第7讲 竖直面内圆周运动模型（讲义）-【划重点】2025-2026学年高一下学期期中期末物理复习（人教版必修第二册）

第7讲 竖直面内的圆周运动模型 ——划重点之复习强化精细讲义系列 知识点1 绳球模型 知识点2 杆球模型 知识点3 拱形桥模型 知识点4 复合模型（竖直面内圆周运动与平抛运动的组合） 知识点1：绳球模型 1.模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑（如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等），称为“轻绳模型”；二是有支撑（如球与杆连接，小球在弯管内运动等），称为“轻杆模型”。 “轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生 ，而“轻杆”既可对小球产生 也可对小球产生 。 2.竖直面内圆周运动的求解思路 第一步，定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。 第二步，确定临界点：v临＝，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点。 第三步，受力分析：对物体所在位置进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程F合=F向。 第四步，过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。 3.绳球模型 绳球模型 常见类型 均是没有支撑的小球 最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 讨论分析 (1)过最高点时，v≥，根据牛顿第二定律 ，绳、轨道对球产生弹力FN (2)当v＜时，不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (3)在最高点的FN－v2图线 结合机械能守恒（第八章学习）分析 【针对练习1】（25-26高一下·安徽芜湖·期中）如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为的小球，在竖直面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示，则下列说法错误的是（　　） A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为 C．当时，轻质绳最高点拉力大小为 D．若小球在最低点时的速度，小球运动到最低点时绳的拉力为 【针对练习2】（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）如图所示，桌面上放置一内壁光滑的固定竖直圆环轨道，质量为，半径为。可视为质点的小球在轨道内做圆周运动，其质量为，小球在轨道最高点的速度大小为，重力加速度为，不计空气阻力，则（　　） A．当时，轨道对小球的弹力为 B．当时，轨道对桌面的压力为 C．小球做圆周运动的过程中，合外力始终指向圆心 D．小球在轨道最高点处于超重状态 【针对练习3】（多选）（25-26高一下·天津河西·期中）太极球是大家比较喜爱的一种健身器材。一健身者用球拍托住质量为m的太极球，使其在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，轨迹如图所示。图中的A、B两点分别为圆周运动的最高点和最低点，C、D两点与圆心等高，重力加速度为g。若在A点时球拍对太极球的弹力大小为mg，不计空气阻力，则（　　） A．太极球所受合外力始终不变 B．运动到B点时，球拍对太极球的弹力大小为3mg C．太极球在C点受到重力、弹力和向心力的作用 D．太极球运动到D点时的速度大小为 知识点2：杆球模型 杆球模型 常见类型 均是有支撑的小球 过最高点的临界条件 v临＝ 讨论分析 (1)当v＝0时，FN＝ ，FN为支持力，方向： 。 (2)当0＜v＜时，根据牛顿第二定律： ，FN方向： ，随v的增大而减小。 (3)当v＝时，FN＝ 。 (4)当v＞时，根据牛顿第二定律： ，FN方向： ，随v的增大而增大。 (6)在最高点的FN－v2图线 结合机械能守恒（第八章学习）分析 【针对练习4】（25-26高一下·北京丰台·期中）如图甲所示，轻杆的一端固定一小球（可视为质点），另一端套在光滑的水平轴O上，水平轴的正上方有一速度传感器（图中未画出），可以测量小球通过最高点时的速度大小v，水平轴O处有一力传感器（图中未画出），可以测量小球通过最高点时水平轴受到的杆的作用力F，若取竖直向下为F的正方向，让小球以不同的速度通过最高点，得到图像如图乙所示，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．轻杆的长度为2.0m B．小球的质量为2.5kg C．若小球通过最高点时的速度大小为5m/s，则小球受到的合力为20N D．若小球通过最高点时的v2为50m2/s2，则轻杆对小球的作用力大小为40N，方向竖直向下 【针对练习5】（25-26高一下·浙江舟山·期中）如图所示，质量为0.5 kg、半径为1 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，质量为1 kg的小球A（可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径），在圆管中做圆周运动，某时刻小球A运动到圆管最高点，速度大小为3 m/s，重力加速度g取，则此时杆对圆管的弹力为（　　） A．6 N B．4 N C．14 N D．15 N 【针对练习6】（多选）（25-26高一下·北京延庆·期中）如图所示，一个小球固定在长为R的轻直杆的一端，球随杆一起绕O点在竖直平面内做圆周运动，忽略一切阻力。则（　　） A．小球经过最高点时的最小速度为 B．小球经过最高点时一定受到杆的支持力 C．小球经过最低点时杆对球的作用力一定大于球受到的重力 D．小球经过最高点时杆对球的作用力可能等于球受到的重力 知识点3：拱形桥模型 拱形桥 圆轨外侧 凹形桥 示意图 分析 最高点(失重),有,有以下规律： (1)当v=0时，即汽车静止在最高点，FN = ; (2)当汽车的速度增大到满足，即时，FN= ,汽车在桥顶只受重力G,又具水平速度v,因此开始做 运动； (3)当时，满足 ，所以0≤FN≤mg,且速度v越大，FN越 ； (4)当时，汽车将脱离桥面，将在最高点做 运动，即所谓的“飞车”; (5)若物体从最高点由静止无摩擦下滑，离开球面时的位置所在球面半径与竖直方向夹角满足 最低点(超重),有有以下规律： (1)当v =0时，即汽车静止在最低 点，FN = ; (2)当汽车的速度v≠0时，FN ＞ G,且速度v越大，FN越 【针对练习7】（25-26高一下·河南信阳·期中）石拱桥作为中国传统桥梁四大基本形式之一，承载着千年营造智慧。假设某拱形桥为圆的一部分，半径为R=40m。一辆质量为m=200kg的汽车以恒定速率v=10m/s匀速通过该桥，Q点为该拱形桥的最高点，g取10m/s2。则（　　） A．汽车通过拱形桥时的角速度大小为 B．向心加速度大小为25m/s2 C．汽车通过最高点时桥对汽车的力为1500N D．汽车通过最高点时汽车对桥的力竖直向上 【针对练习8】（25-26高一下·广东佛山·期中）现代公路修路时过十字路口有两种方式，天桥和隧道。一辆质量为m的汽车通过拱形天桥最高点的速率为v桥面的圆弧半径为R，重力加速度为g，则汽车在拱形桥最高点时对桥面的压力大小为F1，同样的车同样的车速过凹形地下隧道最低点，圆弧半径也为R，压力大小为F2；两力压力差的大小是（　　） A． B． C． D． 【针对练习9】（25-26高一下·陕西商洛·期中）如图所示，质量的汽车以一定的速率驶过凸形桥面的顶部，桥面的圆弧半径为10 m。g取10 m/s2。 (1)若汽车以5 m/s的速率驶过凸形桥面的顶部。求汽车对桥面的压力大小； (2)若汽车通过拱桥最高点时刚好腾空飞起，求汽车此时的速率； (3)如果凸形桥面的半径增大到与地球半径一样，汽车通过凸形桥面最高点时刚好腾空飞起，速度要多大；（已知地球半径约为6400 km） 知识点4：复合模型（竖直面内圆周运动与平抛运动的组合） 1.模型简述 此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动；有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题形式考查。 2.方法突破 （1）竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。[来源:学科网ZXXK] （2）速度是联系前后两个过程的关键物理量。 3.解题关键 （1）明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。 （2）平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。 （3）速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。 【针对练习10】（25-26高一下·北京石景山·期中）一个半径的圆弧轨道固定在竖直平面内，其下端切线是水平的，轨道下端距地面高度。一质量的小物块（视为质点）由圆弧轨道顶端A点从静止开始释放，运动到轨道最低点B时，水平飞出，其落到水平地面时的水平位移。忽略空气阻力，重力加速度，求 (1)物块离开圆弧轨道最低点水平飞出时的速度大小； (2)物块滑到圆弧轨道最低点B时对轨道压力大小F； (3)物块落地时的速度大小和方向。 【针对练习10】（25-26高一下·海南儋州·期中）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。球飞行水平距离d后落地，如图所示，已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。试求： (1)球落地时的速度大小； (2)绳子能够承受的最大拉力为多大； (3)如果不改变手离地面的高度，改变绳子的长度，使小球重复上述的运动。若绳子仍然在小球运动到最低点时断掉，要使小球抛出的水平距离最大，则绳子长度L应为多少，小球的最大水平距离x为多少？ 【针对练习11】（25-26高一下·天津·期中）如图甲所示，一个质量为的足球静止在圆形水泥管道最低点，一小学生以一定的水平速度将球踢出，足球沿管道内壁在同一个竖直面内运动，第一次通过管道最高点后又转了不到一圈，从某一位置脱离管道，如图乙，球恰好掉入小学生的背包里（背包口正好在管道圆心处）。已知管道半径为，重力加速度为，不计空气阻力，足球可以看作质点。 (1)若足球第一次经过管道最高点时的速度大小，求此时管道对足球的弹力大小； (2)如图丙，设管道的圆心为，足球脱离管道的位置为，连线与水平方向夹角为，求夹角的正切值； (3)求足球脱离管道时的速度的大小。 一、单选题 1．（25-26高一下·广西玉林·期中）路面的坑洼不平是导致轮胎爆胎的常见原因之一，路面简化为如图，正确的是（　　） A．车辆上下颠簸过程中，某些时刻处于超重状态 B．爆胎的原因是不同路面的动摩擦因数不同 C．车辆若以相同的速率通过A、B两点，在行驶通过A点时更易爆胎 D．车辆通过凹凸路面时，应该加速通过 2．（25-26高一下·广东广州·期中）气嘴灯安装在自行车的气嘴上，骑行时会发光，一种气嘴灯的感应装置结构如图所示，一重物套在光滑杆上，与一端固定的弹簧栓接，当车轮转动的角速度达到一定值时，重物拉伸弹簧后使触点M、N接触，从而接通电路使气嘴灯发光。下列说法正确的是（　　） A．正确安装使用时，M端的线速度比N端的大 B．气嘴灯运动至最低点时处于失重状态 C．要在较低的转速时发光，可以更换劲度系数更小的弹簧 D．气嘴灯做圆周运动时，重物受到重力、弹力和向心力的作用 3．（25-26高三上·河北·月考）在公路通过小型水库泄洪闸的下游时常常要修建凹形路面，也叫“过水路面”。有一凹形路面可看成半径为的圆弧，最大承载力为，重力加速度大小为，则质量为的小轿车通过路面最低点的最大速度为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·辽宁·期中）如图所示，当汽车（可视为质点）通过圆弧形凹桥最低点的速度为v时，汽车对桥的压力大小是自身重力大小的3倍，当该车通过该桥最低点的速度为2v时，汽车对桥的压力大小为该车自身重力大小的（　　） A．6倍 B．9倍 C．12倍 D．15倍 5．（25-26高一下·山东菏泽·期中）一长为l的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，重力加速度为g。则（    ） A．小球运动到最高点时，杆对小球的作用力大小为，方向沿杆指向圆心 B．小球运动到水平位置M点时，杆对小球的作用力大小为，方向沿杆指向圆心 C．小球运动到水平位置N点时，杆对小球的作用力为，方向沿杆指向圆心 D．小球运动到最低点时，杆对小球的作用力大小为，方向沿杆指向圆心 6．（25-26高一下·浙江·期中）如图所示，一辆汽车驶上一座弧形的拱桥，当汽车以30m/s的速度经过桥顶时，恰好对桥顶没有压力。若汽车以10m/s的速度经过桥顶，则汽车自身重力与汽车对桥顶的压力之比为（　　） A．8∶9 B．9∶8 C．3∶1 D．1∶3 7．（25-26高一下·北京·期中）如图所示，不可伸长的轻质细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉子A，小球从某一位置（细绳处于拉直状态），由静止释放后摆下，不计空气阻力和细绳与钉子相碰时的能量损失。下列说法中正确的是（　　） A．当细绳与钉子碰后的瞬间，小球的线速度不变 B．当细绳与钉子碰后的瞬间，小球的角速度不变 C．当细绳与钉子碰后的瞬间，小球的向心加速度突然变小 D．在细绳与钉子相碰时，钉子的位置越远离小球，绳就越容易断 8．（25-26高一下·四川成都·期中）如图，一半径为R、质量为M的半圆形碗静止在水平地面上。一质量为m的小滑块从碗的边缘无初速度释放，小滑块第一次滑到碗最底端时的速率为v，小滑块与碗间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，碗始终静止。则小滑块第一次滑到碗最底端时，碗受到水平地面的摩擦力大小为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）如图甲所示，一轻杆一端固定在光滑转轴上的O点，另一端固定一质量为m的小球，小球在竖直平面内绕O点做圆周运动。某同学通过传感器记录了小球在最高点时，轻杆对小球的作用力大小F与小球速度平方v2的关系，如图乙所示。已知重力加速度g。纵轴交于点（0，b），与横轴交于点（a，0），且经过点（c，2 mg）（“c”未画出）。根据图像，下列说法正确的是（　　） A．杆的长度（圆周半径）为 B．当v2=a时，小球处于完全失重状态 C．该图像中a、c数值关系满足a：c=3：1 D．若v2=2a，则杆对小球的作用力大小为b，方向竖直向上 10．（25-26高一下·广东·期中）如图所示，固定在水平桌面上的细圆管轨道由半圆形轨道和直线轨道组成（的半径，比细圆管内径大得多），轨道内壁光滑。弹射装置将一质量的小球（可视为质点）以某一水平速度从A端弹入轨道，经一段时间，从D端离开轨道后做平抛运动，落地点F离D端的水平距离，D端距地面的高度，不计空气阻力，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．小球离开D端时的速度大小为3，落地时的速度大小为8 B．小球在段运动时的向心加速度大小为1 C．小球在段运动的过程中受到轨道的作用力大小为3N D．若仅将段的半径增大至6m，小球从D端离开后飞行的水平距离不变 11．（25-26高一下·北京延庆·期中）如图甲所示，一长为R的轻绳，一端系在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动，小球通过最高点时，小球速度的平方v2与绳对小球的拉力F的关系图像如图乙所示，已知图线与纵轴的交点坐标为a，下列说法正确的是（　　） A．利用该装置可以得出重力加速度，且 B．根据题中条件无法求出小球通过最高点时的最小速度 C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大 D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线与纵轴的交点坐标变大 二、多选题 12．（25-26高一下·陕西宝鸡·期中）天津之眼坐落在天津市红桥区海河畔，是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功用。摩天轮的直径为，正常工作时，能以恒定的角速度在竖直面内做匀速圆周运动，质量为的游客坐在轿厢的座椅上，随摩天轮共同转动，重力加速度为，已知摩天轮的角速度为，整个过程，轿厢内的座椅始终保持水平，游客与座椅始终保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A．整个过程，游客始终受到静摩擦力的作用 B．座椅受到游客的最大压力与最小压力的差为 C．游客和座椅间动摩擦因数的最小值为0.25 D．游客在与圆心等高处所受座椅的作用力为 13．（25-26高一下·湖北·期中）近日，长春第一冰锅火爆出圈，吸引全国越野爱好者打卡挑战。冰锅为半径的用冰砖打磨的球面，一质量为，可视为质点的汽车从冰锅边缘驶下，到达锅底的速率为，重力加速度取，则（　　） A．汽车在锅底受到的支持力大小为 B．汽车在锅底受到的支持力大小为 C．汽车在锅底的向心加速度大小为 D．汽车在锅底的向心加速度大小为 14．（25-26高一下·山西晋中·期中）如图甲所示、长为的轻杆一端固定在点，另一端固定一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小、杆对小球作用力的大小，作出与的关系图线如图乙所示。下列说法中正确的是（　　） A．根据图线可以得出小球的质量 B．根据图线可以得出重力加速度大小 C．根据图线可以得出 D．用质量更大的小球做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变 15．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图所示，四分之一圆弧与半圆弧在点平滑连接，固定放置在竖直面内，为两圆弧的最低点，且点的切线水平，现让质量为的小球（视为质点）从点进入圆弧轨道，运动到点时速度大小为。已知、两圆弧均光滑，半径分别为、，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．小球在通过点前后的瞬间，线速度大小改变 B．小球在通过点前后的瞬间，角速度的变化量为 C．小球在通过点前后的瞬间，轨道对其支持力大小之比为 D．小球能通过点的最小速度大小为 三、解答题 16．（25-26高一下·湖北黄冈·期中）高速转动的物体若重心偏离转轴，会产生偏心振动，转轴将承受较大作用力。手机偏心轮振动马达即利用此原理制成，其结构如图所示，将质量分别为、5m的小球A、B固定在轻杆两端，使轻杆围绕位于其中点的转轴O在竖直平面内匀速转动，转动角速度。已知杆长为2L，重力加速度为g，不计一切阻力，当轻杆转动至图示竖直状态时，求： (1)A球向心加速度的大小； (2)轻杆对A球的作用力和轻杆对B球的作用力的大小之比； (3)当轻杆转动至水平状态时轻杆对A球的作用力大小。 17．（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图所示，半径的光滑半圆轨道固定在竖直平面内，轨道底端与水平地面相切于点，一倾角的斜面紧靠点固定于水平地面上。一小球在点获得瞬时速度后沿半圆轨道向上运动，从轨道最高点水平飞出，最终落到斜面上的点（未画出）。已知，，g取10 m/s2。 (1)若小球能沿半圆轨道运动到最高点，求小球在点的最小速度； (2)若小球在点以最小速度飞出，求小球从点运动到点所用的时间； (3)若小球垂直落到斜面上，求落点到点的距离。 18．（25-26高一下·河南漯河·期中）如图所示水平面上，左侧固定一倾角未知的斜面体，右侧固定另一倾角为的斜面体，一半径未知的光滑半圆轨道与右侧的斜面体底端平滑衔接，为半圆轨道的最高点。可视为质点的小物体由斜面体上的点以初速度沿斜面向上滑动，离开点瞬间的速度大小为，经过一段时间无碰撞地由点滑上右侧斜面体，最终物体平滑地进入竖直半圆轨道，物体刚进入半圆轨道瞬间对轨道的压力大小为物体重力的6倍，且物体在半圆轨道的最高点对轨道刚好没有作用力，最终物体落在水平面上（忽略落地后的反弹）。已知点到点的距离为，右侧斜面体的长度为，，，重力加速度取。忽略一切摩擦。求： (1)左侧斜面体倾角的大小； (2)、两点的水平间距； (3)物体落在水平面上的点到点的距离。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 竖直面内的圆周运动模型 ——划重点之复习强化精细讲义系列 知识点1 绳球模型 知识点2 杆球模型 知识点3 拱形桥模型 知识点4 复合模型（竖直面内圆周运动与平抛运动的组合） 知识点1：绳球模型 1.模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑（如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等），称为“轻绳模型”；二是有支撑（如球与杆连接，小球在弯管内运动等），称为“轻杆模型”。 “轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。 2.竖直面内圆周运动的求解思路 第一步，定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。 第二步，确定临界点：v临＝，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点。 第三步，受力分析：对物体所在位置进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程F合=F向。 第四步，过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。 3.绳球模型 绳球模型 常见类型 均是没有支撑的小球 最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 讨论分析 (1)过最高点时，v≥，根据牛顿第二定律FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN (2)当v＜时，不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (3)在最高点的FN－v2图线 结合机械能守恒（第八章学习）分析 【针对练习1】（25-26高一下·安徽芜湖·期中）如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为的小球，在竖直面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示，则下列说法错误的是（　　） A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为 C．当时，轻质绳最高点拉力大小为 D．若小球在最低点时的速度，小球运动到最低点时绳的拉力为 【答案】B 【详解】AB．在最高点时，绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力，则有 可得 由图像知，图像的斜率为 可得轻质绳长为 图像的纵轴截距为 可得当地的重力加速度为，故A正确，不满足题意要求；B错误，满足题意要求； C．当时，轻质绳的拉力大小为，故C正确，不满足题意要求； D．若小球在最低点时的速度，小球运动到最低点时，根据牛顿第二定律可得 联立解得绳的拉力为，故D正确，不满足题意要求。 故选B。 【针对练习2】（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）如图所示，桌面上放置一内壁光滑的固定竖直圆环轨道，质量为，半径为。可视为质点的小球在轨道内做圆周运动，其质量为，小球在轨道最高点的速度大小为，重力加速度为，不计空气阻力，则（　　） A．当时，轨道对小球的弹力为 B．当时，轨道对桌面的压力为 C．小球做圆周运动的过程中，合外力始终指向圆心 D．小球在轨道最高点处于超重状态 【答案】B 【详解】AB．当时，有 可知，小球只受重力，轨道对小球的弹力为零，则轨道只受重力和桌面的支持力，二者大小相等，根据牛顿第三定律可得轨道对桌面的压力为Mg，故A错误，B正确； C．小球做变速圆周运动，在小球运动的过程中，除最高点和最低点合外力提供向心力，合外力指向圆心，其它位置都是合外力的分力提供向心力，合外力不指向圆心，故C错误； D．小球在最高点时加速度向下，则处于失重状态，故D错误。 故选B。 【针对练习3】（多选）（25-26高一下·天津河西·期中）太极球是大家比较喜爱的一种健身器材。一健身者用球拍托住质量为m的太极球，使其在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，轨迹如图所示。图中的A、B两点分别为圆周运动的最高点和最低点，C、D两点与圆心等高，重力加速度为g。若在A点时球拍对太极球的弹力大小为mg，不计空气阻力，则（　　） A．太极球所受合外力始终不变 B．运动到B点时，球拍对太极球的弹力大小为3mg C．太极球在C点受到重力、弹力和向心力的作用 D．太极球运动到D点时的速度大小为 【答案】BD 【详解】A．太极球在竖直平面内做匀速圆周运动，线速度大小恒定。在最高点A，太极球受重力（向下）和球拍弹力，合力提供向心力（指向圆心，即向下）。已知，根据牛顿第二定律 解得 匀速圆周运动的合外力（向心力）大小不变，但方向始终指向圆心，时刻变化，因此合外力是变力。A错误。 B．在最低点B，太极球受重力（向下）和球拍弹力（向上），合力提供向心力（指向圆心，即向上），即 代入，得。B正确。 C．向心力是效果力，不是物体实际受到的力。太极球在C点实际受重力和球拍弹力，二者的合力提供向心力。C错误。 D．太极球做匀速圆周运动，线速度大小处处相等，因此D点的速度大小等于A点的速度大小，即。D正确。 故选BD。 知识点2：杆球模型 杆球模型 常见类型 均是有支撑的小球 过最高点的临界条件 v临＝0 讨论分析 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，方向：沿半径背离圆心。 (2)当0＜v＜时，根据牛顿第二定律：mg－FN＝m，FN方向：背离圆心，随v的增大而减小。 (3)当v＝时，FN＝0。 (4)当v＞时，根据牛顿第二定律：FN＋mg＝m，FN方向：指向圆心，随v的增大而增大。 (6)在最高点的FN－v2图线 结合机械能守恒（第八章学习）分析 【针对练习4】（25-26高一下·北京丰台·期中）如图甲所示，轻杆的一端固定一小球（可视为质点），另一端套在光滑的水平轴O上，水平轴的正上方有一速度传感器（图中未画出），可以测量小球通过最高点时的速度大小v，水平轴O处有一力传感器（图中未画出），可以测量小球通过最高点时水平轴受到的杆的作用力F，若取竖直向下为F的正方向，让小球以不同的速度通过最高点，得到图像如图乙所示，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．轻杆的长度为2.0m B．小球的质量为2.5kg C．若小球通过最高点时的速度大小为5m/s，则小球受到的合力为20N D．若小球通过最高点时的v2为50m2/s2，则轻杆对小球的作用力大小为40N，方向竖直向下 【答案】C 【详解】AB．设杆的长度为L，水平轴受到的杆的作用力F与杆对小球的作用力大小相等、方向相反，因此对小球受力分析有 整理可得 由图乙可得， 解得，，故AB错误； C．若小球通过最高点时的速度大小为5m/s，则小球受到的合力为，故C正确； D．若小球通过最高点时的v2为50m2/s2，设轻杆对小球的作用力竖直向下，根据牛顿第二定律可得 解得 可知轻杆对小球的作用力大小为20N，方向竖直向下，故D错误。 故选C。 【针对练习5】（25-26高一下·浙江舟山·期中）如图所示，质量为0.5 kg、半径为1 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，质量为1 kg的小球A（可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径），在圆管中做圆周运动，某时刻小球A运动到圆管最高点，速度大小为3 m/s，重力加速度g取，则此时杆对圆管的弹力为（　　） A．6 N B．4 N C．14 N D．15 N 【答案】A 【详解】设在最高点时圆管对小球A的弹力为F，规定向下为正方向，则有 代入题中数据，解得 负号说明弹力方向向上，因此小球向下挤压圆管，根据牛顿第三定律，可知小球对圆管弹力大小为1N，对圆管，根据平衡条件可知，杆对圆管的弹力大小为 故选A。 【针对练习6】（多选）（25-26高一下·北京延庆·期中）如图所示，一个小球固定在长为R的轻直杆的一端，球随杆一起绕O点在竖直平面内做圆周运动，忽略一切阻力。则（　　） A．小球经过最高点时的最小速度为 B．小球经过最高点时一定受到杆的支持力 C．小球经过最低点时杆对球的作用力一定大于球受到的重力 D．小球经过最高点时杆对球的作用力可能等于球受到的重力 【答案】CD 【详解】AD．若轻杆对小球提供支持力大小等于重力，则 因此小球在最高点的最小速度为； 若杆对小球提供向下的拉力，拉力大小等于重力，则向心力 解得，故A错误，D正确； B．小球在最高点时，若速度，重力恰好提供向心力，杆的作用力为； 若，杆对小球提供向下的拉力，只有时杆才提供支持力，故B错误； C．小球在最低点时，有 整理得，因此杆的作用力一定大于重力，故C正确； 故选CD。 知识点3：拱形桥模型 拱形桥 圆轨外侧 凹形桥 示意图 分析 最高点(失重),有,有以下规律： (1)当v=0时，即汽车静止在最高点，FN = G; (2)当汽车的速度增大到满足，即时，FN=0,汽车在桥顶只受重力G,又具水平速度v,因此开始做平抛运动； (3)当时，满足，所以0≤FN≤mg,且速度v越大，FN越小； (4)当时，汽车将脱离桥面，将在最高点做平抛运动，即所谓的“飞车”; (5)若物体从最高点由静止无摩擦下滑，离开球面时的位置所在球面半径与竖直方向夹角满足 最低点(超重),有有以下规律： (1)当v =0时，即汽车静止在最低 点，FN = G; (2)当汽车的速度v≠0时，FN ＞ G,且速度v越大，FN越大 【针对练习7】（25-26高一下·河南信阳·期中）石拱桥作为中国传统桥梁四大基本形式之一，承载着千年营造智慧。假设某拱形桥为圆的一部分，半径为R=40m。一辆质量为m=200kg的汽车以恒定速率v=10m/s匀速通过该桥，Q点为该拱形桥的最高点，g取10m/s2。则（　　） A．汽车通过拱形桥时的角速度大小为 B．向心加速度大小为25m/s2 C．汽车通过最高点时桥对汽车的力为1500N D．汽车通过最高点时汽车对桥的力竖直向上 【答案】C 【详解】A．由，解得，故A错误； B．向心加速度大小为，故B错误； CD．汽车通过最高点时 解得 所以汽车通过最高点时桥对汽车的支持力为1500N，由牛顿第三定律可知汽车通过最高点时汽车对桥的力竖直向下，故C正确，D错误。 故选C。 【针对练习8】（25-26高一下·广东佛山·期中）现代公路修路时过十字路口有两种方式，天桥和隧道。一辆质量为m的汽车通过拱形天桥最高点的速率为v桥面的圆弧半径为R，重力加速度为g，则汽车在拱形桥最高点时对桥面的压力大小为F1，同样的车同样的车速过凹形地下隧道最低点，圆弧半径也为R，压力大小为F2；两力压力差的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设在拱形桥最高点时桥对汽车的支持力为​，根据牛顿第二定律 根据牛顿第三定律，汽车对桥面的压力 解得​ 设隧道对汽车的支持力为​，根据牛顿第二定律 ​ 根据牛顿第三定律，汽车对隧道的压力 解得 两力压力差 故选A。 【针对练习9】（25-26高一下·陕西商洛·期中）如图所示，质量的汽车以一定的速率驶过凸形桥面的顶部，桥面的圆弧半径为10 m。g取10 m/s2。 (1)若汽车以5 m/s的速率驶过凸形桥面的顶部。求汽车对桥面的压力大小； (2)若汽车通过拱桥最高点时刚好腾空飞起，求汽车此时的速率； (3)如果凸形桥面的半径增大到与地球半径一样，汽车通过凸形桥面最高点时刚好腾空飞起，速度要多大；（已知地球半径约为6400 km） 【答案】(1) (2)10m/s (3) 【详解】（1）汽车以5m/s的速率驶过凸形桥面的顶部时，设桥面的支持力为FN，则有 代入数据得 根据牛顿第三定律，汽车对桥面的压力大小为 （2）桥面的圆弧半径，汽车驶过凸形桥面的顶部，刚脱离桥面的速度为，则有 解得 （3）地球半径约为，如果凸形桥面的半径增大到与地球半径一样，汽车通过凸形桥面最高点时刚好腾空飞起速度大小为，则 知识点4：复合模型（竖直面内圆周运动与平抛运动的组合） 1.模型简述 此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动；有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题形式考查。 2.方法突破 （1）竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。[来源:学科网ZXXK] （2）速度是联系前后两个过程的关键物理量。 3.解题关键 （1）明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。 （2）平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。 （3）速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。 【针对练习10】（25-26高一下·北京石景山·期中）一个半径的圆弧轨道固定在竖直平面内，其下端切线是水平的，轨道下端距地面高度。一质量的小物块（视为质点）由圆弧轨道顶端A点从静止开始释放，运动到轨道最低点B时，水平飞出，其落到水平地面时的水平位移。忽略空气阻力，重力加速度，求 (1)物块离开圆弧轨道最低点水平飞出时的速度大小； (2)物块滑到圆弧轨道最低点B时对轨道压力大小F； (3)物块落地时的速度大小和方向。 【答案】(1) (2) (3)，与水平方向成角斜向下 【详解】（1）物块从B点飞出后做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据运动学公式有 代入数据解得 在水平方向上做匀速直线运动，有 代入数据解得 （2）物块在B点受重力和轨道支持力作用，合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 根据牛顿第三定律，物块对轨道的压力大小 （3）物块落地时竖直分速度 水平分速度 落地速度大小 设速度方向与水平方向夹角为，则 解得 即速度方向与水平方向成角斜向下。 【针对练习10】（25-26高一下·海南儋州·期中）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。球飞行水平距离d后落地，如图所示，已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。试求： (1)球落地时的速度大小； (2)绳子能够承受的最大拉力为多大； (3)如果不改变手离地面的高度，改变绳子的长度，使小球重复上述的运动。若绳子仍然在小球运动到最低点时断掉，要使小球抛出的水平距离最大，则绳子长度L应为多少，小球的最大水平距离x为多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）绳断后小球做平抛运动，下落高度，竖直方向自由落体 水平方向匀速运动 得绳断时小球的初速度 落地时竖直分速度 合速度 （2）小球在最低点，圆周运动半径，有 绳子能够承受的最大拉力为 （3）设改变后绳长为，绳子最大拉力不变，断时小球速度满足 ​ 断后平抛下落高度，平抛时间满足 水平位移 要使最大，即需使最大，由二次函数/均值不等式得 当且仅当，即时，有最大水平距离 【针对练习11】（25-26高一下·天津·期中）如图甲所示，一个质量为的足球静止在圆形水泥管道最低点，一小学生以一定的水平速度将球踢出，足球沿管道内壁在同一个竖直面内运动，第一次通过管道最高点后又转了不到一圈，从某一位置脱离管道，如图乙，球恰好掉入小学生的背包里（背包口正好在管道圆心处）。已知管道半径为，重力加速度为，不计空气阻力，足球可以看作质点。 (1)若足球第一次经过管道最高点时的速度大小，求此时管道对足球的弹力大小； (2)如图丙，设管道的圆心为，足球脱离管道的位置为，连线与水平方向夹角为，求夹角的正切值； (3)求足球脱离管道时的速度的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 足球第一次经过管道最高点时，由牛顿第二定律，有 此时管道对足球的弹力大小 （2） 如图所示 设足球在A处脱离管道，之后做斜抛运动经过圆心O处，设A处足球速度大小为v，由牛顿第二定律有 设斜抛运动时间为t，将加速度沿半径方向和垂直半径方向分解，沿AO方向，有 垂直AO方向，有 联立解得 （3）由上式，，足球脱离管道时有 足球脱离管道时的速度 一、单选题 1．（25-26高一下·广西玉林·期中）路面的坑洼不平是导致轮胎爆胎的常见原因之一，路面简化为如图，正确的是（　　） A．车辆上下颠簸过程中，某些时刻处于超重状态 B．爆胎的原因是不同路面的动摩擦因数不同 C．车辆若以相同的速率通过A、B两点，在行驶通过A点时更易爆胎 D．车辆通过凹凸路面时，应该加速通过 【答案】A 【详解】A．图中B点所在位置，可近似看成半径为R的圆周上的一小段圆弧，车通过该位置时，由沿半径方向的合力提供向心力，沿半径方向向上的合力不为0，车有向上的加速度，此时车辆处于超重状态，A正确； C．结合上述，根据牛顿第二定律，在A点时有 ，在B点时有 解得， 可知FNA<FNB；即车辆若以相同的速率通过A、B两点，在行驶通过B点时更容易爆胎，C错误； B．爆胎的原因是轮胎所受地面的弹力过大，与不同路面的动摩擦因数无关，B错误； D．结合上述，通过凹地时容易爆胎，为了减小通过凹地时轮胎所受的弹力，应减速通过，D错误。 故选A。 2．（25-26高一下·广东广州·期中）气嘴灯安装在自行车的气嘴上，骑行时会发光，一种气嘴灯的感应装置结构如图所示，一重物套在光滑杆上，与一端固定的弹簧栓接，当车轮转动的角速度达到一定值时，重物拉伸弹簧后使触点M、N接触，从而接通电路使气嘴灯发光。下列说法正确的是（　　） A．正确安装使用时，M端的线速度比N端的大 B．气嘴灯运动至最低点时处于失重状态 C．要在较低的转速时发光，可以更换劲度系数更小的弹簧 D．气嘴灯做圆周运动时，重物受到重力、弹力和向心力的作用 【答案】C 【详解】A．正确安装使用时，触点M的转动半径小于触点N，二者的角速度相等，根据v=ωr，知M端的线速度比N端的小，故A错误； B．气嘴灯运动至最低点时加速度竖直向上，处于超重状态，故B错误； C．根据牛顿第二定律，有kx=mω2r，弹簧的形变量x不变，要在较低的转速时发光，可以更换劲度系数更小的弹簧，故C正确； D．气嘴灯做圆周运动时，重物受到重力、弹力的作用，故D错误。 故选C。 3．（25-26高三上·河北·月考）在公路通过小型水库泄洪闸的下游时常常要修建凹形路面，也叫“过水路面”。有一凹形路面可看成半径为的圆弧，最大承载力为，重力加速度大小为，则质量为的小轿车通过路面最低点的最大速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设当小轿车通过凹形路面最低点时最大速度为，根据牛顿第二定律有 解得 故选D。 4．（25-26高三上·辽宁·期中）如图所示，当汽车（可视为质点）通过圆弧形凹桥最低点的速度为v时，汽车对桥的压力大小是自身重力大小的3倍，当该车通过该桥最低点的速度为2v时，汽车对桥的压力大小为该车自身重力大小的（　　） A．6倍 B．9倍 C．12倍 D．15倍 【答案】B 【详解】根据牛顿第二定律和牛顿第三定律可知，当汽车通过圆弧形凹桥最低点的速度为v时，有 当汽车通过圆弧形凹桥最低点的速度为2v时，有 解得 故选B。 5．（25-26高一下·山东菏泽·期中）一长为l的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，重力加速度为g。则（    ） A．小球运动到最高点时，杆对小球的作用力大小为，方向沿杆指向圆心 B．小球运动到水平位置M点时，杆对小球的作用力大小为，方向沿杆指向圆心 C．小球运动到水平位置N点时，杆对小球的作用力为，方向沿杆指向圆心 D．小球运动到最低点时，杆对小球的作用力大小为，方向沿杆指向圆心 【答案】D 【详解】A．小球运动到最高点时，小球重力与杆对小球的作用力的合力提供向心力，故A错误； BC．小球运动到水平位置M点或N点时，杆对小球的作用力与小球重力的合力指向圆心并提供向心力有 得，方向不指向圆心，故BC错误； D．小球运动到最低点时，根据牛顿第二定律有 解得杆对小球的作用力 ，故D正确。 故选D 。 6．（25-26高一下·浙江·期中）如图所示，一辆汽车驶上一座弧形的拱桥，当汽车以30m/s的速度经过桥顶时，恰好对桥顶没有压力。若汽车以10m/s的速度经过桥顶，则汽车自身重力与汽车对桥顶的压力之比为（　　） A．8∶9 B．9∶8 C．3∶1 D．1∶3 【答案】B 【详解】当汽车以30m/s的速度经过桥顶时，恰好对桥顶没有压力，根据牛顿第二定律有 若汽车以10m/s的速度经过桥顶，有 可得 根据牛顿第三定律可得汽车对桥顶的压力大小为 可得 故选B。 7．（25-26高一下·北京·期中）如图所示，不可伸长的轻质细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉子A，小球从某一位置（细绳处于拉直状态），由静止释放后摆下，不计空气阻力和细绳与钉子相碰时的能量损失。下列说法中正确的是（　　） A．当细绳与钉子碰后的瞬间，小球的线速度不变 B．当细绳与钉子碰后的瞬间，小球的角速度不变 C．当细绳与钉子碰后的瞬间，小球的向心加速度突然变小 D．在细绳与钉子相碰时，钉子的位置越远离小球，绳就越容易断 【答案】A 【详解】A．当绳子与钉子相碰瞬间，小球受竖直向下的重力和竖直向上的拉力，产生的加速度指向圆周运动的圆心，向心加速度不改变速度的大小，所以相碰瞬间小球的线速度大小不变，选项A正确； B．当细绳与钉子碰后的瞬间，小球的线速度不变，因半径减小，根据则角速度变大，选项B错误； C．当细绳与钉子碰后的瞬间，小球的线速度不变，因半径减小，根据可知，小球的向心加速度突然变大，选项C错误； D．根据可知，钉子的位置越靠近小球，则半径越小，细绳的拉力越大，即在细绳与钉子相碰时绳就越容易断，选项D错误。 故选A。 8．（25-26高一下·四川成都·期中）如图，一半径为R、质量为M的半圆形碗静止在水平地面上。一质量为m的小滑块从碗的边缘无初速度释放，小滑块第一次滑到碗最底端时的速率为v，小滑块与碗间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，碗始终静止。则小滑块第一次滑到碗最底端时，碗受到水平地面的摩擦力大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】滑块在最低点时，圆周运动 解得 滑块和碗之间的摩擦力为 对碗受力分析，根据受力平衡，碗受到水平地面的摩擦力为 故选B 。 9．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）如图甲所示，一轻杆一端固定在光滑转轴上的O点，另一端固定一质量为m的小球，小球在竖直平面内绕O点做圆周运动。某同学通过传感器记录了小球在最高点时，轻杆对小球的作用力大小F与小球速度平方v2的关系，如图乙所示。已知重力加速度g。纵轴交于点（0，b），与横轴交于点（a，0），且经过点（c，2 mg）（“c”未画出）。根据图像，下列说法正确的是（　　） A．杆的长度（圆周半径）为 B．当v2=a时，小球处于完全失重状态 C．该图像中a、c数值关系满足a：c=3：1 D．若v2=2a，则杆对小球的作用力大小为b，方向竖直向上 【答案】B 【详解】小球在最高点，受重力 mg 和杆的作用力 F。设向下为正方向。当 v 较小时，杆表现为支持力（向上），根据牛顿第二定律 解得 当 v 较大时，杆表现为拉力（向下），有 大小为 A．由图像可知，当时，有 当 F=0 时，，此时 解得 ，，故A错误； B．当 时，由图像可知 F=0，此时小球只受重力作用，加速度为 g，方向竖直向下，处于完全失重状态，故B正确； C．当 时，杆表现为拉力，有 图像经过点 (c，2mg)，代入得 所以 a:c=1:3，故C错误； D．若 ，此时，杆表现为拉力，方向竖直向下 代入公式 解得 方向竖直向下，故D错误。 故选B。 10．（25-26高一下·广东·期中）如图所示，固定在水平桌面上的细圆管轨道由半圆形轨道和直线轨道组成（的半径，比细圆管内径大得多），轨道内壁光滑。弹射装置将一质量的小球（可视为质点）以某一水平速度从A端弹入轨道，经一段时间，从D端离开轨道后做平抛运动，落地点F离D端的水平距离，D端距地面的高度，不计空气阻力，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．小球离开D端时的速度大小为3，落地时的速度大小为8 B．小球在段运动时的向心加速度大小为1 C．小球在段运动的过程中受到轨道的作用力大小为3N D．若仅将段的半径增大至6m，小球从D端离开后飞行的水平距离不变 【答案】D 【详解】A．小球离开轨道后做平抛运动，竖直方向有 水平方向有 解得 落地时竖直速度 合速度，A项错误； B．小球在段做匀速圆周运动，有， 解得向心加速度大小，B项错误； C．细圆管对小球的水平方向作用力提供向心力，大小为 细圆管对小球的竖直方向作用力与重力平衡，大小为 故细圆管对小球的作用力大小 解得，C项错误； D．轨道光滑，半径增大不影响小球到达D端的速度，小球从D端离开后飞行的水平距离不变，故D项正确。 故选D。 11．（25-26高一下·北京延庆·期中）如图甲所示，一长为R的轻绳，一端系在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动，小球通过最高点时，小球速度的平方v2与绳对小球的拉力F的关系图像如图乙所示，已知图线与纵轴的交点坐标为a，下列说法正确的是（　　） A．利用该装置可以得出重力加速度，且 B．根据题中条件无法求出小球通过最高点时的最小速度 C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大 D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线与纵轴的交点坐标变大 【答案】C 【详解】A．当时，，则有 解得，故A错误； BC．在最高点，根据牛顿第二定律得 则 在最高点速度最小时F=0，可得最小速度 图线的斜率，则绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率会更大，故B错误，C正确； D．根据上式，当时，，可知点的位置与质量无关，故D错误。 故选C。 二、多选题 12．（25-26高一下·陕西宝鸡·期中）天津之眼坐落在天津市红桥区海河畔，是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功用。摩天轮的直径为，正常工作时，能以恒定的角速度在竖直面内做匀速圆周运动，质量为的游客坐在轿厢的座椅上，随摩天轮共同转动，重力加速度为，已知摩天轮的角速度为，整个过程，轿厢内的座椅始终保持水平，游客与座椅始终保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A．整个过程，游客始终受到静摩擦力的作用 B．座椅受到游客的最大压力与最小压力的差为 C．游客和座椅间动摩擦因数的最小值为0.25 D．游客在与圆心等高处所受座椅的作用力为 【答案】BD 【详解】A．游客处在最低点以及最高点时只受重力和座椅的支持力，游客与座椅间没有摩擦力的作用，故A错误； B．游客在最高点时，对座椅的压力最小，由牛顿第二定律得​​ 解得​​ 游客在最低点时，对座椅的压力最大，由牛顿第二定律得​​ 解得​​ 结合牛顿第三定律可知，游客对座椅的最大压力和最小压力的差为ΔF=F2-F1=mg，故B正确； C．游客运动到与圆心等高位置时，所受的静摩擦力最大，则有​​ 解得​​ 又， 解得μ=0.5，故C错误； D．游客在与圆心等高处时，座椅对游客的作用力为​​ 解得​​，故D正确。 故选BD。 13．（25-26高一下·湖北·期中）近日，长春第一冰锅火爆出圈，吸引全国越野爱好者打卡挑战。冰锅为半径的用冰砖打磨的球面，一质量为，可视为质点的汽车从冰锅边缘驶下，到达锅底的速率为，重力加速度取，则（　　） A．汽车在锅底受到的支持力大小为 B．汽车在锅底受到的支持力大小为 C．汽车在锅底的向心加速度大小为 D．汽车在锅底的向心加速度大小为 【答案】BD 【详解】AB．对汽车进行受力分析，根据牛顿第二定律有 可得汽车在锅底受到的支持力大小，故A错误，B正确； CD．汽车在锅底时的向心加速度为，故C错误，D正确。 故选BD。 14．（25-26高一下·山西晋中·期中）如图甲所示、长为的轻杆一端固定在点，另一端固定一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小、杆对小球作用力的大小，作出与的关系图线如图乙所示。下列说法中正确的是（　　） A．根据图线可以得出小球的质量 B．根据图线可以得出重力加速度大小 C．根据图线可以得出 D．用质量更大的小球做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变 【答案】BD 【详解】AB．当小球经过最高点的速度时，支持力 结合图像可知 当时，小球经过最高点时重力充当圆周运动的向心力，满足 即 结合图像可知 解得，，故A错误，B正确； C．设小球速度满足时，杆对小球有向下的拉力作用，拉力大小 此时由牛顿第二定律可知 解得 联立解得，故C错误； D．由A、B选项分析可知，图线与横轴交点的位置坐标，与小球质量无关，所以用质量更大的小球做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变，故D正确。 故选BD。 15．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图所示，四分之一圆弧与半圆弧在点平滑连接，固定放置在竖直面内，为两圆弧的最低点，且点的切线水平，现让质量为的小球（视为质点）从点进入圆弧轨道，运动到点时速度大小为。已知、两圆弧均光滑，半径分别为、，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．小球在通过点前后的瞬间，线速度大小改变 B．小球在通过点前后的瞬间，角速度的变化量为 C．小球在通过点前后的瞬间，轨道对其支持力大小之比为 D．小球能通过点的最小速度大小为 【答案】CD 【详解】A．小球通过B点的瞬间，轨道光滑，切向无作用力，不改变线速度大小，线速度大小不变，A错误； B．通过B点前，圆周运动半径，角速度​ 通过B点后，圆周运动半径，角速度​ 角速度变化量，B错误； C．圆周运动向心力由支持力和重力的合力提供 可得 通过B前 通过B后 因此支持力之比，C正确； D．C是半圆弧的最高点，小球做竖直圆周运动，临界情况为C点轨道支持力为0，重力提供向心力 ​​ 解得最小速度，D正确。 故选 CD。 三、解答题 16．（25-26高一下·湖北黄冈·期中）高速转动的物体若重心偏离转轴，会产生偏心振动，转轴将承受较大作用力。手机偏心轮振动马达即利用此原理制成，其结构如图所示，将质量分别为、5m的小球A、B固定在轻杆两端，使轻杆围绕位于其中点的转轴O在竖直平面内匀速转动，转动角速度。已知杆长为2L，重力加速度为g，不计一切阻力，当轻杆转动至图示竖直状态时，求： (1)A球向心加速度的大小； (2)轻杆对A球的作用力和轻杆对B球的作用力的大小之比； (3)当轻杆转动至水平状态时轻杆对A球的作用力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）A球向心加速度的大小 （2）对小球A有 解得 对小球B有 解得 可得轻杆对A球的作用力和轻杆对B球的作用力的大小之比 （3）当轻杆转动至水平状态时，水平方向有 竖直方向有 可得轻杆对A球的作用力大小 17．（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图所示，半径的光滑半圆轨道固定在竖直平面内，轨道底端与水平地面相切于点，一倾角的斜面紧靠点固定于水平地面上。一小球在点获得瞬时速度后沿半圆轨道向上运动，从轨道最高点水平飞出，最终落到斜面上的点（未画出）。已知，，g取10 m/s2。 (1)若小球能沿半圆轨道运动到最高点，求小球在点的最小速度； (2)若小球在点以最小速度飞出，求小球从点运动到点所用的时间； (3)若小球垂直落到斜面上，求落点到点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在点重力充当向心力 解得 （2）小球做平抛运动     由几何关系得     解得 （3）假设小球能从点以速度飞出做平抛运动，， 小球垂直落到斜面上即速度垂直于斜面，因此 由几何关系得 解得，假设成立； 又 解得 18．（25-26高一下·河南漯河·期中）如图所示水平面上，左侧固定一倾角未知的斜面体，右侧固定另一倾角为的斜面体，一半径未知的光滑半圆轨道与右侧的斜面体底端平滑衔接，为半圆轨道的最高点。可视为质点的小物体由斜面体上的点以初速度沿斜面向上滑动，离开点瞬间的速度大小为，经过一段时间无碰撞地由点滑上右侧斜面体，最终物体平滑地进入竖直半圆轨道，物体刚进入半圆轨道瞬间对轨道的压力大小为物体重力的6倍，且物体在半圆轨道的最高点对轨道刚好没有作用力，最终物体落在水平面上（忽略落地后的反弹）。已知点到点的距离为，右侧斜面体的长度为，，，重力加速度取。忽略一切摩擦。求： (1)左侧斜面体倾角的大小； (2)、两点的水平间距； (3)物体落在水平面上的点到点的距离。 【答案】(1)； (2) ； (3)2.56 m 【详解】（1）物体在左侧斜面上滑时，加速度大小 ，方向沿斜面向下。 由运动学公式： 解得 ，可得 （2）物体从点飞出后做斜抛运动，水平方向匀速，水平分速度 物体无碰撞滑上点，在点竖直分速度满足 竖直方向做匀变速运动，取向下为正，初竖直速度 由 可得时间 水平间距 （3）物体在D点速度大小 ，从滑到做匀加速直线运动有 代入得 物体在点由向心力公式有 得 物体在点对轨道无压力，有 物体从点水平抛出做平抛运动，竖直方向有 水平位移 学科网（北京）股份有限公司 $