第4讲 圆周运动的基本量 动力学分析（模型与方法）物理人教版必修第二册

第4讲 圆周运动的基本量 动力学分析 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.圆周运动基本量 模型02.圆周的周期性（多解）及追及相遇问题 模型03.向心力与向心加速度 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.圆周运动基本量 模型构建：线速度、角速度、周期相互关联，同轴 ω 相同，皮带传动边缘 v 相同，向心加速度由 v、ω、r 决定，方向始终指向圆心 模型剖析： 描述匀速圆周运动的物理量 1.角速度ω：物体与圆心连线扫过的角度与所用时间的比值。定义式是ω＝。常用计算式ω＝　　＝2πn。 2.线速度v：物体通过的弧长与所用时间的比值。定义式v＝。计算式v＝＝　ωR　＝2πnR。 3.周期T：物体运动一周所需的时间，T＝＝。 4.转速n：单位时间内转过的圈数。n与周期T的关系是n＝。 5.向心加速度：描述线速度改变快慢的物理量。an＝＝ω2R＝　R　＝　ωv　，方向始终指向圆心，只改变v的方向，不改变v的大小。 圆周运动的运动学问题 1.圆周运动各物理量间的关系 2.常见的三类传动方式及特点 1.同轴转动 模型特点：转向相同 TA=TB 模型推论：vA/vB=rA/RB 2.皮带传动 模型特点：转向相同 vA=vB v= 模型推论： 3.齿轮传动 模型特点：转向相反 vA=vB v= 模型推论： n---齿的个数：s=nX=2r 【例1】游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以、为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上、点与、恰好在同一条直线上，且、到的距离相等。则（　　） A．点做匀速圆周运动 B．点做匀速圆周运动 C．此时点的速度大于点 D．此时点的速度等于点 【变式1-1】连枷是一种农具，由长柄与竹排组成，用于拍打作物使子粒脱落。其运动可简化为：长柄绕点转动，同时竹排绕点转动（如图所示），某时刻连枷处于图中实线位置，，恰好在同一直线上，下列说法正确的是（     ） A．此时点的角速度大小大于点的角速度大小 B．此时点的线速度大小等于点的线速度大小 C．此时点的线速度方向和点的线速度方向相同 D．此后点一定绕点做圆周运动 【变式1-2】（多选）如图甲，辘轳是古代民间提水设施。如图乙为辘轳的工作原理简化图，某次需从井中汲取的水，辘轳绕绳轮轴半径为，水斗的质量为，井足够深且井绳的质量和粗细忽略不计。时刻，轮轴由静止开始绕中心轴转动，其角速度随时间变化规律如图丙所示，g取，则（　　 ） A．水斗做匀加速运动 B．井绳拉力随时间均匀增大 C．内水斗上升的高度为20m D．内水斗上升的高度为15m 模型02.圆周的周期性（多解）及追及相遇问题 模型构建：圆周运动位置周期性重复，追及相遇依靠角度差建立方程，根据转动方向写出含整数 n 的通式得到多解 模型剖析： 1.造成圆周运动多解的原因 匀速圆周运动具有周期性，会使前一个周期发生的事件，在后一个周期中同样有可能发生，故会存在多解问题。 2.圆周运动的追及相遇问题 一.追及相遇问题的解题思路 二．常见类型 高中阶段常见的几种与匀速圆周运动相结合的多解问题类型： a.匀速圆周运动与圆周的追及相遇 b.匀速圆周运动和平抛运动的追及相遇 c.匀速圆周运动和直线运动的追及相遇 【例2】如图所示，一位同学玩飞镖游戏，圆盘最上端有一P点，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为，当飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动，忽略空气阻力，重力加速度为，若飞镖恰好击中P点，则（     ） A．圆盘的半径为5cm B．圆盘转动的周期可能是0.4s C．圆盘转动的角速度最小值为 D．若飞镖初速度增大1倍，则它将击中圆心O 【变式2-1】（多选）子弹以初速度v0水平向右射出，沿水平直线穿过一个正在沿逆时针方向转动的薄壁圆筒，在圆筒上只留下一个弹孔（从A位置射入，B位置射出，如图所示），OA、OB之间的夹角θ＝，已知圆筒半径R＝0.5 m，子弹始终以v0＝60 m/s的速度沿水平方向运动（不考虑重力的作用），则圆筒的转速可能是（     ） A．100 r/s B．180 r/s C．240 r/s D．340 r/s 【变式2-2】某科技馆“穿环挑战”装置的示意图如图所示。一厚度可忽略的薄木板置于水平桌面上，木板长、质量，质量的物块（可视为质点）置于木板的左端。木板静止时左端位于A点，桌子的右端点为B，A、B间的距离。物块与木板之间、物块与桌面之间的动摩擦因数均为，木板与桌面之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。时刻，对物块施加水平向右、大小为10N的恒力F，物块由静止开始运动，物块恰好滑离木板时撤去F，此后物块平滑地滑上桌面（速度保持不变）。B点右侧竖直放置一半径的圆环，环心O与B点的竖直距离为；圆环可绕过环心的竖直直径MN匀速转动，环上开有一小孔P，P与环心等高。时刻，P恰位于环心O右侧，与O、B在同一竖直面内。物块的飞行轨迹与环心O在同一竖直平面内，且物块恰好能从小孔P穿过。重力加速度g取。不计物块大小和圆环的粗细。 (1)求物块在木板上滑行时物块与木板各自的加速度大小； (2)求物块滑离桌面时的速度大小，以及物块穿过小孔P时速度的大小和方向； (3)受驱动电机限制，圆环转动的周期T不小于0.4s，求满足条件的所有T值。（结果用分数表示） 模型03.向心力与向心加速度 模型构建：向心力是沿半径指向圆心的合外力，产生向心加速度，只改变速度方向；变速圆周运动合力存在径向、切向两个分量 模型剖析： 一.匀速圆周运动问题的分析思路 1.匀速圆周运动的特点 1.v，w，T，f大小恒定不变，向心力大小恒定不变。 2.匀速圆周运动是变速运动。 3.圆周运动具有周期性和重复性。 2. 匀速圆周运动问题的解题步骤 提醒：匀速圆周运动问题，是牛二动力学的两类基本问题：等式左边（F合外力）=等式右边（向心力Fn）。 二.常见的匀速圆周运动示例 【例3】如图所示，长为的悬线固定在点，在点正下方处有一钉子，把悬线另一端的小球拉到跟悬点同一水平面上无初速度释放，小球到最低点悬线碰到钉子的瞬间，下列说法正确的是（     ） A．小球的线速度突然增大 B．小球的角速度突然减小 C．小球的向心加速度突然增大 D．小球受到悬线的拉力大小不变 【变式3-1】DHT变速器是新能源混合动力汽车专用变速器，可以使内燃机和一个或多个电机共同对车辆进行驱动，以提高车辆的动力性能。其中行星齿轮传动机构是DHT变速器重要的组成部分，其结构如图所示，行星轮通过中心轴安装在行星轮支架上，且行星轮可以绕其中心轴自由转动。当行星轮支架固定不动，太阳轮作为主动轮顺时针转动时，下列说法正确的是（    ） A．内齿圈顺时针转动 B．太阳轮、行星轮、内齿圈边缘各点的向心加速度大小相等 C．太阳轮、行星轮、内齿圈边缘各点的角速度大小相等 D．太阳轮、行星轮、内齿圈边缘各点的线速度大小相等 【变式3-2】如图所示为停车场道闸及其内部控制横杆起落的结构示意图，由三组相同的轮，用皮带传动（始终不打滑），每组轮都由大、小两个轮共轴叠合而成，且大轮半径均为小轮半径的2倍。为组小轮边缘一点，分别为组和组大轮边缘一点。若在电动机的带动下匀速转动，下列说法正确的是（     ） A．、、三点线速度大小之比为1∶1∶2 B．、、三点角速度大小之比为4∶2∶1 C．、、三点向心加速度大小之比为8∶2∶1 D．、、三点周期之比为2∶2∶1 1. 马刀锯是一种木匠常用的电动工具。其内部安装了特殊的传动装置，简化后如图所示，可以将电动机的转动转化为锯条的往复运动。电动机带动圆盘O转动，圆盘O上的凸起P在转动的过程中带动锯条左右往复运动。已知电动机正在顺时针转动，转速n=2400r/min，OP=2cm。某时刻OP与锯条运动方向的夹角θ=37°，下列说法正确的是（     ） A．此时锯条向左运动 B．此时锯条的速度大小约为5 m/s C．OP从图示位置转过30°的过程中，锯条的速度增大 D．锯条往复运动的周期是40s 【基础夯实】 2. 生活中有许多关于圆周运动的实例，如转笔、摩天轮，汽车通过拱形桥等。如图所示，转笔深受广大中学生的喜爱，假设某转笔高手能让笔绕其上的某一点O在水平面内做匀速圆周运动，下列叙述正确的是（    ） A．做匀速圆周运动的笔帽线速度不变 B．笔帽做匀速圆周运动的线速度大小一定与半径成正比 C．做匀速圆周运动的笔帽受到的合力指向圆心 D．笔帽做匀速圆周运动是一种匀加速运动 3. （多选）某种窗户支架如图甲所示，其工作原理简化图如图乙所示。杆的点通过铰链固定在滑槽导轨中，点通过铰链固定在窗户底面，滑块可在滑槽导轨中自由滑动，杆的点通过铰链固定在滑块上，点通过铰链固定在杆上。某次关闭窗户的过程中，杆绕点匀速转动，则（     ） A．点和点的加速度大小可能相等 B．点的加速度大小始终小于点的加速度大小 C．点和点的速度大小可能相等 D．点的速度大小始终小于点的速度大小 4. 鲁迅先生的《从百草园到三味书屋》中有一段描写：扫开一块雪，露出地面，用一枝短棒支起一面大的竹筛来，下面撒些秕谷，棒上系一条长绳，人远远地牵着，看鸟雀下来啄食，走到竹筛底下的时候，将绳子一拉，便罩住了。如下甲图为情景画，乙图为模型简图，竹筛视为一个半径为的半球壳，初始用短棒在左侧支撑住，竹筛底面与地面夹角为，小鸟视为质点，在竹筛落地时的底面圆心处偷吃谷子，此时绳子拉动，短棒拉走，竹筛开始落下，绕着右端支点转动，其角速度随时间变化的图像如丙图所示，小鸟被惊动，立刻开始沿着半径向外逃窜，小鸟运动可视为匀速直线运动，下列说法正确的是（     ） A．竹筛开始转动后，竹筛上面各点做匀速圆周运动 B．竹筛开始运动后，竹筛上面各点的向心加速度大小变大 C．短棒拉走，竹筛从开始运动到落地需要 D．小鸟能够成功逃离竹筛的最小速度为 5. A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比，运动方向改变的角度之比。则下列说法中正确的是（　　） A．它们的线速度之比 B．它们的半径之比 C．它们的周期之比 D．它们的向心加速度之比 6. 大型游乐装置“大摆锤”的简图如图所示，摆锤和配重锤分别固定在摆臂两端，并可绕摆臂上的转轴在纸面内转动。若、到的距离之比为2∶1，在摆臂匀速转动的过程中，下列说法正确的是（     ） A．、的角速度大小之比为1∶2 B．、的角速度大小之比为2∶1 C．、的线速度大小之比为2∶1 D．、的线速度大小之比为1∶2 7. 如图所示，直径为d的纸制圆筒绕轴O匀速转动，子弹以速度v沿截面直径匀速穿过圆筒。子弹在圆筒上留下A、B两弹孔，OA、OB的夹角为，则圆筒的角速度可能是（     ） A． B． C． D． 【培优拔高】 8. 如图所示是某种自行车的传动装置：a为与脚踏相连的大齿轮，c为后轴上的小齿轮，a与c通过链条连接且链条不打滑；b为后轮边缘，与c固定在同一转轴上。已知a、b、c三轮的半径之比。关于a、b、c三轮边缘上的点，下列说法正确的是（　　） A．a、b、c三点的线速度之比为 B．a、b、c三点的角速度之比为 C．a、b、c三点的周期之比为 D．a、b、c三点的向心加速度之比为 9. 嘉兴某高中开设了糕点制作的选修课，小明同学在体验糕点制作“裱花”环节时，他在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径 英寸（20cm）的蛋糕，在蛋糕上每隔均匀“点”一次奶油，蛋糕一周均匀“点”上 个奶油，则下列说法正确的是（     ） A．圆盘转动的转速为 B．圆盘转动的角速度大小为 C．蛋糕边缘的奶油线速度大小约为 D．蛋糕边缘的奶油线速度约为 10. 李明的爸爸用小型电动打夯机平整自家房屋前方的场地，如图所示是电动打夯机的结构示意图。质量为m的摆锤通过轻杆（质量忽略不计）与总质量为M的底座（含电动机）上的转轴相连。电动机带动摆锤绕转轴O在竖直面内匀速转动，转动半径为R，重力加速度为g。若摆锤转到最高点时，底座对地面的压力刚好为零，下列说法正确的是（     ） A．摆锤在最高点时，杆给摆锤的弹力大小为0 B．摆锤在最高点时，杆给摆锤的弹力大小为mg C．摆锤的角速度为 D．摆锤的角速度为 11. （多选）一轻质杆AB，初始时紧靠在光滑的竖直墙面上竖直静止放置，杆长为2l，在其中点C处固定一个质量为m的小球。现使A端不脱离墙面，B端沿着光滑地面以速度v向右匀速运动，重力加速度为g，关于图中球与杆运动过程的叙述正确的是（　　） A．小球做匀速圆周运动 B．杆与光滑地面的夹角为时，小球的速度大小为 C．杆对小球的作用力必须沿着轻杆方向 D．当时，杆对小球的作用力大小为 12. 一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图所示，曲线上的点的曲率圆定义为通过点和曲线上紧邻点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做点的曲率圆，其半径叫做点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成角的方向以速度抛出，不计空气阻力，重力加速度取，则在其轨迹最高点处的曲率半径是（　　） A． B． C． D． 13. 如图，内半径的光滑空心圆柱体固定在水平地面上，一小滑块紧贴内壁从O点以v0=10m/s的初速度沿切向水平滑入，旋转一周经过O1点。取重力加速度g=10m/s2，则小滑块（　　） A．在竖直方向上做匀速直线运动 B．从O点运动到O1点所用的时间为2s C．在O1点时速度方向与竖直方向的夹角为45° D．对圆柱体的压力逐渐增大 14. （多选）如图为某种秋千椅的示意图，“”形轻质支架固定在竖直面内，沿水平方向，四根等长轻质硬杆通过光滑铰链悬挂长方形匀质椅板，竖直面内的、为等边三角形，并绕沿图中线来回摆动。已知重力加速度为，椅板的质量为，则椅板摆动到最低点时（     ） A．两点线速度相同 B．两点角速度相等 C．受到的拉力大于 D．受到的拉力大于 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 圆周运动的基本量 动力学分析 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.圆周运动基本量 模型02.圆周的周期性（多解）及追及相遇问题 模型03.向心力与向心加速度 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.圆周运动基本量 模型构建：线速度、角速度、周期相互关联，同轴 ω 相同，皮带传动边缘 v 相同，向心加速度由 v、ω、r 决定，方向始终指向圆心 模型剖析： 描述匀速圆周运动的物理量 1.角速度ω：物体与圆心连线扫过的角度与所用时间的比值。定义式是ω＝。常用计算式ω＝　　＝2πn。 2.线速度v：物体通过的弧长与所用时间的比值。定义式v＝。计算式v＝＝　ωR　＝2πnR。 3.周期T：物体运动一周所需的时间，T＝＝。 4.转速n：单位时间内转过的圈数。n与周期T的关系是n＝。 5.