辽宁鞍山市部分普通高中2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二年级阶段测试 数学卷 满分150分 时间120分钟 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知三点，，共线，那么（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知是空间内任意一点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（ ） A．直线 B．平面 C．线段 D．圆 3．若空间中三条不同直线，，的方向向量分别为，，，已知，且，则直线与直线必定（ ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 4．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（ ） A． B． C． D． 5．如图，两个以为圆心的同心圆，切大圆于，切小圆于，交大圆于，，，，，则大圆与小圆的半径分别为（ ）． A． B． C． D． 6．已知平行六面体的所有棱长均为2，，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，是棱长为1的正方体，若点在平面内，且满足，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 8．在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 10．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A．异面直线与所成角为 B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 11．2021年3月30日我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新（如图），设计师的灵感来源于数学中的曲线：．给出下列四个结论，其中正确的结论为（ ） A．对任意的且，曲线总关于原点成中心对称 B．当时，曲线上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C．当时，曲线围成的图形面积可以为2 D．当时，曲线上的点到原点最近距离为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．经过点且在轴的截距的绝对值是轴上截距的绝对值两倍的直线方程____________________． 13．已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为__________． 14．类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则．已知平行六面体的底面为菱形，，，，则二面角的余弦值为__________． 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程． （2）在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①角的平分线所在的直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为． __________，求直线的方程． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16．（15分）如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点． （1）证明：； （2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 已知直线：恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上． （1）求定点的坐标与圆的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程． （3）过点引圆的切线，求切线方程． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，． （1）证明：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 19．（17分） 已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点． （1）求圆的标准方程； （2）是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； （3）若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为3，求证：直线过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 3 6 7 8 9 10 11 答案 A B C 0 ABD ABC ABD 3V13 12.y=x或x+2y-3=0或x-2y+1=0 13.214.13 15.1)2x+y-11=0(5分) (2)(8分) 若选①：直线4C的方程为2x-11y+49=0 若选②：直线AC的方程为6x-5y-9=0, 【详解】(1)因为AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0 15 1 = 一X 转化为斜截式22，其斜率为2， 所以直线AB的斜率为k=-2, -2分 又△ABC的顶点B(5,),所以直线AB的方程为)-1=-2(x-5) --4分 即2x+y-11=0 -5分 (2)若选①：角A的平分线所在的直线方程为x+2y-13=0, 2x+y-11=0, ∫x=3 由x+2y-13=0,解得y=5,所以点4(3,5) -7分 设点B关于x+2y-13=0的对称点B'(,%), +5+2x+1-13=0, 则(2 37 5, 2 3729 %= B 解得 5’所以点 (55 -10分 29 B3729 kc= 52 又点°(5'5)在直线AC上，所以 3-37i 5 -12分 y-5=2(x-3) 所以直线AC的方程为11 ,即2x-11y+49=0 --13分 若选②： BC边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0, 2x+y-11=0, x=4, 由2x-y-5=0,解得y=3,所以点A(4,3) -7分 设点C(:,),则BC的中点在直线2x-y-5=0上， 2x5+x_1+y-5=0 所以2 2 ,即2x-片-1=0 所以点C在直线2x-y-1=0上， 因为AB边上的高所在的直线方程为K-2y-5=0且AB边上的高一定过点C, 所以点C在直线x-2y-5=0上， x-2y-5=0, x=-1, 由2x-y-1=0,解得y=-3,即点C(-1,-3) -10分 -3-36 所以 -1-45. -12分 所以直线AC的方程为 7,即6x-5y-9=0 -13分 16.【详解】(1)由正方体可知A41CC，,A4=CC. 所以四边形A4CC为平行四边形，所以ACAC, 因为AC女平面G4E,4GC平面C4E,所以AC∥平面G4E, 因为ACC平面ABCD,平面ABCD∩平面CAE=EF,所以AC/EF -5分 (2)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-z, -6分 B 设AE的长为0，则(2,00)，4(20,2)，C(0,2,2),B(2,22).E(2a,0) AB=(0,2,0).4C=(-2,2,0).AE=(0,a,-2）AA=(0,0,2） 设平面C4E的一个法向量为厅=(x,少2)】 i.AC=-2x+2y=0 则846=2=0，k=1.期-u别 -10分 2 a23 所以点A到平面C4,E的距离 /2+ 4 ,解得a=1 -12分 版-.数a数48与C所为D, sin-cos(B)= AB,n 2 48同22+ 13 4 -14分 2 所以直线4，B与平面C4E所成角的正弦值为3， -15分 17.4)P3,）,圆C的方程为x-7+(0-4=25 (2)x=10或7x+24y-70=0 (3)x=12或11x-60y+468=0 【详解】(1)将直线l的方程整理为K(x-3)-x-2y+5=0 x-3=0 x=3 令-x-2y+5=0,解得0y=1,故P(3,) -2分 由圆心在直线x-2y+1=0上可设圆心坐标为C(2m-Lm),则AC=CP, 即2m-1-4}+m2=V2m-1-3y+(m-1 解得m=4, 故圆心坐标为C(7,4),半径为7-4+4=5， 故圆C的方程为(-7}°+(0-4)2=25】 .4分 (2)当直线斜率不存在时，直线1为x=10, 此时圆心到x=10的距离为10-7=3， 由垂径定理得：弦长为2×V52-32=8,满足要求， --6分 当直线马斜率存在时，设直线为y=k(x-10) 4=4+3 圆心C(7,4)到直线y=k(x-10)即kx-y-10k=0距离为V1+, 4+36 8 由垂径定理得： + ,解得 24 -8分 放宜线方程为： 24x-10）m7x+24y-70=0, 综上：直线1方程为x=10或7x+24y-70=0. -10分 (3)当切线斜率不存在时，直线方程为x=12, 与圆(x-7)+0-4=25,圆心到直线的距离为5，显然相切，-12分 当切线斜率存在时，设切线斜率为k,切线方程为”-10=k(x-12)】 7k-4-12k+10=5 即(-y-12k+10=0,由圆心到切线距离等于半径得 VR2+1 整理得36-60k=25,解得60， --14分 代入得切线方程为11x-60y+468=0 所以切线方程为x=12或11x-60y+468=0 -15分 18.(1)设DC中点G,连接PG,AC, AD=2BC=2AB=4,AD1/BC,∠BAD=90°，所以AC=VAB2+BC2-2V2, 因为CD=2N2,所以有AC2+CD2=AD,则AC⊥CD, 因为PC=PD,G为CD中点，所以PG⊥CD, 因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,所以PG⊥平面ABCD, 因为ACC平面ABCD,所以PG⊥AC, 因为PG∩CD=G,所以AC⊥平面PCD, 因为ACC平面PAC,所以平面PAC⊥平面PCD. -5分 (2)在棱PA上存在点M,M为PA上靠近P的三等分点. 详解 在棱PA上存在点M,使得平面PCD与平面CDM的夹角为30°，M为PA上靠近P的三等分点，证明 如下： 由(I)得PG⊥平面ABCD,因为CB,COC平面ABCD,则PG⊥CB,PG⊥CQ, 过C作PG的平行线CV,则以C为原点，CQ所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CN所在直线为 2轴，建立空间直角坐标系- -6分 由题意得CD=2V2,则C(0,00),D(2,-2,0).A(22,0) G-0=5m-2,g=后，数-1网 -8分 则P=3-6）-(-lv6,cD=(2,-2,0)」 设PM=PA,由题可知0<元<1， CM-Cp+PM-C乎+PA=(1+元，3-1，V6-V6 -10分 设平面PCD法向量为%=(，M,)】 m·CP=x-y+V6z=0 则元·C⑦=2x-2y=0，令=1，则4=1，名=0，元=(11,0），…12分 设平面CDM的法向量为%=(，2,3)， n2·CM=(1+)x2+(32-1)y2+V6(1-2)z=0 则乃，CD=2x2-252=0 42 -15分 因为平面PCD与平面CDM的夹角为30°， n'n 2 cosn n2 网 1612 =c0s30°=V5 2 2+ 6(-1)月 所以 1 = 化简得32+22-1=0，即3-0(2+=0，又0<元<1，则=3， -16分 所以M为PA上靠近P的三等分点. -17分 19.(1) (2)(3)证明见下 x2+y2=4 【详解】1)由已知得图0的竿轻+（可-2 所以圆O的标准方程为x2+y2=4 --2分 (2)证明：由(1)可知(2,0)，B(0,2),设P(）(≠0，%≠0)，则+片=4 y=%,(x-2) 由题意知≠2，直线AP的方程为X,-2 -4分 y= -2y0 M0,-2% 令x=0,得-2，所以(。-2 =%2 +2 由≠0，得直线BP的方程为 Xo -2x0 N=2x,0 令y=0,得%-2，所以“(%-2) -6分 所以 %-2 =45+6+4+2x%-4,-4=4 2xo%-4(x)+%)+8 x6-2(x+%)+4 8 %-2(6+%)+4,所以AN-BM为定值.9分 x2+y2=4, (3)证明：设直线1的方程为y=x+m,D(,),E(),已知C(-2,0）,联立=+m, 得（+k)广+2kx+m-4=0,△=4m-4+)0m2-4>0,即m㎡2<42+4.所以 2km m2-4 x+X2= 1+2.西 1+k2, ---11分 o红=2x,=红+m+m-5+m+tm-3 所以 x+2x2+2xx2+2(x+x2)+4 xx2+2(x+x2)+4 所以(k2-3)小西+(m-6(5+)+m2-12=0 -4(-o梁)+-12-0 所以 整理得(m-2k)(m-4)=0,所以m=2k或m=4k. --15分 当m=2k时，直线1的方程为y=+2k=(x+2),恒过点C(-2,0),不符合题意： 当m=4k时，直线的方程为y=+4=k(x+4),恒过点（4,0)，符合题意. 所以直线1过定点（4,0) -17分