精品解析：河北省石家庄市裕华区石家庄市第四十中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期 数学（冀教版） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中、只有一项是符合题目要求的） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数值及二次根式的加减运算，将，代入，再进行加减运算即可．熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， ∴的值是． 故选：A． 2. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程根的判别式．根据x的方程有实数根得到，解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：． 故选：B． 3. 如图，是的直径，与的相切，与的延长线相交于点C，若，则∠A的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的切线，三角形内角和定理和外角的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟知圆的切线的性质． 连接，根据切线的性质可得，再根据三角形内角和定理求得，最后利用三角形外角的性质求得答案． 【详解】连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（ ） A. 2 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质进行计算即可． 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设直尺上表示数字1的点为B，表示数字3的点为A，表示数字10 的点为C，如图，∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴点P表示的数是， 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆（ ） A. 与轴相交，与轴相切 B. 与轴相离，与轴相交 C. 与轴相切，与轴相交 D. 与轴相切，与轴相离 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，掌握直线与圆的位置关系定是解此题的关键．根据点为圆心，得到圆心到轴的距离是，到轴的距离是，根据直线与圆的位置关系即可求出答案． 【详解】解：圆心到轴的距离是，到轴的距离是， ，， 圆与轴相切，与轴相交， 故选：C． 6. 如图，点A是函数（）图象上一点，点B是（，）图象上一点，点C在x轴上，连结，，．若轴，，则（ ）． A. 4 B. 2 C. 2.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． 连接，如图所示，得到，再结合反比例函数的几何意义即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 轴， ， ， ，解得， 故选：D． 7. 某中学规定：学生的学期体育综合成绩满分为分，其中，期中考试成绩占，期末考试成绩占，小海同学这个学期的期中、期末成绩（百分制）分别是分、分，则小海这个学期的体育综合成绩是（　　） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，利用加权平均数计算公式计算即可求解，掌握加权平均数计算公式是解题的关键． 【详解】解：小海这个学期的体育综合成绩为分， 故选：． 8. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　） A. 3 B. 12 C. 4π D. 12π 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，含度角的直角三角形的性质；如图，过作于，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】如图，过作于， 圆的内接正十二边形的圆心角为， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：B． 9. 某班的同学想测量一教学楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度，在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为，则教学楼的高度约为（结果精确到米）（参考数据：）（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，含30度角的直角三角形的性质，延长交直线于点F，利用坡度的定义求得，进而求出，利用三角函数求得，进而求得． 【详解】解：延长交直线于点F， ， ， ， ， ， (米)， ， (米)， 故选：． 10. 如图，在中，是的边上的中点，，的延长线交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，过点作交于点，得出，根据相似三角形的性质，结合已知条件，得出，，即可求解． 【详解】如图，过点作交于点， ∴， ∴，点是的中点， ∴，则， ∴， 故选：C． 11. 已知，，是反比例函数的图像上的三点，若，，则下列关系式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性．首先确定该反比例函数的图像在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，结合题意确定，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该反比例函数的图像在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点，在第三象限，点在第一象限， ∴， ∴，，，， ∴选项B、C、D正确，不符合题意，选项A不正确，符合题意． 故选：A 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（ ） A. 7 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短． 【详解】解：连接． ∵是O的切线， ∴， 根据勾股定理知， ∵当时，线段最短， 又∵、， ∴， ∴，是的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 卷II（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 在半径是的圆中，的圆心角所对的弧长为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式，由此即可求解． 【详解】解：的圆心角所对的弧长为， 故答案为： ． 14. 已知点在双曲线上，作轴，轴，垂足分别为点．若四边形的面积是6，则的值是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形，解答的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想解决问题． 设，则点，点．进而即可求解 【详解】解：设，则点，点． ∵四边形的面积是6， ， 解得． 故答案为：8 15. 如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ___________________ （结果保留π）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆及扇形面积公式，熟练掌握正多边形与圆及扇形面积公式是解题的关键；由正六边形的性质可知，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故答案为． 16. 如图，是的切线，点B为切点，连接．若，，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理以及三角函数的应用，连接，由 的正切值求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，点B为切点， ∴， 在中，， 又∵ ， ∴， 在中，，， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴，， ∵， ， ∴． 18. 如图，是的直径，点在射线上，与相切于点，过点作，交的延长线于点，连接．求证：是的平分线． 【答案】 证明：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的平分线． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等边对等角，角平分线的判定等，解题的关键是掌握以上性质． 根据切线的性质得出垂直，证明，得出内错角相等，然后根据等边对等角即可得出结论． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴、垂足为点，反比例函数 的图像经过的中点且与相交于点．经过两点的一次函数表达式为，若点的坐标为且． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）请观察图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是数形结合思想的运用． （1）把代入，求得，利用中点坐标公式求出点C的坐标，再利用待定系数法求一次函数的表达式即可； （2）根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集． 【小问1详解】 解：把代入，得，解得， ∴反比例函数的表达式为， 由点的坐标为，且，得点的坐标为， ∵点为的中点， ∴点的坐标为， 将点和点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：观察图象可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， 不等式的解集为或． 20. 如图，内接于． （1）若，的半径是2，求的长； （2）过A点作的切线，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图1，连接， ∵过A点作的切线， ∴，则， 同理（1）， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，则，由圆周角定理可得，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）如图1，连接，由过A点作的切线，可得，则，同理（1），由，可得，则． 【小问1详解】 解：如图1，连接，则， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，切线的性质等知识．熟练掌握圆周角定理，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，切线的性质是解题的关键． 21. 阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程，得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，原方程有四个根：． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． （1）用换元法解方程：； （2）三边是，若两直角边满足，斜边，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，三角形的三边关系的应用； （1）设，原方程可变形为进而解一元二次方程，注意最后要检验； （2）设，进而因式分解法解一元二次方程，根据三角形的三边关系，取舍方程的解，即可求解． 【小问1详解】 解：设，原方程可变形为， 解得， 当时，，解得； 当时，，移项，得， ∵， ∴原方程没有实数根， 综上，原方程有两个根：； 【小问2详解】 设， ∵， ∴ 即， 解得 ∵斜边， ∴，则， ∴的周长为 22. 如图，为的外接圆，，点是上的动点，且点分别位于的两侧． （1）求的半径； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆的性质，勾股定理解答即可； （2）连接，判定，证明是等边三角形，后利用角的差计算即可得到结论． 本题考查了圆的性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴是直径， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 23. 如图，已知是的直径，点P在的延长线上，切于点D，过点B作，交的延长线于点C，连接并延长，交于点E． （1）求证：； （2）若，点A是的中点，求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，则可判断，所以，结合，所以，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论； （2）先由点A是的中点，得出，由（1）得，，则，运用勾股定理列式计算，再证明，把数值代入进行计算，即可作答． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点A是的中点 ∴ ∵， ∴ 在中， ∴， ∵ ∴ ∴ 即 ∴ 24. 如图，是边长为1的正方形边上一动点（与不重合），过作，交的延长线于，连接． （1）求证：； （2）点在运动过程中，能否是等腰三角形，若能，求出的长；若不能，请说明理由； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）能，的值是 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质得出相等的边和直角，得出条件证明，即可得出结论； （2）根据（1）的结论得出等腰直角三角形，设，表示出相关线段的长度，然后列出一元一次方程求解即可； （3）设，表示出相关线段的长度，证明，根据对应边成比例列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点在运动过程中，能是等腰三角形，的值是， 理由如下： 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴若是等腰三角形，只能是， 设，则由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的长是； 【小问3详解】 解：在中，， 设，则，由勾股定理得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 整理，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期 数学（冀教版） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中、只有一项是符合题目要求的） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，是的直径，与的相切，与的延长线相交于点C，若，则∠A的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（ ） A. 2 B. C. D. 5 5. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆（ ） A. 与轴相交，与轴相切 B. 与轴相离，与轴相交 C. 与轴相切，与轴相交 D. 与轴相切，与轴相离 6. 如图，点A是函数（）图象上一点，点B是（，）图象上一点，点C在x轴上，连结，，．若轴，，则（ ）． A. 4 B. 2 C. 2.5 D. 5 7. 某中学规定：学生的学期体育综合成绩满分为分，其中，期中考试成绩占，期末考试成绩占，小海同学这个学期的期中、期末成绩（百分制）分别是分、分，则小海这个学期的体育综合成绩是（　　） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 8. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　） A. 3 B. 12 C. 4π D. 12π 9. 某班的同学想测量一教学楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度，在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为，则教学楼的高度约为（结果精确到米）（参考数据：）（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，在中，是的边上的中点，，的延长线交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，是反比例函数的图像上的三点，若，，则下列关系式不正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（ ） A. 7 B. 3 C. D. 卷II（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 在半径是的圆中，的圆心角所对的弧长为______．（结果保留） 14. 已知点在双曲线上，作轴，轴，垂足分别为点．若四边形的面积是6，则的值是_______． 15. 如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ___________________ （结果保留π）． 16. 如图，是的切线，点B为切点，连接．若，，，则的长度为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 18. 如图，是的直径，点在射线上，与相切于点，过点作，交的延长线于点，连接．求证：是的平分线． 19. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴、垂足为点，反比例函数 的图像经过的中点且与相交于点．经过两点的一次函数表达式为，若点的坐标为且． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）请观察图象直接写出不等式的解集． 20. 如图，内接于． （1）若，的半径是2，求的长； （2）过A点作的切线，求证：． 21. 阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程，得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，原方程有四个根：． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． （1）用换元法解方程：； （2）三边是，若两直角边满足，斜边，求的周长． 22. 如图，为的外接圆，，点是上的动点，且点分别位于的两侧． （1）求的半径； （2）当时，求的度数． 23. 如图，已知是的直径，点P在的延长线上，切于点D，过点B作，交的延长线于点C，连接并延长，交于点E． （1）求证：； （2）若，点A是的中点，求线段的长． 24. 如图，是边长为1的正方形边上一动点（与不重合），过作，交的延长线于，连接． （1）求证：； （2）点在运动过程中，能否是等腰三角形，若能，求出的长；若不能，请说明理由； （3）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $