精品解析：广东深圳市龙岗区龙岗街道同乐主力学校2026-2027学年 九年级第一学期月考数学第一次学业水平检测

2026-2027学年九年级上学期数学第一次学业水平检测 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，4， B. 5，，1 C. ，，1 D. ，， 2. 根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A. 1.1＜x＜1.2 B. 1.2＜x＜1.3 C. 1.3＜x＜1.4 D. 无法判定 3. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是平行四边形，相交于点O，下列说法错误的是（　　） A. 若，则四边形是菱形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 6. 如图，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 、是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 10 C. D. 8. 如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 若，则________． 10. 如图，若，，，，则长为___________． 11. 如图所示，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为______． 12. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则______． 13. 将两个等腰直角三角板和按如图放置，，点D在上，与交于点F．若，则________． 三、解答题（共7小题） 14. 用适当的方法解方程 （1）； （2）． 15. 数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请你帮忙解决以下问题． （1）求关于x的方程的根； （2）若的值为正整数，求整数x的值． 16. 如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． （1）求证：； （2）若的面积为4，，求的面积． 17. 如图，点E是矩形的边上一点，且． 【操作与验证】（1）尺规作图：在的延长线上找到一点F，连接，使得四边形是菱形，并给出相应证明； 【推理与计算】（2）在（1）的条件下，连接，若，且四边形的周长为32，求矩形的面积． 18. 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 19. 阅读下面材料，并完成相应的任务． 【材料】因为，所以，即有最小值，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以，即有最大值，只有当时，才能得到这个式子的最大值． 【材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法也叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以解一元二次方程，也可以求代数式的最大值或最小值． 【材料】数学课上，吴老师在求代数式的最大值时，对式子作如下变形：．因为，，当时，多项式有最大值，最大值为． 通过阅读，解决下列问题： （1）【直接应用】对于代数式，当________时，代数式的最小值为________； （2）【类比应用】若多项式，试求的最小值； （3）【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个矩形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），问围成的菜地的面积能否是，如果能，求出矩形菜地的长与宽；如果不能，说明理由． 20. 数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． 初步探究 （1）如图②，若，求证：； 尝试应用 （2）如图③，在（1）的条件下，若点为的中点，，求的长； 创新提升 （3）如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学第一次学业水平检测 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，4， B. 5，，1 C. ，，1 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】对照一元二次方程的一般形式，提取各项系数时需包含对应项的符号． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2. 根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A. 1.1＜x＜1.2 B. 1.2＜x＜1.3 C. 1.3＜x＜1.4 D. 无法判定 【答案】C 【解析】 【分析】由表格可发现3的值在2.29和3.76之间，再看对应的x的值即可得． 【详解】由表可以看出,当x取1.3与1.4之间的某个数时,y=3,即这个数是的一个根． 的一个解x的取值范围为1.3<x<1.4． 故选C． 【点睛】考查了一元二次方程的近似解，看懂图表是解题的关键． 3. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 4. 如图，四边形是平行四边形，相交于点O，下列说法错误的是（　　） A. 若，则四边形是菱形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，特殊平行四边形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定方法分别判断即可确定正确的选项． 【详解】解：A、因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以该选项结论正确，不符合题意； B、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以该选项结论正确，不符合题意； C、因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形，所以若且，则四边形是正方形，该选项结论正确，不符合题意； D、当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断四边形是菱形，当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断四边形是菱形，所以若且，则四边形不一定是正方形，该选项结论错误，符合题意； 故选：D． 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 6. 如图，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由，可得，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方．即可求得的值，继而求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 、是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题关键是把．因为、是一元二次方程的两个根，所以，，进一步即可解决问题． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，即，， ∴． 故选：A． 8. 如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形，， ， 的最小值为． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】已知，可通过设参数法将用同一参数表示后代入计算． 【详解】解： 设，，其中， 将，代入得： ． 10. 如图，若，，，，则长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段成比例，熟练掌握比值方法是解题的关键． 根据线段成比例的比值关系列式运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 如图所示，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题的关键． 确定平行于墙的一边与★的关系即可求解． 【详解】解：由题意可得：平行于墙的一边为：， 由可得，★表示的为平行于墙的一边的长度， 即为：★表示的代数式为， 故答案为． 12. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键． 根据黄金分割可得，即，由此求出即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（）， ∴，即， ∴，， ∴． 故答案为：1． 13. 将两个等腰直角三角板和按如图放置，，点D在上，与交于点F．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得出  结合公共角证明  利用相似三角形对应边成比例得出 , 设 ，利用勾股定理表示  和 ，代入计算即可. 【详解】 解：设 ，  ， ，  ，  是等腰直角三角形，，  ， ， 在  中，，  在  中， ，  是等腰直角三角形，， ，  ， 又， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（共7小题） 14. 用适当的方法解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）首先按照移项、二次项系数化为1的步骤将原方程整理为，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行配方，然后求解即可获得答案； （2）将方程等号右边部分移动到左侧，再提公因式可得，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴，． 15. 数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请你帮忙解决以下问题． （1）求关于x的方程的根； （2）若的值为正整数，求整数x的值． 【答案】（1）方程的根为 （2）整数的值为和 【解析】 【分析】（1）将A、B代入方程，整理为一元二次方程，利用完全平方公式求解； （2）先化简分式，结合分式有意义的条件和正整数的性质，确定x的整数值． 【小问1详解】 解：∵，，且， 解得； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴ 解得， ∴， 的值为正整数，x为整数， ∴或 解得或， 经检验，和均使原分式有意义， 综上所述，整数x的值为2和3． 16. 如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． （1）求证：； （2）若的面积为4，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）25 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 17. 如图，点E是矩形的边上一点，且． 【操作与验证】（1）尺规作图：在的延长线上找到一点F，连接，使得四边形是菱形，并给出相应证明； 【推理与计算】（2）在（1）的条件下，连接，若，且四边形的周长为32，求矩形的面积． 【答案】（1）如图所示，在的延长线上截取点F，使得，则点F即为所求； 证明：，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，尺规作图，熟练掌握矩形的性质，菱形的判定与性质及尺规作图是解题的关键． （1）在的延长线上截取点F，使得，先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质证明是等边三角形，再逐步求出，，，即可求得答案． 【详解】解：（1）略 （2）菱形的周长为32， ． ， 是等边三角形， ． 在矩形中，， 在中，，， ， ， ． 18. 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；任务2：下调后每个手办的售价为50元；任务3：不能 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，，然后根据题意可得方程，进而问题可求解； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，根据题意得到，进而问题可求解． 任务3：假设平均每天能获利2100元，设此时下调后每个手办的售价为元，列出方程求解即可． 【详解】解：任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又 ∵要尽量减少库存， ， 答：下调后每个手办的售价为50元． 任务3：设下调后每个手办的售价为元， 则， 整理得：， ， 故平均每天不能获利2100元． 19. 阅读下面材料，并完成相应的任务． 【材料】因为，所以，即有最小值，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以，即有最大值，只有当时，才能得到这个式子的最大值． 【材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法也叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以解一元二次方程，也可以求代数式的最大值或最小值． 【材料】数学课上，吴老师在求代数式的最大值时，对式子作如下变形：．因为，，当时，多项式有最大值，最大值为． 通过阅读，解决下列问题： （1）【直接应用】对于代数式，当________时，代数式的最小值为________； （2）【类比应用】若多项式，试求的最小值； （3）【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个矩形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），问围成的菜地的面积能否是，如果能，求出矩形菜地的长与宽；如果不能，说明理由． 【答案】（1）， （2）最小值为 （3）解：不能，理由: 设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得：， 当时，有最大值，最大值是， ， 围成的菜地的面积不能为． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． （1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【小问1详解】 对代数式进行变形，， ， ， 当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； 【小问2详解】 ． ，， ∴当，时，有最小值，最小值为； 【小问3详解】 略 20. 数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． 初步探究 （1）如图②，若，求证：； 尝试应用 （2）如图③，在（1）的条件下，若点为的中点，，求的长； 创新提升 （3）如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，利用相似三角形的性质，求解即可； （2）设，可得，由（1）可得得到，再利用相似三角形的性质求解即可； （3）取的中点，连接，，得到是的中位线，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，从而得到，再根据含直角三角形的性质以及勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）设， ∵点为的中点， ∴，， 由（1）得，， 解得或（不符合题意，舍去） 由（1）得， ∴，即，可得， ∵， ∴， ∴的长是； （3）如图，取的中点，连接，， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，即， ∴， ∴， ∴的长是12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线，等腰三角形的性质，勾股定理，含直角三角形的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，作出辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $