期中复习压轴专题05 球与几何体的切接综合问题（5种类型20道）（压轴题专项训练）高二数学沪教版

期中复习压轴专题05 球与几何体的切接综合问题 （沪教版高二上，5种类型20道） 范围：必修第三册第10—11章、选择性必修第一册第3章 类型一 外接球半径（柱体/正方体/补形） 1．（25-26高一下·安徽蚌埠·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若平面平面，直线与直线所成角的余弦值为． （i）求边的长； （ii）求四棱锥外接球的体积． 【答案】(1)证明：取中点，连接，，如图所示： 是中点，，且， 又，且，故平行且相等， 即四边形是平行四边形，， 又平面平面， 故平面． (2)（i）或；（ii）或 【分析】（1）取中点，连接，可得四边形是平行四边形，即可得到，从而得证； （2）（i）利用面面垂直的性质定理推出，由勾股定理求出，确定点的位 置信息，在中应用余弦定理解得的两个取值，分情况讨论求出； （ii）根据的两个取值分情况讨论外接球的体积：若，则两两相互垂直，故四棱锥的外接球即以为棱的正方体外接球，可求出外接球半径，根据球体公式可得；若，求出，根据正弦定理得到的外接圆半径，作平行且等于，四棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球，记外接圆的圆心分别为，连接，取中点，易知点为外接球球心，由和外接圆半径求出外接球半径，根据球体公式可得. 【详解】（1）略 （2）（i）因为正方形，所以且， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以， 因为，易知， 由（1）知，所以为直线与直线所成角， 即． 在中，由余弦定理得， 即，化简得， 解得，或， 若，因为，所以； 若，由， , 解得． 综上，或． （ii）①当时，两两相互垂直，且， 故四棱锥的外接球即以为棱的正方体外接球， 该外接球半径， 四棱锥外接球体积． ②当时，． 由正弦定理得，外接圆半径 作平行且等于， 因为平行且相等，平面，所以几何体为直三棱柱， 记外接圆的圆心分别为，连接，取中点， 如图所示： 易知为直三棱柱的外接球心，且， 故该外接球半径，外接球体积． 综上，所求体积为或． 2．（25-26高一下·河北邯郸·期末）如图，已知正三棱柱的外接球球心为O，底面边长，三棱锥为正四面体，P为侧棱的中点，点M，N在棱上，且，为正三角形．    (1)求四棱锥的体积； (2)求四棱锥的外接球的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意求出高和底面积，再结合体积公式求解即可. （2）结合题意确定外接球的球心，再利用定义确定半径，最后利用表面积公式求解即可. 【详解】（1）设三棱柱上、下底面的中心分别为，， 连接，，则O为的中点，    由题意得，， 则，所以， 因为是正三角形，所以， 所以四棱锥的体积． （2）取和的中点D，E， 由题意得面，而面， 则平面平面，且是正三角形， 设中点为Q，连接，则平面． 在上取的中心G，则， 过G作平面的垂线，则该垂线在平面内， 且该垂线上任意一点到三顶点的距离相等， 所以四棱锥的外接球球心在该垂线上． 设该垂线交于点H，所以， 则，，， 可得， 得到， 所以点H到B，M，N，四点的距离相等， 又点H到P，M，N的距离也相等，所以H为四棱锥的外接球球心， 所以四棱锥的外接球的表面积． 3．（25-26高一下·广东汕头·期末）如图，在棱长为4的正方体中，O为侧面的中心．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求三棱锥的外接球的体积． 【答案】(1)证明：连接，与交于点E，连接， 因为O为侧面的中心，所以O为的中点， 连接OE，因为，，且，， 所以，且， 则四边形为平行四边形， 因为E为的中点，易知， 又平面，平面， 故平面． (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定证明； （2）由正方体性质易证平面，则为直线与平面所成的角，结合边长关系求解. （3）先证明三棱锥的外接球的球心M在线段上，再结合勾股定理求解. 【详解】（1）略 （2）连接，则，则， 易知四边形为平行四边形， 在正方体中，平面， 又平面，所以， 因为， 故平面，即平面， 所以为直线与平面所成的角， 在中，易求，， 所以， 则． 故直线与平面所成角的大小为． （3）设三棱锥的外接球的球心为M，半径为R， 因为的外接圆的圆心为E，所以平面， 由（1）可知，，平面，所以平面， 因此球心M在线段上， 易求，，由，解得， 故三棱锥的外接球的体积为． 4．（25-26高一下·河北承德·期末）已知平面是圆柱的轴截面，是上异于，的点，为上的动点，，．    (1)证明：； (2)求与所成的角的余弦值； (3)若，，，四点在一个球上，求该球的表面积和体积． 【答案】(1)证明： 因为是圆柱的轴截面，所以底面， 又底面，故. 又是下底面直径，在圆弧上，故，即. 因为，且平面，所以平面. 又平面，因此，得证. (2) (3)， 【分析】（1）利用圆柱轴截面性质得到垂直底面圆所在平面，可得.由是底面圆直径，可求得，结合线面垂直判定定理和性质定理证明. （2）将异面直线平移到同一三角形，再利用余弦定理求夹角即可. （3）将的外接球等价转化为“以为长宽高的长方体”的外接球，进而根据长方体的体对角线长等于外接球直径求解球的表面积和体积. 【详解】（1）略. （2）由 ，可得. 因为是圆柱下底面直径，在圆周上，得. 在中，， 因此：， 即圆柱底面半径为，圆柱高. 是上底面圆心，下底面，在中： ， 如图所示，过点作，且，连接， 则就是与所成的角（或其补角），. 在中，，即. 在中，由余弦定理可得： .    （3）由第一问结论可得两两垂直：，，，因此的外接球等价于“以为长宽高的长方体”的外接球，外接球直径等于长方体的体对角线长.因此： ， 外接球表面积：， 外接球体积：. 类型二 内切球与棱切球 5．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）如图，正三棱锥所有棱长均为2. (1)证明：； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值； (3)求正三棱锥的内切球的体积. 【答案】(1)取的中点，连接，， ∵，∴，又，∴， ∴平面， ∴平面，平面，∴. (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，，通过证明，可证得平面，从而得证； （2）应用二面角定义结合余弦定理计算求解； （3）应用等体积法结合球的体积公式计算求解. 【详解】（1）略 （2） 取中点，连接，因为是等边三角形，所以， 所以侧面与底面所成二面角为， 因为，由余弦定理得； （3）设正三棱锥的内切球半径为，所以， 过P作， 由（1）知平面，平面，∴， 又，所以平面， 所以是正三棱锥的高， 又因为，所以点为的中心， 所以， 所以， 所以，所以， 所以内切球的体积为. 6．（25-26高一下·四川资阳·期中）如图，是圆锥底面圆的内接三角形，，，圆锥底面半径为，PA为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆． (1)求圆锥的高； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，截得圆台的上底面半径为，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据同角三角函数的关系，及正弦定理求出圆锥底面半径，再根据圆锥的性质求出其母线，进而利用勾股定理即可求出其高； （2）先结合题意得到当边上的高最大时，的面积最大，从而求出的面积最大值，进而求出三棱锥体积的最大值； （3）结合（1），及三角形相似，求出圆台的上底面半径，及其高，进而利用圆台的体积公式即可求解． 【详解】（1）设底面圆心为O，半径为， 在中，，由，则， 则由正弦定理有，即， 又圆锥的侧面展开图是半圆，所以，所以， 所以圆锥的高 ． （2）由，是定值，则当是等腰三角形，边上的高最大，此时的面积最大， 所以作弦的垂线，垂足为，且为弦的中点，该垂线过圆心， 则， 则底面面积的最大值为， 所以三棱锥的最大值为． （3）设圆台的上底面半径为，内切球的半径为， 结合（1），由图根据三角形相似，得，解得， 则，解得，所以圆台的高为 所以圆台的体积为 ． 7．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在斜三棱柱中，平面平面，，分别为棱，的中点，． (1)若四边形为菱形，证明平面． (2)若，， ①求平面与平面夹角的余弦值； ②若三棱柱内存在两个体积相等且相切的球，每个球都与一个底面及三个侧面相切，求到平面的距离． 【答案】(1)连接，因为四边形为菱形，所以. 在中，为中位线，所以. 所以. 为等腰三角形，为中线，所以， 又因为平面平面，平面平面, 所以平面，又因为平面. 所以. 因为，，平面. 所以平面. (2)①② 【分析】（1）利用平面几何得到，根据面面垂直的性质定理得到平面，再结合线面垂直的性质定理得到，最后使用线面垂直的判定定理证明即可（2）①以为原点建系，计算平面与平面的法向量，然后利用向量夹角公式计算即可；②先利用线面平行的性质定理和判定定理求证，再利用公式计算，最后计算点A₁到平面ABC的距离为即可. 【详解】（空间向量法）（1）略 （2）由（1）可知平面, 以为原点，所在直线为轴，以过点且与平行的直线为轴，平面内过点且与垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ①在中， ,， 则在等腰中，可得. 则,则， 于是 所以直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为， 由，得， 则直线上存在一点， 所以平面的一个方向向量为. 设平面的一个法向量为， 所以，取其中一个法向量， 设平面的一个法向量为， 所以，取其中一个法向量 设平面与平面夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. ②设与平面相切的球的球心为，与平面，相切的球的球心为, 由题意知球均与平面相切，设切点分别为,连接, 则,, 因为球均与平面相切，所以平面, 因为平面,所以平面,又平面, 平面平面，所以. 设球的半径为,球心,则,, 因为平面, 所以点到平面的距离为,则, 由,得 于是，代入原方程，解得. 所以. 则线段在轴上的投影长度为， 所以斜三棱柱的高为 所以点到平面的距离为. 8．（26-27高二上·山东临沂·阶段检测）空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中），且为该平面的法向量. (1)若平面，且，求实数的值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； 【答案】(1) (2)证明：不妨设，在平面内取一点，则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为. 内切球的表面积为. 【分析】（1）利用两平面垂直则法向量数量积为 0，列式求出； （2）先用向量投影证明点到平面距离公式；是正八面体，内切球球心在原点，半径是原点到一个面的距离，算出半径后求球的表面积. 【详解】（空间向量法）（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故. （2）对于， 当时，表示经过，，的平面在第一卦限的部分. 由对称性可知表示这六个顶点形成的正八面体. 设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离， 则.所以内切球的表面积为； 类型三 球心位置与球面性质 9．（25-26高一下·广东深圳·期末）回答以下问题： (1)如图1，设点为三棱锥外接球的球心，过作平面于点，作平面于点．设棱的中点为，连接，．设二面角为（），，，，，球的半径为．求证： i．为的外心； ii．，，，四点共面； iii．． 注：当三棱锥的形状变化时，图1的形状也可能发生变化（例如图2）．事实上，上述求解的公式对任意三棱锥都成立，不过你只需基于图1证明即可． (2)已知等边三角形的边长为，直线将其分成两个多边形．将其中一个多边形绕旋转角度（），然后以这两个多边形为底面，连接它们边界上的对应点，构成一个多面体．若该多面体的所有顶点都在同一个球面上，求该球半径的最小值． 【答案】(1)i．因为平面，，，平面， 所以，，， 则，，． 又点为三棱锥外接球的球心，则， 因此，即为的外心． ii．因为为的外心，且为的中点，所以．同理可证． 因为，平面，，所以平面． 因为平面，平面，所以． 因为，平面，，所以平面． 因为过点有且仅有一个平面与直线垂直， 所以平面与平面重合，即，，，四点共面． iii．因为，，所以是二面角的平面角，即． 设．因为，，，四点共面，所以在图1中，有． 因为平面，平面，所以．同理． 因此，即，解得． 因此． 因为（i．问中已经证明），所以． 同理，，． 因此． (2) 【分析】（1）i．根据线面垂直的性质，勾股定理，及外接球球心的性质即可证明； ii．根据线面垂直的判定证明平面，且平面，进而根据过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直即可证明； iii．根据二面角的定义得到，设，从而得到，再根据线面垂直的性质，三角函数的定义，及勾股定理即可证明； （2）先结合（1）中的结论得到若时，时，时，取得最小值的情形，再根据对称性两种情况讨论，情况1：直线过点，且交对边于点；情况2：直线不过点，且分别交两边，于点，，进而根据正弦定理，余弦定理分别求出这两种情况下的最小值即可． 【详解】（1）略 （2）在图1中有，因此由（1）的第iii问可得，对给定的，，和， 当在内变化时，若，则，此时当时，取得最小值； 若，则，此时当时，取得最小值； 若，则，此时， 因此当趋近于时，趋近于其下界（但无法取得）． 由对称性，仅需考虑以下两种情况：情况1：，设， 此时两个多边形为和，多面体为三棱锥 ， 设和的外接圆半径分别为，， 则由正弦定理，．而，等号成立当且仅当点为中点． 因此由前述结论，当趋近于时且为中点时，趋近于其下界． 情况2：与线段，各有一交点（非端点），设，， 此时两个多边形为和四边形， 多面体为四棱锥 （这里为旋转后的对应点）． 若该四棱锥有外接球，则四边形有外接圆，即． 此时，设和四边形的外接圆半径分别为，，（）， 则，，． 因为，且当（即为的中位线）时，取得最小值， 所以由前述结论，的最小值为． 综上，外接球半径的最小值为． 10．（24-25高一下·河南平顶山·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，M，N，E分别为BC，AC，PC的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，，三棱锥的外接球为球O. （ⅰ）证明：A，B，C，O四点共面； （ⅱ）求直线PO与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明:因为M，N，E分别为BC，AC，PC的中点， 所以，因为在平面外，平面， 所以平面，平面，又， 所以平面平面； (2)（ⅰ）证明:取中点，连接，因为，，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且， 设外接圆圆心为，半径为，则， 所以，所以， 所以Q点即为球心O，所以A，B，C，O四点共面； （ⅱ） 【分析】（1）求证平面和平面即可得证平面平面； （2）（ⅰ）求证外接圆圆心即为球心即可得证； （ⅱ）依次在、和求得、和，设到平面的距离为，进而依次求得和，接着利用求出，再由即可求解. 【详解】（1）略； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）由（ⅰ）可得， 在中，， 在中， 在中，，故， 设到平面的距离为，则， 又， 所以， 设直线与平面所成的角为，故. 11．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，，，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，分别为，的中点，过三棱锥的外接球球心、、三个点的平面与直线交于点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)由，，得. 在菱形中，易知，又因为，所以， 因此为等边三角形，易得，则，. 因为，所以. (2)由（1）知，即为直角三角形，因此. ，有，故. 又因为在菱形中，有，即， 且，，平面，所以平面. (3) 【分析】（1）求出各边长，得到，得到垂直关系； （2）由勾股定理逆定理可得垂直关系，根据和得到线面垂直； （3）求出三棱锥的外接球球心为点，并根据三角形相似可得，由等体积法可得三棱锥的体积 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图 因为，，，所以，得， 又因为，所以为等边三角形，因此. 三棱锥的外接球球心到，，，四点的距离相同， 而，因此三棱锥的外接球球心为点， 进而过三棱锥的外接球球心、、三个点的平面，即平面. 设与交于点.因为，分别为，的中点， 所以，且易知为的中点，即. 因为，平面，所以直线平面， 同理易证直线平面，故平面与平面的交线为直线， 又因为是平面与的交点，所以必定在直线的延长线上. 同时，在菱形中，为对角线交点，所以为的中点，即. 在中，过点作，交直线于点.因为，即， 得，且与互为对顶角，为的中点， 所以，由此可得对应边相等，即. 因为（即），所以，又是的中点， 所以，又因为，所以，因此， 进而. 由且平面， 得 . 12．（25-26高一下·甘肃酒泉·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆上的点且，，在线段上且，是的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)判断三棱锥是否有外接球，若有，求出外接球的表面积；若没有，说明理由； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)有， (3)存在， 【分析】（1）先证明平面，从而确定直线与平面所成的角为，解三角形即可； （2）将三棱锥补形为长方体，利用长方体外接球直径等于体对角线长求解； （3）假设存在点，利用线面平行的性质及平行线分线段成比例定理确定点的位置. 【详解】（1）因为垂直于所在的平面，平面，所以． 因为是的直径，点是圆周上的点，所以． 又因为，平面， 所以平面． 所以为在平面内的射影，则即为直线与平面所成的角． 在中，，，所以． 因为 ，所以． 在中，． 因为平面，平面，所以． 在中，，， 所以． 所以．即直线与平面所成角的正弦值为． （2）三棱锥有外接球． 因为平面，， 所以可以将三棱锥补形为一个长、宽、高分别为的长方体． 该长方体的外接球即为三棱锥的外接球． 长方体的体对角线长． 设外接球半径为，则，即． 所以外接球的表面积． （3）线段上存在点，使得平面，且． 理由如下：取的中点，连接．在中，为中点，为中点， 所以 ，且． 因为ON∥AM，AM⊂PA，PA⊥平面ABC，所以ON⊥平面ABC，且． 在线段上取点，使得，即． 过点作于点，连接． 因为平面，平面，所以． 又，所以． 所以平面，且． 因为，所以，所以且． 所以四边形为平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 故存在点满足条件，且． 类型四 球的截面与球面距离 13．（26-27高二上·辽宁丹东·阶段检测）球面几何是研究球面上由大圆弧围成的图形的几何分支；已知球O的半径为R，点A、B、C均在球面上，将球面上由三段圆弧、、围成的曲面图形，称为球面三角形；记三个二面角、、的平面角分别为、、，球面三角形的面积由以下公式给出： (1)若平面、平面、平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)在图一中，已知，球心处的三个圆心角记为：，，． ①求证：； ②将图一中线段延长交球O于点D，连接、，得到四面体并将其截出得到图二，已知直线、与平面所成的角分别为、，点E满足向量关系：，，S为中点，T为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值． 【答案】(1) (2)①证明：由余弦定理可得： ，且, 所以， 即， 消去，则有： 即； ②. 【分析】（1）根据平面，平面，平面两两垂直，得，即可求解； （2）①根据余弦定理及勾股定理即可证明； ②建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】（空间向量法）（1）因为平面，平面，平面两两垂直， 所以， 所以球面三角形ABC的面积； （2）①略； ②由题意可知是球的直径，则有, 又，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以, 又因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 又因为直线与平面所成的角分别为，， 所以， 不妨令， 则，， 又因为,,, 以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系： 设， 则 可得， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以； 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以， 要使取最小值，则取最大值， 因为， 令， 则， 所以 当且仅当时等号成立， 则的最大值为， 所以取最小值为. 14．（25-26高一下·吉林长春·期末）如图，在三棱柱中，为正三角形，，在平面内的射影在线段上，是的中点． (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)为线段上的动点，已知的最小值为，记四面体与四面体的公共部分为，用平面去截的外接球球面，求所得交线在侧面内的部分的弧长． 【答案】(1) 证明：取的中点，连接； 因为分别为的中点，所以，所以； 所以平面即为平面； 因为为正三角形，故； 又因为在平面内的射影在上，故平面平面； 又因为平面平面，且平面， 故平面，因平面,故 ，； 即，则，故； 因为且平面， 故平面，又因为平面， 故平面平面； (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明，首先证明线面垂直，根据给出的边长关系利用勾股定理可得线线垂直，再根据投影得到面面垂直，利用正三角形三线合一得到垂直于两互相垂直平面的交线的直线，根据线面垂直得到线线垂直，利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）根据（1）中的面面垂直可以找到一条交线，过作交线的垂线即可找到平面的垂线，由此即可作出线面角，在直角三角形中通过边长关系计算线面角的正弦值； （3）将平面展平得到取最小值时所满足的条件，由此可计算边长，根据题意找到公共部分，确定其几何体，从而确定的外接球球心和半径，由此计算截面的交线弧长． 【详解】（1）略； （2） 设，则，，； 作于点，由平面平面， 且平面平面；所以平面； 则为与平面所成角， 如图所示，在直角梯形中，，，； 作于点； 则，又，所以四边形为平行四边形， 所以，，， 又因为，所以， 即， 所以在中，； （3） 将平面与平面展平，由（1）得展平后， 所以的最小值为， 得，，， 设，连接，则公共部分即为四面体， 由（1）知，平面， 在中，，则； 所以两两全等，所以， 所以中，， 即为外接球的球心，且球半径为； 因为平面，从而球被平面截得一个大圆， 设圆与交于点， 则由，知，为等边三角形， 所以，则， 所以截面圆在侧面内的弧长为． 15．（25-26高一下·河南许昌·期末）如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，侧棱，为棱上的一点，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求四面体的外接球被平面所截得的截面圆的面积． 【答案】(1)由题意可知：， 因为平面，平面，则， 且，，平面，可得平面， 由平面可得． 在中，， 在中，， 在中，则，可得， 且，平面， 所以平面． (2) (3) 【分析】（1）由题意可证平面，即可得，由勾股定理可得，即可证线面垂直； （2）法一：利用等体积法求点到平面的距离为，即可求线面夹角；法二：过作于，可证平面，可得点到面的距离，即可求线面夹角； （3）由（1）可得，截面圆即为的外接圆，半径，即可得结果. 【详解】（1）略 （2）法一：设点到平面的距离为， 可得， ， 在中，． 因为，即 则，解得． 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 法二：过作于，则． 因为面，面，则， 且，，平面，可得平面， 又因为，可知点到面的距离等于点到面的距离的3倍， 即点到面的距离， 中，， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）因为平面，平面，可得， 又因为四面体的外接球被平面所截得的截面圆即为的外接圆，可知截面圆半径， 所以截面圆面积． 16．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）已知圆台的上下底面都是球的截面圆，圆台的母线长为，圆台的上下半径分别为3和4． (1)求圆台的高和表面积． (2)求圆台的外接球的体积． 【答案】(1)圆台的高为7，表面积为 (2)圆台的外接球的体积为 【分析】（1）根据勾股定理求出圆台的高，利用圆台的表面积公式计算即可得答案； （2）在两个直角三角形中，由勾股定理列出关于球的半径和球心到下底面圆的距离的方程组，求解计算即可. 【详解】（1）如图所示 由题可知，，，， 则，圆台的高； 圆台的表面积上底面积+下底面积+侧面积 则， ， 所以圆台的高为7，表面积为. （2）设圆台的外接球的球心为，半径为，连接、，、 则， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得，，即； 在直角三角形中，由勾股定理得，，即； 联立可得 ，解得， 所以圆台的外接球半径为5，. 所以圆台的外接球的体积为. 类型五 球与最值/范围 17．（26-27高二上·山东日照·开学考试）如图①，已知平面五边形中，是边长为2的正三角形，，，将和分别沿，向上翻折至，，使得，在平面的同侧（如图②），且二面角和二面角的大小都为，其中． (1)当时，求证：平面； (2)设该五面体外接球的球心为，半径为． （ⅰ）当时，求到平面的距离； （ⅱ）求的最小值． 【答案】(1)证明：翻折前：过点分别作的垂线，垂足分别为，分别延长交于点， 翻折后：如图所示，则二面角的平面角和二面角的平面角分别为和， 因为，则平面，平面，所以， 又因为是边长为2的正三角形，，，则，， 所以和都是直角三角形，又，则， 所以且，因此，四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，得到，再根据线面平行的判定定理即可证明平面； （2）（ⅰ）取的中点，，证明平面，可得到平面的距离为，利用解三角形求出即可；（ⅱ）易表示出，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）取的中点，连接，设为的外心，过作，交于点， 因为为正三角形，所以，因此，二面角的平面角. 设为该五面体的外接球球心，由对称性可知，该五面体的外接球，即三棱锥的外接球， 则平面，所以，到平面的距离为， 因为，则， 因此，到平面的距离为； （ⅱ）二面角的平面角为，平面，， 则，， 所以， 即，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，因此的最小值为. 18．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，为的中点，点在平面内的射影为点，且． (1)求证：； (2)当为等边三角形时， ①求的长 ②求点到平面的距离； (3)若记，，记三棱锥的外接球表面积，当函数取最小值时，求的长． 【答案】(1)因为平面平面，则， 且平面，所以平面， 且平面，所以． (2)①；②． (3) 【分析】（1）根据题意，证明出，且，从而得到线面垂直，得到； （2）作出辅助线，得到平面，点到平面的距离即为，对于平行四边形，建立平面直角坐标系，根据，得到，即，得到，再求出各边长，求出点到平面的距离； （3）表达出，求出，由余弦定理可得，由正弦定理得到的外接圆半径，设三棱锥的外接球半径为，则，结合二次函数性质求出最值，求出. 【详解】（1）略. （2）①作，垂足为，连接，若为等边三角形，则为中点， 对于平行四边形，建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 设，则， 若，可得， 即，因为为中点，可知：，则， 即，则． ②过点作， 因为平面平面，则，且， 且平面，可得平面， 又平面，则平面平面， 又平面平面，平面， 则平面，点到平面的距离即为， 可知三棱锥的高， 在中，， 故由等面积法知：， 所以点到平面的距离为． （3）记， 由题意可知，由（2）可知：点在直线上， 结合（2）得：， 在中， 设的外接圆半径为，则， 设三棱锥的外接球半径为， 则， 且，当时，即时，取到最小值， 即外接球表面积取到最小值，此时． 19．（25-26高一下·安徽合肥·期末）如图是一个正三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为，已知，，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)若点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置． 【答案】(1) 延长交于点，延长交于点，连接， 因为平面，平面， 所以，，所以， 即是线段上靠近的三等分点， 又因为平面，所以，， 可得，即是线段上靠近的三等分点， 因为为中点，可得是线段上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； (2)； (3)，此时为线段上靠近的三等分点． 【分析】（1）延长截面对应边找到两平面交线，利用垂直棱平行得到相似三角形推出线段比例，证，再由线面平行判定定理完成证明； （2）先计算得到，利用等腰三角形三线合一得，结合面面交线的垂直关系确定二面角平面角，通过等腰直角三角形求出该角正弦值； （3）先证平面平面，分别找出与外心并构造外接球球心，建立外接球半径关于的表达式，转化为求最小值，进而得到外接球半径最小值与对应点位置． 【详解】（1）略 （2） 在直角梯形中，，，，， 可得， 在直角梯形中，，，，， 可得， 所以 又因为为中点，所以，即， 在平面中，，，， 可得，， 所以， 所以，所以， 又因为平面平面， 所以是平面与平面的夹角的平面角， 因为，，所以， 即平面与平面的夹角的正弦值为； （3）因为，，，平面， 所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 在三棱锥中，设的外心为，的外心为， 过点作直线平面， 过点作直线平面，，交于点， 此时，，即三棱锥的外接球球心为， 在中，，，， 设外接圆半径为，则， 解得，所以， 在平面中，四边形为矩形，即， 在中，，设外接圆半径为， 由正弦定理得，即， 又因为， 所以要让三棱锥的外接球半径最小，即只要让最小， 因为在线段上，，所以， 即三棱锥的外接球半径的最小值为， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，此时为线段上靠近的三等分点． 20．（26-27高二上·陕西宝鸡·开学考试）如图，四棱锥中，平面平面，. (1)若，，记三棱锥外接球的球心为. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求三棱锥外接球的表面积. (2)记，，当时，求三棱锥体积的最大值. 【答案】(1)（）因为平面平面，平面平面，， 在平面中作 ，则为的中点，所以平面， 因为，，所以底面四边形为菱形， 因为，所以， ，即， 由正弦定理得外接圆的半径为， 设外接圆圆心为，则， 又，从而与重合，即为外接圆圆心， 由三棱锥的外接球的性质，即平面， 又平面，所以， 因为平面，所以平面. （） (2) 【分析】（1）（i）首先根据正弦定理求出的外接圆半径，然后确定的外接圆圆心，最后通过证明证明线面平行； （ii）先确定外接球的半径，然后利用公式求出三棱锥外接球的表面积； （2）要使得三棱锥体积的最大，只需底面的面积最大，结合余弦定理和三角形面积公式求出三棱锥体积的最大值. 【详解】（1）（i）略. （ii）由题意，为正三角形，则外接圆的圆心在上，记为， 由正三角形性质，则， 连接，则平面，所以为矩形，， 三棱锥 的外接球半径， 所以三棱锥的外接球的表面积. （2）由（1）可知，平面， 为三棱锥底面上的高，， 要使得三棱锥体积最大，只需底面的面积最大， 已知，，连接， 那么，， 又，， 因为，所以， 所以， 化简为， 令，则， 所以时，面积最大，此时， 所以，即三棱锥体积的最大值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题05 球与几何体的切接综合问题 （沪教版高二上，5种类型20道） 范围：必修第三册第10—11章、选择性必修第一册第3章 类型一 外接球半径（柱体/正方体/补形） 1．（25-26高一下·安徽蚌埠·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若平面平面，直线与直线所成角的余弦值为． （i）求边的长； （ii）求四棱锥外接球的体积． 2．（25-26高一下·河北邯郸·期末）如图，已知正三棱柱的外接球球心为O，底面边长，三棱锥为正四面体，P为侧棱的中点，点M，N在棱上，且，为正三角形．    (1)求四棱锥的体积； (2)求四棱锥的外接球的表面积． 3．（25-26高一下·广东汕头·期末）如图，在棱长为4的正方体中，O为侧面的中心．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求三棱锥的外接球的体积． 4．（25-26高一下·河北承德·期末）已知平面是圆柱的轴截面，是上异于，的点，为上的动点，，．    (1)证明：； (2)求与所成的角的余弦值； (3)若，，，四点在一个球上，求该球的表面积和体积． 类型二 内切球与棱切球 5．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）如图，正三棱锥所有棱长均为2. (1)证明：； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值； (3)求正三棱锥的内切球的体积. 6．（25-26高一下·四川资阳·期中）如图，是圆锥底面圆的内接三角形，，，圆锥底面半径为，PA为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆． (1)求圆锥的高； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，截得圆台的上底面半径为，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积． 7．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在斜三棱柱中，平面平面，，分别为棱，的中点，． (1)若四边形为菱形，证明平面． (2)若，， ①求平面与平面夹角的余弦值； ②若三棱柱内存在两个体积相等且相切的球，每个球都与一个底面及三个侧面相切，求到平面的距离． 8．（26-27高二上·山东临沂·阶段检测）空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中），且为该平面的法向量. (1)若平面，且，求实数的值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； 类型三 球心位置与球面性质 9．（25-26高一下·广东深圳·期末）回答以下问题： (1)如图1，设点为三棱锥外接球的球心，过作平面于点，作平面于点．设棱的中点为，连接，．设二面角为（），，，，，球的半径为．求证： i．为的外心； ii．，，，四点共面； iii．． 注：当三棱锥的形状变化时，图1的形状也可能发生变化（例如图2）．事实上，上述求解的公式对任意三棱锥都成立，不过你只需基于图1证明即可． (2)已知等边三角形的边长为，直线将其分成两个多边形．将其中一个多边形绕旋转角度（），然后以这两个多边形为底面，连接它们边界上的对应点，构成一个多面体．若该多面体的所有顶点都在同一个球面上，求该球半径的最小值． 10．（24-25高一下·河南平顶山·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，M，N，E分别为BC，AC，PC的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，，三棱锥的外接球为球O. （ⅰ）证明：A，B，C，O四点共面； （ⅱ）求直线PO与平面所成角的正弦值. 11．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，，，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，分别为，的中点，过三棱锥的外接球球心、、三个点的平面与直线交于点，求三棱锥的体积. 12．（25-26高一下·甘肃酒泉·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆上的点且，，在线段上且，是的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)判断三棱锥是否有外接球，若有，求出外接球的表面积；若没有，说明理由； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 类型四 球的截面与球面距离 13．（26-27高二上·辽宁丹东·阶段检测）球面几何是研究球面上由大圆弧围成的图形的几何分支；已知球O的半径为R，点A、B、C均在球面上，将球面上由三段圆弧、、围成的曲面图形，称为球面三角形；记三个二面角、、的平面角分别为、、，球面三角形的面积由以下公式给出： (1)若平面、平面、平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)在图一中，已知，球心处的三个圆心角记为：，，． ①求证：； ②将图一中线段延长交球O于点D，连接、，得到四面体并将其截出得到图二，已知直线、与平面所成的角分别为、，点E满足向量关系：，，S为中点，T为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值． 14．（25-26高一下·吉林长春·期末）如图，在三棱柱中，为正三角形，，在平面内的射影在线段上，是的中点． (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)为线段上的动点，已知的最小值为，记四面体与四面体的公共部分为，用平面去截的外接球球面，求所得交线在侧面内的部分的弧长． 15．（25-26高一下·河南许昌·期末）如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，侧棱，为棱上的一点，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求四面体的外接球被平面所截得的截面圆的面积． 16．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）已知圆台的上下底面都是球的截面圆，圆台的母线长为，圆台的上下半径分别为3和4． (1)求圆台的高和表面积． (2)求圆台的外接球的体积． 类型五 球与最值/范围 17．（26-27高二上·山东日照·开学考试）如图①，已知平面五边形中，是边长为2的正三角形，，，将和分别沿，向上翻折至，，使得，在平面的同侧（如图②），且二面角和二面角的大小都为，其中． (1)当时，求证：平面； (2)设该五面体外接球的球心为，半径为． （ⅰ）当时，求到平面的距离； （ⅱ）求的最小值． 18．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，为的中点，点在平面内的射影为点，且． (1)求证：； (2)当为等边三角形时， ①求的长 ②求点到平面的距离； (3)若记，，记三棱锥的外接球表面积，当函数取最小值时，求的长． 19．（25-26高一下·安徽合肥·期末）如图是一个正三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为，已知，，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)若点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置． 20．（26-27高二上·陕西宝鸡·开学考试）如图，四棱锥中，平面平面，. (1)若，，记三棱锥外接球的球心为. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求三棱锥外接球的表面积. (2)记，，当时，求三棱锥体积的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $