专题05 解直角三角形24大题型72题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材冀教版

专题05 解直角三角形（24大题型72题） 基础·固本强基 题型1 正弦的相关计算 题型2 余弦的相关计算 题型3 正切的相关计算 题型4 已知角度比较三角函数值的大小 题型5 特殊角的三角函数值 题型6 解直角三角形（重点） 题型7 解非直角三角形 题型8 解直角三角形的实际应用（重点） 提升·进阶突破 题型9 网格中的三角函数值 题型10 根据锐角三角函数求三角函数值 题型11 根据锐角三角函数求长度 题型12 特殊三角形的三角函数 题型13 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型14 同角三角函数关系式 题型15 解直角三角形的相关计算（重点） 题型16 非直角三角形的相关计算（重点） 题型17 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型18 仰俯角问题（重点） 题型19 方位角问题（重点） 题型20 坡度坡比问题（重点） 拔高·压轴破难 题型21 解直角三角形的多结论问题（难点） 题型22 根据锐角三角函数求解几何问题压轴（难点） 题型23 解直角三角形的实际应用压轴（难点） 题型24 解直角三角形的新定义与最值问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 正弦的相关计算（共3小题） 【易错】正弦是对边比斜边，不是对边比邻边，容易和正切混淆。要认准锐角，必须放在直角三角形内；非直角三角形不能直接用 sin，不区分斜边与直角边会直接列式出错。 1．（2025·上海崇明·一模）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：在锐角中，每个边都缩小为原来的，那么每个角的大小都不变， ∴的正弦值不变， 故选：C ． 2．（2025·云南大理·一模）如图所示，在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，由勾股定理求出斜边的长，再根据正弦的定义计算即可，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了网格与勾股定理，求正弦，证明是直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，进而根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：根据网格可得： ，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 故选：C． 题型2 余弦的相关计算（共3小题） 【易错】余弦为邻边比斜边，邻边是锐角相邻直角边，不是任意边。审题易选错邻边；注意角变化，锐角越大 cos 值越小，忽略直角三角形前提，直接对斜三角形套用公式。 4．（2026·云南昆明·二模）如图，在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，若，，， ∴． 5．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的余弦值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义；一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；其逆定理为如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角；利用格点分别求出、、，可判断出是直角三角形，进而求出的余弦值. 【详解】解：∵由图可知，，，， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴ 故选：D． 6．（25-26九年级下·全国·期中）如图，在中，点D，E分别是边的中点，于点F，，，则的长为（ ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，余弦函数，掌握这些知识是关键．由直角三角形斜边上中线的性质可求得，再由余弦定义即可求得结果． 【详解】解：∵D 、E分别是边的中点，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 题型3 正切的相关计算（共3小题） 【易错】正切是对边比邻边，不含斜边，极易和 sin、cos 混淆。注意必须是同一个锐角的两条直角边；看错角，把另一个角的对边、邻边代入，计算时分母分子颠倒。 7．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个角的正切值，先理解题意，结合网格特征，在中，，把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： 结合网格特征，在中，， ∴， 故选：B． 8．（25-26九年级上·上海松江·期中）如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（    ） A．扩大2倍 B．保持不变 C．缩小到原来的 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】本题主要考查了求角的正切值，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角所对的直角边与另一条直角边的比值，据此求解即可． 【详解】解：在中，不妨设， ∴， ∴把三边的长度都扩大为原来的2倍后， ∴锐角A的正切值保持不变， 故选：B． 9．（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，在中，，为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）根据正切的定义解即可得到答案； （2）根据（1）所求可得的长，进而可得的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据正弦的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 题型4 已知角度比较三角函数值的大小（共3小题） 【易错】记错增减性：sin、tan 随锐角增大而增大，cos 随锐角增大而减小。常把 cos 增减性记反；角度不在同一范围时，不转化直接比较，忽略锐角范围限制。 10．（25-26九年级上·全国·期中）比较下列三角函数值的大小（选填“>”“<”或“=”）： （1）_______ ． （2）_______ ． 【答案】 < > 【分析】本题考查了正余弦的转换方法以及正弦值的变化规律，掌握这些知识点是解题的关键． 首先根据正余弦的转换方法，得，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析； 首先根据正余弦的转换方法，得，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析. 【详解】解：∵，正弦值随着角的增大而增大， 又∵， ∴． ∵，正弦值随着角的增大而增大， 又∵， ∴． 故答案为： 11．（24-25九年级下·贵州黔东南·期中）的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了特殊角的三角函数值，比较三角函数在时的大小关系，需利用三角函数在锐角范围内的变化规律．首先比较和的大小，再分析的值，最后综合得出顺序． 【详解】解：， 的值最大， 又， ， ， 故选：D． 12．（25-26九年级上·北京·课堂例题）已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 __________； （2）若，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查了正切函数，掌握正切函数的性质是解题的关键． 根据正切函数的增减性求解即可． 【详解】（1） 解：由正切函数随角增大而增大，得； （2）解：由正切函数随角减小而减小，得； 故答案为：（1）；（2）． 题型5 特殊角的三角函数值（共3小题） 【易错】30°、45°、60° 函数值记混，如sin60^=这类低级错误。分不清分子谁带根号；计算时不化简根式，代入时分母有理化遗漏，混淆角度对应式子。 13．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）若，则的值是________． 【答案】 【详解】解： ， ∴． 14．（25-26九年级上·山东淄博·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角三角函数的计算．分别计算各项，将各项结果代入原式后再合并化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 15．（25-26九年级上·河北·单元复习）如图，在中，，，，则的长为_____．    【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值和含角直角三角形的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．根据得到，根据含角直角三角形的性质即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为： 题型6 解直角三角形（共3小题） 【易错】解直角三角形需至少已知 2 个条件（至少一条边）。习惯盲目套用三角函数，不先判断边角；忽略直角隐含条件，选错边角关系式，多余条件干扰列式，计算不检验。 16．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，在中、，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，作于点，分别解直角三角形，直角三角形，求出的长，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：作于点，则：， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为： 17．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，垂足为D，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的边角关系是解答的关键． （1）利用勾股定理求出的长，进而求出的值即可得到答案； （2）利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵， ∴在中，； （2）解：在中，由勾股定理得， ∴． 18．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明，再根据相似三角形的性质列出比例式，根据正切的定义式求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型7 解非直角三角形（共3小题） 【易错】不主动作高构造直角，直接用三角函数。作高位置选错，破坏已知角；拆分后两个直角三角形公共边识别错误，边角对应混乱，角度拆分出错，漏看隐藏直角。 19．（24-25九年级上·山东淄博·期中）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 20．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 21．（25-26九年级下·全国·期中）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 题型8 解直角三角形的实际应用（共3小题） 【易错】不会把实际场景转化几何图形，看错仰角俯角、线段。单位不统一；分不清观测点，图中边角标注错误；建立方程后，解出结果忘记按题意取舍，忽略实际意义。 22．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走160米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用–仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点A作，垂足为D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵是的一个外角，，， ∴， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴该主塔的高度是米． 23．（2025·陕西西安·模拟预测）在综合实践课上，兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 实践报告 活动课题 测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在湖岸上的凉亭处测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向； 【步骤二】从凉亭处沿湖岸向东方向走了100米到处，测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向（点A、B、C在同一平面上）； 解决问题 根据以上数据计算湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离（结果精确到1米）． 请你帮助兴趣小组解决以上问题．（参考数据：，） 【答案】湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，根据锐角三角函数，得到，，再根据列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，， 在中，， ，， 在中，， ， ， 米， ， 米， 答：湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离约为米． 24．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图是人行天桥的示意图，高米，斜坡米，则斜坡的坡度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题．根据坡度的定义直接求解即可． 【详解】解：∵坡高，斜坡， ∴水平距离，， ∴斜坡的坡度为，， 故选：C． 提升·进阶突破 题型9 网格中的三角函数值（共3小题） 25．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在网格中过点 作 边上的垂线，得到对边长度 2，邻边长度 6，根据正切定义，代入数字计算得到． 【详解】解：过点 作，交的延长线于点 ． ， ， ， ， ． 26．（2026·河北张家口·一模）如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角为，且点A，B，C都在格点上，则的值为_______． 【答案】 【分析】连接，设交格点于点，连接，由题意可得，为的中点，从而可得，设菱形的边长为，由题意可得，，再求得，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接，设交格点于点，连接， 由题意可得为的中点， ∵网格由相同的小菱形组成的， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设小菱形的边长为，取格点，，连接交于点，则，， 由题意得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴． 27．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于点D，在中，利用勾股定理求得线段的长，再按照正弦函数的定义计算即可． 本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得 ， ∴， 故选：D． 题型10 根据锐角三角函数求三角函数值（共3小题） 【易错】直接拿已知线段比值，不锁定目标锐角。无直角三角形时不构造；求一个角三角函数，误用别的角的对边邻边；相似转化边长时比例颠倒，忽略角不变性。 28．（25-26九年级上·河北保定·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的混合运算，二次根式的运算，负整数幂． （1）将特殊三角函数值代入，再根据二次根式运算法则进行计算即可； （2）将特殊三角函数值代入，计算绝对值，算术平方根，负整数幂，再根据二次根式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 29．（2026·河北沧州·模拟预测）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算： 解：    第一步     第二步       第三步 (1)比较大小：___________1（填“>”“<”或“=”），原解题过程在第__________步开始出现错误； (2)根据（1）的分析，计算：． 【答案】(1)，三 (2)0 【分析】本题考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值的运算法则即可解答； （2）代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：比较大小：，原解题过程在第三步开始出现错误； 故答案为：，三； （2）解： ． 30．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知是锐角，且．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．先由是锐角，且得到，即得，，再把、、的三角函数值代入计算即可求解． 【详解】解：是锐角，且， ， ，， ， ． 题型11 根据锐角三角函数求长度（共3小题） 【易错】列式时比例写反，对边邻边混淆。设未知数后解方程计算失误；分不清斜边、直角边；多个直角三角形时，不会利用公共边过渡，跨三角形边角乱代换。 31．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：    (1)线段的长； (2)的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质；熟练利用三角函数及勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由三角函数得，设，，由勾股定理得，即可求解； （2）由直角三角形的特征得，由等腰三角形的性质得，由正切函数即可求解． 【详解】（1）解：是边上的高，， ， 设，， ， ， 解得：， ； （2）解：是边的中点，是边上的高， ， ， ， ， ． 32．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则对角线的长为（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】B 【详解】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，求出的长是解题关键．根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出是等边三角形，可求出的长，再根据特殊角的锐角三角函数值进而求出的长． 【解答】解：在菱形中，对角线与相交于点O，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 33．（2025·浙江衢州·二模）如图，直角三角形中，是中线，是角平分线，与交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：是的中点， ， ， ， 是等边三角形， 是的角平分线， ； (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定与性质及解直角三角形的知识， （1）根据直角三角形斜边中线的性质得出，求出，从而得，证出是等边三角形，利用三线合一即可得出结果； （2）先求出，在中利用三角函数求出即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：是等边三角形， 是 的角平分线， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ． 题型12 特殊三角形的三角函数（共3小题） 【易错】等腰、等边三角形，不会作高转化 Rt△。等边三角形内角 60°，等腰底角易判断错误；直接用原三角形边长求三角函数，不分割，斜边直角边概念缺失。 34．（25-26九年级下·全国·期末）在中，，都是锐角，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 利用非负数的性质和三角函数，求出和的度数，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵， 且，， ∴ ，， ，． ，都是锐角， ∴，， 在中，． 故答案为：． 35．（25-26九年级上·全国·期中）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 36．（26-27九年级上·全国·期中）如图，在中，，于点D，，，求的度数． 【答案】 【分析】求出的值，进而求出的度数，根据同角的余角相等，得到即可. 【详解】解：∵于点D，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 题型13 根据特殊角三角函数值求角的度数（共3小题） 37．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）在中，若，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值与平方的非负性，三角形内角和，三角形分类，利用绝对值与平方的非负性求出的度数，再结合三角形内角和计算的度数，根据最大角的类型判断三角形形状，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵中，，， ∴，或， 若，则（钝角）， 若，则为钝角， 综上，是钝角三角形， 故选：． 38．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 39．（2024·河北保定·一模）题目“在中，，，，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：或，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．只有丙答的对 D．乙、丙合在一起才完整 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质以及勾股定理的应用，运用分类讨论的思想，由题意，画出图形，有两种情况．利用含角的直角三角形的性质可得出，勾股定理得出，进一步可得出，，则可得出或． 【详解】解：由题意，画出图形，有如下两种情况． ∵，， ∴点A到边的距离． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴或． 故选：C． 题型14 同角三角函数关系式（共3小题） 40．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 41．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 42．（25-26九年级下·全国·期中）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2) 证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； (3) 【分析】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． （1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （3）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； 由上面运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （2）略 （3）解：， ， ， ， ． 题型15 解直角三角形的相关计算（共3小题） 【易错】优先选原始已知条件列式，不用算出的中间值，防止误差。边角对应错位；勾股定理与三角函数混用混乱；根式计算不化简，近似取值过早造成结果偏差。 43．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦的定义，代入已知线段长求出的长； （2）先由勾股定理求出的长，再算出的长度，最后根据正切的定义求出的值． 【详解】（1）解：，垂足为点， ， 在中，， ，， ； （2）解：在中， 由勾股定理得：， ，， ， 在中，， ． 44．（2026·河北承德·二模）如图，在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作于点D，在中利用三角函数分别求得，在中由余弦函数值，设，由勾股定理得，从而求得x的值，即可求得，则． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得： ∴， ∴． 45．（25-26九年级上·河北保定·期中）在中，，点E是的中点，，垂足为点D．已知，． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形的相关计算，等面积法，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，，，故，解得，又因为点E是的中点，即； （2）先根据勾股定理得，再结合以及等面积法进行列式计算，得，故，最后把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， 则， ∴， ∵点E是的中点， ∴； （2）解：由（1）得， ∵，， ∴， 则 ∵， ∴， 解得， ∵，， ∴， 则． 题型16 非直角三角形的相关计算（共3小题） 【易错】作高只想到向底边作垂线，不会灵活选顶点。分割后角度拆分错误；两个直角三角形公共高不会联立方程；边角跨三角形混用，忽略角之间的和差关系。 46．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 47．（25-26九年级下·全国·期中）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 48．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由，易得，由可得，进而用勾股定理分别将BD、BC长用AB表示出来，再根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：D 【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 题型17 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积（共3小题） 【易错】辅助线盲目画，分割后产生多余未知量。不会用割补法；构造后找错目标角；面积计算忘记加减多余部分，线段重复或漏算，三角函数与面积公式搭配出错。 49．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 50．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 51．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在中，，，，则的长为________，的面积为________． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 题型18 仰俯角问题（共3小题） 【易错】仰角俯角是视线与水平线夹角，不是和竖直线夹角。不会用内错角转化；两个观测点高度差忽略；设高列方程时，水平距离加减搞反，画图时角度标注错误。 52．（2026·河北廊坊·二模）【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量． 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点处竖直上升60米后飞行至点处，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得大剧院最高点和点的俯角分别为和，米． 【数据应用】点，，，，在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题．（参考数据：，，） (1)线段的长为________米； (2)计算大剧院的高度（）． 【答案】(1)60 (2)51.75米 【分析】（1）在中解直角三角形即可； （2）延长，交于点F，则，可得四边形为矩形，因此米，米，米，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得米，，， ∴（米）， 即线段的长为60米． （2）解：如图，延长，交于点F，则． 由题意得， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∴米． ∵在中，， ∴（米）， ∴（米）． 即大剧院的高度为米． 53．（2026·河北沧州·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚（如图1），其侧面的示意图如图所示，其中线段代表水平地面，点，位于地面；测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为，处的俯角为． (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，交于点，结合题意可得、的长度，由有一个锐角是得的长度，从而可得到； （2）在中，利用正切公式可得的长度，接着在中，利用正切公式可得的长度，从而可得到． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，交于点， ，，， 四边形和四边形均为矩形， ，， 在中，，， ， ， ， 支柱的高为； （2）解：在中，，，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 顶棚M处离地面的高度的长为． 54．（2026·河北沧州·模拟预测）2026年4月，春季农耕关键时期，河北省沧州市就是立足农业生产实际，积极推广无人机飞防技术，为春季农业提质增效注入科技力量，提高农业生产效率，助力夏粮丰收．如图，技术人员位于山坡上的点控制无人机点进行作业．控制器显示：无人机距离水平地面的竖直高度是，观测点位置的俯角为．已知点距离山脚点A的距离是，山坡的坡度为． (1)求点处距水平地面的竖直高度； (2)求无人机与技术人员之间的距离（结果精确到）．（参考数据：取，取，取） 【答案】(1)点处距水平地面的竖直高度为 (2)无人机与技术人员之间的距离为 【分析】（1）交的延长线于点，根据山坡的坡度为得出，在中，根据勾股定理求得，即可求解； （2）作于点，于点，如图，四边形为矩形，根据题意得出，解，即可求解． 【详解】（1）解：作交的延长线于点，如图， 由题意，得， 设，且， ， 在中，， 即， 解得（负值已舍）， ，即点处距水平地面的竖直高度为； （2）作于点，于点，如图，四边形为矩形， ， ， 无人机观测点位置的俯角为， 点观测点的仰角也是，即， 在中， ， 无人机与技术人员之间的距离为． 题型19 方位角问题（共3小题） 【易错】方位角从正北或正南开始计量，不是正东正西。南北线是平行线，内错角不会转化；画图漏画十字方位；航行图形中角度算错，边长关系判断颠倒。 55．（2026·广东东莞·三模）机器人竞走比赛是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图，在某次机器人竞走比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行到点B，然后从点B沿南偏西方向直行到点C． 若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离．（结果精确到；参考数据： ， ， ，） 【答案】 【分析】过点 B 作，交的延长线于点 D，求得 作差求解即可； 【详解】解：过点 B 作，交的延长线于点 D， 根据题意，得， 在 中， ； ， 在中，， ． 56．（2026·河北廊坊·一模）如下图，两条互相垂直的道路m，n交于点M，道路m上有相距的A，B两个观察点，同时观察到道路n上有一辆汽车C．此时汽车C位于观察点B的北偏东方向上，位于观察点A的北偏东方向上． (1)求C到M的距离； (2)汽车C突然加速，后到达点D，位于观察点B的北偏东方向上．问汽车C是否超速？（限速，） 【答案】(1) (2)汽车C没有超速 【分析】（1）设，解得到，解得到，再根据建立方程求解即可； （2）根据（1）可得的长，解直角三角形求出的长，进而求出的长，再求出汽车的速度即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 由题意得，，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：C到M的距离为； （2）解：由（1）得， 在中，， ∴， ∴， ∴汽车的速度为， ∵， ∴汽车C没有超速． 答：汽车C没有超速． 57．（2026·河北·模拟预测）某景区三个游客中心A，B，C的位置如图所示，其中B在A的北偏东方向上，且A，B之间的距离为，C在A的北偏东方向上，且在B的南偏东方向上，其中及为景区内游览车车道． (1)直接写出及的度数； (2)求游览车道及的长（结果保留小数点后一位，参考数据：，）． 【答案】(1)， (2)游览车道的长约为，的长约为 【分析】（1）先根据已知条件可求出的度数，再求得的度数，最后利用三角形内角和定理求得的度数； （2）通过构造辅助线，利用解直角三角形求出相关线段的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意，B在A的北偏东方向，C在A的北偏东方向， ∴， ∵C在B的南偏东方向，B在A的北偏东方向， ∴A在B的南偏西方向， ∴， ∴． （2）解：如图，过点B作于点D， 在中，，， 在中， ， ， ， ， ， ∴游览车道的长约为，的长约为． 题型20 坡度坡比问题（共3小题） 58．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高； (2)求水库坝底宽的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）在中，根据含30度角的直角三角形的性质得到，即可求解； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而得米，米，再根据斜坡的坡度求出，在中，解直角三角形求出，最后根据线段的和差求解． 【详解】（1）解：∵斜坡米，坡角，， ∴（米）， 即坝高为米； （2）解：如图，过点作于点， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵斜坡的坡度， ∴（米）， ∵坡角，，米， ∴（米）， ∴米， 答：坝底宽的长为米． 59．（2026·河北保定·模拟预测）【新课标▪应用意识】如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的信号塔．在处测得信号塔顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度，米，．（点，，，在同一竖直平面内） (1)求平台的高度； (2)求信号塔的高度（结果精确到1米，参考数据：，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于，根据坡度的概念得到，再根据勾股定理求出； （2）延长交于，设，根据正切的定义用表示出，根据题意列式即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ∵斜坡的坡度为， ∴． ∴． 在中，，即． 解得（负值已舍去）， 故平台的高度为． （2）解：如图，延长交于，则，四边形为矩形， ∴，， 设，则． 在中，， ∴， 在中，，则， 由（1）可知，， ∴，解得 ， 故信号塔的高度约为． 60．（2026·河北张家口·一模）如图，某旅游景点的游客中心AB垂直于地面，测得游客中心的高度AB为10米，该景点的后山上长有一棵松树EF，嘉嘉在游客中心楼顶A处测得树顶F的俯角α=22.62°，经询问当地导游，得知后山的坡比为3：4，从山脚C处沿着斜坡行走6米可到达E处，游客中心楼底B处到山脚C的距离BC=6米． (1)求游客中心AB与松树EF之间的水平距离； (2)求松树EF的高度．（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】根据坡度的定义求出，即可得到的长；作辅助线构造直角三角形，根据三角函数的定义求出，进而得出的长，根据已知条件求出，进而得到的长，计算即可得解． 【详解】（1）后山的坡比为3：4， 设，， ， 由题可得：（米）， ， ， （米），（米）， （米）， （米）． （2）过点作，过点作， ，，（米）， （米）， 在中，， ， （米）， （米）， （米）， （米）， （米）． 拔高·压轴破难 题型21 解直角三角形的多结论问题（共3小题） 61．（25-26九年级上·河北沧州·期末）题目：“如图，在矩形中，，，为的中点，动点在射线上，将沿折叠得到，且，分别交于点，．若与相似，求的长”，甲答：；乙答：；丙答：．则正确的是（   ）． A．只有甲的答案对 B．甲和乙的答案合在一起才对 C．甲和丙的答案合在一起才对 D．乙和丙的答案合在一起才对 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质结合勾股定理求出，推出，再通过折叠得出，最后根据与相似进行分类讨论：①，②，结合特殊的三角函数值求解即可． 【详解】∵在矩形中， ∴， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∵与相似，，分类讨论得： ①∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； ②∵ ∴， ∵， ∴， ∴； ∴综上，或，即甲和丙的答案合在一起才对． 62．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知在矩形中，是边的中点，与垂直，交直线于点，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】通过证明，可得，可证；过作交于，可证四边形是平行四边形，可得，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得；通过证明，可得，可求，即可得；由平行线性质可得，，可证，则可求解． 【详解】解：， ， ， 是边的中点， ， ， ，故①正确； 如图，过作交于， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ，故②正确； ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 63．（2026·河北邯郸·一模）如图，矩形纸片中，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后，再过点C折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，再次展平，若交于点G，连接．有下列结论：①；②与全等；③线段EG的长为；④若P、Q分别为线段上的动点（不包括端点），则的最小值是；其中，正确的结论是_____． 【答案】 ①③/③① 【分析】，，在中，，判断①；由，得 与不全等，判断②；中分别求出和的长，进而求出，判断③；利用轴对称性质将转化为，根据垂线段最短求出最小值，判断④． 【详解】解：①由折叠可知，垂直平分，， ，， 在中，， ， 四边形是矩形， ， , 故结论①正确； ②根据折叠的性质，可得， ∵， 与不全等， 故结论②错误； ③在中，，， ， 同理：， ， 故结论③正确； ④连接，由折叠可知，点与点关于直线对称， ， ， 当、、三点共线，且时，的值最小， 最小值为点到的距离， ，， 是等边三角形， 点到的距离为， 的最小值是， 故结论④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 题型22 根据锐角三角函数求解几何问题压轴（共3小题） 64．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在和中，，，点E在线段上，点A在线段上，且．连接． （1）若，则的大小为________；（用含的代数式表示） （2）当时，连接交于点P，则的长为________． 【答案】 / 【分析】（1）由得，证，得，结合等腰的，进而即可求解； （2）由推得，求得、，故；由证，可得，进而即可求解． 【详解】解：如图（1）， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ， 由题意得，是等腰三角形， ∴， ； （2）如图（2），设，交于点G， ∵， ，即， ∴， 又由（1）知， ， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴． 设，则． 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题以双直角三角形为载体，综合运用全等、相似三角形的判定与性质，结合三角函数推导角度与线段长度，体现了转化化归与数形结合的核心数学思想． 65．（2026·河北唐山·二模）如图，已知在中，已知，，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面内的点处，连接，形成了新的几何图形．请你结合折叠前后的图形变化，完成以下探究任务． (1)根据折叠的性质，直接写出线段，的长度； (2)若， ①求； ②直接写出的长度． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）由折叠的性质解答即可； （2）①过点C作于点E，结合平行四边形的性质可得，从而得到，再由勾股定理可得，即可求解；②过点作于点F，证明，再证明，从而得到，进而得到，进而得到，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：，； （2）解：①如图，过点C作于点E， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，由①得：， ∴， 过点作于点F， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 66．（2026·河北邢台·二模）如图，在中，，，，点在边上，过点作交射线于点，作点关于的对称点． (1)求点到直线的距离； (2)若，则_____； (3)连接交边于点，连接．若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)6 (2)或 (3) 【分析】（1）利用三角函数和勾股定理解即可； （2）证明，根据对应边长成比例得，分两种情况：点N在线段上，N在线段的延长线上，代入数值计算即可； （3）过点M作于点H，设，通过解直角三角形，得出，，进而用含x的式子表示出，分别计算出和时的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：中，，，， ， ， 即点到直线的距离为6； （2）解：，， ， 又， ， ，即， 时，分两种情况： 当点N在线段上时，， ， 解得； 当点N在线段的延长线上时，， ， 解得， 综上可知，或； （3）解：过点M作于点H， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，如图： ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 即， 解得， 当时，是锐角三角形； 当时，如图： 则， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得， 当时，是锐角三角形； 综上可得，当时，是锐角三角形． 题型23 解直角三角形的实际应用压轴（共3小题） 67．（2026·河北邯郸·模拟预测）图1是一座钢结构的多功能综合电视塔，某校数学兴趣小组计划在综合实践活动课中测量此电视塔的高度，测量方案如下： 课题 测量电视塔的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪、计算器等 自制测角仪的使用方法 小组成员利用量角器和铅锤自制简易测角仪，如图2，在P点观察所测物体最高点Q，使视线沿着量角器的直径MN刚好到达点Q，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．    模型抽象与测量过程 如图3，电视塔坐落于矩形高台上，小组成员在水平地面上的点D处，用自制测角仪测得的度数，再继续向前走到点G处，沿台阶GC上到平台上，在点C处测得的度数，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G，D在同一条水平直线上．（测角仪离地面的高度忽略不计）    测量数据 的度数 的度数 的度数 的长度 的长度 参考数据 ，，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求台阶的水平宽度； (2)求该电视塔的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，由的余弦值即可求解； （2）设，根据的正切值可表示的长度，由此可得的长度，再根据的长度与的长度可知的长度，再结合的正切值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， 可得， 答：台阶的水平宽度的长度为； （2）解：设， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， 即， 则有，解得， 即， 答：电视塔的高度为． 68．（25-26九年级下·河北廊坊·期中）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点A齐平，其主视图如图2所示． (1)在图2中，与桌面l的位置关系为______； (2)延长与l交于点F，求证： (3)判断图1中矩形的面积与图2中的面积的大小，并求斜坡的坡度（即的值）．（直棱柱体积底面积×高） 【答案】(1)平行 (2) 延长，交直线于点H，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴； (3)相等； 【分析】（1）根据题意可直接得出结果； （2）延长，交直线于点H，根据平行线的性质得出，再由正方形的性质及相似三角形的判定即可证明； （3）根据图形得出矩形的面积为：，设，利用等体积法得出，确定的面积，进行比较即可；再由正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵水面是水平的， ∴； （2）略 （3）根据题意得：棱长为，， ∴， ∴矩形的面积为：， 设， ∵水的体积不变， 水平放置时水的体积为：， ∴放在斜坡上时，水的体积可以看作是正方体体积减去三棱柱的体积， 正方体体积， 三棱柱体积为：， ∴， 解得，即， ∴的面积为： ∴图1中矩形的面积与图2中的面积相等； 由（2）得， 在中，， 即． 69．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图，A，B，C，D在同一平面内，A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处，两无人机同时匀速飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)当甲无人机飞离B处4千米时，两无人机可以开始相互接收到信号，此时两无人机相距16千米，若乙无人机速度为甲无人机速度的n倍，直接写出n的值． 【答案】(1)的长度为千米 (2) 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握解直角三角形的方法． （1）过点作于点，过点作于点，得出四边形为矩形，利用含角的直角三角形的性质，得出，然后利用锐角三角函数和勾股定理进行求解即可； （2）假设此时，甲无人机位于点处，乙无人机位于点处，过点作于点，连接，然后利用锐角三角函数，勾股定理以及含角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴的长度为千米； （2）解：如图所示，假设此时，甲无人机位于点处，乙无人机位于点处，过点作于点，连接， 由图可知，， ∴， ∴，， 由图可知，， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴． 题型24 解直角三角形的新定义与最值问题（共3小题） 70．（25-26九年级上·江苏南通·期中）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 【理解】 （1）如图1，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，，，，求出的长度． （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分，．请问是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 【运用】 （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长 【答案】（1）或； （2）是四边形的“相似对角线”， 理由如下： ，平分， ， ， ， ， ， ∴是四边形的“相似对角线”； （3）的长为 【分析】（1）根据“相似对角线”的定义，分两种情况讨论，分别列式计算即可求解； （2）先说明，即可说明理由； （3）先判断出，得出，再求出，即可求得的值 【详解】解：（1）四边形是以为“相似对角线”的四边形， ∴或， ∵，，， 由勾股定理得，， 当时， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， 综上：或； （2）略． （3）如图3， ∵是四边形的“相似对角线”， ∴与相似． 又， ， ∴， ， 过点E作垂足为Q， 可得， ∵， ∴， ， ， ∴． 【点睛】本题是属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、认识新定义、锐角三角函数等知识点，正确判定相似三角形是解答本题的关键． 71．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________． 【答案】或 【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：①当时，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，证明，得到，即可求出的长；②当时，过点作交于点，由等角对等边得到，再证明，设，进而得出，，根据求出的值，即可求出的长；③当时，利用锐角三角函数，得出，，即此种情况不存在；④当时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 若为“反直角三角形”， ①当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②当时，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ； ③当时， ，，且， ， ， 若，则，即， 此种情况不存在； ④当时， 当点与点重合时，最小，此时， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 72．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）数学课上，老师拿出两块不同大小的含30度角的三角板让同学们在不同位置尝试操作． (1)如图1摆放，小三角板与大三角板，点D在上，点E在上，连接，已知，，求的值． (2)如图2摆放，把上述同样大小的两块三角板的直角顶点互相重合放置，小三角板绕着点C旋转，连结、． ①求和的数量关系； ②求的最大值； (3)在（2）的条件下旋转过程中，当的面积为时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求出、，解直角三角形求出，再根据即可求解； （2）①先证明，由（1）得，即可证明，根据相似三角形的对应边成比例，即可得和的数量关系； ②当点旋转到的下方，且与共线时，有最大值，即可求解； （3）过点作于点，过点作的延长线于点，由面积法求出，由勾股定理求出，再证明，得到，即可求出、，再由勾股定理求的长． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （2）解：①∵， ∴，即， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴； ②由（1）知，，， ∵，， ∴， 当点旋转到的下方，且与共线时，有最大值， 此时； （3）解：如图，过点作于点，过点作的延长线于点， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 解直角三角形（24大题型72题） 基础·固本强基 题型1 正弦的相关计算 题型2 余弦的相关计算 题型3 正切的相关计算 题型4 已知角度比较三角函数值的大小 题型5 特殊角的三角函数值 题型6 解直角三角形（重点） 题型7 解非直角三角形 题型8 解直角三角形的实际应用（重点） 提升·进阶突破 题型9 网格中的三角函数值 题型10 根据锐角三角函数求三角函数值 题型11 根据锐角三角函数求长度 题型12 特殊三角形的三角函数 题型13 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型14 同角三角函数关系式 题型15 解直角三角形的相关计算（重点） 题型16 非直角三角形的相关计算（重点） 题型17 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型18 仰俯角问题（重点） 题型19 方位角问题（重点） 题型20 坡度坡比问题（重点） 拔高·压轴破难 题型21 解直角三角形的多结论问题（难点） 题型22 根据锐角三角函数求解几何问题压轴（难点） 题型23 解直角三角形的实际应用压轴（难点） 题型24 解直角三角形的新定义与最值问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 正弦的相关计算（共3小题） 【易错】正弦是对边比斜边，不是对边比邻边，容易和正切混淆。要认准锐角，必须放在直角三角形内；非直角三角形不能直接用 sin，不区分斜边与直角边会直接列式出错。 1．（2025·上海崇明·一模）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 2．（2025·云南大理·一模）如图所示，在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D．2 题型2 余弦的相关计算（共3小题） 【易错】余弦为邻边比斜边，邻边是锐角相邻直角边，不是任意边。审题易选错邻边；注意角变化，锐角越大 cos 值越小，忽略直角三角形前提，直接对斜三角形套用公式。 4．（2026·云南昆明·二模）如图，在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的余弦值是（    ） A．2 B． C． D． 6．（25-26九年级下·全国·期中）如图，在中，点D，E分别是边的中点，于点F，，，则的长为（ ） A． B．4 C． D．8 题型3 正切的相关计算（共3小题） 【易错】正切是对边比邻边，不含斜边，极易和 sin、cos 混淆。注意必须是同一个锐角的两条直角边；看错角，把另一个角的对边、邻边代入，计算时分母分子颠倒。 7．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·上海松江·期中）如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（    ） A．扩大2倍 B．保持不变 C．缩小到原来的 D．以上都有可能 9．（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，在中，，为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 题型4 已知角度比较三角函数值的大小（共3小题） 【易错】记错增减性：sin、tan 随锐角增大而增大，cos 随锐角增大而减小。常把 cos 增减性记反；角度不在同一范围时，不转化直接比较，忽略锐角范围限制。 10．（25-26九年级上·全国·期中）比较下列三角函数值的大小（选填“>”“<”或“=”）： （1）_______ ． （2）_______ ． 11．（24-25九年级下·贵州黔东南·期中）的大小关系是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·北京·课堂例题）已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 __________； （2）若，则 __________． 题型5 特殊角的三角函数值（共3小题） 【易错】30°、45°、60° 函数值记混，如sin60^=这类低级错误。分不清分子谁带根号；计算时不化简根式，代入时分母有理化遗漏，混淆角度对应式子。 13．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）若，则的值是________． 14．（25-26九年级上·山东淄博·期中）计算： (1)； (2)． 15．（25-26九年级上·河北·单元复习）如图，在中，，，，则的长为_____．    题型6 解直角三角形（共3小题） 【易错】解直角三角形需至少已知 2 个条件（至少一条边）。习惯盲目套用三角函数，不先判断边角；忽略直角隐含条件，选错边角关系式，多余条件干扰列式，计算不检验。 16．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，在中、，，，则的长为_____． 17．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，垂足为D，． (1)求的长； (2)求的正切值． 18．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D，则（   ） A． B． C． D． 题型7 解非直角三角形（共3小题） 【易错】不主动作高构造直角，直接用三角函数。作高位置选错，破坏已知角；拆分后两个直角三角形公共边识别错误，边角对应混乱，角度拆分出错，漏看隐藏直角。 19．（24-25九年级上·山东淄博·期中）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 20．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 21．（25-26九年级下·全国·期中）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 题型8 解直角三角形的实际应用（共3小题） 【易错】不会把实际场景转化几何图形，看错仰角俯角、线段。单位不统一；分不清观测点，图中边角标注错误；建立方程后，解出结果忘记按题意取舍，忽略实际意义。 22．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走160米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度． 23．（2025·陕西西安·模拟预测）在综合实践课上，兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 实践报告 活动课题 测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在湖岸上的凉亭处测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向； 【步骤二】从凉亭处沿湖岸向东方向走了100米到处，测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向（点A、B、C在同一平面上）； 解决问题 根据以上数据计算湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离（结果精确到1米）． 请你帮助兴趣小组解决以上问题．（参考数据：，） 24．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图是人行天桥的示意图，高米，斜坡米，则斜坡的坡度为（    ） A． B． C． D． 提升·进阶突破 题型9 网格中的三角函数值（共3小题） 25．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 26．（2026·河北张家口·一模）如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角为，且点A，B，C都在格点上，则的值为_______． 27．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 题型10 根据锐角三角函数求三角函数值（共3小题） 【易错】直接拿已知线段比值，不锁定目标锐角。无直角三角形时不构造；求一个角三角函数，误用别的角的对边邻边；相似转化边长时比例颠倒，忽略角不变性。 28．（25-26九年级上·河北保定·期中）计算 (1) (2) 29．（2026·河北沧州·模拟预测）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算： 解：    第一步     第二步       第三步 (1)比较大小：___________1（填“>”“<”或“=”），原解题过程在第__________步开始出现错误； (2)根据（1）的分析，计算：． 30．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知是锐角，且．求的值． 题型11 根据锐角三角函数求长度（共3小题） 【易错】列式时比例写反，对边邻边混淆。设未知数后解方程计算失误；分不清斜边、直角边；多个直角三角形时，不会利用公共边过渡，跨三角形边角乱代换。 31．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：    (1)线段的长； (2)的正切值． 32．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则对角线的长为（    ） A． B． C．6 D．4 33．（2025·浙江衢州·二模）如图，直角三角形中，是中线，是角平分线，与交于点． (1)求证：； (2)求的长． 题型12 特殊三角形的三角函数（共3小题） 【易错】等腰、等边三角形，不会作高转化 Rt△。等边三角形内角 60°，等腰底角易判断错误；直接用原三角形边长求三角函数，不分割，斜边直角边概念缺失。 34．（25-26九年级下·全国·期末）在中，，都是锐角，若，则的度数是________． 35．（25-26九年级上·全国·期中）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 36．（26-27九年级上·全国·期中）如图，在中，，于点D，，，求的度数． 题型13 根据特殊角三角函数值求角的度数（共3小题） 37．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）在中，若，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 38．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 39．（2024·河北保定·一模）题目“在中，，，，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：或，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．只有丙答的对 D．乙、丙合在一起才完整 题型14 同角三角函数关系式（共3小题） 40．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 41．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 42．（25-26九年级下·全国·期中）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 题型15 解直角三角形的相关计算（共3小题） 【易错】优先选原始已知条件列式，不用算出的中间值，防止误差。边角对应错位；勾股定理与三角函数混用混乱；根式计算不化简，近似取值过早造成结果偏差。 43．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． (1)求的长； (2)求的值． 44．（2026·河北承德·二模）如图，在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 45．（25-26九年级上·河北保定·期中）在中，，点E是的中点，，垂足为点D．已知，． (1)求线段的长； (2)求的值． 题型16 非直角三角形的相关计算（共3小题） 【易错】作高只想到向底边作垂线，不会灵活选顶点。分割后角度拆分错误；两个直角三角形公共高不会联立方程；边角跨三角形混用，忽略角之间的和差关系。 46．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 47．（25-26九年级下·全国·期中）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ___________． 48．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 题型17 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积（共3小题） 【易错】辅助线盲目画，分割后产生多余未知量。不会用割补法；构造后找错目标角；面积计算忘记加减多余部分，线段重复或漏算，三角函数与面积公式搭配出错。 49．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 50．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 51．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在中，，，，则的长为________，的面积为________． 题型18 仰俯角问题（共3小题） 【易错】仰角俯角是视线与水平线夹角，不是和竖直线夹角。不会用内错角转化；两个观测点高度差忽略；设高列方程时，水平距离加减搞反，画图时角度标注错误。 52．（2026·河北廊坊·二模）【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量． 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点处竖直上升60米后飞行至点处，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得大剧院最高点和点的俯角分别为和，米． 【数据应用】点，，，，在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题．（参考数据：，，） (1)线段的长为________米； (2)计算大剧院的高度（）． 53．（2026·河北沧州·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚（如图1），其侧面的示意图如图所示，其中线段代表水平地面，点，位于地面；测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为，处的俯角为． (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．（参考数据：，，） 54．（2026·河北沧州·模拟预测）2026年4月，春季农耕关键时期，河北省沧州市就是立足农业生产实际，积极推广无人机飞防技术，为春季农业提质增效注入科技力量，提高农业生产效率，助力夏粮丰收．如图，技术人员位于山坡上的点控制无人机点进行作业．控制器显示：无人机距离水平地面的竖直高度是，观测点位置的俯角为．已知点距离山脚点A的距离是，山坡的坡度为． (1)求点处距水平地面的竖直高度； (2)求无人机与技术人员之间的距离（结果精确到）．（参考数据：取，取，取） 题型19 方位角问题（共3小题） 【易错】方位角从正北或正南开始计量，不是正东正西。南北线是平行线，内错角不会转化；画图漏画十字方位；航行图形中角度算错，边长关系判断颠倒。 55．（2026·广东东莞·三模）机器人竞走比赛是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图，在某次机器人竞走比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行到点B，然后从点B沿南偏西方向直行到点C． 若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离．（结果精确到；参考数据： ， ， ，） 56．（2026·河北廊坊·一模）如下图，两条互相垂直的道路m，n交于点M，道路m上有相距的A，B两个观察点，同时观察到道路n上有一辆汽车C．此时汽车C位于观察点B的北偏东方向上，位于观察点A的北偏东方向上． (1)求C到M的距离； (2)汽车C突然加速，后到达点D，位于观察点B的北偏东方向上．问汽车C是否超速？（限速，） 57．（2026·河北·模拟预测）某景区三个游客中心A，B，C的位置如图所示，其中B在A的北偏东方向上，且A，B之间的距离为，C在A的北偏东方向上，且在B的南偏东方向上，其中及为景区内游览车车道． (1)直接写出及的度数； (2)求游览车道及的长（结果保留小数点后一位，参考数据：，）． 题型20 坡度坡比问题（共3小题） 58．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高； (2)求水库坝底宽的长． 59．（2026·河北保定·模拟预测）【新课标▪应用意识】如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的信号塔．在处测得信号塔顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度，米，．（点，，，在同一竖直平面内） (1)求平台的高度； (2)求信号塔的高度（结果精确到1米，参考数据：，）． 60．（2026·河北张家口·一模）如图，某旅游景点的游客中心AB垂直于地面，测得游客中心的高度AB为10米，该景点的后山上长有一棵松树EF，嘉嘉在游客中心楼顶A处测得树顶F的俯角α=22.62°，经询问当地导游，得知后山的坡比为3：4，从山脚C处沿着斜坡行走6米可到达E处，游客中心楼底B处到山脚C的距离BC=6米． (1)求游客中心AB与松树EF之间的水平距离； (2)求松树EF的高度．（参考数据：） 拔高·压轴破难 题型21 解直角三角形的多结论问题（共3小题） 61．（25-26九年级上·河北沧州·期末）题目：“如图，在矩形中，，，为的中点，动点在射线上，将沿折叠得到，且，分别交于点，．若与相似，求的长”，甲答：；乙答：；丙答：．则正确的是（   ）． A．只有甲的答案对 B．甲和乙的答案合在一起才对 C．甲和丙的答案合在一起才对 D．乙和丙的答案合在一起才对 62．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知在矩形中，是边的中点，与垂直，交直线于点，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 63．（2026·河北邯郸·一模）如图，矩形纸片中，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后，再过点C折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，再次展平，若交于点G，连接．有下列结论：①；②与全等；③线段EG的长为；④若P、Q分别为线段上的动点（不包括端点），则的最小值是；其中，正确的结论是_____． 题型22 根据锐角三角函数求解几何问题压轴（共3小题） 64．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在和中，，，点E在线段上，点A在线段上，且．连接． （1）若，则的大小为________；（用含的代数式表示） （2）当时，连接交于点P，则的长为________． 65．（2026·河北唐山·二模）如图，已知在中，已知，，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面内的点处，连接，形成了新的几何图形．请你结合折叠前后的图形变化，完成以下探究任务． (1)根据折叠的性质，直接写出线段，的长度； (2)若， ①求； ②直接写出的长度． 66．（2026·河北邢台·二模）如图，在中，，，，点在边上，过点作交射线于点，作点关于的对称点． (1)求点到直线的距离； (2)若，则_____； (3)连接交边于点，连接．若是锐角三角形，求的取值范围． 题型23 解直角三角形的实际应用压轴（共3小题） 67．（2026·河北邯郸·模拟预测）图1是一座钢结构的多功能综合电视塔，某校数学兴趣小组计划在综合实践活动课中测量此电视塔的高度，测量方案如下： 课题 测量电视塔的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪、计算器等 自制测角仪的使用方法 小组成员利用量角器和铅锤自制简易测角仪，如图2，在P点观察所测物体最高点Q，使视线沿着量角器的直径MN刚好到达点Q，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．    模型抽象与测量过程 如图3，电视塔坐落于矩形高台上，小组成员在水平地面上的点D处，用自制测角仪测得的度数，再继续向前走到点G处，沿台阶GC上到平台上，在点C处测得的度数，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G，D在同一条水平直线上．（测角仪离地面的高度忽略不计）    测量数据 的度数 的度数 的度数 的长度 的长度 参考数据 ，，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求台阶的水平宽度； (2)求该电视塔的高度． 68．（25-26九年级下·河北廊坊·期中）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点A齐平，其主视图如图2所示． (1)在图2中，与桌面l的位置关系为______； (2)延长与l交于点F，求证： (3)判断图1中矩形的面积与图2中的面积的大小，并求斜坡的坡度（即的值）．（直棱柱体积底面积×高） 69．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图，A，B，C，D在同一平面内，A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处，两无人机同时匀速飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)当甲无人机飞离B处4千米时，两无人机可以开始相互接收到信号，此时两无人机相距16千米，若乙无人机速度为甲无人机速度的n倍，直接写出n的值． 题型24 解直角三角形的新定义与最值问题（共3小题） 70．（25-26九年级上·江苏南通·期中）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 【理解】 （1）如图1，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，，，，求出的长度． （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分，．请问是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 【运用】 （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长 71．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________． 72．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）数学课上，老师拿出两块不同大小的含30度角的三角板让同学们在不同位置尝试操作． (1)如图1摆放，小三角板与大三角板，点D在上，点E在上，连接，已知，，求的值． (2)如图2摆放，把上述同样大小的两块三角板的直角顶点互相重合放置，小三角板绕着点C旋转，连结、． ①求和的数量关系； ②求的最大值； (3)在（2）的条件下旋转过程中，当的面积为时，直接写出的长． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $