期中复习压轴专题04 几何体的面积、体积与最值问题（4种类型20道）（压轴题专项训练）高二数学沪教版

期中复习压轴专题04 几何体的面积、体积与最值问题 （沪教版高二上，4种类型20道） 范围：必修第三册第10—11章、选择性必修第一册第3章 类型一 柱锥体积与等体积转化 1．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在三棱锥中，，，且三棱锥的体积，是上靠近点A的三等分点，E是中点，连接、交于点F，G在线段上，直线交平面于点M，且. (1)若，求的值； (2)求三棱锥的体积； (3)若，求此三棱锥的高. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）设得，同理得，联立求参数，即得，有，即可得； （2）连接，，，证明M为中点，根据已知及等体积法，应用棱锥的体积公式求体积； （3）由，设，，，边上的高为，得到，应用基本不等式得，设三棱锥的高为H，则，故，并确定取最大值对应的三棱锥的高. 【详解】（空间向量法）（1）设， ∵F，D，C三点共线，故①， 同理， ∵A，F，E三点共线，故②， 由①②可得，，故， 故F为中点，故，即. （2）连接，，平面，∴平面 又平面，且平面平面，∴ 连接， 在和中，，且， 故，故，故， 又F为中点，故M为中点， ； （3），当时，取到等号， 在中，设，，，边上的高为， 则， 则，则， 故， 又，故，当且仅当时取到最大值. 设三棱锥的高为H，则，则， 当，且时取等号，故三棱锥的高为. 2．（25-26高二上·上海·期中）（1）已知正四面体的棱长为2，求该正四面体的体积和相对棱间的距离； （2）三角形的面积由三条边唯一确定，试探究四面体的体积是否可由四个面的面积唯一确定，请作出判断，并说明理由. （3）证明：若四面体相对棱间的距离分别为、、，则四面体的体积. 【答案】（1）体积为，相对棱间的距离为 （2）不能唯一确定. 在长方体中，取四个相间的顶点，，，，连接后得到四面体． 设长方体的长、宽、高分别为，，． 四面体的每个面的三条边均为所以四个面全等． 长方体除去该四面体后，剩下四个角上的小三棱锥，每个小三棱锥的体积均为，故 取棱长为2的正方体，此时四面体每个面都是边长为的等边三角形，面积为四面体的体积为 再取长、宽、高分别为，，的长方体． 此时四面体每个面的三条边分别为，，，以边长2的边为底时，其高为所以每个面的面积为 但该四面体的体积为 因此，四面体的体积不能由四个面的面积唯一确定． （3）设四面体为，并记 设为四面体的重心，，，分别为，，的中点，记 由重心关系以及中点关系， 可得 因此，以为中心、以，，为三组棱可作出一个平行六面体，且，，，恰为它的四个相间顶点． 设该平行六面体的体积为，三个高分别为，，． 平行六面体除去四面体后，剩下四个角上的小三棱锥，每个小三棱锥的体积均为，所以 相对棱，分别是平行六面体一对相对面内方向不同的两条对角线． 将其中一条对角线向另一相对面作垂直投影，所得两条对角线相交，因此两条相对棱的公垂线垂直于这对相对面，故 同理，，． 下面证明． 取与高对应的一个底面，设该底面平行四边形的两条邻边长分别为，，面积为，则 设该底面中以边为底时的高为，则． 高是某点到一个包含边的平面的距离，所以点到平面的距离不大于点到该平面内直线的距离，从而． 又高不大于相应棱长，所以． 于是 两边同乘，得 因此 【分析】（1）先求正四面体的高和体积，再取一组相对棱的中点，证明两中点的连线是公垂线并求其长度． （2）在两个不同的长方体中分别取四个相间的顶点构成四面体，使两四面体的四个面面积分别相等，但体积不同． （3）把四面体补成以其四个顶点为相间顶点的平行六面体，将相对棱间的距离转化为平行六面体的三个高，再比较平行六面体体积与三个高的乘积． 【详解】（1）设正四面体为，棱长为. 令为等边三角形的中心，则平面. 等边三角形的面积为 等边三角形边长为，其外接圆半径为 在直角三角形中， 因此正四面体的体积为 下面求相对棱与之间的距离. 设分别为的中点. 因为，，所以点都在棱的垂直平分面内. 该平面经过，故 同理，由，可得点都在棱的垂直平分面内，故 所以是相对棱的公垂线，其长度就是两棱间的距离. 在三角形中，为的中点. 由中线长公式， 所以. 在等腰三角形中，，且为的中点，因此 故该正四面体相对棱间的距离为. （2）略 （3）略 3．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面． (1)证明：； (2)求； (3)求平行六面体的体积． 【答案】(1)连接、，因为底面ABCD是边长为1的菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以； (2) (3) 【分析】（1）借助线面垂直的性质定理及其判定定理证明即可得； （2）借助线面垂直性质定理可得，再利用空间向量线性运算法则计算可得的长度，最后借助空间向量模长与数量积关系计算即可得解； （3）利用空间向量线性运算法则及模长与数量积关系与夹角公式计算可得，过点作于点，可得为平行六面体的高，求出菱形ABCD的面积后，再借助体积公式计算即可得解. 【详解】（空间向量法）（1）略 （2）因为平面，平面，所以， ，， 则， 即， ， 又，，设的长度为， 故，解得，负值舍去， 又， 故 ， 所以； （3）， 又， 故，故， 过点作于点，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面ABCD，AC，BD为相交直线， 所以平面ABCD，故为平行六面体的高， 菱形ABCD的面积为， 则平行六面体的体积为. 4．（25-26高一下·湖北襄阳·期末）如图，三棱锥满足面，，点F为棱中点，点A在直线，，上的投影分别为D，E，H． (1)证明：面； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积； (3)在第（2）问的条件下，是否存在点T使得点T到A，B，D，H，F的距离均相等，若存在，求出二面角余弦值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)连接，因是等腰三角形底边上的中线，所以. 因为平面，平面，所以. 因为平面，平面，且与相交于点A， 所以平面. 因为平面，所以， 因点A在直线上的投影是点H，所以. 因为平面，平面，且与相交于点F， 所以平面. 因为平面，所以， 因点A在直线上的投影是点D，所以. 因为平面，平面，且与相交于点A， 所以平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，先证明平面，再证平面，从而可证平面. （2）先找出二面角的平面角，利用及线段关系可证明是等边三角形，即可求三棱锥的体积. （3）先找出满足条件的点T，且T为的中点，设线段中点为P，线段中点为Q，则是二面角的平面角，再利用已知条件计算出长度，在中，即可计算. 【详解】（1）略 （2）同（1），可证得平面，因为平面，所以. 由（1）的过程可知，平面，因为平面， 所以，. 所以是二面角的平面角，则. 在四边形中，，所以. 所以，解得. 因为平面，平面，所以，. 因为，所以. 所以，可得， 故，所以是等边三角形，其面积为. 所以三棱锥的体积为. （3）由（1）的过程可知平面，平面，所以， 所以，，是共斜边的三个直角三角形， 当T为的中点时，， 即满足条件的T点存在，T为的中点． 设线段中点为P，线段中点为Q，连接，，， 中，，因此， 过F作，与延长线交于K，因为，所以， 又因为（中位线），所以， 因此，是二面角的平面角， 设，， 则，，，，（中位线）， 由射影定理得，，则， 由（1）可知，，由勾股定理得，， 中，，，， 在中，由余弦定理得，， 代入化简得，， 二面角的余弦值为． 5．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，. (1)求圆锥的侧面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出圆锥的母线，根据圆锥侧面积公式求解即可. （2）根据余弦定理、同角的三角函数关系、三角形面积公式及棱锥的体积公式求解即可. （3）根据等体积法求解即可. 【详解】（1）圆锥，底面半径，平面. 由圆锥的体积为，得，即， 解得. 所以母线. 故圆锥的侧面积为. （2）在中，，，所以为等边三角形， 所以. 在中，， 则， 所以. 故三棱锥的体积. （3）正中，， 设点到平面的距离为， 由，得，即，解得. 故点到平面的距离为. 6．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）在三棱锥中，，，，． (1)是的中点，是的中点，求异面直线与所成角的余弦值． (2)对于实数，，，，称为二阶行列式，定义一种运算：．对于向量，，称为与的向量积，定义一种运算： ．试计算，并说明这一运算的几何意义． (3)在（2）的基础上计算的值，指出的几何意义，并求出三棱锥的体积． 【答案】(1). (2)，是垂直于，，且为方向上的单位向量（所在直线垂直于平面）. (3)，为点到平面的距离，即三棱锥以为底面的高，三棱锥的体积为. 【分析】（1）利用空间中点坐标公式求出的坐标，从而得到向量与的坐标，代入空间向量夹角公式求出余弦值，最后取绝对值转化为异面直线所成角的余弦值； （2）直接套用题目给出的“二阶行列式”和“向量积”的新定义，计算出的坐标，将其除以自身的模长进行单位化得到，其几何意义是垂直于平面的单位法向量； （3）利用向量数量积的几何意义（投影），通过求出点到平面的距离（即三棱锥的高），同时，利用第（2）问提供的向量积性质证明即为以为邻边的平行四边形面积，由此求得底面积，最后代入体积公式求得三棱锥体积. 【详解】（空间向量法）（1）由题意可知，，，， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为． （2）由题可得，， 所以， ， 所以， 又，，所以，．又， 所以分别垂直于，，且为方向上的单位向量（所在直线垂直于平面）． （3）由题意可知，则， 因为，所以是在方向上的射影， 因为，，，，平面，所以为平面的一个法向量， 所以为点到平面的距离，即三棱锥以为底面的高． 设，， 则． 因为，， ， ， 所以． 因为，， 所以． 类型二 体积比、台体与分割补形 7．（26-27高二上·辽宁营口·开学考试）在三棱柱中，点，分别为线段，上不与端点重合的点，且与平面不平行．设直线，，分别与平面交于，，三点． (1)证明：，，均在一条直线上； (2)若平面，且三棱柱的体积为四棱锥的体积的2倍，求的值； (3)若是以为斜边的直角三角形，判断1是否能为二面角的平面角，并说明理由． 【答案】(1)设平面为，平面为， 因为，，均在平面内，且，，分别在平面内， 所以，，均为平面与平面的公共点．    又，，所以与是两个不同平面，两个不同平面有公共点时，公共点在它们的交线上，记该交线为，故，，均在直线上． (2) (3)不能为二面角的平面角．    由（1）知，，在直线上，且，为上两个不同点，故即直线． 在侧面中，，，且，，三点共线， 所以，故， 因为点不与重合， 所以，从而， 即点在线段的内部．同理，点在线段的内部．    若点在线段的内部，则直线与的边界在点，，处有三个不同公共点， 这与一条不与三角形任一边重合的直线至多与三角形边界有两个公共点矛盾，所以点不在线段的内部． 因为是以为斜边的直角三角形，所以， 又，，直线，直线，所以， 故是以为斜边的直角三角形，直角顶点到斜边的垂足在线段的内部． 由于点不在线段的内部， 所以点不是点到直线的垂足，即不垂直于．    若是二面角的平面角，则必须有且，但即直线，而不垂直于，矛盾． 因此不能为二面角的平面角． 【分析】（1）利用两相交平面的公共点共线的公理，通过证明均为平面与平面的公共点，即可得三点共线. （2）设三棱柱的底面积与高为参数，用、表示梯形的面积，结合体积关系列方程求解两比例的和. （3）紧扣二面角平面角的定义，结合相似三角形、直角三角形性质，用反证法推导是否满足平面角的条件. 【详解】（1）略 （2）设，，，作，垂足为． 由平面及平面平面，得平面，平面， 所以侧面平面，且交线为． 因为在平面内，且， 所以平面， 即为点到平面的距离．    四边形是侧面内以，为两底的直角梯形，且，， 故其面积 ． 设三棱柱体积为，四棱锥体积为， 则， ．    由题意， 所以． 因为，，，所以， 即． （3）略 8．（25-26高一下·安徽合肥·期末）已知棱长为2的正方体中，M、N分别为CD和AD的中点． (1)求证：四点M，N，，共面； (2)若沿着平面将正方体截成两部分． ①请判断几何体是否是台体（说明理由）； ②求截得的较小与较大部分体积比． 【答案】(1)连接AC，由正方体的性质可知：， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，分别是，的中点，∴，且， ∴，∴四点共面； (2)①几何体是台体，理由如下： 由四点共面，且， 故可延长、使得，则、， 又平面、平面， 且平面平面，故， 故、、三线共点， 由，分别是，的中点， 则，且， 故与相似， 又由正方体性质可得平面平面， 故几何体是台体； ② 【分析】（1）结合正方体性质可证得，即可得四点共面； （2）①利用棱台定义：上下底面平行且相似、各侧棱延长后交于一点判断即可得；②借助棱台体积公式计算可得几何体体积，再求出正方体体积后作差可得剩余部分体积，即可得截得的两部分的体积之比. 【详解】（1）略 （2）①是，理由略. ② ， ，， 则， 所以截得的较小与较大部分体积比为. 9．（25-26高一下·上海·期末）如图，在正四棱台中，，，M为AB边上一点，且，P为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)求的最小值； (3)在BC边上求一点N，使得平面，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)在上取点，使得，则， 因为，则，且， 又且，所以，， 所以四边形为平行四边形，， 因为平面，平面，所以平面. 【分析】（1）求出台体的高，根据台体体积公式进行求解； （2）将两梯形折到同一平面内，结合余弦定理进行求解； （3）在上取点，使得，证出四边形为平行四边形，即可得出平面. 【详解】（1），故，正方形的面积为， 正方形的面积为， 连接，则， 过点作⊥平面于点，则点在上， 且， 由勾股定理得， 所以四棱台的体积为； （2）将梯形与梯形沿着折到同一平面内，如图所示， 在上取点，使得，又，故， 连接，则， 其中，所以，同理可得，， 连接，交于点，此时取得最小值，最小值为， 由余弦定理得， 所以，的最小值为； （3）略 10．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，，，、分别为、的中点. (1)求的值； (2)证明：平面； (3)求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2)设的中点为，连接，， 因为为的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为为梯形的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面，所以平面平面. 因为平面，所以平面. (3) 【分析】（1）根据棱台、棱锥的体积公式求解即可. （2）根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理及面面平行的性质证明即可. （3）根据异面直线的定义，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）由题意得，，高， 则由棱台的体积公式得：， ， 所以， 所以. （2）略 （3）取的中点，的中点，连接、、、、， 因为，，，是中点， 所以四边形是平行四边形，所以. 又因为是中点，是中点，所以，所以， 则即为异面直线与的夹角. 又因为底面，与都是等腰直角三角形，，， 所以，，， 所以，， 在中，由余弦定理得，， 所以异面直线与夹角的余弦值为. 11．（25-26高一下·辽宁·期末）《九章算术》成书于西汉末年，又经众多学者的整理、删补和修订，是几代学者智慧的结晶．它对数学知识由易到难、由浅入深、从理论到实践的编排体例，使它成为后世数学学习者的启蒙教材．其中卷五商功中[卷五-18]今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？[卷五-19]今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？在解决过程中“公式-应用”的结构体现尤为明显．我们按照前人的思路来看下面问题：注释：[1]刍甍：盖上草的屋脊．这里指底面为矩形的屋脊状楔体；[2]刍童：上下底面皆是长方形的几何体． (1)如图几何体是底面为矩形的屋脊状楔体，平面，，，高为h，，求这个几何体的体积； (2)上下底面皆是长方形的几何体，丈，丈，高丈，丈，丈，求这个几何体的体积． 【答案】(1) (2)立方丈 【分析】（1）将几何体拆分为两个全等的四棱锥和一个三棱柱，由此利用棱锥和棱柱的体积公式进行计算； （2）可根据已知条件以及《九章算术》中刍童的体积公式，代入数值进行计算． 【详解】（1） 如图所示，将几何体拆分为两个四棱锥，和一个三棱柱； 四棱锥的底面，； 则， ； 故几何体体积为． （2）根据刍童的体积公式可知： ； 根据题意可知，上广，下广；下袤，上袤，高； 代入公式可得， 故几何体体积为立方丈． 类型三 组合体与旋转体的表面积、体积 12．（26-27高二上·上海·阶段检测）如图（图中单位：cm）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱． (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁；（精确到0.01克） (2)要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂油漆，若该零件每平方厘米要用油漆，求总共需要用油漆多少克？（精确到0.01克） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算圆柱与正四棱柱的体积，求和得到零件总体积，再乘以密度即可； （2）分析零件表面积的组成，计算出单个零件的表面积，乘以零件总数及单位面积油漆用量即可． 【详解】（1）由图可知，上部圆柱的底面直径为，高为，则底面半径， 下部正四棱柱的底面边长为，高为， 设圆柱的体积为，正四棱柱的体积为，零件的总体积为， 则， ， 所以零件的总体积， 取，则， 因为铁的密度为， 所以生产一件这样的铸铁零件需要铁的质量为， 故生产一件这样的铸铁零件需要铁； （2）设零件的表面积为， 该零件的表面积由圆柱的侧面积、圆柱的上底面积、正四棱柱的侧面积、正四棱柱的下底面积以及正四棱柱的上底面积（扣除圆柱下底面部分）组成， 即， 因为， 所以， ， ， 所以， 取，则， 个零件的总表面积为， 因为每平方厘米要用油漆， 所以总共需要用油漆的质量为，精确到，即， 故总共需要用油漆． 13．（25-26高一下·上海·期末）将边长为1的正方形绕边所在直线旋转，得到如图所示的几何体，它是圆柱的一部分． (1)求该几何体的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据几何体的表面积求法求解； (2)利用异面直线所成角和余弦定理求解. 【详解】（1）几何体的表面积为; （2）因为，所以异面直线与所成的角即或其补角， 连接, ， 所以，又， 所以， 所以异面直线与所成角的大小为. 14．（25-26高一下·云南昆明·期末）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，所有半正多面体均可由正多面体切割而来，体现了数学的对称美．如图，是一个棱长为4的正方体，点，，，，…，，，均在正方体的棱上，设（），同时用平面，平面，…，平面去截正方体，由这八个平面和正方体的六个面所围成的十四面体记为． (1)若几何体是由正三角形和正八边形构成的半正多面体，求x； (2)当时，若几何体的表面积为，判断并说明是否为半正多面体； (3)当时，是否存在x使得几何体为半正多面体，若存在，求出的体积；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)是，说明如下： 时，， ， 则的表面积为， 所以，解得， 此时，、重合，、重合，、重合，、重合， 八边形退化成边长为的正方形，是边长为的正三角形， 根据对称性，的所有棱长均为，且由6个正方形、8个正三角形围成，故为半正多面体． (3)存在，32 【分析】（1）使用等边三角形的性质求解； （2）使用三角形的面积公式求解； （3）使用点线面的位置关系分析几何图形，并用棱锥的体积公式计算. 【详解】（1）依题意：八边形为正八边形， 为正三角形，则， 因为，所以，故． （2）略 （3）当时，设， ，， ，， 如图，取中点O，连接，， 根据对称性可知，，均为等腰直角三角形，四边形为正方形， 则，，，， 所以， 要使得为半正多面体，则，即，解得， 此时，由八个正六边形和六个正方形围成，故是半正多面体， . 15．（25-26高一下·湖北随州·期末）某几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，已知正四棱锥的高，正四棱柱的高，且底面边长为2． (1)求该几何体的体积与表面积； (2)若一只蚂蚁沿着该几何体的表面从点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1)体积，表面积 (2) 【分析】（1）本题考查多面体的体积与表面积，该几何体体积可由上部正四棱锥与下部正四棱柱的体积之和求得，表面积为上部正四棱锥的侧面积与下部正四棱柱表面积之和减去底面的面积； （2）将和四边形展开到同一平面，连接，易知蚂蚁爬行的最短路程即为，利用勾股定理即可求得. 【详解】（1）该几何体的体积 过点作，垂足为，连接， 则 该几何体的表面积 （2） 如图，将和四边形展开到同一平面，连接，易知蚂蚁爬行的最短路程即为，过作，垂足为， 由，， 可得， 即蚂蚁沿着该几何体的表面从点爬到点，爬行的最短路程为． 16．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知，都垂直于平面，且 是的中点，求： (1)绕着直角边旋转一周，求旋转后几何体的表面积 (2)求证：平面 【答案】(1) (2)取 的中点 ，连接 ，， 因为 是 的中点，所以是的中位线， 故且， 已知 平面，平面，所以，且， 因此，且，四边形是平行四边形，故， 又因为平面 ，平面， 根据线面平行的判定定理，可得平面.       【分析】（1）先根据直角三角形绕直角边旋转的性质，确定形成的几何体是圆锥，再确定圆锥的底面半径（直角边长度）、母线长（直角三角形的斜边长度），最后利用圆锥侧面积（）和底面积（）的公式，求和得到总表面积； （2）先构造辅助线：取线段中点（如的中点），连接相关线段（,），再通过中位线定理（或已知条件），证明待证直线（）与平面内的某条直线（）平行，最后结合“直线在平面外，直线与平面内直线平行”的条件，推导线面平行即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 所以是直角三角形（），绕旋转一周形成的是圆锥， 则圆锥的底面半径 ， 圆锥的母线长 ， 又因为圆锥的表面积=： ， ， 因此，旋转后几何体的表面积为：. （2）略 类型四 面积与体积的最值 17．（25-26高一下·湖南岳阳·期末）蜂巢（图1）是由许多正六边形的中空柱状体（蜂房）连接而成，其设计有着深刻的数学原理，我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂房的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》. 用数学的眼光去看蜂房的结构，如图2在正六棱柱ABCDEF- A'B'C'D'E'F'的三个顶点A、C、E处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的棱锥，，，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于一点，则这三个平面与正六棱柱的侧面与底面围成了封闭的几何体，就形成了蜂房结构. 已知，. (1)求该正六棱柱的表面积； (2)判断四边形是否为菱形，并证明你的结论； (3)当蜂房结构的表面积最小时，求平面MFPB与平面FBD所成的锐二面角的正切值. 【答案】(1) (2)四边形是菱形， 证明如下： 连接，，，， ，，为平行四边形，， 同理可得， ， 又，，，     为平行四边形，故， 又平面，平面，平面， 又平面，平面平面， 故，同理可得， 又，故四边形为菱形． (3) 【分析】（1）利用公式计算即可； （2）先证明平面，再利用线面平行的性质证即可； （3）取中点K，得为平面与平面所成的锐二面角的平面角， 计算表面积，设，结合三角函数值域求范围. 【详解】（1） （2）略 （3）取中点K，连接、， 由，为等腰三角形，可得，， 为平面与平面所成的锐二面角的平面角， 设，，则，， ， ，， 令， 则，得， 当 时，表面积最小，此时， 故当蜂房结构的表面积最小时，平面与平面所成的锐二面角的平面角的正切值为. 18．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，.    (1)设平面与平面的交线为，证明：； (2)若与平面所成的角的正弦值为. （i）求线段的长； （ii）将圆柱整体放入三棱锥中，使得圆柱的一个底面落在平面上，轴线平面，求圆柱表面积的最大值. 【答案】(1)在直三棱柱中，， 因为平面，平面， 所以平面，又因为平面平面，平面， 所以； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先证平面，再由线面平行的性质即可证得； （2）（i）过作交于，证明平面，则就是与平面所成角，进而得到，再解三角形得到即可； （ii）当上底面在平面中，设，则，再求出的内切圆半径，的长，分别对应圆柱的底面半径及高，表示出表面积，根据二次函数的性质得出最值即可． 【详解】（1）略 （2）（i）过作交于， 因为，平面，   平面，平面， ，又，平面， 平面， 就是与平面所成角， 在直三棱柱中，，， ， 则，解得， ， ，解得， 则； （ii）当上底面在平面中，设，则，    则的内切圆半径为，即圆柱的底面半径， 又， ，即，解得，则， 即圆柱的高， 圆柱表面积， 所以，当时，， 即圆柱表面积的最大值为． 19．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，若三角形在平面内的射影为三角形，三角形和平面的成角设为（只考虑锐角的情况），那么，我们可根据此信息完成下列问题：正三角形的顶点O固定在平面上，三角形可以绕O在平面的一侧转动，在面上的射影为，若是直角，记和平面的成角为．    (1)若为等腰直角三角形，求； (2)设，，，证明：； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2)由，，得，故四点共面, 在该平面内作于，则，所以四边形是矩形，所以 ， 又，所以, 在中，由勾股定理得， 在中，，故， 将、、代入得， 即，即，所以得，得证. (3)． 【分析】（1）等腰直角条件推出，结合边长关系求出射影边长，代入面积比公式计算； （2）作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理与射影边长关系，联立化简证明等式； （3）问将转化为关于的表达式，利用均值不等式求最值，得到的最大值. 【详解】（1）设正的边长为，则，原三角形面积， 设，， 由，，根据勾股定理得射影边长，， 又，因此射影三角形面积， 根据题给公式，平面角满足， 由为等腰直角三角形且，得，因此， 所以， 在中，斜边。 又，共面，过作于，则，且， 故，即，因此，解得， 代入的表达式： .    （2）略 （3）由（1）得 ，由（2）得， 所以， 要使最大，需使根号内的最小， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 将代入得 ， 故的最大值为（此时，为等腰直角三角形，与（1）的情形一致）. 20．（2026高二下·浙江温州·学业考试）如图，在直四棱柱中，，，． (1)证明：； (2)若，求二面角的平面角的余弦值； (3)求直四棱柱体积的最大值． 【答案】(1)证明：在直四棱柱中， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又平面，所以． (2) (3) 【分析】（1）先证明面，然后由线面垂直的性质定理得证； （2），先证明就是二面角平面角，然后在直角三角形中求得其余弦值； （3）设，用余弦定理表示出，然后利用结合三角恒等变换、正弦函数性质得面积最大值，从而可得体积最大值. 【详解】（1）略 （2）连接，记，连接， 易得平面，则平面， 又平面，故， 又因，所以是的中垂线，得， 因平面，易得， 又因O是AC中点，所以， 故就是二面角的平面角， 又因，则， 则. （3）设，，因， 由余弦定理，， ， 因，则， 故当，即时，取得最大值1， 此时的最大值为， 故直四棱柱体积的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题04 几何体的面积、体积与最值问题 （沪教版高二上，4种类型20道） 范围：必修第三册第10—11章、选择性必修第一册第3章 类型一 柱锥体积与等体积转化 1．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在三棱锥中，，，且三棱锥的体积，是上靠近点A的三等分点，E是中点，连接、交于点F，G在线段上，直线交平面于点M，且. (1)若，求的值； (2)求三棱锥的体积； (3)若，求此三棱锥的高. 2．（25-26高二上·上海·期中）（1）已知正四面体的棱长为2，求该正四面体的体积和相对棱间的距离； （2）三角形的面积由三条边唯一确定，试探究四面体的体积是否可由四个面的面积唯一确定，请作出判断，并说明理由. （3）证明：若四面体相对棱间的距离分别为、、，则四面体的体积. 3．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面． (1)证明：； (2)求； (3)求平行六面体的体积． 4．（25-26高一下·湖北襄阳·期末）如图，三棱锥满足面，，点F为棱中点，点A在直线，，上的投影分别为D，E，H． (1)证明：面； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积； (3)在第（2）问的条件下，是否存在点T使得点T到A，B，D，H，F的距离均相等，若存在，求出二面角余弦值；若不存在，请说明理由． 5．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，. (1)求圆锥的侧面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求点到平面的距离． 6．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）在三棱锥中，，，，． (1)是的中点，是的中点，求异面直线与所成角的余弦值． (2)对于实数，，，，称为二阶行列式，定义一种运算：．对于向量，，称为与的向量积，定义一种运算： ．试计算，并说明这一运算的几何意义． (3)在（2）的基础上计算的值，指出的几何意义，并求出三棱锥的体积． 类型二 体积比、台体与分割补形 7．（26-27高二上·辽宁营口·开学考试）在三棱柱中，点，分别为线段，上不与端点重合的点，且与平面不平行．设直线，，分别与平面交于，，三点． (1)证明：，，均在一条直线上； (2)若平面，且三棱柱的体积为四棱锥的体积的2倍，求的值； (3)若是以为斜边的直角三角形，判断1是否能为二面角的平面角，并说明理由． 8．（25-26高一下·安徽合肥·期末）已知棱长为2的正方体中，M、N分别为CD和AD的中点． (1)求证：四点M，N，，共面； (2)若沿着平面将正方体截成两部分． ①请判断几何体是否是台体（说明理由）； ②求截得的较小与较大部分体积比． 9．（25-26高一下·上海·期末）如图，在正四棱台中，，，M为AB边上一点，且，P为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)求的最小值； (3)在BC边上求一点N，使得平面，并说明理由． 10．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，，，、分别为、的中点. (1)求的值； (2)证明：平面； (3)求异面直线与夹角的余弦值. 11．（25-26高一下·辽宁·期末）《九章算术》成书于西汉末年，又经众多学者的整理、删补和修订，是几代学者智慧的结晶．它对数学知识由易到难、由浅入深、从理论到实践的编排体例，使它成为后世数学学习者的启蒙教材．其中卷五商功中[卷五-18]今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？[卷五-19]今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？在解决过程中“公式-应用”的结构体现尤为明显．我们按照前人的思路来看下面问题：注释：[1]刍甍：盖上草的屋脊．这里指底面为矩形的屋脊状楔体；[2]刍童：上下底面皆是长方形的几何体． (1)如图几何体是底面为矩形的屋脊状楔体，平面，，，高为h，，求这个几何体的体积； (2)上下底面皆是长方形的几何体，丈，丈，高丈，丈，丈，求这个几何体的体积． 类型三 组合体与旋转体的表面积、体积 12．（26-27高二上·上海·阶段检测）如图（图中单位：cm）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱． (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁；（精确到0.01克） (2)要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂油漆，若该零件每平方厘米要用油漆，求总共需要用油漆多少克？（精确到0.01克） 13．（25-26高一下·上海·期末）将边长为1的正方形绕边所在直线旋转，得到如图所示的几何体，它是圆柱的一部分． (1)求该几何体的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 14．（25-26高一下·云南昆明·期末）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，所有半正多面体均可由正多面体切割而来，体现了数学的对称美．如图，是一个棱长为4的正方体，点，，，，…，，，均在正方体的棱上，设（），同时用平面，平面，…，平面去截正方体，由这八个平面和正方体的六个面所围成的十四面体记为． (1)若几何体是由正三角形和正八边形构成的半正多面体，求x； (2)当时，若几何体的表面积为，判断并说明是否为半正多面体； (3)当时，是否存在x使得几何体为半正多面体，若存在，求出的体积；若不存在，说明理由． 15．（25-26高一下·湖北随州·期末）某几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，已知正四棱锥的高，正四棱柱的高，且底面边长为2． (1)求该几何体的体积与表面积； (2)若一只蚂蚁沿着该几何体的表面从点爬到点，求爬行的最短路程． 16．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知，都垂直于平面，且 是的中点，求： (1)绕着直角边旋转一周，求旋转后几何体的表面积 (2)求证：平面 类型四 面积与体积的最值 17．（25-26高一下·湖南岳阳·期末）蜂巢（图1）是由许多正六边形的中空柱状体（蜂房）连接而成，其设计有着深刻的数学原理，我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂房的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》. 用数学的眼光去看蜂房的结构，如图2在正六棱柱ABCDEF- A'B'C'D'E'F'的三个顶点A、C、E处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的棱锥，，，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于一点，则这三个平面与正六棱柱的侧面与底面围成了封闭的几何体，就形成了蜂房结构. 已知，. (1)求该正六棱柱的表面积； (2)判断四边形是否为菱形，并证明你的结论； (3)当蜂房结构的表面积最小时，求平面MFPB与平面FBD所成的锐二面角的正切值. 18．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，.    (1)设平面与平面的交线为，证明：； (2)若与平面所成的角的正弦值为. （i）求线段的长； （ii）将圆柱整体放入三棱锥中，使得圆柱的一个底面落在平面上，轴线平面，求圆柱表面积的最大值. 19．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，若三角形在平面内的射影为三角形，三角形和平面的成角设为（只考虑锐角的情况），那么，我们可根据此信息完成下列问题：正三角形的顶点O固定在平面上，三角形可以绕O在平面的一侧转动，在面上的射影为，若是直角，记和平面的成角为．    (1)若为等腰直角三角形，求； (2)设，，，证明：； (3)求的最大值． 20．（2026高二下·浙江温州·学业考试）如图，在直四棱柱中，，，． (1)证明：； (2)若，求二面角的平面角的余弦值； (3)求直四棱柱体积的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $