专题03 轴对称之将军饮马最值难点题型汇编（专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 聚焦轴对称之将军饮马最值问题，按动点数量梯度设计5类常考题型，辅以综合题实现从基础到拔高的系统突破，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型（5类）|18题（每题含3-4小题）|2定点1动点（作图/周长/线段）、1定点2动点（线段/角度）|从基础作图到复杂最值，逐步深化轴对称性质应用| |综合攻坚|10题|多知识点综合最值问题|整合三角形、四边形等知识，提升综合解题能力|

专题03 轴对称之将军饮马最值难点题型汇编 常考题型·精准突破 ◆ 题型 1“2·定点 1动点”作图问题 1． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短得到C方案小于A方案，再根据垂线段的长短进行判断即可解题． 【详解】解：根据垂线段最短和图中所给垂线段长度，可得所引天然气支管道长度最短的是C选项． 2． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于． 根据两点之间，线段最短，可知选项铺设的管道，所需管道最短． 故选：D． 3． 【答案】正确 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，关键是任取其他位置修桥（垂直于河岸），通过等量代换，把路径最短问题转化为两点之间线段最短． 任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，，利用平移的性质把行走路径转化为比较与的大小，根据两点之间线段最短，可得最短路径． 【详解】解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，． ，， 可看作由平移所得， ， ． 同理，， ． 中，， ， ， 原示意图是正确的． 故答案为：正确． 4． 【答案】 【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． ◆ 题型 2“2·定点·1动点"与周长最小值有关问题(重点） 5． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称--最短路线问题、等腰三角形三线合一的性质等知识点．如图：连接，由于是等腰三角形，点为的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，求出的长，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是等腰三角形，点为的中点， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴C关于直线的对称点为点A，， ∴的长为的最小值， ∵周长的最小值， ， ∴． 故选：B． 6． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称求线段和的最小值是解题的关键． 根据点B与点C关于直线对称，连接，交于点N，当点P与点N重合时，取得最小值，的周长最小，根据等边三角形的性质，此时点N是三个内角角平分线的交点，故平分，计算即可． 【详解】连接，交于点N，连接，如图， ∵是等边三角形，是边上的高， ∴点B与点C关于直线对称， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， 当点P与点N重合时，取得最小值，的周长最小， 此时点N是三个内角的角平分线的交点， 故此时平分， 故， 故选：C． 7． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质和两点之间线段最短，可知当点、、三点共线时的值最小，即点与点重合时的周长最小，根据等边对等角可知，再根据角之间的关系求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接， 则的周长为， 是的垂直平分线， ， 的周长为， ， 当点、、三点共线时的值最小， 此时点与点重合， 在中，，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 当的周长取最小值时，． 8． 【答案】10 【分析】连接BD、OB，由折叠得OB=OD，根据等边三角形的性质求出BC，CD，当点B、O、C共线时，的周长最小，计算即得． 【详解】解：连接BD、OB， 由折叠得EF是BD的垂直平分线， ∴OB=OD， ∵△ABC是等边三角形，AD＝2，AC＝6， ∴AC=BC=6，CD=AC-AD=6-2=4， ∴的周长=CD+OC+OD=4+OC+OB， ∴当点B、O、C共线时，的周长最小，最小值为4+BC=4+6=10， 故答案为：10． ． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，三角形周长最小值，正确理解轴对称的性质及三点共线的性质是解题的关键． ◆ 题型 3“2·定点1动点"求线段最小值问题(高频） 9． 【答案】B 【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，进而求解． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形的角平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当、、共线时，最小，即最小，最小值为的长． 又∵是中点，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． 10． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 11． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握最短路线模型是解题的关键． 延长至，使，连接，，作于点，根据等腰直角三角形的判定和性质求出的长度，再证得，最后根据两点之间线段最短确定最小值就是，据此求解即可． 【详解】延长至，使，连接，，作于点，如图所示， 在Rt中，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在Rt中，由勾股定理，得， 即， ， ∴，， 在Rt中，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小，最小值为． 12． 【答案】B 【分析】由条件可知点C和点D关于对称，因此．要使的周长最小，因为长度固定，所以需要最小，即为求的最小值．先计算出的长度，再结合的长度，即可求出周长的最小值． 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 折叠后点与点关于折痕对称， ∴． 的周长为， 要使周长最小，只需最小． 当三点共线时，取得最小值，最小值为的长度， ∴的周长最小值为：． ◆ 题型 4“1·定点·2动点”-线段/周长最小问题(难） 13． 【答案】B 【分析】作点D关于的对称点G，则，当三点共线，且时，取得最小值，推出，根据等面积法计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 作点D关于的对称点G，连接， 则，， ∴， 当三点共线，且时，取得最小值， 此时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即的最小值为3． 14． 【答案】D 【分析】过点作的平行线，在平行线上截取线段，容易证明，则，从而得到，结合线段公理可得当、、三点共线时，取得最小值，因此．容易判断是等腰直角三角形，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，在平行线上截取线段， ∵是等边三角形，平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当、、三点共线时，取得最小值， ∵的最小值为， ∴， 在中，， ∴， 解得． 15． 【答案】B 【分析】过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，当点B、P、共线时取等号， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的值最小，最小值为． 16． 【答案】A 【分析】设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在线段上时，的周长最小，再依据勾股定理，即可得到周长的最小值． 【详解】如图，分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、． 点关于的对称点为，关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ． 的周长的最小值， 即周长的最小值是． 【点睛】最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 17． 【答案】D 【分析】作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，，则，，从而可得，当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为，再结合轴对称的性质和勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图所示：作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，， 则，， ∴， 当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为， 根据对称的性质可知：，，，，， ∴，， ∴是直角三角形， ∴， ∴的最小值为． ◆ 题型 5“1·定点·2动点”-角度问题(难) 18． 【答案】C 【分析】先作点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点，交于点，此时的周长最小，再根据轴对称的性质，三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点， 此时周长最小，即的周长最小． 由对称可得，，． ， ， ， ， 即的度数为． 19． 【答案】B 【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接 由对称性知： ∴ ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 此时 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识，解答本题的关键要明确：涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 20． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路线问题．延长至，使，延长至，使，则垂直平分，垂直平分，所以，，的周长为，要使其周长最小，即使最小，设，则，设，则，在中，利用三角形内角和定理，可以求出，进一步可以求出的值． 【详解】解：如图，延长至，使，    延长至，使， 则垂直平分，垂直平分， ，， 根据两点之间，线段最短， 当，，，四点在一条直线时，最小， 则的值最小， 即的周长最小， ，， 可设，， 在中，， ，， ， 故选：A． 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】C 【分析】连接，，先证明，，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为10． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵，当点A、M、D共线时取等号， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 2． 【答案】A 【分析】作点关于的对称点，连接，，根据轴对称的性质可得，从而将转化为，根据垂线段最短可知，当、、三点共线且时，取得最小值，最小值即为点到的距离，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， ∵，、关于对称， ∴在的延长线上，且，， ∴， ∴，要使最小，即求的最小值， ∵在上， ∴当、、三点共线，且时，最小，最小值为到的垂线段长，如图， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 3． 【答案】C 【分析】先作点关于对称的点，连接，与交于点，根据“将军饮马”模型，得出此时取得最小值，再根据等边三角形的性质可得结果． 【详解】解：如图，作点关于对称的点，连接，与交于点， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，， ∴点在上， ，， ， 此时，取得最小值． ，， 点为的中点， 平分， ． 4． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当三点共线时，最小，即可求解． 【详解】如图，连接， ∵等边与关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 5． 【答案】B 【分析】本题考查利用轴对称解决线段和最小的问题，等边三角形的判定和性质，作点M关于直线的对称点，连接，得到，证明为等边三角形，得到，即可得出结果． 【详解】解：作点M关于直线的对称点，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 即的最小值为6； 故选：B． 6． 【答案】C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 7． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间相等最短，勾股定理等，过点作，并使得，过点作 的延长线于点，连接，可证，可得，即得，即得到的最小值为线段的长，由为等腰直角三角形可得，得到，最后利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：如图，过点作，并使得，过点作 的延长线于点，连接，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为线段的长， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，连接，证明为等腰直角三角形，可得，点到距离的最小时，最小，所以垂直时，取最小值，再计算即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，，，点为中点， ，，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 过点作的垂线段，交于点， ，点到距离为的值， ， ， 当点到距离的最小时，最小， 如图，时，最小， ， 此时， ，即点到距离的最小值为， 故选：B． 9． 【答案】4 【分析】本题主要考查了对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键． 根据对称性质，将周长转换为一条直线，作点关于、的对称点、，连接，，，，，，证明是等边三角形，得周长的最小值为，由对称性和是等边三角形可得，求出的最小值即可得结论． 【详解】解：如图，作点关于、的对称点、，连接，，，，，， 由轴对称可得，，，，，， ∴当，，，在一条直线上时，的周长最小，即周长的最小值为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴周长的最小值为的长， 根据垂线段最短，可知时，最小，即周长最小， ∵的面积为6，，即， ∴，即周长最小值为4． 故答案为：4． 10． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识．作点A关于的对称点N、M，连接分别交于点H、G，连接、，则当点E与点H重合，点F与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点N、M，连接分别交于点H、G，连接、， 由对称性知：， ， ， ∴当点E与点H重合，点F与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称之将军饮马最值难点题型汇编 常考题型·精准突破 ◆ 题型 1“2·定点 1动点”作图问题 1．如图，天然气主管道l的一侧有A，B两个居民区，计划从主管道l引支管道连接这两个居民区，下面的方案中，所引天然气支管道长度最短的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 3．在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 4．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） ◆ 题型 2“2·定点·1动点"与周长最小值有关问题(重点） 5．如图，中，的垂直平分线分别交于点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值8时，的面积为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 6．如图，是等边三角形的高线，为的中点，点是上的一个动点，当的周长最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，当的周长取最小值时，的度数为______°． 8．如图，将等边折叠，使点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上的动点，若AD＝2，AC＝6，则的周长最小值为______． ◆ 题型 3“2·定点1动点"求线段最小值问题(高频） 9．如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点P是AD上一动点，连接PB、PE，已知，则最小值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 10．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 11．如图，在Rt中，，点在上，且是的中点，点在上运动，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 12．如图，将等边三角形折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上一动点，若，，则周长的最小值是（    ） A．4 B．10 C．8 D．6 ◆ 题型 4“1·定点·2动点”-线段/周长最小问题(难） 13．如图，在中，，，，，D为上一点，，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 14．在等边三角形中，平分，，分别为边，上的点，且．若的最小值为，则等边三角形的边长为（     ） A． B． C． D． 15．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 16．如图，，点是内的定点，且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C．2 D．1.5 17．如图，，，，E，F分别是射线，上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．13 ◆ 题型 5“1·定点·2动点”-角度问题(难) 18．如图，在四边形中，，，，点M，N分别是边，上两个动点，当的周长最小时，的度数为（     ） A． B． C． D． 19．如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 20．如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（　　）    A．76° B．84° C．96° D．109° 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交边，于点，．若为边的中点，为线段上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．7 B．8 C．10 D．12 2．如图，在中，，，，，，为边，上两个动点，连接，，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 3．如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是AC边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，等边与关于直线对称，，且的边长为，为线段上一动点，则的最小值是（　　）． A． B． C． D． 5．如图，已知，点分别在上，且，点P为上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图，在中，点分别为边上的两动点，，若，，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，中，，，点为中点，点、分别在、上，且，连接，则点到距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 9．如图，的面积为6，，，点、、分别是、、边上的动点，则周长的最小值为_____． 10．如图，在四边形中，，，点E、F分别为边上的动点，当的周长取得最小值时，_____．（用含的代数式表示） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称之将军饮马最值难点题型汇编 常考题型·精准突破 题型1“2 定点1动点”作图问题 题型2“2 定点 1动点"与周长最小值有关问题（重点） 题型3“2 定点1动点"求线段最小值问题（高频） 题型4“1 定点 2动点”-线段/周长最小问题（难） 题型5“1 定点 2动点”-角度问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆ 题型 1“2·定点 1动点”作图问题 1．如图，天然气主管道l的一侧有A，B两个居民区，计划从主管道l引支管道连接这两个居民区，下面的方案中，所引天然气支管道长度最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短得到C方案小于A方案，再根据垂线段的长短进行判断即可解题． 【详解】解：根据垂线段最短和图中所给垂线段长度，可得所引天然气支管道长度最短的是C选项． 2．如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于． 根据两点之间，线段最短，可知选项铺设的管道，所需管道最短． 故选：D． 3．在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 【答案】正确 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，关键是任取其他位置修桥（垂直于河岸），通过等量代换，把路径最短问题转化为两点之间线段最短． 任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，，利用平移的性质把行走路径转化为比较与的大小，根据两点之间线段最短，可得最短路径． 【详解】解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，． ，， 可看作由平移所得， ， ． 同理，， ． 中，， ， ， 原示意图是正确的． 故答案为：正确． 4．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． ◆ 题型 2“2·定点·1动点"与周长最小值有关问题(重点） 5．如图，中，的垂直平分线分别交于点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值8时，的面积为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称--最短路线问题、等腰三角形三线合一的性质等知识点．如图：连接，由于是等腰三角形，点为的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，求出的长，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是等腰三角形，点为的中点， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴C关于直线的对称点为点A，， ∴的长为的最小值， ∵周长的最小值， ， ∴． 故选：B． 6．如图，是等边三角形的高线，为的中点，点是上的一个动点，当的周长最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称求线段和的最小值是解题的关键． 根据点B与点C关于直线对称，连接，交于点N，当点P与点N重合时，取得最小值，的周长最小，根据等边三角形的性质，此时点N是三个内角角平分线的交点，故平分，计算即可． 【详解】连接，交于点N，连接，如图， ∵是等边三角形，是边上的高， ∴点B与点C关于直线对称， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， 当点P与点N重合时，取得最小值，的周长最小， 此时点N是三个内角的角平分线的交点， 故此时平分， 故， 故选：C． 7．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，当的周长取最小值时，的度数为______°． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质和两点之间线段最短，可知当点、、三点共线时的值最小，即点与点重合时的周长最小，根据等边对等角可知，再根据角之间的关系求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接， 则的周长为， 是的垂直平分线， ， 的周长为， ， 当点、、三点共线时的值最小， 此时点与点重合， 在中，，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 当的周长取最小值时，． 8．如图，将等边折叠，使点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上的动点，若AD＝2，AC＝6，则的周长最小值为______． 【答案】10 【分析】连接BD、OB，由折叠得OB=OD，根据等边三角形的性质求出BC，CD，当点B、O、C共线时，的周长最小，计算即得． 【详解】解：连接BD、OB， 由折叠得EF是BD的垂直平分线， ∴OB=OD， ∵△ABC是等边三角形，AD＝2，AC＝6， ∴AC=BC=6，CD=AC-AD=6-2=4， ∴的周长=CD+OC+OD=4+OC+OB， ∴当点B、O、C共线时，的周长最小，最小值为4+BC=4+6=10， 故答案为：10． ． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，三角形周长最小值，正确理解轴对称的性质及三点共线的性质是解题的关键． ◆ 题型 3“2·定点1动点"求线段最小值问题(高频） 9．如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点P是AD上一动点，连接PB、PE，已知，则最小值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，进而求解． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形的角平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当、、共线时，最小，即最小，最小值为的长． 又∵是中点，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． 10．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 11．如图，在Rt中，，点在上，且是的中点，点在上运动，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握最短路线模型是解题的关键． 延长至，使，连接，，作于点，根据等腰直角三角形的判定和性质求出的长度，再证得，最后根据两点之间线段最短确定最小值就是，据此求解即可． 【详解】延长至，使，连接，，作于点，如图所示， 在Rt中，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在Rt中，由勾股定理，得， 即， ， ∴，， 在Rt中，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小，最小值为． 12．如图，将等边三角形折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上一动点，若，，则周长的最小值是（    ） A．4 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】由条件可知点C和点D关于对称，因此．要使的周长最小，因为长度固定，所以需要最小，即为求的最小值．先计算出的长度，再结合的长度，即可求出周长的最小值． 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 折叠后点与点关于折痕对称， ∴． 的周长为， 要使周长最小，只需最小． 当三点共线时，取得最小值，最小值为的长度， ∴的周长最小值为：． ◆ 题型 4“1·定点·2动点”-线段/周长最小问题(难） 13．如图，在中，，，，，D为上一点，，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】作点D关于的对称点G，则，当三点共线，且时，取得最小值，推出，根据等面积法计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 作点D关于的对称点G，连接， 则，， ∴， 当三点共线，且时，取得最小值， 此时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即的最小值为3． 14．在等边三角形中，平分，，分别为边，上的点，且．若的最小值为，则等边三角形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作的平行线，在平行线上截取线段，容易证明，则，从而得到，结合线段公理可得当、、三点共线时，取得最小值，因此．容易判断是等腰直角三角形，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，在平行线上截取线段， ∵是等边三角形，平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当、、三点共线时，取得最小值， ∵的最小值为， ∴， 在中，， ∴， 解得． 15．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，当点B、P、共线时取等号， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的值最小，最小值为． 16．如图，，点是内的定点，且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C．2 D．1.5 【答案】A 【分析】设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在线段上时，的周长最小，再依据勾股定理，即可得到周长的最小值． 【详解】如图，分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、． 点关于的对称点为，关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ． 的周长的最小值， 即周长的最小值是． 【点睛】最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 17．如图，，，，E，F分别是射线，上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．13 【答案】D 【分析】作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，，则，，从而可得，当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为，再结合轴对称的性质和勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图所示：作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，， 则，， ∴， 当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为， 根据对称的性质可知：，，，，， ∴，， ∴是直角三角形， ∴， ∴的最小值为． ◆ 题型 5“1·定点·2动点”-角度问题(难) 18．如图，在四边形中，，，，点M，N分别是边，上两个动点，当的周长最小时，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点，交于点，此时的周长最小，再根据轴对称的性质，三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点， 此时周长最小，即的周长最小． 由对称可得，，． ， ， ， ， 即的度数为． 19．如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接 由对称性知： ∴ ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 此时 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识，解答本题的关键要明确：涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 20．如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（　　）    A．76° B．84° C．96° D．109° 【答案】A 【分析】本题考查了最短路线问题．延长至，使，延长至，使，则垂直平分，垂直平分，所以，，的周长为，要使其周长最小，即使最小，设，则，设，则，在中，利用三角形内角和定理，可以求出，进一步可以求出的值． 【详解】解：如图，延长至，使，    延长至，使， 则垂直平分，垂直平分， ，， 根据两点之间，线段最短， 当，，，四点在一条直线时，最小， 则的值最小， 即的周长最小， ，， 可设，， 在中，， ，， ， 故选：A． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交边，于点，．若为边的中点，为线段上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】连接，，先证明，，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为10． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵，当点A、M、D共线时取等号， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 2．如图，在中，，，，，，为边，上两个动点，连接，，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点关于的对称点，连接，，根据轴对称的性质可得，从而将转化为，根据垂线段最短可知，当、、三点共线且时，取得最小值，最小值即为点到的距离，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， ∵，、关于对称， ∴在的延长线上，且，， ∴， ∴，要使最小，即求的最小值， ∵在上， ∴当、、三点共线，且时，最小，最小值为到的垂线段长，如图， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 3．如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是AC边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作点关于对称的点，连接，与交于点，根据“将军饮马”模型，得出此时取得最小值，再根据等边三角形的性质可得结果． 【详解】解：如图，作点关于对称的点，连接，与交于点， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，， ∴点在上， ，， ， 此时，取得最小值． ，， 点为的中点， 平分， ． 4．如图，等边与关于直线对称，，且的边长为，为线段上一动点，则的最小值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当三点共线时，最小，即可求解． 【详解】如图，连接， ∵等边与关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 5．如图，已知，点分别在上，且，点P为上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查利用轴对称解决线段和最小的问题，等边三角形的判定和性质，作点M关于直线的对称点，连接，得到，证明为等边三角形，得到，即可得出结果． 【详解】解：作点M关于直线的对称点，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 即的最小值为6； 故选：B． 6．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 7．如图，在中，点分别为边上的两动点，，若，，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间相等最短，勾股定理等，过点作，并使得，过点作 的延长线于点，连接，可证，可得，即得，即得到的最小值为线段的长，由为等腰直角三角形可得，得到，最后利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：如图，过点作，并使得，过点作 的延长线于点，连接，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为线段的长， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，中，，，点为中点，点、分别在、上，且，连接，则点到距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，连接，证明为等腰直角三角形，可得，点到距离的最小时，最小，所以垂直时，取最小值，再计算即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，，，点为中点， ，，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 过点作的垂线段，交于点， ，点到距离为的值， ， ， 当点到距离的最小时，最小， 如图，时，最小， ， 此时， ，即点到距离的最小值为， 故选：B． 9．如图，的面积为6，，，点、、分别是、、边上的动点，则周长的最小值为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键． 根据对称性质，将周长转换为一条直线，作点关于、的对称点、，连接，，，，，，证明是等边三角形，得周长的最小值为，由对称性和是等边三角形可得，求出的最小值即可得结论． 【详解】解：如图，作点关于、的对称点、，连接，，，，，， 由轴对称可得，，，，，， ∴当，，，在一条直线上时，的周长最小，即周长的最小值为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴周长的最小值为的长， 根据垂线段最短，可知时，最小，即周长最小， ∵的面积为6，，即， ∴，即周长最小值为4． 故答案为：4． 10．如图，在四边形中，，，点E、F分别为边上的动点，当的周长取得最小值时，_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识．作点A关于的对称点N、M，连接分别交于点H、G，连接、，则当点E与点H重合，点F与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点N、M，连接分别交于点H、G，连接、， 由对称性知：， ， ， ∴当点E与点H重合，点F与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $