第二章 直线和圆的方程 单元检测卷（四）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版2019高中数学选择性必修一 第二章 直线和圆的方程 单元检测卷（四） 学校＿＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名填写清楚． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应的位置上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若直线 的倾斜角为 ，且 ，则 的斜率为（　　） A． B． C． D． 2．若直线 与 平行，则 （　　） A． B． C． D． 3．若点 在直线 上运动，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．过点 且与圆 相切的直线方程为（　　） A． B． C． D． 5．若圆 与圆 相切，则实数 的值共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 6．已知圆 ，点 是直线 上的动点，过点 作圆 的切线，则切线长的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．已知圆 与直线 ，若圆 上恰有 个点到直线 的距离等于 ，则 （　　） A． B． C． D． 8．已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知圆 ，直线 ，，则下列结论中正确的有（　　） A．直线 恒过定点 B．直线 与圆 恒有两个公共点 C．圆心到直线 的距离的最大值为 D．直线 被圆 截得的弦长的最小值为 10．已知圆 ，圆 ，则下列结论中正确的有（　　） A．两圆外切 B．两圆共有 条公切线 C．两圆的切点坐标为 D．两圆的内公切线方程为 11．已知圆 与直线 ，则下列结论中正确的有（　　） A．当 时，直线 与圆 相切 B．当 时，圆 上到直线 的距离等于 的点恰有 个 C．直线 与圆 相交时， 的取值范围是 D．圆 上的点到直线 的距离的最大值为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．圆心在直线 上，且与 轴相切于点 的圆的方程为＿＿＿＿＿＿． 13．已知点 在圆 上，点 ， 为坐标原点，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿． 14．若直线 与曲线 有两个公共点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）已知直线 被两条平行直线 与 所截得的线段长为 ． （1）求直线 的倾斜角； （2）若直线 还经过点 ，求直线 的方程． 16．（15 分）已知圆 经过点 ，，且圆心在直线 上． （1）求圆 的标准方程； （2）求过点 的圆 的切线方程． 17．（15 分）已知点 ，． （1）点 在 轴上运动，求 的最小值； （2）点 在 轴上运动，点 在 轴上运动，求 的最小值． 18．（17 分）已知圆 ，直线 经过点 且与圆 交于 、 两点， 为坐标原点． 图1 （1）求 的取值范围； （2）若 ，求直线 的方程； （3）求 面积的最大值． 19．（17 分）已知圆 ，点 ，过点 的直线与圆 交于 、 两点． 图2 （1）求过点 的圆 的切线方程及切线长； （2）求弦 的中点 的轨迹方程； （3）求 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版2019高中数学选择性必修一 第二章 直线和圆的方程 单元检测卷（四） 学校＿＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名填写清楚． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应的位置上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若直线 的倾斜角为 ，且 ，则 的斜率为（　　） A． B． C． D． 2．若直线 与 平行，则 （　　） A． B． C． D． 3．若点 在直线 上运动，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．过点 且与圆 相切的直线方程为（　　） A． B． C． D． 5．若圆 与圆 相切，则实数 的值共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 6．已知圆 ，点 是直线 上的动点，过点 作圆 的切线，则切线长的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．已知圆 与直线 ，若圆 上恰有 个点到直线 的距离等于 ，则 （　　） A． B． C． D． 8．已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知圆 ，直线 ，，则下列结论中正确的有（　　） A．直线 恒过定点 B．直线 与圆 恒有两个公共点 C．圆心到直线 的距离的最大值为 D．直线 被圆 截得的弦长的最小值为 10．已知圆 ，圆 ，则下列结论中正确的有（　　） A．两圆外切 B．两圆共有 条公切线 C．两圆的切点坐标为 D．两圆的内公切线方程为 11．已知圆 与直线 ，则下列结论中正确的有（　　） A．当 时，直线 与圆 相切 B．当 时，圆 上到直线 的距离等于 的点恰有 个 C．直线 与圆 相交时， 的取值范围是 D．圆 上的点到直线 的距离的最大值为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．圆心在直线 上，且与 轴相切于点 的圆的方程为＿＿＿＿＿＿． 13．已知点 在圆 上，点 ， 为坐标原点，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿． 14．若直线 与曲线 有两个公共点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）已知直线 被两条平行直线 与 所截得的线段长为 ． （1）求直线 的倾斜角； （2）若直线 还经过点 ，求直线 的方程． 16．（15 分）已知圆 经过点 ，，且圆心在直线 上． （1）求圆 的标准方程； （2）求过点 的圆 的切线方程． 17．（15 分）已知点 ，． （1）点 在 轴上运动，求 的最小值； （2）点 在 轴上运动，点 在 轴上运动，求 的最小值． 18．（17 分）已知圆 ，直线 经过点 且与圆 交于 、 两点， 为坐标原点． 图1 （1）求 的取值范围； （2）若 ，求直线 的方程； （3）求 面积的最大值． 19．（17 分）已知圆 ，点 ，过点 的直线与圆 交于 、 两点． 图2 （1）求过点 的圆 的切线方程及切线长； （2）求弦 的中点 的轨迹方程； （3）求 的取值范围． 参考答案与解析 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1．【答案】A　 【解析】由 及 得 ．又 ，故 ，于是 、 是方程 的两根，解得 或 ．由 得 ，，故 ． 2．【答案】B　 【解析】（含重合）需 ，即 ．当 时两直线都是 ，重合，不合题意；当 时，，，平行且不重合．故 ． 3．【答案】B　 【解析】 的几何意义是点 到原点距离的平方，其最小值即原点到直线 距离的平方：，故最小值为 ． 4．【答案】A　 【解析】因为 ，所以点 在圆上，过 的切线只有一条，且以 为法向量，故切线方程为 ，即 ． 5．【答案】C　 【解析】 圆心 ，半径 ； 圆心 ，半径 ，圆心距 ．外切时 ，得 ，；内切时 ，即 ，无实数解．故 的值共有 个． 6．【答案】A　 【解析】设切线长为 ，则 ，故只需求 的最小值，即圆心 到直线 的距离 ，所以直线上所有点都在圆外．于是 ． 7．【答案】C　 【解析】到直线 的距离等于 的点在两条平行线 上．圆上有 个这样的点，说明其中一条与圆相切（贡献 个点）、另一条与圆相交（贡献 个点）．圆心到两平行线的距离分别为 与 ．令其中之一等于 ：由 得 （此时 ，另一条过圆心，贡献 个点，符合）或 （此时另一条距离 ，只贡献 个点，不合）；由 同理得 符合．故 ． 8．【答案】A　 【解析】 是点 与圆上点 连线的斜率 （圆上点的横坐标满足 ，故 ）．直线 与圆有公共点时 可取到，临界情形是相切：，即 ，解得 ．点 在圆外，可取到的斜率介于两条切线斜率之间，故最小值为 ． 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分） 9．【答案】ABC　 【解析】整理得 ，故直线恒过定点 ，A 正确．圆 化为 ，圆心 ，半径 ，，定点在圆内，故直线与圆恒有两个公共点，B 正确．圆心到过定点 的直线的距离不超过 ，最大值为 ，C 正确．弦长的最小值 ，不是 ，D 错误．故选 ABC． 10．【答案】ABC　 【解析】 化为 ，圆心 ，半径 ； 圆心 ，半径 ．圆心距 ，两圆外切，A 正确．外切的两圆有 条公切线，B 正确．切点在连心线上，且到 的距离为 ，连心线方向单位向量为 ，故切点为 ，C 正确．内公切线过切点且垂直于连心线，方程为 ，化简得 ，而不是 ，D 错误．故选 ABC． 11．【答案】ACD　 【解析】圆心到直线的距离 ，．当 时 ，相切，A 正确．当 时直线过圆心，圆上到直线距离为 的点在两条平行线 上，这两条线到圆心距离都是 ，各交圆于 点，共 个点，B 错误．相交需 ，即 ，C 正确．距离的最大值为 ，D 正确．故选 ACD． 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．【答案】　 【解析】设圆心为 ．圆与 轴相切于点 ，则圆心与切点的连线垂直于 轴，故 ，圆心为 ，半径 ． 13．【答案】　 【解析】，当 与 同向，即 时取到最大值 ． 14．【答案】　 【解析】 表示圆 的上半圆（含端点 ）．直线与圆 相交或相切需 ，即 ．由 得两交点的纵坐标为 ，两个交点都在上半圆需 ，即 且 ，得 ．又 时相切（只有一个公共点），故 的取值范围是 ． 四、解答题（共 77 分） 15．（13 分）【答案】（1） 或 ；（2） 或 【解析】（1）两条平行直线间的距离 ．设直线 与它们的夹角为 ，则截得的线段长 ，故 ，．两条平行直线的倾斜角为 ，故 的倾斜角为 或 ．（7 分） （2），．又 过 ，故 的方程为 或 ．（6 分） 16．（15 分）【答案】（1）；（2） 与 【解析】（1）设圆心 ．由 得 ，即 ，解得 ，故圆心 ，半径 ，标准方程为 ．（7 分） （2），点 在圆外，有两条切线．当斜率不存在时，直线 到圆心 的距离为 ，是切线；当斜率存在时，设切线为 ，即 ，由 得 ，平方得 ，解得 ，对应切线 ，即 ．综上，切线方程为 与 ．（8 分） 【评分说明】漏掉斜率不存在的情形（）扣 3 分． 17．（15 分）【答案】（1）；（2） 【解析】（1）作 关于 轴的对称点 ，则对 轴上任意一点 有 ，于是 ，等号当 、、 共线时成立．，故最小值为 ．（7 分） （2）作 关于 轴的对称点 ，作 关于 轴的对称点 ．对 轴上的点 、 轴上的点 ，有 ，，于是 ，等号当 、、、 依次共线时成立（该直线与两坐标轴均有交点，可以取到）．，故最小值为 ．（8 分） 18．（17 分）【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1），点 在圆内．设圆心到直线 的距离为 ，则 ，弦长 随 增大而减小，故 ．（6 分） （2）由 知 ，又 ，故 ，这恰是弦长的最小值，此时 ，即 ．因为 的斜率为 ，所以 的斜率为 ，又 过 ，得 ．（6 分） （3）．由 ，且 ，当 即 时取等号，故面积的最大值为 ，此时直线为 ．（5 分） 19．（17 分）【答案】（1） 与 ，切线长 ；（2）；（3） 【解析】（1）当切线斜率存在时，设为 ，即 ，由 得 ，，对应切线 与 ；当斜率不存在时，直线 过圆心，不是切线．切线长 ．（6 分） （2）设 ．因为 是弦 的中点，所以 ，即 ，故 ，点 在以 为直径的圆上．，，该圆圆心为 ，半径为 ，方程为 ．又 是弦的中点，必在圆 内部，由 得 ，即 ．故轨迹方程为 （）．（6 分） （3）设圆心到直线的距离为 ，则 ．直线过 ，故 ；又直线与圆相交，需 ．当直线绕 转动时， 可取遍 ：直线 过圆心，；直线趋近切线时 ．于是 ，其中 在直线过圆心（即 ）时取到．（5 分） 学科网（北京）股份有限公司 $