专题10 功能关系 能量守恒定律（讲义·模型）物理人教版必修第二册

本讲义聚焦功能关系与能量守恒定律核心知识点，从“功是能量转化的量度”本质出发，系统梳理动能定理、机械能守恒定律的关联，通过传送带、弹簧等模型构建从理论到应用的学习支架。 资料以模型化教学为特色，每个模型含构建、剖析、示例及变式，强化科学思维中的模型建构。结合风力发电、物流分拣等情境，渗透科学态度与责任，通过推理训练提升科学推理能力，课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺，深化能量观念。

专题10 功能关系 能量守恒定律 【模型1　功能关系的理解】 【模型构建】 功能关系的本质是 “功是能量转化的量度”，即一种形式的能量转化为另一种形式的能量，必然通过力做功来实现，做功的多少等于能量转化的多少。它是贯穿 “功和能” 板块的核心规律，是连接动能定理、机械能守恒定律的桥梁，适用于所有能量转化的场景 【模型剖析】 1.对功能关系的进一步理解 （1）做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。 （2）功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。 2.几种常见的功能关系及其表达式 力做功 能的变化 定量关系 合力做功 动能 变化 （1）合力做正功，动能增加； （2）合力做负功，动能减少； （3）W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力做功 重力势 能变化 （1）重力做正功，重力势能减少； （2）重力做负功，重力势能增加； （3）WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹 力做功 弹性势 能变化 （1）弹力做正功，弹性势能减少； （2）弹力做负功，弹性势能增加； （3）WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 除重力和 系统内弹力之外的其他力做功　　　 机械能 变化 （1）其他力做正功，机械能增加； （2）其他力做负功，机械能减少； （3）W＝ΔE机 【题目示例】 如图所示，在升降机内固定一光滑的斜面体，一轻弹簧的一端连在位于斜面体上方的固定木板B上，另一端与质量为m的物块A相连，弹簧与斜面平行．整个系统由静止开始加速上升高度h的过程中(　　) A．物块A的重力势能增加量一定等于mgh B．物块A的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和 C．物块A的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和 D．物块A和弹簧组成的系统的机械能增加量等于斜面对物块的支持力和B对弹簧的拉力做功的代数和 【推理过程】 【变式探究】 如图3所示，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小等于重力加速度的大小g.物块上升的最大高度为H，则此过程中，物块的(　　) 图3 A．动能损失了2mgH B．动能损失了mgH C．机械能损失了mgH D．机械能损失了mgH 【模型2　能量守恒定律】 【模型构建】 能量守恒定律是自然界最基本、最普遍的规律之一，核心逻辑是 “能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只会从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变”。该定律适用于所有物理过程 【模型剖析】 1.对能量守恒定律的理解 （1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 （2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 2.应用能量守恒定律解题的思路 （1）分清有多少形式的能（动能、势能、内能等）发生变化。 （2）明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增的表达式。 （3）列出能量守恒关系式ΔE减＝ΔE增。 【题目示例】 风力发电已成为世界实现“双碳”目标的重要途径之一，在我国新疆，大型风力发电机是一种将风能转化为电能的装置，如图所示。某风力发电机转化效率可视为不变。该风机叶片长度为，空气密度为，风场风速为，并保持风正面吹向叶片。下列说法正确的是（　　） A．单位时间内冲击该风力发电机叶片圆面积的气流的动能为 B．该风力发电机的输出电功率与风速的平方成正比 C．该风力发电机时间内输出电能为 D．若该地区每天平均有的风能资源，则风力发电机每天发电量为 【推理过程】 【变式探究】 如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角为θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m．当物体到达B后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点距A点AD＝3 m．挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：(计算结果小数点后保留两位有效数字) (1)物体与斜面间的动摩擦因数μ； (2)弹簧的最大弹性势能Epm. 模型3　传送带模型中的动力学和能量转化问题】 【模型构建】 传送带模型是动力学分析与能量转化结合的经典题型，核心是分阶段分析物体在传送带上的受力、运动状态变化，同时明确摩擦力做功与机械能、内能的转化关系。该模型常以水平传送带、倾斜传送带两种形式考查 【模型剖析】 1．传送带模型是高中物理中比较成熟的模型，典型的有水平和倾斜两种情况．一般设问的角度有两个： (1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系． (2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解． 2．传送带模型问题中的功能关系分析 (1)功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q. (2)对W和Q的理解： ①传送带做的功：W＝Fx传； ②产生的内能Q＝Ffx相对． 传送带模型问题的分析流程 【题目示例】 如图甲所示，足够长的水平传送带以恒定速率逆时针转动，一质量的小物块从传送带的左端以速度向右滑上传送带，小物块的动能与位移x的关系图像如图乙所示，图中，重力加速度g取。关于小物体在传送带上的运动过程，下列说法正确的是（　　） A．小物块滑上传送带的初速度大小为 B．传送带对物体做了的功 C．物块与传送带之间因摩擦而产生的热量为 D．由于小物块的出现，电动机多消耗的电能为 【推理过程】 【变式探究】 如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，传送带在电动机的带动下，始终保持v0＝2 m/s的速率运行，现把一质量为m＝10 kg的工件(可看做质点)轻轻放在传送带的底端，经过时间t＝1.9 s，工件被传送到h＝1.5 m的高处，取g＝10 m/s2求： (1)工件与传送带间的动摩擦因数； (2)电动机由于传送工件多消耗的电能． 【模型4　弹簧的功能关系】 【模型构建】 弹簧的功能关系是 “功和能” 板块的重点内容，核心逻辑是弹簧弹力做功与弹性势能变化直接相关，同时弹力做功会引起系统动能、重力势能的转化。利用弹簧弹力做功的特点（弹力为变力，做功与路径无关，只与形变量有关），结合功能关系、动能定理或机械能守恒，可解决含弹簧的动力学与能量转化问题 【模型剖析】 场景 1：水平弹簧振子（无摩擦） 1、系统：物体 + 弹簧能量转化：动能与弹性势能相互转化，机械能守恒； 2、特殊位置能量特点：原长位置：弹性势能为 0，动能最大；最大形变量位置：动能为 0，弹性势能最大。 3、能量守恒表达式： 场景 2：竖直弹簧（物体从高处下落压缩弹簧，忽略空气阻力） 1、系统：物体 + 弹簧 + 地球能量转化：重力势能→动能→弹性势能，机械能守恒； 2、关键位置：接触弹簧前：物体自由下落，重力势能转化为动能；接触弹簧后：重力势能减少，动能先增后减，弹性势能增加；最大压缩量位置：动能为 0，重力势能转化为弹性势能。 3、能量守恒表达式（以最大压缩量处为重力势能零点）：其中 h 为物体初始位置到弹簧原长的高度，x 为弹簧最大压缩量。 场景 3：含摩擦的弹簧系统（物体在水平面上压缩弹簧后释放） 1、系统：物体 + 弹簧能量转化：弹性势能→动能→内能（摩擦生热），机械能不守恒； 2、能量守恒表达式：其中 s 为物体从释放到速度为 v 时的位移，为摩擦力产生的内能。 【题目示例】 如图甲所示，一倾角的光滑斜面底端固定有一轻弹簧，弹簧的另一端与质量为m的滑块A相连，滑块B靠着A一起静置于斜面上，现用平行于斜面向上的拉力F拉动滑块B，使B做匀加速运动，力F与B运动的位移x关系如图乙所示，重力加速度为g，则（　　） A．B滑块的质量为 B．滑块B的加速度为g C．A、B分离前，滑块A和弹簧系统机械能一直增大 D．滑块B运动时，弹簧处于原长，刚要分离 【推理过程】 【变式探究】 如图所示，倾角的固定斜面顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数，过程Ⅰ：Q以速度从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。（弹簧的弹性势能可以表示为，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）（    ） A．P、M两点之间的距离为 B．Q在从P点单向运动到O点的过程中，系统损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在M点 【再次升华】 弹性势能的零点选取：默认以弹簧原长位置为弹性势能零点，若选取其他位置为零点，弹性势能表达式需调整。 形变量的判断：弹力做功公式中的是形变量（伸长量或压缩量），不是弹簧的长度，计算时需区分 “原长”“伸长后长度”“压缩后长度”。 系统的选取：分析机械能是否守恒时，必须将弹簧纳入系统，弹力才属于内力；若只选物体为研究对象，弹力为外力，机械能不守恒。 1. 在某智能物流仓库的包裹分拣系统中，水平传送带是核心输送设备。如图所示，某物流分拣中心用水平传送带将质量为m的包裹从A端运送到B端。AB之间的距离为L，传送带始终保持速率匀速运动，包裹与传送带间的动摩擦因数为μ。将包裹轻轻放在传送带上后，包裹在传送带上留下一段长度为的摩擦滑动痕迹。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．摩擦力对包裹做的功为 B．摩擦力对包裹做的功为 C．摩擦力对传送带做功-μmgl D．一对滑动摩擦力对包裹与传送带系统做功之和为-2μmgl 2. 如图，用抽水机抽水来灌溉农田，抽水机距离水面的高度为h，出口的横截面积为S，在t时间内出口喷水的质量为m，水的密度为，则在t时间内，抽水机的输出功率是（　　） A． B． C． D． 3. 哈尔滨冰雪大世界的冰块采集自松花江，步骤为开锯、切分、打捞、运送。图甲是某次运送冰块的示意图，水平冰面AB段由于清理了积雪可视为光滑冰面、BC段动摩擦因数。长方体冰块长，质量均匀分布且总质量为开始时，静止在AB段内，现给冰块一个水平向右的初速度使冰块向着BC运动，重力加速度求： (1)冰块中点到达B点时，冰块的加速度大小a； (2)冰块静止时，冰块右端与B点的距离d； (3)如图乙，在冰块静止后，质量为，可视为质点的破冰工具，以的速度从冰块左端水平向右滑上冰块，恰能到达冰块最右端，最终一同静止在BC段冰面上，求整个运动过程冰块与地面摩擦产热Q。 4. 手机物理工坊phyphox软件可以调用智能手机里的众多传感器，是非常实用的物理测量工具。我校一实验小组用智能手机里的phyphox软件测量电梯运行情况，实验过程中，手机水平放置在电梯的地板上，屏幕朝上，竖直向上为正方向，软件记录下了电梯从静止开始运动的加速度a与时间t的图像，如图丙所示，可以将该图像理想化如图丁所示，下列说法正确的是（　　） A．电梯是从低楼层向上运行至高楼层 B．可以求出电梯运动的最大速度 C．内电梯里的手机处于超重状态 D．电梯对手机做功为零 5. 如图所示，一固定斜面的倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小等于0.8g（g为重力加速度大小），物块上升的最大高度为H，则此过程中（　　） A．物块的重力势能减少了mgH B．物块的动能损失了1.6mgH C．物块的机械能损失了0.8mgH D．物块克服摩擦力做功0.8mgH 6. 如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平面上，质量为m的小物块自斜面底端以某一初速度沿斜面向上做匀减速直线运动。已知小物块与斜面间的动摩擦因数为0.75，小物块沿斜面上升的最大高度为H，重力加速度大小为g，取sin37°=0.6，则在小物块上升的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小物块的重力势能增加了mgH B．小物块的初动能为mgH C．小物块的机械能损失了mgH D．小物块克服摩擦力做功0.6mgH 7. 如图甲所示，在公元年闻名于世的“襄阳炮”其实是一种大型抛石机。将石块放在长臂一端的石袋中，在短臂端挂上重物M。发射前将长臂端往下拉至地面，然后突然松开，石袋中的石块过最高点时就被抛出。现将其简化为图乙所示。将一质量m=50kg的可视为质点的石块装在长L=10m的长臂末端的石袋中，初始时长臂与水平面的夹角，松开后，长臂转至竖直位置时，石块被水平抛出，落在水平地面上。测得石块落地点与O点的水平距离s=30m，忽略长臂、短臂和石袋的质量，不计空气阻力和所有摩擦，，下列说法正确的是（　　） A．石块水平抛出时的初速度为 B．重物M重力势能的减少量等于石块m机械能的增加量 C．石块从A到最高点的过程中，石袋对石块做功15000J D．石块圆周运动至最高点时，石袋对石块的作用力大小为500N 8. 如图所示，一质量为m的小球固定在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定在O点处，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点时速度为v，A、B之间的竖直高度差为h，则（　　） A．由A到B过程中，小球的机械能不守恒 B．由A到B重力势能减少0.5mv2 C．由A到B小球克服弹力做功为mgh D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－0.5mv2 9. 如图是荡秋千的示意图，若人直立站在踏板上，从绳与竖直方向成角θ=的A点由静止开始运动，摆到最低点B时，两根绳中的总拉力是人重力的倍。随后，站在B点正下面的某人推一下，使秋千能摆到绳与竖直方向成θ=角的C点。设人的重心到悬点O的距离为l，人的质量为m，踏板和绳的质量不计，人所受空气阻力与人的速度的平方成正比。则下列判断中正确的是（　　） A．人从A点运动到最低点B的过程中损失的机械能大小等于mgl B．站在B点正下面的某人推一下做的功等于mgl C．站在B点正下面的某人推一下做的功大于mgl D．站在B点正下面的某人推一下做的功等于mgl 10. 如图所示，物体A的质量为m，置于水平地面上，A的上端连一轻弹簧，原长为L，劲度系数为k。现将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，使B点上移距离为L，此时物体A也已经离开地面，则下列说法中正确的是（　　） A．提弹簧的力对系统做功为mgL B．物体A的重力势能增加mgL C．系统增加的机械能小于mgL D．以上说法都不正确 11. 如图甲所示，置于水平地面上质量为m的物体，在竖直拉力F作用下，由静止开始向上运动，其动能E与距地面高度h的关系如图乙所示，已知重力加速度为g·空气阻力不计．下列说法正确的是 A．在0~h0过程中，F大小始终为mg B．在0~h0和h0~2h0过程中，F做功之比为2︰1 C．在0~2h0过程中，物体的机械能不断增加 D．在2h0~3.5h0过程中，物体的机械能不断减少 12. 如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连．弹簧处于自然长度时物块位于O点(图中未标出)．物块的质量为m， ，物块与桌面间的动摩擦因数为μ．现用水平向右的力将物块从O点拉至A点，拉力做的功为W．撤去拉力后物块由静止向左运动，经O点到达B点时速度为零．重力加速度为g．则上述过程中（） A．经O点时，物块的动能小于 B．物块在A点时，弹簧的弹性势能等于 C．物块在B点时，弹簧的弹性势能小于 D．物块动能最大时弹簧的弹性势能小于物块在B点时弹簧的弹性势能 13. 弹跳杆运动是一项广受青少年欢迎的运动。弹跳杆的结构如图所示，弹簧的下端固定在跳杆的底部，上端与一个套在跳杆上的脚踏板底部相连接。质量为M的小孩站在脚踏板上保持静止不动时，弹簧的压缩量为x0。设小孩和弹跳杆只在竖直方向上运动，跳杆的质量为m，取重力加速度为g，空气阻力、弹簧和脚踏板的质量、以及弹簧和脚踏板与跳杆间的摩擦均忽略不计。某次弹跳中，弹簧从最大压缩量3x0开始竖直向上弹起，不考虑小孩做功。下列说法中正确的是（　　） A．弹簧从压缩量3x0到恢复原长过程中弹簧的弹力做的功为 B．弹簧从压缩量3x0到恢复原长过程中弹簧的弹力做的功为 C．小孩在上升过程中能达到的最大速度为 D．小孩在上升过程中能达到的最大速度为 14. 如图所示，倾角的传送带以的速度沿顺时针方向匀速转动，将质量为的物块轻放在传送带下端，同时质量也为的物块从传送带上端以的初速度沿传送带下滑，结果两物块恰好没有在传送带上相碰，物块与传送带间的动摩擦因数均为0.8，不计物块大小，重力加速度取，，。则（　　） A．、两物块刚在传送带上运动时加速度相同 B．两物块在传送带上运动到刚好相遇所用时间为 C．传送带上下端间的距离为 D．在运动过程中、两物块与传送带因摩擦产生的总热量为 15. 如图所示，倾角θ=37°的传送带以v0=1m/s的速度沿顺时针方向匀速转动，现将物块B轻放在传送带下端的同时，物块A从传送带上端以v1=2m/s的初速度沿传送带下滑，结果两物块恰好没有在传送带上相碰，已知物块与传送带间的动摩擦因数均为0.8，两物块（均可视为质点）质量均为1kg，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是（　　） A．两物块刚开始在传送带上运动时的加速度大小均为0.8m/s2 B．物块B从放上传送带到刚好要与物块A相碰所用的时间为5.5s C．两物块与传送带之间由于摩擦产生的热量为64J D．传送带上下端间的距离为10m 16. 传送带经常用于分拣货物。如图甲为传送带输送机简化模型图，传送带输送机倾角，顺时针匀速转动，在传送带下端A点无初速度放入货物。货物从下端A点运动到上端B点的过程中，其机械能E与位移s的关系图像（以A位置所在水平面为零势能面）如图乙所示。货物视为质点，质量，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．传送带对货物的摩擦力全程没有改变 B．货物与传送带间的动摩擦因数为 C．货物从下端A点运动到上端B点的时间为1.8s D．传送带输送机因运送该货物而多消耗的电能为46J 17. 如图所示，一足够长的水平传送带以速度v0匀速运动，质量为3m的小物块P和质量为2m的小物块Q通过滑轮组的轻绳连接，轻绳足够长且不可伸长。某时刻物块P从传送带左端以速度2v0冲上传送带，P与定滑轮间的绳子水平。已知物块P与传送带间的动摩擦因数μ=0.25，重力加速度为g，不计滑轮的质量与摩擦。求： (1)物块P刚冲上传送带时的加速度： (2)物块P从刚冲上传送带到右方最远处的过程中，PQ系统机械能的改变量； (3)若传送带以不同的速度v（0<v<2v0）匀速运动，当v取多大时物块P向右冲到最远处时，P与传送带间产生的摩擦热最小？最小值为多大？ 18. 如图所示，将原长为L的轻质弹簧放置在倾角为37°的轨道AB上，弹簧的一端固定在A点，另一端与质量为m的滑块接触但不连接（滑块可视为质点）。AB长为2L，B端与半径为L的光滑圆轨道BCD相切，D点在圆心O的正上方，C点与O点等高。滑块与AB间的动摩擦因数μ＝0.5。用外力推动滑块至P点，使得AP＝，然后放开，滑块由静止开始沿轨道AB运动，之后刚好能到达圆轨道的最高点D。已知重力加速度大小为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 (1)求滑块初始位于P点时，弹簧的弹性势能Ep。 (2)若更换另一个质量为m1的滑块，仍将滑块从P点由静止释放，滑块能滑上圆轨道且能沿着圆轨道滑下，求m1的可能取值范围。 19. 如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面与长为的水平面平滑连接于点，右端连接内壁光滑、半径的四分之一细圆管，管口端正下方直立一根劲度系数 的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口端平齐。一个质量为的小球放在曲面上，现从距的高度处静止释放小球，它与间的动摩擦因数，小球进入管口端时，它对上管壁有的作用力，通过后，在压缩弹簧过程中小球速度最大时弹簧的弹性势能。重力加速度取。求： (1)小球第一次进入管口端时的速度大小； (2)在压缩弹簧过程中小球的最大动能； (3)小球最终停止的位置到B点的距离。 20. 如图所示，在高的光滑水平平台上，质量的小物块压缩轻弹簧后被锁扣锁住，储存了一定量的弹性势能（水平平台的长度大于弹簧的原长）。若打开锁扣，则物块与弹簧脱离后将以一定的水平速度向右从点冲出平台做平抛运动，并恰好能从固定的光滑圆弧形轨道的点沿切线方向进入圆弧形轨道。已知圆弧轨道所对的圆心角，圆弧轨道的圆心与平台等高，轨道最低点的切线水平，并与地面上长为的水平粗糙轨道平滑连接，物块与轨道间的动摩擦因数，小物块沿轨道运动并与右边墙壁发生无能量损失的碰撞，取，小物块可视为质点。求： (1)小物块原来压缩弹簧时储存的弹性势能； (2)小物块第一次通过点时的速度大小； (3)小物块在段通过的总路程。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 功能关系 能量守恒定律 【模型1　功能关系的理解】 【模型构建】 功能关系的本质是 “功是能量转化的量度”，即一种形式的能量转化为另一种形式的能量，必然通过力做功来实现，做功的多少等于能量转化的多少。它是贯穿 “功和能” 板块的核心规律，是连接动能定理、机械能守恒定律的桥梁，适用于所有能量转化的场景 【模型剖析】 1.对功能关系的进一步理解 （1）做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。 （2）功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。 2.几种常见的功能关系及其表达式 力做功 能的变化 定量关系 合力做功 动能 变化 （1）合力做正功，动能增加； （2）合力做负功，动能减少； （3）W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力做功 重力势 能变化 （1）重力做正功，重力势能减少； （2）重力做负功，重力势能增加； （3）WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹 力做功 弹性势 能变化 （1）弹力做正功，弹性势能减少； （2）弹力做负功，弹性势能增加； （3）WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 除重力和 系统内弹力之外的其他力做功　　　 机械能 变化 （1）其他力做正功，机械能增加； （2）其他力做负功，机械能减少； （3）W＝ΔE机 【题目示例】 如图所示，在升降机内固定一光滑的斜面体，一轻弹簧的一端连在位于斜面体上方的固定木板B上，另一端与质量为m的物块A相连，弹簧与斜面平行．整个系统由静止开始加速上升高度h的过程中(　　) A．物块A的重力势能增加量一定等于mgh B．物块A的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和 C．物块A的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和 D．物块A和弹簧组成的系统的机械能增加量等于斜面对物块的支持力和B对弹簧的拉力做功的代数和 【推理过程】 解析　由于斜面光滑，物块A静止时弹簧弹力与斜面支持力的合力与重力平衡，当整个装置加速上升时，由牛顿第二定律可知物块A受到的合力应向上，故弹簧伸长量增加，物块A相对斜面下滑一段距离，故选项A错误；根据动能定理可知，物块A动能的增加量应等于重力、支持力及弹簧弹力对其做功的代数和，故选项B错误；物块A机械能的增加量应等于除重力以外的其他力对其做功的代数和，选项C正确；物块A和弹簧组成的系统的机械能增加量应等于除重力和弹簧弹力以外的其他力做功的代数和，故选项D正确． 答案　CD 【变式探究】 如图3所示，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小等于重力加速度的大小g.物块上升的最大高度为H，则此过程中，物块的(　　) 图3 A．动能损失了2mgH B．动能损失了mgH C．机械能损失了mgH D．机械能损失了mgH 解析　分析小物块沿斜面上滑，根据题述可知，物块所受滑动摩擦力Ff＝0.5mg，由动能定理，动能损失了＋mgH＝2mgH，选项A正确，B错误．由功能关系，机械能损失＝mgH，选项C正确，D错误． 【模型2　能量守恒定律】 【模型构建】 能量守恒定律是自然界最基本、最普遍的规律之一，核心逻辑是 “能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只会从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变”。该定律适用于所有物理过程 【模型剖析】 1.对能量守恒定律的理解 （1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 （2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 2.应用能量守恒定律解题的思路 （1）分清有多少形式的能（动能、势能、内能等）发生变化。 （2）明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增的表达式。 （3）列出能量守恒关系式ΔE减＝ΔE增。 【题目示例】 风力发电已成为世界实现“双碳”目标的重要途径之一，在我国新疆，大型风力发电机是一种将风能转化为电能的装置，如图所示。某风力发电机转化效率可视为不变。该风机叶片长度为，空气密度为，风场风速为，并保持风正面吹向叶片。下列说法正确的是（　　） A．单位时间内冲击该风力发电机叶片圆面积的气流的动能为 B．该风力发电机的输出电功率与风速的平方成正比 C．该风力发电机时间内输出电能为 D．若该地区每天平均有的风能资源，则风力发电机每天发电量为 【推理过程】 【答案】AC 【详解】A．时间流过风机叶面的流动空气体积为，时间流过风机叶面的流动空气质量为，时间流过风机叶面的流动空气动能为，单位时间流过面积的流动空气动能为，选项A正确； BC．转化效率不变，可知该风力发电机的输出电功率为；该风力发电机时间内输出电能为，该风力发电机的输出电功率与风速的立方成正比，选项B错误，C正确； D．由于风力发电存在转化效率，若每天平均有的风能资源，则每天发电量应满足，选项D错误。 故选AC。 【变式探究】 如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角为θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m．当物体到达B后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点距A点AD＝3 m．挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：(计算结果小数点后保留两位有效数字) (1)物体与斜面间的动摩擦因数μ； (2)弹簧的最大弹性势能Epm. 解析　(1)物体从开始位置A点运动到最后D点的过程中，弹性势能没有发生变化，动能和重力势能减少，机械能的减少量为ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝mv＋mglADsin 37°① 物体克服摩擦力产生的热量为Q＝Ffx② 其中x为物体运动的路程，即x＝5.4 m③ Ff＝μmgcos 37°④ 由能量守恒定律可得ΔE＝Q⑤ 由①②③④⑤式解得μ≈0.52. (2)由A到C的过程中，动能减少ΔEk＝mv⑥ 重力势能减少ΔEp′＝mglACsin 37°⑦ 摩擦生热Q′＝FflAC＝μmgcos 37°lAC⑧ 由能量守恒定律得弹簧的最大弹性势能为 ΔEpm＝ΔEk＋ΔEp′－Q′⑨ 联立⑥⑦⑧⑨解得ΔEpm≈24.46 J. 模型3　传送带模型中的动力学和能量转化问题】 【模型构建】 传送带模型是动力学分析与能量转化结合的经典题型，核心是分阶段分析物体在传送带上的受力、运动状态变化，同时明确摩擦力做功与机械能、内能的转化关系。该模型常以水平传送带、倾斜传送带两种形式考查 【模型剖析】 1．传送带模型是高中物理中比较成熟的模型，典型的有水平和倾斜两种情况．一般设问的角度有两个： (1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系． (2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解． 2．传送带模型问题中的功能关系分析 (1)功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q. (2)对W和Q的理解： ①传送带做的功：W＝Fx传； ②产生的内能Q＝Ffx相对． 传送带模型问题的分析流程 【题目示例】 如图甲所示，足够长的水平传送带以恒定速率逆时针转动，一质量的小物块从传送带的左端以速度向右滑上传送带，小物块的动能与位移x的关系图像如图乙所示，图中，重力加速度g取。关于小物体在传送带上的运动过程，下列说法正确的是（　　） A．小物块滑上传送带的初速度大小为 B．传送带对物体做了的功 C．物块与传送带之间因摩擦而产生的热量为 D．由于小物块的出现，电动机多消耗的电能为 【推理过程】 【详解】A．由图像分析：小物块滑上传送带后，先减速至速度减为0，后反向加速至，所以， 解得，，故A正确； B．由动能定理，传送带对物体做的功，故B错误； C．物块向右运动过程中有： 解得 物块在传送带上的加速度 物体向右减速时间 相对位移 物体向左加速时间 相对位移 所以整个过程摩擦产生的热量，故C正确； D．由能量守恒定律可知，由于小物块的出现，电动机多消耗的电能，故D正确。 故选ACD。 【变式探究】 如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，传送带在电动机的带动下，始终保持v0＝2 m/s的速率运行，现把一质量为m＝10 kg的工件(可看做质点)轻轻放在传送带的底端，经过时间t＝1.9 s，工件被传送到h＝1.5 m的高处，取g＝10 m/s2求： (1)工件与传送带间的动摩擦因数； (2)电动机由于传送工件多消耗的电能． 解析　(1)由题图可知，传送带长x＝＝3 m. 假设工件在运动到最大高度之前已经开始做匀速运动． 工件速度达到v0前，设工件运动的时间为t1，则匀加速运动的位移x1＝ t1＝t1 匀速运动的位移为x－x1＝v0(t－t1) 解得加速运动的时间t1＝0.8 s，所以假设成立． 加速度a＝＝2.5 m/s2 由牛顿第二定律有：μmgcos θ－mgsin θ＝ma，解得μ＝. (2)从能量守恒的观点来看，显然电动机多消耗的电能用于增加工件的动能和势能以及克服传送带与工件之间发生相对位移时摩擦力做功产生的热量． 在时间t1内，传送带运动的位移x传＝v0t1＝1.6 m 在t1时间内，工件运动的位移x1＝t1＝0.8 m 在时间t1内，工件相对传送带的位移x相对＝x传－x1＝0.8 m 在时间t1内，摩擦生热Q＝μmgcos θ·x相对＝60 J 工件获得的动能Ek＝mv＝20 J 工件增加的势能Ep＝mgh＝150 J 电动机多消耗的电能W＝Q＋Ek＋Ep＝230 J. 【模型4　弹簧的功能关系】 【模型构建】 弹簧的功能关系是 “功和能” 板块的重点内容，核心逻辑是弹簧弹力做功与弹性势能变化直接相关，同时弹力做功会引起系统动能、重力势能的转化。利用弹簧弹力做功的特点（弹力为变力，做功与路径无关，只与形变量有关），结合功能关系、动能定理或机械能守恒，可解决含弹簧的动力学与能量转化问题 【模型剖析】 场景 1：水平弹簧振子（无摩擦） 1、系统：物体 + 弹簧能量转化：动能与弹性势能相互转化，机械能守恒； 2、特殊位置能量特点：原长位置：弹性势能为 0，动能最大；最大形变量位置：动能为 0，弹性势能最大。 3、能量守恒表达式： 场景 2：竖直弹簧（物体从高处下落压缩弹簧，忽略空气阻力） 1、系统：物体 + 弹簧 + 地球能量转化：重力势能→动能→弹性势能，机械能守恒； 2、关键位置：接触弹簧前：物体自由下落，重力势能转化为动能；接触弹簧后：重力势能减少，动能先增后减，弹性势能增加；最大压缩量位置：动能为 0，重力势能转化为弹性势能。 3、能量守恒表达式（以最大压缩量处为重力势能零点）：其中 h 为物体初始位置到弹簧原长的高度，x 为弹簧最大压缩量。 场景 3：含摩擦的弹簧系统（物体在水平面上压缩弹簧后释放） 1、系统：物体 + 弹簧能量转化：弹性势能→动能→内能（摩擦生热），机械能不守恒； 2、能量守恒表达式：其中 s 为物体从释放到速度为 v 时的位移，为摩擦力产生的内能。 【题目示例】 如图甲所示，一倾角的光滑斜面底端固定有一轻弹簧，弹簧的另一端与质量为m的滑块A相连，滑块B靠着A一起静置于斜面上，现用平行于斜面向上的拉力F拉动滑块B，使B做匀加速运动，力F与B运动的位移x关系如图乙所示，重力加速度为g，则（　　） A．B滑块的质量为 B．滑块B的加速度为g C．A、B分离前，滑块A和弹簧系统机械能一直增大 D．滑块B运动时，弹簧处于原长，刚要分离 【推理过程】 【答案】A 【详解】AB．由于B做匀加速运动，根据乙图可知： 在内，A、B一起运动，加速度、速度均保持一致 当时，A、B原本静止，加上拉力F才开始运动，所以合力为F，根据牛顿第二定律 解得 当时，AB刚要分离，运动状态仍保持一致，对B进行受力分析得 带入得 解得 所以，故A正确，B错误； C．在内，A对B有斜向上的推力，此推力对B做正功，所以滑块A和弹簧系统机械能在一直减少，减少的能量转移给B，故C错误； D．当时，AB刚要分离，运动状态仍保持一致，对A进行受力分析得 所以，，弹簧并没有恢复原长，故D错误。 故选A。 【变式探究】 如图所示，倾角的固定斜面顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数，过程Ⅰ：Q以速度从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。（弹簧的弹性势能可以表示为，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）（    ） A．P、M两点之间的距离为 B．Q在从P点单向运动到O点的过程中，系统损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在M点 【答案】BC 【详解】A．过程Ⅰ：从P点至O点，设P点至O的距离为，根据动能定理有 解得 设M点至O的距离为，在M点（图中未画出）时速度最大，加速度为0，有 P、M两点之间的距离为 联立解得P、M两点之间的距离为，故A错误； B．Q在从P点单向运动到O点的过程中，系统损失的机械能为，故B正确； C．设过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为，根据能量关系可得 解得，故C正确； D．因为，可得，所以物块Q在O点的加速度不为0，在M点，有 故滑块Q可以静止在M点上方一点，此时有 静摩擦力小于最大静摩擦力，故D错误。 故选BC。 【再次升华】 弹性势能的零点选取：默认以弹簧原长位置为弹性势能零点，若选取其他位置为零点，弹性势能表达式需调整。 形变量的判断：弹力做功公式中的是形变量（伸长量或压缩量），不是弹簧的长度，计算时需区分 “原长”“伸长后长度”“压缩后长度”。 系统的选取：分析机械能是否守恒时，必须将弹簧纳入系统，弹力才属于内力；若只选物体为研究对象，弹力为外力，机械能不守恒。 1. 在某智能物流仓库的包裹分拣系统中，水平传送带是核心输送设备。如图所示，某物流分拣中心用水平传送带将质量为m的包裹从A端运送到B端。AB之间的距离为L，传送带始终保持速率匀速运动，包裹与传送带间的动摩擦因数为μ。将包裹轻轻放在传送带上后，包裹在传送带上留下一段长度为的摩擦滑动痕迹。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．摩擦力对包裹做的功为 B．摩擦力对包裹做的功为 C．摩擦力对传送带做功-μmgl D．一对滑动摩擦力对包裹与传送带系统做功之和为-2μmgl 【答案】B 【详解】AB．设包裹与传送带的速度相等时，所用的时间为t，且包裹相对于地面的位移为x，则 由于包裹在传送带上留下一段长度为的摩擦滑动痕迹，则有 联立解得 根据动能定理可得 联立得摩擦力对包裹做的功为，故A错误，B正确； C．摩擦力对传送带做功为，故C错误； D．一对滑动摩擦力对包裹与传送带系统做功之和为，故D错误。 故选B。 2. 如图，用抽水机抽水来灌溉农田，抽水机距离水面的高度为h，出口的横截面积为S，在t时间内出口喷水的质量为m，水的密度为，则在t时间内，抽水机的输出功率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设出口喷水的速率为v，则在t时间内出口喷水的质量 则 由功能关系得t时间内，抽水机做的功 则在t时间内，抽水机的输出功率 故选A。 3. 哈尔滨冰雪大世界的冰块采集自松花江，步骤为开锯、切分、打捞、运送。图甲是某次运送冰块的示意图，水平冰面AB段由于清理了积雪可视为光滑冰面、BC段动摩擦因数。长方体冰块长，质量均匀分布且总质量为开始时，静止在AB段内，现给冰块一个水平向右的初速度使冰块向着BC运动，重力加速度求： (1)冰块中点到达B点时，冰块的加速度大小a； (2)冰块静止时，冰块右端与B点的距离d； (3)如图乙，在冰块静止后，质量为，可视为质点的破冰工具，以的速度从冰块左端水平向右滑上冰块，恰能到达冰块最右端，最终一同静止在BC段冰面上，求整个运动过程冰块与地面摩擦产热Q。 【答案】(1) (2)1.25m (3)37.5J 【详解】（1）根据牛顿第二定律 由 解得 （2）设冰块进入段长度为时，冰块所受摩擦力 由式子可知此阶段摩擦力正比于冰块进入段的长度，则此阶段克服摩擦力做功 根据能量守恒定律 由 解得 （3）设破冰工具与冰块的动摩擦因数为 假设冰块不动，则有 即 对工具， 解得，不符合假设，说明冰块滑动。 对冰块 工具到达最右端恰好共速 位移关系 解得 对冰块 共速后，工具和冰块相对静止一起减速，加速度为，有 冰块减速位移 解得 冰块与地面摩擦产热 4. 手机物理工坊phyphox软件可以调用智能手机里的众多传感器，是非常实用的物理测量工具。我校一实验小组用智能手机里的phyphox软件测量电梯运行情况，实验过程中，手机水平放置在电梯的地板上，屏幕朝上，竖直向上为正方向，软件记录下了电梯从静止开始运动的加速度a与时间t的图像，如图丙所示，可以将该图像理想化如图丁所示，下列说法正确的是（　　） A．电梯是从低楼层向上运行至高楼层 B．可以求出电梯运动的最大速度 C．内电梯里的手机处于超重状态 D．电梯对手机做功为零 【答案】B 【详解】A．由图丁可知，电梯先有向下的加速度，后有向上的加速度；根据牛顿第二定律，加速度方向与合外力方向相同，开始时加速度向下，说明电梯先向下加速运动，后向下减速运动，所以电梯是从高楼层向下运行至低楼层，故A错误； B．图像与时间轴所围的面积表示速度的变化量；在图像中，电梯静止，电梯向下加速，向下匀速，向下减速，14s后静止；6s末速度最大，内，加速度—时间图像与时间轴所围面积可求速度变化量，又因为初速度为0，所以可以求出电梯运动的最大速度为，故B正确； C．超重状态是指物体具有向上的加速度；内电梯的加速度向下，电梯里的手机处于失重状态，故C错误； D．，电梯从静止开始运动最后又静止，速度变化量为0，动能变化量为0；但电梯向下运动过程中，手机的重力势能减小，机械能减小，根据功能关系，电梯对手机做负功，故D错误。 故选B。 5. 如图所示，一固定斜面的倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小等于0.8g（g为重力加速度大小），物块上升的最大高度为H，则此过程中（　　） A．物块的重力势能减少了mgH B．物块的动能损失了1.6mgH C．物块的机械能损失了0.8mgH D．物块克服摩擦力做功0.8mgH 【答案】B 【详解】A．重力做功－mgH，根据功能关系可知，物块的重力势能增加了mgH，A错误； B．在此过程中，由动能定理可知 W＝－ma ＝－1.6mgH 说明物块的动能损失了1.6mgH，故B正确； C．在上升过程中，动能减少了1.6mgH，而重力势能增加了mgH，故机械能损失了0.6mgH，C错误； D．设物块克服摩擦力做功为W克f，由动能定理可得 W＝－mgH－W克f＝－1.6mgH 解得 W克f＝0.6mgH D错误。故选B。 6. 如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平面上，质量为m的小物块自斜面底端以某一初速度沿斜面向上做匀减速直线运动。已知小物块与斜面间的动摩擦因数为0.75，小物块沿斜面上升的最大高度为H，重力加速度大小为g，取sin37°=0.6，则在小物块上升的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小物块的重力势能增加了mgH B．小物块的初动能为mgH C．小物块的机械能损失了mgH D．小物块克服摩擦力做功0.6mgH 【答案】AC 【详解】A．小物块沿斜面上滑的最大高度为H，克服重力做功mgH，所以小物块的重力势能增加了mgH，选项A正确； B．对小物块受力分析得 由几何关系可得，小物块沿斜面上滑的距离 根据动能定理可得 则小物块的初动能为2mgH，选项B错误； C．由功能关系可知，小物块机械能的改变量等于摩擦力所做的功 即小物块机械能损失了mgH，选项C正确； D．损失的机械能等于克服摩擦力做的功，选项D错误。 故选AC。 7. 如图甲所示，在公元年闻名于世的“襄阳炮”其实是一种大型抛石机。将石块放在长臂一端的石袋中，在短臂端挂上重物M。发射前将长臂端往下拉至地面，然后突然松开，石袋中的石块过最高点时就被抛出。现将其简化为图乙所示。将一质量m=50kg的可视为质点的石块装在长L=10m的长臂末端的石袋中，初始时长臂与水平面的夹角，松开后，长臂转至竖直位置时，石块被水平抛出，落在水平地面上。测得石块落地点与O点的水平距离s=30m，忽略长臂、短臂和石袋的质量，不计空气阻力和所有摩擦，，下列说法正确的是（　　） A．石块水平抛出时的初速度为 B．重物M重力势能的减少量等于石块m机械能的增加量 C．石块从A到最高点的过程中，石袋对石块做功15000J D．石块圆周运动至最高点时，石袋对石块的作用力大小为500N 【答案】AC 【详解】A．石块平抛运动的高度 根据 得 故石块水平抛出时的初速度 故A正确； B．转动过程中，重物的动能也在增加，因此重物重力势能的减少量不等于石块机械能的增加量，故B错误； C．石块从A到最高点的过程中，石袋对石块做功等于石块机械能的增量，则有 故C正确； D．石块圆周运动至最高点时，有 可得 故D错误。 故选AC。 8. 如图所示，一质量为m的小球固定在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定在O点处，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点时速度为v，A、B之间的竖直高度差为h，则（　　） A．由A到B过程中，小球的机械能不守恒 B．由A到B重力势能减少0.5mv2 C．由A到B小球克服弹力做功为mgh D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－0.5mv2 【答案】AD 【详解】A．由A到B过程中，弹力对小球做功，则小球机械能不守恒，故A正确； B．由A至B重力做功为mgh，则重力势能减少mgh。小球在下降中小球的重力势能转化为动能和弹性势能，所以，故B错误； C．根据动能定理得 所以由A至B小球克服弹力做功为，故C错误； D．弹簧弹力做功量度弹性势能的变化。所以小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－0.5mv2，故D正确。 故选AD。 9. 如图是荡秋千的示意图，若人直立站在踏板上，从绳与竖直方向成角θ=的A点由静止开始运动，摆到最低点B时，两根绳中的总拉力是人重力的倍。随后，站在B点正下面的某人推一下，使秋千能摆到绳与竖直方向成θ=角的C点。设人的重心到悬点O的距离为l，人的质量为m，踏板和绳的质量不计，人所受空气阻力与人的速度的平方成正比。则下列判断中正确的是（　　） A．人从A点运动到最低点B的过程中损失的机械能大小等于mgl B．站在B点正下面的某人推一下做的功等于mgl C．站在B点正下面的某人推一下做的功大于mgl D．站在B点正下面的某人推一下做的功等于mgl 【答案】A 【详解】A．在最低点B时，对人和踏板整体，由牛顿第二定律得 得 则人从A点运动到最低点B的过程中损失的机械能为 故A正确； BCD．由于站在B点正下面的某人要对该人要做功，在最低点，人的速度将大于，由于空气阻力与人的速度的平方成正比，则从B运动到C，人损失的机械能大于，所以要使人运动到C，站在B点正下面的某人推一下做的功大于 故BCD错误。 故选A。 10. 如图所示，物体A的质量为m，置于水平地面上，A的上端连一轻弹簧，原长为L，劲度系数为k。现将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，使B点上移距离为L，此时物体A也已经离开地面，则下列说法中正确的是（　　） A．提弹簧的力对系统做功为mgL B．物体A的重力势能增加mgL C．系统增加的机械能小于mgL D．以上说法都不正确 【答案】C 【详解】ACD．将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，由于开始时有支持力，故拉力先小于mg，物体离地后等于mg；拉力的位移为L，所以提弹簧的力对系统做功小于mgL，根据功能原理可知，系统增加的机械能小于mgL ，故C正确，AD错误； B. 提弹簧的力对系统做功小于mgL，弹簧的弹性势能也要增加，所以物体的重力势能的增加量小于mgL，故B错误； 故选C。 11. 如图甲所示，置于水平地面上质量为m的物体，在竖直拉力F作用下，由静止开始向上运动，其动能E与距地面高度h的关系如图乙所示，已知重力加速度为g·空气阻力不计．下列说法正确的是 A．在0~h0过程中，F大小始终为mg B．在0~h0和h0~2h0过程中，F做功之比为2︰1 C．在0~2h0过程中，物体的机械能不断增加 D．在2h0~3.5h0过程中，物体的机械能不断减少 【答案】C 【详解】A．0~h0过程中， 图像为一段直线，故由动能定理得：，故，A错误； B．由A可知，F在0~h0过程中，做功为，在h0~2h0过程中，由动能定理可知，，解得，因此在0~h0和h0~2h0过程中，F做功之比为3︰2，故B错误； C．通过A、B可知，在0~2h0过程中，F一直做正功，故物体的机械能不断增加； D．在2h0~3.5h0过程中，由动能定理得,则，故F做功为0，物体的机械能保持不变，故D错误． 12. 如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连．弹簧处于自然长度时物块位于O点(图中未标出)．物块的质量为m， ，物块与桌面间的动摩擦因数为μ．现用水平向右的力将物块从O点拉至A点，拉力做的功为W．撤去拉力后物块由静止向左运动，经O点到达B点时速度为零．重力加速度为g．则上述过程中（） A．经O点时，物块的动能小于 B．物块在A点时，弹簧的弹性势能等于 C．物块在B点时，弹簧的弹性势能小于 D．物块动能最大时弹簧的弹性势能小于物块在B点时弹簧的弹性势能 【答案】AC 【详解】AB．如果没有摩擦力，则O点应该在AB中间，由于有摩擦力，物体从A到B过程中机械能损失，故无法到达没有摩擦力情况下的B点，也即O点靠近B点，故，此过程物体克服摩擦力做功大于，物块在A点时，弹簧的弹性势能小于，从O点开始到再次到达O点，物体路程大于a，故由动能定理得，物块的动能小于， B错误A正确； C．由题意可知从O点开始到再次到达O点，经O点到达B点时过程，路程大于 故整个过程物体克服阻力做功大于，故物块在B点时，弹簧的弹性势能小于，C正确； D．物块动能最大时，弹力等于摩擦力，而在B点弹力与摩擦力的大小关系未知，故物块动能最大时弹簧伸长量与物块在B点时弹簧伸长量大小未知，故此两位置弹性势能大小关系不好判断，D错误； 故选AC。 13. 弹跳杆运动是一项广受青少年欢迎的运动。弹跳杆的结构如图所示，弹簧的下端固定在跳杆的底部，上端与一个套在跳杆上的脚踏板底部相连接。质量为M的小孩站在脚踏板上保持静止不动时，弹簧的压缩量为x0。设小孩和弹跳杆只在竖直方向上运动，跳杆的质量为m，取重力加速度为g，空气阻力、弹簧和脚踏板的质量、以及弹簧和脚踏板与跳杆间的摩擦均忽略不计。某次弹跳中，弹簧从最大压缩量3x0开始竖直向上弹起，不考虑小孩做功。下列说法中正确的是（　　） A．弹簧从压缩量3x0到恢复原长过程中弹簧的弹力做的功为 B．弹簧从压缩量3x0到恢复原长过程中弹簧的弹力做的功为 C．小孩在上升过程中能达到的最大速度为 D．小孩在上升过程中能达到的最大速度为 【答案】BC 【详解】AB．质量为M的小孩站在脚踏板上保持静止不动时，弹簧的压缩量为x0，所以 Mg=kx0 弹簧从压缩量3x0处，此时弹力大小为3Mg，所以弹簧从压缩量3x0到恢复原长过程中弹簧的平均弹力做的功为      A错误，B正确； CD．当小孩在上升过程中受合力是零时速度最大，即弹簧压缩x0时，在此过程中弹簧所做的功为 小孩的重力势能增加，根据能量守恒可得 解得 C正确，D错误。 故选BC。 14. 如图所示，倾角的传送带以的速度沿顺时针方向匀速转动，将质量为的物块轻放在传送带下端，同时质量也为的物块从传送带上端以的初速度沿传送带下滑，结果两物块恰好没有在传送带上相碰，物块与传送带间的动摩擦因数均为0.8，不计物块大小，重力加速度取，，。则（　　） A．、两物块刚在传送带上运动时加速度相同 B．两物块在传送带上运动到刚好相遇所用时间为 C．传送带上下端间的距离为 D．在运动过程中、两物块与传送带因摩擦产生的总热量为 【答案】AD 【详解】A．物块A向下减速运动 解得物块A加速度大小 物块B向上加速运动 解得物块B加速度大小 所以A、B两物块刚在传送带上运动时加速度相同，A正确； B．物块B在传送带上加速的时间 物块B在以后相对于传送带静止，以的速度向上匀速运动。 物块A向下减速的时间 物块A向上加速到与传送带速度相同所用时间 两个物块在与传送带共速时恰好相遇，所用时间，B错误； C．在7.5s内物块B的位移大小为 在7.5s内物块A的位移大小为 传送带上下端间的距离，C错误； D．物块A与传送带的相对位移大小 物块B与传送带的相对位移大小 因摩擦产生的总热量 解得，D正确。 故选AD。 15. 如图所示，倾角θ=37°的传送带以v0=1m/s的速度沿顺时针方向匀速转动，现将物块B轻放在传送带下端的同时，物块A从传送带上端以v1=2m/s的初速度沿传送带下滑，结果两物块恰好没有在传送带上相碰，已知物块与传送带间的动摩擦因数均为0.8，两物块（均可视为质点）质量均为1kg，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是（　　） A．两物块刚开始在传送带上运动时的加速度大小均为0.8m/s2 B．物块B从放上传送带到刚好要与物块A相碰所用的时间为5.5s C．两物块与传送带之间由于摩擦产生的热量为64J D．传送带上下端间的距离为10m 【答案】D 【详解】A．两物块刚开始在传送带上运动时，根据牛顿第二定律可得，故A错误； B．物块B在传送带上加速的时间为 由于，物块B随后跟着传送到一起匀速向上运动。物块A从冲上传送带到速度为零所用时间为 物块A从速度为零向上加速到与传送带速度相同所用时间为 所以两物块从放上传送带到刚好要相碰所用时间为，故B错误； C．两物块与传送带之间由于摩擦产生的热量为，故C错误； D．在7.5s内物块A的位移大小为 物块B的位移大小为 所以传送带下端到上端的距离为，故D正确。 故选D。 16. 传送带经常用于分拣货物。如图甲为传送带输送机简化模型图，传送带输送机倾角，顺时针匀速转动，在传送带下端A点无初速度放入货物。货物从下端A点运动到上端B点的过程中，其机械能E与位移s的关系图像（以A位置所在水平面为零势能面）如图乙所示。货物视为质点，质量，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．传送带对货物的摩擦力全程没有改变 B．货物与传送带间的动摩擦因数为 C．货物从下端A点运动到上端B点的时间为1.8s D．传送带输送机因运送该货物而多消耗的电能为46J 【答案】D 【详解】A．根据功能关系可知，摩擦力对货物做的功等于货物机械能的变化量，故有 变形有 即图像的斜率等于摩擦力，所以传送带对货物的摩擦力在处由滑动摩擦力变为静摩擦力，故A错误； B．由上面分析可知，当货物受到的是滑动摩擦力时，有 又因为 解得，故B错误； C．货物在传送带上匀加速运动的过程中，根据牛顿第二定律有 解得 设货物在传送带上匀加速运动的时间为，则 解得 传送带的运行速度为 货物随传送带一起匀速运动的过程中，机械能的增加量等于重力势能的增加量，故有 解得 则货物随传送带一起匀速运动的时间为 所以货物从下端A点运动到上端B点的时间为，故C错误； D．设传送带输送机因运送该货物而多消耗的电能为，则根据能量守恒定律有，故D正确。 故选D。 17. 如图所示，一足够长的水平传送带以速度v0匀速运动，质量为3m的小物块P和质量为2m的小物块Q通过滑轮组的轻绳连接，轻绳足够长且不可伸长。某时刻物块P从传送带左端以速度2v0冲上传送带，P与定滑轮间的绳子水平。已知物块P与传送带间的动摩擦因数μ=0.25，重力加速度为g，不计滑轮的质量与摩擦。求： (1)物块P刚冲上传送带时的加速度： (2)物块P从刚冲上传送带到右方最远处的过程中，PQ系统机械能的改变量； (3)若传送带以不同的速度v（0<v<2v0）匀速运动，当v取多大时物块P向右冲到最远处时，P与传送带间产生的摩擦热最小？最小值为多大？ 【答案】(1)0.5g (2) (3)， 【详解】（1）设P的位移、加速度大小分别为s1、a1，Q的位移、加速度大小分别为s2、a2， 因s1=2s2 故a1=2a2 所以 物块P刚冲上传送带时3μmg+T=3ma1 对Q有2mg﹣2T=2ma2 解得 （2）P先减速到与传送带速度相同，设位移为x1，有 共速后，由于3μmg＜mg，P不可能随传送带一起匀速运动，继续向右减速，设此时P加速度为a1′，Q的加速度为 对P有T﹣3μmg=3ma1′ 对Q有2mg﹣2T=2ma2′ 解得a1′= 设减速到0位移为x2，则 PQ系统机械能的改变量等于摩擦力对P做的功=﹣3μmgx1+3μmgx2= （3）第一阶段P相对皮带向前，相对路程 第二阶段相对皮带向后，相对路程 摩擦产生的热Q=3μmg（s1+s2）= 当时，摩擦热最小 18. 如图所示，将原长为L的轻质弹簧放置在倾角为37°的轨道AB上，弹簧的一端固定在A点，另一端与质量为m的滑块接触但不连接（滑块可视为质点）。AB长为2L，B端与半径为L的光滑圆轨道BCD相切，D点在圆心O的正上方，C点与O点等高。滑块与AB间的动摩擦因数μ＝0.5。用外力推动滑块至P点，使得AP＝，然后放开，滑块由静止开始沿轨道AB运动，之后刚好能到达圆轨道的最高点D。已知重力加速度大小为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 (1)求滑块初始位于P点时，弹簧的弹性势能Ep。 (2)若更换另一个质量为m1的滑块，仍将滑块从P点由静止释放，滑块能滑上圆轨道且能沿着圆轨道滑下，求m1的可能取值范围。 【答案】(1)3.8mgL (2)m≤m1<m 【详解】（1）对滑块在D点，由牛顿第二定律得 对滑块从P点到D点，由能量守恒 解得，Ep＝3.8mgL （2）若滑块质量较大，恰好运动到B点，由能量守恒得 若滑块质量较小，恰好运动到C点，由能量守恒得 解得m2＝，m3＝ 所以m1的可能取值范围为≤m1< 19. 如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面与长为的水平面平滑连接于点，右端连接内壁光滑、半径的四分之一细圆管，管口端正下方直立一根劲度系数 的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口端平齐。一个质量为的小球放在曲面上，现从距的高度处静止释放小球，它与间的动摩擦因数，小球进入管口端时，它对上管壁有的作用力，通过后，在压缩弹簧过程中小球速度最大时弹簧的弹性势能。重力加速度取。求： (1)小球第一次进入管口端时的速度大小； (2)在压缩弹簧过程中小球的最大动能； (3)小球最终停止的位置到B点的距离。 【答案】(1) (2) (3)0.2m 【详解】（1）小球进入管口C端时，它对上管壁有的作用力，对小球由牛顿第二定律有 解得 （2）在压缩弹簧过程中，合力为零时，速度最大，此时小球动能也是最大值，设该位置为零势能面，弹簧的压缩量为x，由平衡条件 由能量守恒有 解得 （3）设BC段克服摩擦力做功为，对整个过程分析可知，设共经过N次BC段，有 又 解得 即小球最后从B位置向C位置运动最终停下，设小球最终停在距离B位置为s，有 解得 20. 如图所示，在高的光滑水平平台上，质量的小物块压缩轻弹簧后被锁扣锁住，储存了一定量的弹性势能（水平平台的长度大于弹簧的原长）。若打开锁扣，则物块与弹簧脱离后将以一定的水平速度向右从点冲出平台做平抛运动，并恰好能从固定的光滑圆弧形轨道的点沿切线方向进入圆弧形轨道。已知圆弧轨道所对的圆心角，圆弧轨道的圆心与平台等高，轨道最低点的切线水平，并与地面上长为的水平粗糙轨道平滑连接，物块与轨道间的动摩擦因数，小物块沿轨道运动并与右边墙壁发生无能量损失的碰撞，取，小物块可视为质点。求： (1)小物块原来压缩弹簧时储存的弹性势能； (2)小物块第一次通过点时的速度大小； (3)小物块在段通过的总路程。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由几何关系可得，点高度为 设从运动到的时间为，则，解得 小物块平抛的水平速度是，则，解得 根据能量关系 （2）小物块第一次通过点，由能量守恒定律可得 解得 （3）假设小物块能回到点，设小物块第一次返回点的速度为 由能量守恒得 解得 所以物块会从点飞出圆弧轨道，故小物块在段通过的总路程 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $