专题02 一元二次方程20大题型60题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材冀教版

专题02 一元二次方程（20大题型60题） 基础·固本强基 题型1 一元二次方程的相关概念 题型2 一元二次方程的解 题型3 一元二次方程的四种解法（重点） 题型4 利用根的判别式直接判断根的情况 题型5 一元二次方程根与系数的关系基础 题型6 一元二次方程的实际应用基础 提升·进阶突破 题型7 根据一元二次方程的定义求参数（重点） 题型8 一元二次方程解的估算 题型9 配方法的应用（重点） 题型10 换元法解一元二次方程 题型11 根的判别式（重点） 题型12 根据一元二次方程根的情况求参数（重点） 题型13 一元二次方程根与系数的关系综合（重点） 题型14 一元二次方程的应用之销售问题（重点） 题型15 一元二次方程的应用之动态几何问题 拔高·压轴破难 题型16 一元二次方程的含参问题综合（难点） 题型17 利用一元二次方程的配方法求最值（难点） 题型18 韦达定理综合（难点） 题型19 一元二次方程的应用压轴（难点） 题型20 一元二次方程的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 一元二次方程的相关概念（共3小题） 【步骤】先判断是否整式方程，整理成标准形式，确定各项系数，注意二次项系数不为零。 【易错】容易忽略二次项系数不能为 0；移项变号出错，混淆一次项与常数项符号。 1．（26-27九年级上·河北沧州·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·山东聊城·期中）下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 题型2 一元二次方程的解（共3小题） 4．（24-25九年级上·河北保定·期末）下列数中，能使方程成立的x的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 5．（25-26九年级上·河北保定·期末）若为方程的一个解，则代数式的值为（    ） A．2007 B．2019 C．2025 D．2026 6．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2026 B．2024 C．2025 D．2027 题型3 一元二次方程的四种解法（共6小题） 【步骤】观察方程特点，选合适解法求解，求出根后代入原方程检验取舍。 【易错】开平方漏正负号；配方时常数项漏乘；直接约去含未知数的式子丢根。 7．（26-27九年级上·河北衡水·期中）解下列方程： (1)；（配方法） (2)； (3)； (4)． 8．（26-27九年级上·河北秦皇岛·期中）解方程： (1)； (2)如下是小明解一元二次方程的过程． 解：二次项系数化为1，得，第一步 移项，得，第二步 配方，得，即，第三步 由此可得，第四步 所以，．第五步 ①在小明的解题过程中，从第________步开始出现错误． ②请写出正确的解答过程． 9．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）按指定的方法解方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（适当方法）． 题型4 利用根的判别式直接判断根的情况（共3小题） 【步骤】化为一般式，确定 a、b、c，算出 Δ，根据 Δ 正负判断方程实数根情况。 【易错】忽略二次项系数不为 0；计算 Δ 符号出错，混淆 Δ 三种情况结论。 10．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）一元二次方程：的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 11．（2026·河南安阳·模拟预测）k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 12．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 题型5 一元二次方程根与系数的关系基础（共3小题） 【步骤】化为一般式，确认 Δ≥0，套用韦达定理，变形代数式代入求值。 【易错】忽略方程有实根前提；看错两根和、积符号，代数式变形出错。 13．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）下列一元二次方程中，两根之和为的是（     ） A． B． C． D． 14．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）小刚在解关于的方程（）时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的是原方程的的相反数，则原方程的根是（     ） A．， B．， C．， D．， 15．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 题型6 一元二次方程的实际应用基础（共3小题） 【步骤】审题设未知数，列一元二次方程，求解，检验根是否符合实际题意。 【易错】忘记舍去不符合实际的根；单位不统一，等量关系梳理出现偏差。 16．（26-27九年级上·河北沧州·期中）如图，若要建一个矩形鸡场，鸡场的一面靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，且围成的鸡场面积为平方米，设垂直于墙的一边长为，则的值为 ________ 17．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒． (1)当t为几秒时，的长度等于； (2)当t为何值时，． 18．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）某养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨．为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的，怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 提升·进阶突破 题型7 根据一元二次方程的定义求参数（共3小题） 【步骤】依据定义列次数与系数条件，解方程求出参数，代入检验是否满足要求。 【易错】易漏掉二次项系数不为 0；忽略最高次数等于 2 这一核心条件。 19．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 20．（26-27九年级上·四川达州·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值是_______． 21．（26-27九年级上·河南新乡·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为________． 题型8 一元二次方程解的估算（共3小题） 22．（25-26九年级上·山东青岛·期末）根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·河南周口·期中）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（   ） 输出 A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·山西太原·期中）观察下面的表格，估计一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 题型9 配方法的应用（共3小题） 25．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法将一元二次方程变形为，则_________，______． 26．（26-27九年级上·陕西宝鸡·期中）阅读与思考：著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．， ∴ ，即时，的值最小，最小值为． (1)用配方法将因式分解； (2)用配方法求：当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？ 27．（26-27九年级上·吉林长春·期中）阅读与思考：我们把多项式叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们可以先用配方法，使式子中出现完全平方式，再去求代数式的最大值或最小值．例如，求代数式的最小值． 解：， ∵， ∴， ∴当______时，取最______值，是______． (1)将例题的过程补充完整 (2)求当取何值时，代数式有最大或最小值？最大或最小值是多少？ (3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求当为何值时，围成的生物园的面积最大？最大面积是多少？ 题型10 换元法解一元二次方程（共3小题） 【步骤】设整体换元，转化为一元二次方程求解，回代求原未知数，检验结果。 【易错】忘记回代求原变量；换元后扩大取值范围，未检验产生增根。 28．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 29．（26-27九年级上·辽宁阜新·期中）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程” ． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根为 ．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为 ． (3)已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 30．（26-27九年级上·广东江门·期中）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”______； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根______，______；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为______，请证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 题型11 根的判别式（共3小题） 31．（26-27九年级上·江西赣州·期中）已知：关于的方程． (1)求证：不论为任何实数，此方程总有实数根； (2)如果该方程有两个不同的整数根，且为整数，求的值． 32．（26-27九年级上·广东佛山·期中）已知关于x的一元二次方程：（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根； (2)若为等腰三角形，，另外两条边长是该方程的根，求的周长． 33．（26-27九年级上·江苏南京·期中）对于一元二次方程（，，为常数，且），下列条件：①；②；③．若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 题型12 根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 34．（26-27九年级上·福建莆田·期中）已知关于的一元二次方程 (1)若方程有两个相等的实数根，求的值及此时方程的根； (2)若是方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 35．（26-27九年级上·江苏南京·期中）关于的一元二次方程（，为常数），，是该方程的两个根． (1)若，直接写出与之间的联系：______________（用含的式子表示） (2)若，且方程有一根为2，求另一个根． 36．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“自等点”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为1，所以0和1都是的“自等点”． (1)下列是代数式的“自等点”的是______； ①  ②  ③  ④ (2)求代数式的“自等点”； (3)若代数式有且只有一个自等点，求的值． 题型13 一元二次方程根与系数的关系综合（共3小题） 37．（26-27九年级上·福建龙岩·期中）已知不相等的两个实数,满足,，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．20 38．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个根分别为，，若，求的值． 39．（2026·四川内江·一模）阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： 直接应用： (1)方程的解为_______________________； 间接应用： (2)已知实数m，n满足：，求的值． 拓展应用： (3)已知实数m，n满足：，且，求的值． 题型14 一元二次方程的应用之销售问题（共3小题） 【步骤】找准单价、销量变化，列出利润等量关系，解方程，舍去不合实际的解。 【易错】涨价降价对应销量增减搞反；忽略单价取值限制，未检验结果合理性。 40．（26-27九年级上·河北邢台·期中）2026年河北省第十七届运动会吉祥物为凤娃和凰宝，某商店定制了一批带有这组吉祥物印花的运动衫（如图）进行试销，每件运动衫的成本为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经市场调研发现，该款运动衫的单价每降低10元，商店平均每天可多售出1件．为了扩大销售，减少库存，商店决定采取适当的降价措施，设每件运动衫的售价降低x元． (1)每件运动衫的利润为（ ）元，每天可售出的运动衫为（ ）件；（用含x的式子表示，并填入括号内） (2)若商店销售这款运动衫每天的利润为1920元，求x的值． 41．（26-27九年级上·河北邢台·期中）问题情境： 在完成假期特色作业期间，八年级学生对邢台白岸食品厂出产的“酸枣汁”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“酸枣汁”的日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“酸枣汁”的每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 信息3：这款“酸枣汁”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 问题解决： (1)根据表格信息，这款“酸枣汁”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)若该厂每日生产的“酸枣汁”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“酸枣汁”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“酸枣汁”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 42．（26-27九年级上·河北沧州·期中）河北赵县素有“中国雪花梨之乡”的美誉，雪花梨的种植面积约25万亩，年产值超40亿元，水果商从赵县购进一批优质雪花梨进行销售，进价为每千克10元．市场调研发现：售价为每千克18元时，每日可售出60千克；售价每降低1元，每日的销售量增加30千克．设每千克雪花梨的售价降低元（）． (1)用含的式子表示：现在每千克雪花梨的售价为（___________）元，每日的销售量为（___________）千克； (2)若该水果商每日销售这种雪花梨获利630元，为了尽快减少库存，求此时雪花梨的售价； (3)结合水果商的营销方案：这种雪花梨每千克的利润不少于1元，且每日销售量超过200千克，直接写出符合条件的整数的个数． 题型15 一元二次方程的应用之动态几何问题（共3小题） 【步骤】设动点时间，表示线段长度，根据几何关系列方程，验根并舍去不合理解。 【易错】忽略动点运动范围限制；线段表达式符号出错，漏检验根的实际意义。 43．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿折线方向以的速度向点匀速运动；点从点出发，沿线段方向以的速度向点匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1)_______； (2)在点，的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 44．（26-27九年级上·河北邢台·期中）如图，中，，，．点P从点C出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（）． 发现： (1)____________； (2)当点P，Q相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时的长． 探究： (3)当时，的面积为____________； (4)点P，Q分别在上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 45．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 拔高·压轴破难 题型16 一元二次方程的含参问题综合（共3小题） 46．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 47．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 48．（24-25八年级下·全国·单元测试）关于的方程的根是均为常数，，则关于的方程的根是__________． 题型17 利用一元二次方程的配方法求最值（共3小题） 【步骤】化为一般式，配方写成顶点式，根据 a 的正负判断，求出对应最值。 【易错】配方漏乘系数；忽略自变量取值范围，盲目套用顶点求最值。 49．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 50．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法，配方法是完全平方公式的逆用，即．例如二次三项式通过配方法可以变成三种形式：①（余常数项），②（余一次项），③（余二次项）． 诸根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：将二次三项式配方为：______（余常数项），______（余一次项），______（余二次项）； (2)已知方程的两根是和，不解方程，求下列代数式的值； ①．     ②； (3)已知，求的值． 51．（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 题型18 韦达定理综合（共3小题） 52．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 53．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 54．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 题型19 一元二次方程的应用压轴（共3小题） 55．（25-26八年级下·山东济南·期末）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根； 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 56．（2026·河北唐山·二模）如图，正三角形的边长为2，D是线段上一点，过D作边的垂线，垂足为点G．下列结论：①当点D在线段上时，的长可以为；②当点D为线段中点时，；③点D在线段上有两个位置满足的面积为．正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 57．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 题型20 一元二次方程的新定义问题（共3小题） 58．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 59．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是 (1)写出一元二次方程的“友好方程”：________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为_________．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_______，请证明你的结论； (3)已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，直接写出关于的方程的两根． 60．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程（20大题型60题） 基础·固本强基 题型1 一元二次方程的相关概念 题型2 一元二次方程的解 题型3 一元二次方程的四种解法（重点） 题型4 利用根的判别式直接判断根的情况 题型5 一元二次方程根与系数的关系基础 题型6 一元二次方程的实际应用基础 提升·进阶突破 题型7 根据一元二次方程的定义求参数（重点） 题型8 一元二次方程解的估算 题型9 配方法的应用（重点） 题型10 换元法解一元二次方程 题型11 根的判别式（重点） 题型12 根据一元二次方程根的情况求参数（重点） 题型13 一元二次方程根与系数的关系综合（重点） 题型14 一元二次方程的应用之销售问题（重点） 题型15 一元二次方程的应用之动态几何问题 拔高·压轴破难 题型16 一元二次方程的含参问题综合（难点） 题型17 利用一元二次方程的配方法求最值（难点） 题型18 韦达定理综合（难点） 题型19 一元二次方程的应用压轴（难点） 题型20 一元二次方程的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 一元二次方程的相关概念（共3小题） 【步骤】先判断是否整式方程，整理成标准形式，确定各项系数，注意二次项系数不为零。 【易错】容易忽略二次项系数不能为 0；移项变号出错，混淆一次项与常数项符号。 1．（26-27九年级上·河北沧州·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A的方程含，两个未知数，不是一元二次方程． 选项B的方程未说明，当时不是二次方程，不一定是一元二次方程． 选项C的方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． 选项D的方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程． 2．（26-27九年级上·山东聊城·期中）下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 3．（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数且系数． 【详解】解：由方程是关于的一元二次方程，得的最高次数为2，即， 解得． 又因为二次项系数，即， 所以， 当时，方程为，满足一元二次方程的定义． 故答案为：． 题型2 一元二次方程的解（共3小题） 4．（24-25九年级上·河北保定·期末）下列数中，能使方程成立的x的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将各个选项的的值代入计算即可得解． 【详解】解：A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故不符合题意； 故选：B． 5．（25-26九年级上·河北保定·期末）若为方程的一个解，则代数式的值为（    ） A．2007 B．2019 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 将代入方程得到，代入所求代数式求解即可． 【详解】解：∵为方程的一个解， ∴，即， ∴ ． 故选：D． 6．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2026 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2027，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解： 方程变形为， ∵是关于的方程的一个根， ∴是关于的方程的一个根， 此时， 即关于的方程必有一个根为2025． 故选：C 题型3 一元二次方程的四种解法（共6小题） 【步骤】观察方程特点，选合适解法求解，求出根后代入原方程检验取舍。 【易错】开平方漏正负号；配方时常数项漏乘；直接约去含未知数的式子丢根。 7．（26-27九年级上·河北衡水·期中）解下列方程： (1)；（配方法） (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， 或， 解得，； （3）解：， ， ， 或， 解得，； （4）解：， ， ， 或， 解得，． 8．（26-27九年级上·河北秦皇岛·期中）解方程： (1)； (2)如下是小明解一元二次方程的过程． 解：二次项系数化为1，得，第一步 移项，得，第二步 配方，得，即，第三步 由此可得，第四步 所以，．第五步 ①在小明的解题过程中，从第________步开始出现错误． ②请写出正确的解答过程． 【答案】(1)， (2)① 三，配方错误，未加一次项系数一半的平方；② ， 【分析】（1）本题选用因式分解法，将二次三项式分解成两个一次因式乘积的形式，令每个因式等于0，求出方程的根． （2）①对照配方法的原理，一次项系数是，它一半的平方是，小明错误加上，由此定位出错的步骤． ②使用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化为1，移项，等式两边加上一次项系数一半的平方，写成完全平方式，再开方求解． 【详解】（1）解：， ， 或， ∴，； （2）解：①原方程移项后得到． 一次项系数为． 一次项系数一半：． 一次项系数一半的平方：． 配方时等式两边应当同时加上． 小明第三步写的是，错误加上，并且错误写成． 从第三步开始出现错误． ②， ， ， ， ， ， ∴，． 9．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）按指定的方法解方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（适当方法）． 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， 【详解】（1）解： 移项得 配方得 即 开方得 解得 ，； （2） 其中 ，， ， 代入求根公式得 所以 ，； （3） 整理得 因式分解得 得 或 解得 ，． 题型4 利用根的判别式直接判断根的情况（共3小题） 【步骤】化为一般式，确定 a、b、c，算出 Δ，根据 Δ 正负判断方程实数根情况。 【易错】忽略二次项系数不为 0；计算 Δ 符号出错，混淆 Δ 三种情况结论。 10．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）一元二次方程：的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】因为根的判别式公式为，所以将确定的、、的值代入公式计算的数值．如果，那么方程有两个不相等的实数根；如果，那么方程有两个相等的实数根；如果，那么方程没有实数根，根据计算得到的的符号对应判断根的情况即可． 【详解】∵一元二次方程为， ∴，，， ∴． ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 11．（2026·河南安阳·模拟预测）k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，配方后判断其取值范围，即可确定方程根的情况． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 12．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 题型5 一元二次方程根与系数的关系基础（共3小题） 【步骤】化为一般式，确认 Δ≥0，套用韦达定理，变形代数式代入求值。 【易错】忽略方程有实根前提；看错两根和、积符号，代数式变形出错。 13．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）下列一元二次方程中，两根之和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据根的判别式，判断有无实数根的情况，再根据根与系数的关系，计算即可． 【详解】解：、由得， 设方程的两个实数根为，， ∴，不符合题意； 、由得， 设方程的两个实数根为，， ∴，不符合题意； 、由得， ∴无实数根，不符合题意； 、由得， 设方程的两个实数根为，， ∴，符合题意． 14．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）小刚在解关于的方程（）时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的是原方程的的相反数，则原方程的根是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用方程的根的定义求出抄错的值，再推导原方程并求解． 【详解】解：设小刚抄错的为，则抄错的方程为， ∵是该方程的根， ∴将代入方程得， 解得， ∵所抄的是原方程的相反数，即， ∴原方程的， 原方程为， 因式分解得， 解得，． 15．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出的范围即可； （2）利用根与系数的关系得出，，已知等式利用完全平方公式化简，再由完全平方公式的变形，代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 的取值范围是； （2）解：由根与系数的关系得， ，， ， 解得：， ， ． 题型6 一元二次方程的实际应用基础（共3小题） 【步骤】审题设未知数，列一元二次方程，求解，检验根是否符合实际题意。 【易错】忘记舍去不符合实际的根；单位不统一，等量关系梳理出现偏差。 16．（26-27九年级上·河北沧州·期中）如图，若要建一个矩形鸡场，鸡场的一面靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，且围成的鸡场面积为平方米，设垂直于墙的一边长为，则的值为 ________ 【答案】 【分析】根据等量关系列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， 解得：或， 符合题意，不符合题意，舍去， ． 17．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒． (1)当t为几秒时，的长度等于； (2)当t为何值时，． 【答案】(1)当t为2或时，的长度等于． (2)当t为2或4时，． 【分析】（1）设运动时间为t秒，根据条件表示出，，进而表示出，根据的长度等于，结合勾股定理列方程，解出即可得t的值． （2）根据条件表示出，，进而表示出，再求出、，根据 ，即可列方程，解出即可得t的值． 【详解】（1）解：如图， 设运动时间为t秒，则根据题意得：，， ∴， ∵，的长度等于， ∴，化简得：，解得：，， ∵当点Q运动到点C时，两点停止运动，且，P的速度为，Q的速度为， ∴， ∴当t为2或时，的长度等于． （2）解：如图， 设运动时间为t秒，则根据题意得：，， ∴， ∴，， ∵， ∴，化简得：，解得：，， ∵当点Q运动到点C时，两点停止运动，且，P的速度为， Q的速度为， ∴， ∴当t为2或4时，． 18．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）某养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨．为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的，怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 【答案】(1) 该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率为 (2) 购买9只公蟹、3只母蟹时费用最低，最低费用为495元 【分析】（1）根据2024年与2026年的产量关系列一元二次方程求解平均增长率； （2）先由母蟹与公蟹的数量不等关系确定公蟹数量的取值范围，再结合总费用的变化规律求最低费用． 【详解】（1）解：设平均每年增长的百分率为， ∵2024年产量为64吨，2026年产量为100吨， ∴， 整理得， 解得（舍去）． （2）解：设购买公蟹只，则购买母蟹只，总费用为元， ∵购买母蟹的数量不少于公蟹数量的， ∴，解得， 又∵，且为整数， ∴，且为整数， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值， 此时，元， 答：购买9只公蟹、3只母蟹时费用最低，最低费用为495元． 提升·进阶突破 题型7 根据一元二次方程的定义求参数（共3小题） 【步骤】依据定义列次数与系数条件，解方程求出参数，代入检验是否满足要求。 【易错】易漏掉二次项系数不为 0；忽略最高次数等于 2 这一核心条件。 19．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 20．（26-27九年级上·四川达州·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值是_______． 【答案】3 【分析】利用一元二次方程的定义，可得出关于m的一元一次不等式及含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m的值． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：． 21．（26-27九年级上·河南新乡·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，， ，得：或者， 又∵， ∴， 综上：． 题型8 一元二次方程解的估算（共3小题） 22．（25-26九年级上·山东青岛·期末）根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了估计一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解定义． 方程的解是使的值为的值，需从表格中找到在两侧的相邻的取值范围． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴使成立的的范围为， 故选：D． 23．（25-26九年级上·河南周口·期中）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（   ） 输出 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据代数式的值求的取值范围，解题的关键是要根据表格中的数据进行解答，根据表格中输出的值最接近于0的值，即可得到答案． 【详解】解：通过表格可知，当时，输出值为， 当时，输出值为， ∴当时，． 故选：C． 24．（24-25九年级上·山西太原·期中）观察下面的表格，估计一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，找出代数式的值最接近时，其对应的值就是方程的近似解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，其中代数式的值最接近的是与，其对应的值是与， ∴一元二次方程的一个解的范围是： ， 故选：C． 题型9 配方法的应用（共3小题） 25．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法将一元二次方程变形为，则_________，______． 【答案】 【分析】按照配方法的步骤变形，将方程整理为目标形式后，对比即可得到和的值． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 两边同除以，将二次项系数化为，得， 配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 左边整理为完全平方形式，右边计算得， 将上式整理为题目要求的 的形式，得， ∴对比得，． 26．（26-27九年级上·陕西宝鸡·期中）阅读与思考：著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．， ∴ ，即时，的值最小，最小值为． (1)用配方法将因式分解； (2)用配方法求：当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，代数式的最小值为． 【分析】（1）根据配方法，把二次三项式配成完全平方式与常数的差，再利用平方差公式分解因式； （2）先提取二次项系数，对含的部分配方，利用平方的非负性求出代数式的最小值． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ， ， ． 27．（26-27九年级上·吉林长春·期中）阅读与思考：我们把多项式叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们可以先用配方法，使式子中出现完全平方式，再去求代数式的最大值或最小值．例如，求代数式的最小值． 解：， ∵， ∴， ∴当______时，取最______值，是______． (1)将例题的过程补充完整 (2)求当取何值时，代数式有最大或最小值？最大或最小值是多少？ (3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求当为何值时，围成的生物园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；小； (2)当时，取最小值，是 (3)当时，围成的生物园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据题干的逻辑将步骤补充完整即可； （2）仿照题干的解法，使用配方法求出代数式的最值即可； （3）设围成的生物园的面积为，由题意可知，使用配方法求出的最大值即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，取最小值，是； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，取最小值，是； （3）解：设围成的生物园的面积为， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴当时，取最大值，是． 答：当时，围成的生物园的面积最大，最大面积是． 题型10 换元法解一元二次方程（共3小题） 【步骤】设整体换元，转化为一元二次方程求解，回代求原未知数，检验结果。 【易错】忘记回代求原变量；换元后扩大取值范围，未检验产生增根。 28．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求方程整理为与已知方程结构一致的形式，通过换元利用已知解求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为， ∴. 整理方程， 移项得， 提取公因式得， 令，则方程变为，与原方程结构完全相同， ∴该方程的一个解为， 即.解得． 29．（26-27九年级上·辽宁阜新·期中）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程” ． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根为 ．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为 ． (3)已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 【答案】(1) (2)两根为和；友好方程的两根分别是原方程两根的倒数 (3)， 【分析】（1）根据题意即可解答； （2）利用根与系数的关系即可解答； （3）利用（2）中原理可得或，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得一元二次方程的“友好方程”为； （2）解：的“友好方程”为， 可得或， 所以的两根为和； 的两根为和 的两根为和， ， ， 即的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为友好方程的两根分别是原方程两根的倒数； （3）解：方程的“友好方程”为， 根据（2）中结论可得的两根为， 对于， 可得或， 解得，． 30．（26-27九年级上·广东江门·期中）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”______； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根______，______；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为______，请证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 【答案】(1) (2)，（两空顺序可互换）；特殊关系为：一元二次方程（，）的两根与其“友好方程”的两根互为倒数. 证明：设是方程的根. ∵， ∴. 将两边同时除以，得 ， ∴是方程的根. 同理可证，“友好方程”的任意一个根的倒数也是原方程的根. ∴两方程的两根互为倒数. (3)方程的两根为，. 【分析】（1）根据“友好方程”的定义，互换原方程的二次项系数与常数项，保持一次项系数不变即可得到结果； （2）先求解“友好方程”的两根，对比原方程根的特征得到倒数关系的猜想，再利用方程根的定义证明结论； （3）将待求方程变形为“友好方程”的结构，通过换元结合（2）的倒数关系求解． 【详解】（1）解：根据“友好方程”的定义，方程中，，， 互换与的值，保持不变，得到其“友好方程”为； （2）解：方程的“友好方程”为， 整理得， 因式分解得， 解得，； 证明部分略； （3）解：整理方程，得 ， 设，则方程变为， 两边乘得， ∵方程的两根为，，且是的“友好方程”， 根据（2）的结论，“友好方程”的两根是原方程两根的倒数， ∴，， 当时，，解得； 当时，， 解得， 综上所述，方程的两根为，． 题型11 根的判别式（共3小题） 31．（26-27九年级上·江西赣州·期中）已知：关于的方程． (1)求证：不论为任何实数，此方程总有实数根； (2)如果该方程有两个不同的整数根，且为整数，求的值． 【答案】(1)证明：当时，方程为，解得， 此时方程有实数根； 当时，方程为一元二次方程，判别式． ，即， 此时方程有两个实数根， 综上，不论为任何实数，此方程总有实数根． (2)的值为，， 【分析】（1）需要分情况讨论，当时，方程为一元一次方程，求解即可；当时，方程为一元二次方程，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可得证； （2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的解，根据该方程有两个不同的整数根，结合为整数，即可求出的值． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可知，，即方程为一元二次方程， 又， ， 或， 解得，． 又该方程有两个不同的整数根，即，故，且为整数，为整数， 的值为，，． 32．（26-27九年级上·广东佛山·期中）已知关于x的一元二次方程：（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根； (2)若为等腰三角形，，另外两条边长是该方程的根，求的周长． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中， ，，， 判别式 ， ∵ 对任意实数，，即， ∴ 不论为何值，方程总有两个实数根； (2)的周长为7或8． 【分析】（1）通过判别式恒非负证明方程总有两个实数根； （2）求出方程的两根，结合等腰三角形性质分类讨论，验证三边关系后求周长． 【详解】（1）略 （2）解：对 因式分解， 得， 解得，， ∵ 等腰中，，另外两边长为方程的两根， ∴ 分两种情况讨论： ①当3为腰长时，， 解得， 此时三边长为3，3，2，满足三角形三边关系， 周长为； ② 当3为底边长时，， 解得， 此时三边长为3，2，2，满足三角形三边关系， 周长为； 综上所述，的周长为7或8． 33．（26-27九年级上·江苏南京·期中）对于一元二次方程（，，为常数，且），下列条件：①；②；③．若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 【答案】B 【分析】将各条件转化为与的关系，代入判别式判断符号，不能直接推导的举反例排除． 【详解】解：一元二次方程（）有实数根的条件是， ① 若，则，代入得， ∴方程有实数根，①符合要求； ② 若，取，，，满足，此时，方程无实数根，②不符合要求； ③ 若，则，代入得， ∵， ∴， 又， ∴，方程有实数根，③符合要求； 综上，正确条件为①③． 题型12 根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 34．（26-27九年级上·福建莆田·期中）已知关于的一元二次方程 (1)若方程有两个相等的实数根，求的值及此时方程的根； (2)若是方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为方程有两个相等的实数根，所以， 即，解得； 此时方程为，即， 解得； （2）解：把代入方程，得，解得， 此时方程为，因式分解，得， 解得，所以方程的另一个根是． 35．（26-27九年级上·江苏南京·期中）关于的一元二次方程（，为常数），，是该方程的两个根． (1)若，直接写出与之间的联系：______________（用含的式子表示） (2)若，且方程有一根为2，求另一个根． 【答案】(1) (2) 方程的另一个根为或 【分析】（1）由一元二次方程两根相等得判别式为0，整理可得b与c的关系； （2）设另一根为，利用根与系数的关系将b、c用表示，代入已知等式求解. 【详解】（1） 解：∵ 方程的两根， ∴ ， ∴ ； （2）解：设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得： ，， 代入，得： ， 整理得， 解得或， 综上所述，方程的另一个根为或. 36．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“自等点”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为1，所以0和1都是的“自等点”． (1)下列是代数式的“自等点”的是______； ①  ②  ③  ④ (2)求代数式的“自等点”； (3)若代数式有且只有一个自等点，求的值． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）令，再解一元二次方程即可； （3）令，则由题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：当时，，故是代数式的“自等点”； 当时，，故不是代数式的“自等点”； 当时，，故是代数式的“自等点”； 当时，，故不是代数式的“自等点”； 故正确的答案是①③； （2）解：令， 整理得：， 解得， 即代数式的自等点为． （3）解：令， 则有， 则， 解得 题型13 一元二次方程根与系数的关系综合（共3小题） 37．（26-27九年级上·福建龙岩·期中）已知不相等的两个实数,满足,，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．20 【答案】B 【分析】根据,满足的等式特征，将其看作一元二次方程的两个不相等实数根，对所求式因式分解后结合根与系数的关系计算． 【详解】解：∵ 不相等的实数,满足，， ∴,是一元二次方程的两个不相等的实数根． 由根与系数的关系，得，． ∵ ， ∴ 原式． 38．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个根分别为，，若，求的值． 【答案】(1)证明：在方程中， ，，， ∴ . ∵， ∴方程有两个不相等的实数根； (2)或 【分析】（1）利用根的判别式证明即可； （2）由根与系数的关系可得，又，再代入解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两个根分别为，， ， ， 即， ， 或， 解得或． 39．（2026·四川内江·一模）阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： 直接应用： (1)方程的解为_______________________； 间接应用： (2)已知实数m，n满足：，求的值． 拓展应用： (3)已知实数m，n满足：，且，求的值． 【答案】(1)，，， (2)2或 (3)15 【分析】（1）仿照题意利用换元法解方程即可； （2）分两种情况：当时，当实数m，n是方程的两个不相等的实数根时，分别进行求解即可； （3）令，，则，，根据，得出即，再根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：令，则有， ∴， ∴，， ∴或3， ∴，，，； （2）解：实数m，n满足：， 当时，， 当实数m，n是方程的两个不相等的实数根时， ， ， 的值为2或； （3）解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 题型14 一元二次方程的应用之销售问题（共3小题） 【步骤】找准单价、销量变化，列出利润等量关系，解方程，舍去不合实际的解。 【易错】涨价降价对应销量增减搞反；忽略单价取值限制，未检验结果合理性。 40．（26-27九年级上·河北邢台·期中）2026年河北省第十七届运动会吉祥物为凤娃和凰宝，某商店定制了一批带有这组吉祥物印花的运动衫（如图）进行试销，每件运动衫的成本为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经市场调研发现，该款运动衫的单价每降低10元，商店平均每天可多售出1件．为了扩大销售，减少库存，商店决定采取适当的降价措施，设每件运动衫的售价降低x元． (1)每件运动衫的利润为（ ）元，每天可售出的运动衫为（ ）件；（用含x的式子表示，并填入括号内） (2)若商店销售这款运动衫每天的利润为1920元，求x的值． 【答案】(1)， (2)的值为40 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据总利润单件利润件数，列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设每件运动衫的售价降低x元，每件运动衫的利润为： 元； 每天可售出的运动衫为： 件； （2）解：由题意，得：， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为40． 41．（26-27九年级上·河北邢台·期中）问题情境： 在完成假期特色作业期间，八年级学生对邢台白岸食品厂出产的“酸枣汁”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“酸枣汁”的日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“酸枣汁”的每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 信息3：这款“酸枣汁”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 问题解决： (1)根据表格信息，这款“酸枣汁”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)若该厂每日生产的“酸枣汁”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“酸枣汁”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“酸枣汁”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2)①千克， 理由：当日该产品的日产量为千克或千克都能实现销售利润元， 作为生产部经理应尽可能减少工人工作量， 故当日该产品的日产量应该定为千克比较合理．； ②不能实现，理由如下： 某日这款“酸枣汁”的销售利润定为1500元， 则 整理得 ， 方程无解， 故无法实现销售利润1500元． 【分析】（1）设函数关系式为，选取两组对应值代入即可解答； （2）先表示出这款“酸枣汁”每千克的销售利润，根据题意列方程解答． 【详解】（1）解：设函数关系式为， 时，；时，， 解得 ； （2）解：①设这款“酸枣汁”每千克的销售利润为元，则 ， 某日这款“酸枣汁”的销售利润为1200元，则， 解得，， ， 当日该产品的日产量为千克或千克都能实现销售利润元， 作为生产部经理应尽可能减少工人工作量， 故当日该产品的日产量应该定为千克比较合理． ②略． 42．（26-27九年级上·河北沧州·期中）河北赵县素有“中国雪花梨之乡”的美誉，雪花梨的种植面积约25万亩，年产值超40亿元，水果商从赵县购进一批优质雪花梨进行销售，进价为每千克10元．市场调研发现：售价为每千克18元时，每日可售出60千克；售价每降低1元，每日的销售量增加30千克．设每千克雪花梨的售价降低元（）． (1)用含的式子表示：现在每千克雪花梨的售价为（___________）元，每日的销售量为（___________）千克； (2)若该水果商每日销售这种雪花梨获利630元，为了尽快减少库存，求此时雪花梨的售价； (3)结合水果商的营销方案：这种雪花梨每千克的利润不少于1元，且每日销售量超过200千克，直接写出符合条件的整数的个数． 【答案】(1)， (2)雪花梨的售价为13元 (3)符合条件的整数有3个 【分析】（1）根据题意即可得结论； （2）根据题意列出方程为，解方程得，，再根据尽快减少库存，即可求解； （3）根据题意列出不等式组，再根据是整数，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，现在每千克雪花梨的售价元，每日的销售量为千克． （2）解：根据题意得， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴每日销售量为千克必须是更多的， ∴， ∴雪花梨的售价为（元）． 答：此时雪花梨的售价为13元． （3）解：由题意得， 解得， ∵是整数， ∴， ∴符合条件的整数有3个． 答：符合条件的整数有3个． 题型15 一元二次方程的应用之动态几何问题（共3小题） 【步骤】设动点时间，表示线段长度，根据几何关系列方程，验根并舍去不合理解。 【易错】忽略动点运动范围限制；线段表达式符号出错，漏检验根的实际意义。 43．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿折线方向以的速度向点匀速运动；点从点出发，沿线段方向以的速度向点匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1)_______； (2)在点，的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为；理由如下∶ ，，点P的速度是， 点P到达点B的时间为，点P到达点C的时间为， ，点Q的速度是， 点Q到达点D的时间为． 当点P在上，即时，如图，连接，， 则，的高是， ， 解得，符合题意． 当点P在上，即时，如图， ，， 则． ， 整理得， 解得，，符合题意． 综上所述，当t的值为或3或时，的面积为． 【分析】（1）过点A作于点E，推导出四边形是矩形，进而得到，，，利用勾股定理求得，利用解答即可得解； （2）分两种情况：当点P在上，即时， ；当点P在上，即时， ，进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， ，， ． ， 四边形是矩形． ，，． ． （2）解：略． 44．（26-27九年级上·河北邢台·期中）如图，中，，，．点P从点C出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（）． 发现： (1)____________； (2)当点P，Q相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时的长． 探究： (3)当时，的面积为____________； (4)点P，Q分别在上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)相遇点在边上，此时 (3)1 (4)解：的面积不能为面积的一半，理由如下： 假设的面积是面积的一半， 根据题意得：， ∴的面积为， ∵的面积为， ∴， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， 即的面积不能为面积的一半． 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）根据题意可得当点P，Q相遇时，有，求出t的值，即可求解； （3）根据题意可得当时，，再根据三角形的面积公式解答即可； （4）假设的面积是面积的一半，据此列出关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：中，，，， ∴； （2）解：当点P，Q相遇时，有， 解得， ∴相遇点在边上，此时； （3）解：当时，， ∴， 此时的面积为； （4）略 45．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 拔高·压轴破难 题型16 一元二次方程的含参问题综合（共3小题） 46．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 【答案】－2026 【分析】因为a是方程的根，所以可将a代入方程得到关于a的等式，作为化简代数式的核心依据．利用得到的等式对代数式的前两项进行降次化简．利用得到的等式变形得到的表达式，代入分式中化简，最后合并化简后的两部分结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵， 代入分式部分： ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式： ． 47．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． 48．（24-25八年级下·全国·单元测试）关于的方程的根是均为常数，，则关于的方程的根是__________． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解．由原方程根与系数的关系求出的值，再代入新方程求解即可． 【详解】解：原方程的根为，， 展开得， 由根与系数的关系，根之和为， 又根之和为，所以，解得． 新方程为， 代入得． 令，则方程化为， 由原方程知且， 所以或， 即或， 解得或． 故答案为：， 题型17 利用一元二次方程的配方法求最值（共3小题） 【步骤】化为一般式，配方写成顶点式，根据 a 的正负判断，求出对应最值。 【易错】配方漏乘系数；忽略自变量取值范围，盲目套用顶点求最值。 49．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 50．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法，配方法是完全平方公式的逆用，即．例如二次三项式通过配方法可以变成三种形式：①（余常数项），②（余一次项），③（余二次项）． 诸根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：将二次三项式配方为：______（余常数项），______（余一次项），______（余二次项）； (2)已知方程的两根是和，不解方程，求下列代数式的值； ①．     ②； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；； (2)①；② (3)4 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程中根与系数的关系，熟记，掌握配方法是解题的关键． （1）仿照例题写出三种不同形式的配方； （2）利用根与系数的关系公式，求得的值，再利用完全平方公式进行变形，即可解答； （3）将式子的左边配方，根据非负数的性质求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：； ； ， 故答案为：；；； （2）解：由得： ，， ①根据完全平方公式可得； ②； （3）解：， 可得， 解得， ． 51．（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (4)当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 题型18 韦达定理综合（共3小题） 52．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 【答案】 【详解】解：当时，方程左边， ． 将方程的两边同时，得． ，即， 为一元二次方程的两个不相等的解， ∴由韦达定理得． 53．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 54．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 题型19 一元二次方程的应用压轴（共3小题） 55．（25-26八年级下·山东济南·期末）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根； 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【答案】(1)；； (2)此方程的正根为1 (3)6 【分析】（1）与题干思路一致，画出图形更容易得解； （2）先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，求出的值，求解即可； （3）先画出图形，根据小正方形的面积为4，得到①，根据大正方形的面积可得新的方程：，则②，解方程即可． 【详解】（1）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为； （2）解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，（舍去负值）， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1； （3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得． 56．（2026·河北唐山·二模）如图，正三角形的边长为2，D是线段上一点，过D作边的垂线，垂足为点G．下列结论：①当点D在线段上时，的长可以为；②当点D为线段中点时，；③点D在线段上有两个位置满足的面积为．正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、解直角三角形及一元二次方程的应用，设，利用直角三角形性质表示出、、，结合点位置确定的取值范围，逐一判断即可 ． 【详解】解：设， ∵是正三角形，边长为2， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ，， ∵是线段上一点， ∴ ，即，解得， ① ， ∵， ∴ ，即 ， ∵， ∴的长不可以为，故①错误； ②当点为线段中点时，， ∴，解得， ∴，， ∴，故②正确； ③的面积 ， 若的面积为，则， 整理得 ， 解得， ， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴点在线段上只有一个位置满足条件，故③错误； 综上所述，正确的结论只有②，共1个 ． 57．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 【答案】(1)， (2) (3)的值为7 (4)2秒 【分析】本题主要考查动点线段长，面积问题，熟悉一次及二次函数是解题的关键． （1）根据题意写出线段长即可； （2）先求矩形的面积，再利用得出面积表达式，再代入求解，注意取舍； （3）分点在线段上和点在线段上，结合图形得到面积求解； （4）分，，，，，结合图形判断即可； 【详解】（1）当点在边上运动时， ， 则， ； （2）矩形的面积为， ， 则， 又五边形的面积为25， 所以，即，解得或， 又时，点不在边上， 所以的值为1； （3）点沿的路线运动到点的过程中， ①当点在线段上时，，， 此时是的高， ，解得， 当时，， 故点不在线段上，不符合题意； ②当点在线段上时， ，，， ， 解得或， 时，，符合题意； 时，，不符合题意， ， 综上，当的面积为1时，求的值为7． （4）当时，在线段上，如图，易得点在外部， 当时，在线段上，如图， 此时， 当时，过点， 所以此时点在外部， 当时，在中点，在中点，如图， 此时在上， 当时， ，如图， 当时，过点， 所以此时点在内部， 当时，此时在线段上， 此时点在外部， 综上，时，此时点在内部，共2秒． 题型20 一元二次方程的新定义问题（共3小题） 58．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再由题意确定，得出，代入得出，然后根据题意建立不等式求解即可． 【详解】解：， ，． 满足3的偏向方程的定义， ， ， ． ． 对于任意的实数m，都满足3的偏向方程的定义， ， ． 59．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是 (1)写出一元二次方程的“友好方程”：________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为_________．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_______，请证明你的结论； (3)已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，直接写出关于的方程的两根． 【答案】(1) (2)，互为倒数， 证明：解方程， 当时，． 解方程， 得， ∴ ． 故原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数； (3) 【分析】本题考查了二次方程根的应用： （1）根据题意直接可得到答案； （2）求出的两根，与的两根对比即可得到关系； （3）利用（2）中结论求出其友好方程的根，再将看作整体即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知的“友好方程”是：， 故答案为：； （2）解：， ， ， 解得； 根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数； 故答案为：，互为倒数； 证明略； （3）解：关于的方程的两根为． ∵方程的两根是， ∴其“友好方程”的两根为2025． ，即， 将看作整体，则或， ∴． 60．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：，， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $