4.1整式（高频考点培优讲义）2026-2027年人教版七年级数学上册

4.1 整式 学习目标与重难点 1、理解单项式、多项式、整式的概念，能正确识别单项式和多项式。 2、会确定单项式的系数和次数，能指出多项式的项、常数项和次数。 3、能用整式表示简单实际问题中的数量关系，体会代数式从具体到抽象的过程。 重点：单项式、多项式、整式的概念；单项式的系数与次数，多项式的项与次数。 难点：准确判断含负号、分数、π的单项式的系数与次数；理解多项式的次数是最高次项的次数；区分整式与分母含字母的代数式。 高频考点题型◆归纳 【题型1 单项式的判断】 【题型2 单项式的系数、次数】 【题型3 写出满足某些特征的单项式】 【题型4 单项式规律题】 【题型5 多项式的判断】 【题型6 多项式的项、项数或次数】 【题型7 多项式系数、指数中字母求值】 【题型8 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列】 【题型9 整式的判断】 【题型10 单项式、多项式、整式的分类】 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点一　单项式 1. 单项式的概念：数与字母的积（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等。 2. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫作单项式的系数。例：的系数为。 3. 单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例： 的次数为3次。 4. 对于一个非零的数，规定它的次数为0。 ⚠️特别提醒 ①分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。 ②单项式的系数是1或－1时，通常省略不写，如的系数是1，的系数是－1。 ③如果一个单项式的次数是，那么称这个单项式是次单项式。如92t的次数是1，它是一次单项式；的次数是3，它是三次单项式。 【针对训练】 1．下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 2．在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 知识点二　多项式 1. 多项式：几个单项式的和。 2. 项：每个单项式叫作多项式的项，有几项，就叫作几项式。 3. 常数项：不含字母的项。 4. 多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数。（最高次数是n次，就叫作n次式）。 ⚠️特别提醒 1.多项式的次数不是所有项的次数相加，和单项式次数计算方法完全不同。例如3x² + 4x³ - y，最高次项是4x³，次数是3，所以这个多项式的次数是3，不是2+3+1=6。 2.多项式中最高次项可能不止一项，例如2x³ + 3y³ - xy，x³和y³都是三次项，因此多项式次数依然是3，不需要相加。 3.如果多项式中各项的次数都相同，叫做齐次多项式，例如x³+2x²y+2xy²+y³，每一项都是三次，就是三次齐次多项式。 【针对训练】 1．下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 2．多项式的次数是（     ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．常数项是 知识点三　整式 整式：单项式与多项式统称为整式。 ⚠️特别提醒 1.判断代数式是否为整式的核心：分母中是否含有字母，如果分母含有字母，一定不是整式，属于分式。例如不是整式，是整式，因为分母2是常数。 2.区分单项式系数和次数：系数是数字因数，次数是字母指数和，不要混淆。例如-2³x²y，系数是-8，次数是2+1=3，很多同学会错把指数3算到次数里，得到5次，这是典型错误。 3.多项式的项要带符号，计算项数的时候不要漏数常数项。例如2x - 3是二项式，常数项-3也是一项，不要只算一个项认为是一项式。 4.π是常数，不要当成字母：在计算系数和次数的时候，π属于系数部分，不参与次数计算，2πx的系数是2π，次数是1，不是2。 5.系数为1或-1的时候，通常省略1不写，不要认为系数不存在或者是0：-ab的系数是-1，次数是2，不要错认为系数不存在或者次数是1。 【针对训练】 1．代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．式子，，，，中，整式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．将式子填入相应的大括号中． 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …}． 高频考题典例精析 【题型1 单项式的判断】 例题：下列代数式，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．下列式子：，，，，，0中，单项式的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【题型2 单项式的系数、次数】 例题：单项式的次数是 ． 【变式训练】 1．单项式的系数为 ；次数为 ． 【题型3 写出满足某些特征的单项式】 例题：请写出一个只含字母x，y的五次单项式 【变式训练】 1．请写出一个含有字母和，且次数为3的单项式 ． 【题型4 单项式规律题】 例题：按一定规律排列的单项式：据此规律，第12个单项式为 ． 【变式训练】 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，第n个代数式是 ． 【题型5 多项式的判断】 例题：在代数式中，多项式的个数是（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【变式训练】 1．在下列代数式，，，，，中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型6 多项式的项、项数或次数】 例题：多项式   是 次 项式，常数项是 ． 【变式训练】 1．多项式的二次项系数是 ． 【题型7 多项式系数、指数中字母求值】 例题：若多项式是关于x的五次二项式，则 ． 【变式训练】 1．知关于x的多项式是二次三项式，则 . 【题型8 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列】 例题；将整式按x降幂排列为 ． 【变式训练】 1．将多项式按x的降幂排列的结果为 ． 【题型9 整式的判断】 例题：已知：① ；②；③；④；⑤；⑥．其中整式有 个． 【变式训练】 1．在式子①，②，③，④⑤，⑥，⑦0中，整式有 个． 【题型10 单项式、多项式、整式的分类】 例题：下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别将序号填入所属的括号中． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：（                                  ）；多项式：（                               ）；整式：（                    ）． 【变式训练】 1．请把下列各式的序号填入相应的集合中． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整式集合：{                     …}；单项式集合：{                     …}；多项式集合：{                     …}． 1．下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 3．以下是一组按规律排列的单项式：，，，，其中第个单项式是（     ） A． B． C． D． 4．若多项式的次数是7，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 5．单项式的次数是________． 6．一次式 中，一次项系数是_______． 7．按照一定规律排列的式子：，，，…，第9个式子为___________． 8．将多项式按字母降幂排列得_____________． 9．若（，为非负整数）是含有字母和的五次单项式，请写出符合条件的所有单项式． 10．已知多项式是关于，的四次三项式． (1)求的值； (2)若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 11．已知一个单项式的系数是，次数是，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 12．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是（     ） A． B． C． D． 13．如果多项式是关于x的三次多项式，则（    ） A．， B．， C．， D．， 14．下列各式中，3a+4b，0，﹣a，am+1，﹣xy， ，﹣1， 单项式有______个，多项式有_______个 15．观察，…，根据这些式子的规律，可得第个式子为__________． 16．整式按a降幂排列的结果是________________________． 17．写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 18．已知多项式是五次四项式． (1)求出m的值． (2)单项式的次数与已知多项式的次数相同，求n的值． 19．单项式的系数和次数分别是（   ） A．，2 B．，3 C．，2 D．，3 20．下列说法错误的是（   ） A．若，则a与b成反比例 B．的系数，次数是4 C．1.8与1.80的精确度不同 D．不是单项式 21．下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 22．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 23．若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 24．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 25．在式子中，所有单项式的系数的积为_____． 26．已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则___________． 27．斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如表．按此规律，当输入10时，输出结果为________． 输入 … 输出 … 28．若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 29．按一定规律排列的一组代数式：，，，，，…，则第n个式子是_______________． 30．已知关于的整式为． (1)若此整式是二次多项式，求的值． (2)若此整式是二项式，求的值． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 整式 学习目标与重难点 1、理解单项式、多项式、整式的概念，能正确识别单项式和多项式。 2、会确定单项式的系数和次数，能指出多项式的项、常数项和次数。 3、能用整式表示简单实际问题中的数量关系，体会代数式从具体到抽象的过程。 重点：单项式、多项式、整式的概念；单项式的系数与次数，多项式的项与次数。 难点：准确判断含负号、分数、π的单项式的系数与次数；理解多项式的次数是最高次项的次数；区分整式与分母含字母的代数式。 高频考点题型◆归纳 【题型1 单项式的判断】 【题型2 单项式的系数、次数】 【题型3 写出满足某些特征的单项式】 【题型4 单项式规律题】 【题型5 多项式的判断】 【题型6 多项式的项、项数或次数】 【题型7 多项式系数、指数中字母求值】 【题型8 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列】 【题型9 整式的判断】 【题型10 单项式、多项式、整式的分类】 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点一　单项式 1. 单项式的概念：数与字母的积（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等。 2. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫作单项式的系数。例：的系数为。 3. 单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例： 的次数为3次。 4. 对于一个非零的数，规定它的次数为0。 ⚠️特别提醒 ①分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。 ②单项式的系数是1或－1时，通常省略不写，如的系数是1，的系数是－1。 ③如果一个单项式的次数是，那么称这个单项式是次单项式。如92t的次数是1，它是一次单项式；的次数是3，它是三次单项式。 【针对训练】 1．下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【答案】B 【分析】本题根据单项式、整式的定义，以及单项式系数、次数的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为，∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． 2．在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 3．下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的定义判断各选项即可，单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，多个单项式的和为多项式． 【详解】解：A.是符合单项式定义，属于单项式； B.是数与字母的积，属于单项式； C.是与的积，属于单项式； D.是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式． 知识点二　多项式 1. 多项式：几个单项式的和。 2. 项：每个单项式叫作多项式的项，有几项，就叫作几项式。 3. 常数项：不含字母的项。 4. 多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数。（最高次数是n次，就叫作n次式）。 ⚠️特别提醒 1.多项式的次数不是所有项的次数相加，和单项式次数计算方法完全不同。例如3x² + 4x³ - y，最高次项是4x³，次数是3，所以这个多项式的次数是3，不是2+3+1=6。 2.多项式中最高次项可能不止一项，例如2x³ + 3y³ - xy，x³和y³都是三次项，因此多项式次数依然是3，不需要相加。 3.如果多项式中各项的次数都相同，叫做齐次多项式，例如x³+2x²y+2xy²+y³，每一项都是三次，就是三次齐次多项式。 【针对训练】 1．下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 2．多项式的次数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 多项式共有三项，分别为，，，各项次数依次为，， ∴ 该多项式最高次项的次数为，即多项式的次数是． 3．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．常数项是 知识点三　整式 1. 整式：单项式与多项式统称为整式。 ⚠️特别提醒 1.判断代数式是否为整式的核心：分母中是否含有字母，如果分母含有字母，一定不是整式，属于分式。例如不是整式，是整式，因为分母2是常数。 2.区分单项式系数和次数：系数是数字因数，次数是字母指数和，不要混淆。例如-2³x²y，系数是-8，次数是2+1=3，很多同学会错把指数3算到次数里，得到5次，这是典型错误。 3.多项式的项要带符号，计算项数的时候不要漏数常数项。例如2x - 3是二项式，常数项-3也是一项，不要只算一个项认为是一项式。 4.π是常数，不要当成字母：在计算系数和次数的时候，π属于系数部分，不参与次数计算，2πx的系数是2π，次数是1，不是2。 5.系数为1或-1的时候，通常省略1不写，不要认为系数不存在或者是0：-ab的系数是-1，次数是2，不要错认为系数不存在或者次数是1。 【针对训练】 1．代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案． 【详解】解：代数式，，，，中，整式有，，，，共4个， 故选：D． 2．式子，，，，中，整式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题考查整式的定义，整式是分母中不含字母的代数式，包括单项式和多项式，据此求解即可． 【详解】解：式子，，，，中， 整式有，，，，共4个． 故选：D． 3．将式子填入相应的大括号中． 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查单项式与多项式的概念，熟练掌握多项式和单项式的概念，能进行正确的分类是解题的关键． 由数与字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式是由若干个单项式的和组成的代数式；单项式和多项式统称整式． 【详解】解：单项式：； 多项式：； 整式：． 高频考题典例精析 【题型1 单项式的判断】 例题：下列代数式，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式的判定，掌握单项式的概念是关键． 数字与字母的积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式，由此即可求解． 【详解】解：不是单项式， 是单项式， 是单项式， 是单项式， 不是单项式， ∴单项式有3个， 故选：C ． 【变式训练】 1．下列式子：，，，，，0中，单项式的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据单项式的定义分析即可． 【详解】解：，，0是单项式； 是多项式； ，既不是单项式，也不是多项式． 故选D． 【题型2 单项式的系数、次数】 例题：单项式的次数是 ． 【答案】5 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式的次数，根据单项式的次数的定义：所有字母的指数和，即可得出答案． 【详解】解：单项式的次数为：， 故答案为：5． 【变式训练】 1．单项式的系数为 ；次数为 ． 【答案】 3 2 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式，根据单项式中的数字因数为单项式的系数，所有字母的指数和为单项式的次数，作答即可． 【详解】解：单项式的系数为，次数为； 故答案为：3，2 【题型3 写出满足某些特征的单项式】 例题：请写出一个只含字母x，y的五次单项式 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式、单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式，根据单项式的有关概念即可得出答案，确定单项式的系数和次数的关键． 【详解】解：依题意，这个只含字母x，y的五次单项式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】 1．请写出一个含有字母和，且次数为3的单项式 ． 【答案】(答案不唯一) 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查了单项式的定义．解答此题关键是构造单项式的系数和次数，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键． 根据单项式系数、次数的定义来求解，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：先构造系数，例如为2，然后使a、b的指数和是3． 则如：(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 【题型4 单项式规律题】 例题：按一定规律排列的单项式：据此规律，第12个单项式为 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查单项式的规律探索，能根据题中给出的单项式正确找到规律是解题关键．根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断． 【详解】解：根据题意可知，按一定规律排列的单项式：， 系数的排列规律为：，，，，，， 指数的排列规律为：，，，，，， ∴第个单项式为：， ∴第12个单项式为：． 故答案为：． 【变式训练】 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，第n个代数式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】此题考查了与单项式有关的规律探索．观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵，，，，，…， ∴系数的规律为，指数的规律为， ∴第n个单项式为：， 故答案为：． 【题型5 多项式的判断】 例题：在代数式中，多项式的个数是（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】本题考查了多项式“由几个单项式的和组成的代数式，称为多项式”，熟记多项式的定义是解题关键．根据多项式的定义求解即可得． 【详解】解：，，，都是多项式，共有4个， 故选：B． 【变式训练】 1．在下列代数式，，，，，中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】本题主要考查了多项式的定义“几个单项式的和为多项式”．根据多项式的定义即可判断． 【详解】解：代数式，，，，，中，多项式有，，，即多项式有3个， 故选：B． 【题型6 多项式的项、项数或次数】 例题：（24-25七年级上·北京·期中）多项式   是 次 项式，常数项是 ． 【答案】 三 四 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查多项式的项数，次数，根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中未知数的次数总和的最大值即为多项式的次数． 【详解】解：多项式由四个单项式组成，最高次项是，次数是3，常数项是． 故答案为：三；四；． 【变式训练】 1．多项式的二次项系数是 ． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】此题考查了多项式，多项式即为几个单项式的和，其中每一个单项式称为项，单项式的次数即为多项式的几次项，不含字母的项称为常数项．直接利用多项式的定义得出二次项，进而得出答案． 【详解】解：多项式的二次项系数是． 故答案为：． 【题型7 多项式系数、指数中字母求值】 例题：若多项式是关于x的五次二项式，则 ． 【答案】4 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】此题考查了多项式的次数，项数的定义，利用多项式的定义求参数．根据五次二项式的定义得到，计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 故答案为：4． 【变式训练】 1．已知关于x的多项式是二次三项式，则 . 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查多项式的次数问题，由多项式次数为，为此知没有次项，由此知，这时最高次项是，可知的值问题得以解决． 【详解】解：∵关于的多项式是二次多项式， ∴该多项式没有次项，由此知，， ， ∴， 故答案为：． 【题型8 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列】 例题：将整式按x降幂排列为 ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键．先分清各项，再根据多项式幂的排列的定义解答． 【详解】解：按x降幂排列：． 故答案为：． 【变式训练】 1．将多项式按x的降幂排列的结果为 ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，弄清多项式各项的次数是解题的关键．先确定各项中x的次数，再按从高到低的顺序排列即可． 【详解】解：将多项式按x的降幂排列的结果为． 故答案为：． 【题型9 整式的判断】 例题：已知：① ；②；③；④；⑤；⑥．其中整式有 个． 【答案】5 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查了整式，整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法． 根据单项式和多项式统称整式，可得答案． 【详解】解：① ；②；④；⑤；⑥．是整式，共有5个， 故答案为：5． 【变式训练】 1．在式子①，②，③，④⑤，⑥，⑦0中，整式有 个． 【答案】5 【知识点】整式的判断 【分析】本题主要考查整式的概念：单项式和多项式统称为整式．根据整式的概念求解可得． 【详解】解：所列代数式中整式有①，②，③，⑥，⑦0，共5个， 故答案为：5． 【题型10 单项式、多项式、整式的分类】 例题：下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别将序号填入所属的括号中． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：（                                       ）； 多项式：（                                       ）； 整式：（                                         ）． 【答案】①②⑦⑨；③④⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨ 【知识点】多项式的判断、单项式的判断、整式的判断 【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式．单项式与多项式统称整式，据此求解即可． 【详解】解：单项式：（①②⑦⑨）； 多项式：（③④⑤⑧）； 整式：（①②③④⑤⑦⑧⑨）． 故答案为：①②⑦⑨；③④⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨． 【变式训练】 1．请把下列各式的序号填入相应的集合中． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整式集合：{                     …}； 单项式集合：{                     …}； 多项式集合：{                     …}． 【答案】①②③⑤⑦ ①②⑦ ③⑤ 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题主要考查了整式的定义，单项式和多项式的判定，单项式的定义，由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式，再逐一判断即可； 【详解】解：整式集合：{①，②，③，⑤，⑦ …}； 单项式集合：{①，②，⑦  …}； 多项式集合：{③，⑤   …} 1．下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的定义判断各选项即可，单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，多个单项式的和为多项式． 【详解】解：A.是符合单项式定义，属于单项式； B.是数与字母的积，属于单项式； C.是与的积，属于单项式； D.是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式． 2．下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 3．以下是一组按规律排列的单项式：，，，，其中第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】拆分单项式的系数与字母部分，分别寻找规律． 【详解】解：第1个单项式的系数为； 第2个单项式的系数为； 第3个单项式的系数为； 第4个单项式的系数为； ∴ 第个单项式的系数为， 又∵ 所有单项式的字母部分均为， ∴ 第个单项式为． 4．若多项式的次数是7，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式，解题关键是熟练掌握多项式的有关概念．根据题意得到，解方程求出即可． 【详解】解：多项式的次数是7， ∴ ∴． 故选：D． 5．单项式的次数是________． 【答案】 【详解】∵ 单项式中，的指数为，的指数为， ∴ 该单项式的次数为． 6．一次式 中，一次项系数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的一次项系数的概念，识别一次式中的一次项并确定其系数即可． 【详解】解：在表达式中，是一次项，其系数为， 因此一次项系数是． 故答案为：． 7．按照一定规律排列的式子：，，，…，第9个式子为___________． 【答案】 【分析】观察可知第n个式子的分母为，分子的底数为x，指数为，据此可得答案． 【详解】解：第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 第4个式子为， ……， 以此类推，可知第n个式子为， ∴第9个式子为． 8．将多项式按字母降幂排列得_____________． 【答案】 【详解】解：将多项式按字母降幂排列得． 9．若（，为非负整数）是含有字母和的五次单项式，请写出符合条件的所有单项式． 【答案】，，， 【分析】根据单项式的次数为五，可得到，再分别写出符合要求的单项式即可． 【详解】是含有字母和的五次单项式， ，，， ，或，或，或，， 符合条件的单项式有：，，，． 【点睛】本题考查了单项式的次数概念，熟练掌握单项式的相关概念是解答本题的关键． 10．已知多项式是关于，的四次三项式． (1)求的值； (2)若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式及单项式的相关概念，几个单项式的和，叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．熟练掌握相关概念是解此题的关键． （1）根据多项式的定义可得，即可求解； （2）由题意可得，结合，求出即可求解． 【详解】（1）解：多项式是关于，的四次三项式， ， 解得； （2）多项式与单项式的次数相同， ， 又， ， ． 11．已知一个单项式的系数是，次数是，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：、的系数为，次数为，不符合题意； 、的系数为，次数为，符合题意； 、是多项式，不是单项式，不符合题意； 、是多项式，不是单项式，不符合题意； 故选：． 12．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别拆分出单项式的系数、x的次数，找出对应规律即可得到结果． 【详解】解：∵给出的单项式为， ∴分析系数规律：第1个单项式的系数为，第2个单项式的系数为，第3个单项式的系数为，，可得第个单项式的系数为， 再分析x的次数规律：第1个单项式中x的次数为，第2个单项式中x的次数为，第3个单项式中x的次数为，，可得第个单项式中x的次数为， ∴第个单项式是． 13．如果多项式是关于x的三次多项式，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据多项式的定义分别分析得出a、b的值即可求解． 【详解】因为多项式是关于x的三次多项式， 所以（a-2）x4这一项系数应为0，应是最高次项． 所以a-2=0，b=3， 即a=2，b=3， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了多项式的定义，解决此类问题首先要明确是几次单项式或几次几项式，然后进行系数、指数的求解． 14．下列各式中，3a+4b，0，﹣a，am+1，﹣xy， ，﹣1， 单项式有______个，多项式有_______个 【答案】 3 3 【分析】根据单项式、多项式的定义解答即可. 【详解】∵0 ，-a ，-xy是由数或字母的积组成的式子， ∴0 ，-a ，-xy是单项式，共3个， ∵=， ∴是多项式， ∵3a2+4b 和am+1是几个单项式的和组成的， ∴3a2+4b 和am+1是多项式， ∴3a2+4b ，am+1，是多项式，共3个， 故答案为3；3； 【点睛】本题考查多项式和多项式的定义，由数或字母的积组成的式子叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式.熟练掌握定义是解题关键. 15．观察，…，根据这些式子的规律，可得第个式子为__________． 【答案】 【分析】分别分析系数和字母两部分的变化规律，再整合即可得到第n个式子． 【详解】解：观察已知给出的式子， 系数部分：第1项系数为， 第2项系数为， 第3项系数为， 第4项系数为．…． 可得第项的系数为． 字母及指数部分：第1项为，第2项为，第3项为，第4项为…． 可得第项的字母部分为． 整合规律，可得第个式子为． 16．整式按a降幂排列的结果是________________________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，解题思路是先确定多项式中每一项的指数，再按照的指数从高到低排列各项，排列时保留各项原有的符号，不要遗漏项． 【详解】解：确定多项式中各项的指数分别为，按照的降幂排列，即按的指数从大到小排列各项， 可得 17．写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和． （1）直接利用单项式的定义分析得出答案； （2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案； （3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 18．已知多项式是五次四项式． (1)求出m的值． (2)单项式的次数与已知多项式的次数相同，求n的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数和单项式的次数，关键是根据多项式的次数和单项式的次数解答． （1）根据多项式的次数得出m的值． （2）由（1）可知：，把代入单项式，再根据单项式的次数也是5即可得出，进而可求出n的值． 【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式， ∴， （2）解：由（1）可知：， ∴单项式为， ∵单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴， ∴ 19．单项式的系数和次数分别是（   ） A．，2 B．，3 C．，2 D．，3 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的系数与次数的定义，解题的关键是明确单项式系数（数字因数）和次数（所有字母指数和）的概念． 根据单项式系数和次数的定义，找出的数字因数作为系数，计算所有字母的指数和得到次数，再匹配选项． 【详解】解：单项式 的数字部分是 ， 系数为 ． 又变量 的指数为 2， 的指数为 1， 次数为 ． 故选 D． 20．下列说法错误的是（   ） A．若，则a与b成反比例 B．的系数，次数是4 C．1.8与1.80的精确度不同 D．不是单项式 【答案】B 【分析】本题考查反比例关系、单项式的系数和次数、精确度的概念以及单项式的定义．根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则a与b成反比例，正确，不符合题意； B、的系数，次数是3，原说法错误，符合题意； C、1.8精确到十分位，1.80精确到百分位，两者的精确度不同，正确，不符合题意； D、不是单项式，正确，不符合题意； 故选：B． 21．下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 【答案】B 【分析】根据单项式的系数、次数，同类项，多项式的项、次数的定义，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A，单项式的系数为，次数为，选项说法错误； B，和所含字母相同，且相同字母的指数也相同，符合同类项定义，二者是同类项，选项说法正确； C，多项式的最高次项次数为，共项，该多项式是三次三项式，选项说法错误； D，多项式 的项是，和，选项说法错误． 22．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别归纳系数和的指数与项数的关系，得到第个代数式的通式，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 第1个系数为， 第2个系数为， 第3个系数为， ∴第个代数式的系数为， 又∵第1个中的指数为， 第2个中的指数为， 第3个中的指数为， ∴可得第个代数式中的指数为， ∴第个代数式为， 将代入得：系数为，的指数为， 因此第2026个代数式为． 23．若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查多项式的次数概念，需满足各项次数为非负整数且最高次为3，根据题意确定n的值，再计算代数式的值即可 【详解】解：∵ 多项式是关于x的三次多项式， ∴ 各项次数为非负整数，且最高次数为3. ∴时，解得，此时多项式为不符合题意； 时，解得，此时多项式为符合题意； ∴， 故选D． 24．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式规律题，多项式的系数、次数，理解题意，准确找到多项式系数和次数的变化规律是解答的关键． 观察多项式中的系数、指数和的系数的变化规律，的系数是的次方，指数是奇数；的系数是奇数． 【详解】解：多项式中的系数依次为：即； 的指数依次为：即； 的系数依次为：即， 所以第个多项式为； 故选A． 25．在式子中，所有单项式的系数的积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的系数的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，由此可确定单项式和单项式的系数，进而可得答案． 【详解】解：在所给的式子中，是单项式的为和，其系数分别为2和， ∴所有单项式的系数的积为， 故答案为：． 26．已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则___________． 【答案】10 【分析】本题考查的是多项式和单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式，单项式和整式的概念解答即可． 【详解】解：单项式为：，，则， 多项式为：，，，则， 整式为：，，，，，则， 则， 故答案为：. 27．斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如表．按此规律，当输入10时，输出结果为________． 输入 … 输出 … 【答案】 【分析】本题为单项式规律探究题. 结合斐波那契数列的特征，分别找出输出中系数、的次数、的次数的变化规律，即可求解. 【详解】解：根据表格中给出的输入输出数据，可得各部分的规律均满足： 从第3项开始，每一项等于前两项的和. ① 系数规律：输入时， ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为. ② 的次数规律： ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为. ③ 的次数规律： ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为. 综上，当输入时，输出结果为. 28．若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据多项式的次数和项数，列出方程求解和的值． 本题考查了多项式的项数和次数，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：由题可知次数为3， 则第一项的次数， 解得, 由项数为2，且第一项系数3和第三项系数1均不为零， 故第二项系数， 解得, 因此, 故答案为． 29．按一定规律排列的一组代数式：，，，，，…，则第n个式子是_______________． 【答案】 【分析】分别分析每个式子中第一项、第二项的变化规律，即可得到第n个式子的表达式 【详解】解：观察已知代数式， 第一项的系数依次为：， 可得第n个式子第一项的系数为，即第一项为. 第二项中的指数依次为：， 可得第n个式子中的指数为，即第二项为. 因此第n个式子为. 30．已知关于的整式为． (1)若此整式是二次多项式，求的值． (2)若此整式是二项式，求的值． 【答案】(1)； (2)的值是0或-3． 【分析】本题考查了多项式的项数和次数，掌握多项式的项数和次数是解题的关键． （1）由整式为二次多项式，可得到，求出的值并验证答案即可； （2）由整式为二项式，分三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是二次多项式， ∴。 解得：， 若，则原式为：，不是二次多项式，不合题意，舍去； 若，则原式为：，是二次多项式，符合题意； ∴． （2）解：整式的三项分别为：、、， 若此整式是二项式，那么这三项中有一项的系数等于， 分以下三种情况讨论： ①当时，解得：， 若，则原式为：，是单项式，不合题意，舍去； 若，则原式为：，是二项式，符合题意； ②当时，解得：， 则原式为：，是单项式，不合题意，舍去； ③当，解得：， 则原式为：，是二项式，符合题意； 综上所述：的值是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $