精品解析：河北石家庄市第四十中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年第一学期初三第一阶段考试数学试题 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一项符合题意） 1. 下列函数一定是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则的正切值为( ) A. 3 B. C. D. 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象经过点 B. 函数图象位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 5. 六线谱是世界上通用的一种专为吉他设计的记谱方法，它是由六根间隔相等的粗线组成的．如图是一个六线谱，A，B，C三点在同一直线上．若，则长为（ ） A. B. C. D. 6. “一粥一饭，当思来之不易；半丝半缕，恒念物力维艰．”某校开展了“光盘行动•拒绝舌尖浪费”活动，为了解学生在校就餐时的光盘情况，该校从全校3000名学生中随机抽取了200名学生进行调查．下列说法正确的是（ ） A. 调查方式是全面调查 B. 3000名学生是个体 C. 3000名学生是样本 D. 样本容量是200 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 函数和（），在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 9. 若，是方程的两个根，则的值为（ ）． A. B. C. D. 10. 实验室将高浓度二氧化氯母液稀释配制消毒液，现有甲、乙、丙、丁四瓶不同稀释后的二氧化氯消毒液．在平面直角坐标系中，轴表示稀释后消毒液的总质量，轴表示二氧化氯的质量分数（二氧化氯的质量与消毒液总质量的比值），其中描述甲、丁的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶消毒液中含二氧化氯质量最少的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 11. 学校数学兴趣小组的同学发现，手掌的长度与身高存在一定关系，他们从班里随机选取名男生，测量他们的手掌长和身高． 序号 手掌长 身高 下列一次函数，能近似表示与之间的关系的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，顶点A，B分别在反比例函数与的图像上，则的值为（ ） A. B. C. D. 5 二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 14. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是，则的长是________米． 15. 物理实验小组根据在压力不变的情况下测得某物体承受的压强（单位：）和它的受力面积（单位：）之间对应的数据画出与之间的函数关系图象（如图所示），当受力面积时，压强的值为______． 16. 如图，在中，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是________． 三．解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程 （1）计算：． （2）解方程： 18. 某校在开展防溺水教育后组织了一场防溺水知识竞赛，随机抽取了部分学生的成绩（分数）进行了整理分析，已知成绩（分数）均为整数，且分成，，，四个等级，分别是：：，：，：，：．部分信息如下： （1）本次抽样调查一共调查了________名学生，组所在扇形的圆心角度数为________； （2）补全直方图，标注相应数据； （3）若该校共有学生人且全部参加了这场防溺水知识竞赛，请估计达到等级的共有多少人？ 19. 如图，四边形是某校一块学农基地，其中是蔬菜园，是水果园，已知． （1）求证：： （2）若蔬菜园的面积为，求水果园的面积． 20. 如图，小明同学要给长城风景画安装一个四周宽度相等的白色画框，制成一个矩形工艺品，该工艺品的长为，宽为．若该工艺品中间风景画的面积为，求白色画框的宽度是多少？ 21. 如图是某跨江大桥段抽象出的竖直截面图． 【测量】从点处测得支架顶端的仰角为，从点处测得支架顶端的仰角为，支架的竖直高度为202米． 【计算】求的长． 【应用】通过该桥的限速标准为22米/秒，一辆汽车用时36秒通过路段，通过计算判断这辆汽车是否超速？ （结果精确到1米，参考数据：，） 22. 项目主题：探究反比例型绝对值函数的图象与性质 任务背景：某学校在操场直线跑道旁安装广播喇叭，用于运动会通知．为简化分析，将跑道视为一条数轴，喇叭的安装点定为原点．声音在跑道上不同位置的响度与听众到喇叭的距离有关．在简化模型中，某一位置的声音响度与到声源距离的绝对值成反比．因此，我们建立函数模型，本次项目将以函数为例，通过描点作图、数据分析、性质归纳等方式，深入理解这类函数的图象特征与实际意义． 任务一：自变量分析与数据采集 （1）函数中自变量的取值范围是_____； （2）补全数据表： ．．． 1 1．5 2 4 6 ．．． ．．． 1 3 _____ 6 6 4 _____ 1 ．．． 任务二：图象绘制与对称性探究 （3）绘制图象 在平面直角坐标系中，描出上表中所有点，并用光滑曲线连接，画出函数图象． （4）图象分析 该函数图象_____轴对称图形（填“是”或“不是”），与坐标轴交点个数为_____． 任务三：函数性质归纳与应用（综合拓展） （5）数值估算 当时，对应的自变量的值约为_____（保留一位小数）． （6）性质总结 请根据画出函数图象，归纳出函数的性质：_____（写出一条即可）． （7）变式探究 我们将函数一般化，对于函数，当时，试写出其一条性质． 23. 综合与实践 主题 测量书架内侧长度 信息1 如图1，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点刚好靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上．（图2是平面示意图） 信息2 长方体档案盒的长，厚度． 信息3 借助量角器测得．（参考数据：） 问题解决 任务1 求斜放档案盒底部到竖放档案盒距离的长； 任务2 求书架内侧的长． 24. 如图，在中，已知，一个反比例函数的图像经过点． （1）求点的坐标和该反比例函数的表达式． （2）将向上平移个单位长度，再向右也平移个单位长度，得到，若此时点恰好落在反比例函数的图像上，求满足的表达式． （3）若将沿直线翻折，得到，则点是否在反比例函数的图像上？为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期初三第一阶段考试数学试题 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一项符合题意） 1. 下列函数一定是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，函数不是反比例函数，不符合题意； B、不是反比例函数，不符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，符合题意； 故选：D． 2. 在中，，，，则的正切值为( ) A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正切的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据正切定义，等于的对边与邻边的比值． 【详解】在中，，，，且， ． 故选：A． 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：选项：方程含有两个未知数，不是一元二次方程； 选项：方程是一元二次方程； 选项：方程未知数最高次数为，不是一元二次方程； 选项：方程不是整式方程，不是一元二次方程． 4. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象经过点 B. 函数图象位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐一判断各选项即可． 【详解】A、因为点的坐标不满足，所以函数图象不经过点，说法错误，该选项不符合题意； B、因为，所以函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，说法错误，该选项不符合题意； C、当时，随的增大而增大，说法错误，该选项不符合题意； D、当时，随的增大而增大，且点和点在函数图象上，所以，当时，，该选项说法正确． 5. 六线谱是世界上通用的一种专为吉他设计的记谱方法，它是由六根间隔相等的粗线组成的．如图是一个六线谱，A，B，C三点在同一直线上．若，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过C作点所在的平行横线于，交点B所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：如图，过C作点所在的平行横线于，交点B所在的平行横线于，则， ∵， ∴， 即， 解得：， 故选：D． 6. “一粥一饭，当思来之不易；半丝半缕，恒念物力维艰．”某校开展了“光盘行动•拒绝舌尖浪费”活动，为了解学生在校就餐时的光盘情况，该校从全校3000名学生中随机抽取了200名学生进行调查．下列说法正确的是（ ） A. 调查方式是全面调查 B. 3000名学生是个体 C. 3000名学生是样本 D. 样本容量是200 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查统计调查的基本概念，包括调查方式、个体、样本、样本容量等，熟练掌握相关概念是解题的关键． 根据总体、个体、样本、样本容量的意义及全面调查的定义进行判断即可． 【详解】A.全面调查是对全体对象进行调查，而题干中是从3000名学生中随机抽取200名进行调查，属于抽样调查，故A错误； B.个体是调查的每个对象，即每一名学生的就餐情况，而3000名学生是总体，并非个体，故B错误； C. 样本是从总体中抽取的部分对象，题干中抽取的200名学生才是样本，3000名学生是总体，故C错误； D.样本容量是样本中包含的个体数量，题干中抽取了200名学生，因此样本容量为200，故D正确； 故选D． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，先判断三个点所在象限，确定的正负，再比较第四象限内的大小，即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∵点的横坐标， ∴点在第二象限，可得． ∵点，的横坐标满足， ∴都在第四象限， ∴． 综上，． 8. 函数和（），在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况：当k>0时，当k<0时，分别判定两函数图象大至位置，即可得出答案． 【详解】解：当k>0时，的图象分居在第一、第三象限，可排除C、D选项，再由（），图象必经过第二、第四象限，又因b=2，图象经过点（0.2），所以图象经过第一、第二、第四象限，可排除B，故A符合题意； 当k<0时，的图象分居在第二、第四象限，可排除A、B选项，再由（），图象必经过第一、第三象限，又因b=2，图象经过点（0.2），所以图象经过第一、第二、第三象限，可排除C，D，故没有选项符合题意； 综上， A符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了根据函数解析式确定反比例函数的图象和一次函数的图象，掌握反比例函数的图象和一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 9. 若，是方程的两个根，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求出的值，再根据可得答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 10. 实验室将高浓度二氧化氯母液稀释配制消毒液，现有甲、乙、丙、丁四瓶不同稀释后的二氧化氯消毒液．在平面直角坐标系中，轴表示稀释后消毒液的总质量，轴表示二氧化氯的质量分数（二氧化氯的质量与消毒液总质量的比值），其中描述甲、丁的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶消毒液中含二氧化氯质量最少的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，根据题意可知，的值即为二氧化氯质量，再根据图象即可确定乙瓶二氧化氯质量最多，丙瓶二氧化氯质量最少，甲、丁两瓶二氧化氯质量相同． 【详解】解：根据题意，可知的值即为二氧化氯质量， ∵描述甲、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴甲、丁两瓶二氧化氯质量相同， ∵点乙在反比例函数图象上面，点丙在反比例函数图象下面， ∴乙瓶的的值最大，即二氧化氯质量最多，丙瓶的的值最小，即二氧化氯质量最少， 故选：C． 11. 学校数学兴趣小组的同学发现，手掌的长度与身高存在一定关系，他们从班里随机选取名男生，测量他们的手掌长和身高． 序号 手掌长 身高 下列一次函数，能近似表示与之间的关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设一次函数的一般形式，从近似直线上选取两个代表性的点，代入解析式后用待定系数法求解和，得到近似函数. 【详解】解：设近似表示手掌长与身高关系的一次函数为． 选取直线上的两个点和， 代入解析式得：， 解得， 近似的一次函数为． 12. 如图，在中，，顶点A，B分别在反比例函数与的图像上，则的值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义．过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，于是得到，根据反比例函数的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，根据锐角三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， ∴， ∵顶点A，B分别在反比例函数与的图象上， ∴由反比例函数的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】 （任意大于的常数都正确） 【解析】 【分析】反比例函数的图象位于第一、第三象限时，满足条件，只需写出一个符合要求的正数即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象两支分别位于第一、第三象限， ∴， 因此任意取一个大于的常数即可，例如符合条件． 14. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是，则的长是________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据迎水坡的坡度是计算即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度是，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 物理实验小组根据在压力不变的情况下测得某物体承受的压强（单位：）和它的受力面积（单位：）之间对应的数据画出与之间的函数关系图象（如图所示），当受力面积时，压强的值为______． 【答案】240 【解析】 【详解】解：根据图象可知，压力不变，压强与受力面积S成反比例函数， 设， ∵在反比例函数图象上， ， 函数表达式为， 当，． 16. 如图，在中，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练利用数形结合的思想是解题的关键． 根据锐角三角函数可求，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质以及外角求得，最后在中，解直角三角形，即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， 在中，． 故答案为： 三．解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程 （1）计算：． （2）解方程： 【答案】（1）3 （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：， ， ，． 18. 某校在开展防溺水教育后组织了一场防溺水知识竞赛，随机抽取了部分学生的成绩（分数）进行了整理分析，已知成绩（分数）均为整数，且分成，，，四个等级，分别是：：，：，：，：．部分信息如下： （1）本次抽样调查一共调查了________名学生，组所在扇形的圆心角度数为________； （2）补全直方图，标注相应数据； （3）若该校共有学生人且全部参加了这场防溺水知识竞赛，请估计达到等级的共有多少人？ 【答案】（1）； （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）用B组的人数除以其人数占比求出参与调查的学生人数，进而可求出A组所在扇形的圆心角度数； （2）求出C组的学生人数，再补全统计图即可； （3）用1200乘以样本中A组的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：（名）， ∴本次抽样调查一共调查了30名学生， ∴组所在扇形的圆心角度数为； 【小问2详解】 解：由（1）得C组有名学生， 补全统计图见答案； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计达到等级的共有人． 19. 如图，四边形是某校一块学农基地，其中是蔬菜园，是水果园，已知． （1）求证：： （2）若蔬菜园的面积为，求水果园的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求证； （2）根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：，且相似比为， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，小明同学要给长城风景画安装一个四周宽度相等的白色画框，制成一个矩形工艺品，该工艺品的长为，宽为．若该工艺品中间风景画的面积为，求白色画框的宽度是多少？ 【答案】画框的宽度是 【解析】 【分析】设画框的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解设画框的宽度为，由题意可知， ． 解得，． ∵，且，即， ∴． 答：画框的宽度是． 21. 如图是某跨江大桥段抽象出的竖直截面图． 【测量】从点处测得支架顶端的仰角为，从点处测得支架顶端的仰角为，支架的竖直高度为202米． 【计算】求的长． 【应用】通过该桥的限速标准为22米/秒，一辆汽车用时36秒通过路段，通过计算判断这辆汽车是否超速？ （结果精确到1米，参考数据：，） 【答案】计算：米； 应用：该车用时36秒通过路段， 可求其速度为米/秒米/秒 这辆汽车通过路段时没有超速． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）首先在和中，利用三角函数解得，的值，然后通过 求解即可； （2）根据“速度距离时间”计算汽车的速度，然后比较即可获得答案． 【详解】解：（1）在中，，，米， 米， 在中，，，米， 米， （米）； （2）略 22. 项目主题：探究反比例型绝对值函数的图象与性质 任务背景：某学校在操场直线跑道旁安装广播喇叭，用于运动会通知．为简化分析，将跑道视为一条数轴，喇叭的安装点定为原点．声音在跑道上不同位置的响度与听众到喇叭的距离有关．在简化模型中，某一位置的声音响度与到声源距离的绝对值成反比．因此，我们建立函数模型，本次项目将以函数为例，通过描点作图、数据分析、性质归纳等方式，深入理解这类函数的图象特征与实际意义． 任务一：自变量分析与数据采集 （1）函数中自变量的取值范围是_____； （2）补全数据表： ．．． 1 1．5 2 4 6 ．．． ．．． 1 3 _____ 6 6 4 _____ 1 ．．． 任务二：图象绘制与对称性探究 （3）绘制图象 在平面直角坐标系中，描出上表中所有点，并用光滑曲线连接，画出函数图象． （4）图象分析 该函数图象_____轴对称图形（填“是”或“不是”），与坐标轴交点个数为_____． 任务三：函数性质归纳与应用（综合拓展） （5）数值估算 当时，对应的自变量的值约为_____（保留一位小数）． （6）性质总结 请根据画出函数图象，归纳出函数的性质：_____（写出一条即可）． （7）变式探究 我们将函数一般化，对于函数，当时，试写出其一条性质． 【答案】（1）； （2）4，3； （3）根据题意：画出函数图像如下： （4）是，0；（5）1．2或； （6）函数图像关于轴对称（不唯一）． （7）图象分别位于三、四象限（不唯一）． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、绝对值、画反比例函数图像等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义即可解答； （2）将，代入函数解析式求解即可； （3）按照描点、连线的步骤解答即可； （4）根据（3）所得的函数图像解答即可； （5）根据（3）所得的函数图像解答即可； （6）根据（3）所得的函数图像解答即可； （7）类比的图像进行解答即可； 【详解】解：（1）由反比例函数的定义可知：； 故答案为：； （2）当时，；当时，； 故答案为：4，3； （3）略 （4）由（3）函数图像可得：该函数图象是轴对称图形（填“是”或“不是”），与坐标轴交点个数为0． 故答案为：是，0； （5）由（3）函数图像可得：该当时，对应的自变量的值约为1．2或． 故答案为：1．2或； （6）由（3）函数图像可得：该函数图像关于轴对称（不唯一）． 故答案为：函数图像关于轴对称； （7）对于函数，当时，该函数图像分别位于三、四象限（不唯一）． 23. 综合与实践 主题 测量书架内侧长度 信息1 如图1，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点刚好靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上．（图2是平面示意图） 信息2 长方体档案盒的长，厚度． 信息3 借助量角器测得．（参考数据：） 问题解决 任务1 求斜放档案盒底部到竖放档案盒距离的长； 任务2 求书架内侧的长． 【答案】任务一：斜放档案盒底部到竖放档案盒距离的长约为；任务二：书架内侧的长约为 【解析】 【分析】本题考查了其他问题（解直角三角形的应用），解题关键是熟悉三角函数的定义． 任务1：利用余弦求解； 任务2：先求出，再利用正弦求出，然后列式计算出． 【详解】任务1：解：由题意可知：在中， 即， 解得：， 答：斜放档案盒底部到竖放档案盒距离的长约为． 任务2：由题意可知， ， ， 在中，， 即， 解得：， ， 答：书架内侧的长约为． 24. 如图，在中，已知，一个反比例函数的图像经过点． （1）求点的坐标和该反比例函数的表达式． （2）将向上平移个单位长度，再向右也平移个单位长度，得到，若此时点恰好落在反比例函数的图像上，求满足的表达式． （3）若将沿直线翻折，得到，则点是否在反比例函数的图像上？为什么？ 【答案】（1）， （2） （3）点在反比例函数的图像上， 理由如下： 连接，交与点， ∵翻折， ∴垂直平分， ∴，为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在反比例函数的图像上． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键. （1）根据平行四边形的性质求出点的坐标，待定系数法求出反比例函数的表达式即可； （2）求出平移后的点的坐标，根据点恰好落在反比例函数的图像上，列出表示式即可； （3）根据翻折的性质求出的坐标，判断即可． 【小问1详解】 解：∵在中，已知， ∴， ∴轴， ∴，即：， 设反比例函数的解析式为， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意，平移后， ∵点恰好落在反比例函数的图像上， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $