第9讲 动能定理（模型与方法）物理人教版必修第二册

第9讲 动能定理 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.动能定理解决变力做功 模型02.动能定理与图像 模型03.圆周运动中的动能定理 模型04.动能定理处理往复运动及多过程问题 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.动能定理解决变力做功 模型构建：不关注运动中间过程，只看初末动能，合功等于动能变化，是求解变力做功的核心工具。 模型剖析： 合外力对物体所做的总功等于物体功能的变化量． 表达式：W合＝mv22－mv12 适用范围： ①适用于恒力作用过程，也适用于变力作用过程． ②适用于物体做直线运动情况，也适用于物体做曲线运动情况． ③研究对象既可以是单个物体，也可以是一个系统． ④既可以是针对运动过程中的某个具体过程，也可以是针对全过程。 【例1】如图甲所示，在水平面内有一足够长的水平轨道OP。可视为质点的A、B两小物块靠在一起，静置于轨道左端。时刻用一水平向右的推力作用在A上，使A、B向右运动。F随变化的图像如图乙所示。已知A、B质量均为，A与水平轨道间的动摩擦因数为0.2，B与水平轨道间的摩擦不计，不计空气阻力，重力加速度大小取。则下列说法正确的是（     ） A．在时A与B分离 B．两物体分离瞬间B的速度大小为4m/s C．两物块分离前B的位移等于7m D．两物块分离前A对B的弹力做的功为4J 【答案】B 【详解】A．物块A与水平轨道间的滑动摩擦力为 两物块接触运动时，以A、B整体为研究对象，沿水平向右由牛顿第二定律得 以B为研究对象，接触力沿水平方向由牛顿第二定律得 联立两式得 分离的临界条件为，所以。由题给图像可知，推力在时降为。在时，仍有，A、B未分离，故A错误； B．分离后B在水平轨道上不受水平力，做匀速直线运动，到达P点的速度等于分离速度。接触阶段的加速度—时间图像如图所示，图像与时间轴所围面积表示速度变化量： 由图像面积得分离速度，故B正确； C．两物块接触运动时，以A、B整体为研究对象，沿水平向右由牛顿第二定律得 0~内， 所以，。在时，，由上式得 由加速度—时间图像面积得 1~内加速度不小于，且除末时刻外大于该值，所以该段位移满足 2~内推力大于0.5N，故加速度为正，B的速度大于3.5m/s，该段位移满足。所以分离前的位移满足，故C错误； D．分离前B只受A的接触力对其做功，且其速度由增至。由动能定理得，故D错误。 故选B。 【变式1-1】中国内地GOA4级全自动无人驾驶线路已增至66条，全国无人驾驶地铁总里程数已超过1000公里，覆盖超过20个城市，且无人驾驶技术已实现100%国产化。某无人驾驶地铁从静止沿水平直线启动时加速度随位移的变化如图所示，地铁及乘客的总质量为，运动中受阻力大小为，利用题中数据可以求出地铁（　　） A．匀加速运动的时间为 B．运动中牵引力的最大值为 C．运动的最大速度为 D．加速过程中牵引力做的功为 【答案】C 【详解】A．地铁在0∼x1段做初速度为0、加速度为a0的匀加速直线运动，由运动学公式 解得匀加速时间，故A错误； B．根据牛顿第二定律F−f=Ma 可得牵引力F=f+Ma 当加速度取最大值a0时，牵引力最大值为F=f+Ma0，故B错误； C．根据匀变速直线运动规律 可知a−x图像与x轴围成的面积等于，则最大速度满足 解得，故C正确； D．对加速全程用动能定理有 解得牵引力做功，故D错误； 故选C。 【变式1-2】如图所示，用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时，先将拔塞钻旋入木塞内，随后下压把手，使齿轮绕固定支架上的转轴转动，通过齿轮啮合，带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。从0时刻开始，顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做加速度为的匀加速直线运动，木塞所受摩擦力随位移大小的变化关系为，其中为常量，为圆柱形木塞的高，木塞质量为，底面积为，齿轮半径为，重力加速度为，瓶外气压减瓶内气压为且近似不变，瓶子始终静止在桌面上。求： (1)木塞离开瓶口的瞬间，齿轮的角速度的大小； (2)画出摩擦力与位移图像，并求出拔塞的全过程，摩擦阻力对木塞做的功； (3)拔塞钻对木塞做的功； (4)分析推导拔塞过程中，拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率随时间变化的表达式。 【答案】(1) (2)； (3) (4)，其中 【详解】（1）木塞做初速度为零的匀加速直线运动，木塞的速度等于齿轮边缘的线速度。由运动学公式得木塞离开瓶口瞬间的速度，由线速度与角速度的关系解得齿轮的角速度 （2）由可知，摩擦力f随位移x的增大均匀减小：x=0时，x=h时f=0，f–x图线如图所示。 摩擦力方向竖直向下，与木塞位移方向相反，摩擦力对木塞做负功，其大小等于f–x图线与横轴所围三角形的面积，得 （3）拔塞的全过程（木塞从静止上升到恰好离开瓶口，位移为h），瓶外气压大于瓶内气压，内外压力差竖直向下，对木塞做的功为 对木塞，由动能定理有 其中 代入解得拔塞钻对木塞做的功 （4）拔塞过程中木塞在瓶内做匀加速直线运动，设拔塞钻对木塞的作用力为F，木塞受重力、压力差、摩擦力与拔塞钻的作用力，由牛顿第二定律有 即 由匀加速直线运动规律、 拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率 联立解得 木塞离开瓶口的时刻 故该表达式的适用条件为 模型02.动能定理与图像 模型构建：常见 F-x、Eₖ-x 图像，F-x 图线与位移轴围成面积表示力做的功。由动能定理，合外力做功等于动能变化，等于合外力对应 F-x 图像面积。Eₖ-x 图像斜率代表合外力大小。解题先识别图像横纵坐标，利用面积求功，结合动能定理建立初末动能关系，注意正负面积对应正负功。 模型剖析： 1.图像所围“面积”和图像斜率的含义 2.解决动能定理与图像问题的基本步骤 【例2】（多选）中国内地GOA4级全自动无人驾驶线路已增至66条，全国无人驾驶地铁总里程数已超过1000公里，覆盖超过20个城市，且无人驾驶技术已实现100%国产化。某无人驾驶地铁从静止沿水平直线启动时加速度随位移的变化如图所示，地铁及乘客的总质量为，运动中受阻力大小为，利用题中数据可以求出地铁（     ） A．匀加速运动的时间为 B．运动中牵引力的最大值为 C．运动的最大速度为 D．加速过程中牵引力做的功为 【答案】AC 【详解】A．地铁在前x1段做匀加速直线运动，有 解得 故A正确； B．对地铁受力分析得 解得牵引力大小为 当时，F达到最大值，为 故B错误； C．根据可知，a-x图像与坐标轴围成的面积为，则最大速度满足 解得 故C正确； D．在加速全程，根据动能定理有 解得牵引力做功 故D错误。 故选AC。 【变式2-1】（多选）地铁8号线是天津首条全线采用全自动无人驾驶的地铁线路，今年内就要正式开通。地铁在启动时，加速度a随其位移x变化的图像大致如图所示，则列车在运行前450 m的过程中（　　） A．运行200 m时开始匀减速运动 B．运行200 m时，速度达到20 m/s C．从x=200 m到x=450 m之间的平均速度小于25 m/s D．从x=200 m到x=450 m之间运行的时间等于10 s 【答案】BC 【详解】A．题图为加速度随位移变化的—图像，纵坐标表示加速度。取列车运动方向为正方向，运行后加速度仍为正，只是大小逐渐减小，因此列车继续加速，且加速度不恒定，故A错误； B．设运行时的速度为。列车从静止启动，初速度，前的加速度恒为，由匀变速直线运动的速度与位移关系 代入得，故B正确； CD．后内，加速度随位移线性减小，运行时的加速度为 设列车质量为，运行和时的速度分别为和。由牛顿第二定律，且合力的力—位移图线下的面积表示合力做功，可知合力做功等于质量乘相应—图线下的面积。将从至任一后续位置的图线下面积记为，该位置的速度记为，由动能定理得 代入从至的梯形面积，得 代入从至的三角形面积，得 将后以为界分成两段，前段速度始终不超过，后段速度始终不超过，且各段速度均在增大。设后的总时间为，则 因此这段过程的平均速度满足，故C正确，D错误。 故选BC。 【变式2-2】如图（a），物块A置于水平传送带上，通过跨过光滑轻质定滑轮的轻绳与右边的物块B相连。B通过轻绳与物块C相连，连接各物块的轻绳均处于拉紧状态且不可伸长，A与滑轮间的绳子与传送带平行。传送带始终以恒定速率顺时针转动。用挡板P使A保持静止。时，撤去挡板P，同时在A上施加一水平外力F，A、B、C从静止开始运动。以x表示A离开初始位置的位移，F与x成正比关系，取水平向右为F和x的正方向，变化关系如图（b）所示。A第一次向右运动过程中，其速度v随位移x的变化关系如图（c）所示。当时，A与传送带共速。已知A、B质量分别为2 kg、3 kg，A与传送带间的动摩擦因数小于1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小取，A始终在传送带上，B、C始终未与滑轮和地面相碰。 (1)求A离开初始位置向右运动1 m的过程中，F做的功； (2)求C的质量和A与传送带间的动摩擦因数； (3)当A第一次运动到时，剪断B、C间的绳子，A开始向左运动。求A第一次运动到最左端时相对位置的位移。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）设A、B、C的质量分别为、、，A与传送带间的动摩擦因数为，A受到传送带的滑动摩擦力大小为，重力加速度大小为，A从初始位置向右运动、、的位移分别记为和。依题意，A与传送带间的动摩擦因数小于1，经分析可知，A向右运动过程中绳子处于拉紧状态。 设A位移为时的外力为，A从初始位置向右运动过程中外力做的功为。由功的定义得 由图（b）可知，，代入题给数据，得 （2）设A位移为时的外力为，A从初始位置运动到过程中摩擦力做功为，由滑动摩擦力公式和功的定义有和 对A、B、C组成的系统，从初始位置运动到过程中，由动能定理有 由图（b）可知， 联立以上式子并代入题给数据得 设A位移为时的外力为，对A、B、C组成的系统，从运动到过程中，由动能定理有 由图（b）可知，，联立并代入题给数据得 （3）剪断B、C间绳子后，A、B一起运动，假设A向左运动过程存在绳子拉力为零的位置，设拉力刚开始为零时A的位移为，此时A的加速度大小为，方向向右，外力为，由牛顿运动定律有 由图（b）可知，，联立并代入题给数据得 设A位移为时A、B的速度大小为，A从运动到过程中，对A、B组成的系统，由动能定理有 联立并代入题给数据得 可知，A在时动能大于0，因此假设成立。 设A第一次运动到最左端的位移为，A从处运动到处过程中，A、B初速度相同，A做加速度增大的减速运动，而B做加速度大小恒为的减速运动，因此，此过程A、B间绳子始终保持松弛。设A位移为时的外力为，A从处运动到处过程中，由动能定理有 由图（b）可知， 联立并代入题给数据得 由于不符合实际，因此。 模型03.圆周运动中的动能定理 模型构建：圆周运动为曲线运动，向心力始终垂直速度不做功，只有重力、拉力、摩擦力等切向力做功。用动能定理时，无需分析中间向心力，只计算所有力总功，等于动能变化。常取最高点、最低点作为初末状态列式。竖直圆周问题中重力做功只看高度差，注意摩擦力做功是路程乘以力，不是位移。 模型剖析： 1.绳模型 2.杆模型 【例3】某滑板爱好者沿着半径的光滑圆弧轨道AB下滑，B点切线水平且离地高，水平离开B点后落在水平地面的C点，其水平位移，已知人与滑板的总质量。滑板与地面摩擦因数，忽略空气阻力，。求： (1)人与滑板离开平台时的水平初速度大小； (2)人与滑板经过B时对轨道的压力； (3)若着地后竖直速度突变为0，水平方向速度减为原来，求人与滑板在水平地面滑行的位移大小。 【答案】(1) (2)，方向竖直向下 (3) 【详解】（1）将人与滑板看作整体，水平离开点后只受重力，做平抛运动。设飞行时间为，离台时的水平初速度为。取竖直向下为正，竖直方向做自由落体运动，有，可得飞行时间为 水平方向做匀速直线运动，有，因此离台时的水平初速度为 （2）在点离台前的瞬间，人与滑板整体受到竖直向下的重力和轨道竖直向上的支持力，设支持力大小为。受力图如下，其中两力之差提供竖直向上的向心力。 点切线水平，圆心位于其正上方。取竖直向上为正，整体在点的速度大小等于第（1）问求得的，由牛顿第二定律和向心加速度公式得 可得轨道的支持力大小为 根据牛顿第三定律，人与滑板对轨道的压力与轨道的支持力大小相等、方向相反，因此压力大小为，方向竖直向下。 （3）着地后竖直速度变为零，由题给条件，整体在水平地面滑行的初速度为 设地面对整体的支持力大小为，滑动摩擦力大小为。在地面滑行时，竖直方向受力平衡，故 由滑动摩擦力公式得 从点滑行至停止，重力和支持力均不做功，只有滑动摩擦力做负功。取沿滑行方向为正，由动能定理得 因此在水平地面滑行的位移大小为 【变式3-1】如图所示，在水平桌面上离桌面右边缘处放着一质量为的小铁块（可看作质点），铁块与水平桌面间的动摩擦因数。现用方向水平向右的推力F作用于铁块到达水平桌面边缘A点时立即撤去F，小铁块从A点飞出，恰好从竖直圆弧轨道BCD的B端沿切线进入圆弧轨道做圆周运动，铁块以的速度经过圆弧轨道最低点C。已知，A、B、C、D四点在同一竖直平面内，水平桌面离B端的竖直高度，圆弧轨道半径，C点为圆弧轨道的最低点。（取，，） (1)求此时铁块对圆弧轨道的压力大小； (2)求铁块运动到B点时的速度大小； (3)求水平推力F的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）铁块在点受到重力$mg$和轨道支持力$F'$，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 由牛顿第三定律可知，铁块对轨道的压力大小为。 （2）铁块从到做平抛运动，竖直方向为自由落体运动，根据运动学公式有 代入数据解得 铁块恰好沿切线从端进入圆弧轨道，根据速度分解有 代入数据解得 （3）铁块从到做平抛运动，水平方向分速度不变，故 代入数据解得 铁块在水平桌面上做匀加速运动，根据速度位移关系和牛顿第二定律分别有， 联立解得 【变式3-2】如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小球相连。小球以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，小球所受摩擦力的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理有 可得摩擦力的大小 故选B。 模型04.动能定理处理往复运动及多过程问题 模型构建：多过程、往复运动不必分段列牛顿定律，全程使用动能定理，只关注初末状态动能。重力做功只看初末高度差，摩擦力做功与路程相关而非位移。把各个阶段所有力做功代数相加等于动能变化。往复问题常存在物体最终静止的临界状态，末动能为零，据此列方程求解总路程。 模型剖析： 一．分析思路 (1)受力与运动分析： 根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的变化情况； (2)做功分析： 根据各种力做功的不同特点，分析各种力在不同运动过程中的做功情况； (3)功能关系分析： 运用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律进行分析，选择合适的规律求解． 二．方法技巧 (1)“合”——整体上把握全过程，构建大致的运动情景； (2)“分”——将全过程进行分解，分析每个子过程对应的基本规律； (3)“合”——找出各子过程之间的联系，以衔接点为突破口，寻求解题最优方案 三.往复运动多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功 其做功的特点是与路程有关，由于多次往复，运用牛顿运动定律及运动学公式往往无法求解，但由于动能定理只涉及运动的初、末状态，所以用动能定理分析这类问题可使解题过程简化． 【例4】如图所示，一段粗糙的倾斜轨道，在点与半径的光滑圆弧轨道相切并平滑连接，是圆轨道的竖直直径，与夹角。将质量为的小滑块从倾斜轨道上的点由静止释放，，小滑块与倾斜轨道间的动摩擦因数。，，。求： (1)若，小物块第一次经过时的速度大小； (2)若，小物块第一次经过点时对轨道的压力大小； (3)若物块能沿轨道到达点，求的最小值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由牛顿第二定律可知，小物块在倾斜轨道上运动的加速度大小满足 代入数据解得 小物块第一次经过时的速度大小满足 解得 （2）从到轨道光滑，由动能定理可知小物块第一次经过点时的速度大小满足 代入数据解得 在点，轨道支持力与小物块重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律，物块对轨道的压力大小为 （3）滑块能沿圆轨道到达点的临界条件为：点处轨道支持力为0，重力提供向心力，即 解得 对小滑块从静止释放到点全过程应用动能定理得 解得 【变式4-1】如图所示，物块与轨道各处的动摩擦因数均相同，第一次物块从左侧高处的A点由静止滑下，经过一段水平轨道，滑上右侧倾角为的轨道1，滑到高为的B点时速度降为0．将轨道1改成倾角为的轨道2，已知，轨道2和轨道1的交点恰是B点。第二次物块仍从左侧轨道的A点由静止滑下滑上右侧的轨道2，则（     ） A．物块从高为的A处滑下，仍能滑到高为的B点 B．物块从高为的A处滑下，能够滑过高为的B点 C．物块从高为的A处滑下，不能滑到高为的B点 D．由于不知道、的具体数值，无法判定 【答案】A 【详解】设物块质量为，以表示重力加速度。对倾角为的任一直轨道，设支持力大小为，取垂直轨道向外为正方向。物块在该方向的加速度为零，由牛顿第二定律得 由滑动摩擦力公式，摩擦力大小为 右侧斜面上滑时的受力及斜面路程的水平投影示意如下 设物块沿该直轨道运动的路程为，对应的水平距离为，由几何关系得 摩擦力方向与运动方向相反，根据功的定义，该段摩擦力做功为 水平轨道对应，也满足上述关系。由题图，两次运动均从点向右经过水平段，再沿右侧轨道上滑至点，各段水平距离之和均为与两点间的水平距离，记为。因此两次从到的摩擦力总功相同，均为 两次从到的重力功也相同，支持力不做功。第一次初、末速度均为零，由动能定理得 第二次仍从点由静止下滑，设到达点时的速度大小为，由动能定理得 轨道2的底端左移，第二次水平段缩短，物块能滑上轨道2；其上滑过程中重力和摩擦力均做负功，动能持续减小，因此仍恰能滑到点，且速度降为零。 故选A。 【变式4-2】如图所示，小球以初速度从A点沿不光滑的轨道运动到高为的B点后返回，其返回途中仍经过A点，小球经过轨道连接处无机械能损失，且小球再次经过A点时的速度大小为初速度的三分之一，不计空气阻力，重力加速度为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设轨道对球做的功为，上升过程有 下降过程有 联立解得 故选A。 1. 如图甲所示，固定斜面的倾角为θ，以O为原点、沿斜面向下为正方向建立x轴，A、B点的坐标分别为xA=d、xB=3d。质量为m的滑块由O点静止释放，恰好能运动到B点，滑块与斜面间的动摩擦因数μ随坐标x的变化的图线为倾斜直线，如图乙所示。重力加速度大小为g，下列说法正确的是（     ） A．滑块进入AB段立即做减速运动 B．滑块经过A点时重力的功率为 C．B点处的动摩擦因数μB=2tanθ D．滑块从处由静止释放可以到达处 【答案】D 【详解】A．滑块进入AB段，最初动摩擦因数较小，重力的下滑分力大于滑动摩擦力，故先做加速度减小的加速运动，后重力的下滑分力小于滑动摩擦力，且滑动摩擦力增大，做加速度增大的减速运动，故A错误； B．从，由图乙可知段的摩擦力为零，由动能定理 可得 重力的功率为，故B错误； C．设在距离原点x处动摩擦因数为，则下滑，由动能定理有 求和得 其中为图乙中三角形的面积 解得，故C错误； D．从处到处，重力做功为 摩擦力做功为 因，故滑块从处由静止释放将恰好到达处，故D正确。 故选D。 【基础夯实】 2. 如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面，其中段为平直上坡路面，段为水平路面，段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是（     ） A．在每段路面汽车的输出功率各保持不变 B．汽车在段克服摩擦阻力的功率最大 C．在段合外力对汽车所做功的功率最大 D．汽车在段的输出功率最小 【答案】A 【详解】AD．根据题意，设空气阻力和摩擦阻力之和为，由平衡条件可得，在段有 在段有 在段有 汽车的输出功率为 由于阻力的大小不变，则汽车在每段路面汽车的输出功率各保持不变。在段汽车的牵引力最小，故汽车在段输出功率最小，故A正确，D错误； B．克服摩擦阻力的功率为 题目明确摩擦阻力大小不变，是定速巡航的恒定速率，因此三段路汽车克服摩擦阻力的功率完全相等，故B错误； C．汽车速率不变，动能不变，根据动能定理 故通过路面过程中合外力对汽车做功始终为0，因此合外力的功率恒为0，故C错误。 故选A。 3. 如图所示，在水平雪地上，质量为的小孩躺在的雪橇上，大人用与水平方向成45°角、大小为的拉力拉雪橇，使雪橇从静止开始以的加速度做匀加速直线运动，在前进的过程中（     ） A．摩擦力做功为 B．大人对雪橇和小孩做功为 C．外力对雪橇和小孩所做总功为 D．大人对雪橇和小孩做功的平均功率为 【答案】D 【详解】AC．将雪橇和小孩看作整体，总质量为。取前进方向为正方向，由初速度为零的匀加速直线运动规律，前内的位移和末速度分别满足， 代入数据得和。由动能定理，外力所做总功为 拉力与位移的夹角为，由恒力做功公式得拉力做功，代入数据得 重力和支持力均与位移垂直，做功为零。设雪地摩擦力做的功为，则总功满足 所以摩擦力做功为，故AC错误； BD．大人对雪橇和小孩做的功即前述拉力做功，根据平均功率的定义有 代入数据得，故B错误，D正确。 故选D。 4. （多选）如图所示，劲度系数为的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端与置于水平面上质量为的物体接触（未连接），弹簧水平且无形变。用水平力缓慢推动物体，在弹性限度内弹簧长度被压缩了，此时物体静止。撤去后，物体开始向左运动，运动的最大距离为，物体与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为，则（     ） A．撤去后，物体先做匀加速运动，再做匀减速运动 B．撤去后，物体刚运动时的加速度大小为 C．弹簧被压缩了时具有的弹性势能为 D．物体开始向左运动到速度最大的过程中克服摩擦力做的功为 【答案】CD 【详解】AB．撤去后，设物体刚运动时的加速度大小为，根据牛顿第二定律有解得由于弹簧弹力会随压缩量的减小而减小，所以撤去后，物体先做变加速运动，再做变减速运动，故AB错误， C．根据能量守恒定律可知弹簧被压缩了时具有的弹性势能为，故C正确； D．物体速度最大时弹力与滑动摩擦力大小相等，则此时弹簧压缩量为所以物体开始向左运动到速度最大的过程中克服摩擦力做的功为，故D正确。 故选CD。 5. （多选）如图所示，长为L的杆一端固定在过O点的水平转轴上，另一端固定质量为m的小球．杆在电动机的驱动下在竖直平面内旋转，带动小球以角速度做匀速圆周运动，其中A点为最高点，C点为最低点，B、D点与O点等高。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．小球运动到任意位置时，所受合力指向圆心O B．小球在A、C两点受到杆的作用力大小的差值为 C．小球在B、D两点受到杆的作用力大小等于 D．小球从A点到C点的过程，杆对小球做的功等于 【答案】AD 【详解】A．小球做匀速圆周运动，线速度大小不变，方向时刻改变，加速度始终指向圆心，根据牛顿第二定律，合力提供向心力，方向始终指向圆心O，故A正确； B．小球在C点，合力向上，由牛顿第二定律有 解得杆的作用力 在A点，合力向下，若杆表现为拉力，有 解得 此时两点作用力大小差值为，若杆表现为支持力，有 解得 此时两点作用力大小差值为，均不等于，故B错误； C．小球在B、D点，重力竖直向下，合力水平指向圆心，杆的作用力与重力的合力提供向心力，由矢量合成可知杆的作用力，故C错误； D．小球从A点到C点的过程，做匀速圆周运动，动能变化量为零，重力做功 根据动能定理 解得杆对小球做的功，故D正确。 故选AD。 6. （多选）由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示。已知图中虚线为不考虑空气阻力时炮弹的运动轨迹，O、a、b、c、d为“弹道曲线”上的五点，其中O为发射点，d为落地点，b为轨迹的最高点，a、c两点距地面的高度相等，且空气阻力可认为与速度平方成正比。则（     ） A．炮弹到达b点时速度为0 B．炮弹由b点到d点的过程中加速度逐渐变小 C．炮弹由a点到b点的时间一定小于由b点到c点的时间 D．炮弹经过d点时的动能一定大于经过a点时的动能 【答案】BC 【详解】A．曲线运动的瞬时速度沿轨迹的切线方向。图中点的切线水平，此处只有竖直分速度为零，水平分速度仍向右，故A错误； B．设炮弹质量为，速率为，重力加速度取，空气阻力大小为，为正的比例系数，题给阻力关系可写为 下降时，设速度与水平向右方向的夹角为，重力、阻力和速度的方向关系如图所示。 取水平向右、竖直向下为正方向，水平合力只来自阻力，竖直合力由重力与阻力的竖直分力合成。由力的分解及勾股定理，合力大小满足 将上式配方得 在每一极短运动过程中，分别考察速率和方向变化的影响。暂视速度方向不变，配方式表明，阻力等于重力沿速度方向的分力时，合力最小。若阻力大于该分力，炮弹减速，阻力减小；若阻力小于该分力，炮弹加速，阻力增大。因此速率变化使阻力朝合力最小值调整，合力减小。同时，重力垂直于速度的分力使速度方向继续向下转动，增大，由前一合力平方表达式可见，方向变化也使合力减小。由牛顿第二定律，质量不变，加速度大小随合力逐渐减小，故B正确； C．设由到、由到的时间分别为和，两段运动的竖直高度差均为。上升时，重力和阻力的竖直分力均向下，竖直减速的加速度大小大于；下降时，阻力的竖直分力向上，向下的加速度小于。以上升终点和下降起点的竖直分速度均为零作比较，上升时任一时刻的竖直分速度大于与剩余上升时间的乘积，下降时竖直分速度小于与已下降时间的乘积。利用竖直分速度—时间图像的面积表示高度变化，可得和 所以，故C正确； D．设点距地面的高度为，由到过程中空气阻力做的功为。对炮弹在这一过程应用动能定理，得 空气阻力做负功，其消耗的能量未必小于重力做的正功，因而不能保证点的动能大于点的动能，故D错误。 故选BC。 7. 如图，为双层立体泊车装置示意图。欲将静止在1号车位的轿车移至4号泊车位，需先通过1号车位下方的移动板托举着轿车竖直抬升至3号位，再水平右移停至4号车位。两次移动过程中，轿车均从静止先加速再减速至静止。轿车质量为，重力加速度为，车与托板动摩擦因数。下列说法正确的是（     ） A．移动板对车的支持力与车的重力是相互作用力 B．水平右移过程中，移动板对车的摩擦力做功为 C．整个过程中，移动板对车做的总功为0 D．竖直抬升过程中，移动板对车的支持力做功为 【答案】D 【详解】A．相互作用力的特点是作用在两个不同物体上、大小相等方向相反且性质相同。移动板对车的支持力受力物体是车，车的重力受力物体也是车，二者作用在同一物体上，不是一对相互作用力，故A错误； B．水平右移过程中，车先加速后减速，初、末速度均为零。由动能定理，车所受合力做的功等于动能变化量；支持力和重力均不做功，因此移动板对车的摩擦力做功为 所以摩擦力做功不是，故B错误； C．取整个过程中的车为研究对象，车初、末均静止，移动板对车的力包括支持力和摩擦力。由动能定理，移动板对车的总功满足 所以移动板对车做的总功不为零，故C错误； D．竖直抬升过程中，车初、末均静止，重力做功为。由动能定理有 所以，故D正确。 故选D。 【培优拔高】 8. （多选）如图所示是网球发球机，某次室内训练时从距地面一定的高度向竖直墙面发射完全相同的网球。假定网球水平射出，某两次射出的网球碰到墙面时速度方向与水平方向夹角分别为和，若不考虑网球在空中受到的阻力，则（     ） A．两次发射的初速度之比为 B．碰到墙面前在空中运动时间之比为 C．下降高度之比为 D．碰到墙面时动能之比为 【答案】BCD 【详解】A．两球均从同一位置水平射出并打到同一竖直墙面，水平位移相同。平抛运动中，设碰墙时速度与水平方向的夹角为，则，又，联立得，即，故，两次发射的初速度之比为∶1，A错误； B．由可得，碰到墙面前在空中运动时间之比为1∶，B正确； C．下降高度，则，下降高度之比为1∶3，C正确； D．碰到墙面时速度大小，则，两球碰墙时速度大小相等；网球完全相同，由可知，碰到墙面时动能之比为1∶1，D正确。 故选BCD。 9. （多选）如图1所示，“冰坑挑战”需要挑战者先进入一个坡面与水平面夹角为、半径为的倒圆锥形冰坑，然后尝试从其中离开。 方式甲——挑战者沿着如图2甲所示坡面向上走或爬的方式，很难离开冰坑，通常还是会滑回坑底。 方式乙——挑战者沿着如图2乙所示的螺旋线方式跑动多圈后，最终可以成功离开冰坑。 已知挑战者的质量为，其与冰面的动摩擦因数为，重力加速度为。为了讨论方便，假定滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等；方式乙中人的跑动半径缓慢增大，每一圈的轨迹都可近似为与水平地面平行的圆。下列说法正确的是（     ） A．方式甲中，若挑战者滑回坑底，一定满足关系式 B．在方式甲和方式乙中，挑战者受到的最大静摩擦力大小相同 C．在方式乙中，挑战者每圈的最小速度大小为 D．在方式乙中，挑战者离开冰坑做的功一定大于 【答案】AD 【详解】A．方式甲中挑战者滑回坑底，说明 解得，故A正确； B．方式甲中，由于 则最大静摩擦力小于，方式乙中，对挑战者受力分析，设支持力为，摩擦力为，水平方向合力提供向心力 竖直方向受力平衡，则有 又因为 则方式乙中最大静摩擦力为 大于方式甲中的最大静摩擦力，故B错误； C．结合上述分析可知，方式乙中，挑战者受到的支持力和摩擦力在水平方向的合力提供挑战者做圆周运动的向心力，由于摩擦力存在，不能直接应用，故C错误； D．挑战者离开冰坑需克服重力做功和克服摩擦力做功，由能量守恒可知，挑战者离开冰坑做的功一定大于，故D正确。 故选AD。 10. （多选）电动平衡车是一种新型的交通工具，通过人工智能实现车辆的启动、加速、减速、停止等动作。图甲为某型号电动平衡车，人站在平衡车上沿水平直轨道由静止开始运动，其图像如图乙所示（除时间段图线为曲线外，其余时间段图线均为直线）。已知人与平衡车质量之和，在后功率恒为，且整个骑行过程中所受到的阻力不变，结合图像的信息，下列说法正确的是（　　） A．平衡车运动过程中受到的阻力大小为 B．时间内，平衡车的牵引力大小为 C．内平衡车的位移大小为 D．内平衡车的位移大小为 【答案】BC 【详解】A．由图乙可知，平衡车最终以匀速运动。匀速时牵引力等于阻力，且功率恒为 因此 解得，故A错误； B．由图乙可知，为匀加速直线运动，时速度 加速度 由牛顿第二定律 解得，故B正确； CD．位移计算：内匀加速， 内功率恒定，由动能定理 解得 内匀速， 因此总位移，故C正确，D错误。 故选BC。 11. 如图所示，滑块以初速度滑上表面粗糙的固定斜面，到达最高点后又返回到出发点。能大致反映滑块整个运动过程中速度、加速度、动能、重力对滑块所做的功与时间或位移关系的是（取初速度方向为正方向）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．取沿斜面向上为正方向，设斜面倾角为、滑动摩擦因数为。上滑时，重力沿斜面的分力和滑动摩擦力都沿斜面向下，由牛顿第二定律得 所以 其中。到达最高点后下滑，摩擦力改为沿斜面向上，由牛顿第二定律得 所以 题中给出，滑块能够返回出发点，因此下滑时重力沿斜面的分力大于摩擦力，且 所以图像先以较大的负斜率从减到0，再以较小的负斜率继续下降到负值，A图符合，故A正确； B．上滑阶段加速度沿斜面向下，与所取正方向相反；下滑阶段加速度仍沿斜面向下。因此加速度在两个阶段都应为负值，B图把上滑阶段画成正加速度，故B错误； C．以出发点为位移零点，滑块到达最高点时位移最大且动能为零。返回出发点后位移又回到零，但由于全过程有摩擦力做负功，末动能小于初动能；C图的末点没有回到位移零点，故C错误； D．重力在上滑阶段做负功，在下滑阶段做正功；滑块回到出发点时重力做功恢复为零。因此重力做功应先减小、后增大，D图单调减小，故D错误。 故选A。 12. （多选）一辆汽车在水平路面上由静止开始启动，在前内做匀加速直线运动，末达到额定功率，之后保持额定功率运动，末达到最大速度，其图像如图所示。已知汽车的质量为，汽车受到的阻力大小恒定且为车重力的，取，则（     ） A．汽车在前内受到的阻力大小为 B．前内的位移为 C．汽车的额定功率为 D．汽车的最大速度为 【答案】ABD 【详解】A．汽车受到的阻力大小恒定且为车重力的，则汽车在前内受到的阻力大小为，故A正确； C．汽车前内做匀加速直线运动，由图可知，加速度大小为 汽车前内牵引力大小为 汽车在末达到额定功率，则汽车的额定功率为，故C错误； D．汽车达到最大速度时，牵引力等于阻力，则汽车的最大速度为，故D正确； B．汽车前内的位移为 设的位移为，对此过程运用动能定理有 代入数值解得 则汽车前内的位移为，故B正确； 故选ABD。 13. 如图甲，某水电站建筑工地用发动机沿倾斜光滑轨道将建材拉到大坝顶上，已知轨道的倾角。某次从大坝底端向上拉建材的过程中，发动机所做的功与位移的关系如图乙所示。图乙中时图线为直线，当时发动机达到额定功率，此后保持该功率不变，对应的图线为曲线；当时建材达到最大速度，时图线为直线。已知建材的质量，，。则（     ） A．发动机的额定功率为5400W B．建材能达到的最大速度为6m/s C．时，发动机做的总功为16200J D．建材在前6s做匀加速运动，加速度大小为3m/s2 【答案】A 【详解】AB．由图乙中横坐标从到的直线段斜率可知，发动机牵引力为 取，沿斜面方向重力分力为 图中标记点的纵坐标为。建材从静止开始，运动到时由动能定理有 所以。发动机在处达到额定功率，所以 在位移介于和之间时功率保持不变；达到最大速度时加速度为零，发动机牵引力等于，所以，故A正确，B错误； C．在处，建材速度为。对从底端到该处的全过程应用动能定理，有 所以，故C错误； D．前内牵引力和重力分力均恒定，合力恒定，故该段为匀加速运动且 由 得，即只经历了前。此后进入恒功率阶段，速度增大使牵引力减小，合力和加速度均减小，因此前并非全程匀加速，故D错误。 故选A。 14. 如图所示，半径为的四分之一竖直圆轨道、水平传送带、倾角为的斜面、圆心角也为且半径为的竖直圆轨道以及水平轨道平滑相切连接，一弹性挡板竖直固定在点。传送带始终沿顺时针方向转动，转动速率大小可调。一质量为的小滑块从圆轨道的圆心等高处点静止释放，与弹性挡板发生碰撞后将以等大速度反向弹回。已知滑块运动过程中始终不脱离轨道，，，传送带长，轨道长，斜面长为，滑块与传送带间的动摩擦因数，与轨道间的动摩擦因数，其余轨道的摩擦均不计，忽略空气阻力，重力加速度取，。求： (1)滑块第一次经过圆轨道最低点时对轨道的压力大小； (2)滑块能够不脱离轨道顺利到达点，求传送带速率的范围； (3)滑块最终停在点，求传送带速率的可能值。 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）滑块从点静止下滑至点，轨道光滑，依据机械能守恒定律，减少的重力势能等于增加的动能，即 故。在点取竖直向上为向心方向，设轨道对滑块的支持力为，由牛顿第二定律得 解得 根据牛顿第三定律，滑块对轨道的压力大小为。 （2）设滑块到达点的速率为。以点所在水平面为零势能面，由题给正弦值可知余弦值为，则点的高度为 点的高度为 从点到点轨道光滑，由机械能守恒定律得 要到达点，须有 因此 在点，取指向圆心为向心方向，重力的向心分量为。设轨道支持力为，由牛顿第二定律得 不脱离轨道要求 故 从点到点由机械能守恒定律得 因此 滑块沿圆弧由向运动时速率减小，重力沿指向圆心方向的分量增大，所以点是不脱轨条件最严格的位置。若传送带速率不小于，滑块在传送带上不会减速，到点的速率至少为，与上述限制不符。若传送带速率小于，滑块先受向左的滑动摩擦力；设减速到传送带速率所走的距离为，由动能定理得 又有 故，此后滑块随传送带运动，到点时 结合到达点与不脱轨的条件，传送带速率范围为 （3）在第（2）问允许的范围内，到点时。设第一次到达点时速率为，从到的过程中，滑块升高，且在段克服摩擦力做功，由动能定理得 代入数据得 若第一次到点恰好停止，则，解得 若滑块第一次与挡板碰撞后返回传送带，设返回点时的速率为。碰撞前后速率相等，往返点与点时重力做功抵消，而在段往返两次均克服摩擦力做功，由动能定理得 故 返回传送带后，滑块受到向右的摩擦力，在传送带上的折返距离为 折返后滑块向右运动相同距离，摩擦力所做的正功与折返前的负功抵消；此时滑块速率仍低于传送带速率，所以再次到点时向右的速率仍为。若第二次到点恰好停止，由从到的动能定理得 结合前式解得 若第二次到点仍有速度，其速度平方不超过；再次反弹后，滑块在段便会停止，至多恰好到点，不能再回到传送带完成第三次到点的运动。因此所求速率为或。 15. 某运动馆设有滑行滑道，由倾斜滑道和水平滑道平滑连接。倾斜滑道长，倾角，小车在斜面上滑行的动摩擦因数恒定。水平滑道总长，其中与点距离区域面层均匀，动摩擦因数恒定；区域动摩擦因数随到点的距离变化。质量的滑行小车（含乘员，视为质点）从点由静止下滑。在水平滑道距离点处（）固定弹性挡板，小车撞击挡板后原速率反弹。 定义：挡板置于处时，小车撞击挡板反弹后再次回到点的动能。实验测得图像如图所示，当时，图像为倾斜直线线段，当时，图像为开口向下的光滑抛物线（对应二次函数）线段，两线段在处相切。已知：，，。 数学知识：令二次函数，图像在某点的斜率值等于的导数值。 (1)求小车第一次滑到点时的动能； (2)求水平滑道段恒定动摩擦因数，以及段动摩擦因数的表达式； (3)若挡板固定在处，求小车最终静止的位置距点的距离的值。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）小车从到过程，由动能定理可知小车第一次滑到点时的动能 代入数据解得 （2）当时，图像的斜率 当挡板置于处时（），小车撞击挡板反弹后再次回到点的动能满足 由函数关系结合图像可知 解得 当时，图像为开口向下的光滑抛物线，说明抛物线在处的斜率等于左侧直线斜率，结合抛物线导数可知 将代入得 同时，将，及，代入二次函数 联立解得 对任意，小车从点到撞击挡板再返回点，由动能定理得 对两函数关于求导得 解得 （3）小车撞击挡板反弹后再次回到点的动能满足 若挡板固定在处，可知再次回到点时小车的动能 之后小车滑上斜面，上升的距离满足 代入数据解得 故小车从斜面再次回到点的动能 解得 小车再次撞击挡板的动能满足 因位置摩擦因数随线性变化，故为摩擦力的平均值，即 可知阶段，小车克服摩擦力做功为 代入解得 由于 可知反弹之后小车将滑回区域，剩余动能为 由动能定理可知，小车继续滑行的距离满足 解得 小车最终静止的位置距点的距离 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第9讲动能定理 内容导航 模型破解规范思维路径，强化科学遵辑 模型01.动能定理解决变力做功 模型02.动能定理与图像 模型03.圆周运动中的动能定理 模型04.动能定理处理往复运动及多过程问题 真题演练熟悉考试形式，提升实战能力 模型破解 模型01.动能定理解决变力做功 模型构建：不关注运动中间过程，只看初末动能，合功等于动能变化，是求解变力做功的核 心工具。 模型剖析： 合外力对物体所做的总功等于物体功能的变化量. 表达式：W合=mv22一mv2 适用范围： ①适用于恒力作用过程，也适用于变力作用过程 ②适用于物体做直线运动情况，也适用于物体做曲线运动情况。 ③研究对象既可以是单个物体，也可以是一个系统， ④既可以是针对运动过程中的某个具体过程，也可以是针对全过程。 【例1】如图甲所示，在水平面内有一足够长的水平轨道OP。可视为质点的A、B两小物块靠在一起， 静置于轨道左端。t=O时刻用一水平向右的推力F作用在A上，使A、B向右运动。F随t变化的图像如图 第1页共21页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 乙所示。已知A、B质量均为0.25kg,A与水平轨道间的动摩擦因数为0.2，B与水平轨道间的摩擦不计， 不计空气阻力，重力加速度大小取10m62。则下列说法正确的是（） 个FN immT →t/S 甲 乙 A.在t=2s时A与B分离 B.两物体分离瞬间B的速度大小为4m/s C.两物块分离前B的位移等于7m D.两物块分离前A对B的弹力做的功为4J 【变式1-1】中国内地G0A4级全自动无人驾驶线路已增至66条，全国无人驾驶地铁总里程数已超过 1000公里，覆盖超过20个城市，且无人驾驶技术已实现100%国产化。某无人驾驶地铁从静止沿水平直 线启动时加速度Q随位移X的变化如图所示，地铁及乘客的总质量为M,运动中受阻力大小为f,利用题 中数据可以求出地铁() a a X A.匀加速运动的时间为9 X1 2a0 B.运动中牵引力的最大值为Mao C.运动的最大速度为ax1+x2 D.加速过程中牵引力做的功为Ma,+fx 第2页共21页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】如图所示，用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时，先将拔塞钻旋入木塞内，随后下压把手， 使齿轮绕固定支架上的转轴转动，通过齿轮啮合，带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。从0时刻开始， 顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做加速度为a的匀加速直线运动，木塞所受摩擦力「随位移大小x的 变化关系为f=f01 其中f。为常量，h为圆柱形木塞的高，木塞质量为m底面积为S:齿轮半径为 r,重力加速度为g,瓶外气压减瓶内气压为△p且近似不变，瓶子始终静止在桌面上。求： 把手 齿轮 转轴 拔塞钻 固定支架 软木塞 瓶子 齿轮啮合 (1)木塞离开瓶口的瞬间，齿轮的角速度ω的大小： (2)画出摩擦力与位移图像，并求出拔塞的全过程，摩擦阻力对木塞做的功W: (3)拔塞钻对木塞做的功W; (④分析推导拔塞过程中，拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P随时间t变化的表达式。 模型02.动能定理与图像 模型构建：常见F-x、Ekx图像，F-x图线与位移轴围成面积表示力做的功。由动能定理， 合外力做功等于动能变化，△Ex)等于合外力对应F-x图像面积。Ekx图像斜率代表合外力 大小。解题先识别图像横纵坐标，利用面积求功，结合动能定理建立初末动能关系，注意正 负面积对应正负功。 模型剖析： 1.图像所围“面积”和图像斜率的含义 第3页共21页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F-x图线与横轴围成的面 F-x图像 依据W=Fx 积表示功 依据 [Ekx图像 Fx=Ex-Exo Ex图线的斜率表示合 外力 P-图像 依据W=Pt P-图线与横轴围成的面 积表示功 2.解决动能定理与图像问题的基本步骤 观察 观察题日给出的图像，弄清纵坐标、横坐标 图像 所对应的物理量及图线所表示的物理意义 导函 根据物理规律导出纵坐标与横坐标所对应的 数式 物理量间的函数关系式 根据函数关系式找出图线的斜率、截距、图 解答 线的交点、图线与横轴围成的面积所对应的 问题 物理意义，分析解答问题，或利用函数图线 上的特殊值代入函数关系式来求物理量 E人 Ep -WG=AEp=-mgh Ep=-mgh+Epo W合=△E=E一Ek0 k=-mg b=Epo Eko E Ek=F合x十Ep0 k=F合b=Ek0 h 【例2】（多选）中国内地G0A4级全自动无人驾驶线路已增至66条，全国无人驾驶地铁总里程数已超 过1000公里，覆盖超过20个城市，且无人驾驶技术已实现100%国产化。某无人驾驶地铁从静止沿水平 直线启动时加速度a随位移X的变化如图所示，地铁及乘客的总质量为M,运动中受阻力大小为f,利用 题中数据可以求出地铁() X 第4页共21页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.匀加速运动的时间为 2X1 B.运动中牵引力的最大值为MQo c.运动的最大速度为ax1+x2】 D.加速过程中牵引力做的功为MaX,+fx, 【变式21】（多选）地铁8号线是天津首条全线采用全自动无人驾驶的地铁线路，今年内就要正式开通。 地铁在启动时，加速度α随其位移x变化的图像大致如图所示，则列车在运行前450m的过程中() ←a/ms2) 200 450x/m A.运行200m时开始匀减速运动 B.运行200m时，速度达到20m/s C.从x=200m到x=450m之间的平均速度小于25m/s D.从x=200m到x=450m之间运行的时间等于10s 【变式2-2】如图(a),物块A置于水平传送带上，通过跨过光滑轻质定滑轮的轻绳与右边的物块B相 连。B通过轻绳与物块C相连，连接各物块的轻绳均处于拉紧状态且不可伸长，A与滑轮间的绳子与传送 带平行。传送带始终以恒定速率顺时针转动。用挡板P使A保持静止。t=O时，撤去挡板P,同时在A上 施加一水平外力F,A、B、C从静止开始运动。以x表示A离开初始位置的位移，F与x成正比关系，取 水平向右为F和x的正方向，变化关系如图(b)所示。A第一次向右运动过程中，其速度v随位移x的 变化关系如图(c)所示。当x=1m时，A与传送带共速。已知A、B质量分别为2kg、3kg,A与传送 带间的动摩擦因数小于1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小取10m/s2,A始终在传送带 上，B、C始终未与滑轮和地面相碰。 第5页共21页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FN 120 80 40 A -6-4- 246im 40 -80 -120f 0123456m 图(a) 图b) 图(c) (1)求A离开初始位置向右运动1m的过程中，F做的功： (2)求C的质量和A与传送带间的动摩擦因数； (3)当A第一次运动到x=6m时，剪断B、C间的绳子，A开始向左运动。求A第一次运动到最左端时相 对x=0位置的位移。 模型03.圆周运动中的动能定理 模型构建：圆周运动为曲线运动，向心力始终垂直速度不做功，只有重力、拉力、摩擦力等 切向力做功。用动能定理时，无需分析中间向心力，只计算所有力总功，等于动能变化。常 取最高点、最低点作为初末状态列式。竖直圆周问题中重力做功只看高度差，注意摩擦力做 功是路程乘以力，不是位移。 模型剖析： 1.绳模型 第6页共21页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 绳类模型 模型分析：绳子只能提供拉力 运动分析：在最高点A时，重力和拉力的合力提供向心力 UA F.=mg+T=mua? mg T 通过最高点的临界条件： 重力提供向心力：mg=mwA2 TA=0vA临=VgT 运动分析：在最低点B时，重力和拉力的合力提供向心力 Fn=TB-mg= mvp2 拓 恰能过最高点临界状态对应的B点的状态： 展 根据动能定理： VB=V5gr 应 2mvA2=mg2r 用 mUB2 Ta= +mg TB=6mg 第7页共21页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 外轨道模型： 模型分析：外规只能提供指向圆心的力（类似于拉力） y 运动分析：在最高点A时，重力和拉力的合力提供向心力 E.=mg+FN=mvA 通过最高点的临界条件： vA临=VgT 重力提供向心力：mg=mw TA=0 运动分析：在最低点B时，重力和拉力的合力提供向心力 B 拓 Fn=FNB-mg= mvg2 r 展 恰能过最高点临界状态对应的B点的状态： 1 应 根据动能定理： 2mvn-m-mg2r vB=V5gr 用 FNB= mun+mg FNB=6mg 不脱离轨道的临界问题状态： 1.物体能做完整的圆周运动 VB-V5gr 2.物体运动的最大高度不超过圆心高度 根据动能定理： 2mwg2、mgr vB、V√2gT 2.杆模型 第8页共21页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型分析： 杆可以提供拉力和支持力 杆类模型 运动分析：在最高点A时，重力，拉力或支持力的合力提供向心力 ”Vgr,提供向下Rx,:R.=mg十T=mw ”Vgr,提供向上R：R.=mg一FN=mw2 通过最高点的临界条件：v=0,支持力Fw=mg 向心力为0：vA临=0 运动分析：在最低点B时，重力和拉力的合力提供向心力 UB Fn=TB-mg= mvp2 B 拓 恰能过最高点临界状态对应的B点的状态： 展 2mun-2mua-mg2r 1 根据动能定理： vB=V4gr 应 Te=mvp2 mg Te=5mg 用 模型分析：管可以提供指向圆心和背离圆心的力 管类模型 运动分析：在最高点A由重力、指向或背离圆心的压力来提供向心 FNA ”Vgr,提供向下R:R=mg+wA,=mw r ”Vgr,提供向上：R,=mg-FN4L=mwA2 通过最高点的临界条件：v=0,支持力Fw=mg 向心力为0：v4临=0 运动分析：在最低点B时，重力和支持力的合力提供向心力 E.-ENB,-mg=mvg VB B 拓 恰能过最高点临界状态对应的B点的状态： 展 1 根据动能定理： 2nvg2、 1 2mva2=mg2r vB=V4gr 应 FND =mvn2 -+mg 用 r FNB-5mg 中 一= 第9页共21页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例3】某滑板爱好者沿着半径R=5m的光滑圆弧轨道AB下滑，B点切线水平且离地高h=1.8m,水平 离开B点后落在水平地面的C点，其水平位移S1=3m,已知人与滑板的总质量m=60kg。滑板与地面 摩擦因数μ=0.1，忽略空气阻力，g=10m/s2。求： D (1)人与滑板离开平台时的水平初速度大小： (2)人与滑板经过B时对轨道的压力： 竖直速度突变为0，水平方向速度减为原来羊，求人与滑板在水平地面滑行的6 【变式31】如图所示，在水平桌面上离桌面右边缘x=3.2m处放着一质量为m=0.1kg的小铁块（可看 作质点)，铁块与水平桌面间的动摩擦因数μ=02。现用方向水平向右的推力F作用于铁块到达水平桌 面边缘A点时立即撤去F,小铁块从A点飞出，恰好从竖直圆弧轨道BCD的B端沿切线进入圆弧轨道做 圆周运动，铁块以Vc=5ms的速度经过圆弧轨道最低点C。已知0=37°，A、B、C、D四点在同一竖直 平面内，水平桌面离B端的竖直高度H=0.45m,圆弧轨道半径R=0.5m,C点为圆弧轨道的最低点。 (取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2) 3.2m 0.45m (1)求此时铁块对圆弧轨道的压力大小Fc; (2)求铁块运动到B点时的速度大小VB: (3)求水平推力F的大小。 第10页共21页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式32】如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O 转动，另一端与质量为的小球相连。小球以水平初速度出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在 运动过程中，小球所受摩擦力的大小为() A.mvo2 B.mvo2 C.mvo2 D.mvo 2πL 4πL 8πL 16πL 模型04.动能定理处理往复运动及多过程问题 模型构建：多过程、往复运动不必分段列牛顿定律，全程使用动能定理，只关注初末状态动 能。重力做功只看初末高度差，摩擦力做功与路程相关而非位移。把各个阶段所有力做功代 数相加等于动能变化。往复问题常存在物体最终静止的临界状态，末动能为零，据此列方程 求解总路程。 模型剖析： 一.分析思路 (1)受力与运动分析： 根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的变化情况： 2)做功分析： 根据各种力做功的不同特点，分析各种力在不同运动过程中的做功情况： (③)功能关系分析： 运用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律进行分析，选择合适的规律求解. 二.方法技巧 (1)“合”一一 整体上把握全过程，构建大致的运动情景： (2)“分”一一将全过程进行分解，分析每个子过程对应的基本规律： 第11页共21页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)“合”一一找出各子过程之间的联系，以衔接点为突破口，寻求解题最优方案 三往复运动多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功 其做功的特点是与路程有关，由于多次往复，运用牛顿运动定律及运动学公式往往无法求解，但由 于动能定理只涉及运动的初、末状态，所以用动能定理分析这类问题可使解题过程简化， 【例4】如图所示，一段粗糙的倾斜轨道，在B点与半径R=0.5m的光滑圆弧轨道BCD相切并平滑连接， CD是圆轨道的竖直直径，OB与OC夹角0=53°。将质量为m=1kg的小滑块从倾斜轨道上的A点由静止 释放，AB=s,小滑块与倾斜轨道间的动摩擦因数μ=0.5。sin53°=0.8，cos53°=0.6，g=10m/s2。 求： A D B (1)若s=2m,小物块第一次经过B时的速度大小： (2)若s=2m,小物块第一次经过C点时对轨道的压力大小： (3)若物块能沿轨道到达D点，求AB的最小值s。 【变式41】如图所示，物块与轨道各处的动摩擦因数μ均相同，第一次物块从左侧高h1处的A点由静止 滑下，经过一段水平轨道，滑上右侧倾角为1的轨道1，滑到高为h2的B点时速度降为0.将轨道1改成 倾角为日2的轨道2，已知62<日1，轨道2和轨道1的交点恰是B点。第二次物块仍从左侧轨道的A点由静 止滑下滑上右侧的轨道2，则() B 2 A.物块从高为h的A处滑下，仍能滑到高为h2的B点 B.物块从高为h1的A处滑下，能够滑过高为h2的B点 第12页共21页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.物块从高为h1的A处滑下，不能滑到高为h2的B点 D.由于不知道2、的具体数值，无法判定 【变式42】如图所示，小球以初速度Vo从A点沿不光滑的轨道运动到高为的B点后返回，其返回途中 仍经过A点，小球经过轨道连接处无机械能损失，且小球再次经过A点时的速度大小为初速度V的三分 之一，不计空气阻力，重力加速度为9，则() B h Vo -·-mt Ah=56 3哈 B.h= c.h=5,☐ D.h=3,☐ 18g 18g 9g 9g 真题演练 1.如图甲所示，固定斜面的倾角为0，以O为原点、沿斜面向下为正方向建立x轴，A、B点的坐标分别为 x-d、x=3d。质量为m的滑块由O点静止释放，恰好能运动到B点，滑块与斜面间的动摩擦因数u随坐 标x的变化的图线为倾斜直线，如图乙所示。重力加速度大小为g,下列说法正确的是() 77 7 B 0 3d 甲 A.滑块进入AB段立即做减速运动 B.滑块经过A点时重力的功率为mgV2 gd sin0 第13页共21页 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.B点处的动摩擦因数您=2tan8 D.滑块从x,=2 乙d处由静止释放可以到达x三d处 分层练测 【基础夯实】 2.如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面abcd,其中ab段为平直上坡路 面，bc段为水平路面，Cd段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列 说法正确的是() &号0mm7mm》 A.在每段路面汽车的输出功率各保持不变 B.汽车在ab段克服摩擦阻力的功率最大 C.在ab段合外力对汽车所做功的功率最大 D.汽车在bC段的输出功率最小 3.如图所示，在水平雪地上，质量为30kg的小孩躺在10kg的雪橇上，大人用与水平方向成45°角、大小为 40N的拉力拉雪橇，使雪橇从静止开始以0.5m/s的加速度做匀加速直线运动，在前进2s的过程中 () 459 A.摩擦力做功为-20V2J B.大人对雪橇和小孩做功为40J C.外力对雪橇和小孩所做总功为20只2J D.大人对雪橇和小孩做功的平均功率为102W 第14页共21页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(多选)如图所示，劲度系数为k的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端与置于水平面上质量为m的物体接 触（未连接），弹簧水平且无形变。用水平力F缓慢推动物体，在弹性限度内弹簧长度被压缩了X,此时 物体静止。撤去F后，物体开始向左运动，运动的最大距离为4X,物体与水平面间的动摩擦因数为μ， 重力加速度为9，则() E,☐L000000 77777777777777777777 A.撤去F后，物体先做匀加速运动，再做匀减速运动 B.撒去F后，物体刚运动时的加速度大小为k+4g m C.弹簧被压缩了xo时具有的弹性势能为4mgXo D.物体开始向左运动到速度最大的过程中克服摩擦力做的功为，m 'umgxo-mg k 5.(多选)如图所示，长为L的杆一端固定在过O点的水平转轴上，另一端固定质量为的小球.杆在电 动机的驱动下在竖直平面内旋转，带动小球以角速度ω做匀速圆周运动，其中A点为最高点，C点为最低 点，B、D点与O点等高。己知重力加速度为g,下列说法正确的是() D B A.小球运动到任意位置时，所受合力指向圆心O B.小球在A、C两点受到杆的作用力大小的差值为6mg C.小球在B、D两点受到杆的作用力大小等于moL D.小球从A点到C点的过程，杆对小球做的功等于-2mgL 6.(多选)由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示。 已知图中虚线为不考虑空气阻力时炮弹的运动轨迹，O、a、b、、d为“弹道曲线”上的五点，其中O 为发射点，d为落地点，b为轨迹的最高点，、c两点距地面的高度相等，且空气阻力可认为与速度平方 成正比。则() 第15页共21页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抛物线 a 弹道曲线 d A.炮弹到达b点时速度为0 B.炮弹由b点到d点的过程中加速度逐渐变小 C.炮弹由a点到b点的时间一定小于由b点到c点的时间 D.炮弹经过d点时的动能一定大于经过a点时的动能 7.如图，为双层立体泊车装置示意图。欲将静止在1号车位的轿车移至4号泊车位，需先通过1号车位下方 的移动板托举着轿车竖直抬升h至3号位，再水平右移L停至4号车位。两次移动过程中，轿车均从静止 先加速再减速至静止。轿车质量为，重力加速度为9，车与托板动摩擦因数μ。下列说法正确的是 () ① ② A.移动板对车的支持力与车的重力是相互作用力 B.水平右移过程中，移动板对车的摩擦力做功为mgL C.整个过程中，移动板对车做的总功为0 D.竖直抬升过程中，移动板对车的支持力做功为mgh 【培优拔高】 8. (多选)如图所示是网球发球机，某次室内训练时从距地面一定的高度向竖直墙面发射完全相同的网球。 假定网球水平射出，某两次射出的网球碰到墙面时速度方向与水平方向夹角分别为30°和60°，若不考虑 网球在空中受到的阻力，则() 309 出球口 609 777777/ 第16页共21页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.两次发射的初速度之比为3,1 B.碰到墙面前在空中运动时间之比为1，V3 C.下降高度之比为13 D.碰到墙面时动能之比为1,1 9.(多选)如图1所示，“冰坑挑战”需要挑战者先进入一个坡面与水平面夹角为、半径为R的倒圆锥形 冰坑，然后尝试从其中离开。 方式甲一一挑战者沿着如图2甲所示坡面向上走或爬的方式，很难离开冰坑，通常还是会滑回坑底。 方式乙一一挑战者沿着如图2乙所示的螺旋线方式跑动多圈后，最终可以成功离开冰坑。 已知挑战者的质量为，其与冰面的动摩擦因数为μ，重力加速度为9。为了讨论方便，假定滑动摩擦力 与最大静摩擦力大小相等；方式乙中人的跑动半径”缓慢增大，每一圈的轨迹都可近似为与水平地面平行 的圆。下列说法正确的是() R 甲正视图 乙俯视图 图1 图2 A.方式甲中，若挑战者滑回坑底，一定满足关系式μ<tan8 B,在方式甲和方式乙中，挑战者受到的最大静摩擦力大小相同 C.在方式乙中，挑战者每圈的最小速度大小为gr tan0 D.在方式乙中，挑战者离开冰坑做的功一定大于ngR tan0 10.（多选)电动平衡车是一种新型的交通工具，通过人工智能实现车辆的启动、加速、减速、停止等动作。 图甲为某型号电动平衡车，人站在平衡车上沿水平直轨道由静止开始运动，其V-t图像如图乙所示（除 3~9s时间段图线为曲线外，其余时间段图线均为直线)。已知人与平衡车质量之和=60kg,在3s后 功率恒为P=360W,且整个骑行过程中所受到的阻力不变，结合图像的信息，下列说法正确的是 () ◆v/(m's) 上1上 02468101214ts 甲 乙 第17页共21页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.平衡车运动过程中受到的阻力大小为120N B.0~3s时间内，平衡车的牵引力大小为120N C.0~14s内平衡车的位移大小为57m D.0~14s内平衡车的位移大小为52.5m 11.如图所示，滑块以初速度V滑上表面粗糙的固定斜面，到达最高点后又返回到出发点。能大致反映滑块 整个运动过程中速度V、加速度α、动能Ek、重力对滑块所做的功W与时间t或位移x关系的是（取初速度 方向为正方向)() V0 a 0 -a2 -a1 B D 12.(多选)一辆汽车在水平路面上由静止开始启动，在前5S内做匀加速直线运动，5S末达到额定功率，之 后保持额定功率运动，20s末达到最大速度，其v-t图像如图所示。已知汽车的质量为m=2×10kg, 1 汽车受到的阻力大小恒定且为车重力的0g取10m/s,则() 第18页共21页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个v/(ms) 10- 05 20 A.汽车在前5s内受到的阻力大小为2000N B.前20s内的位移为75m C.汽车的额定功率为40kW D.汽车的最大速度为30m/s 13.如图甲，某水电站建筑工地用发动机沿倾斜光滑轨道将建材拉到大坝顶上，已知轨道的倾角日=37°。某 次从大坝底端向上拉建材的过程中，发动机所做的功与位移的关系如图乙所示。图乙中X<6m时图线为 直线，当x=6m时发动机达到额定功率，此后保持该功率不变，6m<x<18m对应的图线为曲线；当 x=18m时建材达到最大速度，x>18m时图线为直线。已知建材的质量m=100kg,sin37°=0.6， cos37°=0.8。则() 个W万 、B 发动机 p口 5400----/A 。 02468101214161820xm 甲 乙 A.发动机的额定功率为5400W B.建材能达到的最大速度为6m/s C.x=18m时，发动机做的总功为16200J D.建材在前6s做匀加速运动，加速度大小为3m/s2 14.如图所示，半径为R的四分之一竖直圆轨道AB、水平传送带、倾角为0=37°的斜面CD、圆心角也为0且 半径为「的竖直圆轨道DE以及水平轨道EF平滑相切连接，一弹性挡板竖直固定在F点。传送带始终沿顺 时针方向转动，转动速率V大小可调。一质量为m=1kg的小滑块从圆轨道AB的圆心等高处A点静止释放， 与弹性挡板发生碰撞后将以等大速度反向弹回。已知滑块运动过程中始终不脱离轨道，R=5m,r=2m, 第19页共21页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 传送带长0m,轨道EF长0,5m,斜面CD长为w名m,滑块与传送带间的动摩擦因邀 41=0.5,与轨道EF间的动摩擦因数42=0.2，其余轨道的摩擦均不计，忽略空气阻力，重力加速度g取 10m/s2,sin37°=0.6。求： Am R D B (1)滑块第一次经过圆轨道最低点B时对轨道的压力大小： (2)滑块能够不脱离轨道顺利到达E点，求传送带速率V的范围； (3)滑块最终停在F点，求传送带速率V的可能值。 15.某运动馆设有滑行滑道，由倾斜滑道AB和水平滑道BC平滑连接。倾斜滑道AB长LAB=20m,倾角 0=37°，小车在斜面上滑行的动摩擦因数恒定41=0.25。水平滑道BC总长10m,其中与B点距离X≤5m 区域面层均匀，动摩擦因数恒定；5m<X≤10m区域动摩擦因数随到B点的距离x变化。质量m=60kg 的滑行小车（含乘员，视为质点）从A点由静止下滑。在水平滑道距离B点X处(0<x≤10m)固定弹性 挡板，小车撞击挡板后原速率反弹。 ↑E(x)灯 3000 挡板 600 07 B 0 10x/m 定义E,x:挡板置于x处时，小车撞击挡板反弹后再次回到B点的动能。实验测得E,Xx图像如图所 示，当0<x≤5m时，图像为倾斜直线线段，当5m<x≤10m时，图像为开口向下的光滑抛物线（对应 二次函数)线段，两线段在x=5m处相切。已知：sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2。 数学知识：令二次函数y=ax+bx+c,图像在某点的斜率值等于y的导数值。 lim△y y=4x-01 -=2ax+b △X (1)求小车第一次滑到B点时的动能Ek0: 第20页共21页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②求水平滑道05m段恒定动摩擦因数μ，：以及5m<X≤10 段动摩擦因数4的表达式： (3)若挡板固定在x=6m处，求小车最终静止的位置距B点的距离d的值。 第21页共21页