期中复习压轴专题01 空间位置关系的证明与条件探索（5种类型20道）（压轴题专项训练）高二数学沪教版

期中复习压轴专题01 空间位置关系的证明与条件探索 （沪教版高二上，5种类型20道） 范围：必修第三册第10—11章、选择性必修第一册第3章 类型一 线面平行的判定与性质 1．（26-27高二上·上海长宁·阶段检测）如图，已知四棱锥底面为平行四边形，且平面，点，分别为棱，上的点； (1)若是中点，且，求证：； (2)若，且平面，求的值； 【答案】(1)证明：∵平面，平面， ∴，又是中点，且，∴， 又∵，平面，∴平面， 又平面，∴. (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，再利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明； （2）根据线面平行的性质定理即可证明. 【详解】（1）略. （2）连接交于点，连接， ∵底面为平行四边形，∴，又， 即，又∵平面， 平面，平面平面， ∴，∴. 2．（25-26高一下·北京西城·期末）如图，在三棱柱中，为正三角形，是的中点： (1)求证：平面； (2)若，，. （i）求证：； （ii）求三棱柱的体积. 【答案】(1)连接，设，连接， 因为O，D分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. (2)（i）因为为正三角形，D是的中点，则， 又因为，，则为正三角形，可得， 且，平面，可得平面， 且平面，所以； （ii）3 【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）（i）根据题意可得，，可证平面，即可得结果；（ii）可证平面，结合柱体的体积公式运算求解. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）因为，则， 且，所以， 又因为，，平面，所以平面， 故三棱柱的体积. 3．（25-26高一下·贵州黔东南·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点． (1)若点为的中点，求证：平面； (2)若点为线段上的动点（包含端点），求的最小值； (3)若点在侧面正方形内（包含边界），且，求点的轨迹长度． 【答案】(1)四边形是正方体的对角面， 则四边形是矩形，， 由点O、M分别为、的中点，得， 又平面，平面， 所以平面； (2) (3)． 【分析】(1)根据线面平行判定定理可得； (2) 把正方形与正方形置于同一平面内即可得； (3)延长与的延长线交于，得为平行四边形，取中点，连接交于，连接，得四边形是平行四边形，进一步得到点的轨迹是平面与正方形相交所得线段，即可求得点的轨迹长度. 【详解】（1）略 （2）如图所示，把正方形与正方形置于同一平面内，且在直线BC两侧，连接DM， 则的最小值为. （3）如图所示，取中点，延长与的延长线交于， 由，，得为平行四边形，， 取中点，连接交于，连接， 由，，得四边形是平行四边形， 则，为的中点， 由平面，平面，得， 又，，， 则，而，则， 同理， 因此，， 而，MO，平面，所以平面， 又，则平面，又平面， 因此点的轨迹是平面与正方形相交所得线段， 而， 所以点的轨迹长度为． 4．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点. (1)求证平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1) 因为 平面 ABCD，，所以以 为原点，分别以 、、 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系. 由 ，，且 ，得各点坐标： 由 为 的中点， 为 的中点，得     因为     故 与这两个向量共面；又 平面 ， 因此 平面 . (2) (3) 【分析】(1)由 底面且 ，三条棱两两垂直，适合建系；把待证直线的方向向量表示为平面内两个不共线向量的线性组合，由共面条件证线面平行； (2)分别求两平面的法向量，用法向量夹角公式求二面角的余弦； (3)用“平面内一点与该点连成的向量在法向量上的投影绝对值”求点到平面的距离. 【详解】（空间向量法）（1）略 （2）设平面 的法向量为 ，由 ，， 即： ，取 则 设平面 的法向量为 .在该平面内取 ，， 即： ，取 则 设两平面所成二面角为 ，则 （3）平面 过点 ，其法向量为 ，又 ，故点 到平面 的距离 【点睛】三线两两垂直时建系是通法：线面平行看“方向向量能否被平面内两向量线性表示”，二面角与线面角、点面距离都归结为法向量的夹角与投影. 5．（25-26高一下·山西太原·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，AC与BD交于点O． (1)设平面SAB交平面SCD于直线l，求证：； (2)若，且M是棱SD的上任意一点，点M到平面SAB，平面SBC，平面ABCD的距离分别为，，．求； (3)若P，Q分别是线段SB、线段AC上的点，且满足，设PQ与SC所成的角为，PQ与BD所成的角为，求的最大值． 【答案】(1)因为，平面SCD，平面SCD， 所以平面SCD． 又因为平面SAB，平面平面直线l，所以． (2) (3)． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理以及性质求解即可. （2）根据等体积法得到代入求解即可. （3）作，由可得，根据角的关系可得，然后即可求解. 【详解】（1）略 （2）依题意可得， ∴， 其中. ， 因为，所以，. 即，解得． （3）作，与BC交于点R，连接RQ，如图． 因为，所以． 又，所以， 所以． 因为底面ABCD是正方形，所以. 因为平面ABCD，平面，所以. 因为平面,所以平面,进而，所以， 则，，且， 所以， 当时，取得最大值为． 类型二 线面垂直与面面垂直的判定及转化 6．（26-27高二上·上海奉贤·阶段检测）如图，已知矩形所在的平面，分别为的中点，，，． (1)求直线与平面所成角大小； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明：如图，取的中点，连接，， 因为平面，平面，所以， 因为四边形为矩形，所以， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 由（1）知为等腰直角三角形，所以， 因为，平面，所以平面． 又因为，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以平面． 【详解】（1）因为平面，所以是在平面内的射影， 所以即为与平面所成角， 又因为平面，所以， 又，， 所以，， 所以， 所以直线与平面所成角大小为； （2）略 7．（25-26高二上·河北·期中）四面体ABCD中，，. (1)证明：； (2)证明：四面体三组对棱的中点间距离相等. 【答案】(1) 方法一：因为得， 又，所以 即， 同理由得， 所以 即，得. 方法二：过点作面BCD，垂足为，连接并延长交于点, 连接并延长交于点， 因为面，面，∴ 又∵，且，面 则面，又面， ∴，即是一条高线 同理可证也是一条高线. 又，则点是的垂心，∴ 又，，平面，所以面， 又面，得 (2) 不妨设分别为棱的中点. 设， 则， ， ， 则，类似的可证明其余对棱中点连线距离相等. 【分析】（1）方法一：因为得,转化为，同样得，最终可得到，即证. 方法二：过点作面BCD，垂足为，连接并延长交于点, 连接并延长交于点，只用证面，利用线面垂直的性质可得. （2）设，表示出对棱中点连接所成的向量，利用数量积的计算性质结合（1）中的结论求解. 【详解】（空间向量法）（1）略 （2）略 8．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，． (1)证明：平面平面； (2)若，， （ⅰ）求的长； （ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：连接交于，连接． 因为四边形是正方形，所以． 在和中， ，，． 是的中点，． 因为四边形是正方形，且是其对角线交点， ，，且平面， 平面， 又平面，∴平面平面． (2) （ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）连接交于，连接．根据正方形的性质可证得， 从而有，进而得到平面，最后证得平面平面； （2）（ⅰ）先由余弦定理得到的长，再使用勾股定理求出的长，最后在和中，由余弦定理求出的长； （ⅱ）由勾股定理逆定理可知，结合（1）可得平面平面，可得到线面垂直，进而得到，再利用线线平行证得 平面，同理可得 平面，可知平面与平面的交线为，又，那么为平面与平面夹角，通过解三角形即可求解． 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）已知，，， 结合余弦定理可得， 又， 由（1）知， 则在中，． 在和中，根据余弦定理可得： ， 在正方形中，，， 则，解得． （ⅱ）因为，，， 所以，故， 由（1）可得平面平面， 又平面平面，平面， 可得平面， 因为平面，可得， 因为,平面，平面，所以 平面， 同理可得 平面， 设平面平面，由 平面，平面， 可得， 同理可得， 又因为，所以， 故为平面与平面所成的锐二面角为， 所以. 9．（26-27高二上·上海·阶段检测）如图，在长方体中，，为上一点． (1)求证：平面平面； (2)若，求与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明：在长方体中，平面， 又平面，所以. 在长方体中，， 所以四边形是正方形，所以. 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）由长方体的性质可证，结合，可证平面，进而可证结论； （2）记，连接，由（1）可得为直线与平面所成的角，计算可求得与平面所成的角的正弦值． 【详解】（1）略. （2）记，连接. 由（1）可知平面，所以为直线与平面所成的角. 因为，所以， 因为四边形是正方形，所以. 在中，，， 所以. 在中，，， 所以. 所以与平面所成的角的正弦值为． 10．（25-26高一下·山东济宁·阶段检测）如图三棱锥中，，，平面平面．平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：在内任取一点，过点作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以． 过作于，同理可得， 又平面，平面，， 所以平面． (2)． 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而得线线垂直，即可根据线面垂直的判定求证， （2）根据等体积法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面， ，，就是二面角的平面角， ，， ， 所以三棱锥的体积． ,,故, 又，，， 设点到平面的距离为， 则三棱锥的体积，， 所以点到平面的距离为． 类型三 四点共面、三线共点与交线作图 11．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）如图，已知空间四边形，点、分别是线段、的中点，点、分别在线段和线段上，且满足． (1)证明：、、、四点共面； (2)证明：、、三线共点． 【答案】(1)如图，连接，. 因为点、分别是线段、的中点，所以，. 因为，所以，，所以. 因为两条平行线可以确定一个平面，所以、、、在同一个平面上，即、、、四点共面. (2)由（1）知，，，， 所以四边形为梯形，梯形两腰必相交. 设直线与直线交于点. 因为，平面，所以平面. 因为，平面，所以平面. 因为平面平面，所以点一定在交线上，即. 所以、、交于同一点，即、、三线共点. 【分析】（1）根据中位线定理、平行线分线段成比例及两条平行线确定一个平面定理证明即可. （2）根据平面的基本性质：两平面相交，公共点都在交线上证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 12．（25-26高二上·上海·开学考试）在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且．    (1)求证：、、、四点共面； (2)若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 【答案】(1) 如图，连接，    因为、分别是、的中点，所以，又， 所以，所以， 所以、、、四点共面； (2) 【分析】（1）连接，利用平行的传递性证明即可； （2）表示出、，利用余弦定理求出 ，即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为四面体为棱长为6的正四面体，又，则， ∴， 因为、分别是、的中点，则， ∴ ， ∴ . 13．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1) 如图，即为所求，理由如下： 连接，并延长直线，交射线于， 因为， 所以确定一个平面， 平面和平面的交线为. (2) 连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以四边形是等腰梯形. 【分析】（1）根据平面确定定理证明即可. （2）根据等腰梯形的证明方法证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 类型四 动点存在性与条件探索 14．（25-26高二上·广东清远·阶段检测）在四面体中，，，，，，，，，，点在棱上，且， (1)计算，，的值； (2)在线段上是否存在一点，使得？若存在，求的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，， (2)不存在，理由如下： 由题意，， 则， 设， 则， 又， 若在线段上存在一点，使得， 则 解得， 故线段上不存在一点，使得. 【分析】（1）根据向量的数量积公式计算即可； （2）设，利用向量的线性运算求出，计算，根据计算结果得出结论即可. 【详解】（空间向量法）（1）由题意可得， ， ， （2）不存在，理由略. 15．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）如图，在四棱锥中 ，，，平面，  ，为的中点． (1)设平面与平面的交线为直线，求证：； (2)求证：平面； (3)平面内是否存在一点，使平面？   若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)如下图：取的中点为，连接. 因为为的中点，所以且. 因为，，所以，又因为，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面，又因为平面平面，所以. (2)因为平面，，所以两两互相垂直，如图，分别以所在方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为，则，令得，. ，所以，所以平面. (3)存在，即（是的中点）的中点. 【分析】（1）先用线面平行的判定定理证明线面平行，再用线面平行的性质定理证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，求出直线方向向量和平面法向量即可证明线面垂直； （3）用向量法假设存在并且求出具体的点. 【详解】（空间向量法）（1）略. （2）略. （3）平面内存在点，即（是的中点）的中点，使平面. 证明过程如下： 设平面内一点，由（2）可知，， 设平面的一个法向量为，则，令得， 若平面，则，即，解得， 所以平面内存在点，使平面. 16．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：连接，交于点，连接，点是的中点，点是的中点， 所以，平面，平面，所以平面. (2) (3)存在，的长为或 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角. （3）假设在棱上存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【详解】（空间向量法）（1）略. （2）以为坐标原点，以，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，. 设平面的法向量， 则，令，则，， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以， 即平面与平面夹角的正弦值为. （3）由题，，，， 则，， 假设存在这样的点，设， 则， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 当时，；当时，， 故存在一点满足条件，线段的长为或. 17．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点．    (1)求证：直线平面； (2)已知，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得 平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 因为垂直于所在的平面， 所在的平面，所以， 又是的直径，点是圆周上的点，所以， 因为，平面， 所以平面． (2) (3)存在， 【分析】（1）利用线面垂直的性质和判定证明即可； （2）根据线面角的概念可知即为直线与平面所成角的平面角，利用勾股定理求出的边长即可得解； （3）构造平行四边形，由线面平行的判定定理得 平面，确定. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 因为垂直于所在的平面， 所在的平面，所以， 又因为，，所以， 因为，所以， 所以在中， 因为平面，所以， 在中， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． （3）在线段上存在点，使得 平面，且， 理由如下： 取的三等分点为（靠近），在中过点作，， 则，且， 因为是中点，是中点，所以，且， 又，所以， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以 平面, 故线段上存在点，使得 平面，且.    类型五 向量基底表示与共面/平行的参数反求 18．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1) 平面平面， 平面，平面平面， 而平面平面， 平面平面． (2) 由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面，. (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到平面，再结合面面平行的判定定理求解即可. （2）利用面面平行的性质定理求解即可. （3）结合题意与空间向量的线性运算得到，最后利用空间向量基本定理建立方程，求解参数即可. 【详解】（空间向量法）（1）略 （2）略 （3）如图，作出符合题意的图形， ，点是的中点， ，，点是的中点，． ，且三棱锥各棱长均为1， ，． 点在上且与端点不重合，，解得． ，， 又， 而， 由（2）知，， ，使得， 即， 由空间向量基本定理可得，解得. 19．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）根据空间向量基本定理进行求解； （2）设，表达出，根据平面，设存在实数，使得，表达出，，从而得到方程，得到，分和时，结合根的判别式，得到，求出为定值. 【详解】（空间向量法）（1）因为四棱锥的底面为平行四边形，所以， 故； （2）由（1）知，，又， 所以， 则， ，， 设，又， 则， 因为平面，则存在实数，使得， 故， 所以 ， 故， 整理得，， 当时，，解得， 当时，由， 解得或， 综上，， 所以对所有满足条件的平面，点的轨迹长度为， 故为定值，. 【点睛】空间向量解决空间几何中点的存在性问题或轨迹问题，可将几何问题转化为代数问题，化繁为简，可大大节省思考量. 20．（26-27高二上·上海普陀·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，为与的交点，若，，. (1)用，，表示和； (2)求. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，结合图形计算可得； （2）首先根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律求出及，最后根据夹角公式计算可得. 【详解】（空间向量法）（1）连接，如图： 因为，，， 在中，根据向量减法法则可得： ， 因为底面是平行四边形，故， 因为∥且，所以， 又为线段中点，所以， 在中，， 平行四边形中，； （2）因为，，， 故，， ， 所以 ，故， 所以 ， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期中复习压轴专题01 空间位置关系的证明与条件探索 (沪教版高二上，5种类型20道) 范围：必修第三册第10一11章、选择性必修第一册第3章 类型二 线面平行的判定与性质 1. (26-27高二上·上海长宁阶段检测)如图，已知四棱锥P-ABCD底面为平行四边形，且PD⊥平面 ABCD,点E,F分别为棱AD,PC上的点： C E (1)若E是AD中点，且BA=BD,求证：BE⊥AP; 2若AD=3AE,且PA∥平面EBF,求F的值： PC 2.(25-26高一下北京西城期末)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为正三角形，D是AB 的中点： A C B (1)求证：BC1/平面A1CD: (2)若AB=AA1=2,∠A1AB=60°，∠DA1C1=90° 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (i)求证：AB⊥A1C: (ii)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积. 3.(25-26高一下，贵州黔东南期末)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为B1C1的 中点 D A B D B (1)若点O为C1D1的中点，求证：MO/平面A1DB: (2)若点N为线段BC上的动点（包含端点），求MN+DN的最小值： (3)若点Q在侧面正方形ADD1A1内（包含边界），且MQ⊥AC,求点Q的轨迹长度： 4.(26-27高二上贵州贵阳阶段检测)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形， AB∥CD,A1A⊥平面ABCD,AD⊥AB,其中AB=AA1=2,AD=DC=1.N是B1C1的中点， M是DD1的中点. A B M D B (1)求证D1N∥平面CBM: (2)求平面CB1M与平面BBC1C所成二面角的余弦值： (3)求点B到平面CB1M的距离. 5.(25-26高一下山西太原阶段检测)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平 面ABCD,SA=V2AB,AC与BD交于点O. 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P D (1)设平面SAB交平面SCD于直线1，求证：AB/l: (2)若AB=2,且M是棱SD的上任意一点，点M到平面SAB,平面SBC,平面ABCD的距离分别为d1,d2, d,求2d,+3d,+2d, (3)若P,Q分别是线段8、线段4C上的点，且满足SP=, 2CQ 设PQ与SC所成的角为a,PQ BP AC-2CQ 与BD所成的角为β，求sina+sinB的最大值. 类型二 线面垂直与面面垂直的判定及转化 6. (26-27高二上.上海奉贤.阶段检测)如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别为 AB、PC的中点，∠PDA=45°，AB=2,AD=1. D M B (1)求直线PC与平面ABCD所成角大小： (2)求证：MN⊥平面PCD 7.(25-26高二上河北期中)四面体ABCD中，AB⊥CD,AC⊥BD. 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明：AD⊥BC: (2)证明：四面体ABCD三组对棱的中点间距离相等. 8.(26-27高二上.上海徐汇阶段检测)已知四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形， ∠PBA=∠PBC=a A D M B C (1)证明：平面PBD⊥平面ABCD: (2)若PB=4,Q= 3 (i)求PD的长； (ⅱ)求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值. 9.(26-27高二上.上海阶段检测)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,E为DD1 上一点 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O A E、 B D B (1)求证：平面D1DBB1⊥平面EAC: (2)若DE=3,求AE与平面D1DBB1所成的角的正弦值. 10.(25-26高一下.山东济宁阶段检测)如图三棱锥A-BCD中，AB=AC=2,AD=23,平面 DAC⊥平面ABC.平面DAB⊥平面ABC. D B (1)证明：DA⊥平面ABC: (2)若二面角C-AD-B的正切值为3，求点A到平面BCD的距离. 类型三 四点共面、三线共点与交线作图 11. (26-27高二上.上海徐汇阶段检测)如图，已知空间四边形ABCD,点E、F分别是线段AB、BC 的中点，点G、H分别在线段CD和线段AD上，且满足CC=AH=2. GD HD H 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明：E、F、G、H四点共面： (2)证明：EH、FG、BD三线共点 12.(25-26高二上.上海开学考试)在四面体ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，点E、F分别 是AB、BC边上的点，且BE=BE=k10<k<1. BC BA (1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)若四面体ABCD为棱长为6的正四面体，求四边形EFGH的周长fk. 13.(24-25高二上.上海期中)正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点. D A B E B (1)记点C1,E,F确定的平面为Q,作出平面a和平面BCC1B1的交线，并说明理由： (2)求证：四边形ECD1F是等腰梯形. 类型四 动点存在性与条件探索 14.(25-26高二上广东清远阶段检测)在四面体0ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,a=2, b)=3'1=4'∠A0B=60,∠C0B=90,∠A0C=120,点D在棱BC上，且 BD:DC=1:2, 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B ge 1)计算ab,a·c,6·c的值： (2)在线段AD上是否存在一点P,使得OP⊥BC?若存在，求AP:PD的值，若不存在，请说明理由. 15.（25-26高一下·四川成都-阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,CD⊥AD, PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点. M 0 (1)设平面PBC与平面PAD的交线为直线I,求证：BM/11: (2)求证：PD⊥平面ABM: (3)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明 理由 16.(26-27高二上·天津河北-阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD,PD=DC=2AD=2,E是PC的中点. D (1)证明：PA∥平面EDB: (2)求平面EDB与平面PAD夹角的正弦值： 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 (3)在棱PB上是否存在一点F,使直线EF与平面EDB所成角的正弦值为- 3 若存在，求出线段BF的 长；若不存在，说明理由. 17. (25-26高二上·云南迪庆期末)如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周 上的点且AC=CB=3,M在线段PA上且AM=2MP,N是BM的中点. B (1)求证：直线BC⊥平面PAC: (2)已知∠PCA=45°，求直线BM与平面PAC所成角的正弦值： B)线段PC上是否存在点Q,使得NQ‖平面ABC?若存在，则求P巴的值，若不存在，请说明理由。 Qc 类型五 向量基底表示与共面平行的参数反求 18. (25-26高一下浙江宁波期中)如图所示，如图，三棱锥P-ABC各棱长均为1，侧棱上的D,E, F满足PD=DA,BPPC BEPF λ，线段BC上的点G满足AG∥平面DEF,点Q在PC上，且与端点不重 合，AQ∥DF D D (1)求证：平面AQG∥平面DEF: (2)求证：QG1∥EF: 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)若GC=3BG,求λ的值. 19.(23-24高二上·重庆九龙坡阶段检测)如图，已知四棱锥T-ABCD的底面为平行四边形，平面Q与 直线AD、TA、TC分别交于点P、Q、R,且满足AP-T-C及-X点M在直线TB上，N为棱CD AD TA CT 的中点，且直线MN/平面a. R D N P B )设TA=aTB=6T心=2试用基底a,6,表示向量TD: (2)若点M的轨迹长度与棱长TB的比值为μ，试讨论μ是否为定值，若μ为定值，请求出μ，若μ不为定值， 请说明理由. 20.(26-27高二上.上海普陀阶段检测)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， ∠AAB=∠AAD=∠BAD=60,AB=AD=AA=1'M为A,C,与B,D,的交点，若 AB=a'AD=b'AA=C D A D )用a'方表示B和AC (2)求cos A B,AC 9/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10/10