专题01 期中复习压轴42类题型归纳（考试范围：第1章 三角形～第3章 一元一次不等式）（举一反三讲义）数学新教材浙教版八年级上册

专题01 期中复习压轴42类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第1章 三角形~第3章 一元一次不等式） 【新教材浙教版】 题型归纳 【选填压轴】 2 【题型1 三角形三边关系求参数取值范围】 2 【题型2 与三角形高有关的分类求角度】 5 【题型3 内外角平分线组合模型角度计算】 10 【题型4 三角形中线分割面积比例求值】 15 【题型5 三角形折叠求角度与线段长度】 19 【题型6 全等三角形动点多情况分类讨论】 24 【题型7 角平分线性质求线段长、求面积】 29 【题型8 垂直平分线求三角形周长】 33 【题型9 等腰三角形边角多解分类问题】 36 【题型10 勾股定理折叠求线段长度】 38 【题型11 勾股定理动点最短路径求值】 43 【题型12 勾股定理的逆定理判断直角三角形】 48 【题型13 不等式性质判断正误】 52 【题型14 不等式（组）整数解求参数范围】 56 【题型15 不等式组有无解求参数】 58 【题型16 求不等式（组）最大最小整数解】 61 【题型17 数轴解集结合不等式（组）反求参数】 63 【题型18 利用不等式的性质比较代数式大小】 65 【题型19 不等式（组）方案最值】 68 【题型20 新定义运算结合不等式（组）】 73 【解答压轴】 75 【题型21 三角形内角、外角角度探究题】 75 【题型22 动点产生三角形角度变化探究】 86 【题型23 中线分割三角形面积综合问题】 95 【题型24 全等三角形证明与线段等量推导】 103 【题型25 角平分线性质与全等综合证明】 115 【题型26 截长补短证明线段和差关系】 128 【题型27 等边三角形手拉手模型证明】 137 【题型28 垂直平分线与等腰三角形综合】 146 【题型29 与等腰三角形有关的动点问题】 158 【题型30 格点图中画等腰三角形】 164 【题型31 轴对称折叠构造全等边角探究】 168 【题型32 多步连环全等推理证明】 176 【题型33 勾股定理折叠综合探究题】 188 【题型34 立体图形最短路径求解】 195 【题型35 勾股定理的逆定理证明直角三角形】 202 【题型36 含参不等式（组）求参数范围】 209 【题型37 不等式（组）整数解综合】 212 【题型38 一元一次不等式（组）方案问题】 216 【题型39 不等式（组）利润最值应用】 222 【题型40 不等式（组）分配类应用】 228 【题型41 结合方程的不等式（组）综合】 235 【题型42 分段计费不等式（组）应用】 239 【选填压轴】 【题型1 三角形三边关系求参数取值范围】 【例1】（26-27八年级上·甘肃·期中）在中，中线将的周长分为和，则三角形底边长___． 【答案】或 【分析】利用中线得，利用周长得，，分、两种情况列方程组求解，得到底边长． 【详解】如图，∵，是边上的中线， 即， ∴，， 若， 可得， 解得， 则，， 、、三边能够组成三角形； 若， 可得， 解得， 则，， 、、三边能够组成三角形， 综上，三角形底边长为或． 【变式1-1】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵三角形任意一边的长度大于另外两边之差，小于另外两边之和，已知三角形三边长为，，， ∴， 解得. 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为___________． 【答案】 【分析】本题分情况讨论，分别为底边长为或腰长为两种情况，再结合三角形三边关系进行判断即可． 【详解】解：∵等腰三角形周长为，其中一边长为， ∴分两种情况讨论： 当底边长为时， 腰长为， 此时三边长分别为，，， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 当为腰长时， 底边长为， 此时三边长为，，， 由于，不满足三角形三边关系，故舍去； 综上，该等腰三角形的底边长为． 【变式1-3】（25-26七年级下·四川·期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：当时，则， 根据三角形三边关系，可得， 当时，代入得， 又∵， ∴， ∴此时无整数解； 当时，代入，即， ∴， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴此时无整数解； 综上可得当时，满足条件的整边的个数为：（个）； 若（为正整数）时， 同上理可得：满足条件的整边的个数为：（个）． 【题型2 与三角形高有关的分类求角度】 【例2】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，为边的高，的面积为，则的长为______． 【答案】3或5 【分析】分高在的内部和外部，两种情况求解即可． 【详解】解：如图，当高在的内部时， 根据题意，得， 的面积为， ， ， ； 当高在的外部时， 如图，当高在的外部时， 根据题意，得， 的面积为， ， ， ； 综上所述，的长为3或5． 【变式2-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 【变式2-2】（25-26七年级下·上海·阶段检测）中，与这两条边上的高所在直线的夹角为50度，那么___________度． 【答案】 或 【分析】本题需要分为锐角和钝角两种情况讨论，结合直角三角形两锐角互余的性质，四边形的内角和，求解角度． 【详解】解：①当为锐角时，设边上的高为，边上的高为，与交于点， 由题意得，两条高所在直线的夹角， ，， ， ． ②当为钝角时，设边上的高与边上的高交于点， 由题意得， ，， ， ， ． 综上，的度数为或． 【变式2-3】（24-25七年级上·山东淄博·期中）在钝角中，是边上的高，是边上的高，这两条高所在的直线相交于点O，若，，，则的长为________． 【答案】或或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的高，可以证明，得到，然后再分别根据不同点为钝角顶点画出图形，结合图形求出的值即可． 【详解】解：当为钝角顶点时，图形如下： ∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 当为钝角顶点时， 同理可得， ∴， ∵，， ∴； 当为钝角顶点时， 同理可得， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：或或． 【题型3 内外角平分线组合模型角度计算】 【例3】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P． 法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入计算即可． 【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F， ∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°， ∵∠AFB＝∠PFC， ∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF， ∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D， ∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D， ∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD， ∵PB、PC是角平分线 ∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE， ∴2∠P＝∠A−∠D ∵∠A＝48°，∠D＝10°， ∴∠P＝19°． 法二：延长DC，与AB交于点E． ∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°， ∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC． ∵∠AEC是△BDE的外角， ∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°， ∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°， 整理得∠ACD−∠ABD＝58°． 设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC， ∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD， 即∠P＝48°−（∠ACD−∠ABD）＝19°． 故选A. 【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 【变式3-1】（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【答案】C 【分析】连接先求解 再求解 可得 再利用角平分线的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内角和定理可得的大小. 【详解】解：连接 平分，平分， 故选： 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键. 【变式3-2】（26-27八年级上·山东德州·阶段检测）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则_______． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1， ∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1， ∴∠A1=∠A， ∵∠A=α． ∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α， 根据规律推导， ∴ ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键． 【变式3-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则________． 【答案】36 【分析】首先根据三角形的外交性质求出，结合三角形的高的知识得到和之间的关系，进而可得结果； 【详解】由图知：， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵的两条高、交于点， ∴，， ∴， ∴在四边形中有：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键． 【题型4 三角形中线分割面积比例求值】 【例4】（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，为的中线，点在的延长线上，连接，且，过点作于点，连接，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，证明，，得出，再由为的中线及，根据列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 为的中线，， ，， 又， ， ，， 在和中， ， ， ， ，即， ，，， ， 为的中线，， ， 又， ， 解得：． 【变式4-1】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，的两条中线，交于点F，若四边形的面积为18，则的面积是（   ） A．54 B．51 C．42 D．41 【答案】A 【分析】连接并延长，交于点，得到三角形的三条中线，利用中线的性质得到，求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点， 三角形三条中线必交于一点，为三角形的重心， 也是的中线， 由中线的性质得， 由是的中线，是的中线， ， 同理， ， ． 【变式4-2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【答案】A 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得的值，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 【变式4-3】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的面积为，D、E分别是，上的点，且，，连接，交于点F，连接并延长交于点H，则四边形的面积为_______________． 【答案】 【分析】根据，利用等底同高三角形面积相等，可得，再由等高三角形面积比等于底之比，得到，设，，用、表示图中各个小三角形面积，利用面积比例关系推导出y与x的数量关系，利用的面积为列方程求出x的值，接着利用面积关系得到，求出，最后将与相加即可得到四边形的面积． 【详解】解：， ，， ，即， ， ， 设，，则，， ，， ，， ，即，化简得， ， ，把代入得，解得， ， ，， ，即， ， ， ， 四边形的面积． 【题型5 三角形折叠求角度与线段长度】 【例5】（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿翻折，使点落在点处，当时，的度数为______． 【答案】或 【分析】根据题意画出满足条件的图形，由折叠可得，，，根据，易求，再根据三角形内角和，计算即可求解． 【详解】解：，， ，则， 由折叠可得，，， 如图1， ， ， ，即， ， ； 如图2， ， ， ， ， ， ； 综上可得，的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和，垂直的定义等知识，根据题意画出折叠后的图形是解题的关键． 【变式5-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点在边上，将沿翻折得到，使点落在边上的点，延长，于，平分，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线、垂直、三角形内角和定理，解题的关键是掌握角与角之间的基本关系，先根基垂直求出，结合角平分线解折叠的性质得出，把问题转化为求解，再根据三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：于， ， ， 平分， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，．  将 边沿翻折，点B落在点处，连接交于点D．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形中的翻折问题、垂线段最短，解题的关键是掌握翻折的性质． 根据将边沿翻折，点B落在点F处，可得，即知当最小时，最大，此时，用面积法求出，即可得到答案． 【详解】解：如图：    ∵将边沿翻折，点B落在点F处， ∴， ∴， 当最小时，最大，此时， ∵ ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知为等腰三角形，，，将沿翻折至，E为的中点，F为的中点，线段交于点G，若（），则＝（　　） A．m B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据，设，则，表示出其他三角形的面积，然后根据即可求出． 【详解】解：连接， ∵（）， ∴设，则， ∵F为的中点， ∴， ∵将沿翻折至， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与图形的翻折，三角形的中线平分三角形的面积等知识，熟练运用等腰三角形的性质是解题关键． 【题型6 全等三角形动点多情况分类讨论】 【例6】（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【分析】首先得到点P到达点B的时间为，，然后分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，点P到达点B的时间为，， 当时，，， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为1或． 【变式6-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时点从点出发以的速度沿射线匀速运动，点到点时，，两点同时停止运动．若存在某一时刻，与全等，则的值为_______． 【答案】或 【分析】设运动的时间为，则，，则，分两种情况：当时，，，当时，，，列方程求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，则，，则， ①当时，，， ，， 解得，， ②当时，，， ，， 解得：，， 答案：或． 【变式6-2】（25-26八年级上·广东云浮·期末）如图，在中, 为边上的高．点E从点B出发，在直线上以2的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F．当点E运动__________s时,． 【答案】8或10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据全等三角形对应边相等的性质，分点E在上和在延长线上两种情况讨论． 由得到对应边，然后分两种情况：①当点E在延长线上与②点E在延长线上两种情况讨论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴．又， ∴． ∵， ∴． ∴当时，， 分两种情况： 情况一： 当点E在延长线上时，     ，  ． 情况二： 点E在延长线上时， ， ∴  ． 故答案为：或． 【变式6-3】（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为． （1）当点在上时，______（用含t的代数式表示）． （2）当______时，与全等． 【答案】 或或 【分析】(1)因为动点从点出发沿路径向终点运动，所以当点在上时，点运动轨迹应表示为，即即可； (2) 要使与全等，则需分三种情况进行讨论：①当点在上，点在上时；②当点与点重合时；③当点与点重合时，都利用建立方程，求解即可． 【详解】（1）如图， 当点在上时，点运动轨迹应表示为， 又因为点的速度，运动时间为， 所以； （2）①如图1，当点在上，点在上时，． ∵在中，，点和点作于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． ②如图2，当点与点重合时，， 则， ∴． 解得． ③如图3，当点与点重合时，， ∵在中，，点和点作于点，于点， ∴ ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 综上所述，当或或时，与全等． 故答案为3或5或12． 【题型7 角平分线性质求线段长、求面积】 【例7】（26-27八年级上·江西·阶段检测）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．若，，，则的长为________． 【答案】2 【分析】过点E作于点G，于点H，由角平分线的性质得到，可证明平分，则可推出；根据，推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于点G，于点H， ∵平分，且，， ∴，； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，即平分， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式7-1】（26-27八年级上·湖北·期中）如图，中，，，，为上的一动点，把沿翻折得到，连接，当取最小值时，的面积是_______． 【答案】 【分析】过点作于点，作于点，由翻折的性质得出相等的角和边，根据三角形的三边关系得出，当、、三点共线时取等号，此时最小，根据角平分线的性质得出，然后利用等面积法进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点， 由翻折的性质得，， ∵， ∴当、、三点共线时取等号，此时最小， 此时，根据角平分线的性质定理可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积用含和的代数式表示为________． 【答案】/ 【分析】如图：过D作于G，利用角平分线的性质定理可得，再证明、可得、，再结合图形利用面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图：过D作于G， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 【答案】3.9 【分析】由D是中点且，得是的垂直平分线，所以．由，结合邻补角关系，推出E在的外角平分线上，所以E到的距离与E到的距离相等．过E作延长线的垂线，垂足为G，利用角平分线性质得，再证明，得到对应边相等．根据的长度，结合线段和差关系列等式，求解的长度． 【详解】连接， ∵是中点，， ∴是的垂直平分线， ∴ ． 过作，交的延长线于． ∵，且， ∴， 即平分． 又，， ∴，且． 在和中，， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴， 代入， 得． 【题型8 垂直平分线求三角形周长】 【例8】（25-26七年级下·重庆綦江·期末）如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 【答案】6 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 连接，易证明垂直平分、垂直平分，则，设、，则，利用的周长求出的值，最后利用求解即可． 【详解】解：连接， 点是中点、， 垂直平分、， ， 点是中点、， 垂直平分、， ， ， 设、，则， 的周长为， ， ， ． 【变式8-1】（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图在中，，垂直平分，分别交于．为线段上一动点，为边上一动点，则的周长最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一定理，熟知垂直平分线的性质和三线合一定理是解题的关键；连接，当三点共线时，的周长最小，此时，最小值为. 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的周长最小，当时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴的周长最小值为：. 故答案为：. 【变式8-2】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 【变式8-3】（25-26八年级上·云南曲靖·期末）如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（    ） A．19 B．28 C．29 D．38 【答案】B 【分析】连接BD、DC，证△BDE≌△CDF，可得CF=BE，根据角平分线性质可知AE=AF，即可求周长． 【详解】解：连接BD、DC， ∵AD平分∠ BAC，， ∴DE=DF， ∵AD=AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴AE=AF=9， ∵DG垂直平分BC， ∴BD=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴BE=CF， 的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形． 【题型9 等腰三角形边角多解分类问题】 【例9】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，则该等腰三角形的底边长为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：设等腰三角形的腰长为， ∵等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分， ∴分2种情况： ①当时，则， ∴， ∴底边长为； ②当时，则， ∴， ∴底边长为； 综上：等腰三角形的底边长为或. 【变式9-1】（26-27七年级上·山东东营·阶段检测）一个等腰三角形的一边长为，周长为，则其他两边长分别为__________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，再验证是否能组成三角形即可． 【详解】解：当底边长为，则腰长为：，所以另两边的长为，，故能构成三角形； 若腰长为，则底边长为：，另一个腰长为，，故不能构成三角形 综上：其他两边长分别为． 【变式9-2】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）等腰三角形的一个角为，则此等腰三角形的顶角的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质，已知一个角为，它可能是顶角或底角，因此需要分2种情况讨论顶角的可能值． 【详解】解：等腰三角形的一个角为， 当这个角是顶角时，则此等腰三角形的顶角为； 当这个角是底角时，则此等腰三角形的顶角为； 故答案为：或． 【变式9-3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰中，，，是直线上一点（不与、重合），连接，若是等腰三角形，则______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求解是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分类讨论点的位置和的等腰情况，利用三角形内角和定理计算角度． 【详解】在等腰中，，，则，点在直线上（不与、重合），为等腰三角形，分情况讨论： （1）当时， ①点在线段上，， 由得， 故； ②点在线段延长线上， ，由得， 故； （2）当时，点在线段上， ，由得， 故； 综上，为或或 ． 故答案是：或或． 【题型10 勾股定理折叠求线段长度】 【例10】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形纸片中，，先将矩形纸片对折，使边与重合，展平后得到折痕；点为边上一点，再将纸片沿折叠，使点落在线段上的点处，则折痕的长等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由对折得，结合折叠知，，连接，通过证明是等边三角形，推出，进而推出，再在中利用角对边是斜边一半结合勾股定理求出长度． 【详解】解：如图，连接， 根据题意可知，为中点，为中点，， 四边形为矩形， ， ， 由沿折叠得到， ， ，， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，即， 解得， 故． 【变式10-1】（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用折叠的性质和证直角三角形全等得到，设，在中用勾股定理列方程求出，最后在中勾股算出． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 把沿折叠得到，点是的中点， ，，， ， 在和中， ， ， 设，则，， 在中，， 可得， 解得，即， 故． 【变式10-2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点、分别在、边上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处． （1）__________； （2）当点与点重合时，__________． 【答案】 【分析】（1）由折叠的性质和矩形的性质即可求出答案； （2）在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得 ，过点作于点M，则得到，由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知，四边形与关于直线对称， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴， （2）当点和点重合时，即点落在点A处，由折叠的性质可知， ， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理可得，， 即，解得， 即， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理可得，， 即，解得，即， 过点作于点M， ∵四边形是矩形， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， 在中， 【变式10-3】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为__________． 【答案】 或 【分析】根据题意，分类讨论：当时，可证四边形是正方形，则，得到；当时，可得点A，，C共线，由勾股定理得到，设，则，在中由勾股定理列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 如图所示，当时，为直角三角形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵折叠， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴； 如图所示，当时，为直角三角形， ∵折叠， ∴，，， ∴，即点A，，C共线， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的长为2或5． 【题型11 勾股定理动点最短路径求值】 【例11】（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）如图1，在中，，则线段的长度可以用表示．受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点，，，设，则的最小值是_____． 【答案】13 【分析】作点C关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点M，则，，根据题意可得当与P重合时，式子取等号，y值最小，最小为的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：作点C关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点M，则，，, ∵， ∴， ∵， ∴， 当与P重合时，式子取等号，y值最小，最小为的长， ∵，， ∴． 【变式11-1】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点处，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是（    ） A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm 【答案】A 【分析】将圆柱侧面展开为平面矩形，利用轴对称转化为两点之间线段最短问题，再通过勾股定理计算最短路径． 【详解】解：将容器侧面展开，如图，作点关于的对称点，连接，则即为最短距离． 由题意得，，． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图与勾股定理的应用，熟练掌握将立体最短路径转化为平面图形，利用轴对称和勾股定理求解是解题的关键． 【变式11-2】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A．38 B．28 C． D． 【答案】A 【分析】将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 【变式11-3】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【答案】 【分析】根据四种不同情况，利用勾股定理分别计算顶点爬行到顶点的距离，比较大小，从而确定最短距离． 【详解】解：从顶点爬行到顶点共四种情况： 第一种情况：从剪掉一角露出来的截面上的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接交于点E， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， 即，， ∵长方体， ∴， 又∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， ∵，， 在中，根据勾股定理得， ， ∴（cm）， 第二种情况：从前面的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第三种情况：从前面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第四种情况：从底面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示， 连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 综上所述，从顶点爬行到顶点的最短距离为 cm． 【题型12 勾股定理的逆定理判断直角三角形】 【例12】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，．若，，，则与之间的距离是______． 【答案】 【分析】利用直角三角形斜边中线性质和中位线定理求、、的长，再根据勾股定理逆定理得为直角三角形，，最后用等面积法求出与的距离即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 或的长即为与之间的距离． ，分别是，的中点， ，，是的中位线， ． ，即， 为直角三角形，且， 的面积为， ， 即与之间的距离是． 【变式12-1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，有下列说法正确结论的个数是（    ） ①，，能组成三角形； ②能组成三角形； ③能组成直角三角形； ④能组成直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系与勾股定理逆定理的应用，需结合直角三角形的勾股定理、面积公式，对每个结论逐一分析判断． 【详解】解：是的三边，为斜边，为斜边上的高 ，， ， ①，不满足三角形两边之和大于第三边的条件， ①错误； ②，， 又能组成三角形， ， ， 即， 均为正数， ， ∴能组成三角形，②正确； ③， 又， 根据勾股定理逆定理，能组成直角三角形， ③正确； ④， 又， ， ， 即， 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形， ④错误； 综上，正确的结论有2个． 故选：B． 【变式12-2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在的正方形网格中，点均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，等腰三角形的判定和性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，连接， 由勾股定理，得， ，， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由图可知：与不平行； 综上：只有选项A正确； 故选A． 【变式12-3】（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）如图，点P是等边三角形内的一点，，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，将绕点旋转得到，过点作于点，可证是等边三角形，由勾股定理的逆定理可得，求得的长，利用三角形的面积公式求解即可，添加恰当的辅助线，构造特殊三角形是解决问题的关键． 【详解】解：将绕点旋转，根据等边三角形中，故可得到，过点作于点， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型13 不等式性质判断正误】 【例13】（2026·安徽马鞍山·三模）已知 ，则下列不等式不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知等式用a表示b和c，结合不等式得到a的符号，即，再结合每个选项的式子进行整理化简，分析，然后判断选项正误即可． 【详解】解：依题意，即 得， 化简得， 将代入①得， 解得， 将 代入， 得 ， 化简得 ， 解得 ， ∴ ，， ∵， ∴ ， 故A选项不符合题意； ∵， ∴ ， 故B选项符合题意； 则， ∵， ∴ ， 故C选项不符合题意； 则， ∵， ∴ ∴， 故D选项不符合题意； 【变式13-1】（25-26七年级下·黑龙江伊春·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需先明确恒为正数，再结合不等式的性质判断各选项． 【详解】解：A. ∵，∴，不符合题意； B. ∵，∴，不符合题意； C. ∵， ∴， 又∵， ∴，符合题意； D. ∵，∴，不符合题意． 【变式13-2】（2026·安徽六安·二模）已知实数满足，则下列判断有误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，利用已知等式用一个变量表示另一个变量，代入不等式得到变量范围，再逐一判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 将代入不等式得， 化简得， 解得，因此选项A正确，不符合题意． ∵， ∴，即，因此选项B正确，不符合题意． ∵， ∴，即，因此选项C正确，不符合题意． ∵， ∴，即． ∵，即， ∴，因此D判断错误． 【变式13-3】（2025·河北保定·一模）已知实数满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，不等式的性质，通过等式的性质得和，可判断和；由题目条件判断，，可判断；结合和得到，，且，利用作差法即可判断；掌握等式的性质、不等式的性质并正确变形做出判断是解题的关键． 【详解】解：∵，∴， 即，故选项正确，不符合题意； ∵， ∴， 即，故选项正确，不符合题意； 若， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴，故选项正确，不符合题意； 由知，， ∴， 若，则， ∴， 由知，， ∴， ∴， ∴， ∴，故不正确，符合题意； 故选：． 【题型14 不等式（组）整数解求参数范围】 【例14】（25-26七年级下·天津东丽·期末）如果关于的不等式组仅有四个整数解：，，，，那么满足这个不等式组的整数，组成的有序数对最多共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】先解不等式组得到解集，再根据已知的四个整数解确定和的取值范围，找出范围内的整数，计算有序数对的个数即可． 【详解】解不等式组： 解不等式得；解不等式得； ∴不等式组的解集为 ∵不等式组仅有四个整数解，，，， ∴，， 解不等式，得， ∵是整数， ∴的取值为，，，共个， 解不等式，得， ∵是整数， ∴的取值为，，共个， ∴有序数对共有个． 【变式14-1】（25-26七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先解不等式得到x<，再根据正整数解是1，2，3得到3<≤4时，然后从不等式的解集中找出适合条件的最大整数即可． 【详解】解不等式得x<， 关于x的不等式的正整数解是1，2，3， 3<≤4，解得10 < m≤ 13， 整数m的最大值为13． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的最大整数解． 【变式14-2】（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）已知关于y的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为______． 【答案】 【分析】先解不等式组得到解集，再根据不等式组有且只有个整数解确定的取值范围，找出范围内所有整数，计算其和即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式，不等式两边同乘得， 展开得，移项得， ∴不等式组的解集为， 不等式组有且只有个整数解， 三个整数解为，可得， ∴， ∴， ∴满足条件的所有整数为，和为． 【变式14-3】（24-25七年级下·山东日照·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和为，且为整数，则的值是_____． 【答案】0或3/3或0 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解，先解不等式，再根据不等式组解的情况得到m的取值范围，进而根据m为整数可得结论． 【详解】解：解不等式组，得， ∵该不等式组的所有整数解的和为， ∴该不等式组的整数解为和或、、、0、1， ∴或， ∴或， ∵为整数， ∴的值是0或3， 故答案为：0或3． 【题型15 不等式组有无解求参数】 【例15】（25-26七年级下·重庆·期末）若关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和等于______． 【答案】12 【分析】解不等式组可以得到，再解方程得到，根据题意可得或，计算得结果． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组无解， ∴，解得， 解方程可得， 又∵方程的解为正整数，a为整数， ∴或 ∴满足条件的整数a的和为：， 故答案为：12． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，一元一次方程的解法，掌握不等式组无解时求参数的取值是解题的关键． 【变式15-1】（25-26七年级下·湖北黄冈·期末）关于的不等式组，下列四个结论： ①若不等式的解集是，则不等式的解集是； ②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，则的取值范围是； ③若不等式组仅有5个整数解，则； ④若不等式组无解，则；其中正确的结论是__________．（填写序号） 【答案】①④/④① 【分析】先化简原不等式组，根据不等式的解集是，求出，进而可判断①正确；根据不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，得出，可判断②错误；根据不等式组仅有5个整数解，得出，进而可判断③错误；根据不等式组无解，可得，进而可判断④正确． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ①若不等式的解集是，则， 解得， 将代入不等式得， 解得，故①正确； ②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，则， 解得，结论给出的错误，故②错误； ③若不等式组仅有个整数解，，则个整数解为， ∴， 解得，与结论给出的范围不符，故③错误； ④若不等式组无解，根据不等式组解集法则，可得， 解得，故④正确． 综上可知，正确的结论是①④． 【变式15-2】（25-26八年级下·重庆九龙坡·期中）若关于的不等式组有解且至多有个整数解，且关于的方程的解为整数，则符合条件的整数的个数为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组有解且至多有5个整数解，即可求得的取值范围，再根据的解为整数，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：解不等式组得：， 不等式组至多有5个整数解， ， 解得， 整数的值为，，，，， 解方程得：， 又 为整数， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 符合条件的整数的个数为， 故选：C． 【变式15-3】（25-26八年级上·重庆·期中）如果关于x的方程有整数解，且关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，先解关于的不等式组，得到解集并推导出有解的条件为；再解关于的方程，得到的表达式，要求有整数解，故是的因数，结合且，得到所有符合条件的整数，统计个数． 【详解】解：解不等式组， 解第一个不等式：，两边乘5得，即，； 解第二个不等式：，即，两边乘(不等号方向改变)得，即； 不等式组的解集为． 不等式组有解，当且仅当，解得，即． 解方程， 展开得， 移项得，即． 当时，． 方程有整数解，则为整数，故是4的因数，即， 解得． 结合且，得，共5个整数． 故答案为：． 【题型16 求不等式（组）最大最小整数解】 【例16】（25-26八年级上·全国·单元复习）关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是____． 【答案】94 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解， 先求出不等式组的解集，再根据题意得出最小整数解，进而得出关于a的不等式组，然后求出整数解，并求和即可. 【详解】解：不等式组， 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是. ∴不等式组的最大整数解是9. ∵不等式组的最大整数解和最小整数解的差为3， ∴最小整数解是6， ∴， 解得， ∴， 则. 故答案为：94. 【变式16-1】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）不等式的最小整数解是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集，找出最小整数解即可． 【详解】解： 去括号得： 不等式移项合并得：， 所以，不等式最小的整数解为， 故选：B． 【变式16-2】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）不等式最大整数解是的解，则的值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据不等式2（1-2x）≤12-6x求得x的最大整数解，代入，即可求得a的值． 【详解】解：2（1-2x）≤12-6x， 2-4x≤12-6x， 6x-4x≤12-2， 2x≤10， x≤5， ∴不等式2（1-2x）≤12-6x最大整数解是5， 把x=5代入得，， ∴=5， ∴a=， 经检验，a=是方程的解且符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，解分式方程，通过解不等式求得不等式的最大整数解是解题的关键． 【变式16-3】（25-26七年级下·天津和平·期末）已知关于x的不等式组 ． （1）若，则该不等式组的最大整数解为______________； （2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围是__________． 【答案】 1 或 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题； （1）根据，再确定最大整数解即可． （2）根据题意可得不等式组的解集为，再由该不等式组的所有整数解的和为，即可求解． 【详解】解：（1）当时，不等式组为， ∴， ∵不等式组的最大整数解为， 故答案为：1； （2）∵， ∴， ∵该不等式组的所有整数解的和为， 而或； ∴或， 故答案为：或． 【题型17 数轴解集结合不等式（组）反求参数】 【例17】已知关于x的不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则的值为______． 【答案】2 【解析】略 【变式17-1】（24-25八年级下·江西上饶·期末）规定新运算：▲，例如：2▲1，若关于的不等式▲的解集在数轴上表示如图所示，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，用数轴表示不等式的解集，根据不等式的解集求参数，根据新定义，列出不等式，求出不等式的解集，结合数轴，确定的值即可． 【详解】解：由题意，得：▲， 解得：， 由数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为： 【变式17-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为__________． 【答案】 【分析】分别解两个不等式求出其对应的解集，再根据数轴表示的解集，求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得：， 根据数轴表示的解集可知不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴． 【变式17-3】（25-26八年级下·福建三明·期末）关于x的一元一次不等式组中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，则m的值是_______． 【答案】m=2 【分析】解不等式，表达出解集，根据数轴得出即可． 【详解】解：不等式， 解不等式①得： 解不等式②得：， 由数轴可知，，解得m=2， 故答案为：m=2． 【点睛】本题考查了根据不等式的解集求不等式中的参数问题，解题的关键是正确解出不等式组，根据解集表达出含参数的方程． 【题型18 利用不等式的性质比较代数式大小】 【例18】（25-26七年级下·北京大兴·期末）两个数比较大小，可以通过它们的差来判断，例如：比较m和n的大小，我们可以这样判断，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．请你根据上述方法判断下列各式． （1）已知，，当时，一定有______（填“”，“”或“”）； （2）已知，，当时，一定有a_____b（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算、不等式的性质，理解题中作差法比较大小是解答的关键． （1）利用作差法和整式的加减运算法则化简，然后利用已知判断化简式子与0的大小关系即可得到答案； （2）利用作差法和整式的加减运算法则化简，然后根据已知得到化简式子与0的大小关系即可得到答案； 【详解】解：（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，则成立， 故答案为：； （2）∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，则， ∴成立， 故答案为：． 【变式18-1】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的性质分析出即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式18-2】（2025·浙江丽水·一模）数，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，判断出其余各数的大小关系． 【详解】 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的比较大小，解题的关键在于通过，判断出各个数的范围大小． 【变式18-3】（25-26七年级下·北京·期中）比较代数式的值与0的大小，可以根据乘法法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定来判断． 当时， 当时， 当时， 综上：当时， 当或时， 根据以上阅读材料，运用你发现的规律，写出当满足__________时，． 【答案】或 【分析】本题考查求不等式的解集，根据积为负，得到负因数的个数为奇数个，进行求解即可． 【详解】解：当时， ∴； 当时， ∴， 当时： ∴， 当时： ∴； 综上：或； 故答案为：或． 【题型19 不等式（组）方案最值】 【例19】（25-26九年级下·重庆北碚·期中）小李和小张一起承包36亩的土地作为果园基地，他们将36亩土地分成一号、二号、三号区域，三个区域的土地面积均为整数亩，分别用于种植苹果树、桃树、梨树其中的一种（每块区域可任意选择三种果树的一种，同一块区域只能种同一种果树）．小李和小张提出两种种植方案，小李的方案为：在一号区域种苹果、二号区域种桃树、三号区域种梨树；小张的方案为：在一号区域种苹果、在二号区域种梨树、在三号区域种桃树，每种树苗按亩计价，且单价为整数，苹果树苗每亩100元，桃树苗比梨树苗贵，且每亩差价不大于14元，不小于8元，苹果树苗占整个种植树苗的十二分之五，小李方案中，桃树和梨树共花费1590元，小张的方案比小李的方案少花30元．应如何安排三个区域种植树苗的类型，可以使花费最少，最少花费为___________元． 【答案】2980 【分析】设小李方案中桃树为x亩，则梨树为亩，每亩桃树为a元，每亩梨树为b元，然后根据小李和小张的花费求得，再根据桃树苗比梨树苗贵，且每亩差价不大于14元，不小于8元，求得，则，再根据每亩桃树的花费为整数，结合小李方案的花费求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：设小李方案中桃树为x亩，则梨树为亩，每亩桃树为a元，每亩梨树为b元， 由题意得：， ∴， 又∵桃树苗比梨树苗贵，且每亩差价不大于14元，不小于8元， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵每亩桃树的花费为整数， ∴当时，， ∴， 解得（不是整数，舍去）， 同理当时，，求得（符合题意）； 同理当时，，求得（不是整数，舍去）； 同理当时，，求得（不是整数，舍去）； ∴只有当，符合题意； ∵桃树的价格比梨树的贵， ∴要使花费最少，则种植的桃树面积要最少， ∵， ∴且x为整数， ∴当x=1时，花费最少，最少为元 ∴应该种植苹果树15亩，桃树1亩，梨树20亩时，可以使得花费最少，最少花费为2980元， 故答案为：2980． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程与不等式实际应用，解题的关键在于能够正确理解题意，设出未知数得到相应的方程和不等式． 【变式19-1】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元（顾客只能选择一家商场）．若时，到甲或乙商场实际花费一样，，，且，则的最大值为______ ． 【答案】 【分析】先根据两家商场花费相等建立与的关系式，然后表示用a表示出和，再结合的取值范围，确定的取值范围，从而确定的取值范围，进而求得最大值． 【详解】解：由题意得，当时，甲商场实际花费为，乙商场实际花费为， 两家商场实际花费一样， ， 整理得 ， 即 ， 则 ，， ，且，，， ， 解得 ， ∴， ∴， ∴，即， ∴的最大值为． 【变式19-2】（25-26九年级上·北京·期中）某电池制造商将两种型号的车用电池共打包成6个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，F，每个包裹的重量及包裹中甲乙两种型号的电池的重量如下，制造商准备用一辆载重不超过24.5吨的货车将其中的4个包裹运送到某新能源车工厂． 包裹编号 甲型电池重量/吨 乙型电池重量/吨 A 5 1 B 3 2 C 2 3 D 4 3 E 2 4 F 3 5 （1）如果装运的甲型电池不少于11吨，且不多于13吨，写出一种满足条件的装运方案_____（写出要装运包裹的编号）； （2）如果装运的甲型电池不少于11吨，且不多于13吨，同时装运的乙型电池最多．写出满足条件的装运方案_____（写出要装运包裹的编号）． 【答案】 【分析】本题考查了方案的设计选择，分析题意合理使用方案是解题关键． （1）根据甲型电池吨数不少于11吨，且不多于13吨，设计出甲型电池的组法，再分别求出乙型电池吨数，满足两种电池总重量不超过24.5吨即可； （2）根据（1）中方案，计算总数，判断即可． 【详解】解：（1）设甲型电池吨数为，乙型电池的吨数为， 甲型电池吨数不少于11吨，且不多于13吨， ， 由表得满足甲型电池的组法为： 组用甲型电池12吨，组用甲型电池13吨，组用甲型电池13吨，组用甲型电池13吨，组用甲型电池11吨， 以上五种方案中使用乙型电池吨数为： 组用乙型电池10吨，组用乙型电池11吨，组用乙型电池12吨，组用乙型电池11吨，组用乙型电池15吨， 两种电池总重量不超过24.5吨， ， 满足题意的方案为组，， 一种满足条件的组装方案可以是， 故答案为：； （2）由（1）得，组用的乙型电池最多， 故答案为：． 【变式19-3】（25-26八年级上·北京延庆·期中）某学校计划租客车接送名学生和名教师去参加社会大课堂活动，每辆车至少有名教师．现有，，三种型号的客车，载客量和租金如下表所示： 型客车 型客车 型客车 载客量（单位：人辆） 租金（单位：元辆） 请你写出一个满足乘坐需求的租车方案______；租车总费用最少需要______元． 【答案】 辆客车（答案不唯一） 租客车辆， 客车辆 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，由题意可知，最多租辆客车，从而写出满足乘坐需求的租车方案即可，按租丙客车的数量讨论，设甲客车租x辆，分别列不等式求解，再计算满足需求的租车方案的总费用，即可得到答案，正确理解题意列出不等式是解题的关键． 【详解】解：∵每辆车至少有名教师， ∴最多租辆客车， ∵总人数为(人) ， 若全租客车，符合题意, 则满足乘坐需求的租车方案为辆客车， 故答案为：辆客车 (答案不唯一) ； 若租客车辆，则客车没有租， 此时乘坐人数为满足题意， 租车总费用为: 元； 若租丙客车辆，设客车租辆, 则客车租辆, 其中， 此时 解得： ∴的取值为或， 当时，即租客车辆，客车辆，租车总费用为: （元）； 当时， 即租客车辆，客车辆，租车总费用为: （元）； 若租丙客车辆，设客车租辆, 则客车租辆, 其中， 此时 解得：， ∴的取值为或， 当时，即租客车辆，客车辆， 客车辆， 租车总费用为: （元）； 当时， 即租客车辆，客车辆，租车总费用为: （元）； 若租丙客车辆，设客车租辆, 则客车租辆, 其中， 此时 解得：， ∴的取值为， 当时，即租客车辆， 客车辆， 租车总费用为: （元）； 当租客车少于辆时，均不满足需求， 则租车总费用最少的租车方案为租客车辆， 客车辆， 故答案为：租客车辆， 客车辆． 【题型20 新定义运算结合不等式（组）】 【例20】（24-25七年级下·北京朝阳·期中）对实数x，y定义运算：，其中a，b是常数．令，，，如果，，那么k的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据新定义分别表示出，，，再由，的取值范围得到和的范围，将 变形为 ，利用不等式的性质求解的取值范围即可． 【详解】解： ， ， ， ， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴①，②， 得，③， 得，④， 得，⑤， 得，， 即． 【变式20-1】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）定义运算：（，为常数），已知，，若关于的不等式恰有2个负整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据新定义和已知条件列二元一次方程组求出常数，再代入不等式化简得到关于的范围，最后根据不等式恰有2个负整数解列出关于的不等式组，求解得到的取值范围． 【详解】解：∵，由，， ∴， 解得． ∵， ∴， 解得． ∵不等式恰有2个负整数解， ∴负整数解为， ∴， 解得． 【变式20-2】（25-26九年级下·重庆·自主招生）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，已知，，若关于的不等式组恰好有个奇数解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据，，可以求出，，把转化为一元一次不等式组，可得：，解不等式组可得，根据不等式组有个奇数解，可得关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：，， ， 解得：， 由， 可得：， 整理得：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组恰好有个奇数解， 这个奇数解为、、， ， 解得：． 【变式20-3】（24-25八年级下·河北保定·期中）对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． 若关于x的不等式的最大整数解为，则______． 【答案】或 【分析】此题考查了新定义、解一元一次不等式组和一元一次不等式，正确列出不等式和不等式组是关键．根据题意列出一元一次不等式，解不等式得到，再根据关于的不等式的最大整数解为进行求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴ 解得， ∵关于的不等式的最大整数解为， ∴ 解得 ∵为最大整数， ∴或； 故答案为：或 【解答压轴】 【题型21 三角形内角、外角角度探究题】 【例21】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）综合与探究 【问题情境】 在七年级几何学习中，平行线的判定与性质是核心内容．现有直线，点在直线上，点在直线上，点是直线外一点，连接．请结合图形完成下列探究． 【初步探究】 (1)如图1，若点在直线的下方且在直线的上方，且满足，请判断直线与的位置关系，并写出完整的证明过程． 【深入思考】 (2)如图2，在（1）的条件下，平分交的延长线于点平分，交的反向延长线于点．当时，请求出的度数． 【拓展延伸】 (3)在（1）的条件下，若点在直线的上方且不在直线上，分别连接，平分平分，两条角平分线所在直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)． 证明如下：过点P作， （两直线平行，内错角相等）， ，且 ， （内错角相等，两直线平行）， 又， ． (2) (3)或 【分析】（1）过点P作，则，进而可得，则，再由平行的传递性即可； （2）由可得，进而可得，然后得到，再由求解． （3）分在线段上和在的延长线上两种情况进行讨论，结合角平分线的定义及平行线的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：设交于， ， （两直线平行，同位角相等）， 又平分， ，， ， ， （两直线平行，内错角相等）， 又平分， ， ； （3）解：当在线段上时， 又（2）知，， ， 又，，， ， 又，， , 即； 当在的延长线上时， 由知， 又，， ， 即 整理得； 综上，或． 【变式21-1】（25-26七年级下·山西晋城·期末）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们探索三角形中角之间的关系．如图，在中，点E是边AC上一点，． (1)特例分析： 如图1所示，作的平分线分别交，于D，F两点．若，，则，； (2)类比猜想： 奋斗小组在（1）的基础上，改变的大小，经过探究，他们发现与的大小是相等的，请说明理由； (3)拓展探究： 如图2，作的外角的平分线，交的延长线于点D，延长，交于点F，探究（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出结论并说明理由． 【答案】(1)110；110 (2)．理由如下： 平分， ． 点在上， 是在顶点处的外角， 由三角形外角定理，．① 在中，，， ． 点在线段上，与互为邻补角， ．② 由①②及，， ． 又由①知， ． (3)解;．理由如下： 平分， ． 在中，是在顶点处的外角， 由三角形外角定理，，． 与是对顶角， ． ． 又， ． 又， ∴． 即结论仍然成立． 【分析】（1）由三角形内角和求，再由角平分线得，利用外角定理求；在中求各角后，利用邻补角关系求． （2）利用外角定理分别表示和，结合和进行等量代换． （3）利用外角定理和等量代换，结合对顶角相等，证明结论仍然成立． 【详解】（1）解：在中，，， ． 平分， ． 在中，是在顶点处的外角， 由三角形外角定理，． 在中，，， ． ． 在中，，， ． 点在线段上，与互为邻补角， ． ，． （2）略 （3）略 【变式21-2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】如图①，已知点D、E分别在的边上，点F在的内部，连接，在的内部形成凸四边形．求证：． 甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵在四边形中， ∴（① ） ∵，， ∴． ∴． 乙同学证明：如图②，连接． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴（② ）． ∴ ∴． (1)补全甲同学证明过程：①； 补全乙同学证明过程：②． 【模型应用】如图③，已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，使点A落在内部位置． (2)若则的度数为；（用含的式子表示） (3)若，求的度数； 【模型拓展】 (4)已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，点A落在位置，连接．当时，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) (3) (4) 【分析】（1）根据四边形的内角和为360度，三角形的外角的性质，进行作答即可； （2）根据折叠的性质，得到，根据（1）中结论，即可得出结果； （3）根据三角形的内角和定理，求出的度数，再根据（1）中结论，即可得出结果； （4）根据三角形的内角和定理，求出与的关系，再根据（1）中结论，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵折叠， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴. 【变式21-3】（25-26七年级下·山西太原·期末）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们利用所学的三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题．已知：如图1，中，，，点是线段上的一个动点，点关于直线的对称点为点．射线分别交直线于点，交射线于点，连接交射线于点． (1)特例分析：如图2，当点落在射线上时，请直接写出的度数； (2)拓展探究：如图3，若，判断与的数量关系，并说明理由； (3)当是直角三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)．理由如下： ， ， 中，， ， ， 中，，， ， ∵点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， ， ， ， ，， ， ，， ， ，，， ， ． (3)或 【分析】（1）根据轴对称及等腰三角形性质求解即可； （2）根据轴对称及等腰三角形性质证明，可得到； （3）分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：关于对称， ， 为等腰三角形，， 又， 为等腰三角形，， 当点在直线上时，三点共线， ， ． （2）略 （3）解：①若，如图， ， ， 中，， ，， ， ∵点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， ， ， ， ； ②若，如图， ， ， 中，， ， ， ∵点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， ， ， ， ， 综上，的度数为或． 【题型22 动点产生三角形角度变化探究】 【例22】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）45，75（2）或（3） 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和，平角等知识，正确作出图形是解题的关键． （1）当时，有则， 当时，，即可解答； （2）分类讨论： ①当时，②当时，③当时， 逐一分析，即可解答； （3）令与的交点为M， 与的交点为N，推导出，，继而推导出，即可解答． 【详解】解：（1）当时，如图，有 ∴． 当时，如图，有 ∴． 故答案为：45，75． （2）①当时，如图，有 ， ∵，， ∴， 解得， ∴． ②当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 即， 解得． ③当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． （3）不变化，理由如下： 令与的交点为M， 与的交点为N，如图 ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式22-1】（山西运城市盐湖区2025-2026学年度第一学期期末初二数学练习试卷）综合与实践 在数学社团活动中，小晋将一副含角的直角三角板（） 与两行平行的横格线（直线）结合，探究角度之间的关系． (1)如图1，当三角板的直角顶点C落在线段上，且斜边与直线平行时，求的度数． (2)如图2，在（1）的条件下将三角板绕点C顺时针旋转，使两直角边分别与直线交于点D，E．请猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在图2的基础上，小晋作的平分线，作的平分线．若交于点H，则是否发生变化，若不变求出度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)， 理由如下： ，， ； (3)不变， 【分析】（1）根据“两直线平行内错角相等”可得答案； （2）根据三角形内角和定理得出答案； （3）先根据三角形的外角的性质得和，再根据角平分线的定义得，进而得出，则此题可解． 【详解】（1）解：如图所示，， ∴， ； （2）略 （3）解：不变， ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴， 即． ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式22-2】（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）综合与实践 某数学活动小组在研究角度变化时，利用一副三角板尝试完成探究 (1)将一副三角板按如图1的方式摆放，边与重合，，，，射线分别是，的角平分线，求的度数； (2)如图2，保持不动，将绕点A逆时针转动一定角度得到边在的内部，射线分别是，的角平分线． ①若，求的度数； ②在绕点A逆时针转动的过程中，的度数是否发生变化？若变化，求出的度数；若不变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②不变，． 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，理解图示，掌握角的和差计算是关键． （1）根据三角板的特点，三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，由此即可求解； （2）①根据题意得到，，由此即可求解； ②设，则，，，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； ②不变：理由如下： 设， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【变式22-3】（25-26七年级下·天津南开·期中）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动． (1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小． (2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ． 【答案】(1)不变，135° (2)不变，67.5° (3)60°或72° 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的意义求解； （2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB＝90°，进而得出∠OAB+∠OBA＝90°，故∠PAB+∠MBA＝270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F＝45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE＝112.5°，进而得出结论； （3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由两个角度数的比是3：2分四种情况进行分类讨论． 【详解】（1）∠AEB的大小不变， ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， ∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO， ∴∠BAE+∠ABE= (∠OAB+∠ABO)＝45°， ∴∠AEB＝135°； （2）∠CED的大小不变． 如图，延长AD、BC交于点F． ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∴∠PAB+∠MBA＝270°， ∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线， ∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM， ∴∠BAD+∠ABC= (∠PAB+∠ABM)＝135°， ∴∠F＝45°， ∴∠FDC+∠FCD＝135°， ∴∠CDA+∠DCB＝225°， ∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线， ∴∠CDE+∠DCE＝112.5°， ∴∠CED＝67.5°； （3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E， ∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ， ∴∠E＝∠EOQ−∠EAO= (∠BOQ−∠BAO)= ∠ABO， ∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线， ∴∠EAF＝90°． 在△AEF中， ∵有两个角度数的比是3：2，故有： ∠EAF：∠E=3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）； ∠EAF：∠F=3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°； ∠F：∠E=3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°； ∠E：∠F=3：2，∠E＝54°，∠ABO＝108°（舍去）． ∴∠ABO为60°或72°． 故答案为：60°或72°． 【点睛】本题考查三角形内角和与角平分线的综合应用，熟练掌握三角形内角和定理、平角的意义、角平分线的意义和比例的性质是解题关键． 【题型23 中线分割三角形面积综合问题】 【例23】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在和中，，，与相交于点，连接． (1)求的度数； (2)当时，求证：； (3)在（2）的条件下，点在直线上运动，当，且时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)证明：如图，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）根据等边对等角可得，进而可得； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为，由（2）可得，则,，根据已知可得，则得出，根据三角形的面积关系求得，进而分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 由（2）可得， ∴， ∴,， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在直线上运动， 当在的延长线上时， ∴， 当在的延长线上时， ∴． 【变式23-1】（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图1，在中，a、b、c分别是、、的对边，点P从点A出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动．设点Q的运动时间为t秒． (1)若，． ①________，________； ②当时，若，求t的值． (2)如图2，当点P运动到线段上，与交于点D，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)①6，8；②的值为 (2)2 【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性求解即可；②当时，点在上，则，根据三角形面积可得，，即可建立方程求解； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴ 解得； ②由①得，， 点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动， ∴点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒 ∴当时，点在上，则 ∵， ∴ ∴ 解得 ∴的值为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2． 【变式23-2】（26-27八年级上·云南临沧·阶段检测）阅读下面材料，回答问题． 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的重心． 三角形的中线有一个重要的性质：三角形的任意一条中线都将三角形分成两个面积相等的三角形． (1)如图，在中，是边上的中线．求证：． (2)利用上述结论，解决下面的问题：如图，在中，D为的中点，E为的中点，连接并延长交于点F．已知，求． 【答案】(1)证明：过点A作，垂足为E，如图： 由图可得，，． ∵是边上的中线， ∴． ∴； (2) 【分析】（1）过点A作，垂足为E，分别表示出，，再利用中线的性质求解即可； （2）利用已知结论可以先后求出，． 【详解】（1）略 （2）解：∵D为的中点， ∴． ∵E为的中点， ∴． 【变式23-3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】 (1)如图1，在中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，的面积记为，四边形的面积记为，则与之间的数量关系是____________； (2)如图2，在四边形中，，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，取的中点，连接．平分四边形的面积吗？请说明理由； 【问题解决】 (3)如图3，某商场计划在一块三角形空地中举办户外促销活动，点在空地的边上，点，，在空地的边上，现有甲、乙两个品牌入驻，划定四边形是甲品牌的活动场地，是乙品牌的活动场地，且两个品牌活动场地的面积相等．已知处加装了围栏，，，分别是甲、乙品牌的货物存储区，点，是存储区入口，且，．求围栏端点与存储区入口之间的距离． 【答案】(1) (2)平分四边形的面积，理由如下： 点是的中点， ， ． 点是的中点， ． 在和中， ． ． ． 平分四边形的面积． (3) 【分析】（1）根据是边上的中线，得出，结合图形，即可得出； （2）先证明得出，则，即可得出结论； （3）证明得出，同理可得平分四边形的面积，进而可得的长． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； （2）略 （3）解：， ，． ， ． ，， ． ，， ． ，，，． ． ， ． ． ， ． ． ． ． 由题意得，平分四边形的面积， ． ． 即围栏端点与入口之间的距离为． 【题型24 全等三角形证明与线段等量推导】 【例24】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）四边形，连接，，，． (1)如图1，______． (2)如图2，点在线段上，连接，点为外部一点，连接，使得，连接，且，求证：． (3)如图3，在（2）条件下，延长到点，连接，，，，求长度． 【答案】(1) (2)证明：设． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分． 作于点，作交的延长线于点， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵、、三点共线，、、三点共线， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． (3) 【分析】（1）由知、、都是等腰三角形，用“等边对等角”把三个内角都用同一个字母表示，再作差求出； （2）先用“等边对等角”求出，结合已知条件得，从而平分；再作、，由角平分线的性质得，依次证明、，把结论转化为角的关系； （3）在上取点使，先证得，再证得，从而把转化为． 【详解】（1）解：设． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，且， ∴． ∴． （2）略 （3）解：在上取一点，使． ∵，，， ∴， ∴，． ∵在上，且， ∴， ∴． ∵在上，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在上，在的延长线上， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵点、、在同一条直线上，且点在、之间， ∴． 【点睛】本题综合考查等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质：解题关键是反复使用“等边对等角”把已知的角条件转化为相等的角——先得平分，由角平分线的性质得到，再配合证出两组全等三角形，把逐步转化；求时，通过把转化为，再证，最终把所求线段转化为已知线段之和（）． 【变式24-1】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，，． (1)求证：； (2)如图，延长、交于点，连接，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接、，取的中点，连接交于，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (2)证明：如图2所示，过点A作于点G，交的延长线于点H， ∴； 由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)12 【分析】（1）证明，再证明，即可证明； （2）过点A作于点G，交的延长线于点H，证明，得到；证明，得到；证明，得到，则可证明，进而可证明； （3）延长到点Q，使得，连接，证明，得到，，则；证明，得到，，，可证明；设，则，；根据建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，延长到点Q，使得，连接， ∵点N为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； ∵ ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ， ∴； ∵， ∴可设， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 【变式24-2】（26-27八年级上·北京·阶段检测）直线经过等边的顶点．作点关于的对称点，直线与直线交于点． (1)当直线在如图1的位置时， ①根据题意，补全图形； ②写出与的数量关系______________； ③连接，求证：． (2)若直线绕着点转动，转动过程中与线段始终没有公共点，借助备用图探究并直接写出与的数量关系，以及线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)①如图， ②③证明：证明：在上截取，连接，如图， 由②得， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)当直线l能与线段的延长线相交时，，；当直线l能与线段的延长线相交时，，． 【分析】（1）①按照“作点B关于l的对称点，连接与l交于P”的步骤补全图形； ②利用对称性质和等边三角形性质，结合角的运算推导与的数量关系； ③采用截长补短法，在上截取一段等于，构造等边三角形，再利用全等三角形证明线段关系； （2）类似（1）的思路，结合对称和等边三角形性质，分析转动时角和线段的关系即可． 【详解】（1）解：①略 ②，理由如下： 连接，连接并延长交于点H，交于O， ∵点B与关于直线l对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴　， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴； ③略 （2）解：当直线l能与线段的延长线相交时，，；当直线l能与线段的延长线相交时，，．理由如下： 当直线l与线段平行时，由（1）可得点A，P重合，及不存在，不符合题意； 当直线l能与线段的延长线相交时，如图， 由（1）得； 当直线l能与线段的延长线相交时，如图，连接，交于O， ∵点B与关于直线l对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 在上截取，连接，如图， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【变式24-3】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）将两个全等的和按图①方式摆放（点E恰好落在边上），所在直线与所在直线相交于点F． (1)如图①，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由；将图①中的绕点B按顺时针方向旋转至图②中的位置，线段，，之间的数量关系是否仍然成立？（图②结论无需证明，只要判断即可） (2)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图③中的位置，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图④中的位置，连接交于点M，求证：M是的中点． 【答案】(1)，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 线段，，之间的数量关系依然成立，证明如下： 如图，连接， ∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)证明：如图，过点A作于点H，过点D作交的延长线于点N， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴M是的中点． 【分析】（1）证明，得到，然后等量代换即可求解；当图①中的绕点B按顺时针方向旋转至图②中的位置时，同上证明即可； （2）证明，得到，然后等量代换即可求解； （3）过点A作于点H，过点D作交的延长线于点N，证明，得到，然后证明，得到，即可证明M是的中点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【题型25 角平分线性质与全等综合证明】 【例25】（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）综合应用 (1)【模型建构】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为C，延长交于点，易证，则．分析过程如下：在和中， 平分 ， （___________）注：在括号内填写全等判定方法字母简称 （___________）注：在括号内填写理由依据 (2)【情景应用】图2是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点作于点．已知，，的面积为30，请求出的面积； (3)【变式探究】如图3，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论； (4)【拓展延伸】如图4，在中，，，在线段上，向左侧作，于，交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，全等三角形的对应边相等 (2) (3)， 证明：如图，延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (4)， 证明：如图，作交于点，延长、交于点， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∵，为等腰直角三角形， ∴，， ∴平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，并结合题中的推理过程解答即可； （2）延长交于点，同（1）可得，由全等三角形的性质可得，，求出，从而可得，再结合的面积为30，求出，最后利用得出； （3）延长交的延长线于点，先证明，得出，再证明，得出，即可得证； （4）作交于点，延长、交于点，先证明平分，再证明，得出，最后证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：由推理过程可得，判定的依据是， 推出的依据是全等三角形的对应边相等； （2）解：如图，延长交于点， 同（1）可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为30， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：， 证明略； （4）解：， 证明略． 【变式25-1】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）根据角平分线的性质定理回答以下问题： 【问题解决】 (1)如图1，的三条内角平分线交于点，过点作边上的垂线段．若的周长为16，，求的面积； 【问题探究】 (2)如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图3，在中，，平分，交于，，且，过作，垂足为，若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过O作，分别交、于D、E，根据角平分线的性质定理得到，将的面积分成三个小三角形的面积计算即可； （2）先求出，过点分别作、、的垂线，可知是的角平分线，根据三角形外角的性质列等式解方程即可； （3）作，分别交于H，交的延长线于G，连接，证明，得到，，根据角平分线的定义及求出，进而证明，得到，根据角平分线的性质得到，可知，根据角平分线的判定定理得到平分，进而根据三角形内角和以及等边对等角得到，可知，证明，得到，即可得到的长． 【详解】（1）解：如图，过O作，分别交、于D、E， ∵的三条内角平分线交于点， ∴， ∵的周长为16， ∴， ∴ ； （2）解：∵平分，， ∴， 因此． 过点分别作、、的垂线，分别交、的延长线于Q、P交于O， 根据角平分线性质，三条垂线段长度相等，说明到两边的距离相等，因此是的角平分线， ∵是的外角， ∴； 又平分， ∴ ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， 代入得： 解得：； （3）解：如图，作，分别交于H，交的延长线于G，连接， 可知， ∵，，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式25-2】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）已知点是平分线上一点，的两旁、分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，，求的度数． 【答案】(1)证明：如图1，过点C作，垂足为F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； (2)解：，理由如下： 如图2，过点C作，垂足为F， ∵平分， ∴ ∵，， ∴ ∵，， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ∴； (3) 【分析】（1）过点C作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作，利用证明，从而得到，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，则，先证明，再证明，再进行角度推导求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，在上截取，连接， ∴， ∵平分 ∴ 在和中， ， ∴ ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴． 【变式25-3】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）阅读下面材料，完成探究与求解． 【问题探究】 如图1，在中，点D是的边的中点，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F．若，，则线段，，之间有什么数量关系？ 小明通过探究发现，可以在线段上取一点G，使得，这样只需要找出和之间的数量关系即可． (1)请你根据小明的思路，解答下列问题： ①求证：； ②探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，是一片林地，是林地内一条护林小路，点P在边上且平分，为了方便护林工人巡逻，现计划作的平分线，交于点M，在上取一点N，使得，连接，并沿和修建两条新的护林小路，若测得，，，请分别求出和的长．（护林小路的宽度均忽略不计） 【答案】(1)① 证明：是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． ② 理由：， ， 又，， ， ， ， ， 即． (2)， 【分析】(1) ① 在和中，利用、、，由SAS证全等，得对应角相等，从而证平行． ② 由平行得同位角相等，结合已知角等和边等，由AAS证，得，再由得出数量关系． (2) 分别过点M作于点E，于点F，于点Q，由角平分线性质定理可知，，由，可证，则平分，进而证明，同理，证明，可证明，， 设，则可依此证明，，则由可求． 【详解】（1）略 （2）分别过点M作于点E，于点F，于点Q， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴平分， ∵于点E，于点F，于点Q， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型26 截长补短证明线段和差关系】 【例26】（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】 （1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 （2），理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式26-1】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：在上截取，连接．    ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∴． (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式26-2】（25-26七年级下·上海松江·期末）如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) EF＝BE+DF， 理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°， ∴∠ADC＝∠ABG， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF， 即∠EAG＝∠EAF， 在△EAG和△EAF中， ， ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴GE＝EF， ∴EF＝BE+DF； (2) （1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD， 在BE上截取BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠ABC＝∠ADF， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF， ∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD， ∴∠BAD＝∠MAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠MAF， ∴∠EAF＝∠EAM， 在△AME和△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）， ∴ME＝EF， ∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣FD． 【分析】（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，通过证明△ABG≌△ADF，△EAG≌△EAF可得GE＝EF，进而可说明EF＝BE+DF； （2）在BE上截取BM＝DF，连接AM，通过证明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME＝EF，进而可得EF＝BE﹣FD． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键． 【变式26-3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) ， 理由：如图2中，∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2中，延长到Q，使得，连接，    ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 延长到，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【分析】（1）如图1中，在射线上取一点K，使得，证明，推出，再证明，可得结论； （2）结论：．首先证明．如图2中，延长到Q，使得，连接，证明，推出，延长到P，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论 【详解】（1）解：如图1中，在射线上取一点K，使得，    在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）略 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【题型27 等边三角形手拉手模型证明】 【例27】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由； (3)如图3，若，且的面积为，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． (2)解：，理由如下： 如图所示，在上截取，使得，连接，在上取点，连接，使得， ，， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用“相等的角减去相同角的两角仍相等”证明模型证明，进而证明，得到对应角相等证明结果； （2）在上截取，使得，连接，在上取点，连接， 使得，证明，利用等腰三角形的性质与全等三角形的性质以及等量代换证明，最后根据等量代换证得，从而得到答案； （3）先根据等腰三角形的性质与全等三角形的性质等量代换后得到，利用算出，再利用三角形内角和为和等量代换得出，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点，通过角度的换算得到是等腰直角三角形，再证得，根据平行线间垂线段相等，利用同底等高得到的面积，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得， ∴， 在和中，， ∴，， 如图所示，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，则， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴或， ∵线段的长度为非负数， ∴． 【变式27-1】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“等角减去同角仍相等”得到，再根据判定，从而证明结果； （2）利用等量代换将转化为，从而解出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， 在和中，， ， ∴． （2）解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（1）知， 【变式27-2】（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）； （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握相关结论是解题关键； （1）由题意得，结合即可求解； （2）证即可求解； （3）证，得，；推出，；根据，得；进而得，即可求解； 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）由题意得： ， ∴，即， ∴， ∴，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 【变式27-3】（25-26九年级上·河南新乡·期中）【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答) 【探究应用】 （1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ． ①写出与的数量关系和位置关系： ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． 【问题解决】 （2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则 ①∠= ° ②线段的长是 ． 【答案】（1）①，；②相等；（2）①，②6． 【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加适当的辅助线是本题的关键． （1）根据，都是等边三角形，把绕点A逆时针旋转得到 即可； ①证明，再由全等三角形的性质和三角形外角的性质即可证明结论，②和的边，再过D作于Y，过B作于X，构造，得相等边对应高相等，从而证明两个三角形面积相等， （2）①利用轴对称的性质求出，然后根据旋转的性质得出答案； ②利用旋转的性质和轴对称的性质求出和即可解决问题． 【详解】解：（1）①结论：，． 证明：如图，设交于点，交于点， ∵ ． ∴，即， 又∵，， ， ， ， ， ，即， 综上所述：，． ②的面积与的面积相等， 如图，过D作于Y，过B作于X，    ， ∵， ， 又∵， ， ， ∵，，， ，即， 的面积与的面积相等， （2）①∵与关于对称， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， 故答案为：； ②由旋转的性质可知，， ∵与关于对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型28 垂直平分线与等腰三角形综合】 【例28】（25-26八年级上·四川德阳·期末）如图1，以等腰直角的腰边为边作等边，其中，连接． (1)求的度数； (2)如图2，交于点，延长交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，作交于点，点在的延长线上，连接，点在线段上，若点在线段的垂直平分线上，连接，，求的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 证明：如图2， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， 在和中， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形和等边三角形的性质得出，，，再根据等边对等角、三角形内角和定理即可求解； （2）先证，根据含30度角的直角三角形的性质可得，推出，再证，进而根据证明 ，即可证明； （3）连接，作于点M，于点N，易得，可得，然后证明 ，再证明 ，即可得解． 【详解】（1）解： 是等腰直角三角形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ； （2）略 （3）解：连接，作于点M，于点N， 是等边三角形， ，， ，， 在和， ， ，， ， ， 平分， 又 ，， ， 点在线段的垂直平分线上， ， 在和， ， ， ， 又 ， ， 是等边三角形， ， ，， 是的垂直平分线， ， 在和， ， ， ， ， ， 又 ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质，第三问难度很大，正确添加辅助线是解题的关键． 【变式28-1】（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，已知等腰中，，，，点B关于直线的对称点为点D，连接，连接交于点G，连接交于点E，交于点F． (1)如图1，当时， ①补全图形； ②探究与的数量关系，并说明理由； (2)在直线绕点A顺时针旋转的过程中，当为等腰三角形时，利用备用图直接求出α的值为______． 【答案】(1) ①如图1，即为所求作； ②，理由如下： 如图1，连接， B、D关于对称，， 垂直平分， ，，， ，，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ，平分， ， ， ； (2)或 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②连接，根据轴对称的性质可知垂直平分，，，，再由等边对等角的性质，得到，，然后证明为等边三角形，从而得出，最后利用三线合一的性质以及含30度角的直角三角形的特征，即可得出答案； （2）证明是等腰三角形，进而得出，然后根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论，利用三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：如图2， 由题意可知，，，， 是等腰三角形， ， ， 当时，此时， ，即； 当时，此时，即； 当时，，即（舍）， 综上可知，α的值为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 【变式28-2】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”． (1)如图1，三角形内角分别为，这个三角形_____（填“存在”或“不存在”）“准黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条“准黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【答案】(1)存在 (2) 证明：如图2，设，则， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 和都是等腰三角形， 是的一条“准黄金线”； (3)或或或 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定即可解答； （2）设，则，分别证明和都是等腰三角形，即可解答； （3）当是一个等腰三角形，且它是“准黄金三角形”时，有四种情形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于点，连接， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， 是等腰三角形， 这个三角形存在“准黄金线”； 故答案为：存在； （2）略 （3）解：一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，有以下四种情况： ①如图3，，， ， 是一个“准黄金三角形”， 和都是等腰三角形， ， 此时等腰三角形的顶角为； ②如图4，设， ， ， 则， 解得， 此时等腰三角形的顶角为； ③如图5，，， ， ， ， ， ， ； 此时等腰三角形的顶角为； ④如图6，， ， ， ， ， ， ， 此时等腰三角形的顶角为； 综上，符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义—“准黄金线”，“准黄金三角形”的理解和运用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，正确地理解题意是解题的关键． 【变式28-3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在等腰中，，，点D是边上一点（不与点A、C重合），连接，将沿翻折得，连接． (1)若，解决下列问题： ①当点E落在边上时，与的位置关系是__________； ②当时，请用无刻度的直尺和圆规作出点D的位置（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)如图2， ①当点E落在边上，且为等腰三角形时，求的值； ②当点D在边上运动时，存在点E落在边上，则的取值范围是__________． 【答案】(1)①； ② ， ， ， ， ， 故是的中点，即点D的位置如图所示： (2)①或；② 【分析】（1）①根据题意得，，可得，得出； ②当时，利用平行线和等腰三角形的性质和判定，可得，结合已知可得为的中点，画出的垂直平分线，则垂足即可点D； （2）①当为等腰三角形时，可分为三种情况，从而根据等腰三角形的性质讨论即可； ②当存在点E落在边上，，即，可得，点E可与点C重合，不与点D重合，即可求解． 【详解】（1）解：①， ， 当点E落在上时，， 可得， ， ，即； ②略 （2）①当为等腰三角形时，可分为三种情况， 当时， ， ， ， ， 解得：， 当时， ， ， 解得：（不符合题意）， 当时， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 综上：或． 故或． ②当存在点E落在边上，， 即， ， ，点E可与点C重合，不与点D重合， ， ， 解得：， 综上所述：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，折叠，三角形内角和定理，平行线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键． 【题型29 与等腰三角形有关的动点问题】 【例29】（25-26七年级下·广东深圳·期末）在中，，点为上一点． (1)如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________； (2)在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边． ①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值； ②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用三角形内角和为求解； （2）①利用三角形内角和为求出的度数，再利用角的加减求解； ②利用三角形内角和为以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴． （2）解：①∵是等边三角形， ∴， ， ， ， ， ． ②解：由（1）可知和均为等边三角形 ，， ， 在和中，， ∴， ， ， ， 当时，； 当时，， ； 当时，， ∴， ∵， 在中，，与三角形的内角和为相悖，故不成立 综上，当为等腰三角形时，或． 【变式29-1】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，______，_______；当点D从B向C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）； (2)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，，小 (2)的形状可以是等腰三角形，的度数为或 【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出，，根据角的和差关系得出，利用三角形外角的性质可求出，根据三角形内角和定理，结合点D从B向C运动时，逐渐变大，即可得出逐渐变小； （2）分、及三种情况，利用等腰三角形的性质及三角形外角性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵点D从B向C运动时，逐渐变大， ∴逐渐变小． （2）解：当时， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴点、分别与、重合，不符合题意，此种情况不存在， 当时，则， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：的形状是等腰三角形，的度数为或． 【变式29-2】（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时． ①___________________（用含的代数式表示）； ②若是等腰三角形，求出此时的值； (2)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值． 【答案】(1)①，；②秒 (2)11或12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，动点问题的存在性问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键． （1）①根据题意列代数式即可解答；②当点在边上运动时，是等腰三角形时，则，联立方程即可求解； （2）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解． 【详解】（1）解：①当点在边上运动时，根据题意可得，，； 故答案为：，； ②，，， ， 为直角三角形，， 当点在边上运动时，是等腰三角形，则， ， 解得：； 当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形； （2）解：当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形 则， ， ，， ， ， ， 解得：， ②若是以为底边的等腰三角形， 则， ， 解得：， 综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 【变式29-3】（25-26八年级上·云南曲靖·期末）在等边三角形中，点D是边上的一个动点（不与点A，B重合），以为边作等边三角形，使点E和点A在直线的同侧，连接． (1)如图1，求证：； (2)当点D在边上运动时，的度数是否发生变化？若不变，求出它的度数；若变化，说明理由； (3)当点D运动到什么位置时，？请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴； (2)的度数不变， (3) 解：当点D为边上的点且不与点A，B重合时，，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）利用“”即可证明； （2）根据可得，即可解答； （3）根据题意可得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：的度数不变． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 即的度数始终为； （3）略 【题型30 格点图中画等腰三角形】 【例30】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点、都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为腰作等腰． (2)在图②中，作出，使的面积为，且点不在格点上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，结合网格的特点作图即可； （2）取格点，连接，取上任意一点（非格点），连接，根据网格的特点可得，与平行，则． 【详解】（1）略 （2）略 【变式30-1】（2022·浙江温州·中考模拟）下图是以正六边形为基本图形组成的网格，每一个正六边形的顶点称为网格的格点．如图，的顶点均在格点上，请按要求画格点图形． (1)在图1中，画一个，使得与全等． (2)在图2中，画一个等腰三角形，且． 【答案】(1)如图，即为所作， (2)如图，即为所作， 【分析】（1）根据网格特点，并结合全等三角形的判定定理画出图形即可； （2）根据等腰三角形的定义，并结合三角形面积画出图形即可． 【详解】（1）解：由网格特点可得，，， ∵， ∴； （2）解：由网格特点可得，，点到的距离是点到的距离的两倍， ∴为等腰三角形，且． 【变式30-2】（25-26八年级上·全国·期末）在网格中，网格线的交点称为格点．已知O，A是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么满足条件的P点请在图中找出． 【答案】 【分析】结合图形，利用格点，分以和为腰时；以和为腰时；以和为腰时，三种情况进行讨论，即可解决． 【详解】解：以和为腰时，符合条件的等腰有6个， 以和为腰时，符合条件的等腰有5个， 以和为腰时，此时顶点P在格点上的情况不存在， ∴符合条件的等腰有11个． 【变式30-3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中找一点P，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中以为边画一个等腰． 【答案】(1)如图①，点P即为所求（答案不唯一）； (2)如图②，即为所求（答案不唯一）； (3)如图③，等腰即为所求（答案不唯一）． 【分析】（1）取格点P，连接，点P的位置即为所求； （2）根据同底等高三角形的面积相等，找出点D的位置即可； （3）根据等腰三角形的作法，可根据找出点F的位置． 【详解】（1）解：如图①，取格点D，E，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵与的底边都是，高均为4格， ∴； （3）解：点B与点F关于点C所在的水平格线对称，此时， ∴为等腰三角形，即为所求． 【题型31 轴对称折叠构造全等边角探究】 【例31】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）阅读下列材料，解答问题： 定义：线段把等腰三角形分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图2，在中，，，．求证：为的完美分割线； (2)如图3，是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M．求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，均为等腰三角形， ∴为的完美分割线； (2) 证明：∵是的一条完美分割线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 又， ∴． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，即可求出两角的度数；根据两底角相等的三角形为等腰三角形证均为等腰三角形，即可得证结论； （2）根据证，即可得证结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式31-1】（24-25八年级上·湖北随州·期中）（1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 【答案】 （1）如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处，由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）， 证明：如图，在上截取，连接， ，平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）18 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证；由得，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， , ，， ， ， ， ， ， 由得，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式31-2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折 ，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：，．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步探究】 （1）如图②，四边形是筝形，，．则线段和线段的位置关系是什么？请证明； 【综合运用】 （2）如图②，在“筝形”中，已知，，求“筝形”的面积． 【答案】 （1）垂直平分线段； 证明：已知，． 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴垂直平分线段． （2）12． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先证，再证，即可得解； （2）根据垂直平分线的性质得，进而求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）知垂直平分线段， ∴， ∴． 【变式31-3】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）折纸是有趣的数学活动，通过折纸可以发现数学结论，折纸的过程蕴含着丰富的数学知识． 【特例感受】 如图1，在折叠等腰三角形纸片的过程中，小明发现：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等． 【操作探究】 问题1：如图2，中，，，直线与线段相交于点D，将沿直线翻折至处，点B的对应点为，求与之间的数量关系． 【拓展延伸】 问题2：如图3，若，，直线与线段相交于点D，将边沿直线翻折，得到，射线交于点E，连接．探究并证明，与之间的数量关系． 【答案】问题1： 问题2：，理由： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵将边沿直线翻折，得到， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在上取点F，使，连接，则和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】问题1：根据等腰三角形的性质可得，再结合折叠的性质可得，，然后根据三角形外角的性质即可解答； （2）证明，可得，，设，可得，从而得到，进而得到，在上取点F，使，连接，则和都是等边三角形，证明，可得，即可解答． 【详解】解：问题1：∵，， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折至处， ∴，， ∵，，，， ∴ 即； 问题2：略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题关键在于熟练掌握各个知识点和根据题意构造辅助线． 【题型32 多步连环全等推理证明】 【例32】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在等腰和等腰中，，，，连接､． (1)如图，若，点是的中点，则和的数量关系是 ; (2)如图，若点在的外部，继续猜想并证明和的数量关系； (3)如图在（2）的条件下，当时，连接，点在上，连接，过点作于，若，，，，求的长． 【答案】(1)相等 (2) ． 证明：， ， ， ， 在和中， ， ． (3) 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，结合角的和差得到相等角，再通过证明三角形全等，从而得出角的数量关系； （2）通过角的和差转化得到相等的夹角，结合已知边相等的条件，用证明三角形全等，进而推导角的关系； （3）先利用全等得到角的等量关系，再结合已知角度条件推导特殊角（如），通过翻折构造全等三角形，结合线段的和差与特殊三角形的性质计算线段长度． 【详解】（1）解:． 证明：， ， ， ， 在和中， , ， ． （2）略 （3）解:由（2）知， 又， ， ， ， 即， ， 即， ， 即，， 如图，将沿翻折为，延长交延长线与点，则，， ， ， ， 又， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， 在中，， 又， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及角度的等量代换，通过构造全等或利用角度关系推导是解题关键． 【变式32-1】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 【答案】(1) ① ②证明：把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，如图所示： ， ∴，， 因为， 所以 故 即 因为，， 所以 则， 所以， 因为 所以 即是等边三角形， 所以 因为， 则； (2) 【分析】（1）①通过证明，得，即可知道； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，先证明，然后得到是等边三角形，进行等边代换，即可得证； （2）先得到，过点G作交于点H，交于点M，通过“”证明，得，，然后连接，再通“”证明，进行角的等量代换以及角和和差关系，即可作答． 【详解】（1）解：因为是等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 则， 那么； ②略 （2）解：过点E作， 因为， 所以 即 因为 所以， 则 过点作交于点，交于点，则， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 连接，如图， ∵ ∴ 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合，等边三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和，作辅助线（作垂线）以及一系列的辅助线，难度大，综合强，对学生具备较强的作辅助线能力有较高要求，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式32-2】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ； （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可证明： ． ∴． ∴． ∵，， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明得到，，则； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 【详解】略 【变式32-3】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图1，在矩形中，点E是边上的一点，连接． (1)若平分，点G是上的一点，连接，，且．过点C作于，延长线交于H，过点H作于P，如图． ①填空：的形状是______三角形； ②求证： (2)将图1的矩形画在纸上，若平分，沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点，如图．求证：． (3)如图，延长交的延长线于点K使得，此时恰好，连接交于点J，连接． 请证明：． 【答案】(1)①等腰直角； ②证明：如图，过点E作于W． ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． (2) 证明：如图，连接， 由（1）知，为等腰直角三角形， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠知，，， ，， 又， 在和中， ，， ， ， ． (3) 如图，在线段上取点I，使得，连接， 在与中， ，，， ， ． ，，， ， ， ， 为直角三角形， ， ． 【分析】（1）①根据矩形的性质和角平分线的性质可得，进而得出结果； ②可证得，，， 进而得出结论； （2）连接，可证得，可得，根据等角对等边即可得出结论； （3）在线段上取点I，使得，连接，可证，得，在证，得，，得出，进一步得出结论． 【详解】（1）①四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， ， 等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角 ②略 （2）略 （3）略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，准确添加常用辅助线，构造特殊三角形和证明全等三角形是解本题的关键。 【题型33 勾股定理折叠综合探究题】 【例33】（25-26八年级下·四川成都·期中）平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． (1)探究发现 如图（1）， 是等边 内一点 ．求 的度数． 解：将 绕点 旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵ ， ∴， ∴为 三角形． ∴ 的度数为 ． (2)类比延伸 在正方形 内部有一点P，连接 ，若 ，求 的长； (3)拓展迁移 如图（3），在四边形 中，线段 与 不平行， ， 与 交于点，且 ，比较 与 的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)等边，直角， (2) (3) 理由：将 沿 方向平移，使 与 重合，得到，连接 ， ． 由平移性质： ， ， ， ∴， 又 ， ∴ 是等边三角形，得 ， ∵ 与 不平行，∴ 三点不共线， 在 中，由三角形三边关系： ， 即 ， ∴ ． 【分析】（1）因为旋转后，旋转角等于等边三角形内角 ，所以可判断的形状；根据三边长度满足勾股定理逆定理，可判断的形状，结合角的和差关系求 ； （2）借鉴（1）的旋转思路，将 绕点B顺时针旋转 得到，连接，因为旋转角为 且，是等腰直角三角形，结合已知 可得 ，再用勾股定理求 ； （3）利用平移变换将 或 平移，构造含 角的等边三角形，结合三角形三边关系比较 与 的大小． 【详解】（1）解：将 绕A旋转得到 ， 由旋转性质得， 旋转角 ， ∴是等边三角形； 由 ， ， ，得， 由勾股定理逆定理得是直角三角形； ∴ ， ． （2）解：类比（1），将 绕点 顺时针旋转，得到，连接． 由旋转性质： ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 得， ， ∴ ， 在 中， ． （3）略 【变式33-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，现将它折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】． 【分析】连接，先由勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，然后由折叠性质可得，，设，则，在中，，即，求出的值即可． 【详解】解：连接，如图， 在中，，，， ∴，即， ∴是直角三角形，且， 由折叠性质可得，， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴，即的长为． 【变式33-2】（25-26八年级下·浙江·阶段检测）在矩形中，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①当点落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E和点P（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时_________； ②如图2，连接，若，求证：P是的中点． (2)若P为延长线上一点，且运动点P至为直角时，请画出图形，并求的长． 【答案】(1)①，2； ②证明：如图2， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， 又， ， 是的中点； (2)，． 【分析】（1）①以A为圆心，为半径画弧，交于点E；由折叠的性质可知，则作的平分线交与点P即可；根据勾股定理求出，即可求出的值； ②由折叠的性质可知，，根据平行线的判定和性质得到，可知，根据等角对等边得到，进而可知，即P是的中点； （2）根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）①解：作图略； 由折叠的性质可知， ∵矩形 ∴，， ， ； ②略； （2）解：图略， 当时，可知此时点在的延长线上． 在中，，， ， ， 设，则， ， ， 即． 【变式33-3】（25-26八年级下·重庆万州·阶段检测）在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，当点在的内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证： ； ②若，，求点到直线的距离． (2)如图2，当点在的外部，且时，求的值． 【答案】(1) ①证明：由翻折可得，，， ， ， ， ，，， ； ② (2)1 【分析】（1）①根据折叠的性质得到，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； ②根据全等三角形的性质得到，，，求得，即，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理得到，设点到直线的距离为，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）① 略 ②解： ， ，，， ， 即， 由勾股定理得：， 由翻折可知，， ，， 由勾股定理得，， 设点到直线的距离为， ， 即， 解得， 点到直线的距离为； （2）解：，， ， ，将沿直线翻折，得到， ，，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 或（不合题意舍去）， ． 【题型34 立体图形最短路径求解】 【例34】（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） (1)若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． (2)在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 【答案】(1)解：有三种展开方式，如图， ；；； (2)最短路线长度为，最快需要秒． 【分析】根据蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式，分别画出图形即可； 求出各种展开方式下点到点的距离，然后比较可得出最短爬行路线长度，再求出时间即可． 【详解】（1）解：蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式： 将前面和上面（或后面和下面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为，，展开图如下： 将前面和右面（或后面和左面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： 将右面和下面（或左面和上面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： （2）解：第两种展开方式下点到点的距离相等： ， 第②种展开方式下点到点的距离为： ， ∵， ∴最短路线长度为，， 答：最快需要秒． 【变式34-1】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧，现要沿着地铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班． (1)已知该地下通道长度为，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短？请画出这条最短路线，写出简要的作图方法．(不考虑地面到地下通道地面的高度)． (2)若，居民区离地铁线路的距离为，工厂离地铁的距离为，居民区与工厂的水平距离为，请计算居民经过该地下通道去工厂上班的最短路程(地下通道宽度忽略不计)． 【答案】(1) 将居民区向右平移得到，连接交于点，在上点的左侧，截取，连接，则即为最短路线 (2)居民经过该地下通道去工厂上班的最短路程为米 【分析】（1）由居民区经过地下通道到工厂的最短路程中地下通道是定值，将平移至，根据两点之间线段最短，可得的长为居民区和工厂到铁路线的最短距离，故作图方法为：将居民区向右平移得到，连接交于点，在上点的左侧，截取，连接，则四边形是平行四边形，即为最短路线； （2）过点作于点，根据题意得出各线段长，根据勾股定理求得的长，进而加上地下通道的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， 依题意，，，， ∴， 在中，， ∴最短路线长为：（米）， 答：居民经过该地下通道去工厂上班的最短路程为米． 【变式34-2】（25-26八年级下·北京·期中）先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：求代数式的最小值______； (3)解决问题：已知正数满足，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，连接，容易证明四边形是矩形，则，，由勾股定理可得．根据题意，，，由线段公理可得，，因此当、、三点共线时，取得最小值； （2）类比（1）的解法，构造，，，，，则．由勾股定理可得，，，，由可得，的最小值为； （3）构造，，，，，由勾股定理可得，，，根据题意可得，由可判断，利用面积法计算出． 【详解】（1）解：如图2，过点作的垂线，交的延长线于点，连接， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 根据题意，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （2）解：如图3，设，，，，， 同理（1）可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （3）解：如图，中，，，，， 由勾股定理可得，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式34-3】（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图 15；二； (2)， (3) 【分析】（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （3）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）解：展开后，半圆长为， 此时最短路程是厘米， ∵ 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， （2）解：， ∵， ∴表格中b表示的大小关系是； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 【题型35 勾股定理的逆定理证明直角三角形】 【例35】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题提出】 (1)如图1，在中，，，点、在边上（点在点的左侧），连接、，．过点作，且，连接、． ①试说明：； ②试说明：； 【拓展应用】 (2)如图2，校园中心有一个形如等腰的花圃，其中，，观景石在花圃的内部，测得，现在为了安装喷水装置，以点为起点向外作延伸管道，满足，，工人现需要根据、、三段小路的长度，规划水管的铺设长度，请你帮助工人探究线段、、之间的数量关系．（观景石的大小以及小路、管道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)①∵在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴； ②∵，， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，则； (2) 【分析】（1）①先根据勾股定理的逆定理得到，进而证明，然后利用“”证明三角形全等即可； ②先证明得到，再根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质证明，，然后利用勾股定理可得结论； （2）先证明得到，再根据等腰直角三角形的性质得到，，进而可得，然后利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）①略； ②略； （2）解：∵，， ∴，又，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则． 【变式35-1】（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，以为边在的同侧作，已知，，，，求阴影部分的面积． 【答案】26 【分析】利用勾股定理及其逆定理，结合直角三角形的面积，运用分割法求解即可； 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 在中，， ， ， ， ． 【变式35-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础考察】如图1，若点为的中点，，，，则是___________三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”） (2)【能力巩固】如图2，连接，若平分，，，，求的长： (3)【素养提升】如图3，点在线段上运动，始终保持，是的垂直平分线，交于点．若，，，求线段的长． 【答案】(1)直角 (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是能够灵活应用相关知识点． （1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）先根据角平分线的性质得，再设，最后利用勾股定理列方程求解即可； （3）先求得，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：点为的中点，，，， ． ， 是直角三角形． 故答案为：直角． （2）解： 平分，，， ． ， ． 设，则， 在中，， ， 解得，， 即． 答：的长为． （3）解：如图， 连接， ， ． 是的垂直平分线， ， ． ， ， ． 设，则， ， ， ，． 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ， 解得，， 即． 答：线段的长为． 【变式35-3】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【答案】(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． (2)48 (3) 【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即可求解； （2）设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，，可得，，，即可求解； （3）延长交于点，证明，可得，可得，在中，，，，可得，再证明，可得，，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． （3）解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 【题型36 含参不等式（组）求参数范围】 【例36】（25-26七年级下·河北沧州·期末）如果不等式组的整数解仅为2，3，4，那么适合这个不等式组的整数，各是哪些数？ 【答案】的整数值为，，，，；的整数值为，，，，，． 【分析】先解不等式组得出，根据整数解仅为2，3，4，得出，，进而求得整数解，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，； 不等式组的解集为：， 其整数解仅为2，3，4， ， ， 的整数值为，，，，； ， ， 的整数值为，，，，，． 【变式36-1】（25-26七年级下·江西上饶·期末）已知不等式组． (1)若该不等式组的解集为，求实数的值； (2)若该不等式组无解，求实数的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集即可求出a的值； （2）根据（1）所求结合不等式组无解列出关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得． ∵不等式组的解集是， ， 解得． （2）解：∵不等式组无解， ， 解得． 【变式36-2】（25-26八年级下·江西九江·期中）已知关于，的方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将关于，的方程组中两个方程相加得到，再由题意列出关于的不等式求解即可； （2）先解不等式组中不含参数的不等式解集，再由不等式组解集情况求解含参数的不等式，最后结合（1）中的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①②得， 则， ， ，解得； （2）解：， 解②得， 不等式组的解集为， 对于不等式①解集，只有当时，才有， 则， 取正整数， 或， 由（1）知，则． 【变式36-3】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】 (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______________．（填序号）． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 【答案】(1)③ (2) 【分析】（1）解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，解各方程求得对应的解，然后根据定义进行判断即可； （2）解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，然后求得其整数解，将其代入中解得m的值即可． 【详解】（1）解：， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ①， 解得：， ∵，故①不符合题意； ②， 解得：， ∵，故②不符合题意； ③， 解得：， ∵，故③符合题意； 综上所述，不等式组的关联方程是③， 故答案为：③； （2） 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∴其整数解为， ∵不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是， ∴， 解得：， ∴常数的值为． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，解一元一次不等式组，正确理解关联方程的定义是解题的关键． 【题型37 不等式（组）整数解综合】 【例37】（25-26七年级下·安徽淮北·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）先求出，再结合得出关于的一元一次不等式，求解即可； （2）不等式可变形为，再根据不等式的性质可得，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：不等式可变形为． 的解集为， ∴， ∴， 由（1）有， ∴， ∴整数的值为，，． 【变式37-1】（2026·河北张家口·三模）已知关于的不等式． (1)求这个不等式的正整数解； (2)将关于的不等式与构成一个不等式组，已知它只有个整数解，求这三个整数解，并直接写出的取值范围． 【答案】(1)1 (2)三个整数解，0，1， 【分析】（1）解不等式得到，即可得到答案； （2）解不等式组得，得，根据不等式组只有3个整数解，即可得到答案． 【详解】（1）解：解不等式， ， ， 这个不等式的正整数解为1； （2）解：解不等式组， 得， 不等式组只有3个整数解， 这三个整数解为，0，1， 此时a的取值范围为． 【变式37-2】（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知关于的不等式组 (1)当时，求这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来； (2)如果不等式组只有3个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)， 在数轴上表示如下： (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，能求出关于a的不等式或不等式组的解集是解题的关键． （1）先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，根据不等式组只有3个整数解得出，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 当时， 解不等式，得， ∴不等式组的解集是； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组只有3个整数解， ∴该不等式组的3个整数解为2,1,0 ∴， 即． 【变式37-3】（25-26七年级下·北京·期末）定义：我们把关于x的不等式叫做关于x的不等式的“动k不等式”．类似的，也叫做的“动k不等式” (1)不等式的“动不等式”的解集是 ； (2)若不等式的“动k不等式”的解都是不等式的解，求k的取值范围； (3)当时，对于不等式与，若它们的“动k不等式”解集的公共部分中恰有7个整数解，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干给出的“动不等式”写出对应不等式，再利用一元一次不等式的求解方法计算； （2）由定义写出的“动不等式”为，解得．不等式的解为．若前者的解都是后者的解，则，解得． （3）由定义写出两个“动不等式”分别为和．得解集分别为和，则这7个整数，由此列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据“动不等式”的定义， 不等式的“动不等式”为，解得． （2）解：根据定义，的“动不等式”为， 解得， 不等式的解为， 不等式的“动k不等式”的解都是不等式的解， ，解得， k的取值范围为． （3）解：对于不等式与， 它们的“动不等式”分别为， ， 它们的解集分别为， 它们解集的公共部分中恰有7个整数解，即范围内恰有7个整数解， 和的中点为， 则这7个整数解分别为， ，解得， 综上，k的取值范围是． 【题型38 一元一次不等式（组）方案问题】 【例38】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 第13届亚洲体操锦标赛和第19届亚洲青年体操锦标赛于2026年6月15日至29日在遵义市奥体中心体育馆举办，赛事组委会于6月1日在北京举行新闻发布会，发布赛事口号、赛徽、吉祥物和奖牌，其中吉祥物是“辣宝”、“茶宝”、“酱宝”． 素材一 购买1个“辣宝”和1个“茶宝”，共需25元． 购买2个“辣宝”和1个“茶宝”，共需35元． 素材二 轩轩计划购买“辣宝”和“茶宝”共10个，总费用不超过120元，且购买“辣宝”的数量不超过“茶宝”数量的4倍． 完成下列任务： (1)任务一：结合素材一，请求出“辣宝”“茶宝”的单价； (2)任务二：结合素材一和素材二，请帮轩轩求出有几种购买方案． 【答案】(1)“辣宝”单价10元，“茶宝”单价15元 (2)一共有3种购买方案 【分析】（1）设“辣宝”单价为元，“茶宝”单价为元，依题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购买“辣宝”个，则购买“茶宝”个，依题意列出一元一次不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：设“辣宝”单价为元，“茶宝”单价为元，依题意，得 ， 解得， 答：“辣宝”单价10元，“茶宝”单价15元． （2）解：设购买“辣宝”个，则购买“茶宝”个，依题意，得 ， 解得 ． 为整数，． 方案1：购买辣宝6个，茶宝4个； 方案2：购买辣宝7个，茶宝3个； 方案3：购买辣宝8个，茶宝2个． 答：一共有3种购买方案． 【变式38-1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）随着人工智能的迅猛发展，某艺术公司计划投入一笔资金购进甲、乙两种跳舞机器人给明星伴舞，已知购进2个甲种机器人和1个乙种机器人共需3.5万元；购进1个甲种机器人和3个乙种机器人共需3万元． (1)求购进1个甲种机器人和1个乙种机器人各需多少万元？ (2)若该公司购进甲、乙两种机器人共10个，其中甲种机器人的数量不少于乙种机器人数量的2倍，且投入资金不超过14万元，则有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 【答案】(1)购进1个甲种机器人需要1.5万元，1个乙种机器人需要0.5万元 (2)共有3种购买方案：方案一甲种机器人7个，乙种机器人3个；方案二：甲种机器人8个，乙种机器人2个；方案三：甲种机器人9个，乙种机器人1个；方案一花费最少 【分析】（1）设购进1个甲种机器人需要x万元，1个乙种机器人需要y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进甲种机器人m个，根据题意，列出不等式组进行求解即可. 【详解】（1）解：设购进1个甲种机器人需要x万元，1个乙种机器人需要y万元， 由题意，得，解得 答：购进1个甲种机器人需要1.5万元，1个乙种机器人需要0.5万元； （2）解：设购进甲种机器人m个，则购进乙种机器人个， 由题意，得， 解得， 又为正整数， ∴m可以取7，8，9． ∴共有3种购买方案． 方案一甲种机器人7个，乙种机器人3个，总费用为（万元）； 方案二：甲种机器人8个，乙种机器人2个，总费用为（万元）； 方案三：甲种机器人9个，乙种机器人1个，总费用为（万元）； 故方案一花费最少． 【变式38-2】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将，两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少元，且出售件品种仙桃礼盒和件品种仙桃礼盒的总价共元． 素材2 已知加工，两种仙桃礼盒每件的成本分别为元、元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出，两种仙桃礼盒共盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的倍，总成本不超过元． 问题解决 (1)任务1：确定商品价格 求A，B两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； (2)任务2：设计销售方案 求所有的销售方案； (3)任务3：求出最大收益及最大收益的销售方案． 【答案】(1)种仙桃礼盒每件的售价为元，种仙桃礼盒每件的售价为元． (2)方案1：销售种仙桃礼盒件，种仙桃礼盒件； 方案2：销售种仙桃礼盒件，种仙桃礼盒件； 方案3：销售种仙桃礼盒件，种仙桃礼盒件． (3)销售种仙桃礼盒件，种仙桃礼盒件时，收益最大，最大收益为元． 【分析】（1）设种仙桃礼盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元，根据题意列出方程组即可． （2）设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒，根据题意列出不等式组即可． （3）分别计算各方案的收益进行对比即可． 【详解】（1）解：设种仙桃礼盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：种仙桃礼盒每件的售价为元，种仙桃礼盒每件的售价为元． （2）解：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒， 根据题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴可以为，，， ∴共有3种销售方案， 方案1：销售种仙桃礼盒件，种仙桃礼盒件． 方案2：销售种仙桃礼盒件，种仙桃礼盒件． 方案3：销售种仙桃礼盒件，种仙桃礼盒件． （3）解：选择方案1可获得的收益为（元）； 选择方案2可获得的收益为（元）； 选择方案3可获得的收益为（元）， ∵， ∴销售种仙桃礼盒件，种仙桃礼盒件时，收益最大，最大收益为元． 【变式38-3】（25-26七年级下·山西临汾·期中）综合与探究 问题背景 为庆祝“五一”国际劳动节，临汾某学校计划组织七年级师生开展“走进陶寺遗址，探寻文明根脉”的研学实践活动．陶寺遗址位于山西省临汾市襄汾县，是中华文明起源的重要见证．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用甲、乙两种型号的客车用于接送师生，已知该客运公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示．在这20辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 日租金（元辆） (1)求该旅游客运公司甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ 问题解决 (2)该学校计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过元． 至少要租用多少辆甲型客车？ 若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】(1)甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆； (2) 辆； 共有种租车方案， 方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车； 方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车； 方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车， 最省钱的租车方案为方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 【分析】（）设甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆，根据题意得，然后解方程组即可； （）设租用甲型号的客车辆，则租用乙型号的客车辆，由题意得，，然后解不等式即可； 由题意得，解得，所以，再结合为整数，则有或或，再分别计算三种方案的租车费用并比较即可． 【详解】（1）解：设甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆， 根据题意得， 解得， 答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆； （2）解：设租用甲型号的客车辆，则租用乙型号的客车辆， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为， ∴至少要租用辆甲型客车； 由题意得，， 解得， 由得， ∴， ∵为整数， ∴或或， ∴共有种租车方案， 方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车； 方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车； 方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车， 方案的租车费用：（元）； 方案的租车费用：（元）； 方案的租车费用：（元）； ∵， ∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 【题型39 不等式（组）利润最值应用】 【例39】（25-26八年级上·重庆·期中）重庆豌杂面以其劲道的面条、软糯的豌豆和香浓的杂酱，成为重庆小吃中极具代表性的美食．某超市计划试销两种包装规格的预包装重庆豌杂面（简装版、精装版），已知精装版豌杂面每箱售价比简装版贵45元，购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元． (1)求精装版和简装版豌杂面每箱的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每箱进价为165元，简装版豌杂面每箱进价为135元，超市计划购进两种包装共28箱，且进货总资金不超过4020元，同时要求试销总利润不低于790元． ①求超市可行的进货方案有哪些？ ②哪种进货方案能让超市获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)精装版豌杂面每箱的售价是205元，简装版豌杂面每箱的售价是160元 (2)①超市共有3种进货方案， 方案1：购进6箱精装版豌杂面，22箱简装版豌杂面； 方案2：购进7箱精装版豌杂面，21箱简装版豌杂面； 方案3：购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面． ②当购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面时，超市获得最大利润，最大利润是820元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元，利用总价＝单价×数量，结合购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即精装版豌杂面每箱的售价），再将其代入中，即可求出简装版豌杂面每箱的售价； （2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面，根据“进货总资金不超过4020元，且试销总利润不低于790元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案； ②求出选择各方案超市可获得的总利润，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元， 根据题意得：，解得， 则． 答：精装版豌杂面每箱的售价是205元，简装版豌杂面每箱的售价是160元． （2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面， 根据题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以为6，7，8． ∴超市共有3种进货方案． 方案1：购进6箱精装版豌杂面，22箱简装版豌杂面； 方案2：购进7箱精装版豌杂面，21箱简装版豌杂面； 方案3：购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面． ②选择方案1获得的总利润为：（元）； 选择方案2获得的总利润为：（元）； 选择方案3获得的总利润为（元）； ， ∴当购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面时，超市获得最大利润，最大利润是820元． 【变式39-1】（25-26七年级下·广西玉林·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已被越来越多的家庭所喜爱．某汽车S店计划购进甲、乙两种型号的新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆甲型号新能源汽车、2辆乙型号新能源汽车共需105万元；购进2辆甲型号新能源汽车、4辆乙型号新能源汽车共需110万元． (1)问甲、乙两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车S店计划用不少于170万元，且不超过180万元的费用，购进甲、乙两种型号的新能源汽车共10辆，问有哪几种购车方案？从节约成本的角度考虑应选择哪种购车方案？ (3)据悉，销售1辆甲型号新能源汽车可获利万元，销售1辆乙型号新能源汽车可获利万元，若该S店正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），假设这些新能源汽车全部售出，如何购进才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲型号新能源汽车每辆进价为25万元，乙型号新能源汽车每辆进价为15万元； (2)共有2种购车方案，方案1：购进甲型号新能源汽车2辆，乙型号新能源汽车8辆；方案2：购进甲型号新能源汽车3辆，乙型号新能源汽车7辆； 从节约成本的角度考虑应选择购车方案1：购进甲型号新能源汽车2辆，乙型号新能源汽车8辆； (3)当购进甲型号新能源汽车2辆，乙型号新能源汽车10辆时，才能获得最大利润，最大利润是万元． 【分析】（1）设甲型号新能源汽车每辆进价为x万元，乙型号新能源汽车每辆进价为y万元，根据题意得：，求解即可； （2）设购进甲型号新能源汽车a辆，则购进乙型号新能源汽车辆， 根据题意得：，求解即可； （3）设购进甲型号新能源汽车m辆，乙型号新能源汽车n辆，根据题意得：，故，根据m，n均为正整数，求解即可； 【详解】（1）解：设甲型号新能源汽车每辆进价为x万元，乙型号新能源汽车每辆进价为y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲型号新能源汽车每辆进价为25万元，乙型号新能源汽车每辆进价为15万元； （2）解：设购进甲型号新能源汽车a辆，则购进乙型号新能源汽车辆， 根据题意得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴a可以为2或3， ∴共有两种购车方案， 方案1：购进甲型号新能源汽车2辆，乙型号新能源汽车8辆； 方案2：购进甲型号新能源汽车3辆，乙型号新能源汽车7辆， 选择方案1所需费用为（万元）； 选择方案2所需费用为（万元）． ∵， ∴从节约成本的角度考虑应选择购车方案1即购进甲型号新能源汽车2辆，乙型号新能源汽车8辆； （3）解：设购进甲型号新能源汽车m辆，乙型号新能源汽车n辆， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有两种购车方案， 方案1：购进甲型号新能源汽车5辆，乙型号新能源汽车5辆，所获利润为（万元）； 方案2：购进甲型号新能源汽车2辆，乙型号新能源汽车10辆，所获利润为（万元）， ∵， ∴采用购车方案2获利最大． 答：当购进甲型号新能源汽车2辆，乙型号新能源汽车10辆时，才能获得最大利润，最大利润是万元． 【变式39-2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售成人、儿童两种头盔，该商店第一季度的销售记录(有部分缺损)如表所示． 请解答下列问题： 日期 产品类别 销售量（单位：个） 销售额（单位：元） 1月 成人头盔 60 7400 儿童头盔 55 2月 成人头盔 48 7520 儿童头盔 64 3月 成人头盔 7200 儿童头盔 (1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为多少元？ (2)已知成人头盔的利润是10元/个，儿童头盔的利润是20元/个；并且该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，则该商店3月份有多少种销售方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种销售方案会使商店3月份利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为50元，80元， (2)8种 (3)该商店3月份销售儿童头盔60个，成人头盔48个时，利润最大，最大利润为元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为x元，y元，根据前两个月的销售数据列出方程组求解即可； （2）设该商店3月份销售儿童头盔m个，则销售成人头盔个，根据该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，列出不等式组求解即可； （3）由（2）可知，8种方案中，儿童头盔每增加5个，成人头盔就减小8个，则利润增加元，儿童头盔最多时，利润最多，据此列式计算即可． 【详解】（1）解：设该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为50元，80元； （2）解；设该商店3月份销售儿童头盔m个，则销售成人头盔个， ∵该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元， ∴ 解得， ∵是非负整数， ∴m必须是5的倍数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 答：该商店3月份有8种销售方案； （3）解：由（2）可知，8种方案中，儿童头盔每增加5个，成人头盔就减小8个，则利润增加元， ∴儿童头盔最多时，利润最多， ∴该商店3月份销售儿童头盔60个，成人头盔48个时，利润最大，最大利润为元． 【变式39-3】（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）某商场销售、两种商品，售出件种商品与售出件种商品所得利润共元，件商品的利润比件商品的利润的倍少元． (1)求每件种商品和每件种商品售出后所得利润分别是多少元； (2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，商场决定再一次购进、两种商品共件．如果将这件商品全部售完后所得利润不低于元，且A种商品至多购进件，求商场有哪几种购进方案； (3)在（2）的条件下，若每件种商品售价元，每件种商品售价元，用（2）中获得的最大利润全部用于再购进、两种商品，直接写出再次购进、两种商品总数最多的方案． 【答案】(1)每件A种商品售出后所得利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元 (2)商场有三种购进方案：方案一：购进A种商品6件，B种商品28件；方案二：购进A种商品7件，B种商品27件；方案三：购进A种商品8件，B种商品26件 (3)再次购进A、B两种商品总数最多的方案为购进A种商品0件，B种商品35件 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及最大利润下的购买方案． （1）设每件种商品利润为元，每件种商品利润为元，列方程组求解； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，根据利润要求和不等式条件确定购进方案； （3）利用最大利润计算再购进方案，通过比较进价最大化购买件数． 【详解】（1）设每件种商品利润为元，每件种商品利润为元． 根据题意，得 解得． 答：每件种商品利润为元，每件种商品利润为元． （2）设购进种商品件，则购进种商品件． 总利润为， 根据利润不低于元，得， 解得． ∵种商品至多购进件，故， ∴ ， ∵为整数， ∴当时，种商品件；当时，种商品件；当时，种商品件． 答：商场有三种购进方案： 方案一：购进种商品件，种商品件； 方案二：购进种商品件，种商品件； 方案三：购进种商品件，种商品件． （3）由（2）知，最大利润对应，利润为元． 每件种商品售价元，利润元，故进价为元； 每件种商品售价元，利润元，故进价为元． 设用元再购进种商品件，种商品件， 根据题意得， 化简得． 总件数，为了使最大化，应尽可能多购进进价低的种商品． 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，； ∴随增大而减小，故最大为，此时，． ∴ 再次购进、两种商品总数最多的方案为购进种商品件，种商品件． 【题型40 不等式（组）分配类应用】 【例40】（2025·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少， 理由：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）略 【变式40-1】（25-26七年级下·江苏南京·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动．他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶．（食物的营养成分见表一）学校每天为学生提供的午餐有两种套餐（见表二），为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每位学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过．（一周按五天计算） 表一：食物的营养成分表 食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪 蔬菜 牛肉 牛奶 表二：学校每天提供的，两种套餐 套餐 主食 肉类 其他 A B (1)若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为_________； (2)学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶各多少克； (3)为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择A，B套餐各几天？ 【答案】(1) (2)每份早餐中牛肉为，牛奶为 (3)共有三种选择方案：选择A套餐2天，B套餐3天；或A套餐3天，B套餐2天；或A套餐4天，B套餐1天 【分析】（1）分别用蔬菜、牛肉、牛奶的质量乘以对应的蛋白质含量占比，再相加即可求解； （2）设每份早餐中牛肉为克，牛奶为克，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （3）设每个学生每周午餐可以选择A套餐天，则选择B套餐天，根据题意列出不等式组，求出的范围，结合是整数，即可解答． 【详解】（1）解：， ∴该份早餐中蛋白质总含量为； （2）解：设每份早餐中牛肉为克，牛奶为克， 由题意得，， 解得：， 答：每份早餐中牛肉为，牛奶为； （3）解：设每个学生每周午餐可以选择A套餐天，则选择B套餐天， 由题意得，， 解得：， ∵是整数， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴每个学生每周午餐可以选择A套餐2天，B套餐3天，或选择A套餐3天，B套餐2天，或选择A套餐4天，B套餐1天． 【变式40-2】（25-26七年级下·四川乐山·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 【答案】(1)解：3；4 (2)解：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； (3)解：最多可以制作横式纸盒20个． 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可； （1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可； （3）设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个，根据题意列不等式组，求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型， 故答案为：3，4； （2）解：设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得， ，解得， 答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； （3）解：设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个， ∴， 由①得， 代入③得：， ∴， ∴（）， 由， 则， 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵t是整数， 解得t的最大值为20， 在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒20个． 【变式40-3】（2026·安徽淮南·一模）综合与实践  月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 【答案】(1)14；72； (2) 解：小明的说法是正确的，理由如下： 设领货单中包装“长长久久”系列月饼盒，则“八方来福”系列的月饼盒， 由题意得：， 解得，这与领货单上的月饼50盒矛盾， 所以小明的说法是正确的． (3)有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼 【分析】（1）根据两种系列中，大月饼与小月饼的个数列式计算即可； （2）根据共计领取月饼453个建立一元一次方程，解方程即可； （3）根据礼盒数量不少于80盒建立一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵若“长长久久”系列的月饼有盒，需要从制作车间领取大月饼个， ∴“八方来福”系列的月饼的盒数为（盒）， ∴需要从制作车间领取小月饼的个数为（个）． （2）略 （3）解：设安排名月饼制作师制作大月饼，则安排名月饼制作师制作小月饼， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的取值为4或5， 当时，； 当时，； 综上，有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼． 【题型41 结合方程的不等式（组）综合】 【例41】（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解是二元一次方程的一组解，求m的值； (2)若此方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用含的代数式表示出方程组的解，然后将其代入二元一次方程并求解，即可获得答案； （2）将原方程组的解代入不等式并求解即可． 【详解】（1）解：， 由，得，解得， 将代入②，得， 即方程组的解为， 将代入，可得， 解得； （2）解：由（1）可知关于x、y的方程组的解为， 将其代入，得， 解得． 【变式41-1】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）已知关于x的方程的解大于，求a的负整数解． 【答案】a的负整数解为 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法及一元一次不等式组的解法，先求出关于x的方程的解，然后根据题意可列不等式组进行求解． 【详解】解：由，得到， 根据题意得：， 解得：． 所以a的负整数解为． 【变式41-2】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）已知关于、的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足方程，求的值； (2)若方程组的解满足条件，且，求有理数的取值范围； (3)在（2）的条件下，当为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据加减消元法求出，代入计算即可； （2）同（1）得到，根据“，且”列不等式组求解即可； （3）根据不等式的性质可知，得到，结合（2）求出的取值范围，即可得到的值． 【详解】（1）解： ， 解得 ， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：同（1）得到， ，且， ， 解得：， 即； （3）解：将不等式整理得， 不等式解集为，不等号方向改变， ， 解得， ∵， ∴， ∵为整数， ∴． 【变式41-3】（25-26七年级下·山东临沂·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“琅琊解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“琅琊解”． (1)是方程和下列不等式_______的“琅琊解”；（填序号） ①；②；③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“琅琊解”，求的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“琅琊解”，且不等式组的正整数解有4个，试求的取值范围． 【答案】(1)③ (2)，10 (3) 【分析】（1）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （2）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，进一步计算即可求解， （3）求出方程的解为，不等式组的解集为，再根据整数解的个数，列不等式求解． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； （2）解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“琅琊解”， 是不等式组的解， 把代入不等式组得， 解得，   ，， ； （3）解：由方程得， 解不等式组得， ∵不等式组的正整数解有4个， ∴不等式组的正整数解为1、2、3、4， ， ，   又∵关于的方程和关于的不等式组有“琅琊解”， ， ， 综上：的取值范围为． 【题型42 分段计费不等式（组）应用】 【例42】（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 【变式42-1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）随着电子商务的蓬勃发展，物流行业竞争日益激烈．某市有两家物流公司A和B，为了吸引客户，各自推出了不同的运费方案．物流A公司采用“基础运费超程单价”的收费模式，而物流B公司则推出“分段优惠”政策．以下是两家公司的具体收费标准和两次运输记录： 物流A公司的收费标准：基础运费覆盖公里，超出300公里的部分按每公里单价收费． 运输记录如下：运输货物甲：货物从厦门运往宁德，距离340公里，总运费900元 运输货物乙：货物从厦门运往汕尾，距离420公里，总运费1140元 物流B公司的收费标准：公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收元． 问题： (1)根据物流A公司的两次运输记录，求该物流A公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费），请列方程（组）解答． (2)某客户需要运送一批货物，运输距离为公里．请根据两家公司的收费标准，分析该客户选择哪家物流公司更合算，并给出具体的决策依据． 【答案】(1)该物流A公司的基础运费为780元，超程单价为1140元 (2)当或时，该客户选择物流A公司更合算；当或时，该客户选择两个物流公司一样合算；当或时，该客户选择物流B公司更合算． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组，方程和不等式是解题的关键． （1）设该物流A公司的基础运费为x元，超程单价为y元，根据货物从厦门运往宁德，距离340公里，总运费900元；运输货物乙：货物从厦门运往汕尾，距离420公里，总运费1140元建立方程组求解即可； （2）分，，三种情况，分别表示对应情形下两个物流公司的费用，然后建立不等式和方程求解即可． 【详解】（1）解：设该物流A公司的基础运费为x元，超程单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：该物流A公司的基础运费为780元，超程单价为3元； （2）解：当时，物流A公司的费用为780元，物流B公司的费用为1200元， ∵， ∴该客户选择物流A公司更合算； 当时，物流A公司的费用为元，物流B公司的费用为1200元， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴当时，该客户选择物流A公司更合算；当时，该客户选择两个物流公司一样合算；当时，该客户选择物流B公司更合算； 当时，物流A公司的费用为元，物流B公司的费用为元， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴当时，该客户选择物流A公司更合算；当时；该客户选择两个物流公司一样合算；当时，该客户选择物流B公司更合算； 综上所述，当或时，该客户选择物流A公司更合算；当或时，该客户选择两个物流公司一样合算；当或时，该客户选择物流B公司更合算． 【变式42-2】（2026八年级上·全国·专题练习）2011年4月 25日，全国人大常委会公布《中华人民共和国个人所得税法修正案（草案）》，向社会公开征集意见.草案规定，公民全月工薪不超过3000元的部分不必纳税，超过3000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算. 级数 全月应纳税所得额 税率 1 不超过1500元的部分 2 超过1500元至4500元的部分 3 超过4500元至9000元的部分 …… …… …… 依据草案规定，解答下列问题： (1)李工程师的月工薪为8000元，则他每月应当纳税多少元？ (2)若某纳税人的月工薪不超过10000元，他每月的纳税金额能超过月工薪的吗? 若能，请给出该纳税人的月工薪范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1)他每月应当纳税475元 (2)若该纳税人月工薪大于9375元且不超过10000元时，他的纳税金额能超过月工薪的 【分析】（1）按照图表计算即可得应纳多少税． （2）设该纳税人的月工薪为元，分，，三种情况讨论得出该纳税人的月工薪范围． 【详解】（1）解：李工程师每月纳税：（元， 答：他每月应当纳税475元； （2）解：设该纳税人的月工薪为元，则 当时，显然纳税金额达不到月工薪的， 当时，由， 得，不满足条件； 当时，由， 解得，故， 答：若该纳税人月工薪大于9375元且不超过10000元时，他的纳税金额能超过月工薪的． 【变式42-3】（2025·河南濮阳·二模）某物流公司规定：基础运费覆盖0-300公里，超出300公里的部分按每公里单价收费．已知两次运输记录如下： 运输货物甲：货物从南阳运往洛阳，距离320公里，总运费840元 运输货物乙：货物从郑州运往济南，距离460公里，总运费1260元 (1)求该物流公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费）； (2)某物流B公司报价如下： 为吸引长途客户，推出分段优惠：公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收2.5元． ①分别写出两家公司总运费（元）和（元）关于运输距离（公里）的函数表达式； ②一客户运送货物的距离（公里），该客户选择哪家物流公司更合算?请直接写出你的结论． 【答案】(1)该物流公司的基础运费为780元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为3元 (2)①；②选择公司合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列函数表达式，解一元一次不等式的应用等知识，根据数量关系列出方程组与函数表达式是解题的关键； （1）设该物流公司的基础运费为元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为元，根据两次运输记录中的等量关系列出二元一次方程组，求解即可； （2）①求出A公司在时，的表达式；求出B公司在及时的表达式即可； ②分别当时；当时；当时，进行考虑即可． 【详解】（1）解：设该物流公司的基础运费为元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为元． 由题意得：． 化简得：， 解得：； 答：该物流公司的基础运费为780元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为3元． （2）解：①由题意得： A公司：当时，， ； B公司：当时，， 当时，， ； ； ②若，即， 故当时，，故选择A公司合算； 当时，，故选择A、B公司一样合算； 当时，，故选择B公司合算． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中复习压轴42类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第1章 三角形~第3章 一元一次不等式） 【新教材浙教版】 题型归纳 【选填压轴】 2 【题型1 三角形三边关系求参数取值范围】 2 【题型2 与三角形高有关的分类求角度】 2 【题型3 内外角平分线组合模型角度计算】 3 【题型4 三角形中线分割面积比例求值】 4 【题型5 三角形折叠求角度与线段长度】 5 【题型6 全等三角形动点多情况分类讨论】 6 【题型7 角平分线性质求线段长、求面积】 7 【题型8 垂直平分线求三角形周长】 8 【题型9 等腰三角形边角多解分类问题】 9 【题型10 勾股定理折叠求线段长度】 10 【题型11 勾股定理动点最短路径求值】 11 【题型12 勾股定理的逆定理判断直角三角形】 12 【题型13 不等式性质判断正误】 13 【题型14 不等式（组）整数解求参数范围】 13 【题型15 不等式组有无解求参数】 14 【题型16 求不等式（组）最大最小整数解】 14 【题型17 数轴解集结合不等式（组）反求参数】 15 【题型18 利用不等式的性质比较代数式大小】 15 【题型19 不等式（组）方案最值】 16 【题型20 新定义运算结合不等式（组）】 17 【解答压轴】 18 【题型21 三角形内角、外角角度探究题】 18 【题型22 动点产生三角形角度变化探究】 21 【题型23 中线分割三角形面积综合问题】 23 【题型24 全等三角形证明与线段等量推导】 25 【题型25 角平分线性质与全等综合证明】 27 【题型26 截长补短证明线段和差关系】 30 【题型27 等边三角形手拉手模型证明】 32 【题型28 垂直平分线与等腰三角形综合】 33 【题型29 与等腰三角形有关的动点问题】 35 【题型30 格点图中画等腰三角形】 37 【题型31 轴对称折叠构造全等边角探究】 38 【题型32 多步连环全等推理证明】 40 【题型33 勾股定理折叠综合探究题】 42 【题型34 立体图形最短路径求解】 44 【题型35 勾股定理的逆定理证明直角三角形】 46 【题型36 含参不等式（组）求参数范围】 48 【题型37 不等式（组）整数解综合】 48 【题型38 一元一次不等式（组）方案问题】 49 【题型39 不等式（组）利润最值应用】 51 【题型40 不等式（组）分配类应用】 53 【题型41 结合方程的不等式（组）综合】 56 【题型42 分段计费不等式（组）应用】 56 【选填压轴】 【题型1 三角形三边关系求参数取值范围】 【例1】（26-27八年级上·甘肃·期中）在中，中线将的周长分为和，则三角形底边长___． 【变式1-1】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为___________． 【变式1-3】（25-26七年级下·四川·期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【题型2 与三角形高有关的分类求角度】 【例2】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，为边的高，的面积为，则的长为______． 【变式2-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 【变式2-2】（25-26七年级下·上海·阶段检测）中，与这两条边上的高所在直线的夹角为50度，那么___________度． 【变式2-3】（24-25七年级上·山东淄博·期中）在钝角中，是边上的高，是边上的高，这两条高所在的直线相交于点O，若，，，则的长为________． 【题型3 内外角平分线组合模型角度计算】 【例3】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【变式3-2】（26-27八年级上·山东德州·阶段检测）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则_______． 【变式3-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则________． 【题型4 三角形中线分割面积比例求值】 【例4】（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，为的中线，点在的延长线上，连接，且，过点作于点，连接，若，，则的长为_____． 【变式4-1】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，的两条中线，交于点F，若四边形的面积为18，则的面积是（   ） A．54 B．51 C．42 D．41 【变式4-2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【变式4-3】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的面积为，D、E分别是，上的点，且，，连接，交于点F，连接并延长交于点H，则四边形的面积为_______________． 【题型5 三角形折叠求角度与线段长度】 【例5】（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿翻折，使点落在点处，当时，的度数为______． 【变式5-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点在边上，将沿翻折得到，使点落在边上的点，延长，于，平分，若，则的度数为________． 【变式5-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，．  将 边沿翻折，点B落在点处，连接交于点D．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知为等腰三角形，，，将沿翻折至，E为的中点，F为的中点，线段交于点G，若（），则＝（　　） A．m B． C． D． 【题型6 全等三角形动点多情况分类讨论】 【例6】（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 【变式6-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时点从点出发以的速度沿射线匀速运动，点到点时，，两点同时停止运动．若存在某一时刻，与全等，则的值为_______． 【变式6-2】（25-26八年级上·广东云浮·期末）如图，在中, 为边上的高．点E从点B出发，在直线上以2的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F．当点E运动__________s时,． 【变式6-3】（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为． （1）当点在上时，______（用含t的代数式表示）． （2）当______时，与全等． 【题型7 角平分线性质求线段长、求面积】 【例7】（26-27八年级上·江西·阶段检测）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．若，，，则的长为________． 【变式7-1】（26-27八年级上·湖北·期中）如图，中，，，，为上的一动点，把沿翻折得到，连接，当取最小值时，的面积是_______． 【变式7-2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积用含和的代数式表示为________． 【变式7-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 【题型8 垂直平分线求三角形周长】 【例8】（25-26七年级下·重庆綦江·期末）如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 【变式8-1】（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图在中，，垂直平分，分别交于．为线段上一动点，为边上一动点，则的周长最小值为___________． 【变式8-2】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式8-3】（25-26八年级上·云南曲靖·期末）如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（    ） A．19 B．28 C．29 D．38 【题型9 等腰三角形边角多解分类问题】 【例9】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，则该等腰三角形的底边长为_______． 【变式9-1】（26-27七年级上·山东东营·阶段检测）一个等腰三角形的一边长为，周长为，则其他两边长分别为__________． 【变式9-2】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）等腰三角形的一个角为，则此等腰三角形的顶角的度数为______． 【变式9-3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰中，，，是直线上一点（不与、重合），连接，若是等腰三角形，则______． 【题型10 勾股定理折叠求线段长度】 【例10】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形纸片中，，先将矩形纸片对折，使边与重合，展平后得到折痕；点为边上一点，再将纸片沿折叠，使点落在线段上的点处，则折痕的长等于（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点、分别在、边上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处． （1）__________； （2）当点与点重合时，__________． 【变式10-3】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为__________． 【题型11 勾股定理动点最短路径求值】 【例11】（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）如图1，在中，，则线段的长度可以用表示．受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点，，，设，则的最小值是_____． 【变式11-1】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点处，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是（    ） A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm 【变式11-2】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A．38 B．28 C． D． 【变式11-3】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【题型12 勾股定理的逆定理判断直角三角形】 【例12】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，．若，，，则与之间的距离是______． 【变式12-1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，有下列说法正确结论的个数是（    ） ①，，能组成三角形； ②能组成三角形； ③能组成直角三角形； ④能组成直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式12-2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在的正方形网格中，点均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）如图，点P是等边三角形内的一点，，，，则______． 【题型13 不等式性质判断正误】 【例13】（2026·安徽马鞍山·三模）已知 ，则下列不等式不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26七年级下·黑龙江伊春·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2026·安徽六安·二模）已知实数满足，则下列判断有误的是（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】（2025·河北保定·一模）已知实数满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【题型14 不等式（组）整数解求参数范围】 【例14】（25-26七年级下·天津东丽·期末）如果关于的不等式组仅有四个整数解：，，，，那么满足这个不等式组的整数，组成的有序数对最多共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式14-1】（25-26七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式14-2】（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）已知关于y的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为______． 【变式14-3】（24-25七年级下·山东日照·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和为，且为整数，则的值是_____． 【题型15 不等式组有无解求参数】 【例15】（25-26七年级下·重庆·期末）若关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和等于______． 【变式15-1】（25-26七年级下·湖北黄冈·期末）关于的不等式组，下列四个结论： ①若不等式的解集是，则不等式的解集是； ②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，则的取值范围是； ③若不等式组仅有5个整数解，则； ④若不等式组无解，则；其中正确的结论是__________．（填写序号） 【变式15-2】（25-26八年级下·重庆九龙坡·期中）若关于的不等式组有解且至多有个整数解，且关于的方程的解为整数，则符合条件的整数的个数为（        ） A． B． C． D． 【变式15-3】（25-26八年级上·重庆·期中）如果关于x的方程有整数解，且关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为_______． 【题型16 求不等式（组）最大最小整数解】 【例16】（25-26八年级上·全国·单元复习）关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是____． 【变式16-1】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）不等式的最小整数解是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式16-2】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）不等式最大整数解是的解，则的值是（    ） A． B． C．0 D． 【变式16-3】（25-26七年级下·天津和平·期末）已知关于x的不等式组 ． （1）若，则该不等式组的最大整数解为______________； （2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围是__________． 【题型17 数轴解集结合不等式（组）反求参数】 【例17】已知关于x的不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则的值为______． 【变式17-1】（24-25八年级下·江西上饶·期末）规定新运算：▲，例如：2▲1，若关于的不等式▲的解集在数轴上表示如图所示，则的值为__________． 【变式17-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为__________． 【变式17-3】（25-26八年级下·福建三明·期末）关于x的一元一次不等式组中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，则m的值是_______． 【题型18 利用不等式的性质比较代数式大小】 【例18】（25-26七年级下·北京大兴·期末）两个数比较大小，可以通过它们的差来判断，例如：比较m和n的大小，我们可以这样判断，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．请你根据上述方法判断下列各式． （1）已知，，当时，一定有______（填“”，“”或“”）； （2）已知，，当时，一定有a_____b（填“”，“”或“”）． 【变式18-1】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则_______． 【变式18-2】（2025·浙江丽水·一模）数，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式18-3】（25-26七年级下·北京·期中）比较代数式的值与0的大小，可以根据乘法法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定来判断． 当时， 当时， 当时， 综上：当时， 当或时， 根据以上阅读材料，运用你发现的规律，写出当满足__________时，． 【题型19 不等式（组）方案最值】 【例19】（25-26九年级下·重庆北碚·期中）小李和小张一起承包36亩的土地作为果园基地，他们将36亩土地分成一号、二号、三号区域，三个区域的土地面积均为整数亩，分别用于种植苹果树、桃树、梨树其中的一种（每块区域可任意选择三种果树的一种，同一块区域只能种同一种果树）．小李和小张提出两种种植方案，小李的方案为：在一号区域种苹果、二号区域种桃树、三号区域种梨树；小张的方案为：在一号区域种苹果、在二号区域种梨树、在三号区域种桃树，每种树苗按亩计价，且单价为整数，苹果树苗每亩100元，桃树苗比梨树苗贵，且每亩差价不大于14元，不小于8元，苹果树苗占整个种植树苗的十二分之五，小李方案中，桃树和梨树共花费1590元，小张的方案比小李的方案少花30元．应如何安排三个区域种植树苗的类型，可以使花费最少，最少花费为___________元． 【变式19-1】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元（顾客只能选择一家商场）．若时，到甲或乙商场实际花费一样，，，且，则的最大值为______ ． 【变式19-2】（25-26九年级上·北京·期中）某电池制造商将两种型号的车用电池共打包成6个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，F，每个包裹的重量及包裹中甲乙两种型号的电池的重量如下，制造商准备用一辆载重不超过24.5吨的货车将其中的4个包裹运送到某新能源车工厂． 包裹编号 甲型电池重量/吨 乙型电池重量/吨 A 5 1 B 3 2 C 2 3 D 4 3 E 2 4 F 3 5 （1）如果装运的甲型电池不少于11吨，且不多于13吨，写出一种满足条件的装运方案_____（写出要装运包裹的编号）； （2）如果装运的甲型电池不少于11吨，且不多于13吨，同时装运的乙型电池最多．写出满足条件的装运方案_____（写出要装运包裹的编号）． 【变式19-3】（25-26八年级上·北京延庆·期中）某学校计划租客车接送名学生和名教师去参加社会大课堂活动，每辆车至少有名教师．现有，，三种型号的客车，载客量和租金如下表所示： 型客车 型客车 型客车 载客量（单位：人辆） 租金（单位：元辆） 请你写出一个满足乘坐需求的租车方案______；租车总费用最少需要______元． 【题型20 新定义运算结合不等式（组）】 【例20】（24-25七年级下·北京朝阳·期中）对实数x，y定义运算：，其中a，b是常数．令，，，如果，，那么k的取值范围是________． 【变式20-1】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）定义运算：（，为常数），已知，，若关于的不等式恰有2个负整数解，则的取值范围是________． 【变式20-2】（25-26九年级下·重庆·自主招生）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，已知，，若关于的不等式组恰好有个奇数解，则实数的取值范围是_____． 【变式20-3】（24-25八年级下·河北保定·期中）对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． 若关于x的不等式的最大整数解为，则______． 【解答压轴】 【题型21 三角形内角、外角角度探究题】 【例21】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）综合与探究 【问题情境】 在七年级几何学习中，平行线的判定与性质是核心内容．现有直线，点在直线上，点在直线上，点是直线外一点，连接．请结合图形完成下列探究． 【初步探究】 (1)如图1，若点在直线的下方且在直线的上方，且满足，请判断直线与的位置关系，并写出完整的证明过程． 【深入思考】 (2)如图2，在（1）的条件下，平分交的延长线于点平分，交的反向延长线于点．当时，请求出的度数． 【拓展延伸】 (3)在（1）的条件下，若点在直线的上方且不在直线上，分别连接，平分平分，两条角平分线所在直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 【变式21-1】（25-26七年级下·山西晋城·期末）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们探索三角形中角之间的关系．如图，在中，点E是边AC上一点，． (1)特例分析： 如图1所示，作的平分线分别交，于D，F两点．若，，则，； (2)类比猜想： 奋斗小组在（1）的基础上，改变的大小，经过探究，他们发现与的大小是相等的，请说明理由； (3)拓展探究： 如图2，作的外角的平分线，交的延长线于点D，延长，交于点F，探究（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出结论并说明理由． 【变式21-2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】如图①，已知点D、E分别在的边上，点F在的内部，连接，在的内部形成凸四边形．求证：． 甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵在四边形中， ∴（① ） ∵，， ∴． ∴． 乙同学证明：如图②，连接． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴（② ）． ∴ ∴． (1)补全甲同学证明过程：①； 补全乙同学证明过程：②． 【模型应用】如图③，已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，使点A落在内部位置． (2)若则的度数为；（用含的式子表示） (3)若，求的度数； 【模型拓展】 (4)已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，点A落在位置，连接．当时，直接写出和的数量关系． 【变式21-3】（25-26七年级下·山西太原·期末）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们利用所学的三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题．已知：如图1，中，，，点是线段上的一个动点，点关于直线的对称点为点．射线分别交直线于点，交射线于点，连接交射线于点． (1)特例分析：如图2，当点落在射线上时，请直接写出的度数； (2)拓展探究：如图3，若，判断与的数量关系，并说明理由； (3)当是直角三角形时，请直接写出的度数． 【题型22 动点产生三角形角度变化探究】 【例22】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 【变式22-1】（山西运城市盐湖区2025-2026学年度第一学期期末初二数学练习试卷）综合与实践 在数学社团活动中，小晋将一副含角的直角三角板（） 与两行平行的横格线（直线）结合，探究角度之间的关系． (1)如图1，当三角板的直角顶点C落在线段上，且斜边与直线平行时，求的度数． (2)如图2，在（1）的条件下将三角板绕点C顺时针旋转，使两直角边分别与直线交于点D，E．请猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在图2的基础上，小晋作的平分线，作的平分线．若交于点H，则是否发生变化，若不变求出度数；若变化，请说明理由． 【变式22-2】（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）综合与实践 某数学活动小组在研究角度变化时，利用一副三角板尝试完成探究 (1)将一副三角板按如图1的方式摆放，边与重合，，，，射线分别是，的角平分线，求的度数； (2)如图2，保持不动，将绕点A逆时针转动一定角度得到边在的内部，射线分别是，的角平分线． ①若，求的度数； ②在绕点A逆时针转动的过程中，的度数是否发生变化？若变化，求出的度数；若不变化，请说明理由． 【变式22-3】（25-26七年级下·天津南开·期中）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动． (1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小． (2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ． 【题型23 中线分割三角形面积综合问题】 【例23】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在和中，，，与相交于点，连接． (1)求的度数； (2)当时，求证：； (3)在（2）的条件下，点在直线上运动，当，且时，直接写出的长度． 【变式23-1】（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图1，在中，a、b、c分别是、、的对边，点P从点A出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动．设点Q的运动时间为t秒． (1)若，． ①________，________； ②当时，若，求t的值． (2)如图2，当点P运动到线段上，与交于点D，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【变式23-2】（26-27八年级上·云南临沧·阶段检测）阅读下面材料，回答问题． 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的重心． 三角形的中线有一个重要的性质：三角形的任意一条中线都将三角形分成两个面积相等的三角形． (1)如图，在中，是边上的中线．求证：． (2)利用上述结论，解决下面的问题：如图，在中，D为的中点，E为的中点，连接并延长交于点F．已知，求． 【变式23-3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】 (1)如图1，在中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，的面积记为，四边形的面积记为，则与之间的数量关系是____________； (2)如图2，在四边形中，，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，取的中点，连接．平分四边形的面积吗？请说明理由； 【问题解决】 (3)如图3，某商场计划在一块三角形空地中举办户外促销活动，点在空地的边上，点，，在空地的边上，现有甲、乙两个品牌入驻，划定四边形是甲品牌的活动场地，是乙品牌的活动场地，且两个品牌活动场地的面积相等．已知处加装了围栏，，，分别是甲、乙品牌的货物存储区，点，是存储区入口，且，．求围栏端点与存储区入口之间的距离． 【题型24 全等三角形证明与线段等量推导】 【例24】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）四边形，连接，，，． (1)如图1，______． (2)如图2，点在线段上，连接，点为外部一点，连接，使得，连接，且，求证：． (3)如图3，在（2）条件下，延长到点，连接，，，，求长度． 【变式24-1】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，，． (1)求证：； (2)如图，延长、交于点，连接，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接、，取的中点，连接交于，若，，求的长． 【变式24-2】（26-27八年级上·北京·阶段检测）直线经过等边的顶点．作点关于的对称点，直线与直线交于点． (1)当直线在如图1的位置时， ①根据题意，补全图形； ②写出与的数量关系______________； ③连接，求证：． (2)若直线绕着点转动，转动过程中与线段始终没有公共点，借助备用图探究并直接写出与的数量关系，以及线段，，之间的数量关系． 【变式24-3】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）将两个全等的和按图①方式摆放（点E恰好落在边上），所在直线与所在直线相交于点F． (1)如图①，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由；将图①中的绕点B按顺时针方向旋转至图②中的位置，线段，，之间的数量关系是否仍然成立？（图②结论无需证明，只要判断即可） (2)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图③中的位置，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图④中的位置，连接交于点M，求证：M是的中点． 【题型25 角平分线性质与全等综合证明】 【例25】（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）综合应用 (1)【模型建构】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为C，延长交于点，易证，则．分析过程如下：在和中， 平分 ， （___________）注：在括号内填写全等判定方法字母简称 （___________）注：在括号内填写理由依据 (2)【情景应用】图2是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点作于点．已知，，的面积为30，请求出的面积； (3)【变式探究】如图3，在中，，，平分，，交的延长线于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论； (4)【拓展延伸】如图4，在中，，，在线段上，向左侧作，于，交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式25-1】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）根据角平分线的性质定理回答以下问题： 【问题解决】 (1)如图1，的三条内角平分线交于点，过点作边上的垂线段．若的周长为16，，求的面积； 【问题探究】 (2)如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图3，在中，，平分，交于，，且，过作，垂足为，若，，求的长． 【变式25-2】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）已知点是平分线上一点，的两旁、分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，，求的度数． 【变式25-3】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）阅读下面材料，完成探究与求解． 【问题探究】 如图1，在中，点D是的边的中点，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F．若，，则线段，，之间有什么数量关系？ 小明通过探究发现，可以在线段上取一点G，使得，这样只需要找出和之间的数量关系即可． (1)请你根据小明的思路，解答下列问题： ①求证：； ②探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，是一片林地，是林地内一条护林小路，点P在边上且平分，为了方便护林工人巡逻，现计划作的平分线，交于点M，在上取一点N，使得，连接，并沿和修建两条新的护林小路，若测得，，，请分别求出和的长．（护林小路的宽度均忽略不计） 【题型26 截长补短证明线段和差关系】 【例26】（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【变式26-1】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式26-2】（25-26七年级下·上海松江·期末）如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式26-3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【题型27 等边三角形手拉手模型证明】 【例27】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由； (3)如图3，若，且的面积为，求的长． 【变式27-1】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【变式27-2】（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【变式27-3】（25-26九年级上·河南新乡·期中）【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答) 【探究应用】 （1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ． ①写出与的数量关系和位置关系： ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． 【问题解决】 （2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则 ①∠= ° ②线段的长是 ． 【题型28 垂直平分线与等腰三角形综合】 【例28】（25-26八年级上·四川德阳·期末）如图1，以等腰直角的腰边为边作等边，其中，连接． (1)求的度数； (2)如图2，交于点，延长交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，作交于点，点在的延长线上，连接，点在线段上，若点在线段的垂直平分线上，连接，，求的面积（用含的代数式表示）． 【变式28-1】（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，已知等腰中，，，，点B关于直线的对称点为点D，连接，连接交于点G，连接交于点E，交于点F． (1)如图1，当时， ①补全图形； ②探究与的数量关系，并说明理由； (2)在直线绕点A顺时针旋转的过程中，当为等腰三角形时，利用备用图直接求出α的值为______． 【变式28-2】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”． (1)如图1，三角形内角分别为，这个三角形_____（填“存在”或“不存在”）“准黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条“准黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【变式28-3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在等腰中，，，点D是边上一点（不与点A、C重合），连接，将沿翻折得，连接． (1)若，解决下列问题： ①当点E落在边上时，与的位置关系是__________； ②当时，请用无刻度的直尺和圆规作出点D的位置（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)如图2， ①当点E落在边上，且为等腰三角形时，求的值； ②当点D在边上运动时，存在点E落在边上，则的取值范围是__________． 【题型29 与等腰三角形有关的动点问题】 【例29】（25-26七年级下·广东深圳·期末）在中，，点为上一点． (1)如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________； (2)在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边． ①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值； ②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 【变式29-1】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，______，_______；当点D从B向C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）； (2)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 【变式29-2】（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时． ①___________________（用含的代数式表示）； ②若是等腰三角形，求出此时的值； (2)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值． 【变式29-3】（25-26八年级上·云南曲靖·期末）在等边三角形中，点D是边上的一个动点（不与点A，B重合），以为边作等边三角形，使点E和点A在直线的同侧，连接． (1)如图1，求证：； (2)当点D在边上运动时，的度数是否发生变化？若不变，求出它的度数；若变化，说明理由； (3)当点D运动到什么位置时，？请说明理由． 【题型30 格点图中画等腰三角形】 【例30】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点、都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为腰作等腰． (2)在图②中，作出，使的面积为，且点不在格点上． 【变式30-1】（2022·浙江温州·中考模拟）下图是以正六边形为基本图形组成的网格，每一个正六边形的顶点称为网格的格点．如图，的顶点均在格点上，请按要求画格点图形． (1)在图1中，画一个，使得与全等． (2)在图2中，画一个等腰三角形，且． 【变式30-2】（25-26八年级上·全国·期末）在网格中，网格线的交点称为格点．已知O，A是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么满足条件的P点请在图中找出． 【变式30-3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中找一点P，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中以为边画一个等腰． 【题型31 轴对称折叠构造全等边角探究】 【例31】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）阅读下列材料，解答问题： 定义：线段把等腰三角形分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图2，在中，，，．求证：为的完美分割线； (2)如图3，是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M．求证：． 【变式31-1】（24-25八年级上·湖北随州·期中）（1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 【变式31-2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折 ，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：，．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步探究】 （1）如图②，四边形是筝形，，．则线段和线段的位置关系是什么？请证明； 【综合运用】 （2）如图②，在“筝形”中，已知，，求“筝形”的面积． 【变式31-3】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）折纸是有趣的数学活动，通过折纸可以发现数学结论，折纸的过程蕴含着丰富的数学知识． 【特例感受】 如图1，在折叠等腰三角形纸片的过程中，小明发现：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等． 【操作探究】 问题1：如图2，中，，，直线与线段相交于点D，将沿直线翻折至处，点B的对应点为，求与之间的数量关系． 【拓展延伸】 问题2：如图3，若，，直线与线段相交于点D，将边沿直线翻折，得到，射线交于点E，连接．探究并证明，与之间的数量关系． 【题型32 多步连环全等推理证明】 【例32】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在等腰和等腰中，，，，连接､． (1)如图，若，点是的中点，则和的数量关系是 ; (2)如图，若点在的外部，继续猜想并证明和的数量关系； (3)如图在（2）的条件下，当时，连接，点在上，连接，过点作于，若，，，，求的长． 【变式32-1】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 【变式32-2】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【变式32-3】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图1，在矩形中，点E是边上的一点，连接． (1)若平分，点G是上的一点，连接，，且．过点C作于，延长线交于H，过点H作于P，如图． ①填空：的形状是______三角形； ②求证： (2)将图1的矩形画在纸上，若平分，沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点，如图．求证：． (3)如图，延长交的延长线于点K使得，此时恰好，连接交于点J，连接． 请证明：． 【题型33 勾股定理折叠综合探究题】 【例33】（25-26八年级下·四川成都·期中）平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． (1)探究发现 如图（1）， 是等边 内一点 ．求 的度数． 解：将 绕点 旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵ ， ∴， ∴为 三角形． ∴ 的度数为 ． (2)类比延伸 在正方形 内部有一点P，连接 ，若 ，求 的长； (3)拓展迁移 如图（3），在四边形 中，线段 与 不平行， ， 与 交于点，且 ，比较 与 的大小关系，并说明理由． 【变式33-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，现将它折叠，使点与点重合，求的长． 【变式33-2】（25-26八年级下·浙江·阶段检测）在矩形中，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①当点落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E和点P（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时_________； ②如图2，连接，若，求证：P是的中点． (2)若P为延长线上一点，且运动点P至为直角时，请画出图形，并求的长． 【变式33-3】（25-26八年级下·重庆万州·阶段检测）在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，当点在的内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证： ； ②若，，求点到直线的距离． (2)如图2，当点在的外部，且时，求的值． 【题型34 立体图形最短路径求解】 【例34】（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） (1)若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． (2)在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 【变式34-1】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧，现要沿着地铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班． (1)已知该地下通道长度为，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短？请画出这条最短路线，写出简要的作图方法．(不考虑地面到地下通道地面的高度)． (2)若，居民区离地铁线路的距离为，工厂离地铁的距离为，居民区与工厂的水平距离为，请计算居民经过该地下通道去工厂上班的最短路程(地下通道宽度忽略不计)． 【变式34-2】（25-26八年级下·北京·期中）先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：求代数式的最小值______； (3)解决问题：已知正数满足，则的值为______． 【变式34-3】（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【题型35 勾股定理的逆定理证明直角三角形】 【例35】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题提出】 (1)如图1，在中，，，点、在边上（点在点的左侧），连接、，．过点作，且，连接、． ①试说明：； ②试说明：； 【拓展应用】 (2)如图2，校园中心有一个形如等腰的花圃，其中，，观景石在花圃的内部，测得，现在为了安装喷水装置，以点为起点向外作延伸管道，满足，，工人现需要根据、、三段小路的长度，规划水管的铺设长度，请你帮助工人探究线段、、之间的数量关系．（观景石的大小以及小路、管道的宽度均忽略不计） 【变式35-1】（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，以为边在的同侧作，已知，，，，求阴影部分的面积． 【变式35-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础考察】如图1，若点为的中点，，，，则是___________三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”） (2)【能力巩固】如图2，连接，若平分，，，，求的长： (3)【素养提升】如图3，点在线段上运动，始终保持，是的垂直平分线，交于点．若，，，求线段的长． 【变式35-3】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【题型36 含参不等式（组）求参数范围】 【例36】（25-26七年级下·河北沧州·期末）如果不等式组的整数解仅为2，3，4，那么适合这个不等式组的整数，各是哪些数？ 【变式36-1】（25-26七年级下·江西上饶·期末）已知不等式组． (1)若该不等式组的解集为，求实数的值； (2)若该不等式组无解，求实数的取值范围． 【变式36-2】（25-26八年级下·江西九江·期中）已知关于，的方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 【变式36-3】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】 (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______________．（填序号）． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 【题型37 不等式（组）整数解综合】 【例37】（25-26七年级下·安徽淮北·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【变式37-1】（2026·河北张家口·三模）已知关于的不等式． (1)求这个不等式的正整数解； (2)将关于的不等式与构成一个不等式组，已知它只有个整数解，求这三个整数解，并直接写出的取值范围． 【变式37-2】（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知关于的不等式组 (1)当时，求这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来； (2)如果不等式组只有3个整数解，求的取值范围． 【变式37-3】（25-26七年级下·北京·期末）定义：我们把关于x的不等式叫做关于x的不等式的“动k不等式”．类似的，也叫做的“动k不等式” (1)不等式的“动不等式”的解集是 ； (2)若不等式的“动k不等式”的解都是不等式的解，求k的取值范围； (3)当时，对于不等式与，若它们的“动k不等式”解集的公共部分中恰有7个整数解，直接写出k的取值范围． 【题型38 一元一次不等式（组）方案问题】 【例38】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 第13届亚洲体操锦标赛和第19届亚洲青年体操锦标赛于2026年6月15日至29日在遵义市奥体中心体育馆举办，赛事组委会于6月1日在北京举行新闻发布会，发布赛事口号、赛徽、吉祥物和奖牌，其中吉祥物是“辣宝”、“茶宝”、“酱宝”． 素材一 购买1个“辣宝”和1个“茶宝”，共需25元． 购买2个“辣宝”和1个“茶宝”，共需35元． 素材二 轩轩计划购买“辣宝”和“茶宝”共10个，总费用不超过120元，且购买“辣宝”的数量不超过“茶宝”数量的4倍． 完成下列任务： (1)任务一：结合素材一，请求出“辣宝”“茶宝”的单价； (2)任务二：结合素材一和素材二，请帮轩轩求出有几种购买方案． 【变式38-1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）随着人工智能的迅猛发展，某艺术公司计划投入一笔资金购进甲、乙两种跳舞机器人给明星伴舞，已知购进2个甲种机器人和1个乙种机器人共需3.5万元；购进1个甲种机器人和3个乙种机器人共需3万元． (1)求购进1个甲种机器人和1个乙种机器人各需多少万元？ (2)若该公司购进甲、乙两种机器人共10个，其中甲种机器人的数量不少于乙种机器人数量的2倍，且投入资金不超过14万元，则有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 【变式38-2】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将，两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少元，且出售件品种仙桃礼盒和件品种仙桃礼盒的总价共元． 素材2 已知加工，两种仙桃礼盒每件的成本分别为元、元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出，两种仙桃礼盒共盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的倍，总成本不超过元． 问题解决 (1)任务1：确定商品价格 求A，B两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； (2)任务2：设计销售方案 求所有的销售方案； (3)任务3：求出最大收益及最大收益的销售方案． 【变式38-3】（25-26七年级下·山西临汾·期中）综合与探究 问题背景 为庆祝“五一”国际劳动节，临汾某学校计划组织七年级师生开展“走进陶寺遗址，探寻文明根脉”的研学实践活动．陶寺遗址位于山西省临汾市襄汾县，是中华文明起源的重要见证．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用甲、乙两种型号的客车用于接送师生，已知该客运公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示．在这20辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 日租金（元辆） (1)求该旅游客运公司甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ 问题解决 (2)该学校计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过元． 至少要租用多少辆甲型客车？ 若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【题型39 不等式（组）利润最值应用】 【例39】（25-26八年级上·重庆·期中）重庆豌杂面以其劲道的面条、软糯的豌豆和香浓的杂酱，成为重庆小吃中极具代表性的美食．某超市计划试销两种包装规格的预包装重庆豌杂面（简装版、精装版），已知精装版豌杂面每箱售价比简装版贵45元，购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元． (1)求精装版和简装版豌杂面每箱的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每箱进价为165元，简装版豌杂面每箱进价为135元，超市计划购进两种包装共28箱，且进货总资金不超过4020元，同时要求试销总利润不低于790元． ①求超市可行的进货方案有哪些？ ②哪种进货方案能让超市获得最大利润？最大利润是多少元？ 【变式39-1】（25-26七年级下·广西玉林·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已被越来越多的家庭所喜爱．某汽车S店计划购进甲、乙两种型号的新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆甲型号新能源汽车、2辆乙型号新能源汽车共需105万元；购进2辆甲型号新能源汽车、4辆乙型号新能源汽车共需110万元． (1)问甲、乙两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车S店计划用不少于170万元，且不超过180万元的费用，购进甲、乙两种型号的新能源汽车共10辆，问有哪几种购车方案？从节约成本的角度考虑应选择哪种购车方案？ (3)据悉，销售1辆甲型号新能源汽车可获利万元，销售1辆乙型号新能源汽车可获利万元，若该S店正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），假设这些新能源汽车全部售出，如何购进才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式39-2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售成人、儿童两种头盔，该商店第一季度的销售记录(有部分缺损)如表所示． 请解答下列问题： 日期 产品类别 销售量（单位：个） 销售额（单位：元） 1月 成人头盔 60 7400 儿童头盔 55 2月 成人头盔 48 7520 儿童头盔 64 3月 成人头盔 7200 儿童头盔 (1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为多少元？ (2)已知成人头盔的利润是10元/个，儿童头盔的利润是20元/个；并且该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，则该商店3月份有多少种销售方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种销售方案会使商店3月份利润最大，并求出最大利润． 【变式39-3】（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）某商场销售、两种商品，售出件种商品与售出件种商品所得利润共元，件商品的利润比件商品的利润的倍少元． (1)求每件种商品和每件种商品售出后所得利润分别是多少元； (2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，商场决定再一次购进、两种商品共件．如果将这件商品全部售完后所得利润不低于元，且A种商品至多购进件，求商场有哪几种购进方案； (3)在（2）的条件下，若每件种商品售价元，每件种商品售价元，用（2）中获得的最大利润全部用于再购进、两种商品，直接写出再次购进、两种商品总数最多的方案． 【题型40 不等式（组）分配类应用】 【例40】（2025·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【变式40-1】（25-26七年级下·江苏南京·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动．他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶．（食物的营养成分见表一）学校每天为学生提供的午餐有两种套餐（见表二），为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每位学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过．（一周按五天计算） 表一：食物的营养成分表 食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪 蔬菜 牛肉 牛奶 表二：学校每天提供的，两种套餐 套餐 主食 肉类 其他 A B (1)若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为_________； (2)学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶各多少克； (3)为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择A，B套餐各几天？ 【变式40-2】（25-26七年级下·四川乐山·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 【变式40-3】（2026·安徽淮南·一模）综合与实践  月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 【题型41 结合方程的不等式（组）综合】 【例41】（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解是二元一次方程的一组解，求m的值； (2)若此方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 【变式41-1】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）已知关于x的方程的解大于，求a的负整数解． 【变式41-2】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）已知关于、的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足方程，求的值； (2)若方程组的解满足条件，且，求有理数的取值范围； (3)在（2）的条件下，当为何整数时，不等式的解集为？ 【变式41-3】（25-26七年级下·山东临沂·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“琅琊解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“琅琊解”． (1)是方程和下列不等式_______的“琅琊解”；（填序号） ①；②；③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“琅琊解”，求的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“琅琊解”，且不等式组的正整数解有4个，试求的取值范围． 【题型42 分段计费不等式（组）应用】 【例42】（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【变式42-1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）随着电子商务的蓬勃发展，物流行业竞争日益激烈．某市有两家物流公司A和B，为了吸引客户，各自推出了不同的运费方案．物流A公司采用“基础运费超程单价”的收费模式，而物流B公司则推出“分段优惠”政策．以下是两家公司的具体收费标准和两次运输记录： 物流A公司的收费标准：基础运费覆盖公里，超出300公里的部分按每公里单价收费． 运输记录如下：运输货物甲：货物从厦门运往宁德，距离340公里，总运费900元 运输货物乙：货物从厦门运往汕尾，距离420公里，总运费1140元 物流B公司的收费标准：公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收元． 问题： (1)根据物流A公司的两次运输记录，求该物流A公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费），请列方程（组）解答． (2)某客户需要运送一批货物，运输距离为公里．请根据两家公司的收费标准，分析该客户选择哪家物流公司更合算，并给出具体的决策依据． 【变式42-2】（2026八年级上·全国·专题练习）2011年4月 25日，全国人大常委会公布《中华人民共和国个人所得税法修正案（草案）》，向社会公开征集意见.草案规定，公民全月工薪不超过3000元的部分不必纳税，超过3000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算. 级数 全月应纳税所得额 税率 1 不超过1500元的部分 2 超过1500元至4500元的部分 3 超过4500元至9000元的部分 …… …… …… 依据草案规定，解答下列问题： (1)李工程师的月工薪为8000元，则他每月应当纳税多少元？ (2)若某纳税人的月工薪不超过10000元，他每月的纳税金额能超过月工薪的吗? 若能，请给出该纳税人的月工薪范围；若不能，请说明理由. 【变式42-3】（2025·河南濮阳·二模）某物流公司规定：基础运费覆盖0-300公里，超出300公里的部分按每公里单价收费．已知两次运输记录如下： 运输货物甲：货物从南阳运往洛阳，距离320公里，总运费840元 运输货物乙：货物从郑州运往济南，距离460公里，总运费1260元 (1)求该物流公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费）； (2)某物流B公司报价如下： 为吸引长途客户，推出分段优惠：公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收2.5元． ①分别写出两家公司总运费（元）和（元）关于运输距离（公里）的函数表达式； ②一客户运送货物的距离（公里），该客户选择哪家物流公司更合算?请直接写出你的结论． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $