喷气产生的推力大小为F，受空气的浮力和阻力大小之和为Ff，火箭底端接触平台时的速度恰好为零。降落过程中各力均可视为恒定，火箭质量为m，喷出的气体质量相对于火箭可忽略，当火箭底端离平台高h时速度为v，重力加速度为g。则下列对火箭下落h过程中描述正确的是（　　） A．火箭处于失重状态 B．火箭的重力势能减少了mgh C．火箭的机械能减少了Ffh D．降落过程中喷气推力为 【答案】B 【详解】A．因火箭减速降落，加速度向上，故处于超重状态，故A错误； B． 火箭下降的过程中，重力做正功，为 所以重力势能减少了mgh，故B正确； C．除重力以外的其它力做功等于机械能的减小量，则火箭的机械能减少了，故C错误； D．降落过程中的加速度 根据牛顿第二定律有 解得，故D错误； 故选B。 3. （多选）如图为某技术小组设计的电梯轿厢保护装置。某次测试中模拟轿厢坠落，当轿厢速度为v时，触发其底部两个安全钳工作，轿厢开始减速，每个安全钳受到轨道的滑动摩擦力大小恒为f。一段时间后，轿厢接触缓冲弹簧，到达最低点时缓冲弹簧的压缩量为x，轿厢停止运动。已知轿厢（含安全钳）的质量为m，重力加速度大小为g，缓冲弹簧始终在弹性限度以内且重力不计，空气阻力可忽略，从触发安全钳工作开始（　　） A．轿厢接触弹簧后，速度先增大后减小 B．到最低点过程轿厢的平均速度大于 C．轿厢接触弹簧前，加速度大小为 D．轿厢到达最低点时，弹簧弹性势能为 【答案】BC 【详解】A．由题中描述可知，触发安全钳之后，在两侧摩擦力的作用下轿厢已经开始减速，也即（该阶段合力恒定，加速度恒定），接触弹簧后，向上的力合力更大，减速的加速度变大，全程都是减速运动，故A错误； B．由A选项分析可知，轿厢图如下实线 若全程匀减速（图中虚线），则平均速度是，显然实际上运动的位移更大，故平均速度大于，故B正确； C．接触弹簧前，轿厢竖直方向上受重力和两侧的滑动摩擦，由牛顿第二定律可得，故C正确； D．设接触弹簧前还需下落h，下落过程中能量守恒，减少的重力势能和动能，转化成了弹簧的弹性势能和摩擦热，则有 解得弹性势能，故D错误。 故选BC。 4. （多选）对于功和能，下列说法正确的是（　　） A．功和能的单位相同，它们的概念也相同 B．做功的过程就是物体能量转化的过程 C．做了多少功，就有多少能量发生了转化 D．各种不同形式的能可以互相转化，且在转化的过程中，能的总量是守恒的 【答案】BCD 【详解】A．功和能的单位相同，但它们的概念不同，功是能量转化的量度，属于过程量；能量是物体具有做功本领的量度，属于状态量，故A错误； B．做功的过程就是物体能量转化的过程，故B正确； C．做了多少功，就有多少能量发生了转化，故C正确； D．各种不同形式的能可以互相转化，且在转化的过程中，能的总量是守恒的，故D正确。 故选BCD。 5. 如图所示，把不可伸长的轻绳两端固定在水平天花板上的a、b两点，绳长为L；一个质量为m的物体A通过穿在绳上的轻质光滑小环挂在轻绳中间（小环大小忽略不计），静止时小环两侧轻绳的张角为。现给小环施加一水平向右的力F，让小环缓慢沿绳移动，最终使小环重新稳定在b点的正下方。已知重力加速度为g，则（　　） A．重新稳定时轻绳中张力大小为 B．重新稳定时水平力大小为 C．在小环移动过程中水平力做功为 D．若水平力大小，则重新稳定时，小环两侧的轻绳与天花板所成角度之和小于 【答案】B 【详解】AB．设小环重新稳定静止后，轻绳中的张力大小为，小环左侧的绳与天花板夹角为，对小环受力分析，如图所示， 根据平衡条件有， 由几何关系有a、b两点间距离 设b到小环的距离为x，由几何关系有 解得、、、，故A错误，B正确； C．没施加水平拉力时，如图所示， 小环距天花板的距离 小环稳定在b点正下方时，环距天花板的距离 由功能原理可得，此过程中拉力做功，故C错误； D．当重新稳定时，设两段绳与天花板夹角分别为和，如图所示，水平拉力F和重力的合力与两绳张角的角平分线在一条直线上（如图中虚线所示）， 由几何关系，有， 解得，故D错误。 故选B。 6. （多选）如图甲所示，一小木块以某一初速度冲上倾角为，且足够长的固定斜面。若以斜面底端为位移初始点，乙图为小木块在斜面上运动的动能随位移变化关系图像。忽略空气阻力的影响，重力加速度， ，，则下列判断正确的是（     ） A．小木块与斜面间的动摩擦因数为0.2 B．小木块的质量为 C．小木块从斜面底端冲到最高点的过程中，损失的机械能为 D．小木块从斜面底端出发再回到底端的过程中，系统产生的内能为 【答案】BD 【详解】AB．上滑过程，由动能定理得 即 下滑过程，由动能定理得 即 联立得，，故A错误，B正确； CD．从乙图可知，小木块初动能为，上滑到最高点（位移）时动能减为0，滑回底端时动能变为。往返过程动能总共减少，全部转化为内能，所以系统产生的内能为；上滑过程损失的机械能只有，不是，故C错误，D正确。 故选BD。 7. 蹦床是少年儿童喜欢的一种体育活动。如图所示，蹦床的中心由弹性网面组成，若少年儿童从最高点落下直至最低点的过程中，空气阻力大小恒定，则少年儿童（ ） A．机械能守恒 B．刚接触网面时，动能最大 C．重力做功等于克服空气阻力做功 D．重力势能的减小量大于弹性势能的增大量 【答案】D 【详解】A．少年儿童的机械能为其动能与重力势能之和。下落过程中，空气阻力始终做负功，接触网面后网面的弹力也做负功，重力以外的力所做的总功为负，少年儿童的机械能减少，故A错误； B．少年儿童从最高点由静止开始下落，说明重力大于空气阻力。刚接触网面时，网面形变量很小，弹力与空气阻力之和仍小于重力，合力向下。继续下降一段距离时，合力做正功，由动能定理可知动能继续增大，因此动能最大的位置在接触网面之后，故B错误； CD．设少年儿童的质量为，从最高点到最低点下降的高度为，空气阻力大小为，网面弹性势能的增加量为。这一过程始、末速度均为零，重力做正功，空气阻力和网面的弹力做负功。由动能定理及弹力做功与弹性势能变化的关系得 重力做功等于克服空气阻力做功与弹性势能增加量之和。由于网面弹性势能增加，重力做功大于克服空气阻力做功；由于空气阻力做负功，重力势能的减少量大于网面弹性势能的增加量，故C错误，D正确。 故选D。 【培优拔高】 8. 质量为的长木板置于水平面上，可视为质点的物块质量为，初始时刻物块处于长木板右端。长木板与水平面间、物块与长木板间的动摩擦因数分别为和。某时刻分别给长木板和物块如图所示的初速度，速度大小分别为，，方向相反。重力加速度取，物块没有滑离长木板。从开始运动到两者均静止的过程中，下列说法错误的是（　　） A．整个运动过程中摩擦力对物块做的功为 B．整个运动过程中因摩擦产生的总热量为 C．两者第一次共速时的速度大小为 D．两者都静止时，物块距木板右端的距离为 【答案】B 【详解】C．地面对木板的滑动摩擦力大小；物块与木板间滑动摩擦力大小 物块相对木板向左运动，所以物块受摩擦力向右，木板受物块摩擦力向左；地面对木板摩擦力也向左。加速度， 设经过第一次共速，则有 解得 共同速度，故C正确； D．此阶段物块相对木板的位移，即物块相对木板向左移动 共速后，若两者一起减速，所需加速度为 物块所需摩擦力为 其大小超过最大静摩擦力，因此两者不能保持相对静止。物块相对木板向右滑动。 此时物块受摩擦力向左，木板受物块摩擦力向右，地面对木板摩擦力向左。 物块加速度；木板加速度 木板从减速到零所需时间 此阶段物块相对木板向右的位移大小 解得 木板停止后，物块仍向右运动，受摩擦力向左，加速度为，此时物块速度 继续滑行到停止的位移 所以最终物块相对木板的总位移为 则两者都静止时，物块距木板右端的距离为，故D正确； A．物块初动能，最终静止，动能为零。 整个过程中只有摩擦力对物块做功，因此摩擦力对物块做的功，故A正确； B．系统初始总动能 最终全部转化为内能，因此因摩擦产生的总热量应为，故B错误。 本题选则错误的，故选B。 9. （多选）如图甲所示，竖直放置的轻弹簧一端固定于风洞实验室的水平地面，质量m=0.1kg的小球在轻弹簧正上方某处由静止下落，同时受到一个竖直向上恒定的风力。以小球开始下落的位置为原点，竖直向下为x轴正方向，取地面为零势能参考面，在小球下落的全过程中，小球重力势能随小球位移变化关系如图乙中的图线①，弹簧弹性势能随小球位移变化关系如图乙中的图线②，弹簧始终在弹性限度范围内，取重力加速度g=10m/s2；则（     ） A．小球释放位置距地面的高度为7m B．小球在下落过程受到的风力为0.1N C．小球刚接触弹簧时的动能为0.4J D．小球的最大加速度大小为99m/s2 【答案】BD 【详解】A．由图乙中图线①可知，小球处于释放位置的重力势能为 取地面为零势能面，则释放点距地面高度，故A错误； B．由图线②可知，小球从处开始接触弹簧，到处弹簧压缩量，此时弹簧弹性势能最大，为，且小球动能为零 对小球从释放到最低点的全过程，设风力大小为，由动能定理得 代入相关数据，解得，故B正确； C．小球刚接触弹簧时，由动能定理得，故C错误； D．在最低点处，弹簧压缩量最大 根据 解得 此时弹力向上，有最大值 因此小球所受合力向上， 则最大加速度大小为，故D正确。 故选BD。 10. 如图所示，以速度顺时针匀速转动的水平传送带，左端与粗糙的弧形轨道平滑对接，右端与粗糙水平地面平滑对接。水平地面上有一个固定弹性挡板，与B点相距。质量的物块从轨道上高的P点由静止开始下滑，滑到传送带上的A点时速度大小，传送带A、B两点间的距离。物块与传送带之间的动摩擦因数，与水平地面动摩擦因数，物块与挡板碰撞后能原速弹回。已知，重力加速度求解下列问题： (1)物块在弧形轨道上运动克服摩擦力做功； (2)物块从A运动到B所用时间，以及在该过程中由摩擦而产生的热量Q； (3)求从物块和弹性挡板碰撞开始到物块不再返回传送带过程中， ①物块在传送带上运动的总时间t； ②传送带相对空载多消耗的电能。（计算结果均用表达） 【答案】(1) (2)，18J (3)①；② 【详解】（1）由动能定理得 可得 （2）由于，物块在传送带上先加速，加速度为 加速时间 加速位移 接着匀速时间 所以物块从A运动到B所用时间 又相对路程 故摩擦生热 （3）①物块以速度冲上右侧水平地面，匀减速运动，加速度大小 由于物块与挡板碰撞速度大小不变，返回传送带时速度大小为，根据能量守恒得 可得返回传送带时的速度 物体在传送带上向左做匀减速直线运动，设速度为0时位移为，可得 解得 ，故物体不会冲过传送带左侧，然后向右做匀加速直线运动，根据动能定理可得 可得物块第二次从传送带右侧离开传送带的速度大小与第一次从传送带右侧进入传送带的速度大小相等，即 物块在右侧水平面减速运动的总路程 可得物块来回5次最终停在传送带右端。 第一次物块在传送带上来回用时 同理可得第二次进入传送带速度大小， 第三次进入传送带速度大小， 第四次进入传送带速度大小， 从物块和弹性挡板碰撞开始到物块不再返回传送带过程中，物块在传送带上总时间 ②此过程中传送带多消耗电能 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 功能关系 能量守恒定律 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.功能关系 模型02.板块模型 模型03.传送带模型 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.功能关系 模型构建：不同力的做功对应不同能量变化，滑动摩擦力乘以相对位移等于产生的内能，功是能量转化的量度 模型剖析： 1.功和能的关系 功是能量转化的量度，做功的过程是能量转化的过程，做了多少功就转化了多少能量。 功是过程量---一般说物体做了多少功。 能是状态量---一般说物体具有多少能量。 2.能量守恒定律 能量不会凭空产生也不会凭空消失，他只能从一种形式，转化为另一种形式。从一个物体转移到另一个物体。 表达式：E初=E末 3.几种常见的功能关系及其表达式 力做功 能的变化 定量关系 合力做功 动能 变化 （1）合力做正功，动能增加； （2）合力做负功，动能减少； （3）W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力做功 重力势 能变化 （1）重力做正功，重力势能减少； （2）重力做负功，重力势能增加； （3）WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹 力做功 弹性势 能变化 （1）弹力做正功，弹性势能减少； （2）弹力做负功，弹性势能增加； （3）WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 除重力和 系统内弹力之外的其他力做功　　　 机械能 变化 （1）其他力做正功，机械能增加； （2）其他力做负功，机械能减少； （3）W＝ΔE机 【例1】将一小球从地面上方某一高度处由静止释放，小球与地面发生碰撞后原速率反弹（碰撞过程极短），小球在空中运动过程中所受空气阻力大小与速率成正比。如图为其由释放到第一次反弹至最高点过程的图像，图中两阴影部分面积分别为S1、S2。下列说法正确的是（　　） A．t2=2t1 B．S1=S2 C．小球上升与下降至同一高度时速度大小相同 D．图像A、B两点处切线斜率一定不相同 【变式1-1】（多选）从地面竖直上抛一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为h。重力加速度大小为g，设上升和下降过程中空气阻力大小恒定为。下列说法正确的是（     ） A．小球上升的过程中动能减少了 B．小球上升和下降的整个过程中机械能减少了 C．小球上升的过程中重力势能增加了 D．小球上升和下降的整个过程中动能减少了 【变式1-2】如图甲所示，一粗糙斜面固定在水平地面上。滑块以一定的初速度从斜面底端开始上滑。若斜面足够长，上滑过程中滑块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示，则（     ） A．滑块受到的摩擦力大小为 B．滑块上滑过程中，重力势能增加了 C．滑块的重力大小为 D．滑块不能够返回斜面底端 模型02.板块模型 模型构建：滑块（视为质点）置于木板上，滑块和木板均相对地面运动，且滑块和木板在摩擦力的作用下或者还有外力作用下发生相对滑动。 模型剖析： （1）隔离法的应用：对滑块和木板分别进行受力分析和运动过程分析。 （2）对滑块和木板分别列动力学方程和运动学方程。 （3）明确滑块和木板间的位移关系 如图所示，滑块由木板一端运动到另一端的过程中，滑块和木板同向运动时，位移之差Δx＝x1－x2＝L（板长）；滑块和木板反向运动时，位移之和Δx＝x2＋x1＝L。 例、质量为M的木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了L，而木板前进了l，如图所示。若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少？这一对摩擦力做功的代数和为多大？ 滑块所受摩擦力Ff＝μmg，位移为(l＋L)，且摩擦力与位移方向相反，故摩擦力对滑块做的功为：W1＝－μmg(l＋L) 木板所受的摩擦力Ff′＝μmg，方向与其位移l方向相同，故摩擦力对木板做的功W2＝μmgl 这一对摩擦力做功的代数和W＝W1＋W2＝－μmgL 拓展：试根据上题中的模型推导摩擦热公式 解析：设木块质量为m1，木板质量为m2，水平桌面光滑，木块初速度v10大于木板初速度v20，经过时间t时,木块对地位移为x1，速度为v1；木板对地位移为x2，速度为v2；木块相对木板位移为Δx，则根据动能定理有： 对木块: 对木板: ①+②+＝)= 【例2】（多选）如图所示，一块足够大的方木板平放在光滑水平面上，一个质量为2 kg的小圆盘放在木板上。小圆盘与方木板之间的动摩擦因数为0.2。水平面内的外力、（图中未画出）分别作用在小圆盘和方木板上，小圆盘和方木板都做匀速运动，小圆盘速度，方木板速度，和相互垂直。重力加速度，下列说法正确的是（　　 ） A．的大小为 B．的功率为 C．的功率为 D．摩擦发热功率为 【变式2-1】（多选）如图所示，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上。质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动。物块和小车之间的摩擦力为f。物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为s。在这个过程中，以下结论正确的是（     ） A．物块到达小车最右端时具有的动能为F（l＋s） B．物块到达小车最右端时，小车具有的动能为fs C．物块和小车系统增加的内能为fl D．物块和小车系统增加的机械能为F（l＋s） 【变式2-2】（多选）如图所示，质量为、长为的木板放在光滑的水平面上，可视为质点的质量为的物块P放在木板的最左端。时刻给物块水平向右的初速度，当物块P滑到木板的最右端时，木板的位移为。则下列说法正确的是（     ） A．P、所受的摩擦力之比为 B．摩擦力对P、所做的功的绝对值之比为 C．P减小的动能与P、间因摩擦而产生的热量之比为 D．增加的动能与系统损失的机械能之比为 模型03.传送带模型 模型构建：物体依靠滑动摩擦力加速，达到传送带速度后摩擦力可能突变；热量由物体与传送带的相对位移计算。 模型剖析： 1.传送带模型能量分析 1.传送带克服摩擦力做的功：W＝fx传（x传为传送带对地的位移） 2.系统产生的内能：Q＝fx相对（x相对为总的相对路程）． 2. 求解电动机由于传送物体而多消耗的电能一般有两种思路 ①运用能量守恒 以倾斜传送带为例，多消耗的电能为E电，则：E电＝ΔEk＋ΔEp＋Q. ②运用功能关系 传送带多消耗的电能等于传送带克服阻力做的功E电=fx传 (特别注意：如果物体在倾斜传送带上的运动分匀变速和匀速两个运动过程，这两个过程中传送带都要克服摩擦力做功，匀变速运动过程中两者间的摩擦力是滑动摩擦力，匀速运动过程中两者间的摩擦力是静摩擦力) 例：v₀与v同向(顺带走) (1)当 时，物体先匀加速再匀速，受力图和v-t图如图所示. 相对位移(划痕) 因摩擦产生的热量： 电机因放上物体而多做的功 (2)当 时，物体先匀减速再匀速，受力图和v-t图如图6-3、图6-4所示. 相对位移(划痕) 因摩擦产生的热量： 【例3】（多选）618购物狂欢节后，快递物流就迎来了高峰期，由于包裹数量庞大，传送带在分拣的时候就代替了大量的劳动力。如图甲所示，倾斜传送带与水平方向间的夹角为30°，在电动机的带动下顺时针匀速转动。现将一质量m=1 kg的货物无初速地放在传送带底端的A点，货物从A到B的运动过程中机械能E随高度h变化的图像如图乙所示，设A点所在平面为零势能面。可认为货物与传送带间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．传送带匀速转动的速度v=5 m/s B．货物与传送带间动摩擦因数 C．货物与传送带间的摩擦生热Q=36.5 J D．货物从A到B，留下的划痕长度为5 m 【变式3-1】如图所示，甲、乙两传送带与水平面的夹角相同，都以恒定速率向上运动。现将一质量为的小物体（视为质点）轻轻放在处，小物体在甲传送带上到达处时恰好达到传送带的速率；在乙传送带上到达离处竖直高度为的处时达到传送带的速率，已知处离地面的高度均为。则在小物体从到的过程中（     ） A．两传送带消耗的电能相等 B．两传送带对小物体做功不相等 C．小物体与乙传送带间的动摩擦因数较小 D．图乙中因摩擦产生的热量为 1. 【变式3-2】（多选）如图甲所示，向飞机上装货时，通常用到可移动式皮带输送机。如图乙所示，皮带输送机倾角为，顺时针匀速转动，每隔2s在输送带下端A点无初速度放入一件货物（货物足够多）。每件货物从下端A点运动到上端B点的过程中，其机械能E与位移s的关系图像（以A位置为零势能参考面）如图丙所示。已知货物均可视为质点，质量均为，重力加速度取。则（     ） A．输送带A、B两端点间的距离为4.9m B．货物与输送带间的动摩擦因数为 C．每件货物从下端A点运动到上端B点的时间为10s D．机舱接到第一件货物后，皮带输送机每分钟因运送货物而多消耗的能量为15300J 1. 如图所示，一质量为、长度为的均匀长木板放在倾角为的光滑斜面上，斜面下端内嵌一条倾角相同的足够长的传送带，其与木板间的动摩擦因数，传送带左侧与光滑斜面平滑连接，初始时传送带静止。长木板右端位于光滑斜面与传送带的临界点，左端系一轻质细线通过光滑定滑轮后连接一质量为的重物。某时刻长木板和重物均由静止释放，已知g=10m/s2。 (1)求释放瞬间长木板的加速度大小； (2)求长木板速度最大时长木板的位移； (3)若初始时传送带以恒定速率（足够大）逆时针转动，设长木板与传送带接触的长度为x，求长木板和重物的加速度a与x的关系； (4)若初始时传送带以恒定速率顺时针转动，求长木板由静止释放到全部进入传送带时，传送带对木板施加的摩擦力所做的功。 【基础夯实】 2. 2025年5月29日，箭元科技的元行者一号验证型火箭在东万机大港进行自由回收试验，试验中火箭顺利完成点火起飞、自由下降滑行，减速至海面悬停、海面软着陆等8个工作阶段。如图为火箭通过尾部竖直向下喷气在海上降平台减速降落的情景。假设降落过程中喷气产生的推力大小为F，受空气的浮力和阻力大小之和为Ff，火箭底端接触平台时的速度恰好为零。降落过程中各力均可视为恒定，火箭质量为m，喷出的气体质量相对于火箭可忽略，当火箭底端离平台高h时速度为v，重力加速度为g。则下列对火箭下落h过程中描述正确的是（　　） A．火箭处于失重状态 B．火箭的重力势能减少了mgh C．火箭的机械能减少了Ffh D．降落过程中喷气推力为 3. （多选）如图为某技术小组设计的电梯轿厢保护装置。某次测试中模拟轿厢坠落，当轿厢速度为v时，触发其底部两个安全钳工作，轿厢开始减速，每个安全钳受到轨道的滑动摩擦力大小恒为f。一段时间后，轿厢接触缓冲弹簧，到达最低点时缓冲弹簧的压缩量为x，轿厢停止运动。已知轿厢（含安全钳）的质量为m，重力加速度大小为g，缓冲弹簧始终在弹性限度以内且重力不计，空气阻力可忽略，从触发安全钳工作开始（　　） A．轿厢接触弹簧后，速度先增大后减小 B．到最低点过程轿厢的平均速度大于 C．轿厢接触弹簧前，加速度大小为 D．轿厢到达最低点时，弹簧弹性势能为 4. （多选）对于功和能，下列说法正确的是（　　） A．功和能的单位相同，它们的概念也相同 B．做功的过程就是物体能量转化的过程 C．做了多少功，就有多少能量发生了转化 D．各种不同形式的能可以互相转化，且在转化的过程中，能的总量是守恒的 5. 如图所示，把不可伸长的轻绳两端固定在水平天花板上的a、b两点，绳长为L；一个质量为m的物体A通过穿在绳上的轻质光滑小环挂在轻绳中间（小环大小忽略不计），静止时小环两侧轻绳的张角为。现给小环施加一水平向右的力F，让小环缓慢沿绳移动，最终使小环重新稳定在b点的正下方。已知重力加速度为g，则（　　） A．重新稳定时轻绳中张力大小为 B．重新稳定时水平力大小为 C．在小环移动过程中水平力做功为 D．若水平力大小，则重新稳定时，小环两侧的轻绳与天花板所成角度之和小于 6. （多选）如图甲所示，一小木块以某一初速度冲上倾角为，且足够长的固定斜面。若以斜面底端为位移初始点，乙图为小木块在斜面上运动的动能随位移变化关系图像。忽略空气阻力的影响，重力加速度， ，，则下列判断正确的是（     ） A．小木块与斜面间的动摩擦因数为0.2 B．小木块的质量为 C．小木块从斜面底端冲到最高点的过程中，损失的机械能为 D．小木块从斜面底端出发再回到底端的过程中，系统产生的内能为 7. 蹦床是少年儿童喜欢的一种体育活动。如图所示，蹦床的中心由弹性网面组成，若少年儿童从最高点落下直至最低点的过程中，空气阻力大小恒定，则少年儿童（ ） A．机械能守恒 B．刚接触网面时，动能最大 C．重力做功等于克服空气阻力做功 D．重力势能的减小量大于弹性势能的增大量 【培优拔高】 8. 质量为的长木板置于水平面上，可视为质点的物块质量为，初始时刻物块处于长木板右端。长木板与水平面间、物块与长木板间的动摩擦因数分别为和。某时刻分别给长木板和物块如图所示的初速度，速度大小分别为，，方向相反。重力加速度取，物块没有滑离长木板。从开始运动到两者均静止的过程中，下列说法错误的是（　　） A．整个运动过程中摩擦力对物块做的功为 B．整个运动过程中因摩擦产生的总热量为 C．两者第一次共速时的速度大小为 D．两者都静止时，物块距木板右端的距离为 9. （多选）如图甲所示，竖直放置的轻弹簧一端固定于风洞实验室的水平地面，质量m=0.1kg的小球在轻弹簧正上方某处由静止下落，同时受到一个竖直向上恒定的风力。以小球开始下落的位置为原点，竖直向下为x轴正方向，取地面为零势能参考面，在小球下落的全过程中，小球重力势能随小球位移变化关系如图乙中的图线①，弹簧弹性势能随小球位移变化关系如图乙中的图线②，弹簧始终在弹性限度范围内，取重力加速度g=10m/s2；则（     ） A．小球释放位置距地面的高度为7m B．小球在下落过程受到的风力为0.1N C．小球刚接触弹簧时的动能为0.4J D．小球的最大加速度大小为99m/s2 10. 如图所示，以速度顺时针匀速转动的水平传送带，左端与粗糙的弧形轨道平滑对接，右端与粗糙水平地面平滑对接。水平地面上有一个固定弹性挡板，与B点相距。质量的物块从轨道上高的P点由静止开始下滑，滑到传送带上的A点时速度大小，传送带A、B两点间的距离。物块与传送带之间的动摩擦因数，与水平地面动摩擦因数，物块与挡板碰撞后能原速弹回。已知，重力加速度求解下列问题： (1)物块在弧形轨道上运动克服摩擦力做功； (2)物块从A运动到B所用时间，以及在该过程中由摩擦而产生的热量Q； (3)求从物块和弹性挡板碰撞开始到物块不再返回传送带过程中， ①物块在传送带上运动的总时间t； ②传送带相对空载多消耗的电能。（计算结果均用表达） 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $