第二章 直线和圆的方程单元测试卷（3）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第2章 直线和圆的方程单元测试卷（3） 一、单选题 1．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）“”是“直线与垂直”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性：当时，直线的斜率， 直线的斜率，此时，两直线垂直，充分性成立. 必要性：①时，两条直线分别为和，两直线垂直，符合题意， ②时，两条直线斜率均存在，直线的斜率，直线的斜率，此时， 当直线与垂直时，此时，必要性不成立. 综上，“”是“直线与垂直”的充分不必要条件. 2．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若直线：经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为（     ） A．144 B．240 C．288 D．576 【答案】C 【分析】将点代入截距式得到等式，写出三角形面积表达式，用基本不等式求面积最小值. 【详解】依题意可得，当且仅当时，等号成立， 则，则所求三角形面积，其最小值为288. 3．（25-26高二上·广东深圳·期中）一条光线从点射出，到点经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由光线反射的性质可知，点关于轴对称的点在反射光线上，又经过点，求出斜率，代入点斜式方程即可求出反射光线所在直线的方程. 【详解】由题可知，点关于轴对称的点，由光线反射的性质可知，点在反射光线上， 又点也在反射光线上，则斜率，所以由点斜式方程可得，即. 4．（26-27高二上·广东·阶段检测）与直线关于轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用所求直线上的点关于轴的对称点在已知直线上，求解即可. 【详解】在所求直线上任取一点， 此点关于轴的对称点在直线上， 代入得，即. 5．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知实数满足，则的最小值（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当取最小值时， 即为点到直线的距离． 6．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）在直角坐标平面内，过定点的直线：与过定点的直线：相交于点，则点到点的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于直线：，令，得，故定点， 对于直线：，令，得，故定点， 由，可知直线，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆（去掉原点）， 中点为圆心，半径， 设点，， 点到距离的最大值为. 7．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知圆，圆，则圆与圆（     ） A．相交 B．外切 C．内含 D．外离 【答案】B 【分析】由圆的方程可确定两圆的圆心和半径，由两圆圆心距与两圆半径的关系可判断出位置关系. 【详解】由圆方程知：圆心 ，半径；由圆方程知：圆心 ，半径； 圆心距，所以，故圆与圆外切. 8．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）若在直线：上存在一点，使得过点作圆：的两条切线可以相互垂直，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线垂直推出点到圆心的距离为定值，将问题转化为"直线与半径为2的圆有公共点"，利用圆心到直线的距离不大于半径列不等式求解. 【详解】圆的标准方程为，可得圆心，半径, 设过点的两条切线的切点分别为、，连接、、, 根据圆的切线性质,切线垂直于过切点的半径，因此，，即, 若两条切线互相垂直，即，则四边形有三个内角为直角，且邻边，因此四边形是正方形, 所以， 即所有满足条件的点，都在以为圆心、半径为的圆上， 因为直线上存在点，使过的两条切线垂直，所以直线与以为圆心、半径为的圆有公共点， 所以圆心到直线的距离，得，即， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 二、多选题 9．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知直线：，则下列结论正确的是（     ） A．直线的斜率可能不存在 B．直线的一个方向向量为 C．直线在轴上的截距为 D．当时，直线的倾斜角的取值范围为． 【答案】BD 【分析】根据直线方程的形式，结合斜率、方向向量、截距的定义判断ABC选项，再结合余弦函数的取值范围，利用斜率与倾斜角的关系判断D选项． 【详解】选项A、已知直线：， 直线有意义时， 直线可变形为， 则斜率一定存在，故选项A错误； 选项B、直线的方向向量可表示为， 将其乘以非零常数，可得， 所以直线的一个方向向量为，故选项B正确； 选项C、直线：在轴上的截距是数值， 令得， 所以直线在轴上的截距为3，故选项C错误； 选项D、当时，， 则， 设倾斜角为，，得； 当时，， 则，， 结合，可得， 综上，直线的倾斜角的取值范围为，故选项D正确． 10．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知直线：，下列说法正确的是（     ） A．若，则直线与直线平行 B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 C．，原点到直线的距离为4 D．直线与直线垂直，则 【答案】CD 【分析】求出直线的方程并判断与直线的关系，即可判断A；分截距为0和截距相等且不为0两种情况，求出，即可判断B；求出原点到直线的距离的取值范围，即可判断C；由两直线垂直求出，即可判断D. 【详解】当时，直线的方程为，与直线完全重合，故A错误； 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 若截距相等，分两种情况： ①截距均为0，即时，解得； ②截距相等且不为0，即，解得， 综上，或，故B错误； 将直线变形为， 令，解得，所以直线恒过定点， 则，所以原点到直线的距离， 故，原点到直线的距离为4，故C正确； 若直线与直线垂直，则直线的斜率，则有， 解得，故D正确； 11．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，则（     ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 【答案】ABC 【分析】对于A，根据两点间距离公式代入整理化简即可；对于B，求出点到圆上点距离的范围，判断即可；对于C，设，利用两点间距离公式得到方程和联立，求得，，无实数解，判断即可；对于D，求出的圆心到直线的距离，即可求出上的点到直线的最小距离. 【详解】对于A，由题意可设点， 由，，，得， 整理得，即，故A正确； 对于B，点到圆心的距离为， 所以圆上的点到点的距离范围为，因为，故B正确； 对于C，设，由，得，即. 又，联立整理得，此时，无实数解， 故不存在点，使得，C正确； 对于D，的圆心到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故D错误. 三、填空题 12．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）点关于直线：的对称点为，则的坐标为_________________． 【答案】 【分析】利用点关于直线对称的两个核心性质：两点连线与对称轴垂直、两点中点在对称轴上，列方程组求解对称点坐标． 【详解】设对称点的坐标为， 易得直线：的斜率为2， 由题意知与直线垂直， 则，整理得， 已知，， 则的中点为， 代入直线的方程得，整理得， 联立，可得， 故的坐标为． 13．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【详解】联立直线方程，得，则交点， 交点在圆的内部，则，即， 展开整理得，解得， 故实数的取值范围为． 14．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）已知圆：和圆：相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】两圆方程相减可得公共弦方程，据此可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】，则两圆公共弦方程为. 因在上，则，从而， 当且仅当，即时取等号. 四、解答题 15．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)过点，且与：平行的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线方程为，由已知列出方程求解即可； （2）根据互相平行直线的斜率相等得出斜率，再由点斜式即可求解． 【详解】（1）设直线方程为，令，得，令，得， ，解得， ∴直线方程为， 即． （2）已知直线：，则直线的方程可化为， ∴直线的斜率为． 与平行，的斜率为． 又过点， 由点斜式知直线的方程为，即． 16．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）设直线：与：． (1)若，求，之间的距离； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据平行求，再代入平行线间的距离公式，即可求解； （2）首先求两坐标轴上的截距，再表示三角形的面积，并求最值，即可求直线的方程. 【详解】（1）若，则，，得（舍）或， 当时，，即，，，满足， 与之间的距离； （2）：， 当时，，当时，，其中且， 由条件可知，且，得， 由条件可知，， 当时，取得最大值， 此时直线的方程为. 17．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知顶点、、. (1)求的外接圆的方程； (2)若直线过点，且的横截距是纵截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)利用直角三角形斜边中点求外接圆圆心和半径；（2）按直线是否经过原点分类求解． 【详解】（1）由、、，得，即． 因此为外接圆的直径，其圆心是的中点，如图所示． 故，圆的半径， 所以外接圆的方程为． （2）当直线经过原点时，横、纵截距均为，满足题意． 又经过，所以的方程为，即． 当直线不经过原点时，设纵截距为，横截距为（），可设直线方程为． 将代入，得，解得，所以的方程为． 18．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）已知圆过与两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求的方程． 【答案】(1) 圆的标准方程为 (2) 切线的方程为或 【分析】 （1）设圆心坐标，利用圆心在给定直线上、圆上两点到圆心距离相等的性质求解圆心和半径，得到圆的方程； （2）分切线斜率存在、不存在两种情况，根据圆心到切线的距离等于半径求解切线方程. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为. 因为圆心在直线上，故，即. 又圆过点和，两点到圆心的距离均等于半径， 因此 ，展开化简得，即. 将代入，解得，，即圆心坐标为. 而半径，因此圆的方程为 ， （2）圆心到该点的距离为，故该点在圆外，存在两条切线. 若切线斜率不存在，此时切线方程为， 圆心到直线的距离为， 符合切线要求，故是切线方程. 若切线斜率存在，设切线斜率为，则切线方程为， 整理为标准形式. 由圆心到切线的距离等于半径，得 ，即， 两边平方化简得，解得. 将代入切线方程，整理得. 综上，切线的方程为或. 19．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，， (1)直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； (2)圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)（ⅰ）（ⅱ）存在定点 【分析】 (1)    根据垂径定理，可求圆心M到直线l的距离，根据圆心到直线的距离为，可求直线方程； (2)    （ⅰ）当圆H面积最小时，就是以圆M与圆N交点弦为直径的圆； （ⅱ）在y轴上存在一定点E，使得y轴平分，即，设，，，代入，根据韦达定理即可求解. 【详解】（1） 设圆心M到直线l的距离为d，则，故， 由得或， 故直线l的方程为或． （2）（ⅰ）设圆M与圆N交点分别为P，Q，圆H面积最小时，圆H是以为直径的圆， ，即，① 圆，即，② ①−②得公共弦所在直线方程：， 圆M圆心、圆N圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心H就是直线与的交点， 联立解得． 将代入， 得，即，所以， 所以圆H的方程为． （ⅱ）假设存在点E，使得y轴平分，满足，设，，， 则，将，代入， 得，即．（*） 联立，得，． 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入（*）式，得， 即，因为对任意k，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $回凝弱口互薄 安动弱 第二章直线和圆的方程单元测试卷（3) 战讲诊 尚题断 一、单选题 1.(26-27高二上·河北石家庄·阶段检测)“a=3”是“直线x+ay-1=0与ax-y+5=0垂直”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2,2627高二上江西南阶段检测)若直线：之+。=1经过点A16,9,则1与两坐标轴围成的三角 形面积的最小值为() A.144 B.240 C.288 D.576 3.(25-26高二上·广东深圳期中)一条光线从点A-2,3射出，到点B-1,0经x轴反射，则反射光线 所在直线的方程为() A.y=-X-1 B.y=3x+3 C.y=-3x-3 D.y=2x+2 4.(26-27高二上：广东阶段检测)与直线3x+4y+5=0关于y轴对称的直线方程为() A.3x+4y-5=0B.4x-3y+5=0 c.3x-4y-5=0 D.3x-4y+5=0 5.(26-27高二上江苏无锡：阶段检测）已知实数x,y满足4x-2y+5=0:则X-1P+y-2的最小 值() 2 V5' 5 A. B.5 c.2 D.25 5 6.(26-27高二上·广东广州·阶段检测)在直角坐标平面内，过定点P的直线l:aX+y-2=0与过定点Q 的直线m:x-ay+2=0相交于点M,则点M到点1,1的距离的最大值为() A.V2+1 B.V2+2 c.2-1 D.2V2 7.(25-26高二下-湖南邵阳期末)已知圆C1:X2+y=4圆C,(x-6P+(y-8P=64:则圆c,与圆 C() A.相交 B.外切 C.内含 D.外离 8.(26-27高二上河北石家庄·阶段检测)若在直线l:4X-3y-b=0上存在一点P,使得过点P作圆C: (x-1?+y=2的两条切线可以相互垂直，则实数b的取值范围为() 试卷第1页（共3页） A.[-6,9] B.[1,9] c.[-6,14] D.[16,24] 二、多选题 9.（26-27高二上·广东东莞·阶段检测)己知直线l: 1 x-y+3=0,则下列结论正确的是() 2 cosa A.直线的斜率可能不存在 B.直线l的一个方向向量为2cosQ,1 C.直线l在y轴上的截距为0,3 D,当。E匹产U工，5严时，直线，的倾斜角的取值范围为心 3’20 4’20 10.(26-27高二上·广东东莞阶段检测)已知直线l:m+2x-y+m-2=0,下列说法正确的是 () A.若m=2,则直线l与直线4x-y=0平行B.若直线l在两坐标轴上的截距相等，则m=-3 C.3m∈R,原点0,0到直线l的距离为4 D.直线l与直线x+y=0垂直，则m=-1 11.(26-27高二上河北石家庄阶段检测)已知在平面直角坐标系xOy中，A(-1,0),B(2,0).点P满 足P4-1 P82设点P所构成的曲线为C,则() A.C的方程为(x+22+y2=4 B.在C上存在点D,使得D到点(1,1)的距离为3 C.在C上不存在点M,使得MO=2MA D.C上的点到直线3x-4y-13=0的最小距离为1 三、填空题 12.(26-27高二上广东东莞阶段检测)点P6,3关于直线l:2x-y-4=0的对称点为Q,则Q的坐标 为 13.(26-27高二上·江西南昌·阶段检测)若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点在圆x+y=4的内 部，则实数k的取值范围为 14.(26-27高二上广东汕头阶段检测)已知圆C,:X+y=4和圆C,K-1+y-1P=4相交，若点 Fa,b(Q>0,b>0)在两圆的公共弦所在直线上，则。+分的最小值为 四、解答题 15.(26-27高二上河北石家庄·阶段检测)求符合下列条件的直线方程. 试卷第2页（共3页） 3 (1)斜率为4，且与两坐标轴围成的面积为6： (2)过点-1,3，且与l:3x+4y-12=0平行的直线1的方程. 16.(26-27高二上广东东莞阶段检测)设直线l1:mx-2my-6=0m≠0与l2: (3-mx+my+m2-3m=0 ()若l11∥2，求l1,12之间的距离； (2)若直线2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线2的方程. 17.(25-26高二上·广东深圳期中)已知△ABC顶点A8,0、B0,6、C8,6. (①)求△ABC的外接圆的方程： (2)若直线l过点C,且l的横截距是纵截距的2倍，求直线的方程 18.(26-27高二上江西南昌·阶段检测)已知圆C过(-3,3)与(-1,5)两点，且圆心在直线2x+y+1=0 上 (1)求圆C的方程： (2)过点(-1,2)作圆C的切线1，求l的方程. 19.(26-27高二上湖南长沙-阶段检测)己知圆M:X+1?+y+1P=9'N:x-2+y-2=15 1:y=kx+2, ()直线：y=kx+2被圆M截得的弦长为27，求直线1的方程； (2)圆H过圆M与圆N交点， (1)当圆H面积最小时，求圆H的方程： (i)在(i)的条件下，若直线l:y=kx+2与圆H交于C,D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是 否存在一定点E,使得y轴平分∠CED?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。 试卷第3页（共3页）