四川自贡市蜀光中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

蜀光中学高2026级高一上期 10月月考 数学试题 （全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试时间120分钟） 出题人：岳雄林 审题人：万利坤 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 3．下列命题中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 8．已知正数，，满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．命题“若，则中至少有1个大于2”为真命题 D．集合中的元素个数为8 10．定义集合与的运算：，．若，，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 11．已知正数 ，满足 ，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，若，则________. 13．某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是 个∕时． 14．当时，有解，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知全集，集合． (1)求； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 16．集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 17．已知关于的二次函数 (1)若关于的不等式的解集为，求实数、的值； (2)已知方程有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值. 18．已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求a，b的值； (2)若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； (3)设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 19．对于数集，定义点集，若对任意，都存在，使得，则称数集是“归零数集”，集合是集合的“归零点集”. (1)判断集合是否是“归零数集”，若是，写出该数集的“归零点集”；(直接写出结果，无须证明) (2)若，且是“归零数集”，求的值； (3)若“归零数集”满足，，且，求的值. 高一上第一次调研考试数学试题 一、单选题 1．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A【解】由题意得. 2．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解】原命题为“”的否定为“”. 3．下列命题中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D【解】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，取，满足，此时不成立，B错误； 对于C，取，满足，此时不成立，C错误； 对于D，因为，可知，故，D正确. 4．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解】若，则不等式无解，不符合题意； 若，由，得， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是， 所以，等号不同时成立，解得， 当时，由，得， 因为为的真子集，则是不等式成立的充分不必要条件，符合题意，所以，故整数的最小值为. 5．若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】由不等式的解集为或，可得， 且，是方程的两个实根.根据韦达定理：，解得，其中， 代入待解不等式，得 ，因为，所以， 分式不等式等价于：，解得或. 故不等式的解集为. 6．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解】集合. 因为在上是增函数且，所以. A选项：是集合，不是的元素，应为，故A错误； B选项：，故B错误；C选项：，故C错误； D选项：中的元素全部属于，即，故D正确. 7．若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】命题存在，使的否定为，使， 若，使为真，则，所以， 故若存在，使则，所以的取值集合是.故选：A. 8．已知正数，，满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C【解】根据基本不等式，结合已知得， 整理得，当且仅当时等号成立. 把的上界代入目标式，可得， 对正数，由基本不等式，当且仅当即时等号成立， 代入得，当时，由和， 解得，均为正数，满足所有约束条件，等号成立，因此原式最小值为 . 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．命题“若，则中至少有1个大于2”为真命题 D．集合中的元素个数为8 【答案】BCD 【解】选项A，当时，满足，但无法得到，必要性不成立，所以A错误； 选项B，的解集为，由能够得到，充分性成立，所以B正确； 选项C，假设都不大于2，则，这与已知矛盾，所以要满足中至少有1个大于2，所以C正确； 选项D，因为，且8的因数有， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以，共有8个元素，所以D正确.故选：BCD. 10．定义集合与的运算：，．若，，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【解】由题意可知：，，因为集合， 对于选项A：因为，所以或，故A正确； 对于选项B：因为，所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确. 11．已知正数 ，满足 ，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB【解】因为正数 ，满足 ， 对于A，由 ，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为 ，所以A正确； 对于B，由， 因为 且 ，所以 ， 即，所以，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以C错误； 对于D，因为 ，可得 ， 则， 当且仅当时，取得最小值 ，所以D不正确. 三、填空题 12．已知集合，若，则________ 【答案】【解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意，综上，故答案为： 13．某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 【答案】60【解】生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时， 则全程生产成本， ，当时，即等号成立， 综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时．故答案为：60． 14．当时，有解，则实数的取值范围是___. 【答案】【解】当时，有解，即在上有解， 因为，所以一次函数单调递增， 所以只需即可，解得，所以实数的取值范围是.故答案为： 四、解答题 15．已知全集，集合． (1)求； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 【解】（1）或. .或. （2）. 当时，，解得. 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是. 16．集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【解】（1）当时， ，，其子集个数为个； （2）由题意，是的充分条件，则. 当时，此时，解得：； 当时， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若为双元素集，则，结合韦达定理， 则有，则不存在实数满足题意. 综上所述，实数的取值范围为． 17．已知关于的二次函数 (1)若关于的不等式的解集为，求实数、的值； (2)已知方程有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值. 【解】（1）不等式的解集为，得，方程两根为，所以，得，； （2）由得，两根，由韦达定理得， 因为，所以，所以， 由，得判别式，即，得，故或， 由得，所以，由，得， 令，由得，所以， 因为，所以，故，当且仅当， 即，即时取等号， 所以，故， 所以当时，最大值为. 18．已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求a，b的值； (2)若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； (3)设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 【解】（1）由题意得； ∵，∴在上单调递增， ，可得，解得， 则为所求值. （2）由上问得，当时，， 又∵存在，对任意的都成立， ∴对任意的都成立， 即对任意的都成立，其中看作自变量，看作参数， 即，解得. （3）由题意得， 由， 令， ，而不等式在上有解， ，又， 而， ，故实数的取值范围是. 19．对于数集，定义点集，若对任意，都存在，使得，则称数集是“归零数集”，集合是集合的“归零点集”. (1)判断集合是否是“归零数集”，若是，写出该数集的“归零点集”；(直接写出结果，无须证明) (2)若，且是“归零数集”，求的值； (3)若“归零数集”满足，，且，求的值. 【解】（1）是“归零数集”，该数集的“归零点集”为. 逐一验证中任意一点，都能找到，满足： ①：取，； ②：取，； ③：取，不在集合内；取，； ④：取，；⑤：取，； ⑥：取，；⑦：取，； ⑧：取，；⑨：取，； （2）若，且是“归零数集”，则对于有序数对， 能使得其满足条件的有序数对只能为， 则有，解得，经检验，符合题意.故. （3）先证：若集合为“归零数集”，则集合中至少要有一对相反数. 设集合的“归零点集”为，则对于任意，且，有序数对， 故，使得，所以，故集合中至少有一对相反数. 因为且是唯一负数，所以. 下面证明为集合中的最小正数： 反证法：若不是集合中的最小正数，则，又， 对于有序数对，则与之相匹配的有序数对设为或， 所以或， 因为，所以或，与题设条件相矛盾，故为最小正数.综上所述，. 高一学期月考考试数学试题第4页 共4页 高一学期月考考试数学试题第3页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $