专题04 相似三角形的经典模型17大题型66题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材冀教版

专题04 相似三角形的经典模型（17大题型66题） 基础·固本强基 题型1 A字型相似 题型2 8字型相似 题型3 AX字型相似 题型4 母子型相似 题型5 三角形内接矩形相似 题型6 射影定理相似 题型7 旋转相似 题型8 折叠相似 题型9 一线三等角型相似 题型10 手拉手型相似 题型11 动态相似 题型12 k字型相似 题型13 关系型相似（如倒数型、系数型） 题型14 角平分线型相似 题型15 重心相关相似 提升·进阶突破 题型16 相似三角形的模型进阶练 拔高·压轴破难 题型17 相似三角形的模型压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 A字型相似（共3小题） 【易错】平行截三角得 A 形相似，平行证等角，对应边成比例。易错：顶点对应别写反，比例线段不能交叉。 1．（26-27九年级上·四川达州·期中）如图，、分别是的边、上的点，，若，则______ ． 2．（26-27九年级上·湖南岳阳·期中）如图，，且，求与的周长比为_______ 3．（26-27九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，若，，则（     ） A． B． C． D． 题型2 8字型相似（共3小题） 【易错】对顶角搭配内错角，构成 8 字双三角。利用两组等角证相似，关键找准对应顶点，顶点顺序写错，比例列式直接出错丢分。 4．（26-27九年级上·上海闵行·期中）如图，直线分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且，与交于点O，已知． (1)求的长； (2)当时，求的长． 5．（26-27九年级上·上海闵行·期中）如图，已知，，则的长为________． 6．（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在正方形中，，点在边上，，与对角线相交于点． (1)求证：； (2)求的长． 题型3 AX字型相似（共6小题） 【易错】A 字与 8 字组合图形，同一条线段衍生两组相似。解题拆分图形，传递线段比例；易错点是只发现一组相似，漏掉第二个相似三角形。 7．（26-27九年级上·浙江金华·期中）如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接，可知； (1)求证：． (2)若，正方形的边长为6，求线段的长． 8．（26-27九年级上·上海金山·期中）如图，已知四边形是平行四边形，E是延长线上一点， 分别交对角线于点 G，交边于点 F． (1)求证： ； (2)求证： ． 9．（26-27九年级上·上海浦东新·期中）如图，在平行四边形中，连接为边上一点，连接并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 题型4 母子型相似（共3小题） 【易错】两三角形共公共角，大三角内含小三角。用公共角 + 一组等角 AA 证相似；易错：公共边为对应边，列式时极易把比例前后颠倒。 10．（26-27九年级上·上海金山·期中）如图，在中，点D、E分别在边、上，，如果，，，那么长为________． 11．（26-27九年级上·上海金山·期中）如图，已知在中，，点、、分别为边、、上一点，连接和，且． (1)求证：； (2)连接，如果点是中点，，，求的长． 12．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，点为边的中点，点沿折线以每秒1个单位长度运动到，若沿将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，则运动时间为______秒． 题型5 三角形内接矩形相似（共3小题） 【易错】矩形内接三角形，上方小三角形与原图相似。设边长，高之比等于相似比列方程；注意相似高要减去矩形高度，不要误用三角形总高。 13．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式 _________；__________ _________；的最大值为4． 【问题解决】 (1)请补全素材2中的解题过程； (2)如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 14．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为________． 15．（26-27九年级上·河北张家口·期中）如图，是的高，点F，G在上，点E，H分别在，上，四边形是矩形， (1)证明：． (2)若，是的高，，，求的长． 题型6 射影定理相似（共3小题） 【易错】直角三角形斜边作高，分出两个小直角三角形，三者两两相似。熟记三组等积式；不能死记公式，需先证相似，线段乘积顺序不可颠倒。 16．（26-27九年级上·山东济南·期中）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①______________；②_____________； (2)如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 17．（26-27九年级上·上海闵行·期中）如图，已知是的斜边上的高，，，则________． 18．（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求的长． 题型7 旋转相似（共3小题） 【易错】共顶点三角形，两边成比例，旋转后夹角相等。依靠 SAS 判定相似；易错：看清是相似不是全等，旋转角相等，角度传递时不要混淆边角。 19．（26-27九年级上·山西太原·期中）如图，正方形的边长为4，点为边上的一点，且把绕点顺时针方向旋转得到，延长交于点，连接，则的长为________ 20．（25-26九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】 如图，在中，，，．将绕顶点C顺时针旋转一个角度，点A落在点，点B落在点，边与边相交于点D，与边相交于点E． (1)如图①，当时，画出图形后可得，此时，则______． (2)当时，利用尺规在图②中作出旋转后的（不写做法，保留作图痕迹），并直接写出的值______． 【特殊位置】 (3)如图③，当点恰好落在边上时，求的值． 21．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图1，在中，，点分别是的中点，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现 ①当时，________；②当时，________． (2)拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)问题解决 当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 题型8 折叠相似（共3小题） 【易错】折叠得到等角、等线段，利用相等角构造相似三角形。通过折叠性质找等角，用 AA 证明相似；容易忽略隐藏直角，漏看图形中角度条件。 22．（26-27九年级上·全国·单元复习）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了矩形纸张，即如图①所示的矩形．他先通过对折找到边的中点E，再将沿着直线翻折得到，连结，小亮猜想． (1)【问题解决】小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：为边的中点， ． 将沿着直线翻折得到， ， ． 请你补全余下的证明过程． (2)【结论应用】如图①，在【探索发现】的基础上，若的面积为6，求矩形的面积； (3)如图②，在【探索发现】的基础上，过点作交线段于点F．若，则矩形的周长为______． 23．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，将沿翻折，点落在点位置，交轴于点．则点的纵坐标为________． 24．（2026·江苏常州·一模）如图，在矩形中，，，M、N分别为边，上的点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型9 一线三等角型相似（共3小题） 【易错】同一直线上存在三个相等角，推导得到两组等角，AA 证相似。三个角未必是直角；动点题型要分类讨论，极易漏掉其中一种情况。 25．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在由边长为的小正方形组成的的网格中，有，，，四个格点．连结,,，另有与交于点． (1)求证：； (2)求的值． 26．（26-27九年级上·广东佛山·期中）如图，在边长为6的等边中，． (1)求证：； (2)求的长． 27．（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，边长为的正方形中，有一个小正方形，其中E、F、G分别在、、上，若，则小正方形的面积等于(     ) A． B． C． D． 题型10 手拉手型相似（共3小题） 【易错】共顶点顶角相等，夹边对应成比例。顶角同加减得到夹角相等，SAS 证相似；分清手拉手相似与全等，全等要求对应边长完全相等。 28．（26-27九年级上·辽宁丹东·期中）【初步感知】 (1)如图1，和是等腰直角三角形， ，，  连接，，构建“手拉手”模型(如图1)，判断 与的数量关系，并证明 (2)如图2，和是等腰直角三角形，，，直接写出 与 的数量关系是： ； 【类比分析】 (3)如图3，是等腰直角三角形， ，，点D为边 上一点(不与点A重合)，以为边作正方形 (点 C、D、E、F逆时针排列)，连接，证明：， 【变式拓展】 (4)在等腰直角三角形中， ，，点 E为边 上一点， D是平面内一点，且 ， ，若 ， ，直接写出的长为 ． 29．（2026·湖北随州·模拟预测）定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． (1)如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为_____________，的度数为_____________． (2)如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点A，F，E按顺时针排列），，交于点D，连结，．当时，求证：是的智慧线． (3)如图3，中，，．若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 30．（25-26八年级上·北京密云·期中）已知和均为等腰直角三角形，， ， ，点P、Q分别为的中点，连接． 猜想：如图①，当点D在上时，线段和的大小关系是 ． 探究：如图②，把绕着点C旋转一定的角度时，线段和的大小关系是什么？并加以说明． 拓展：如图③，和均为直角三角形，，且，， ，点P、Q分别为的中点，连接，当时，的面积是 ． 题型11 动态相似（共3小题） 【易错】点在线段上运动，特定时刻两三角形相似。设动点时间 t，分类讨论顶点对应关系列比例；这类题常有多解，很容易漏掉其中一组解。 31．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，运动时间为，连接、、．当时，求的值． 32．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，设点P的运动时间为t秒（）． (1)________； (2)用含t的代数式表示的长． (3)当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．取的中点Q． ①连结、，当点M在边上，且时，求t的值． ②连结，当时，直接写出t的值． 33．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知在中，边上有一个动点，从点B出发以每秒1cm的速度沿的方向运动，最后回到点B．设出发的时间为秒． (1)当秒时，BP的长为___________；当秒时，BP的长为___________； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ 题型12 k字型相似（共3小题） 【易错】一线上三个直角，左右两个直角三角形互余等角，AA 相似。属于一线三等角特例；斜置图形要主动作垂线构造 K 型，识别模型。 34．（2025·江苏扬州·二模）将如图所示正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点、、分别落在坐标轴上，且，双曲线恰好经过点．则的值为_____． 35．（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，点在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 36．（26-27九年级上·甘肃天水·期中）直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①   ②   ③   ④． (1)已知：在中，，是斜边上的高，求证：． (2)直接运用：射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，，求的长． 题型13 关系型相似（如倒数型、系数型）（共3小题） 【易错】由相似推导线段倒数或倍数关系式。先证三角形相似，转化比例变形得到等式；难点是代数变形，容易在分式换算时出现计算失误。 37．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在等腰中，．点分别在上，沿直线翻折，记点的对称点为，射线交于点． (1)如图1，若点与点重合，求的值． (2)如图2，若点在内，设，求的值（用含的代数式表示）． 38．（25-26九年级上·河北唐山·期中）在中，，，，在、上取两点，连接，且，．把绕点逆时针旋转，旋转角为，连接、． (1)在图1中， ； (2)在图2中，求证：； (3)继续旋转． ①如图3，当点D落在上时，恰有，求k的值； ②当点B、D、E在同一条直线上时恰好，直接写出的长． 39．（2026·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】 （1）如图1，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长恰好过点，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图2，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长交于点，，求的值； 【拓展提高】 （3）如图3，四边形中，．点在上，，若，求的值（用含有的代数式表示）． 题型14 角平分线型相似（共3小题） 【易错】角平分线分出等角，搭配另一组等角构造相似三角形。用等角条件 AA 证明相似；注意区分角平分线定理和相似结论，不要混用两个公式。 40．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）【综合与探究】 请阅读以下材料，完成相应的任务． 角平分线分线段成比例定理： 如图，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过作，交的延长线于点． ，，，， ， ① ，； (1)①处应该填__________； (2)在（1）的基础上，若，求． (3)如图3，是的角平分线，点在上，延长交于点，若，，，，求线段的长． 41．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，分别是上的点，，，，的角平分线交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：．并求的值． 42．（26-27八年级上·重庆·期中）如图，在中，是的角平分线，过点作交于点，交于点．若，，，则的长为（     ） A． B．1 C． D． 题型15 重心相关相似（共3小题） 【易错】三角形重心分中线 2:1，常结合平行线构造相似。利用重心线段比例解题；易错：记错重心分割比例，分不清重心、外心、内心性质。 43．（2025·上海黄浦·一模）如图，已知点O是的重心，，，如果，那么点A、O的距离为__________． 44．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 45．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，与交于点G，点G为的重心，点M、N分别在边、上，若，则的值为______． 提升·进阶突破 题型16 相似三角形的模型进阶练（共10小题） 46．（26-27九年级上·四川达州·期中）如图，四边形是正方形，延长到点E，使得，连接，，交于点F．若，则的长为_______． 47．（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，在中，E是上一点，，交于点F，若，则的面积为_________． 48．（26-27九年级上·浙江宁波·期中）如图，在正方形中，是上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 49．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，已知，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 50．（26-27九年级上·上海闵行·期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，且，、交于点． (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 51．（26-27九年级上·广东佛山·期中）如图，在正方形中，，分别是边，上的点，且．与交于点，连接，若，则的值为(     ) A． B． C． D． 52．（26-27九年级上·四川达州·期中）按要求完成下列各题： (1)问题背景：如图1，已知，求证：； (2)尝试应用：如图2，在和中，，，与相交于点F，点D在边上，，试证明，并求出的值． (3)拓展创新：如图3，D是内一点，，，，，直接写出的长． 53．（26-27九年级上·四川达州·期中）在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时， ①如图（1），连接，如果，求证：； ②如图（2），如果，连接，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，连接，，如果．求证：． 54．（26-27九年级上·河南驻马店·期中）已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比（）的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是以为顶角的黄金三角形，且平分，，则的长为_________． 55．（26-27九年级上·河南南阳·期中）请阅读以下材料，并回答相应的问题： 角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．如图，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过点作，交的延长线于点 (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)如图，在中，，，，平分，则的周长是________． 拔高·压轴破难 题型17 相似三角形的模型压轴练（共10小题） 56．（26-27九年级上·河南南阳·期中）综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例的应用． (1)【初步感知】在中，、分别为、边上的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于点，则与的比值为________； (2)【深入探究】在（1）的条件下，探究线段与的数量关系； (3)【拓展提高】如图2，在中，点、分别为、的中点，连接、交于点，与交于点，若，直接写出的值． 57．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，，，则（     ） A．9 B．10 C．21 D．25 58．（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，D、F，E、G分别为，边的三等分点，连接，，交于点H．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 59．（26-27九年级上·河南·期中）如图，在中，，，点是边的中点．点为边上一点，连接，交于点．若，则的长为__________． 60．（26-27九年级上·四川达州·期中）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当，时，求的长； (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 61．（26-27九年级上·江西九江·期中）如图，在正方形中，点在上，，点在上，，且，则的长为______． 62．（26-27九年级上·广东深圳·期中）【综合与实践】 【问题背景】 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． 【特例感知】 (1)如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当是中点时，________度； (2)【深入探究】 如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； (3)【拓展提升】 如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，求的长． 63．（26-27九年级上·广东佛山·期中）在平行四边形中，为上一点，且，与相交于点，，则为________． 64．（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，矩形中，，，E为的中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则的长是______． 65．（26-27九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是边的中点，把沿翻折，得到，与交于点．若，则的面积是__________． 66．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，．点M在边上，以的速度由点B出发沿向点A匀速运动；同时点N在边上，以的速度由A出发沿向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接，设点M运动的时间为t（单位：s）． (1)是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由； (2)当t为何值时，的面积为面积的； 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04相似三角形的经典模型 (17大题型66题) 题型图谱·导航总览 题型1A字型相似 题型28字型相似 题型3AX字型相似 题型4母子型相似 题型5三角形内接矩形相似 题型6射影定理相似 题型7旋转相似 基础固本强基 题型8折叠相似 题型9一线三等角型相似 题型10手拉手型相似 题型11动态相似 题型12k字型相似 题型13关系型相似（如倒数型、系数型） 题型14角平分线型相似 题型15重心相关相似 提升·进阶突破 题型16相似三角形的模型进阶练 拔高·压轴破难 题型17相似三角形的模型压轴练 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1A字型相似（共3小题） 【易错】平行截三角得A形相似，平行证等角，对应边成比例。易错：顶点对应别写反，比例线段不能交 叉。 1。 (26-27九年级上四川达州期中)如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DEAC,若 OD:OC=1:4,则S&BDE S&CDE=」 1/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 【答案】1：3 【分析】利用平行线得到三角形相似，由线段比推出底边之比，再依据同高三角形面积比等于底边长之比 求解。 【详解】解：DE∥AC, ∴.∠ODE=∠OCA,∠OED=∠OAC, .∴AODEAOCA. DE OD .CA OC' 0D:0C=1:4, DE 1 .CA4, :DE∥AC, ∴.∠BDE=∠BAC,∠BED=∠BCA, .ABDE△BAC, BE DE 1 ..BC AC 4' BE 1 .CE 3' :△BDE中BE边上的高与△CDE中CE边上的高相同， △BDE与△CDE的面积之比即为BE与CE之比， 即SDE:S.CDE=1:3 【点睛】看到平行线要优先想到相似三角形：共高三角形面积之比直接转化为底边长度之比，是这类面积 题的常用技巧。 2.(26-27九年级上湖南岳阳期中)如图，DE‖BC,且BD2,求。ADE与AABC的周长比为 AD 2/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B 【答案】2：3 AD AD 2 【分析】由BD 2得到AB3·再根据相仪三角形的周长比等于相似比即可求解 AD 2, 【详解】解：：BD AD 2 AB3' ..DEll BC. .△ADE∽aABC, C.ADE.=AD2 Couc AB 3 3.(26-27九年级上浙江宁波期中)如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB，AC,BC上的点，且 DE∥BC,EF∥AB,若BF:FC=2:3,AB=15,则BD=() D A.6 B.9 c.10 D.12 【答案】B 【分析】由题意易得四边形BFED是平行四边形，△EFC∽aABC,然后根据平行四边形的性质及相似三角 形的性质可进行求解。 【详解】解：：DE∥BC,EF∥AB, ∴.四边形BFED是平行四边形，△EFC∽aABC, EF CF ·ABCB·EF=BD' BF:FC=2:3,AB=15 3 .EF=2AB=9, 5 3/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴BD=9 题型28字型相似（共3小题） 【易错】对顶角搭配内错角，构成8字双三角。利用两组等角证相似，关键找准对应顶点，顶点顺序写错， 比例列式直接出错丢分。 4. (26-27九年级上·上海闵行期中)如图，直线，2，分别交直线4于点A,B,C,交直线于点D, E,F,且l∥1∥1,14与交于点O,己知EF:DF=5:8,AC=24 (1)求AB的长： (2)当AD=4,BE=1时，求CF的长. 【答案】(1)9 (2)4 EF BC 5 【分析】(L)利用平行线分线段成比例定理求得DFAC8,可求得BC的长，进一步可求得4B的长. 2)利用平行线可证△OBE∽△OAD,△OBE∽△OCF,即可求解。 【详解】(1)解：：A,,EF:DF=5:8,AC=24, EF BC 5 DF AC 8' BC_5 248 .BC=15, .AB=AC-BC=24-15=9 (2)解：4424， .△OBE∽△OAD,△OBE∽△OCF BE OB 1 OB BE ·AD0A4'0CCF OB1 0B+94' 4/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OB=3. .0C=BC-0B=15-3=12, OB BE 3 OC CF 12 11 ·CF4' ∴CF=4 5.(26-27九年级上·上海闵行期中)如图，己知AB‖CD‖EF,AD=6,BC=7,CE=10,则DF的长为 E 【答案】 60 7 AD BC 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AB1CD川EF可得对应线段成比例，即DF=CE, 代入已 知数据计算即可. 【详解】解：：ABIICD‖EF AD BC ·DFCE AD=6,BC=7,CE=10 67 ·DF10 DF=60 7 6.(26-27九年级上：黑龙江大庆期中)如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E在边BC上，BE=2, AE与对角线BD相交于点F. 5/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 2 E D C AF AD (1)求证：1 EF BE (2)求AF的长. 【答案】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.AD∥BC,即AD∥BE .∠DAF=∠BEF,∠ADF=∠EBF, △ADF∽AEBF, AF AD ·EFBE· 吧 【分析】(1)先利用正方形和平行线的性质证明△ADF∽aEBF,再利用相似三角形的性质即可证明结论： (2)由（④结合已知条件可得F-子证，再利用正方形的性质、勾殷定理可得A=20,进而完成 解答。 【详解】(1)略 AF_AD=6=3 (2)解：由(1)得EF=BE2 3 ·AF=3EF,即4F=AE, 4 :四边形ABCD是正方形， .∠ABE=90° ∴.AE=VAB2+BE2=V36+4=2√10， 4r-子*20-3 2 6/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3AX字型相似（共6小题） 【易错】A字与8字组合图形，同一条线段衍生两组相似。解题拆分图形，传递线段比例；易错点是只发现 一组相似，漏掉第二个相似三角形。 7. (26-27九年级上浙江金华期中)如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延 长，交BC的延长线于点F,连接BD交AF于点E,连接EC,可知△ADE≌aCDE； (1)求证：AE2=EF·EG EG1 (2)若CE=3,正方形ABCD的边长为6，求线段CF的长. 【答案】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .AB∥CD,AD∥BC ·.△ABE∽△GDE,△AED∽△FEB. AE DE EG DE EF BE'AE BE' AE EG EF AE' .'AE2=EF.EG: (2)12 AE DE EG DE 【分析】(1)证明△4BE∽△GDE,△MED∽△FEB,得到EFBE'AE=BE, 据此可证明 AE2=EF.EG: AE EG 1 (2)由全等三角形的性质得到AE=CE,则可得到EF=AE3,再由相似三角形的性质得到 AD AE 1 BF=EF=3,据此求出BF的长即可得到答案. 【详解】(1)略 (2)解：，aADE≌aCDE, .AE=CE 7/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EG 1 :CE3’ AE3 EG 1 AE EG 1 由(1)得EF=AE=3,△AED∽△FEB, AD AE 1 六BFEF3 :四边形ABCD是正方形， .AD=BC=6 .BF=18, ..CF=BF-BC=12 8.(26-27九年级上·上海金山期中)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点， DE分别交对角线AC于点G,交边BC于点F. D G B (1)求证： DG2=GF.GE: BF BE (2)求证： CFCD 【答案】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， :AB∥CD,AD∥BC ∴.△AEG∽aCDG,△ADGACFG. DG CG GF CG GE AG'DG AG' DG GF GE DG' ..DG2=GF.GE (2)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .ABII CD :.△CDF∽△BEF, 8/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BF BE ·CFCD DG CG GF CG 【分析】(1)证明A4 EGACDG'A4 DGvACFG,得到GE=AG'DGAG,据此可证明 DG2=GF.GE: BF BE (2)证明△CDF∽△BEF,即可证明CF-CD 【详解】(1)略 (2)略 9.(26-27九年级上·上海浦东新期中)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,E为边BC上一点，连接 DF3 AE并延长交DC的延长线于点M,交BD于点G,过点G作GFI‖BC交DC于点F,FC2: D M (1)若BD=20,求BG的长： DM DG CM 2尼知ABBG,求CD的值. 【答案】(1)8 2时 DG DF 3 DG 3 【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理得到BG=FC=2,则BD-5,据此可得答案： DM DG 3 (2)根据(1)和平行四边形的性质可推出CDBG2,据此可得答案. 【详解】(1)解：，GF‖BC. .DG DF 3 BGFC2' DG 3 ·BD5 .BD=20, ∴.DG=12, 9/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..BG=BD-DG=8 DG 3 (2)解：由(1)得BG2' ,四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB DM DG AB BG DM DG 3 CDBG2' CM 1 CD2' 题型4母子型相似（共3小题） 【易错】两三角形共公共角，大三角内含小三角。用公共角+一组等角从证相似；易错：公共边为对应 边，列式时极易把比例前后颠倒。 10. (26-27九年级上·上海金山期中)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B, 如果AD=3,AE=4,CE=2,那么BD长为 D B 【答案】5 AE AD 【分析】证明。ADEAACB,可得AB=AC,再由AC=AB+CE=6,即可求解. 【详解】解：：∠DAE=∠CAB,∠AED=∠B, ∴△ADE△ACB, AE AD ABAC' ,AE=4,CE=2, .AC=AE+CE=6. 43 ·AB6 10/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..4B=4x6 =8 3 .BD=AB-AD=8-3=5 11.(26-27九年级上·上海金山期中)如图，己知在△ABC中，AB=AC,点D、E、F分别为边AB、 AC、BC上一点，连接DF和EF,且∠B=∠DFE. B (1)求证：△BDFn△CFE: (2)连接DE,如果点F是BC中点，CE=3,EF=4,求DE的长 【答案】(1)解：AB=AC, ∴.∠B=∠C :∠B+∠BDF+∠DFB=18O°，∠CFE+∠DFE+∠DFB=180°，∠B=∠DFE,∠B=∠C, ∴.∠BDF=∠CFE :∠BDF=∠CFE,∠B=∠C, ∴.△BDF∽ACFE .16 23 【详解】(1)略： (2)解：△BDF∽△CFE, EF CE CF ∴.FD BF BD :F是BC中点， .设BF=CF=x. CE=3,EF=4, 4_3_x .FD x BD' 3七，BD= 4 FD 3 11/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF3 CE_3 .FD x'CF x' EF CE 3 FD CFx ∠B=∠DFE,∠B=∠C, ∴.∠DFE=LC, △FEAFCE, DE EF DE 4 :FEEC,即4=3， DE=16 · 12.(26-27九年级上河北石家庄期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,点D为 AB边的中点，点D沿折线DA-AC-CB以每秒1个单位长度运动到D',若沿DD将△ABC剪开，要使剪 下来的一个小三角形与原三角形相似，则运动时间为—秒. ◇ C 【答案】4.5或5.625或8 【分析】根据勾股定理求出AB的长，确定AD和BD的长.分两种情况讨论：当点D'在AC上时，剪下的 三角形为△ADD'；当点D'在BC上时，剪下的三角形为△BDD'.利用相似三角形的判定和性质，结合公 共角和直角条件，列出比例式求出AD'或BD'的长，进而计算运动路程和时间. 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4, AB=VAC2+BC2=V4+32=5, :点D为AB边的中点， AD=BD=14B-5 2 2 分两种情况讨论： (1)当点D'在AC上时，剪下的三角形为△ADD'; :∠A为公共角，要使△ADD'与△ABC相似， 12/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.需满足∠AD'D=90°或∠ADD'=90° ①若∠AD'D=90°，则△AD'DAACB,如图： 口 C :AD'=AD即AD'_2 AC AB 45 解得AD'=2, 此时运动路程为DA+AD=+2=45,时间，=45秒 ②若∠ADD'=90°，则△ADD'n△ACB,如图： D人 C :AD=AD,即2=AD AC AB 45 5 “解得AD'= =3.125, 8 此时运动路程为D1+AD+3.125=5.62S,时间15625秒 (2)当点D'在BC上时，剪下的三角形为△BDD', ,∠B为公共角，要使△BD'D与△ABC相似， ·需满足∠BD'D=90°或∠BDD'=90°」 ①若∠BD'D=90°，则△BD'D∽aBCA,如图： 13/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D'C .BD' BD即BD'_2, BC BA 3 5 解得BD)1.5 此时D'在BC上，距离B点1.5，距离C点3-1.5=1.5， 运动路程为DA+AC+CD'=2.5+4+1.5=8,时间=8秒： ②若∠BDD'=90°，则△BDD'PABCA,如图： D B D C ∴BD_BD即BD-2 AB BC 53 25 解得BD'= 6 ≈4.17」 BD'>BC=3, “此时点D'不在BC边上，故舍去， 综上所述，运动时间为4.5或5.625或8秒. 题型5三角形内接矩形相似（共3小题) 【易错】矩形内接三角形，上方小三角形与原图相似。设边长，高之比等于相似比列方程；注意相似高要减 去矩形高度，不要误用三角形总高。 13.(26-27九年级上：宁夏银川期中)【主题】如何裁剪木板使面积最大. 14/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值. 素材2：求解代数式-x2+2x+3的最大值 解：原式=-(x2-2x+)+4=(x-1)2+4 :(x-12≥ :“-(x-1)2≤ ∴.-(x-12+4≤ -:.-x2+2x+3的最大值为4. 【问题解决】 (1)请补全素材2中的解题过程： (2)如图，有一块直角三角形木板ABC的面积为13.5m2,一条直角边AB长为4.5m,现王师傅要沿着边AC 截一个矩形台面DEFG,D,G分别在边AB,BC上，BH⊥EF,分别与DG,EF交于点M,H,求该 矩形台面面积的最大值， M E H 【答案】(1)0,0,4 27 24m 【分析】(1)根据平方的非负性与不等式的性质进行求解即可： (2)根据直角三角形的面积，求出BC=6m,再根据勾股定理求出AC=7.5m,进而结合等积变换求出 BH=18 m,根据矩形性质得DG=EF,DE=MH=GF,DG∥EF,即可得∠BDM=∠BAC ∠BGM=∠BCA,再根据∠BMD=∠ABC=∠GMB=9O°，即可证明△BDM∽aABC,△GBM∽aABC,根 BM BC BM AB 据相似性质得DAB'GMBC,设DE=MH=则M 5-x,进而得DM=27_3 104x, GM=244 53x,即可求出DG=1525 =2~12x,设矩形DEFG的面积为S,再根据矩形面积公式即可得 5=25x+ 15 121 x,配方后根据偶次方的非负性即可得矩形合面面积的最大值， 【详解】(1)解：原式=-(x2-2x+)+4=-(x-1}+4 15/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x-10≥0， .-(x-12≤0， .-(x-1)+4≤4 .-x2+2x+3的最大值为4。 (2)解：如图， B D M E ,直角三角形木板ABC的面积为13.5m2,一条直角边AB长为4.5m, ∴2B:BC=13.5,即：2×4.5BC=13.5,解得： BC=6m' .AC=VAB2+BC2=V4.52+62=7.5m, BH⊥EF, BBC=-AC·M,即：45x6=75H:解程， m, 在矩形DEFG中有：DG=EF,DE=MH=GF,DG∥EF, .BH⊥DG DG∥EF, ·.∠BDM=∠BAC,∠BGM=∠BCA, ,∠BMD=∠ABC=∠GMB=90°. .△DMBP△ABC,△BMG∽AABC BM BC BM AB DMAB'GM BC' 设DE=Mm=GF=x则BM=BH-HM= 5x, 5x6,x45 18 18 DM-45’GM=6 DM=273 七，GM=244 x 104 Γ53 16/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DG=DM+GM=15_25 212, 设矩形DEFG的面积为S,则： S=DE.DG= 25. 525x=-22x2+15x2 9)2 27 212r=- -12x-5 4 9)2 -5 ≥0 25 当x= 时，S= 9 25. 27 心矩形合面面积的最大值为4m 14.(25-26九年级上·河北石家庄期中)汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1)，其视线 被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域.预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避 险能力.小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣.如图2，是他研究的一个汽车盲区的示 意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE之间的距离为1.4m,车宽AF=1.8m,车头 FACD近似看成一个矩形，且满足3DF=2AF,点A,F分别在PB,PE上，点C,D在EB上，则汽车盲 区EB的长度为」 m D 图1 图2 【答案】12.6 【分析】过点P作PN⊥EB于点N,交AF于点M,根据△PAF△PBE求解即可. 本题考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三 角形的性质解决问题. 【详解】解：如图，过点P作PN⊥EB于点N,交AF于点M, 17/118 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 p M E B D 图2 .3DF =2AF AF =1.8m ∴.DF=1.2m, ·矩形FACD ∴.∠FDC=90°，AF∥CD, DF⊥DC, MN⊥DC, .DF=MN =1.2m. PN=1.4m, ∴.PM=PN-MN=1.4-1.2=0.2m, AF∥EB, .∠PFA=∠E,∠PAF=∠B, △PAF∽△PBE, AF PM ·BEPN' .1.80.2 EB1.4' ∴EB=12.6m, 答：汽车盲区EB的长度为12.6m, 故答案为：12.6 15.(26-27九年级上河北张家口期中)如图，AD是△ABC的高，点F,G在BC上，点E,H分别在 AB,AC上，四边形EFGH是矩形， B D GC (1)证明：AE·AC=AH·AB」 18/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若EH=2EF,AD是△ABC的高，BC=8,AD=6,求EH的长. 【答案】(1)证明：：四边形EFGH是矩形， .EH FG, 又，点F,G在BC上， EH∥BC, ∴.△AEH∽△ABC, AEAH ·ABAC ∴AE·AC=AH·AB, 4 2)E阳的长为5 【分析】(1)根据矩形性质得到对应边平行，由平行线得到两组同位角相等，从而证明△AEH∽△ABC 由相似三角形对应边成比例得到所求线段的关系，交叉相乘即可证明结论。 (2)根据矩形性质得到对应边平行和直角，令AD与EH交点为R,结合EH=2EF得到RD与EH的关系 AR EH 式，由(1)中得到的相似三角形对应边成比例得到AD-BC,代入D与EH的关系式得到关于EH的方 程，求解方程即可。 【详解】(1)略 (2)解：如图，令AD交EH于点R, E H :矩形EFGH的边FG在BC上， .EHIFG 又，点F,G在BC上， ∴.EH∥BC,∠EFC=90° :EF⊥BC,RD⊥BC,EH=2EF, :RD=EF=1EH 2 19/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,BC=8,AD=6, :AR=AD-RD=6-EH】 2 由(1)可知，△AEH∽△ABC, 1 .AR_EH, 6- EH AD BC 6 8 解得EH=4824 10=5 24 ÷H的长为 题型6射影定理相似（共3小题） 【易错】直角三角形斜边作高，分出两个小直角三角形，三者两两相似。熟记三组等积式；不能死记公式， 需先证相似，线段乘积顺序不可颠倒。 16. (2627九年级上·山东济南期中)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似 进行了深入研究.如图1，在△ABC中，∠ACB=90,CD1AB,垂足为D. D 图1 图2 (1)兴趣小组的同学得出AC2=AD:AB.理由如下： '∠ACB=90° :∠A=∠A .∠A+∠B=90° .△ABC∽△ACD ,CD⊥AB AB .∠ADC=90° AC =_② .∠A+∠ACD=90° .AC2=AD.AB ∴LB=_① 请完成填空：① ② (2)如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E,连接CE,当∠ACE=∠AFC时， ①若AF=2,AC=3,求S△MCs:SAC的值； 20/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AFAD ②求证： ABAE· AC 【答案】(1)∠4CD'AD O ②证明：由①知△ACE∽△AFC, AC AE AF-AC' .AC2=AF·AE 由(1)得AC2=ADAB, AF·AE=AD·AB, AF AD ·ABAE 【分析】(1)证明△ABC∽△ACD即可解答： (2)①证明△ACE∽△AFC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可：②由①知 △ACE∽△AFC,得出AC2=AF·AE.再结合(1)AC2=AD·AB即可证明结论. 【详解】(1)解：∠ACB=90°， ∴.∠A+∠B=90°， CD⊥AB .∠ADC=90°， ∴.∠A+∠ACD=90°. .∠B=∠ACD ∠A=∠A, ∴.△ABCn△ACD. :B、4C AC-AD之 .'AC2=AD.AB (2)解：①如图：连接CE, 21/118 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠ACE=∠AFC,∠CAE=∠FAC, ∴.△ACE∽△AFC, S.ACE ②略， 17.(26-27九年级上·上海闵行期中)如图，已知AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，AB=15,BC=25, 则DC= B D 【答案】16 【分析】根据勾股定理求出AC的长，证明△CAD∽△CBA,利用相似三角形对应边成比例计算DC的长」 【详解】解：：AD是Rt△ABC斜边BC上的高 ∴.∠BAC=90°，∠ADC=90° AB=15,BC=25 AC=VBC2-AB2=V252-152=20 ∠ADC=∠BAC=90°，∠C=∠C ..ACADACBA .CD CA CA CB DC=4C2202 Bc25=16 18.(26-27九年级上：黑龙江大庆期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB,垂足为D, 22/118 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△ACD∽△CBD: (2)若AD=4,BD=9,求CD的长： (3)求AC的长 【答案】(1)证明：CD⊥AB, ∴∠ADC=∠CDB=90°， .∠A+∠ACD=90° ∠ACB=90°， ∠A+∠B=90°， ∴.∠ACD=∠B. .△ACD∽△CBD (2)6 (3)2V3 【分析】(1)根据两角相等即可证明两三角形相似： (2)由(1)中两三角形相似得对应边成比例即可求解： (3)根据题意说明△ACD∽△ABC,再由对应边成比例求解. 【详解】(1)略： (2)解：由△ACD∽△CBD CD AD 得BDCD 即CD2=AD.BD=4×9=36, ∴.CD=6 (3)解：∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=90°， .△ACD∽△ABC, AC AD ABAC· 23/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即AC2=AD·AB=4×(4+9)=52, .AC=V52=2W13 题型7旋转相似（共3小题) 【易错】共顶点三角形，两边成比例，旋转后夹角相等。依靠SS判定相似；易错：看清是相似不是全等， 旋转角相等，角度传递时不要混淆边角。 19. (26-27九年级上山西太原期中)如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边CD上的一点，且 DE=1把△BCE绕点C顺时针方向旋转9O°得到△CDF,延长BE交DF于点G,连接AG,则AG的长为 D E 16W2 【答案】 5 【分析】过点G作GT⊥AB于点T,先由勾股定理求解BE,然后通过△CBE∽△GBF求解BG,再由 △GTB∽△BCE求解BT,GT,最后通过勾股定理求解即可。 【详解】解：过点G作GT⊥AB于点T G B ,四边形ABCD是正方形 .AB=BC=CD=4,∠BCE=∠ABC=90° ∴.CE=CD-DE=3 ∴.BE=VBC2+CE2=5, 由旋转可得，CF=CE=3,∠CBE=∠CDF,∠DCF=∠BCE=90° ∴.∠BCE+∠DCF=180° 24/118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点B,C,F共线， ∴.BF-=BC+CF=7 :∠F+∠CDF=90° ∴.∠CBE+∠CDF=90° 即∠BGF=90° ∴.LBGF=∠BCE ,∠CBE=∠GBF ∴.△CBE∽△GBF BC BE .BG BF 45 …BG7 ..BG= 28 5 ,GT⊥AB,∠ABC=90° ∴.GT∥BF .∠TGB=∠EBC .·∠GTB=∠BCE ∴.△GTB∽△BCE GT BT GB ·BCCE BE 28 g G=2,B7=84 25 5 AT=4B-BT=25 :AG=An2+G7=16V2 20.(25-26九年级上广东深圳期中)【问题背景】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4.将△ABC绕顶点C顺时针旋转一个角度 a(O°<a<360),点A落在点A,点B落在点B',边AB与边BC相交于点D,与边AB相交于点E. 25/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ CD (1)如图①，当a=∠A时，画出图形后可得AB⊥CB,此时△CDB'∽△EDB,则AD-一 CD (2)当α=∠B时，利用尺规在图②中作出旋转后的△4BC(不写做法，保留作图痕迹)，并直接写出D 的值 【特殊位置】 CD (3)如图③，当点4恰好落在边AB上时，求AD的值. 【答案】()5 2)(2)如图，△MB'C即为所求： 1 0 3)(3)7 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理： (1)结合旋转的性质可得AB'∥AC,可证明△A'CD∽△ABC,即可求解： (2)根据题意画出图形，设AC,AB交于点E,则∠ACF+∠A=90°，可得到∠ACF=∠B,∠BCF=∠A 再由旋转的性质得：∠A'=∠A,可得∠A=∠BCF,从而得到A'D=CD 26/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)过点A作4G⊥AB于点G,根据Sm4CxBC=CG×B,CG=号 2 5,由旋转的性质 得：C=AC=3”B'C=BC=42B=∠B’可得到A=24G=8 ,4B=AB-A=子，然后根据 △B'DCOABDA',即可求解。 【详解】(1)解：由旋转的性质得：∠A'=∠A=∠ACA',∠ACB=∠ACB, ∴A'B'∥AC,∠ACA=∠BCB', .∠A'DC=180°-∠ACB=180°-90°=90°， ∴.∠A'DC=∠ACB=90°. .△A'CDAABC, CD AD BC AC CD BC ADAC' :AC=3,BC=4, CD 4 D3 (2)解：作图略， 由作法得：A'C⊥AB, 设4C,AB交于点R,则∠ACF+∠A=90°， .∠C=90°， ∴.∠A+∠B=90°，∠ACF+∠BCF=90°， .∠ACF=∠B,∠BCF=∠A. 由旋转的性质得：∠A=∠A, ,∠A=∠BCF, .A'D=CD. CD 01: (3)解：如图，过点A作AG⊥AB于点G, 27/118 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B 在Rt△ABC中，：∠C=90°，AC=3,BC=4 .AB=AC2+BC2=5, .SwCCCG 即)×3×4=5CG×5 解得：CG=12 G-AC2-AG- 由旋转的性质得：A'C=AC=3,B'C=BC=4,∠B=∠B, :AA=2AG=18 5 4'B=4B-44=] :∠B=∠B,∠B'DC=∠BDA', ∴.aB'DCOABDA', CD B'C 4 20 :4DB77. S 21.(25-26九年级上河南南阳期中)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC=4,点D、E分别是 BCAC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为. E D 图1 图2 28/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)问题发现 AE E ①当a=0°时， BD ②当a=180时，B (2)拓展探究 AE 试判断：当0°≤a<360时，D的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明： (3)问题解决 当△CDE旋转至A,C,E三点共线时，直接写出线段BD的长. 【答案】(1)①2：②2 (2) 不变，证明如下： 如图2所示，旋转过程中，AC、BC、CE、CD长度不变， AC CE 即BCCD' ,∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°， .∠ACE=∠BCD, .△ACEABCD. 部2， AE 六当0°≤a<360时，D的大小不变： (3)1或3 【分析】本题考查旋转的性质，三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质， 掌握相关知识是解题的关键。 AE_AC=2: (1)①当a=O°时，由三角形的中位线定理得到DE∥AB'从而有BD-BC ②当4-16w时，同强0可得SC-2, AE =AC=2. AE (2)如图2所示，旋转过程中，AC、BC、CB、CD长度不变，故△4 CEABCD,BD-BC 的大小无变化： (3)点A,C,E三点共线时，a=0°或a=180°，根据线段的和差分别求解即可. 29/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：①当a=0°时， :点D、E分别是BCAC的中点， .DE∥AB, AE AC ·BDBC' AC=2BC=4 AE AC ·BDBC -2； 故答案为：2； ②当a=180°时，如图所示： D E 4 B 则A,C,E三点共线，∠E=∠CED',CE'=CE,CD'=CD, :.D'E∥DE∥AB, AC BC .CE CD' AC BC AC BC “CE+ACCD+BC,即AEBD AE AC =2 BD BC 故答案为：2. (2)略 (3)解：①当△CED在如图位置时，点A,C,E三点共线，此时a=O°， B :BC=2,点D是BC的中点， .DC-1 ②当△CED旋转到如图位置时，A,C,B三点共线，此时a=180°， 30/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点B,C,D三点也共线， “BC=2 CD=CD'=。BC=1, ∴BD=BC+CD=2+1=3 综上所述，BD的长为1或3 题型8折叠相似（共3小题） 【易错】折叠得到等角、等线段，利用相等角构造相似三角形。通过折叠性质找等角，用从证明相似；容易 忽略隐藏直角，漏看图形中角度条件。 22. (2627九年级上·全国单元复习)【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了矩形纸张，即如 图①所示的矩形ABCD.他先通过对折找到AB边的中点E,再将△AED沿着直线DE翻折得到△AED,连 结A'B,小亮猜想A'B∥DE D D E 图① 图② (1)【问题解决】小亮对上面A'B∥DE的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：E为AB边的中点， .AE=EB ·将△AED沿着直线DE翻折得到△AED, AE=E,∠DEA=∠DEA', .A'E=BE .∠EAB=∠EBA」 请你补全余下的证明过程. 31/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)【结论应用】如图①，在【探索发现】的基础上，若AB:DE=3:5,△AEB的面积为6，求矩形ABCD的 面积： (3)如图②，在【探索发现】的基础上，过点A作AF∥AB交线段DE于点F.若AF=V3,DF=1,则矩 形ABCD的周长为 【答案】(1)证明：：E为AB边的中点， .AE=EB :将△AED沿着直线DE翻折得到△AED, .AE=A'E,∠DEA=∠DEA .A'E=BE, ∴.∠EAB=∠EBA, .·2∠DEA=∠AEA'=∠EAB+∠EBA'=2∠EBA', .∠DEA=∠EBA', .A'B∥DE: (2)S矩形HBCD=40 (3)4V3+2√6 【分析】(1)由折叠的性质可得出结论： 2连钟4交pE于点M连接0设1B-3x:则pE-5r,DN-子再E明AED可 得AM=V2. 2 ,从而得到AA=2AM=V2ix:然后证明。44B26DAE'即可求解： (3)连结AA'交DE于点N,设FN=EN=y,根据△ANE∽aDAE,可得y的值，从而得到FN=EN=I, DE=3,AD=V6,即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：如图，连结AA交DE于点M,连接BD, 32/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据题意设A'B=3x,则DE=5x. :E为AB的中点，M是AA'的重点， 2 7 :.DM=DE-ME=2*, 由折叠的性质得：AA'⊥DE,A=2AM,即∠AME=90°， .∠ADM+∠DAM=90°， 又：∠MAE+∠DAM=90°， ∴.∠MAE=∠ADM, 又：∠AME=∠AMD=90°， ∴△AMEADMA, :M、ME DM MA' 3 2t, AM= 2x(负值已舍去)， ∴.AA=2AM=V21x, DE∥AB,∠EMA'=90°， ∴.∠AAB=180°-90°=90°， ..AB=A42+4'B2 =30x, :∠AAB=∠ADE,∠AAB=∠DAE=90°， △AA'BADAE SAKE AB)2 50x6 DE 5x :E为AB的中点，S。B=6, ∴SMMB=2SMm=12 .S.4DE=10, 33/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.SAD=2SADE=20 :S矩形An=2S.AD=40 (3)解：连结AA'交DE于点N,如图， D BAF∥AB ∴∠A'FE=∠AED, ∠AED=∠AED, .∠AFE=∠A'EF, ..4'E=A'F=3, AE=A'E=3, AB=23, 由折叠的性质得：AA'⊥DE, :FN EN, 设FN=EN=y, ∠NAE=∠ADE,∠ANE=LDAE, ∴.△ANEP△DAE, AE NE DE AE' √5 1+2yV3 解得y=1(y=2舍去)， ∴.FN=EN=1, DE=3, .AD=DE2-AE2=6, ∴矩形ABCD的周长=2(4B+AD)=2(23+V6)=43+2V6 23.(25-26八年级上·浙江嘉兴期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，A、C两点分 34/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 别在x轴、y轴上，BC1y轴，∠B=90°，B点的坐标为(L,3),将△ABC沿AC翻折，B点落在D点位置， AD交y轴于点E,则点D的纵坐标为 2 【答案】5 【分析】考查知识点平面直角坐标系中点的坐标特征、翻折的性质、勾股定理、两点间距离公式， 首先由BC1y轴、B(1,3)得C(0,3),由∠B=90°得A1,0).再翻折后CD=BC=1,AD=AB=3.最后 设D(k小，用两点间距离公式列方程子+0-那=1和-y+y了=9：联立解得号. 【详解】~BC1y轴，B(3),C点坐标为(0,3)： 由△ABC为直角三角形，∠B=90°，可得AB⊥x轴，得AL,0). .CD=BC=1,AD=AB=3. 设D(x,),由CD=1得x2+(3-y2=1①， 由AD=3得（x-1)+y2=9② 由①得x2+y2-6y+9=1③. 由②得x2-2x+1+y2=9④. ④-③得-2x+6y=16,故x=3y-8, 将x=3y-8代入①，得(3y-82+(y-3}2=1 解得y号或y=3(合去) 12 即点D的纵坐标为5· 12 故答案为：5： 24,(2026江苏常州一模)如图，在矩形ABCD中，AB=9,BC=7,M、N分别为边CD,AB上的点， 35/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将四边形ADMN沿MN翻折至四边形EFMN,点E落在BC边上，且BE=3,则DM的长为() A. B.3 .号 2 【答案】B 【分析】设AN=EN=x,则BN=AB-AW=9-x,在RtABNE中，根据勾股定理求出BE=3,CE=4, 再证明△EPC≌aNEB(AAS),得出CP=BE=3,EP=NE=5,最后设DM=FM=y,则 MP=CD-DM-CP=6-y,证明△MPF∽aEPC,根据相似三角形对应边成比例列出方程求解即可. 【详解】解：，四边形ADMN沿MN翻折至四边形EFMN, ∴AN=EN,DM=MF,∠A=∠FEN=90°， 设AN=EN=x,则BN=AB-AN=9-x, 在RtABNE中，根据勾股定理可得：BW2+BE2=NE2, 即32+(9-x=x,解得：x=5, :.BN=AB-AN=9-5=4, BE=3, ∴.CE=BC-BE=7-3=4. ,∠CEP+∠NEB=90°，∠CEP+∠EPC=90°， ∴.∠EPC=∠NEB, 在△EPC和△NEB中， ∠EPC=∠NEB ∠B=∠C CE=BN ·aEPC≌aNEB(AAS), ∴CP=BE=3,EP=NE=5, 设DM=FM=y,则MP=CD-DM-CP=6-y, 36/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠F=∠C=90°，∠MPF=∠EPC, ∴.aMPF∽aEPC MP MF 6-y y E=CE,即5=4 解得：y=8 3 .DM=8 故选：B D.-_M 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，解题的关键是掌握勾股定理，三角形全等的判定和性质，相似 三角形的判定和性质， 题型9一线三等角型相似（共3小题) 【易错】同一直线上存在三个相等角，推导得到两组等角，“证相似。三个角未必是直角；动点题型要分类 讨论，极易漏掉其中一种情况。 25 (26-27九年级上：广东深圳期中)如图，在由边长为1的小正方形组成的3×5的网格中，有E,F, C,G四个格点.连结EF,EG,CF,另有EG与CF交于点O. D B (1)求证：△EOF∽△COG: FO (2)求0c的值. 【答案】(1)证明：由格点可知，在△AEF和△DFC中， 37/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE=DF ∠A=∠D AF=DC ∴△AEF≌aDFC(SAS). ∴.∠AEF=∠DFC,∠AFE=∠DCF :∠A=90°， ∴.∠AEF+∠AFE=90°， .∠AFE+∠DFC=90°， ∴.∠EFO=180°-（∠AFE+∠DFC)=90° :在△EFO和△CGO中， ∠EFO=∠CGO=90°，∠EOF=∠COG, .AEOFACOG: (2)2 【分析】(1)先根据格点关系，先利用SAS证明△AEF≌△DFC,从而推出∠EFO=∠CGO=90°，再结 合∠EOF=∠COG证得△EOF∽△COG; (2)根据格点关系，在RtAEF和RtACDF中，利用勾股定理算出EF,CF的长，设OG=x,则 EF EO E0=5-x'C0=√？+i由相似三角形的性质得到CGC0,代入解得0G的长，从而得到C0的长， FO 再根据线段关系推出F0的长，最后计算CO即可。 【详解】(1)略 (2)解：在RtAAEF中，AE=2,AF=3,EF2=AE2+AF2, ..EF=AE2+AF2=22+32=13, 同理，在RtACDF中，CF=√DF2+CD2=V22+32=√3」 设OG=x,则E0=5-x, CG=1, :.在Rt△CG0中，C0=VOG+CG=Vx2+1, .△EOFACOG. EF EO CGCO' 38/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 √135-x 代入得1= X+1' 整理得6x2+5x-6=0, (2x+3)3x-2)=0, 解得=（合去），七=号 3 OG=co-v3 3· 0=F-c0=5-5-2丽， 3=3 FO -=2 V13 3 26.(26-27九年级上广东佛山期中)如图，在边长为6的等边△ABC中，BD=2,∠ADE=60° D (1)求证：△ABD ADCE; (2)求AE的长. 【答案】(1)证明：，在等边△ABC中， ∴.∠B=∠C=60° :∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC,且∠ADE=60°， ∴.60°+∠BAD=60°+∠EDC, ∴.∠BAD=∠EDC, :∠B=∠C=60°， .AABDADCE: 14 23 【分析】(1)因为∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC,，且∠B=∠ADE=6O°，推出∠BAD=∠EDC, 39/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 再根据等边三角形中∠B=∠C=60°，得出结论： (2)根据相似三角形的性质以及判定即可求出答案. 【详解】(1)略： (2)解：△ABD∽aDCE, BD AB .CE CD' .BD=2,BC=AB=AC=6, .CD=4, 26 ..CE 4' CE AE=AC-CE=14 27.(26-27九年级上·湖南永州期中)如图，边长为8cm的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH,其 中E、R、G分别在AB、BC、FD上，若BF=2cm,则小正方形的面积等于() H 9 2 A. B 4 cm2 C. 【答案】B 【分析】在正方形ABCD中，由BF=2cm,可得CF的长：再由“一线三等角”，证得∠BEF=∠CFD, 从而推得△BEF∽△CFD;由相似三角形的性质，可得BE的长，从而根据勾股定理可得EF的值，进而 求出小正方形的面积 【详解】解：~正方形ABCD的边长为8cm,BF=2cm, ∴CF=BC-BF=6cm, :四边形ABCD和EFGH均为正方形， ∠B=LC=∠EFG=90°， 40/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴LBEF+∠BFE=90°，LCFD+∠BFE=90°， .∠BEF=∠CFD, ·.△BEF∽△CFD, BE CF ∴.BFCD BE 6 ∴.28 3 .BE 2, ∴在 中，EF=VBE2+BF2 RtABEF +2-m. .SE方形rGH=EF 题型10手拉手型相似（共3小题） 【易错】共顶点顶角相等，夹边对应成比例。顶角同加减得到夹角相等，SS证相似；分清手拉手相似与全 等，全等要求对应边长完全相等。 28.(2627九年级上辽宁丹东期中)【初步感知】 F B 图1 图2 图3 备用图 (1)如图1，△ABC和△BDE是等腰直角三角形， BD<AB,∠ABC=∠DBE=90°，连接AD,CE,构 建“手拉手”模型（如图1），判断AD与CE的数量关系，并证明 (2)如图2，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AD<AB,直接写出BD与CE 的数量关系是：-： 【类比分析】 (3)如图3，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,∠BAC=90°，点D为边AB上一点（不与点A重合）， 以CD为边作正方形CDEF(点C、D、E、F逆时针排列)，连接BE,证明：BC⊥BE, 41/118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式拓展】 (4)在等腰直角三角形△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点E为边AC上一点，D是平面内一点，且 DEBC,∠ADC=135°，若AB=6,AD=2,直接写出CE的长为_ 【答案】(1)AD=CE. 证明：△ABC和△BDE是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°， .AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠ABE+CBE=90°，∠DBE=∠ABE+∠ABD=90°， .∠CBE=∠ABD BE=BD 在 和 中， ∠CBE=∠ABD △BCE ABDA BC=BA △BCE≌aBAD(SAS), .AD=CE Q)D-CE 2 3)证明：连接CE,如下图所示， A D 图3 ~四边形CDEF是正方形， g∠FCD=∠CDE=902ZECD=)2FCD=45cD=DE ∴.∠ECD=∠BCE+∠BCD=45°， :△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠BCD+∠ACD=45°，AB=AC, .∠BCE=∠ACD, 在RI△ABC中，AB=AC,∠BAC=90° 由勾股定理得：BC=VAB2+AC2=V2AC, 42/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RIACDE中，CD=DE,∠CDE=90°，由勾股定理得：CE=VCD2+DE2=V2CD, BC_CE- AC CD BC-CE-2,∠ACD=∠BCE' 在AACD和ABCE中，ACCD ..AACDABCE ∴∠CAD=∠CBE=90°， BC⊥BE: (4)6- 2V17.16 3或3 【分析】(1)等腰直角三角形两直角边相等，同角的余角相等，用SMS证明△BCE≌△BAD即可： (2)用勾股定理进一步变形得到AB=AD AC-4E=2,又∠BMC=∠BAD+∠CMD=45, ∠DAE=∠EAC+∠CAD=45°，得到∠BAD=∠CAE,用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似 得到△ABDAACE,对应边成比例： (3)正方形的每个内角都是直角，每条对角线平分一组对角，利用(2)证明三角形相似的办法证明 △ACD∽△BCE,相似的两个三角形对应角相等： (4)分为点D在△ABC内部和外部两种情况，过点D作DF⊥AC,在内部时，用两角相等的两个三角形 EC CD ED 相似得到△ACDADCE,得到DC=CADA,设EF=DF=x则DE=V2x'CD=3xV2x=3V2x: 在RIAADF和RtACDF中，用勾股定理得到AF=AC-CF=6-VI7x, AD=AF2+DF2=(6-V7x+x2-22,求出x即可，在外部时，用两角相等的两个三角形相似得到 AM4 CDADE:从而得到花D·代值求出B AD AC 【详解】(1)略 (2)解：：△ABC和△ADE是等腰直角三角形， ∴.∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°，∠DAE=∠DAC+∠CAE=45°，AB=BC,AD=DE, ∴.∠BAD=∠CAE, 在Rt△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°， 由勾股定理得：AC=√AB+BC2=V2AB, 43/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RIAADE中，AD=DE,∠ADE=90°， 由勾股定理得：AE=√AD+DE2=√2AD, ACAE ABAD AC-AE=2,∠BAD=∠LCME 在AABD和AACE中，ABAD ∴.△ABD∽△ACE, BD .BD CE: 2 (3)略 (4)在等腰直角三角形△ABC,AB=AC,∠BAC=90°， :.∠ABC=∠ACB=45°， 当点D在△ABC内部时，过点D作DF⊥AC如下图所示， E .DE ll BC, ∴.∠DEC=180°-∠ACB=180°-45°=135°，∠AED=∠ACB=45°， ∠ADC=135°， .∠ADC=LDEC, ∠ACD=∠DCE, .AACDADCE, EC_CD_ED DC CA DA' CD ED 即6=2’ :.CD=3ED, .∠FED=45°， :DF⊥AC 44/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DFE=90°， .∠FDE=180°-∠DFE-∠FED=180°-90°-45°=45°， .EF=DF, 令EF=DF=x,则DE=V2x,CD=3×√2x=3V2x, 在R1ACDF中，由勾股定理得：CF=CD2-DF=32x}-=7x, .AF=AC-CF=6-17x, 在RIAADE中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=(6-V7x+x=2, 解得：x= 3 cg=cr-r-i-k--小-小56-2或 cE=r-r--=-小--小- 当点D在△ABC外部时，过点D作DF⊥AC如下图所示， A B C .DE BC, ∠DEC=∠ACB=45°， .DF⊥AC .∠DFE=90°， ∴∠EDF=180°-∠DFE-∠DEF=180°-90°-45°=45°=∠DEF, .DF=EF,∠AED=180°-∠DEF=180°-45°=135°， :∠ADC=135°， ∴.∠ADC=∠AED, ∠DAC=∠EAD. .AACD△ADE. AD AC AE AD 45/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2=6 即AE2’ 4AB=2×2_2 63 CE=AC-AE=6-2_16 33 CE的长为6- 21716 综上所述， 3或3 29.(2026湖北随州模拟预测)定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一 个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形. 图1 图2 图3 (1)如图1，在智慧三角形ABC中，AD⊥BC,AD为该三角形的智慧线，CD=1,AC=V5,则BD长为 ∠B的度数为 (2)如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，F是斜边BC延长线上一点，连结AF,，以AF为直角边 作等腰直角三角形AFE(点A,卫，E按顺时针排列)，∠EAF=9O°，AE交BC于点D,连结EC,EB, 当∠BDE=2∠BCE时，求证：ED是△EBC的智慧线 3)如图3，△ABC中，AB=AC=5,BC=4V5.若△BCD是智慧三角形，且AC为智慧线，求△BCD的面 积. 【答案】(1)2,45° (2)证明：如图2中， ,∠BAC=∠EAF=90°， 图2 46/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAE=∠CAF, 在△BAE和△CAF中， AB=AC ∠BAE=∠CAF, AE=AF ∴.△BAE≌△CAF(SAS), .∠ABE=∠ACF, ,∠ABC=∠ACB=45° ∴.∠ABE=∠ACF=135°， ∠EBD=90°， ',∠BDE=∠DCE+∠DEC,∠BDE=2∠DCE, ∴.∠DCE=∠DEC .DE=DC, ∴.△DEC是等腰三角形， :△EDB是直角三角形， .△BEC是智慧三角形： ∴，ED是△EBC的智慧线 0 3)16或3 【分析】(1)利用勾股定理求出AD,再根据等腰直角三角形的性质求出BD即可： (2)证明DE=DC,结合定义可得结论： (3)如图3中，过点A作AH⊥BC于点H.有两种情形：当CD⊥BD时，或当CD'⊥AC时，△BCD, △BCD'是智慧三角形. 【详解】(1)解：：AD⊥BC, .∠ADB=∠ADC=90°， .CD=1,AC=5. .AD=AC2-CD2=5-1=2 ,△ABC是智慧三角形， ∴，△ADB是等腰直角三角形， ∴.BD=AD=2,∠B=45°， 47/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略 (3)解：如图中，过点A作AH⊥BC于点H. D B H 有两种情形：当CD⊥BD时，或当CD'⊥AC时，△BCD,△BCD是智慧三角形. :AB=AC=5,AH⊥BC, .BH=CH=25, ..AH=AB2-BH2=52-(25)2=5, Sxac-号4cD, ..CD= 45xV5 J =4, .AD=VAC2-CD2=V52-42=3, .SAwn-1.BD.CD-x8x4=16. 2 2 ∠ACD=90°，∠ADC=∠CDD'=90°， .∠ACD+∠DCD'=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴.∠CAD=∠DCD', .△ADC∽△CDD', AD CD CD DD'' 34 4DD', DD'=16 3 :.BD'=BD+DD'=8+ 1640 33 48/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 140 .SAcm=)× 23 *4、80 3 80 综上所述，满足条件的ABCD的面积为16或3· 30.(25-26八年级上·北京密云期中)已知△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， AC-BC=2V2,CD=CE=V2,点P、O分别为AB、DE的中点，连接PO、CP.CO.BD 猜想：如图①，当点D在AC上时，线段BD和PP的大小关系是· 探究：如图②，把△DCE绕着点C旋转一定的角度时，线段BD和PO的大小关系是什么？并加以说明. 拓展：如图③，△ABC和△DCE均为直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，且∠A=∠E=30°，CD=1, BC=V3,点P、Q分别为AB、DE的中点，连接POBD,当∠POD=30°时，△BCD的面积是_ R 图① 图② 图③ 【答案】猜想：BD=V2P9: 探究：BD=V2P№，理由如下： 由猜想可知，AB=4,DE=2CP=2,C2=1, BC CD .E20 =V2 BC CD ·CpgC' :∠ACP=∠CD0=45°. 、.∠PC2=∠ACP+∠ACD+∠DCQ=90°+∠ACD,∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD 、∠BCD=∠PC9, :.△BCDAPCO, BD_BC=2 ∴PgCP :BD=P0: 49/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 拓展：2 【分析】猜想：根据等腰直角三角形的性质求出CP=2,CO=1,∠ACP=∠CD0=45°，用勾股定理计算 出BD,PO,即可求解； BC=CD=√2，∠BCD=∠PCO,证明ABCD∽APCO,根据对应边成比例即可求解： 探究：根据CPQC 拓展：连接PCCO,由探究可知，△BCD∽aPCO,得出∠POC=∠BDC,再证aCDO为等边三角形， △BCD是直角三角形，求出两条直角边长度，利用三角形面积公式即可求解. 【详解】解：猜想：AC=BC=2√2，∠ACB=90°， ∴.AB=V2AC=4, ,P点是AB的中点，△ABC是等腰直角三角形， :CP=)AB=2. 2 同理，：CD=CE=V2,∠DCE=90°， ∴.DE=V2CD=2, :O是DE的中点，aDCE为等腰直角三角形， .CQDE-1 :P点是AB的中点，△ABC是等腰直角三角形， :.CP⊥AB,∠A=45°， .∠ACP=45°， 同理可得∠ACQ=45° .∠PCQ=90° .PO=Cp2+co2=22+=5, 在RUABCD中，BD=VBC+CD=V22'+(V2-VI0, :BD=2PO. 故答案为：BD=V2P9: 探究：略 拓展：连接PC、C9,如图③， 50/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图③ 由探究可知，△BCD∽aPCQ, .∠POC=∠BDC, 在Rt△DCE中，∠E=30°， .'DE =2CD, O是DE的中点， :.CD-IDE, 2 ..OC=CD :.△CDO为等边三角形， .∠DQC=60° :∠PQD=30° .∠P2C=90°. ∴△BCD是直角三角形， .CD=1,BC=3. ..BD=BC2 -CD2 =2 :S.BCD -D-CD- 2x1= 2 √2 故答案为： 2 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质， 勾股定理等，综合应用上述知识点是解题的关键. 题型11动态相似（共3小题） 51/118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错】点在线段上运动，特定时刻两三角形相似。设动点时间t,分类讨论顶点对应关系列比例；这类题 常有多解，很容易漏掉其中一组解。 31. (2026九年级上全国专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,动点 P从点B出发，在BA边上以3cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以2cm/s 的速度向点B匀速运动，运动时间为s(0<1<2),连接PQ、AQ、CP.当Ag⊥CP时，求t的值. A 3 【答案】12 【分析】过点P作PM⊥BC于点M,设A坦、CP交于点N.证明△PBM∽aABC,得到PM,BM, AC CO CM: 证明△4COACMP,得到CM=PM 列式计算即可， 【详解】解：如图所示，过点P作PM⊥BC于点M,设AQ、CP交于点N. B 在 中， Rt△ABC ∠ACB=90°AC=6cmBC=8cm .∴AB=VAC2+BC2=10cm 由题意，得BP=3icm,C2=2tcm :∠BMP=∠ACB=90°，∠B=∠B :∴.APBM∽△ABC, BP PM BM 3t PM BM BA=AC=BC即10=6=8， .PM-Icm,BM=1 -tcm. .CM=BC-BM=8-12 t cm 5 AQ⊥CP 52/118 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ANC=90°， ∴.∠NAC+∠NCA=90° :∠PCM+∠NCA=90°， ∴.∠NAC=∠PCM :∠ACQ=∠PMC=90° .△ACQ∽aCMP, AC CO CM PM 6 2 51 解得（舍去)或1=3 t=0 12 13 故，的值为2 32.(25-26九年级上吉林长春期中)如图，在△ABC中，∠4BC=90°，AC=5,AB=4.动点P从点 C出发，沿CA以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动.过点P作CA的垂线交射线CB于点M,设 点P的运动时间为t秒(1>0). B M P (1)BC= (2)用含t的代数式表示BM的长， (3)当点M不和点B重合时，作点M关于AB的对称点N.取PC的中点O. ①连结Mg、PW,当点M在边BC上，且MOPV时，求t的值. ②连结N№，当∠CN№=∠4时，直接写出t的值. 【答案】(1)3 3 3-5t,0<t (2)BM= 5 1s 3 5t-3 5 53/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3@1=2 460 :②t的值为5或43 【分析】(1)利用勾股定理求解即可. 3 3 2)分两种情形：当0<1<时，当；1≤时，分别求解 (3)①证明CM=MN,由此构建方程，可得结论。 ②分两种情形：当N№1AC时，∠CN№=∠A,此时CN=MW,由此构建方程，即可解决问题.当 ∠CN№=∠A时，过点Q作QH1BC于H.然后根据相似三角形的性质与判定可得结论. 【详解】(1)解：：∠ABC=90°，AC=5,AB=4, .'BC=AC2-AB2 =3. (2)解：过点B作BT⊥AC,如图所示： B M .S.we-AB.BC=1AC.BT, 2 B7=3×412 55 CT=BC2-BT2=9 , 由题意可分：当点M在C上时，则0<1≤？3，即0< 5 ∴CP=3t, MP⊥AC, .MP∥BT, ∴.ACMPOACBT, CM 3t CM_CP,即39 CB CT ..CM=51, 54/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BM=3-5t; 当点M在BC外时、则1≤ 3 同理可得：CM=5t, .BM=51-3; 3-5,0<1 BM 5 综上所述： 3 51-3, 1s (3)解：①当M0IPW时，如图所示： B M COP CM CO MN PO' Cg=P№， ∴CM=MN, 由对称可知：BM=BN=3-51, .MN=6-10. .51=6-10t, 2 解得1=5 ②如图，当N0⊥AC时 B C O P A ,∠CN0+∠C=∠C+∠A=90° 55/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠CNg=LA, MP⊥AC, .MP∥Ng, CN_CO=1. :MN PO .CN=MN, 由(2)及对称可知：BM=BN=5t-3,CM=5t, ·.MN=2BM=2(51-3), .CW=5t-2(5t-3). :.2(51-3)=5t-2(51-3), 如图，当∠CN№=∠A时，过点O作H⊥BC于H M/ B CA PA c0=cP=15, 2 ∠ABC=∠QHC=90°， .△OHCAABC, CO CH OH ·CA=CBAB Cco on-gce 10 5 BM BN =5t-3, .CW=5t-3-3=5t-6 56/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :WH=CN+CH=591-6. 10 :∠CNg=∠A,∠QHN=∠CBA=90°. △OHN∽ACBA 59 6 H_, -6 -t 即10 AB CB 4， 3 60 解得：1= 43 4.60 综上所述，t的值为5或43： 33.(25-26八年级上·浙江宁波期中)如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=6cm,aABC边 上有一个动点P,从点B出发以每秒1cm的速度沿B→C→A→B的方向运动，最后回到点B.设出发的 时间为秒. B A (1)当t=2秒时，BP的长为 ；当t=I1秒时，BP的长为 (2)求出发时间为几秒时，△BCP是等腰三角形？ 【答案】(1)2cm;5cm (2)当出发时间为13.2秒、11秒、12秒、18秒时，△BCP是等腰三角形 【分析】本题重点考查了勾股定理，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质 和判定，平行线的性质，相似三角形的性质等知识点，读懂题意，熟练掌握并灵活运用相关知识点，并分 类讨论是解此题的关键。 (1)根据题意可以得BP的长为P点运行的速度与时间之积，当1=11时需要考虑此时P点己经运行在CA 上，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案。 (2)此处需要分情况讨论，①当P在BC上时，显然无解.②当P在CA上时，需要分三种情况讨论，即 BC=BP,BC=PC,PC=PB.BC=BP时，作垂线BH⊥CA,利用直角三角形面积公式得到BH,进 而求得PC的值并完成求解：BC=PC时，容易得到PC的值，进而完成求解；PC=PB时，利用等腰三 57/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角形的性质可以得到CH=)BC,利用相似三角形对应线段成比例，可以求得CP=)CA=5,最后完成求 2 2 解.③当P在BA上，此时BP=BC,通过简单计算即可得到答案. 【详解】(1)解：当1=2秒时，动点P运动了21=2(cm）, 此时还未到达C点， ∴BP的长为2cm, 当t=lⅡ秒时，动点P运动了11*1=11(cm）, ∴此时P点在C→A的运动过程中， ∴PC=11-BC=11-6=5cm, ∠B=90°，AB=8cm,BC=6cm, ∴AC=10cm, ∴.P在AC的中点上，同时△ABC为直角三角形， .此时BP的长为5cm 答：当1=2秒时，BP的长为2Cm;当t=11秒时，BP的长为5cm (2)解：①当P在BC上时，B、C、P为在一条直线上，无法构成三角形： ②当P在CA上时，分三种情况讨论， 若BC=BP过B作BH⊥CA,如下图所示， B 根据三角形面积公式， SC=BCx BA=-)XBH×CA 即2×6x8=)×10xBH, 2 :BH=24 24 18 在RT&BC 中，CH=VBC2-BH=6- 5 3.6 58/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BC=BP, ..CH =HP=3.6cm. P运动的路程为6+3.6+3.6=13.2(cm), .1=13.2/1=13.26) 若BC=CP时， CP=BC=6cm. 此时P运动的路程为6+6=12(cm), 1=121/1=12(s): 若PC=PB时， 连接PB,过P点作PH⊥BC, H力. B A PC=PB,PH⊥BC, ..CH=HB=BC. PH⊥BC,∠B=90°， .PH∥BA, CH CP 1 ·CBCA2' n-C1=5, 此时P运动的路程为6+5=1l(cm), .t=11/1=11(s) ③当P在BA上时，如下图所示， 59/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◇ B A ,∠B=90°， ∴，斜边PC一定是最长边，只存在BP=BC, .'BP=6cm.AP=8-6=2(cm) 此时P运动的路程为BC+CA+AP=6+10+2=18(cm), .t=18/1=18(s) 综上所述，当出发时间为13.2秒、11秒、12秒、18秒时，△BCP是等腰三角形 答：当出发时间为13.2秒、11秒、12秒、18秒时，△BCP是等腰三角形 题型12k字型相似（共3小题） 【易错】一线上三个直角，左右两个直角三角形互余等角，从相似。属于一线三等角特例；斜置图形要主动 作垂线构造K型，识别模型。 34.(2025江苏扬州二模)将如图所示正方体的展开图放在平面直角坐标系0y中，点A、B、C分别 k 落在坐标轴上，且OB=1双曲线y=(k≠0)恰好经过点D·则k的值为一 OB 【答案】36 【分析】本题考查求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质，得到点D坐标是解答的关键.过D作 DH⊥x轴于H,设小正方形的边长为a,先证明△AOB∽△BPC求得OA=2,再证明△AOBABHD求得 BH=8,HD=4,进而可得D(9,4),再待定系数法求解k值即可： 【详解】解：过D作DH1x轴于H,设小正方形的边长为a, 60/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D OB C H 由题意，∠OAB+∠OBA=∠OBA+∠PBC=90°， :∠OAB=∠PBC,又∠AOB=∠BPC=90°， ∴△AOB∽△BPC, OA OB OA 1 小Bp=PC,即2a=a 0A=2, ,∠OAB=∠HBD,∠AOB=∠BHD=90°， .△AOBABHD OA OB AB a ·BHHDBD4a' ∴BH=40A=8,HD=4OB=4. ..OH=OB+BH=9. .D(9,4 :双曲线y=k+0)恰好经过点D .k=9×4=36 故答案为：36. 35.(26-27九年级上·黑龙江大庆期中)如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD=∠C B 2D (1)求证：△ABD∽ACBA: (2)若AB=4,BD=2,求BC的长， 【答案】(1)证明：：∠BAD=∠C,∠B=∠B, ∴.△ABDACBA (2)8 61/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)直接利用两角对应相等的三角形相似即可证明结论： (2)根据相似三角形的性质列比例式并代入已知数据求解即可. 【详解】(1)证明：略 (2)解：由(1)可得△ABD∽aCBA AB BD 42 CBBA,即BC=4,解得：BC=8 36.(2627九年级上甘肃天水期中)直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”，定理的内容是：如图， 在Rt△ABC中，满足条件：∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，则有如下结论成立：①CD=ADDB ②BC2=BD·BA③AC2=AD·AB④AC.BC=AB.CD. (1)已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的高，求证：AC2=AD·AB. (2)直接运用：射影定理解决下面的问题： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的高，若AC=6,BD=9,求CD的长 【答案】(1)证明：在R1△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高， ∴.∠ADC=90° :∠A=∠A(公共角)， ∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ACD∽aABC(两角分别相等的两个三角形相似)· AC AD 根据相似三角形对应边成比例，可得：ABAC, 交叉相乘得：AC2=ADAB (2)3V3 【分析】(1)利用公共角∠A和两个直角，证明△ACD与△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例 AC AD AB-AC,交叉相乘证得AC2=AD·AB (2)设AD=x,结合AC=6,BD=9,AB=x+9,使用射影定理AC2=4ADAB列出方程6=x(x+9) 求出AD=3,再用射影定理CD2=AD·BD,代入数字算出CD=3N3 62/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略. (2)解：设AD=x, 根据(1)问已证的射影定理结论AC2=AD·AB 已知AC=6,BD=9,且斜边AB=AD+BD=x+9,代入得： 62=x(x+9), 整理为一元二次方程： x2+9x-36=0 因式分解得： (x+12)(x-3)=0 解得x=3,x2=-12 由于线段长度为正，舍去负根，得AD=3 再根据射影定理结论CD2=AD·DB,代入AD=3,BD=9: CD2=3×9=27, .CD>0. .CD=35 题型13关系型相似（如倒数型、系数型） (共3小题) 【易错】由相似推导线段倒数或倍数关系式。先证三角形相似，转化比例变形得到等式；难点是代数变形， 容易在分式换算时出现计算失误。 37. (24-25九年级上浙江杭州期中)在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB.点E,F分别在AC,BC 上，沿直线EF翻折△CEF,记点C的对称点为D,射线CD交AB于点G. GD) BF G B 图1 图2 AG (1如图1，若点D与点G重合，求GB的值. 63/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 段G-k,求仁的值（用合k的代数式表示）， CF 2如图2，若点D在。4BC内，设GB 【答案】(1)V2-1 2四元 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质，解 题的关键是熟悉平行的性质和相似三角形的性质， ()根据题意得∠CAB=45°，根据折叠得LEGB=∠ECB=90°，EC=EG,CB=GB,设AG=GE=x,则 AE=√2x,EC=x,AC=BC=V2x+x,即可得GB=V2x+x即可求得答案： AH AG 2)作GH/BC交4C于点丑，则&AGHSMABC'乙AHG=90°有HCGB结合题意得C=R,由 HG 题意知。AHG为等腰直角三角形，则AH=HG,那么，HC=k,进一步得△CEr∽△HGC:则 CE HG CF HC =k即可. 【详解】(1)解：：∠ACB=90°，CA=CB」 ∴.∠CAB=45° ,沿直线EF翻折ACEF,记点C的对称点为D,D、G重合， ∴∠EGB=∠ECB=90°，EC=EG,CB=GB, ∴.△AEG是等腰直角三角形， .AG=EG 设4G=GE=x,则AE=V2x,EC=x,AC=BC=V2x+x, .'.GB=2x+x, AG 所以GB 1=2-1 2x+xV2+1 (2)解：如图，作GH∥BC交AC于点H, H B 则△AGH∽△ABC,∠AHG=90° 64/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。AH_AG ·HCGB' AG :GB k, AH :.HC =k, ∠ACB=90°，CA=CB ∴.△AHG为等腰直角三角形， ∴.AH=HG, 则记， HG ,∠CEF+∠ACG=∠CGH+∠ACG=90°， ∴∠CEF=∠CGH, .∠ECF=∠GHC=90°， :.△CEF∽△HGC CE_HG=k, CF HC CF1 则CEk 4 38.(25-26九年级上河北唐山期中)在RtABC中，∠BAC-90,BC=10:cos∠4BC=5,在AB AC上取两点DE连接Dg且DEBC,8-人，把。1DE能点运时针定转，能转角为a:连接D CE. D E D 图1 图2 图3 (1)在图1中，4C=_: (2)在图2中，求证：△ABD~aACE: (3)继续旋转△ADE, ①如图3，当点D落在BC上时，恰有AD⊥BC,求k的值： 65/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ®当点瓜，八、B在同一条直线上时恰好k=分直接写出CB的长。 【答案】(1)6 (2) 证明：图1中，DE∥BC, ∴.△ADE∽△ABC, AD=AE-k, 图1、图2中，ABAC ,△ADE绕点A旋转C, ∴∠DAB=∠EAC=a, 在△ABD和△ACE中， AD AE :AB AC =k,∠DAB=∠EAC .△ABD~aACE: @:②cs-35T+2或3-2 5 一或 5 【分析】(1)先由三角函数定义求出AB,再用勾股定理求AC: (2)先由DE∥BC,得相似，再结合旋转角相等，证两边成比例且夹角相等，从而得相似： AD (3)①先利用三角形面积或三角函数求出AD:再结合Bk求太：②先求AD、AB、DB的长，利用相似 得BD与CE的关系，结合勾股定理分情况求CE. 【详解】(1)解：在Rt△ABC中， :cos∠ABC=AB-4 BC 5'BC=10' =0号8， 由勾股定理：AC=VBC2-AB2=V10-82=6, 故答案为：6： (2)略 (3)解：AD⊥BC,∠BAC=90°， ..wCBcD 2 66/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D=4B.4C_8x6_24 BC105· AD AB k, 24 “k=5-3: 85 ②当k=2时， AB=8,AC=6, 404=4,B-号40=3， :∠DAE=∠BAC=90°， DE=VAD2+AE2=V42+32=5, ,△ABD~△ACE, BD AB 8 4 CEAC63,∠ABD=∠ACE, 设CB=x则0-x, ,∠BAC=90°， ∴.∠ABC+∠ACB=90° ∴.∠BCE+∠CBE=90°， ∴.∠BEC=90°， 情况1：点E在BD延长线上， D B C 4 BE=BD+DE=x+5 图4 在Rt△BCE中， .BE2+CE2=BC2, 4 (3x+5)2+x2=102 化简得：25x2+120x-675=0, 67/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3W91-12 解得：x= 5 (舍去负根)： 情况2：点E在BD上， B C BE=BD-DE= 4 图5 x-5 3 在RtABCE中， .BE2+CE2=BC2, 4 -5+r=102, 化简得：25x2-120x-675=0, 3V91+12 解得：x= (舍去负根)， 5 综上，CB-391+12成391-12 一或 5 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义、旋转的性质，熟练掌握 相似三角形的判定与性质是解题的关键 39.(2026浙江宁波模拟预测)【基础巩固】 (1)如图1，等腰△ABP,BA=BP,AC⊥BP,垂足为点C,点E为AC上一点，ED⊥AD,延长DE恰好 过点B,an乙ABC=4.求AP =3,求BE的值： 【尝试应用】 (2)如图2，等腰△ABP,BA=BP,AC⊥BP,垂足为点C,点E为AC上一点，ED⊥AD,延长DE交 AB于点F, tan∠ABC=b 、AD ,求EF的值： 【拓展提高】 (3)如图3，四边形ACD，中cD∥B∠DMC=4c∠ACB=0.点E在AC上，DELAD 若AE:CE=k,求tan∠B的值（用含有k的代数式表示）， 68/118 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 【答案】(1)(2) 4 2a;(3) 2Wk+1 k 【分析】(1)证明△ACP∽△BCE,根据边长成比例即可求解： (2)过点F作FG∥BP即可转化为和(1)完全相同的问题： (3)延长DE交AB于点F·由CDI‖AB,可得DEEC E--,设DB=a则Er=ka正明 AD ED ∠DAC=∠EFA?再证ADEAFDA:得到比例FD=AD,即AD=DE-DF:由(2)可知 tan/B=2AD EF 即可得到答案 本题考查等腰三角形，三角形相似，直线平行的性质，正切，能够找到各小问之间的相同之处是解题关键 【详解】解：(1)BD⊥AP,AC⊥BP, ∴.∠DAE+∠DEA=90°，∠CBE+∠BEC=90° 又：∠DEA=∠BEC, ∴.∠DAE=∠CBE, 又：∠ACP=∠BCE=90°， △ACPn△BCE, AP AC 4 BEBC3· (2)如图，过点F作FG∥BP,交AC于点H, BA=BP, ∴.∠BAP=∠P, FG∥BP, .∠P=∠AGF,∠GFA=∠B, ∠AGF=∠GAF, ..FG=FA. 69/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,FD⊥AG, .AD-DGG :AC⊥BP,GF∥BP, ∴AH⊥GF D G D E A B 根据(1)可得： L4 G 1 AHI tan∠AFH=tanZ EF 2 EF 2 FH 2 2a (3)如图，延长DE交AB于点F, D F B:∠DAC=∠ABC ∠EFA+∠DAC+∠EAF=∠CAB+∠ABC=90° .∠DAC=∠EFA, .CD AB EF AE DE EC =k, 设DE=a,则EF=ka, ,∠DAC=∠EFA,∠ADE=∠FDA=90°， .△ADESAFDA, AD ED ÷FD-AD,即AD=DE-DF: .AD=√k+1a, :由(2)可知tan∠B=2AD-2k+7 题型14角平分线型相似（共3小题） 70/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错】角平分线分出等角，搭配另一组等角构造相似三角形。用等角条件“证明相似；注意区分角平分线 定理和相似结论，不要混用两个公式。 40 (24-25九年级上贵州铜仁期中)【综合与探究】 请阅读以下材料，完成相应的任务 角平分线分线段成比例定理： AB BD 如图1，在AABC中，AD平分∠BAC,则ACCD 下面是这个定理的部分证明过程， 证明：如图2，过C作CE∥DA,交BA的延长线于点E. CE∥AD,.BD:CD=AB:AE,∠2=∠ACE,∠I=∠E,∠I=∠2， AB BD 六∠ACE=∠E'①， E A B B B D D 图1 图2 图3 (1)①处应该填 AD (2在(1)的基础上，若AB=7,AC=5,求CE (3)如图3，BE是△ABC的角平分线，点F在BE上，延长AF交BC于点D,若BF=3EF,BD=3, AB=6,AE=2,求线段EC的长， 【答案】(1)AE=AC AD 7 2)CE12 间cs- 【分析】(1)根据等角对等边即可得解； AB BD 7 (2)由角平分线的性质得ACCD-5,设BD=7a'则cD=5a'BC=12a,再根据相似三角形的判定 71/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 及性质即可得解； BF BD AE DG (3)过点E作EG‖AD,则EF=DG,CECG,进而得BD=3DG'DG=1设CG=x'根据角平分 16 线性质及平行线分线段成比例定理得，4+x,解得x=5,从而即可得解。 【详解】(1)解：证明：如图2，过C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, :CE∥AD, .BD:CD=AB:AE,∠2=∠ACE,∠I=∠E, ∠1=∠2， .∠ACE=∠E, .AE=AC, AB BD AC CD 故答案为：AE=AC: (2)解：：AD是△ABC的平分线， AB BD AC CD' AB=7,AC=5. AB BD 7 AC CD 5 设BD=7a,则CD=5a, :BC=12a, .CE∥DA ∴.△BDA∽△BCE, BD AD 7 BC CE 12 AD 7 ·CE12 (3)解：过点E作EG‖AD 72/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B D G BF BD AE DG ·EFDG,CECG, BF =3EF, ..BD=3DG BD=3, .DG=1 设CG=x :BE是△ABC的角平分线 4B=AE。6 6 AC CE3+1+x4+x AE DG 1 又CE CG 16 “x4+x 4 解得x=。 5 AE1_5 CE x 4 AE=2, 8 .CE=9 5 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，等角对等边， 熟练掌握行线分线段成比例及相似三角形的判定及性质是解题的关键 41.(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，∠AED=∠B, AD=2,AC=3,△ABC的角平分线AF交DE于点G,交BC于点F. 73/118 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F (1)求证：△ADEP△ACB: AG (2)求证：△ADGA4CF·并求GF的值. 【答案】(1) 证明：∠AED=∠B,∠BAC=∠DAE ∴△ADE∽aACB (2) ,△ADEAACB .∠ADE=∠C, AF平分∠BAC, .∠DAG=∠CAF, ∴.△ADG∽△ACF, AG AD ∴AFAC, ,AD=2,AC=3, .AG 2 AF3' :GF=AF-AG-3AG-AG=1AG AG。AG=2 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识点，掌握相似三角形的判定方法是 本题的关键 (1)由∠AED=∠B,∠BAC=∠DAE即可证明结论： (2)由△ADEAACB可得∠ADE=∠C,由角平分线的性质可得∠DAG=∠CAF,可证△ADG∽aACF, 74/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 再根据相似三角形的性质列比例式求解即可。 【详解】(1)略 (2)略 42.(26-27八年级上：重庆期中)如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，过点A作AE⊥BD交BC 于点E,交BD于点F.若∠ADB=∠ABC,AD=3,CD=5,则DF的长为() 2 A.3 B.1 o 【答案】B 【分析】先根据三角形外角的性质得∠ADB=∠CBD+∠C,再根据角平分线定义得 ∠ABC=∠CBD+∠ABD,然后根据∠ADB=∠ABC可得∠ABD=∠C,进而说明△ABD∽aACB,接下来根 据相似三角形的性质求出AB,最后根据勾股定理求出答案即可. 【详解】解：：∠ADB是△BCD的外角， ∴∠ADB=∠CBD+∠C BD平分∠ABC, ·.∠ABC=∠CBD+∠ABD,∠CBD=∠ABD ∠ADB=∠ABC, ∴.∠ABD=∠C=∠CBD .△ABD∽aACB,BD=CD=5, AB AD 六ACAB' .AC=AD+CD=3+5=8 .AB2=24 在RtABF和Rt△ADF中，AB2-BF2=AD2-DF2, 即24-(5-DF)Y2=9-DF2, 解得DF=1。 75/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型15重心相关相似（共3小题) 【易错】三角形重心分中线2：1，常结合平行线构造相似。利用重心线段比例解题；易错：记错重心分割比 例，分不清重心、外心、内心性质。 43. (2025·上海黄浦一模)如图，已知点O是A4BC的重心，B01C0,tam∠CB0= ,如果BO=8,那 么点A、O的距离为 【答案】10 【分析】此题主要考查了三角形的重心，解直角三角形，平行线分线段成比例，连接AO并延长交BC于点 E,在AE的延长线上取一点H,使EH=EO,连接AH,BH,延长CO交AB于点F,解Rt△BOC得 OC=6,BC=10,证明四边形BHCO是矩形得CF∥BH,OH=BC=10,然后利用平行线分线段成比例 求得得A0=OH=10,据此可得点A、O的距离. 【详解】解：连接AO并延长交BC于点E,在AE的延长线上取一点H,使EH=EO,连接AH,BH,延 长CO交AB于点F,如图所示： B01C0, tan∠CB0=3 4, 在RIABOC中，an∠CB0=OC=3 OB 4' ..OB=8. :.OC=3OB=6 4 由勾股定理得：BC=VOC2+0B2=V6+82=10, 76/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点O是△ABC的重心， ∴AE,CF都是△ABC的中线， .'BE=CE,AF=BF, 又，EH=EO, ∴.四边形BHCO是平行四边形， .B0⊥CO ∴.平行四边形BHCO是矩形， .CF∥BH,OH=BC=10. AF AO ·BF=H0, .AF =BF, .A0=OH=10 ,点A、O的距离为10. 故答案为：10 44.(25-26九年级上浙江杭州期末)如图，在△ABC中，点E是AB上一点，作EF∥BC交AC于点F, 点D是BC上的一点，连接AD,交EF于点P. P EP PF (1)求证： BD DC: (2)若点P为△ABC的重心，求EF与BC的比. 【答案】(1) 证明：EF∥BC, ∴.∠AEP=∠ABD,∠AFP=∠ACD, ·∠EAP=∠BAD,∠FAP=∠CAD, ∴.△EAP△BAD,△FAPn△CAD. EP AP PF AP .BDAD,DC-AD· 77/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EP PF ∴.BDDC EF 2 2)BC3 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，平行线的性质，掌握重心的性质是解题 关键。 AP EP PE (1)利用平行线得到两组相似三角形，通过中间比AD建立比例关系，从而证明BDDC: AP 2 EF 2 (2)由重心性质得到线段比D一3，再结合平行线得到的相似三角形，推出BC3: 【详解】(1)略 (2)解：点P为△ABC的重心， AP=2, .PD AP 2 AD3· EF∥BC, .∠AEF=∠ABC, :∠EAF=∠BAC, .△AEFn△ABC, EF_AP_2 .BC AD 3 EF 2 答：BC3 45.(25-26九年级上上海期中)如图，在△ABC中，AD与MN交于点G,点G为△ABC的重心，点 MN分别在边AB、AC上，若AM:AB=3:4,则AN:AC的值为 M G B D 78/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】5/0.6 【分析】过点B作BF∥MN分别交AD,AB于点E,F点，过点D作DP∥BF交AC于P点，通过构造 平行线，灵活运用AM:AB=3:4和AD这条中线，逐步求解即可 【详解】如图，过点B作BF∥MN分别交AD,AB于点E,F点，过点D作DP∥BF交AC于P点， M G F B- D .DP为△BFC的中位线， ∴点P为CF的中点， AM:AB=3:4,且BF∥MN, .AG:GE=AN:NF=3:1, :点G为△ABC的重心， ..AG:GD=2:1, .AG:GE:ED=6:2:1, 、AE:ED=8:l, ,DP∥BF∥MN, .AF:FP=8:1, .AW:NF:FP:PC=6:2:11, :AN:AC=6:10=5 故答案为：5 【点睛】本题考查了三角形重心和平行线对应边成比例，能够运用三角形的重心将三角形的中线所在的线 段分为2：1两部分是解答本题的关键， 提升进阶突破， 题型16相似三角形的模型进阶练（共10小题） 79/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 46.(26-27九年级上四川达州期中)如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E,使得CE=CD, 连接AE,DE,AE交DC于点F.若AB=2,则AF的长为 D 【答案】v 【分析】首先证明△ECF∽△EBA,再利用勾股定理，解答即可. 【详解】解：：四边形ABCD是正方形，AB=2,CE=CD, .AB IICD,AB=BC=CD=CE=2,∠ABC=90°， ∴.△ECF∽aEBA,EB=EC+CB=2+2=4. EF EC EC 2 1 ·EA=EBEC+CB2+22' EF-7AE ∠ABC=90°，EB=EC+CB=2+2=4, .AE=√AB2+BE2=2V5, :F=4=5。 :AF=号AE=V5 47.(26-27九年级上四川成都期中)如图，在ABCD中，E是BC上一点，BE:EC=2:1,AE交BD于 点F,若S四边形CD=11,则口ABCD的面积为 B 【答案】30 【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC,证明△BFE∽aDFA,根据相似三角形的面积比等于相似 比的平方以及共高三角形面积比等于底之比求解即可. 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形 80/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AD∥BC,AD=BC,AB=CD .BD=DB ∴.△ABD≌△CDB(ASA) .SAABD-S△cpB AD∥BC ∴.△BFE∽aDFA, BE :.S.AFD BE EF AD AD AF BE:EC=2:1, BE 2 EF ·AD3AF' 4 3 =3=9,SAMm 2 设SABr=4x ·SaAr=9x,SABr=6x, 'SABD-S△cpB 9x+6x=4x+11, 解得x=1 ∴口ABCD的面积为(9×1+6×1)×2=30 48.(26-27九年级上·浙江宁波期中)如图，在正方形ABCD中，M是BC上一点，F是AM的中点， EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N. D F B M (1)求证：△ABM∽aEFA: (2)若AB=8,BM=4,求AE的长， 【答案】(1)证明：：四边形ABCD为正方形， 81/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAD=∠B=90°， .∠EAF+∠BAM=∠BAM+∠AMB=90°. ∴.∠EAF=∠AMB, EF⊥AM, ∠EFA=90°， ∠EFA=∠B, ∴.△ABMEFA: (2)10 【分析】(1)首先证明∠EAF=∠AMB,∠EFA=∠B=90°，即可证明△ABM∽aEFA: (2)首先利用勾股定理解得AM=4√5，结合F是AM的中点易得AF=2N5,由相似三角形的性质可得 AM BM AE=AF，然后代入数值计算即可. 【详解】(1)略 (2)解：∠B=90°，AB=8,BM=4, .AM=VAB2+BM2=82+42=4N5, :F是AM的中点， 24M=2V5 AF △ABM∽AEFA, .AM_BM 4V54 即 AE AF AE2W5· 解得AE=10 49.(26-27九年级上陕西西安期中)如图，已知AP=2,BP=1,AC=V6,∠A=70°，∠APC=65°， 则∠BCP的度数为() A.10° B.20° C.45° D.55° 【答案】B 82/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AP AC 【分析】可证明AC-AB,则可证明△MPC∽△ACB”∠4CB=∠4PC=650,再由三角形内角和定理求 出∠ACP的度数即可得到答案. 【详解】解：AP=2,BP=1, .AB=AP+BP=3. .AP=2,AC=6. AP 26 AC 6 ÷AC=6=3'AB3’ AP AC AC AB' 又，∠A=∠A, ∴△APC∽△ACB. ∠ACB=∠APC=65°， :∠ACP=180°-∠A-∠APC=45°， .∠BCP=∠ACB-∠ACP=20°」 50.(26-27九年级上·上海闵行期中)已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且 ∠ABE=∠ACD,BE、CD交于点G. D B (1)求证：AB·AD=AE·AC: (2)如果BE平分∠ABC,求证：DE=CE 【答案】(1)i证明：“∠ABE=∠ACD,∠A=∠A, ∴.△ABEP△ACD AB AE .AC AD' ABAD=AE·AC. (2证明：由(1)得△ABE∽△ACD 83/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、AEAB ·ADAC AD AE ·AC=AB' 又：∠A=∠A, △ADEAACB :.∠ADE=∠ACB 过点E作EM⊥AB于M,EN⊥BC于N, C.∠EMD=∠ENC=90 :BE平分∠ABC,EM⊥AB,EN⊥BC, .EM=EN 在△EMD和△ENC中， ∠EMD=∠ENC ∠EDM=∠ECN EM=EN ∴.△EMD≌△ENC(AAS) .DE=CE AD AC 【分析】(1)要证AB·AD=AE:AC,先将乘积式转化为比例式AE=AB:已知∠ABE=∠ACD: ∠A是公共角，证明△ABE∽△ACD,利用相似三角形对应边成比例得到比例式，变形得到乘积式. AD AE (2)由(1)的相似得到AC=AB,结合公共角∠A'证明ADE6ACB'得到∠ADE=∠ACB·过点E 作EM⊥AB于M,EN⊥BC于N.由角平分线性质得EM=EN,再证明△EMD≌aENC,证得 DE=CE 【详解】(1)略 (2)略 51.(26-27九年级上：广东佛山期中)如图，在正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且 84/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DG BE=CF·AB与BF交于点G,连接DG,若∠DGF=∠CBF,则BF的值为） G B A.5 B.25 D. v10 2 5 C.1 3 【答案】B 【分析】通过证明△ABE≌△BCF得出AE⊥BF,结合已知角度关系推导出△ADG为等腰三角形且 DG=AD,利用相似三角形性质求出BE与AB的数量关系，进而计算比值： 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， .AB=BC=AD,∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°， .BE=CF .△ABE≌aBCF(SAS) ·.∠BAE=∠CBF,∠BAE+∠AEB=90°. ∴.∠CBF+∠AEB=90°， 、∠BGE=90°，即AE⊥BF, ∴.∠AGF=90°， ∠DGF=∠CBF, ,∠DGF=∠BAE, ·.∠AGD=∠AGF-∠DGF=90°-∠BAE=∠AEB, 又∠DAG=∠BAD-∠BAE=90°-∠BAE=∠AEB, 、∠DAG=∠AGD, .DG=AD=AB. 过点D作DH⊥AE于H, 85/118 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E DA=DG :.AHI-1AG, 21 .∠DAH=∠AEB,∠DHA=∠ABE=90° ∴.△ADH~△EAB 、AHAD 心EBEA' AH·EA=EBAD, 2 AG·EA=EB·AB. AG·EA=2ABEB. 在RtAABE中，AB⊥BE,BG⊥AE, ∴.∠ABE=∠AGB 又∠BAG=∠BAE .△ABG~AAEB, AB AG AE=AB,即AB2=AGAE AB2=2AB·EB, AB=2EB」 设AB=2a,则BE=a,CF=a,BC-2a 在RtABCF中，BF=VBC2+CF2=V2a2+d=V5a, DG=AB=2a. 器品 52.(26-27九年级上·四川达州期中)按要求完成下列各题： 86/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)问题背景：如图1，已知△ABCAADE,求证：△ABD~aACE: (2)尝试应用：如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于 AD DF 点F,点D在BC边上，B =V5,试证明△MDF∽△ECF,并求出C示的值. (3)拓展创新：如图3，D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=4,AC=25,直 接写出AD的长。 【答案】(1)证明：，△ABCAADE, ABAC ,∠BAC=∠DAE AD AE AB AD ∴.∠BAD=∠CAE, AC-AE .△ABD∽△ACE; (2证明：连接CE, B D C∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30° .△ABC∽△ADE, ABAC AD-AE' AB AD AC-AE ∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAD=∠CAE, .△ABDAACE, BD AB ·∠ACE=∠ABD=LADE' CE AC 87/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC=30°，∠BAC=90°. :∠ABC=30,∠BAC=90°， ∴.BC=2AC 由勾股定理得AB=√BC2-AC2=√5AC, BDAB3 CEAC :∠AFD=∠EFC, .△ADFAECF, DF_AD-5BD=5×5=3: CF CE CE (3)V5 AB AC 【分析】(1)由题意得出AD=AE ∠BAC=∠DME,则∠BAD=∠CAB:可证得结论： (2)①根据∠DAE=90°，∠ADE=30°即可求解： ②证明△ABC∽△ADE,再证△ABD∽ACE,转化得到角相等，可证明△ADF∽△ECF,结合含30°直角三 角形边长关系，传递相似比例，算出线段比值. (3)过点D作AD的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点M,连接BM, 构造含30°的直角△ADM,使它与△CDB相似；再利用角的等量代换证明△ADC∽aMDB,由相似比例求 出MB；利用角度相加证明∠BAM=90°，勾股定理求AM,再利用含30°直角三角形性质求出AD 【详解】(1)证明：略： (2)证明：略： =5, ABD-ACE'BD AE AD =5 CE BD 在Rt△ADE中，∠ADE=30°， AE-DE. AD AD=5MB:即AE AD_AD AE=5×5=3, EC AE CE ,△ADF∽△ECF 88/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF AD ·CFCE' (3)解：如图3，过点D作AD的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点M,连接BM, B :∠BAD=30°且AM⊥AB, .∠DAM=90°-30°=60°， ∴.∠AMD=30°， .∴∠AMD=∠CBD 在Rt△ADM中，∠AMD=30°， AD 1 六AM=2AD'DM=V3AD,即DM万 ∠BDC=90°.∠CBD=30°， CD 1 在Rt△BDC中，BD=VCD'BD3: AD CD DM BD 又：∠ADM=∠BDC=90°， ∴.△ADMr△CDB, ∴.∠DAM=∠DCB. 又∠ADM=∠BDC, ∴.∠ADM+∠CDM=∠BDC+∠CDM, 即∠ADC=∠MDB AD CD AD DM :DM-BD得CD=BD ∴.△ADC∽△MDB. AC AD 13 'MB DM33· 89/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 己知AC=23,代入： 253 MB3,解得MB=6 由△ADM∽△CDB,得∠AMD=∠CBD=30° RtAADM中，∠ADM=90°，∠AMD=30°， .∠DAM=60° 又∠BAD=30°， .∠BAM=∠BAD+∠DAM=30°+60°=90°. △ABM是直角三角形，∠BAM=90°. AB=4,MB=6, .AM=VBM2-AB2=V62-42=25. 又Rt△ADM中，AM=2AD, .AD-AM5 53.(26-27九年级上：四川达州期中)在平行四边形ABCD中，E,F分别为边BC,CD上两点. D (1) (2) (3) (1)当E是边BC中点时， ①如图(1)，连接EF,如果AE=EF,求证：∠BAE=∠CFE: ②如图(2)，如果CF=DF,连接AE,BF交边AE于点G,求SAG:SAr的值： (2如图(3)所示，连接AE,AF,如果∠AEB=∠AFE=∠EFC.求证：△AEF∽aECF 【答案】(1)①证明：如图所示，延长FE,AB交于点H, B H E (1) :四边形ABCD是平行四边形， .ABII CD 90/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠EBH=∠ECF,∠EHB=∠EFC, ,E是边BC中点， .'.BE=CE, .△BEH≌aCEF(AAS), .EH=EF,∠H=∠CFE, AE=EF, .'AE=EH, ∴.∠H=∠BAE, .∠BAE=∠CFE: @号 (2证明：如图所示，延长AD,EF交于点M, 刀 A -----=M :四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC, ∴.∠AEB=∠EAD, ,∠AEB=∠AFE=∠EFC, ∴∠EFA=∠EAD 又，∠AEF=∠MEA, .△AEFAMEA; :∠AEB+∠AEF+∠FEC=∠EFC+∠FCE+∠FEC-I8O°.，∠AEB=∠EFC. ∴.∠AEF=∠FCE, .△AEF∽aECF: 【分析】(1)①延长FE,AB交于H,可证明△BEH≌aCEF(AAS),得到EH=EF,∠H=∠CFE,则可 证明AE=EH,，得到∠H=∠BAE,则∠BAE=∠CFE; ②如图所示，延长BF,AD交于M,由平行四边形的性质得到ADI‖BC,AD=BC,证明△BEG∽△MAG, 91/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE GE BG BC BF CF ABCFAMDF·得到MG GM:DM证=DF=l,则BF=MR,BC=DM:设CE=BE=m GE BG BE 1 BG 2 则BC=DM=2m'AM=AD+DM=4m'进而可得AGMG=AMF4,即可得到GF-3:可证明 S.NGE S.GPE-GE-1 SAAWG.-BG-2 3 S.N4S.GPA AG4:SAGFG3,设SAc=4n,则S,Ge=mSAo=6n,则Saa=2,据此 2 可得答案： (2)延长AD,EF交于M,由平行四边形的性质可得ADI‖BC,证明△AEF∽aMEA,△AEF∽aECF即可. 【详解】(1)①略 ②如图所示，延长BF,AD交于M, D G B :四边形ABCD是平行四边形， 、AD BC,AD=BC, ∴.△BEGP△MAG,△BCFAMDF, BE GE BG BC BF CF ·.AM=AGGM'DM MF DF 1 :.BF=MF,BC=DM. :E是边BC中点， ∴.BC=2CE=2BE, 设CE=BE=m,则BC=DM=2m, ∴.AM=AD+DM=4m, GE BG BE m 1 AG-MG-AM 4m 4' BE “=l, BG 2 GF=3: S.NGE S.OPE GE1 SANG=BG2 六SS.4AG4SAMc FG3· 92/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设SAMG=4n,则S,GE=nSAG=6n, .3 SAEGF=2 SARGE= n 2 SAAEF 13 SAAGF+SAFGE6n 2” 15: (2)略 54,(2627九年级上河南驻马店期肿)已知顶角为360：且底边与腰的比为黄金分别比(5)的等 2 腰三角形叫做黄金三角形.如图，△ABC是以∠A为顶角的黄金三角形，且BD平分∠ABC,AB=2,则 BD的长为. D 【答案】V5-1/1+V5 【分折】根据麦金三角形的定义得到4B=AC=28C5,B=V5,乙A369 2 证明 ∠BDC=∠ACB=72°，根据等角对等边即可得到答案. 【详解】解：，△ABC是以∠A为顶角的黄金三角形，AB=2, AB=AC=2 c-548=5-14=0a8c-408-20-小=m. :BD平分∠ABC, :∠ABD=∠CBD=,∠ABC=36°， :∠BDC=∠ABD+∠A=72° ∴.∠BDC=∠ACB=72°， .BD=BC=5-1. 55.(2627九年级上河南南阳期中)请阅读以下材料，并回答相应的问题： 93/118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边 AB BD 对应成比例.如图1：在AABC中，AD平分∠BAC,则AC=CD 下面是这个定理的部分证明过程， 证明：如图2，过点C作CE‖DA,交BA的延长线于点E… B D D D 图1 图2 图3 (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分。 (2如图3，在R1aABC中，AB=6,BC=8,∠ABC=90°，AD平分∠BAC,则△ACD的周长是】 AB BD 【答案】()AECD:∠I=∠E”∠2=∠ACE ,AD平分∠BAC, .∠1=∠2， ∠E=∠ACE .AF=AC, AB BD ·ACCD (2)15+3V5 AB BD 【分析】（1)过点c作CEDA,交BM的延长线于点E'得A花CD,A=∠B∠2=∠ACE,进而 得到∠E=∠ACE,即得AE=AC,再等量代换即可求证： BD 3 （2)利用勾股定理得4C=√AB2+BC=10,利用(1)的结论得CD=5,进而可得CD=5’BD=3 再利用勾股定理得到AD=√AB+BD2=3V5,最后根据三角形的周长公式计算即可， 【详解】(1)略 (2)解：在RIAABC中，AB=6,BC=8,∠ABC=90° 94/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、AC=VAB2+BC2=V6+82=10, AD平分∠BAC, AB BD ·ACCD' BD6_3 CD105 3 .BD=二CD 5 ..BD+CD=BC=8. CD+CD=8 .CD=5, .BD=3, AD=VAB2+BD2=V6+32=35, ∴.△ACD的周长为AC+CD+AD=10+5+3V5=15+35 拔高压轴破难 题型17相似三角形的模型压轴练（共10小题） 56.(2627九年级上河南南阳期中)综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例的应用. G D 图1 图2 【初步感知】在AMBC甲，D八E分别为BC、4C边上的动点，若BD上DC:4E-7EC,连接 BE交于点G.如图1，若过D作DF∥BE,交AC于点F,则AG与GD的比值为： (2)【深入探究】在(1)的条件下，探究线段BE与GE的数量关系； (3)【拓展提高】如图2，在ABCD中，点E、F分别为BC、AD的中点，连接AE、BF交于点G,BF 与AC交于点H,若SG=3,直接写出SACD的值. 95/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)1 aGE=肱 (3)24 析」()由平行线分线段成此例定理得到中-D斗，证明化号C,再由平行线分线段成！ AG AE =1: 定理得到DGEF DF DC 1 GE AG 1 (2)证明△DCF△BCE,得到BE=BC=2:证明△MGB∽△4DF,得到DF=DA2,则 6E-E, (3)由平行四边形的性质得到AD=BC,AD‖BC,则可证明AF=BE:证明△AFG△EBG,得到 AG AF EG BE =1,再根据三角形的中线平分三角形的面积和平行四边形的性质可得答案， 【详解】(1)解：DF∥BE, CF DC EF BD -1,即r=Fc AE=TEC, 2 .AE=EF DF∥BE, AG AE GE际=l: (2)解：，DF∥BE, ∴.△DCF∽△BCE, DF DC DC 1 ·BE=BC=BD+DC=2: :DF∥BE, .△AGEn△ADF. GE AGAG 1 DFDA AG+DG2' GE-IBE, Γ4 96/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：，四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,ADl BC ,点E、F分别为BC、AD的中点， .'AF=BE; .ADI BC, .△AFG∽△EBG, AG AF EGBE =1, 、.SAMm=2 SARGE=6, :点E为BC的中点， 、S,MBc=2SAs=12, .SΨ行四边形A80D=2S△MC=24 AD 2 57.(26-27九年级上：黑龙江哈尔滨·期中)如图，△ABC中，DE∥BC,AB5,Se=4,则 SAABC=() B A.9 B.10 C.21 D.25 【答案】D 【分析】由平行线得出三角形相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解. 【详解】DElIBC, .△ADE~AABC, ,、=(42 .S.Bc AB· AD 2 AB=5 S.ADE=4 97/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4=4 ·SMc25 .S.ABC =25 58.(26-27九年级上湖南永州期中)如图，在△ABC中，D、F,E、G分别为AB,AC边的三等分点， 连接E·G:B交G于点址若iG月，则m的长为() H B 5 4 A.3 B. 3 c.6 0号 【答案】C AD AE 1 【分析】由三等分点得到线段比例AFAG2,利用两边成比例且夹角相等证明。MADB△AFG,推出 FH 1 DE∥FG:再证&BFHBDE'得到DE2,设FH=x,根据FG=2DE列方程求解。 【详解】解：D、F、E、G分别为AB,AC的三等分点， AD=DF=FB=写44E=BG=6C-写4C ADAD 1 AEAE 1 AFAD+DF2'AGAE+EG2 AD AE 1 AF AG 2' 又∠DAE=∠FAG. .△ADE∽△AFG, .∠ADE=∠AFG, DE 1 FG 2 :DE FG, ABFH△BDE, FH BF 1 DE BD 2' · 98/118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设FH=x”则DE=2x” FG=FH+HG=4 2 DE 1 由FG=2,得G=2B: 5 x+=2×2x 2 2 6 :F阳=6 59.(26-27九年级上河南期中)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D是边AB的中点.点E 为边BC上一点，连接AE,交CD于点F.若AE=25,则AF的长为 D B 【答案】 125 、125 7 或11 【分析】作AH⊥BC于H,利用勾股定理求出AH和HE的长，根据点E在BC上的位置分两种情况讨论： 过点D作DP‖AE,交BC于点P,利用平行线分线段成比例定理和相似三角形性质，建立AF与已知线段 的关系式，代入数据计算即可. 【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H, B H AB=AC=5,BC=6. 99/118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.BH=CH=BC=3 2 在RteABH中，AH=√AB2-BH2=V52-32=4, 在RtAHE中，HE=VAE2-AH2=V(2W5}-42=2, D是AB的中点， AD=BD-14B=5 1 2 2 点E在边BC上， ∴·点E可能在点H的左侧或右侧，需分两种情况讨论： 情况一：当点E在点H的右侧时（靠近点C), CE=CH-HE=3-2=1,BE=BC-CE=6-1=5, 如图，过点D作DPI AE,交BC于点P, D PH EP AD 1 BE AB 2' 2 .CP=CE+EP=1+ 57 22 DPI AE. .△BPDABEA, DP BD 1 六AEAB2' rG=5, .EF DP ∴.ACEFACPD 100/118