向心加速度：描述线速度改变快慢的物理量。an＝＝ω2R＝　R　＝　ωv　，方向始终指向圆心，只改变v的方向，不改变v的大小。 圆周运动的运动学问题 1.圆周运动各物理量间的关系 2.常见的三类传动方式及特点 1.同轴转动 模型特点：转向相同 TA=TB 模型推论：vA/vB=rA/RB 2.皮带传动 模型特点：转向相同 vA=vB v= 模型推论： 3.齿轮传动 模型特点：转向相反 vA=vB v= 模型推论： n---齿的个数：s=nX=2r 【例1】游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以、为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上、点与、恰好在同一条直线上，且、到的距离相等。则（　　） A．点做匀速圆周运动 B．点做匀速圆周运动 C．此时点的速度大于点 D．此时点的速度等于点 【答案】C 【详解】AB．、点同时参与两个匀速圆周运动：随底盘绕的公转、随转杯绕的自转，轨迹不是圆，合运动不是匀速圆周运动，故AB错误； CD．点仅随底盘绕做匀速圆周运动，设底盘绕的公转的角速度大小为，则线速度大小为 而、两点同时参与两个运动的速度叠加，分别为随底盘的公转和随转杯的自转，设转杯绕自转的角速度大小为，图示位置点绕自转的线速度方向与绕旋转的线速度方向相同，故 点绕自转的线速度方向与绕旋转的线速度方向相反，故点的线速度大小 由题干可知、到的距离相等，故可知 此时点的速度大于点，同时点的速度也大于点，故C正确，D错误。 故选C。 【变式1-1】连枷是一种农具，由长柄与竹排组成，用于拍打作物使子粒脱落。其运动可简化为：长柄绕点转动，同时竹排绕点转动（如图所示），某时刻连枷处于图中实线位置，，恰好在同一直线上，下列说法正确的是（     ） A．此时点的角速度大小大于点的角速度大小 B．此时点的线速度大小等于点的线速度大小 C．此时点的线速度方向和点的线速度方向相同 D．此后点一定绕点做圆周运动 【答案】C 【详解】A．点与点均在同一长柄上，属于同轴转动，根据同轴转动规律有 即此时点的角速度大小等于点的角速度大小，故A错误； BC．设点绕点转动的线速度大小为，点相对点转动的线速度大小为，由图可知的方向沿垂直方向，的方向沿垂直方向，两者方向相同，根据运动的合成有 根据矢量叠加原理可得此时，故B错误，C正确； D．竹排上点参与了随点绕点的圆周运动以及绕点的圆周运动，其合运动的轨迹是一条复杂的曲线，不是绕点的圆周运动，故D错误。 故选C。 【变式1-2】（多选）如图甲，辘轳是古代民间提水设施。如图乙为辘轳的工作原理简化图，某次需从井中汲取的水，辘轳绕绳轮轴半径为，水斗的质量为，井足够深且井绳的质量和粗细忽略不计。时刻，轮轴由静止开始绕中心轴转动，其角速度随时间变化规律如图丙所示，g取，则（　　 ） A．水斗做匀加速运动 B．井绳拉力随时间均匀增大 C．内水斗上升的高度为20m D．内水斗上升的高度为15m 【答案】AC 【详解】A．根据图丙可知，水斗的速度等于辘轳转动的线速度，故水斗速度随时间变化规律为 根据匀变速直线运动的规律可知，所以水斗做匀加速运动，故A正确； B．对水斗，根据牛顿第二定律可得，其中， 解得井绳拉力，保持不变，故B错误； CD．内水斗上升的高度为，故C正确，D错误。 故选AC。 模型02.圆周的周期性（多解）及追及相遇问题 模型构建：圆周运动位置周期性重复，追及相遇依靠角度差建立方程，根据转动方向写出含整数 n 的通式得到多解 模型剖析： 1.造成圆周运动多解的原因 匀速圆周运动具有周期性，会使前一个周期发生的事件，在后一个周期中同样有可能发生，故会存在多解问题。 2.圆周运动的追及相遇问题 一.追及相遇问题的解题思路 二．常见类型 高中阶段常见的几种与匀速圆周运动相结合的多解问题类型： a.匀速圆周运动与圆周的追及相遇 b.匀速圆周运动和平抛运动的追及相遇 c.匀速圆周运动和直线运动的追及相遇 【例2】如图所示，一位同学玩飞镖游戏，圆盘最上端有一P点，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为，当飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动，忽略空气阻力，重力加速度为，若飞镖恰好击中P点，则（     ） A．圆盘的半径为5cm B．圆盘转动的周期可能是0.4s C．圆盘转动的角速度最小值为 D．若飞镖初速度增大1倍，则它将击中圆心O 【答案】B 【详解】A. 根据平抛运动的规律可知， 解得t=0.2s，圆盘的半径为r=10cm，A错误；     BC. 圆盘转动的周期满足（n=0、1、2、3….） 解得，则当n=0时T=0.4s，此时圆盘转动的角速度最小值为，B正确，C错误； D.根据，，则 若飞镖初速度增大1倍，则下落的高度变为原来的，则将击中圆心O与最高点的中点位置，D错误。 故选B。 【变式2-1】（多选）子弹以初速度v0水平向右射出，沿水平直线穿过一个正在沿逆时针方向转动的薄壁圆筒，在圆筒上只留下一个弹孔（从A位置射入，B位置射出，如图所示），OA、OB之间的夹角θ＝，已知圆筒半径R＝0.5 m，子弹始终以v0＝60 m/s的速度沿水平方向运动（不考虑重力的作用），则圆筒的转速可能是（     ） A．100 r/s B．180 r/s C．240 r/s D．340 r/s 【答案】AD 【详解】根据几何关系可得A与B之间的距离为 其中，可得 子弹从A运动到B用时 圆筒逆时针转动，子弹从A射入、从B射出后仅留一个弹孔，说明在子弹穿过的时间内，圆筒转过的总角度满足子弹射入时的A点，在子弹穿出时刚好转到原B点的位置，即总转角为 设圆筒转速为，单位为r/s，则角速度 转角可表示为 解得 时，，时，，时， 故选AD。 【变式2-2】某科技馆“穿环挑战”装置的示意图如图所示。一厚度可忽略的薄木板置于水平桌面上，木板长、质量，质量的物块（可视为质点）置于木板的左端。木板静止时左端位于A点，桌子的右端点为B，A、B间的距离。物块与木板之间、物块与桌面之间的动摩擦因数均为，木板与桌面之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。时刻，对物块施加水平向右、大小为10N的恒力F，物块由静止开始运动，物块恰好滑离木板时撤去F，此后物块平滑地滑上桌面（速度保持不变）。B点右侧竖直放置一半径的圆环，环心O与B点的竖直距离为；圆环可绕过环心的竖直直径MN匀速转动，环上开有一小孔P，P与环心等高。时刻，P恰位于环心O右侧，与O、B在同一竖直面内。物块的飞行轨迹与环心O在同一竖直平面内，且物块恰好能从小孔P穿过。重力加速度g取。不计物块大小和圆环的粗细。 (1)求物块在木板上滑行时物块与木板各自的加速度大小； (2)求物块滑离桌面时的速度大小，以及物块穿过小孔P时速度的大小和方向； (3)受驱动电机限制，圆环转动的周期T不小于0.4s，求满足条件的所有T值。（结果用分数表示） 【答案】(1)， (2)，，方向与水平方向成斜向右下方 (3)，，或 【详解】（1）取水平向右为正方向。物块相对木板向右滑动，物块受到的滑动摩擦力向左，由牛顿第二定律得 所以物块的加速度大小为 木板受到物块向右的滑动摩擦力，受到桌面向左的滑动摩擦力。木板与桌面间的压力为，所以对木板由牛顿第二定律得 所以木板的加速度大小为 （2）设物块和木板在木板上运动的时间为，相对点的位移分别为，。两者均由静止开始做匀加速直线运动，因此， 物块恰好滑离木板时，物块相对木板的位移等于木板长度，有 联立得 物块离开木板时的速度为 此时物块相对点的位移为 撤去恒力后，物块在桌面上只受滑动摩擦力，减速加速度的大小满足 故物块在桌面上减速时的加速度大小为 物块到达桌沿还需滑行的距离为 由匀变速直线运动的速度与位移关系得 所以物块滑离桌面时的速度大小为 物块离开桌面后做平抛运动。结合图示，物块穿过小孔时小孔位于圆环左端，且小孔与环心等高，所以物块平抛下降的高度为。平抛的竖直分运动为自由落体，飞行时间为 穿过小孔时，物块的水平速度仍为，竖直速度大小为 所以合速度大小为 设速度方向与水平方向的夹角为，由速度分量关系得 所以，方向斜向右下方。 （3）物块从开始运动到穿过小孔经历木板上运动、桌面上减速和平抛三个阶段。第一个阶段，第二个阶段由减速到，所用时间为 因此物块从开始运动到穿过小孔的总时间为 开始运动时小孔位于圆环最右端，要在物块穿孔时位于最左端，小孔在内转过的角度应为半周的奇数倍，即，其中 由角速度与周期的关系，得 电机限制要求，所以 即 故。 于是满足条件的周期为，，或。 模型03.向心力与向心加速度 模型构建：向心力是沿半径指向圆心的合外力，产生向心加速度，只改变速度方向；变速圆周运动合力存在径向、切向两个分量 模型剖析： 一.匀速圆周运动问题的分析思路 1.匀速圆周运动的特点 1.v，w，T，f大小恒定不变，向心力大小恒定不变。 2.匀速圆周运动是变速运动。 3.圆周运动具有周期性和重复性。 2. 匀速圆周运动问题的解题步骤 提醒：匀速圆周运动问题，是牛二动力学的两类基本问题：等式左边（F合外力）=等式右边（向心力Fn）。 二.常见的匀速圆周运动示例 【例3】如图所示，长为的悬线固定在点，在点正下方处有一钉子，把悬线另一端的小球拉到跟悬点同一水平面上无初速度释放，小球到最低点悬线碰到钉子的瞬间，下列说法正确的是（     ） A．小球的线速度突然增大 B．小球的角速度突然减小 C．小球的向心加速度突然增大 D．小球受到悬线的拉力大小不变 【答案】C 【详解】A．碰到钉子的瞬间，根据小球所受的绳的拉力和重力均与速度垂直，无切向力改变速度的大小，故线速度不变，故A错误； B．根据可知，半径减小，由于线速度不变，所以角速度增大，故B错误； C．小球的向心加速度由于半径减小，线速度不变,所以加速度增大，故C正确； D．在最低点，合力提供向心力有 线速度不变，半径减小，因此拉力增大，故D错误。 故选C。 【变式3-1】DHT变速器是新能源混合动力汽车专用变速器，可以使内燃机和一个或多个电机共同对车辆进行驱动，以提高车辆的动力性能。其中行星齿轮传动机构是DHT变速器重要的组成部分，其结构如图所示，行星轮通过中心轴安装在行星轮支架上，且行星轮可以绕其中心轴自由转动。当行星轮支架固定不动，太阳轮作为主动轮顺时针转动时，下列说法正确的是（    ） A．内齿圈顺时针转动 B．太阳轮、行星轮、内齿圈边缘各点的向心加速度大小相等 C．太阳轮、行星轮、内齿圈边缘各点的角速度大小相等 D．太阳轮、行星轮、内齿圈边缘各点的线速度大小相等 【答案】D 【详解】A．太阳轮顺时针转动时，太阳轮与行星轮为外啮合，啮合点处线速度相同，故行星轮绕其中心轴逆时针转动；行星轮与内齿圈为内啮合，啮合点处线速度相同，故内齿圈被带动逆时针转动，故A错误； BC．齿轮啮合传动时不打滑，啮合点处线速度大小相等，同一齿轮边缘各点线速度大小也相等，即三者边缘各点线速度大小相等；由图可知太阳轮、行星轮、内齿圈的半径各不相同，由可知三者边缘各点角速度大小不相等，由可知三者边缘各点向心加速度大小也不相等，故BC错误； D．由上述啮合传动特点，太阳轮、行星轮、内齿圈边缘各点的线速度大小相等，故D正确。 故选D。 【变式3-2】如图所示为停车场道闸及其内部控制横杆起落的结构示意图，由三组相同的轮，用皮带传动（始终不打滑），每组轮都由大、小两个轮共轴叠合而成，且大轮半径均为小轮半径的2倍。为组小轮边缘一点，分别为组和组大轮边缘一点。若在电动机的带动下匀速转动，下列说法正确的是（     ） A．、、三点线速度大小之比为1∶1∶2 B．、、三点角速度大小之比为4∶2∶1 C．、、三点向心加速度大小之比为8∶2∶1 D．、、三点周期之比为2∶2∶1 【答案】B 【详解】AB．皮带与各轮之间无相对滑动，取相互连接的轮缘，组小轮与组大轮的线速度相等，组小轮与组大轮的线速度相等，因此有 以及 从而 点的半径为，点和点的半径均为，由得，故A错误，B正确； CD．向心加速度公式为。 代入三点的角速度和半径，得 又由，周期比等于角速度比的倒数，即，故CD错误。 故选B。 1. 马刀锯是一种木匠常用的电动工具。其内部安装了特殊的传动装置，简化后如图所示，可以将电动机的转动转化为锯条的往复运动。电动机带动圆盘O转动，圆盘O上的凸起P在转动的过程中带动锯条左右往复运动。已知电动机正在顺时针转动，转速n=2400r/min，OP=2cm。某时刻OP与锯条运动方向的夹角θ=37°，下列说法正确的是（     ） A．此时锯条向左运动 B．此时锯条的速度大小约为5 m/s C．OP从图示位置转过30°的过程中，锯条的速度增大 D．锯条往复运动的周期是40s 【答案】C 【详解】转速 角速度 ， 点线速度： A．圆盘顺时针转动，点线速度沿圆周切线斜向右上，将沿平行锯条、垂直锯条分解，平行锯条分速度向右，因此锯条向右运动，故A错误。 B．如图所示 锯条速度是沿锯条方向的分速度 ，故B错误。 C．从图示位置顺时针转过，变大、变大，变大，锯条速度增大，故C正确。 D．周期 ，故D错误。 故选C。 【基础夯实】 2. 生活中有许多关于圆周运动的实例，如转笔、摩天轮，汽车通过拱形桥等。如图所示，转笔深受广大中学生的喜爱，假设某转笔高手能让笔绕其上的某一点O在水平面内做匀速圆周运动，下列叙述正确的是（    ） A．做匀速圆周运动的笔帽线速度不变 B．笔帽做匀速圆周运动的线速度大小一定与半径成正比 C．做匀速圆周运动的笔帽受到的合力指向圆心 D．笔帽做匀速圆周运动是一种匀加速运动 【答案】C 【详解】A．做匀速圆周运动的笔帽，线速度大小不变，方向时刻发生变化，故A错误； B．匀速圆周运动中，根据 可知只有角速度一定时，线速度大小和半径成正比，故B错误； C．匀速圆周运动的物体合力提供所需向心力，方向总是指向圆心，故C正确； D．匀速圆周运动的加速度大小不变，方向时刻发生变化，所以匀速圆周运动是一种变加速运动，故D错误。 故选C。 3. （多选）某种窗户支架如图甲所示，其工作原理简化图如图乙所示。杆的点通过铰链固定在滑槽导轨中，点通过铰链固定在窗户底面，滑块可在滑槽导轨中自由滑动，杆的点通过铰链固定在滑块上，点通过铰链固定在杆上。某次关闭窗户的过程中，杆绕点匀速转动，则（     ） A．点和点的加速度大小可能相等 B．点的加速度大小始终小于点的加速度大小 C．点和点的速度大小可能相等 D．点的速度大小始终小于点的速度大小 【答案】BC 【详解】AB．杆绕点匀速转动，杆上各点的角速度完全相同。匀速圆周运动的向心加速度公式为 其中是该点到转轴的距离。 由于点到的距离始终小于点到的距离，因此点和点的加速度 ​二者加速度不可能相等。故A错误，B正确； CD．随杆匀速转动，点线速度方向垂直于杆，大小为 点的速度方向始终沿滑槽导轨（水平方向），如图所示 将点速度沿杆、垂直杆分解，由于为刚性杆，杆上两点沿杆方向的分速度必然相等，设为与杆的夹角，为与杆的夹角，则有 当角度关系满足时，即可出现的情况，因此二者速度大小可能相等，并非的速度始终小于的速度，故C正确，D错误。 故选BC。 4. 鲁迅先生的《从百草园到三味书屋》中有一段描写：扫开一块雪，露出地面，用一枝短棒支起一面大的竹筛来，下面撒些秕谷，棒上系一条长绳，人远远地牵着，看鸟雀下来啄食，走到竹筛底下的时候，将绳子一拉，便罩住了。如下甲图为情景画，乙图为模型简图，竹筛视为一个半径为的半球壳，初始用短棒在左侧支撑住，竹筛底面与地面夹角为，小鸟视为质点，在竹筛落地时的底面圆心处偷吃谷子，此时绳子拉动，短棒拉走，竹筛开始落下，绕着右端支点转动，其角速度随时间变化的图像如丙图所示，小鸟被惊动，立刻开始沿着半径向外逃窜，小鸟运动可视为匀速直线运动，下列说法正确的是（     ） A．竹筛开始转动后，竹筛上面各点做匀速圆周运动 B．竹筛开始运动后，竹筛上面各点的向心加速度大小变大 C．短棒拉走，竹筛从开始运动到落地需要 D．小鸟能够成功逃离竹筛的最小速度为 【答案】B 【详解】A．竹筛开始转动后，竹筛上面各点绕竹筛与地面的接触点做圆周运动，各个点的转动的角速度随时间逐渐增加，可知各点不是做匀速圆周运动。A错误； B．竹筛开始运动后，竹筛上面各点的角速度随时间逐渐变大，根据可知，向心加速度大小变大，B正确； C．短棒拉走，竹筛落地时需转过的角度为，根据 解得t=1s 即从开始运动到落地需要，C错误； D．小鸟能够成功逃离竹筛的最小速度为，D错误。 故选B。 5. A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比，运动方向改变的角度之比。则下列说法中正确的是（　　） A．它们的线速度之比 B．它们的半径之比 C．它们的周期之比 D．它们的向心加速度之比 【答案】D 【详解】A．根据线速度定义，相同时间内，线速度大小与路程成正比，因此，故A错误； B．根据角速度定义，相同时间内，角速度大小与转过角度成正比，因此 由线速度与角速度关系 解得，因此，故B错误； C．周期与角速度的关系为，周期与角速度成反比，因此，故C错误； D．向心加速度公式为，代入比例得，故D正确。 故选D。 6. 大型游乐装置“大摆锤”的简图如图所示，摆锤和配重锤分别固定在摆臂两端，并可绕摆臂上的转轴在纸面内转动。若、到的距离之比为2∶1，在摆臂匀速转动的过程中，下列说法正确的是（     ） A．、的角速度大小之比为1∶2 B．、的角速度大小之比为2∶1 C．、的线速度大小之比为2∶1 D．、的线速度大小之比为1∶2 【答案】C 【详解】AB．“大摆锤” 绕摆臂上的转轴在纸面内转动时摆锤和配重锤为同轴转动，得摆锤和配重锤的角速度大小相同，则、的角速度大小之比为1∶1，故AB错误； CD．上述已知、的角速度大小之比为1∶1，由公式可得 由题中、到的距离之比为2∶1，解得，故C正确，D错误。 故选C。 7. 如图所示，直径为d的纸制圆筒绕轴O匀速转动，子弹以速度v沿截面直径匀速穿过圆筒。子弹在圆筒上留下A、B两弹孔，OA、OB的夹角为，则圆筒的角速度可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】子弹沿直径匀速穿过圆筒，穿筒时间为。子弹射入时，入口弹孔位于圆筒最左端；子弹射出时，入口弹孔已随圆筒转到图示处，出口弹孔位于最右端处。圆筒按图示方向逆时针转动，入口弹孔从最左端转到处的最小转角为。考虑圆筒可能多转整数圈，实际转角为，其中为非负整数。因此圆筒角速度满足 A．是两弹孔对应半径的夹角，不是入口弹孔从初始位置转到处的转角，不能直接用求圆筒角速度，故A错误； B．若，则穿筒期间圆筒转角为，与图示要求的相差半圈，不能满足图示弹孔位置关系，故B错误； C．未多转整圈时，圆筒转角为，应有。选项中的具有时间的量纲，不是角速度，故C错误； D．当时，圆筒在最小转角的基础上多转一整圈，其转角为，对应角速度为，满足题意，故D正确。 故选D。 【培优拔高】 8. 如图所示是某种自行车的传动装置：a为与脚踏相连的大齿轮，c为后轴上的小齿轮，a与c通过链条连接且链条不打滑；b为后轮边缘，与c固定在同一转轴上。已知a、b、c三轮的半径之比。关于a、b、c三轮边缘上的点，下列说法正确的是（　　） A．a、b、c三点的线速度之比为 B．a、b、c三点的角速度之比为 C．a、b、c三点的周期之比为 D．a、b、c三点的向心加速度之比为 【答案】B 【详解】AB．、两点同轴转动，角速度相等，即，两点链条传动，线速度大小相等，即。根据线速度与角速度的关系可得， 所以、、三点的线速度之比为，角速度之比为，故Ａ错误，Ｂ正确； C．根据角速度与周期的关系可得、、三点的周期之比为，故Ｃ错误； D．根据向心加速度与角速度的关系，可得 根据向心加速度与线速度的关系可得 则、、三点的向心加速度之比为，故D错误。 选B。 9. 嘉兴某高中开设了糕点制作的选修课，小明同学在体验糕点制作“裱花”环节时，他在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径 英寸（20cm）的蛋糕，在蛋糕上每隔均匀“点”一次奶油，蛋糕一周均匀“点”上 个奶油，则下列说法正确的是（     ） A．圆盘转动的转速为 B．圆盘转动的角速度大小为 C．蛋糕边缘的奶油线速度大小约为 D．蛋糕边缘的奶油线速度约为 【答案】B 【详解】A．由题意可知，圆盘每转一圈，故转速为，故A错误； B．由角速度与周期的关系可得，故B正确； CD．蛋糕边缘的奶油线速度大小为，故CD错误。 故选B。 10. 李明的爸爸用小型电动打夯机平整自家房屋前方的场地，如图所示是电动打夯机的结构示意图。质量为m的摆锤通过轻杆（质量忽略不计）与总质量为M的底座（含电动机）上的转轴相连。电动机带动摆锤绕转轴O在竖直面内匀速转动，转动半径为R，重力加速度为g。若摆锤转到最高点时，底座对地面的压力刚好为零，下列说法正确的是（     ） A．摆锤在最高点时，杆给摆锤的弹力大小为0 B．摆锤在最高点时，杆给摆锤的弹力大小为mg C．摆锤的角速度为 D．摆锤的角速度为 【答案】D 【详解】AB．当摆锤转到最高点时，底座对地面的压力刚好为零，说明地面对底座的支持力为零，对底座受力分析，底座受到重力和杆对底座向上的拉力，根据平衡条件有 因为杆对摆锤的力与杆对底座的力大小相等，方向相反，即杆对摆锤的力方向向下，大小为，故AB错误； CD．对摆锤在最高点进行受力分析，摆锤受到重力和杆向下的拉力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得摆锤的角速度，故C错误，D正确。 故选D。 11. （多选）一轻质杆AB，初始时紧靠在光滑的竖直墙面上竖直静止放置，杆长为2l，在其中点C处固定一个质量为m的小球。现使A端不脱离墙面，B端沿着光滑地面以速度v向右匀速运动，重力加速度为g，关于图中球与杆运动过程的叙述正确的是（　　） A．小球做匀速圆周运动 B．杆与光滑地面的夹角为时，小球的速度大小为 C．杆对小球的作用力必须沿着轻杆方向 D．当时，杆对小球的作用力大小为 【答案】BD 【详解】AB．由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以小球与O点的距离始终为l，则小球的运动轨迹是以O点为圆心、半径为l的圆，则小球的速度方向垂直于OC向下，当杆与光滑地面的夹角为时，将B点和C点的速度沿着杆和垂直杆方向分解，如图所示 有 化简得 所以小球的速度大小随着角的减小而增大，并非匀速圆周运动，故A错误，B正确； C．根据角度关系可知，小球的速度方向与竖直方向的夹角为，则小球的速度沿水平方向的分速度为 即小球水平方向的分速度恒定，小球水平方向所受合力为零，因小球只受重力和杆对小球的作用力，则杆对小球的作用力必须沿着竖直方向，故C错误； D．竖直墙面对杆的作用力水平向右，阻碍杆的逆时针转动，故杆对小球的作用力竖直向上。当时， 由合力指向O点方向的分力提供向心力得 求得，故D正确。 故选BD。 12. 一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图所示，曲线上的点的曲率圆定义为通过点和曲线上紧邻点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做点的曲率圆，其半径叫做点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成角的方向以速度抛出，不计空气阻力，重力加速度取，则在其轨迹最高点处的曲率半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知，物体在轨迹最高点处的速度为 在点，由牛顿第二定律有 联立解得 故选A。 13. 如图，内半径的光滑空心圆柱体固定在水平地面上，一小滑块紧贴内壁从O点以v0=10m/s的初速度沿切向水平滑入，旋转一周经过O1点。取重力加速度g=10m/s2，则小滑块（　　） A．在竖直方向上做匀速直线运动 B．从O点运动到O1点所用的时间为2s C．在O1点时速度方向与竖直方向的夹角为45° D．对圆柱体的压力逐渐增大 【答案】C 【详解】A．将小滑块的运动分解到竖直方向和水平方向，由于竖直方向只受重力，竖直方向做自由落体运动，故A错误； B．小滑块从O点运动到O1点所用的时间为，故B错误； C．小滑块在O1点时的竖直分速度为 设小滑块在O1点时速度方向与竖直方向的夹角为θ，则有 所以，故C正确； D．小滑块水平方向只受圆柱体的支持力，且支持力总是与水平方向的速度垂直，小滑块在水平方向做匀速圆周运动，支持力提供向心力，则有 由此可知，支持力大小不变，根据牛顿第三定律可知，小滑块对圆柱体的压力大小保持不变，故D错误。 故选C。 14. （多选）如图为某种秋千椅的示意图，“”形轻质支架固定在竖直面内，沿水平方向，四根等长轻质硬杆通过光滑铰链悬挂长方形匀质椅板，竖直面内的、为等边三角形，并绕沿图中线来回摆动。已知重力加速度为，椅板的质量为，则椅板摆动到最低点时（     ） A．两点线速度相同 B．两点角速度相等 C．受到的拉力大于 D．受到的拉力大于 【答案】BCD 【详解】A．线速度是矢量，包含大小和方向。二者做圆周运动半径相等，线速度大小相等，但方向不同，故线速度不同，A错误； B．椅板整体摆动，、绕同一转轴摆动，相同时间转过角度一样，角速度ω相等，B正确； C．静止时，等边三角形杆与竖直方向夹角。总重力由四根杆分担，单根杆竖直分力 静止时 可得 最低点，椅板有向上向心加速度，杆拉力要大于静止时拉力，即，C正确； D．支架是轻质支架，两悬挂点、静止时每处承担 最低点，椅板有向上向心加速度，处总作用力大于，因此的拉力大于。D正确。 故选BCD。 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $