精品解析：辽宁省实验中学2026-2027学年高二上学期十月考试数学试题

2026-2027学年上学期高二年级十月考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 2. 如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以 3. 经过点，且一个法向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点法式方程求解即可. 【详解】由点法式方程得，即． 4. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 【详解】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 5. 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】建立如图空间直角坐标系， 则， ，. 故点到直线的距离. 6. 一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（ ） A. B. a C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，通过异面直线方向向量的公垂线方向向量与两直线上点连线的投影计算距离. 【详解】∵ 平面平面，平面平面，平面，， ∴ 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，在平面内以过且垂直于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由，为等腰直角三角形，，可得各点坐标： . ∴ 直线的方向向量，简化为. 直线的方向向量，简化为. 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即. 令，则，得，其模长. 取直线上一点，直线上一点，得向量. ∴ 异面直线与的距离. 【点睛】方法归纳：利用空间向量求异面直线距离的步骤：1. 建立合适的空间直角坐标系，写出对应点坐标；2. 求出两条异面直线的方向向量；3. 求出与两个方向向量都垂直的公垂线方向向量；4. 取两直线上任意两点的连线向量，计算该向量在公垂线方向向量上的投影的绝对值，即为异面直线的距离. 7. 已知正方体中，P，Q分别为棱，上的动点，则二面角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，建系，写出相关点的坐标，设，求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式，结合余弦函数的性质即可求得. 【详解】如图，设正方体的棱长为1，则， 设，则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设二面角的平面角为，由题意，为锐角，则 ， 当时，，则； 当时，， 因在单调递减，故， 此时，则得， 综上，可得， 故二面角的最大值为. 8. 在四棱锥中，底面为平行四边形，过点的平面与棱，，分别交于点，，，且，．四棱锥的体积和四棱的体积比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据空间向量的共面定理，求得，通过分割四棱锥，结合三棱锥的体积公式，即可求得几何体的体积比值. 【详解】设，连接，如图所示，则， 因为，， 所以， ， 又点，，，共面，且，不共线， 所以存在实数，使得成立， 所以， 又， 所以，解得，所以， 又， ， 设点到平面的距离为，又，， 所以，点到平面的距离为， 所以，同理， 又底面为平行四边形，所以，即， 所以，， 所以， 即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距是 B. 一条直线的斜率为，则该条直线的倾斜角为 C. 已知直线：，直线恒过点 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，令可得纵截距；B选项，根据倾斜角的范围即可判断；C选项，由直线系恒过定点联立方程组求解即可； D选项，截距相等包含为0和不为0两种情况. 【详解】对于A：令，得，则直线在轴上的截距是，故A正确； 对于B：直线倾斜角的取值范围为， 斜率， 若直线的斜率为，仅当且时，才是直线的倾斜角， 若不在这个范围内，则倾斜角为且满足取值范围要求，故B错误； 对于C：整理直线为，由直线恒过定点，则， 解得，即直线恒过定点，故C正确； 对于D：过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程分为两种情况：截距均为0或截距均不为0. 当截距均为0时：即直线过原点，设方程为，代入点得， 即，所以直线方程为； 当截距均不为0 时：设截距为，则直线方程为， 代入得，解得，所以直线方程为， 因此满足条件的方程有2条，故D错误. 10. 如图，在平行六面体中，， ，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 向量共面 C. D. 若，则该平行六面体的高为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，利用基底法求证判断A；利用基底表示可判断B；利用基底表示即可判断C；设平面的法向量为，求出在上的投影向量的长度即可判断D. 【详解】设，， 则， 因为点分别是棱的中点， 所以，， 则， 则，故A正确； ， 则向量不共面，故B错误； ，故C正确； 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 则， 则在上的投影向量的长度为， 则该平行六面体的高为，故D正确. 11. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 若，分别为，上的点，则的最小值为 D. 若点在底面上，且平面，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【详解】如图所示，取中点，连接，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为正三棱柱的棱长均为2，所以， 所以，可知，即，所以A正确； 可知，所以， 设异面直线与所成的角为，则，所以B错误； 因为在上，设，可知， 在上，设，即， 解得，所以， 则，当时，取得最小值， 即，得，解得， 此时，此时，所以C正确； 如图所示，连接，因为是的中点，所以， 可知平面，平面，所以平面， 同理平面，因为，所以平面平面， 因为点在底面上，所以当在线段上时，满足平面， 所以点的轨迹长度为，所以D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 13. 已知空间向量，，向量在向量上的投影数量为________． 【答案】## 【解析】 【详解】可知，， 则向量在向量上的投影数量为. 14. 边长为的正方形，为中点，将沿翻折得到，记为线段中点，若在翻折过程中，记二面角为，，则点到直线的距离的范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】建立以为轴的空间直角坐标系，利用中点坐标公式与空间点到轴的距离公式， 得到距离关于二面角的表达式，结合余弦函数单调性即可得到取值范围. 【详解】作交于点并延长交于点，连接，则， 所以即为二面角的平面角 ，即. 在中，， 因为，即，所以， 则.作交于点，连接， 所以，又正方形面积为， 所以， 又，所以. 以为坐标原点，分别以所在方向为轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则， 所以，则到直线的距离即为到轴的距离， 即， 所以，因为，所以，所以， 即点到直线的距离的范围是. 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，，分别为棱，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得底面，建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可； （2）由面面角向量法计算即可. 【小问1详解】 ∵侧面底面，侧面底面，， 底面， ∵底面，， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，， ∴异面直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 由（1）得，． 设平面的法向量为， 则令，则，， 得平面的法向量为． 易得平面的一个法向量为， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 16. 在平面直角坐标系中，直线过点，且分别与轴、轴的正半轴交于，两点． （1）当的面积最小时，求直线的方程； （2）当取得最小值时，求直线的方程； （3）当取得最小值时，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】解法一（点斜式法）：已知直线过定点且与轴、轴正半轴相交，故设直线的点斜式方程为（），据此求得两点的坐标，将待求最值的目标量转化为关于斜率的函数，利用基本不等式求解目标量的最小值，根据等号成立的条件计算的取值，即可得到对应直线方程. 解法二（截距式法）：根据直线与轴、轴正半轴相交，设直线的截距式方程为（，），结合直线过点M(4,1)得到参数约束关系，将待求最值的目标量转化为关于、的表达式，利用基本不等式求解目标量的最小值，根据等号成立的条件计算、的取值，即可得到对应直线方程. 【小问1详解】 解法一：易知直线的斜率小于0． 由题意，设直线的方程为，且，则，， 则 ， 当且仅当，即时，的面积最小，为8， 此时，直线的方程为，即． 解法二：设直线的方程为（，），则． 由，得， 当且仅当，即，时，的面积取得最小值，为8， 此时，直线的方程为，即． 【小问2详解】 由（1）的解法一可得， 当且仅当，即时，取得最小值，为9， 此时直线的方程为． 解法二：设直线的方程为，则. 则， 当且仅当，即，结合，解得，时，取得最小值9， 此时直线的方程为，即. 【小问3详解】 解法一：由（1）的解法一可得， 当且仅当，即时，取得最小值，为8． 此时直线的方程为． 解法二：由（1）的解法二知，，， 所以 ， 当且仅当，即时，取得最小值，为8， 此时直线的方程为 17. 如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)通过构造平行四边形，结合线面平行的判定定理证得平面. (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线到平面的距离. (3)利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值的表达式，结合二次函数的性质求得其最大值. 【小问1详解】 取的中点，连接、. 由为中点，得且； 由为中点，得且，故且， 所以四边形为平行四边形，因此. 又平面，平面，故平面. 【小问2详解】 连接，设，连接，则平面， 以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系. 由为二面角的平面角，得、， 而是的中点，所以，所以是等边三角形， 因为，所以，高， ，，，，， ，，， ，设平面的法向量为， 则，故可设平面的法向量， 由平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， ，所以直线到平面的距离为. 【小问3详解】 设为线段上的动点，令()， 则 ， 则，向量. 设直线与平面所成角为， 则, ， 当时，取得最小值， 此时取得最大值为：. 18. 在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点． （1）若，证明：平面； （2）在（1）的条件下，若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球的表面积； （3）求二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1）证明：在中，由，得， 所以， 且， 即， 因为，，，、平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据半径相等建立方程计算即可； （3）用三角函数表示点，求出两个平面的法向量，结合三角函数求出最值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为原点，，所在直线分别为轴和轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设球心，半径， 则， 所以， 解得，，，， 所以球的表面积为. 【小问3详解】 在平面中，过作于，在平面中，过作， 因，，平面，则平面． 则由（1），， 设，，以为原点，，所在直线分别为轴和轴正方向，以过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内， 则，，，，， 所以，，， 设平面一个法向量为， 则，即，取，则得； 平面的一个法向量为， 则，即，取，则得， 所以， 令，则由得，则， 于是 ，当且仅当即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值为. 19. 如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角． （1）当时，求证：； （2）定义：过点作垂直于底面于，且在内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率． （i）当时，求斜三棱柱的投影偏差率（不需证明），并求此时平面与平面夹角的余弦值； （ii）关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：为定值，并求该定值． 【答案】（1）证明如下： 因为 ，所以，即． （2）（i），； （ii）证明如下：， 已知存在两个不同的锐角，使得，设，， 则，锐角，是两个不同的锐角，则，符号相反， ，即，化简整理得， ，，为锐角，则，， 为定值，定值为. 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直可转化为证明对应向量的数量积为0，将拆分为，结合已知棱长、夹角计算即可得证. （2）（i）当时，由图形对称性可直接得投影偏差率，求两平面夹角的余弦值可采用空间向量法，建立空间直角坐标系后分别求解两个平面的法向量，利用法向量夹角公式计算即可. （ii）先根据投影偏差率的定义推导关于的函数表达式，结合得到关于、的方程，利用韦达定理化简即可证明为定值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于面的直线为轴， 建立下图所示空间直角坐标系，则，，， （i）已知，，， 则，，故， 已知与、所成角分别为、， 则，， 则， 注：也可以直接利用三余弦公式 ，则， ，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，平面的法向量可取， 设平面与平面夹角为，则 所以平面与平面夹角的余弦值 （ii）略，定值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期高二年级十月考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 经过点，且一个法向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（ ） A. B. a C. D. 7. 已知正方体中，P，Q分别为棱，上的动点，则二面角的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，底面为平行四边形，过点的平面与棱，，分别交于点，，，且，．四棱锥的体积和四棱的体积比值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距是 B. 一条直线的斜率为，则该条直线的倾斜角为 C. 已知直线：，直线恒过点 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10. 如图，在平行六面体中，， ，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 向量共面 C. D. 若，则该平行六面体的高为 11. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 若，分别为，上的点，则的最小值为 D. 若点在底面上，且平面，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 13. 已知空间向量，，向量在向量上的投影数量为________． 14. 边长为的正方形，为中点，将沿翻折得到，记为线段中点，若在翻折过程中，记二面角为，，则点到直线的距离的范围是________ 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，，分别为棱，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 在平面直角坐标系中，直线过点，且分别与轴、轴的正半轴交于，两点． （1）当的面积最小时，求直线的方程； （2）当取得最小值时，求直线的方程； （3）当取得最小值时，求直线的方程． 17. 如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 18. 在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点． （1）若，证明：平面； （2）在（1）的条件下，若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球的表面积； （3）求二面角的余弦值的最小值． 19. 如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角． （1）当时，求证：； （2）定义：过点作垂直于底面于，且在内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率． （i）当时，求斜三棱柱的投影偏差率（不需证明），并求此时平面与平面夹角的余弦值； （ii）关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：为定值，并求该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $