专题 4.1 整式 讲义- 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦整式核心知识点，系统梳理单项式的系数与次数、多项式的项与次数及整式的分类，构建从概念解读到基础辨析再到综合应用的学习支架，衔接前后知识逻辑。 资料亮点在于分层题型设计，夯实基础部分强化概念识别与构造，综合提升融入实际情境（如长方体容积计算）和规律探究（单项式系数次数规律），培养抽象能力、推理意识与模型意识。课中辅助教师分层教学，课后同步检测助力学生查漏补缺，巩固知识盲点。

专题 4.1 整式（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 2 学习目标 2 重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】单项式 2 【知识点二】多项式 2 【知识点三】整式 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】单项式识别及系数、次数求解 3 【题型2】根据条件构造单项式 5 【题型3】多项式的项、常数项、次数判定 7 【题型4】单项式、多项式、整式分类辨析 9 四.题型精析（综合提升） 11 【题型5】实际生活情境中的整式 11 【题型6】单项式中的规律探究 14 【题型7】根据多项式次数求参数 17 五.同步检测 19 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 19 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 23 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 26 19．（本小题满分8分） 26 20．（本小题满分8分） 27 21．（本小题满分10分） 28 22．（本小题满分10分） 28 23．（本小题满分10分） 30 24．（本小题满分12分） 30 一.学习目标与重难点 学习目标 1. 理解单项式、系数、次数的核心概念，能精准识别单项式，规范求解单项式的系数与次数。 2. 掌握多项式、多项式的项、常数项、多项式次数的定义，熟练辨析多项式各项符号与次数。 3. 明确整式的概念层级，可精准区分代数式、单项式、多项式、整式四类式子。 4. 能结合几何图形、生活实际情境列单项式与多项式，解决基础应用问题。 5. 攻克系数、次数高频易错点，厘清易混淆概念，建立整式运算的符号意识。 重难点 重点：单项式的系数、次数判定；多项式的项、常数项、次数识别；整式的分类与判定。 难点：含单项式的系数与次数辨析；多项式最高次项的判断；整式与非整式的精准区分。 二.知识梳理与解读 【知识点一】单项式 由数或字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或者单独一个字母，也是单项式。 【要点提示】 1. 单项式仅含乘法、乘方运算，不含加减运算，分母中不能含有字母； 2. 单项式的系数：单项式中的数字因数，系数必须包含前面的正负号；系数为或时，数字默认省略不写； 3. 单项式的次数：单项式中所有字母指数的和；单独非零常数的次数为； 4. 是固定常数，不属于字母，计算系数、次数时不可计入字母范畴。 【知识点二】多项式 几个单项式的和叫做多项式。 【要点提示】 1. 多项式的项：组成多项式的每一个单项式，每一项必须自带前方的正负符号，不可遗漏负号； 2. 常数项：多项式中不含字母的项，常数项可正、可负； 3. 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，即为整个多项式的次数； 4. 多项式无“整体系数”的说法，只有多项式中的单项才有系数。 【知识点三】整式 单项式与多项式统称为整式。 【要点提示】 1. 所有整式都是代数式，但代数式不一定是整式； 2. 分母含有字母的代数式，既不是单项式、也不是多项式，不属于整式； 3. 概念层级：整式是代数式的一部分，而整式包含单项式、多项式两类。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】单项式识别及系数、次数求解 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列各单项式的系数和次数： 系数 次数 【答案】解：如表. 系数 次数 【分析】本题考查的是单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 根据单项式的系数和次数的概念解答即可． 解：略 【变式1】（25-26七年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（　　） A．是次单项式 B．的系数是 C．是单项式 D．的系数是 【答案】C 【分析】根据单项式的定义、单项式的次数与系数的定义，逐一判断选项即可． 解：、中是常数，所有字母的指数和为，因此它是次单项式，故本选项说法错误，不符合题意； 、的数字因数是，因此系数为，不是，故本选项说法错误，不符合题意； 、根据定义，单独的一个数是单项式，因此是单项式，故本选项说法正确，符合题意； 、的数字因数是，因此系数为，不是，故本选项说法错误，不符合题意． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）在中，单项式有_______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查单项式的定义；根据单项式的定义：只包含数字与字母的乘积，或单独的数字或字母，且分母中不含字母，字母的指数均为整数，逐个判断各代数式即可． 解：可化为，是数字与字母的乘积，故为单项式； 分母中含有字母，故不是单项式； 含有加法运算，故不是单项式； 化简为，是数字与字母的乘积，故为单项式； 是开方运算，相当于，字母的指数不是整数，故不是单项式； 是字母的乘积，故为单项式． 因此，单项式有3个． 故答案为：3． 【变式3】（2026七年级上·全国·专题练习）根据题意列出单项式，并指出它们的系数和次数． （1）长方形的长为，宽为，则长方形的面积为多少？ （2）某班总人数为人，女生人数是男生人数的，那么该班男生人数为多少？ 【答案】（1）长方形的面积为，的系数为1，次数为2；（2）该班男生人数为人，的系数为，次数为1 【分析】本题主要考查了单项式及系数、次数的确定，正确列出单项式是解题的关键． （1）根据长方形面积公式写出单项式，再确定系数和次数，系数就是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数和； （2）按照分数的乘法运算，根据已知条件求出男生人数的单项式，系数就是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数和． （1）解：长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 的系数是1，次数是2； （2）解：某班总人数为人，女生人数是男生人数的， 该班男生人数是， 的系数是，次数为1． 【题型2】根据条件构造单项式 【例题2】（26-27七年级上·全国·课后作业）写出满足条件的单项式． （1）写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； （2）系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； （3）系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【答案】（1），，，；（2）；（3） 【分析】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和． （1）直接利用单项式的定义分析得出答案； （2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案； （3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案． （1）解：由题意可得：，，，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查单项式问题，解答此题需灵活掌握单项式的系数和次数的定义． 根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 解：此题规定了单项式的系数和次数，但未规定单项式中含几个字母． A、系数是，次数是，故符合题意； B、系数是，次数是，故不符合题意； C、系数是，次数是，故不符合题意； D、系数是，次数是，故不符合题意． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·云南德宏·期末）写出系数为，含有字母，的三次单项式________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的定义，由数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，单项式中数字因数叫做单项式的系数（当系数为1或时，1可以省略不写）．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 解：系数为，含有字母，的三次单项式： 故答案为：（答案不唯一） 【变式3】（25-26七年级上·福建厦门·期中）给出以下七个代数式： ，，，，，， 请按要求进行分类 （1）分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类 其中①含字母的有： ②不含字母的有： （2）模仿（1）的分类方式 分成三类，分类方法是 其中① ② ③ 【答案】（1）①、、、、；②、；（2）分成单项式次数为0、1、3三类，①、；②、；③、、 【分析】本题主要考查了单项式以及单项式的次数． （1）根据单项式的分类，即可求解； （2）根据单项式的次数，即可求解． （1）解：①含字母的有：、、、、； ②不含字母的有：、； （2）解：模仿（1）的分类方式分成三类，分类方法是（分成单项式次数为0、1、3三类） 其中①单项式次数为0的有：、； ②单项式次数为1的有：、； ③单项式次数为3的有：、、 【题型3】多项式的项、常数项、次数判定 【例题3】（25-26七年级上·广西崇左·周测）用多项式填空，并指出它们的项和次数： （1）某先进型号的计算机每台元，甲厂买了台，乙厂买了台，两厂一共花了 元； （2）某校合唱队男生和女生共人，其中男生有人，那么女生有 人． 【答案】（1），该多项式的项为，，次数为；（2），该多项式的项为，，次数为 【分析】本题考查列代数式，多项式的基本概念，准确理解实际数量关系是解题关键． （1）根据“总价=单价×数量”表示多项式； （2）根据“女生人数=总人数-男生人数”表示多项式． （1）解：根据题意，可知甲厂花了元，乙厂花了元， 则两厂一共花了元， 该多项式的项为，，次数为． 答：． （2）解：根据题意，女生有人， 该多项式的项为，，次数为． 答：． 【变式1】（25-26七年级上·广西河池·期末）对于多项式的说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．是三次二项式 C．一次项系数是1 D．常数项是2 【答案】A 【分析】多项式中单项式的个数为多项式的项数，不含字母的项为常数项，次数最高项的次数为多项式的次数． 解：多项式是二次三项式，一次项系数是，常数项为． 【变式2】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）多项式的最高次项是______，第二项的系数是______，第二项的次数是______． 【答案】 / 3 【分析】本题考查了多项式的项、项数或次数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据多项式的概念，最高次项是次数最高的项，系数是项中的数字因数（包括符号和常数），次数是项中所有变量的指数之和． 解：多项式有三项： 第一项的次数为， 第二项的次数为， 第三项是常数项，次数为． 因此最高次项是． 第二项是， 其系数为， 次数为． 故答案为：，，3． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3． （1）这个多项式最多有 项． （2）在（1）的条件下，若此时这个多项式各项系数和为0，则这个多项式可能为 （写出一个即可）． 【答案】（1）四；（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式的项、项数或次数，解题关键是理解多项式的定义． （1）根据多项式的定义分析即可得； （2）根据多项式的系数、次数的定义即可得． （1）解：因为这个多项式含有，每项的次数都是，且 所以当它同时含有，，，时，它的项数最多， 即这个多项式最多有四项， 故答案为：四； （2）满足要求的多项式为：（答案不唯一）， 故答案为：． 【题型4】单项式、多项式、整式分类辨析 【例题4】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）把下列各代数式的序号分别填在相应的横线上： 下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？．分别将序号填入所属的横线上． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：__________； 多项式：__________； 二次三项式：__________； 整式：__________； 【答案】单项式：多项式：二次三项式：整式： 【分析】本题主要考查了单项式，多项式和整式的识别，解题的关键是掌握以上定义． 根据单项式，多项式和整式的定义进行判断即可． 解：∵①7为单项式，②为单项式，③为多项式，且为一次二项式，④为多项式，且为三次二项式，⑤为多项式，且为二次二项式，⑥不是整式，⑦为单项式，⑧为多项式，且为二次三项式，⑨为单项式； 单项式和多项式统称为整式； ∴单项式：， 多项式：， 二次三项式： 整式：． 【变式1】（25-26七年级上·河南周口·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．单项式的系数是 B．多项式是二次三项式 C．整式就是多项式 D．单项式的次数是0 【答案】B 解：单项式的系数是，A选项错误； 多项式是二次三项式，B选项正确； 整式包括单项式和多项式两类，C选项错误； 单项式的次数是3，D选项错误． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）在代数式中，整式的个数有___________个． 【答案】5 【分析】本题考查了整式的定义． 根据整式的定义判断即可． 解：在代数式中，整式的个数有共5个． 故答案为：5． 【变式3】（25-26七年级上·湖北黄石·期中）把下列各代数式的序号填在相应的位置： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中． （1）单项式有：____________； （2）多项式有：____________； （3）整式有：____________； （4）代数式有：____________． 【答案】（1）④⑤⑥⑧；（2）①②③⑦；（3）①②③④⑤⑥⑦⑧；（4）①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 【分析】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式． 根据单项式，多项式，整式，代数式的定义即可求解． （1）解：单项式有：④⑤⑥⑧； （2）解：多项式有：①②③⑦； （3）解：整式有：①②③④⑤⑥⑦⑧； （4）解：代数式有：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨； 四.题型精析（综合提升） 【题型5】实际生活情境中的整式 【例题5】（25-26七年级上·全国·课后作业）请用代数式表示图中长方体形状无盖纸盒的容积（纸盒厚度忽略不计）和表面积．它们是整式吗?如果是，请分别指出它们是单项式还是多项式． 【答案】容积为：，表面积为：，都是整式，容积为单项式，表面积为多项式 【分析】题目主要考查列代数式，整式的判断，单项式和多项式的判断，理解题意，列出代数式，然后根据整式、单项式和多项式的定义判断即可． 解：容积为：， 表面积为：， 容积和表面积都是整式， 容积为单项式，表面积为多项式． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）请写出下列各题中的代数式．如果是单项式，请指出它们的系数和次数；如果是多项式，请指出它们的项和次数． （1）目前，在地球上生存的动物约有150万种．其中，无脊椎动物约有m万种，脊椎动物约有 万种． （2）上图是某古城墙及门洞的示意图，其中门洞的下部是长方形，上部是半圆形，它的面积是 ．若城墙上面的垛口都可看作长为a、宽为b的长方形，则5个垛口的面积和是 ． （3）一个三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，这个三位数可表示为 ． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】该题主要考查了列代数式，单项式的系数和次数，解题的关键是理解题意，掌握单项式的相关定义． （1）将题中的代数式表示出来，再根据系数、次数和项的定义求解即可． （2）将题中的代数式表示出来，再根据系数、次数和项的定义求解即可． （3）将题中的代数式表示出来，再根据系数、次数和项的定义求解即可． （1）解：根据题意得：脊椎动物约有万种， 是多项式，项分别为：150，；次数为1次； （2）解：根据题意得：门洞的面积为：， 5个垛口的面积和是：， 是多项式，项分别为：；次数为2次； 是单项式，系数为5，次数为2次； （3）解：根据题意得：这个三位数可表示为：， 为多项式，项分别为：，次数为1次． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）用多项式填空，并指出它们的项和次数． （1）一个长方形相邻两条边的长分别为，，则这个长方形的周长为________． （2）为一个有理数，的立方与2的差为________． （3）某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收辆．第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为________． （4）现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，那么这个印章的表面积为________． 【答案】（1），项：，，次数：；（2），项：，，次数：；（3），项：，，次数：；（4），项：，，次数： 【分析】本题主要考查代数式的运用，多项式的项，次数，掌握代数式表示数或数量关系的方法，多项式的项、次数的概念是解题的关键． （1）根据周长的计算公式即可求解； （2）先表示出立方，再表示差的关系即可； （3）第一年、第二年的量减去第三年回收的量，由此列式即可； （4）根据正方形的面积与等边三角形面积的公式计算即可． （1）解：，它的项分别为，，次数是1． （2）解：，它的项分别为，，次数是3． （3）解：，它的项分别为，，次数是1． （4）解：，它的项分别为，，次数是2． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）用单项式填空，并指出它们的系数和次数． （1）一辆车以的速度行驶3小时的路程为___________． （2）小明活动课上折了一个正方体盒子，其棱长为，则它的体积为___________． （3）某件商品的原价为x元，则降价后的售价为___________元． （4）底面半径为2，圆柱的体积为，则圆柱的高为___________． 【答案】（1），它的系数为3，次数为1；（2），它的系数为1，次数为3；（3），它的系数为0.9，次数为1；（4），它的系数为2，次数为1 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的代数式． （1）根据“路程速度时间”可写出单项式，写出单项式的系数及次数； （2）根据“正方体体积棱长的立方” 可写出单项式，写出单项式的系数及次数； （3）根据售价=原价降价的百分率），可以表示出该商品的售价，并写出单项式的系数及次数； （4）根据“圆柱的高圆柱的体积圆柱的底面积”可表示出该圆柱的高，并写出单项式的系数及次数． （1）解：一辆车以的速度行驶3小时的路程为， 故答案为：，它的系数为3，次数为1； （2）解：小明活动课上折了一个正方体盒子，其棱长为，则它的体积为， 故答案为：，它的系数为1，次数为3； （3）解：某件商品的原价为x元，则降价后的售价为元 故答案为：，它的系数为0.9，次数为1； （4）解：底面半径为2，圆柱的体积为，则圆柱的高为， 故答案为：，它的系数为2，次数为1． 【题型6】单项式中的规律探究 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： ，， ，，，，… （1）第3个单项式应该是 ． （2）按此规律排列，次数是7的单项式的系数应该是 ． （3）第n个单项式应该是 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了单项式,确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键，解决本题的关键是要分别找出单项式的系数和次数的规律． （1）通过观察可得到答案； （2）根据题意得，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数，系数为，字母为， 得出第n个单项式为，然后将代入计算即可； （3）根据题意即可求解． （1）解：依题意得，故第3个单项式的系数为，第3个单项式的字母为， ∴第3个单项式为； 故答案为：； （2）解：根据题意得：各单项式系数均为偶数，依次为，，……，，，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数， 第n个单项式的系数为，第n个单项式的字母为， ∴第n个单项式为， ∴当时，， 故答案为：； （3）由（2）得第n个单项式应该是， 故答案为：． 【变式1】（2026·广东湛江·模拟预测）观察下列关于 的单项式，探究其规律：，按照上述规律，第2024个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题分别找出单项式系数和次数的规律，得到第n个单项式的表达式，代入即可求解． 解：∵第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， …… ∴第 个单项式为， 当时，系数为，次数为， 因此第个单项式是． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）（1）按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是_______________ （2）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是__________ 【答案】（1）  （2） 【分析】本题考查了单项式的数字类规律探索，对单项式正确进行等价变形是解题关键． （1）对所给的单项式进行整理后即可求解． （2）对所给的单项式进行整理后即可求解． 解：（1）∵， ， ， ， ， ∴第n个单项式为． （2）第1个单项式的系数为，次数为， 第2个单项式的系数为，次数为， 第3个单项式的系数为，次数为， 第4个单项式的系数为，次数为， 第5个单项式的系数为，次数为， ……， 以此类推，可知第个单项式的系数为，次数为，即第个单项式是， 故答案为：（1）  （2） 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． （1）这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？ （2）这组单项式的次数的规律是什么？ （3）请你根据上面的归纳猜想出第个单项式． （4）请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式． 【答案】（1）这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，第个单项式的系数的绝对值可表示为；（2）次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为；（3）第个单项式是；（4）第2023个单项式是，第2024个单项式是 【分析】（1）观察题目中的单项式，写出几个单项式的系数，发现系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，用含的代数式表示第个单项式的系数的绝对值即可； （2）观察题目中的单项式，发现次数的规律是从1开始的连续自然数，用表示第个单项式的次数即可； （3）根据（1）、（2）发现的规律，用含的代数式表示第个单项式即可； （4）根据（3）中的表示第个单项式的代数式，写出第2023个，第2024个单项式即可． 解：（1）这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数为奇数且奇次单项式的系数为负数，故单项式的系数的符号是，系数的绝对值的规律是； （2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为； （3）根据（1）、（2）发现的规律，第个单项式是； （4）根据（3）中的第个单项式是， 当时，代入写出第2023个单项式是， 当时，代入写出第2024个单项式是． 【点拨】本题考查了单项式的书写、单项式的系数和次数，观察题目中的单项式发现规律是解题的关键． 【题型7】根据多项式次数求参数 【例题7】（25-26七年级上·全国·期中）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式的次数，单项式的次数，根据单项式的次数为所有字母的指数和，多项式的次数为次数最高项的次数进行求解即可． 解：∵多项式是六次四项式， ∴， ∴； ∵单项式与该多项式的次数相同， ∴，即， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·四川内江·期末）若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查多项式的次数概念，需满足各项次数为非负整数且最高次为3，根据题意确定n的值，再计算代数式的值即可 解：∵ 多项式是关于x的三次多项式， ∴ 各项次数为非负整数，且最高次数为3. ∴时，解得，此时多项式为不符合题意； 时，解得，此时多项式为符合题意； ∴， 故选D． 【变式2】（25-26七年级上·山东德州·期末）若多项式是关于x的二次三项式，则k的值是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查多项式的定义，绝对值的应用．根据二次三项式的定义，多项式最高次项为二次，且必须有三项．因此，，且一次项系数据此计算即可． 解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴最高次项的次数为2，即， ∴或． 又∵多项式有三项， ∴一次项的系数． 当时，，多项式为，符合条件； 当时，，一次项消去，多项式为，是二次二项式，不符合条件． ∴． 故答案为：2． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知一个整式为． （1）若该整式是关于x的一次式，求a的值，并写出此时的一次式； （2）若该整式是二次二项式，求a的值，并写出此时的二次二项式； （3）若该整式是二次式，求a的取值范围． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】（1）由整式为一次式，得到二次项系数为求出的值，即可确定出一次式； （2）由整式为二次二项式，得到常数项为求出的值，即可确定出二次二项式； （3）由整式为二次式，得到二次项系数不为，求出的范围即可． （1）解：因为该整式是关于x的一次式， 所以， 所以， 此时的一次式为． （2）解：因为该整式是二次二项式， 所以且， 所以， 此时的二次二项式为． （3）解：因为该整式是二次式， 所以， 所以． 【点拨】本题考查了多项式，弄清题意是解题的关键． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·上海奉贤·三模）下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的定义判断各选项即可，单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，多个单项式的和为多项式． 解：A.是符合单项式定义，属于单项式； B.是数与字母的积，属于单项式； C.是与的积，属于单项式； D.是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式． 2．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）一个同时含有字母a，b，c，且系数为的五次单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查单项式的系数，次数的概念，关键是掌握：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；进而问题可求解． 解：一个同时含有字母，，，且系数为的5次单项式有，，，，，，共有6个． 故选：A． 3．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）下列说法正确的是（     ） A．单项式的次数是2 B．多项式是一次二项式 C．单项式的系数是 D．多项式的次数是3 【答案】B 解：A、单项式的次数为，不是，故A错误； B、多项式包含和两个单项式，两项的次数都为，是一次二项式，故B正确； C、单项式的系数为，故C错误； D、多项式中最高次项为，次数为，不是，故D错误． 4．（25-26七年级上·江西吉安·期末）多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．因为多项式为五次三项式，故需满足最高次项次数为5且所有三项系数均非零，据此进行分析，即可作答． 解：∵多项式是关于的五次三项式， ∴，且， ∴，且， ∴， 故选：D． 5．（25-26八年级下·江西吉安·期中）下列说法中正确的是（   ） A．是整式 B．近似数万精确到百分位 C．是单项式，次数为2 D．是三次三项式 【答案】C 解：选项A：∵分母含有字母，不是整式，∴A错误，不符合题意； 选项B：∵近似数万，单位为万，最后一位有效数字0对应实际数位是百位，因此精确到百位，不是百分位，∴B错误，不符合题意； 选项C：∵是数字与字母的积，属于单项式，所有字母的指数和为，次数为2，∴C正确，符合题意； 选项D：∵多项式中，的次数为，是各项中最高次数，因此该多项式是四次三项式，∴D错误，不符合题意． 6．（2026·云南昆明·模拟预测）一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别从系数、的次数两个部分分析规律，整合后即可得到第个代数式． 解：由题可知，系数分别是1，，，，，， 即第1项系数为1，第2项系数为，第3项系数为，第4项系数为，第5项系数为， 则系数规律为； 的次数分别是，，，，，， 即第1项次数为，第2项次数为，第3项次数为，第4项次数为，第5项次数为， 则的次数规律为； 第个代数式为． 7．（2026·云南临沧·二模）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵这5个多项式第1项的系数分别为，，，，， ∴第n个多项式第1项的系数为， ∵这5个多项式第1项的次数分别为1，2，3，4，5， ∴第n个多项式第1项的次数为n， ∵这5个多项式的常数项分别为1，2，3，4，5， ∴第n个多项式的常数项为n， ∴第n个多项式是． 8．（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．是三次三项式 B．是一次二项式 C．系数为，次数为4 D．单项式的系数是，次数是1 【答案】D 解：A、是四次三项式，该选项错误，不符合题意； B、不是整式，该选项错误，不符合题意； C、系数为，次数为5，该选项错误，不符合题意； D、单项式的系数是，次数是1，该选项正确，符合题意． 9．（25-26七年级下·山东日照·开学考试）关于整式的概念，下列说法正确的是（　　） A．的系数是 B．的次数是6 C．的三次项系数是 D．是五次三项式 【答案】C 【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，根据单项式的系数、次数，多项式的次数、项数的定义，逐个判断选项即可． 解：选项A中，单项式的数字因数为，是常数，因此系数是，不是，故A错误． 选项B中，单项式的次数是所有字母的指数和，即，常数的指数不计算入单项式次数，因此次数是4，不是6，故B错误． 选项C中，的三次项是，其系数为，故C正确． 选项D中，的最高次项次数为3，共含3个单项式，因此是三次三项式，不是五次三项式，故D错误． 10．（25-26七年级上·河北唐山·期末）张老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述： 小明：这个代数式是一个六次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为； 小华：这个代数式的常数项是7． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项．根据描述，代数式需满足：是六次三项式、最高次项系数为、常数项为，逐一验证选项即可； 解：A. ，是四次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项不正确，不符合题意； B. ，是六次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项正确，符合题意； C. ，是六次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，是四次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·河南郑州·期末）单项式的系数是 ___________． 【答案】 【分析】根据单项式系数的定义求解，注意是常数不是字母，需计入系数，不要遗漏原式的负号. 解：∵ 单项式的系数是单项式中的数字因数， ∵ 是常数，不属于字母， ∴ 单项式的数字因数为，因此该单项式的系数是. 12．（2026·河南许昌·一模）按照一定规律排列的式子：，第6个式子是___________． 【答案】 【分析】找到规律第n个式子是，据此即可求解． 解：按照一定规律排列的式子：，，，， 以此类推可得，第n个式子是， ∴第6个式子是． 13．（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 【答案】 三 三 【分析】根据多项式中单项式的个数为项数，最高次项的次数为多项式的次数分析求解即可． 解：整式包含三个单项式，分别为，，，其中的次数为，的次数为，的次数为，可得最高次项的次数为，项数为，因此该整式是三次三项式． 14．（25-26六年级上·上海松江·期末）一个一次式满足：①只含有一个字母；②常数项为正数；③当字母的值取1时，这个一次式的值等于．写出满足要求的一次式________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次式的概念．熟悉一次式的概念，根据一次式的值，推导并写出符合要求的一次式，是解题的关键。 设一次式为，其中和为常数，为字母。根据条件常数项，且当时，值为，代入得．由此关系选择合适常数即可． 解：设一次式形式为，常数项， 当时，，即， ∵， ∴， ∴取，则，得一次式为， 验证：常数项，当时，，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）． 15．（24-25七年级上·山东德州·阶段检测）在，，，，中，整式有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的定义，整式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式．掌握整式的定义是解题的关键． 解：在，，，，中，整式有，，，，共4个， 故答案为：4． 16．（2026·四川广安·二模）若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 【答案】或 【分析】本题考查多项式的次数的概念，解题关键是根据多项式次数要求，令高于三次的项系数为，再求解最高次项的次数得到参数的值． 解：多项式是关于，的三次多项式， 次数为的项的系数必须为，且最高次项的次数为， 可得， 由得， 将代入 得， 即或， 解得或， 当，时，， 当，时，． 17．（25-26七年级下·河南新乡·期末）我国古代的天元式可以用来表示多项式，在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂由与“元”的相对位置确定，高次幂在上，低次幂在下．如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的一次项系数为__________． 【答案】248 【分析】本题考查数学常识．据此解答即可． 解：根据“天元式”规定的意义，图2表示的多项式是：， ∴一次项系数为248， 故答案为：248． 18．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．他发现从第三个输出项起的每一项都与这一项的前面两个输出项有关．按此规律，当输入8时，输出结果为______，从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有______个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 … 输出 … 【答案】 676 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察输出结果，得到当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数，再由，即可求解． 解：输入1，得a，项的系数与次数均为奇数， 输入2，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入4，得，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， …… ∴当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数， ∵， ∴从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有676个， 故答案为：，676． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）填表： 单项式 系数 次数 【答案】故填表如下： 单项式 系数 5 2 次数 1 3 3 2 5 3 【分析】本题考查了单项式系数和次数，根据单项式系数和次数的定义，系数是单项式中的数字因数，包括符号；次数是所有字母的指数的和． 解：对于单项式，系数是，次数是； 对于单项式，系数是，次数是； 对于单项式，系数是，次数是； 对于单项式，系数是，次数是； 对于单项式，系数是，次数是； 对于单项式，系数是，次数是． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）已知是六次四项式，且的次数与它相同．求： （1），的值． （2）多项式的常数项以及各项的系数和． 【答案】（1），；（2）， 【分析】此题考查了多项式的知识，解答本题的关键是掌握多项式次数的判断，得出、的值，难度一般． 根据多项式的概念即可求出与的值，然后根据多项式即可判断常数项与各项系数． （1）解：因为是六次四项式， 所以，所以． 因为的次数也是6， 所以，即， 所以． 故，． （2）由（1），得该多项式为， 所以该多项式的常数项为，各项的系数和为． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·内蒙古乌海·期中）（1）已知多项式是五次四项式，且单项的次数与该多项式的次数相同，求m，n的值． （2）从以下单项式中选择几个单项式相加构成四次三项式，并满足各项系数（含常数项）的和为10． 【答案】，；或 【分析】本题考查了单项式和多项式的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得．再根据单项式系数和多项式的定义，组合出答案． （1）解：∵多项式是五次四项式， ∴， ∴， ∵单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴， ∴． （2）解：由题意可得，，是必选项， ∵，别的系数不符合题意， ∴结果为或． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）甲和乙一起制作了六张卡片．两人规定：做出一张单项式卡片给甲加1分，做出一张多项式卡片给乙加1分．如图是他们做的卡片． （1）甲得了___________分； （2）请找出单项式和多项式，分别写在下面的框里； （3） 上面的多项式中，次数最高的是___________次． 【答案】（1）3；（2） 解： （3）4 【分析】本题考查单项式和多项式定义，多项式的次数，掌握相关知识是解决问题的关键．单项式是只有字母与数字的乘积的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式；几个单项式的和是多项式，多项式中次数最高项的次数就为多项式的次数． （1）一共有3个单项式，故甲得3分； （2）根据单项式和多项式的定义找出单项式和多项式即可； （3）根据多项式次数的定义计算每个多项式的次数并且比较即可 （1）解：单项式有， ∴甲得3分． 故答案为：3； （2）略 （3）解：是3次多项式； 是1次多项式； 是4次多项式； 故多项式中次数最高是4次． 故答案为：4． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·广西玉林·期中）某县是著名的“脐橙之乡”，其生产的脐橙品质优良、风味独特、营养丰富，王大伯家的果园里有一堆脐橙，把这些脐橙平均分装在若干个纸箱里，每箱装的个数和总箱数如下表∶ 每箱装的个数 60 50 40 30 总箱数 40 48 60 80 （1）这堆脐橙共有多少个？ （2）总箱数是怎样随着每箱装的个数的变化而变化的？ （3）用n表示总箱数，用m表示每箱装的个数，用式子表示n与m的关系，n与m成什么比例关系？ （4）王大伯将这堆脐橙平均每箱装32个，他需要多少个纸箱？ 【答案】（1）2400个；（2）总箱数随着每箱装的个数的变小而变大；（3）反比例关系；（4）75个纸箱 【分析】本题主要考查了列式计算、反比例函数的应用等知识点，审清题意、正确运用反比例函数成为解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据表格数据归纳即可解答； （3）先根据题意得到，然后根据反比例函数的定义即可解答； （4）令，然后代入（3）所得的关系式即可解答 解：（1）解∶∵， ∴它们的乘积相等，即这个积表示这堆脐橙的总个数， ∴这堆脐橙共有2400个． （2）解：由表格数据可得：总箱数随着每箱装的个数的变小而变大． （3）解：由题意可得：， ∴n与m的积一定， ∴n与m成反比例关系． （4）解：当，则，解得： 所以他需要75个纸箱． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： （1）这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． （2）这组单项式的次数的规律是 ． （3）根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是（只能填写一个代数式） ． （4）请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】（1），；（2）；（3）；（4）， 【分析】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． （1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.1 整式（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 2 学习目标 2 重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】单项式 2 【知识点二】多项式 2 【知识点三】整式 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】单项式识别及系数、次数求解 3 【题型2】根据条件构造单项式 3 【题型3】多项式的项、常数项、次数判定 4 【题型4】单项式、多项式、整式分类辨析 4 四.题型精析（综合提升） 5 【题型5】实际生活情境中的整式 5 【题型6】单项式中的规律探究 6 【题型7】根据多项式次数求参数 7 五.同步检测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 19．（本小题满分8分） 10 20．（本小题满分8分） 10 21．（本小题满分10分） 10 22．（本小题满分10分） 10 23．（本小题满分10分） 10 24．（本小题满分12分） 11 一.学习目标与重难点 学习目标 1. 理解单项式、系数、次数的核心概念，能精准识别单项式，规范求解单项式的系数与次数。 2. 掌握多项式、多项式的项、常数项、多项式次数的定义，熟练辨析多项式各项符号与次数。 3. 明确整式的概念层级，可精准区分代数式、单项式、多项式、整式四类式子。 4. 能结合几何图形、生活实际情境列单项式与多项式，解决基础应用问题。 5. 攻克系数、次数高频易错点，厘清易混淆概念，建立整式运算的符号意识。 重难点 重点：单项式的系数、次数判定；多项式的项、常数项、次数识别；整式的分类与判定。 难点：含单项式的系数与次数辨析；多项式最高次项的判断；整式与非整式的精准区分。 二.知识梳理与解读 【知识点一】单项式 由数或字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或者单独一个字母，也是单项式。 【要点提示】 1. 单项式仅含乘法、乘方运算，不含加减运算，分母中不能含有字母； 2. 单项式的系数：单项式中的数字因数，系数必须包含前面的正负号；系数为或时，数字默认省略不写； 3. 单项式的次数：单项式中所有字母指数的和；单独非零常数的次数为； 4. 是固定常数，不属于字母，计算系数、次数时不可计入字母范畴。 【知识点二】多项式 几个单项式的和叫做多项式。 【要点提示】 1. 多项式的项：组成多项式的每一个单项式，每一项必须自带前方的正负符号，不可遗漏负号； 2. 常数项：多项式中不含字母的项，常数项可正、可负； 3. 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，即为整个多项式的次数； 4. 多项式无“整体系数”的说法，只有多项式中的单项才有系数。 【知识点三】整式 单项式与多项式统称为整式。 【要点提示】 1. 所有整式都是代数式，但代数式不一定是整式； 2. 分母含有字母的代数式，既不是单项式、也不是多项式，不属于整式； 3. 概念层级：整式是代数式的一部分，而整式包含单项式、多项式两类。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】单项式识别及系数、次数求解 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列各单项式的系数和次数： 系数 次数 【变式1】（25-26七年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（　　） A．是次单项式 B．的系数是 C．是单项式 D．的系数是 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）在中，单项式有_______个． 【变式3】（2026七年级上·全国·专题练习）根据题意列出单项式，并指出它们的系数和次数． （1）长方形的长为，宽为，则长方形的面积为多少？ （2）某班总人数为人，女生人数是男生人数的，那么该班男生人数为多少？ 【题型2】根据条件构造单项式 【例题2】（26-27七年级上·全国·课后作业）写出满足条件的单项式． （1）写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； （2）系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； （3）系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·云南德宏·期末）写出系数为，含有字母，的三次单项式________． 【变式3】（25-26七年级上·福建厦门·期中）给出以下七个代数式： ，，，，，， 请按要求进行分类 （1）分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类 其中①含字母的有： ②不含字母的有： （2）模仿（1）的分类方式 分成三类，分类方法是 其中① ② ③ 【题型3】多项式的项、常数项、次数判定 【例题3】（25-26七年级上·广西崇左·周测）用多项式填空，并指出它们的项和次数： （1）某先进型号的计算机每台元，甲厂买了台，乙厂买了台，两厂一共花了 元； （2）某校合唱队男生和女生共人，其中男生有人，那么女生有 人． 【变式1】（25-26七年级上·广西河池·期末）对于多项式的说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．是三次二项式 C．一次项系数是1 D．常数项是2 【变式2】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）多项式的最高次项是______，第二项的系数是______，第二项的次数是______． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3． （1）这个多项式最多有 项． （2）在（1）的条件下，若此时这个多项式各项系数和为0，则这个多项式可能为 （写出一个即可）． 【题型4】单项式、多项式、整式分类辨析 【例题4】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）把下列各代数式的序号分别填在相应的横线上： 下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？．分别将序号填入所属的横线上． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：__________； 多项式：__________；二次三项式：__________；整式：__________； 【变式1】（25-26七年级上·河南周口·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．单项式的系数是 B．多项式是二次三项式 C．整式就是多项式 D．单项式的次数是0 【变式2】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）在代数式中，整式的个数有___________个． 【变式3】（25-26七年级上·湖北黄石·期中）把下列各代数式的序号填在相应的位置： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中． （1）单项式有：____________； （2）多项式有：____________； （3）整式有：____________； （4）代数式有：____________． 四.题型精析（综合提升） 【题型5】实际生活情境中的整式 【例题5】（25-26七年级上·全国·课后作业）请用代数式表示图中长方体形状无盖纸盒的容积（纸盒厚度忽略不计）和表面积．它们是整式吗?如果是，请分别指出它们是单项式还是多项式． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）请写出下列各题中的代数式．如果是单项式，请指出它们的系数和次数；如果是多项式，请指出它们的项和次数． （1）目前，在地球上生存的动物约有150万种．其中，无脊椎动物约有m万种，脊椎动物约有 万种． （2）上图是某古城墙及门洞的示意图，其中门洞的下部是长方形，上部是半圆形，它的面积是 ．若城墙上面的垛口都可看作长为a、宽为b的长方形，则5个垛口的面积和是 ． （3）一个三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，这个三位数可表示为 ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）用多项式填空，并指出它们的项和次数． （1）一个长方形相邻两条边的长分别为，，则这个长方形的周长为________． （2）为一个有理数，的立方与2的差为________． （3）某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收辆．第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为________． （4）现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，那么这个印章的表面积为________． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）用单项式填空，并指出它们的系数和次数． （1）一辆车以的速度行驶3小时的路程为___________． （2）小明活动课上折了一个正方体盒子，其棱长为，则它的体积为___________． （3）某件商品的原价为x元，则降价后的售价为___________元． （4）底面半径为2，圆柱的体积为，则圆柱的高为___________． 【题型6】单项式中的规律探究 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： ，， ，，，，… （1）第3个单项式应该是 ． （2）按此规律排列，次数是7的单项式的系数应该是 ． （3）第n个单项式应该是 ． 【变式1】（2026·广东湛江·模拟预测）观察下列关于 的单项式，探究其规律：，按照上述规律，第2024个单项式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）（1）按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是_______________ （2）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是__________ 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． （1）这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？ （2）这组单项式的次数的规律是什么？ （3）请你根据上面的归纳猜想出第个单项式． （4）请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式． 【题型7】根据多项式次数求参数 【例题7】（25-26七年级上·全国·期中）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求m，n的值． 【变式1】（25-26七年级上·四川内江·期末）若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 【变式2】（25-26七年级上·山东德州·期末）若多项式是关于x的二次三项式，则k的值是______． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知一个整式为． （1）若该整式是关于x的一次式，求a的值，并写出此时的一次式； （2）若该整式是二次二项式，求a的值，并写出此时的二次二项式； （3）若该整式是二次式，求a的取值范围． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·上海奉贤·三模）下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）一个同时含有字母a，b，c，且系数为的五次单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．不能确定 3．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）下列说法正确的是（     ） A．单项式的次数是2 B．多项式是一次二项式 C．单项式的系数是 D．多项式的次数是3 4．（25-26七年级上·江西吉安·期末）多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 5．（25-26八年级下·江西吉安·期中）下列说法中正确的是（   ） A．是整式 B．近似数万精确到百分位 C．是单项式，次数为2 D．是三次三项式 6．（2026·云南昆明·模拟预测）一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·云南临沧·二模）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．是三次三项式 B．是一次二项式 C．系数为，次数为4 D．单项式的系数是，次数是1 9．（25-26七年级下·山东日照·开学考试）关于整式的概念，下列说法正确的是（　　） A．的系数是 B．的次数是6 C．的三次项系数是 D．是五次三项式 10．（25-26七年级上·河北唐山·期末）张老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述： 小明：这个代数式是一个六次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为； 小华：这个代数式的常数项是7． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·河南郑州·期末）单项式的系数是 ___________． 12．（2026·河南许昌·一模）按照一定规律排列的式子：，第6个式子是___________． 13．（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 14．（25-26六年级上·上海松江·期末）一个一次式满足：①只含有一个字母；②常数项为正数；③当字母的值取1时，这个一次式的值等于．写出满足要求的一次式________．（写出一个即可） 15．（24-25七年级上·山东德州·阶段检测）在，，，，中，整式有______个． 16．（2026·四川广安·二模）若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 17．（25-26七年级下·河南新乡·期末）我国古代的天元式可以用来表示多项式，在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂由与“元”的相对位置确定，高次幂在上，低次幂在下．如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的一次项系数为__________． 18．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．他发现从第三个输出项起的每一项都与这一项的前面两个输出项有关．按此规律，当输入8时，输出结果为______，从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有______个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 … 输出 … （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）填表： 单项式 系数 次数 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）已知是六次四项式，且的次数与它相同．求： （1），的值． （2）多项式的常数项以及各项的系数和． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·内蒙古海·期中）（1）已知多项式是五次四项式，且单项的次数与该多项式的次数相同，求m，n的值． （2）从以下单项式中选择几个单项式相加构成四次三项式，并满足各项系数（含常数项）的和 为10． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）甲和乙一起制作了六张卡片．两人规定：做出一张单项式卡片给甲加1分，做出一张多项式卡片给乙加1分．如图是他们做的卡片． （1）甲得了___________分； （2）请找出单项式和多项式，分别写在下面的框里； （3） 上面的多项式中，次数最高的是___________次． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·广西玉林·期中）某县是著名的“脐橙之乡”，其生产的脐橙品质优良、风味独特、营养丰富，王大伯家的果园里有一堆脐橙，把这些脐橙平均分装在若干个纸箱里，每箱装的个数和总箱数如下表∶ 每箱装的个数 60 50 40 30 总箱数 40 48 60 80 （1）这堆脐橙共有多少个？ （2）总箱数是怎样随着每箱装的个数的变化而变化的？ （3）用n表示总箱数，用m表示每箱装的个数，用式子表示n与m的关系，n与m成什么比例关系？ （4）王大伯将这堆脐橙平均每箱装32个，他需要多少个纸箱？ 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： （1）这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． （2）这组单项式的次数的规律是 ． （3）根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是（只能填写一个代数式） ． （4）请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $